数学分析教案 (华东师大版)第九章 定积分
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第九章
第九章 定积分一、填空题 1.=-++-+-∞→_41241141(lim 22222nn n n n _________2．=+⎰⎰→x xt x dtttdtt 0sin 01sin )1(lim__________3．[]=⎰-222,1max dx x __________4．设⎰+=xdt tt x f 02sin 1cos )(，则=+⎰202)(1)('πdx x f x f ___________ 5．设)(x f 在[]4,0上连续，且⎰--=2123)(x x dt t f ，则=)2(f ___________6．=+-⎰→421ln sin limxx tdt xx _________7．=++⎰-dx x xx 2222)cos 1(sin ππ______________ 8．[]⎰-=-++-11)()(22lndx x f x f xx_________，其中)(x f 连续。
10．设0)()(21=-+⎰x x f dx x f ，则=⎰1)(dx x f _______________11．若⎰=+101sinb dx x x，则=+⎰102)1(cos dx x x _________12．设)(x f 连续，则=-⎰x dt t x tf dxd 022)(____________ 13．=⎰022cos xdt t x dx d ______________ 14．=-⎰ππ222cos sin dx x x ____________15．=+-⎰-dx x x 112cos 21sin αα____________16．[]=-⎰π2sin )(cos 'cos )(cos dx x x f x x f ____________17．设)(x f 有一个原函数x xsin ，则=⎰ππ2)('dx x xf ____________18．若1≤y ，则=-⎰-11dx e y x x ___________19．已知2)2(x xex f =，则=⎰-11)(dx x f ________20. 已知)(x f 在),(+∞-∞上连续，且2)0(=f ，且设⎰=2sin )()(x xdt t f x F ，则=')0(F21．设⎪⎩⎪⎨⎧>⋅<--=⎰-x x x x dt t x x x e x f 0322 0 sin 0 31)(则=→)(lim 0x f x 22．函数dt t t t x x⎰+--=2112)(ϕ在区间[]2 0上的最大值为 ，最小值为23．若已知)(x f 满足方程⎰--=xdx x f x x x f 022)(13)(，则=)(x f24．已知函数)1( )1()(1-≥-=⎰-x dt t x f x，则)(x f 与x 轴所围成的面积为25．函数221x x y -=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23 ,21上的平均值为二、选择填空 1．若xx x f 104)5(2-=-，则积分=+⎰40)12(dx x f ( ) A.0 B.4πC.是发散的广义积分D.是收敛的广义积分 2．若已知5)2(',3)2(,1)0(===f f f ，则=''⎰10)2(dx x f x ______________A.0B.1C.2D.-2 3．设)(x f 是以l 为周期的连续函数，则()⎰+++lk a kla dx x f )1(之值( )A.仅与a 有关B.仅与a 无关C.与a 及k 均无关D.与a 和k 均有关 4．若0→x 时，⎰''-=xdt t f t x x F 022)()()(的导数与2x 进等价无穷小，则必有( )(其中f有二阶连续导数)。
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牛 顿（I.Newton 1642.12.25—1727.3.3）
英国数学家和物理学家出生在一个农民家庭，出生前父亲就去世了， 三岁母亲改嫁，由外祖母抚养。1661年入剑桥大学，1665年获学士学位， 1668年获硕士学位。由于他出色的成就，1669年巴鲁（Barrow）把数学 教授的职位让给年仅26岁的牛顿。1703 年被选为英国皇家学会会长。牛 顿一生成就辉煌，堪称科学巨匠。最突出的有四项重大贡献：创立微积 分，为近代数学奠定了基础，推动了整个科学技术的发展。他发现了力 学三大定律，为经典力学奠定了基础；他发现了万有引力为近代天文学 奠定了基础；他对光谱分析的实验，为近代光学奠定了基础 。他的巨著 《自然哲学的数学原理》影响深远，他被公认为历史上伟大的科学家。可 惜他晚年研究神学，走了弯路。
n
n
1
i
2
n
1 n
它的面积
ΔSi
(1
i2 n2
)
1 n
所求的总面积
Sn
n (1 i1
i2 n2
)
1 n
1
1 n3
n
i
2
i 1
1
2n
2 3n 6n 2
1
2 3
我 们 分 别 取 n=10, 50, 100 用 计 算 机 把 它 的 图 象 画 出 来 ， 并 计
算出面积的近似值：
clf, n=10; x=0:1/n:1;
四．小结： 学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分概念
的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、
斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。
现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中
§9.2 牛顿-莱布尼茨公式 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件
若质点以速度v =v (t ) 作变速直线运动,()d ()().ba s v t t sb s a ==-⎰注意到路程函数s (t ) 是速度函数v (t ) 的原函数, ()d bas v t t=⎰定义,质点从时该a 到b 所经过的路程为另一方面, 质点从某时刻a 到时刻b 所经过的路于是程记为s (b )-s (a ), 因此把定积分与不定积分联系起来了, 面的牛顿—莱布尼茨公式.由定积分()(),s t v t '=则后退前进目录退出这就是下定理9.1（牛顿-莱布尼茨公式）函数f 在[a , b ] 上满足条件:(i) f 在[a , b ] 上连续,(ii) f 在[a , b ] 上有原函数F ,则(1) f 在[a , b ] 上可积;).()()(d )()2(a F b F x F x x f ba ba-==⎰证因 f 在[a , b ] 上一致连续, ,[,],||,x x a b x x δ''''''∈-<当时.|)()(|ε<''-'x f x f 任取1[,],1,2,,.i i i x x i n ξ-∈= 又F 在],[1i i x x -上满足拉格朗日中值定理条件,],,[1i i i x x -∈∃ηi i i i x F x F x F ∆η)()()(1'=--于是,0>∀ε则,0>∃δ,)(i i x f ∆η=1()Δ(()())ni i i f x F b F a ξ=--∑1()Δ(()())ni i i f x F b F a ξ=--∑,()d ()()().bba af x x F b F a F x =-=⎰因此()()i ni i i x f f ∆ηξ∑=-≤1∑=≤ni i x 1∆ε111()Δ(()())n ni i i i i i f x F x F x ξ-===--∑∑11()Δ()Δnni i i ii i f x f x ξη===-∑∑().a b -=ε注1 以后将证明, 若f 在[a , b ]上连续, 注2 条件(i)不是必要条件, 例2d .bna x x ⎰求解ba n bann x x x 1d 1+=+⎰上必有原函数F (x ). 因此条件(ii) 是多余的.函数f 在[a , b ] 上有间断点, 积.则f 在[a ,b ]以后将举例说明,存在但f 在[a , b ]上仍可).(1111++-+=n n a b n例3.1d 2102⎰-xx求解解用牛顿—莱布尼茨公式还可以求一些和式的极限..38=122d 1xx-⎰06-=π.6π=120arcsin x=例4224d x x-⎰求224d x x -⎰23221(4)3x =--例5111lim .12n n n n n →∞⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭L 求解111lim 12n n n n n →∞⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭易见是函数 11:01,n n T n n -<<<< 分割和介点分别为1[,],1,2,,.i i i ii n n n nξ-=∈= 1()[0,1].1f x x=+在上黎曼和的极限其中111lim 12n n n n n 因此→∞⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭ 10ln(1)ln 2.x =+=101d 1x x=+⎰例6.)1()21)(11(lim 1nn n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→ 求解令112ln (1)(1)(1)n n n a n n n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭ 11ln 1,n i i n n ==+∑10lim ln(1)d n n a x x→∞=+⎰则2ln2 1.=-=++-10[(1)ln(1)]x x x 因此112lim (1)(1)(1)nn n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭lim e n n a →∞=12ln 2e -=.e4=。
09数学分析教案_(华东师大版)第九章_定积分微积分学基本定理变限积分和原函数存在性
§5 微积分基本定理.定积分计算（续）教学要求：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学重点：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 引入当函数的可积性问题告一段落,并对定积分的性质有了足够的认识之后,接着要来解决一个以前多次提到过的问题—在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数.一. 变限积分与原函数的存在性设f(x)在[a,b]上可积，根据定积分的性质4，对任何x ∈[a,b]，f(x)在[a,x]上也可积，于是由()()xax f t dt Φ=⎰，x ∈[a,b]定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分，类似地又可定义变下限的定积分，()()bxx f t dt ψ=⎰，x ∈[a,b],统称为变限积分。
注意在变限积分中不可再把积分变量写成x ，以免与积分上下限的x 相混淆。
变限积分所定义的函数有着重要性质，由于()()bxxbf t dt f t dt =-⎰⎰，因此只讨论变上限积分的情形。
定理9.9 若f(x)在[a,b]上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰，x ∈[a,b]是连续函数。
证明 对[a,b]上任一确定的点x ，只要x+∆x ∈[a,b]，则()()()x xx x xaaxf t dt f t dt f t dt +∆+∆∆Φ=-=⎰⎰⎰，因f(x)在[a,b]上有界，可设|f(t)|≤M ，t ∈[a,b],于是当∆x>0时有|||()||()|x xx xxxM f t dt f t dt x +∆+∆∆Φ=∆⎰⎰≤≤,当∆x<0时有||||M x ∆Φ∆≤,由此得到lim 0x ∆→∆Φ=，即证得在点x 处连续。
由x 得任意性，Φ(x)在[a,b]上处处连续。
定理9.10原函数存在定理 若f(x)在[a,b]上连续，则Φ(x)在[a,b]上处处可导，且Φ'(x)=f(x),即()()(),[,]xad x f t dt f x x a b dx 'Φ==∈⎰ 证明 对[a,b]上任一确定的x ，当∆x ≠0且x+∆x ∈[a,b]时,根据积分第一中值定理得，1()(),01x xx f t dt f x x x xθθ+∆∆Φ==+∆∆∆⎰≤≤，由于f(x)在点x 处连续，故有00()lim lim ()()x x x f x x f x x θ∆→∆→∆Φ'Φ==+∆=∆，由于x 在[a,b]上的任意性，证得Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
9-4——华东师范大学数学分析课件PPT
0, [a,c]与[c,b]上分割T与T, 使得
T
ixi
2
,
T
ixi
2
.
令 T T T, 它是 [a, b] 的一个分割,
ixi ixi ixi .
T
T
T
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
因此, f 在 [a, b] 上可积.
(必要性) 已知 f 在[a,b]上可积， 则 0, T ,
b
f ( x)dx.
a
a
数学分析 第九章 定积分
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
性质2
若 f , g 在 [a, b] 上可积, 则 f g 在 [a, b] 上可积,
且
b
( f ( x) g( x))dx
b
f ( x)dx
b
g( x)dx.
a
a
a
证
记 J1
0,
存在分割T,使if xi T
; 又存在分
2M
割 T ，使
T
ig Δxi
2M
.
令T T T ( T 表示把 T 与 T 的所有分割点合
并而成的新分割 ), 则
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
fg i
sup
f ( x)g( x) f ( x)g( x)
n
f (i )Δ xi J
i 1
. k 1
从而
数学分析 第九章 定积分
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数学分析(华东师大版)上第九章9-4
以 [a,b]为底, f ( ) 为高的矩形面积.而
f ( ) 1
b
f (x)dx
ba a
可理解为 f ( x) 在 [a,b] 上所有函数值的平均值, 这
是有限个数的算术平均值的推广.
定理9.8 ( 推广的积分第一中值定理）
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n
f (i )Δ xi J1
i 1
,
2
n
g(i )Δ xi J2
i 1
.
2
从而
n
[ f (i ) g(i ) ]Δ xi (J1 J2 )
i 1
n
n
f (i )Δxi J1 g(i )Δxi J2
i 1
当 x ( x0 , x0 ) [a, b] 时,
g(x)
f
(x)
1[ 2
g( x0 )
f
( x0 )
].
由此推得
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b
a [ g( x) f ( x) ] d x
[ x0 g( x) f ( x) ]dx [ x0 g( x) f ( x) ]d x
i 1
.
22
因此，f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且
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b
b
b
a ( f ( x) g( x))dx a f ( x)dx a g( x)dx.
性质3 若 f , g 在 [a, b] 上可积，则 f g 在 [a, b] 上
也可积.
证 因 f , g 在 [a, b] 上可积，故在 [a,b] 上都有界,
1
b
华东师范大学 数学分析 第9章
第九章 定积分§1 定积分的概念（教材上册P204）1. 按定积分定义证明：()bakdx k b a =-⎰知识点窍 定积分的定义. 逻辑推理 按定积分定义证明.解 0ε∀>，对[,]a b 作任意分割T ，并在其上任意选取点集{i ε}，因为111(),[,],()()n n ni i i i i i i f x k x a b f x k x k x k b a ε===≡∈∆∆=∆=-∑∑∑任意取定0δ>，当T δ<时 所以k 在[,]a b 上可积，且()bakdx k b a =-⎰.2. 通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，求计算下列定积分. （1）130x dx ⎰ （2）1x e dx ⎰（3）bx ae dx ⎰（4）2(0)badxa b x<<⎰知识点窍 定积分的定义.逻辑推理 利用定积分的定义计算定积分，关键是()f x 在区间[,]a b 上是否可积，若可积，则由定积分的定义，()baf x dx ⎰的值就应与区间[,]a b 的分法及点i ξ的取法无关.解 （1）将[0,1]n 等分，分点为，k =0，1，…，n . 在区间1[,]k k n n -上取kn作为k ε 而13311lim()nn k kx dx n n →+∞==⋅∑⎰3411lim nn k kn→+∞==∑224111lim(1)44n n n n →+∞=⋅+=.（2）将[0,1]n 等分，分点为，k =0，1，…，n .在区间1[,]k k n n -上取kn作为k ξ，则 101111lim lim kk nn xnn n n k k e dx e e n n →+∞→+∞===⋅=∑∑⎰ 111(1)lim111[1()](1)1lim 1.111[1()]nn nn e e ne e n n e n n nοο→+∞→+∞-=⋅-++-==--++ （3）将[,]a b n 等分，分点为()ka b a n+-，k =0，1，…，n . 在区间1[(),()]k k a b a a b a n n -+-+-上取()ka b a n+-作为k ξ，则()1lim kna b a bxn a n k b a e dx e n +-→+∞=-=⋅∑⎰()1lim (1)lim 11[1()()](1)lim 11[1()()].k b a n a n n k b ab a na b a n nb a a n b a b a e e n b a e e e ne b a b a e b a n n e b a n b a n ne e οο-→+∞=---→+∞-→+∞-=⋅--=--+-+--=--+-+=-∑ （4）取i ξ后211110111111()()nni i i i ij i n x x x x x x a b -==--=-=-=-∑∑ 将[,]a b n 等分，分点为()ka b a n+-，k =0，1，…，n .在区间1[]k k x x -k ξ则212111lim ()nbk k an k dx x x x a b-→∞==-=-∑⎰. §2 牛顿—莱布尼茨公式（教材上册P206）1. 计算下列定积分.（1）10(23)x dx +⎰ （2）212011x dx x -+⎰ （3）2ln e edxx x⎰（4）102x xe e dx --⎰ （5）23tan xdx π⎰（6）94dx ⎰ （7）4⎰ （8）211(ln )e e x dx x⎰知识点窍 牛顿—莱布尼茨公式. 解（1）1012(23)34x dx xx+=+=⎰.（2）110211220012(1)2arctan 1112x dx dx x x x x π-=-=-=-++⎰⎰.（3）2221(ln )ln ln ln 2ln ln e ee e e e dx d x x x x x===⎰⎰.（4）10110111()12222x x x x e e dx e e e e ----=+=+-⎰. （5）22233322000sin 1cos tan cos cos x x xdx dx dx x xπππ-==⎰⎰⎰30(tan )3x x ππ=-=.（6）9439242144(2)323dx x x =+=⎰. （7）4441)]42ln3==-=-⎰⎰.（8）122311112(ln )(ln )(ln )(ln )33e eee eex dx x d x x x ===⎰⎰. 2. 利用定积分求极限. （1）3341lim(12)n n n→∞+++（2）222111lim (1)(2)()n n n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+++⎣⎦（3）2222111lim ()122n n n n n →∞+++++（4）121lim (sin sin sin )n n n n n nπππ→∞-+++知识点窍 定积分求极限.逻辑推理 由定积分的定义知，若()f x 在[,]a b 上可积，则可对[,]a b 用某种特定的分法，并取特殊的点，所得积分和的极限就是()f x 在[,]a b 上的定积分.因此，本题可将和式化为某个可积函数的积分和，然后用定积分求此极限. 解（1）记3()f x x =，则()f x 在[0,1]上连续且可积，取 12{0,,,}n T n nn =,,1,2,,i i i ix i n nε==∈∆=则313111lim ()lim nn i i T n i i i x dx f x n nξ→→∞===∆=∑∑⎰33341lim (123)n n n →∞=++++101144==.（2）记21()(1)f x x =+，[0,1]x ∈，则f 在[0,1]上连续，所以可积，取 12{0,,,,}n T n nn =,,1,2,,i i i ix i n nε==∈∆=.则120021111lim ()lim (1)(1)nn i i T n i i ex f x i x n nξ→→∞===∆=++∑∑⎰ 222111lim [](1)(2)()n n n n n n →∞=++++++10111()(1)122x =-=---=+.（3）记21()1f x x=+，[0,1]x ∈，则f 在[0,1]上连续，所以可积.取 12{0,,,,}n T n n n =，,1,2,,i i i ix i n nε==∈∆=.则120021111lim ()lim 11()n n i i T n i i dx f x i x n nξ→→∞===∆=++∑∑⎰2222111lim ()12nn n n n n n →∞=++++++10arctan 4π==.（4）记()sin f x x =，[0,]x π∈，则f 在[0,]π上连续，所以可积，取2(1){0,,,,,}n T n nn ππππ-=，1(1)i i i i xx nξ--==∈∆，1,2,,.i n =则11(1)sin lim ()limsinni i T n i i n xdx f x nnπππξ→→∞==-=∆=∑∑⎰12(1)lim(sin sin sin)n n n n nnππππ→∞-=+++ 0cos 2.x π=-=12()2lim (sin sin sin).n n n n n nn ππππ→∞-⇒+++= §3 可积条件（教材上册P212）1. 证明：若T '是T 增加若干个分点后所得的分割，则 iiiiT Tw x w x '''∆≤∆∑∑解 设T 的分点为:121,,,n x x x -,且012n a x x x x b =<<<<=设T '比T 只多一个分点x '，且1.k k x x x -'<<设()f x 在1[,],[,]k k x x x x -''和1[,]k k x x -的振幅分别为,kk w w '''与k w ,因为函数在子区间上的振幅总大于其在大区间上的振幅，即有,kk k w w w w '''≤≤ 11()()()()kk k k k k k k w x x w x x w x x w x x --'''''''-+-≤-+- 1()k k k w x x -=-除第k 个区间外，()f x 在这些区间上T 和T '的振幅相等.于是iiiiT Tw x w x '''∆≤∆∑∑若T '比T 多若干个分点，则在T 基础上逐次增加一个的办法，则上述结论也成立. 2. 证明：若f 在[,]a b 上可积，[,][,]a b αβ<，则f 在[,]αβ上也可积.知识点窍 可积准则.解 f 在[,]a b 上可积0ε⇔∀>，总存在相应的某一分割T ，使得i iTw xε∆<∑设T 的分点为012n a x x x x b =<<<<=若1[,](,)t t x x αβ-⊂则取T '0:n x x αβ=<=()()iiitT w x w w βαβαε''''∆=-≤-<∑f 在[,]αβ上可积若11t t s s x x x x αβ--≤<≤<≤ 则取0111:t t s T x x x x x αβ+-''''''=<<<<<<1iikkiiT k t Tw x w x w xε''=-''''∆≤∆<∆<∑∑∑f 在[,]αβ上可积，综上得f 在[,]αβ上可积.3. 设f ,g 均为定义在[,]a b 上的有界函数.证明：若仅在[,]a b 中有限个点处()()f x g x ≠，则当f 在[,]a b 上可积时，g 在[,]a b 上也可积，且()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰知识点窍 可积准则.解 不妨设f 和g 仅在一点0[,]x a b ∈处, ()()f x g x ≠.在给分法T ，()k w f 和()k w g 分别为f 和g 在第k 个区间的振幅，()w f 和()w g 为f 和g 在[,]a b 上振幅，则由f ,g 有界M ⇒∃ ()()k w f w f M ≤< ()()w g w g M ≤<0x 最多属于两个相邻小区间1[,]t t x x -和1[,]t t x x +则111()[()()]()n n nkikkikik k k w g x w g w f x w f x===∆=-∆+∆∑∑∑111[()()][()()]t t t t t t w g w f x w g w f x +++=-∆+-∆+1()nkik w f x=∆∑其中111|[()()][()()]|2(t t t t t t t w g w f x w g w f x M x +++-∆+-∆≤∆+1)0(0)t x T +∆→→1()0(0)nkik w f xT =∆→→∑∴1()0(0)nkik w g xT =∆→→∑∴ g 在[,]a b 上也可积任给[,]a b 分法T '，取特殊0,0,1,,.k x k n ξ≠=则11()()nn kkk k k k f x g x ξξ'==''∆=∆∑∑ 011lim ()lim ()n n k kk k T T k k f x g x ξξ'→→==''∆=∆∑∑ ∴()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰4. 设f 在[,]a b 上有界，{}[,]n a a b <，lim n n a c →∞=，证明：若f 在[,]a b 上只有(1,2,)n a n =为其间断点，则f 在[,]a b 上可积.知识点窍 可积准则.逻辑推理 设lim n n a c a →∞==，取合适的0δ>，使0ωδ>，再利用()f x在[,]a b δ+上可积，存在[,]a b δ+上的分割T '使2i i Tx εω∆<∑，最后将[,]a a δ+与T '合并，得[,]a b 上的分割T ，有i iTxωε∆<∑，即得证f 在[,]a b 上可积.解 不妨设lim n n a c a →∞==,()f x 在[,]a b 上的振幅为ω.0ε∀>，取02εδω<<， 因lim n n a a →∞=，所以存在N ，使当n N >时，[,]n a a a δ∈+，从而()f x在[,]a b δ+上至多只有有限个间断点，由定理9.5知()f x 在[,]a b δ+上可积，再有可积准则知，存在[,]a b δ+上的分割T '，使2i i T x εω'∆<∑.把[,]a a δ+与T '合并，就构成[,]a b 的一个分割T ，设0ω为()f x 在[,]a a δ+上的振幅，则**0.22i ii i i i TT T xx x εεωωδωωδωε∆=+∆≤+∆<+=∑∑∑故由可积准则知,()f x 在[,]a b 上可积. 5. 证明：若f 在区间∆上有界，则知识点窍 确界的定义.逻辑推理 对两个上确界和一个下确界，不便同时处理，可选定两个看作常数，而对第三个用确界定义证明.解 记sup ().inf ()x x A f x B f x ∈∆∈∆==（1） 如果()A B f x A =⇒≡,x ∈∆.上述等式两边为零，成立. （2） 如A B >，则对10()2A B ε∀<<-，及x '∀，x ''∈∆，有 ()()f x f x A B '''-≤-,()()f x f x A B '''-≤-|()()|f x f x A B '''⇒-≤-同时x '∃,x ''∈∆,使()2f x A ε'>-,()2f x B ε''<+|()()|()()().22f x f x A B A B εεε'''⇒->--+=--,sup |()()|sup ()inf ().x x x x f x f x A B f x f x ∈∆'''∈∆∈∆'''⇒-=-=-§4 定积分的性质（教材上册P219）1. 证明：若f 与g 都在[,]a b 上可积，则 01lim()()()()nbi i i aT i f g x f x g x dx ξη→=∆=∑⎰其中i ξ,i η是T 所属小区间i ∆中的任意两点, 1,2,,.i n =知识点窍 定积分的性质. 逻辑推理 设01()()lim ()()nbi i i aT i I f x g x dx f g x εε→===∆∑⎰，则只需证0,0εδ∀>∃>,当T δ→时11||()()|[()()()()]|n ni i i i i i i i i i f g x I f g f g x εηεηεε==∆-≤-∆+∑∑1|()()|niiii f g x I εηε=∆-<∑ 即可.解 f 在[,]a b 上可积，则f 有界，即0M ∃>,有||f M <设1()()()()nbi i i ai I f x g x dx f g x ξη===∆∑⎰11()()()[()()]nniiiiiiii i f g x f g g x ξξξηξ===∆+-∆∑∑f ,g 在[,]a b 上可积()()f x g x ⇒在[,]a b 上可积.1lim()()()()nbi i i aT i f g x f x g x dx ξξ→=∆=∑⎰以k w 表示()g x 在1[,]k k x x -上振幅. 因为g 可积，所以01lim0ni iT i w x→=∆=∑11|()[()()]|0(0)nniiiiii i f g g M w xT ξηξ==-≤∆→→∑∑11lim()()lim ()()()()nnbi i i i i i aT T i i f g x f g x f x g x dx ξηξξ→→==∴∆=∆=∑∑⎰2. 不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小. （1）1xdx ⎰与12x dx ⎰ （2）20xdx π⎰与20sin xdx π⎰知识点窍 积分不等式性. 逻辑推理 根据积分不等式，要比较两个积分区间相同的积分的大小，只要比较在该积分区间上两个被积函数的大小.解 （1）在[0,1]上2x x ≥, 112200xdx x dx ∴≥⎰⎰(2)在[0,]2π上, sin x x ≥, 220sin xdx xdx ππ∴≥⎰⎰3. 证明下列不等式（1）202ππ<<⎰（2）2101x e dx e <<⎰ （3）10sin 12x dx x π<<⎰ （4）46e e <<⎰ 解 （1）原式化为22200011dx πππ<<⎰⎰⎰(0,)2x π∈时, 1>>11∴<<22ππ∴<<⎰ (2) 原式可化为211110x e dx edx e dx <<⎰⎰⎰(0,1)x ∈时, 201x << 2111010x e dx e dx e dx ∴<<⎰⎰⎰211x e dx e ∴<<⎰（3）(0,1]x ∈时, sin x x ≤,sin 1xx≤ 10sin 1xdx x∴≤⎰,原题有误. 此题应改为在(0,)2x π∈上.在此区间上2sin 1xxπ<<，所以有 222002sin 12x dx dx dx x πππππ=<<=⎰⎰⎰（4<44ee ee=<⎰⎰44442ln 2eeee eeeex==-⎰⎰⎰4426e e eex =-=-<46ee∴<<⎰4. 设f 在[,]a b 上连续，且()f x 不恒等于零，证明2(())0baf x dx >⎰知识点窍 函数连续的性质，定积分基础性质中的性质4. 逻辑推理 只要证明2()f x 在[,]a b 上连续即可解 因为f 在[,]a b 是连续2f ⇒在[,]a b 上连续，且2(())0f x ≥, [,]x a b ∈.又因为()f x 不恒等于零，即0[,]x a b ∃∈，使20()0()0f x f x ≠⇒>.可得2(())0baf x dx >⎰5. 设f 与g 都在[,]a b 上可积，证明[,]()max{(),()}x a b M x f x g x ∈=,[,]()min{(),()}x a b m x f x g x ∈=在[,]a b 上也都可积.知识点窍 定积分基本性质中的性质6，性质2. 逻辑推理 借助||min{,}2A B A B A B +--=，||max{,}2A B A B A B ++-=，然后利用定积分性质即可得证.解 [,]1()max{(),()}(||)2x a b M x f x g x f g f g ∈==++-2[,]1()min{(),()}(||)2x a b m x f x g x f g f g ∈==+--由f ,g 在[,]a b 上可积||f g ⇒-在[,]a b 上可积()M x ⇒, ()m x 在[,]a b 上也都可积.6. 试求心形线(1cos )r a θ=+, 02θπ≤≤上各点,极径的平均值. 知识点窍 积分中值定理的几何意义.解 极径的平均值为202011(1cos )(sin )22a d a a ππθθθθππ+=⋅+=⎰.§5 微积分基本定理定积分计算（续）（教材上册P229）1. 设f 为连续函数，u ，v 均为可导函数，且可实行复合f u 与f v ，证明：()()()(())()(())()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx''=-⎰ 知识点窍 原函数存在定理，符合函数求导法则. 逻辑推理 0()()yG y f t dt ∆⎰，由原函数存在定理,()G y 可导，且()()G y f y '=解 由复合函数求导法则()(()){[()]}v x f t dt G v x '=⎰[()]()[()]()G v x v x f v x v x '''==()()()()00()()()v x v x u x u x d d d f t dt f t dt f t dt dx dx dx ∴=-⎰⎰⎰ (())()(())()f v x v x f u x u x ''=- 2. 设f 在[,]a b 上连续, ()()()xaF x f t x t dt =-⎰.证明()()F x f x ''=,[,]x a b ∈.知识点窍 分部积分法. 逻辑推理 积分()()xaf t x t dt -⎰是以t 为积分变量的定积分，在积分过程中x 是常量。
牛顿--莱布尼茨公式
牛顿—莱布尼茨公式教案设计学院：数学与统计学院班级：2010级数学（2）班姓名：***牛顿—莱布尼茨公式教案设计一、【教材分析】1.教材来源：华东师大版数学分析上册（第三版）第九章.2.教材的地位与作用：牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分计算提供一个有效地方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系起来.二、【教学目标】1.知识与技能；熟练掌握与应用牛顿—莱布尼茨公式，培养学生观察、分析、抽象、概括的能力，体会知识间的联系，进一步渗透类比、转化的思维方法，激发学习兴趣.2.过程与方法：根据大学生的心理素质，利用启发式教学，始终从问题出发，层层设疑，引导学生在不断思考中获取知识.3.情感、态度与价值观：提高观察、分析、抽象、概括的能力的同时，提高数形结合的思想意识.三、【教学重点】熟练掌握与应用牛顿—莱布尼茨公式.四、【教学难点】1.利用牛顿—莱布尼茨公式求一些定积分的极限.2.利用牛顿—莱布尼茨公式解决实际问题.五、【教学过程】针对数学专业大学生的知识结构和心理特征，本节课选择师生互动探索的方法进行教学。
教学过程的流程入下：（一）复习旧知识，引入课题复习—— 1.定积分的概念；2.定积分的几何意义；3.原函数的概念；4.导数的定义；5.积分中值定理（性质7）；6.不定积分的换元积分法；7.函数的定积分与什么量有关？与什么量无关?引入——利用定积分的定义计算定积分的值是十分繁琐且易出错的，有时甚至无法计算。
下面将通过对定积分与原函数关系的讨论，导出一种计算定积分的简便有效的方法.（二）创设情境，得到猜想示例：变速直线运动中位置函数与速度(速率)函数的联系.设物体作直线运动，已知已知速度v=v(t)是时间间隔[T 1,T 2]上t 的一个连续函数且v(t )≧0,求物体在这段时间内所经过的路程.分析示例：变速直线运动路程： , 另一方面路程可以表示为：其中， 下面我们将时间段[T 1 ,T 2]任意做一个分割，得到：如果我们考虑 黎曼和 其中 我们可以发现 和 之间能十分接近. 因此，速度v=v(t)是时间间隔[T 1,T 2]上t 的一个连续函数，且v(t )≧0, ，()s t 是()v t 的原函数，则物体在这段时间内经过的路程 是：如果剔除问题的物理意义，将有一下猜想：⎰21)(T T dtt v )()(12T s T s -).()()(1221T s T s dt t v T T -=∴⎰).()(t v t s='其中{}121,,,,[,]n i i i T t t ∆∆∆∆-==[][]2111111()()()()()(),,ni i i nni i i i i i i i i i s T s T s t s t s t v t t t η∆η∆η∆-=-==∴-=-'==∈=∑∑∑1()ni i i v t η∆=∑1()ni i i v t ξ∆=∑21()T T v t dt ⎰[]1,i i i i t t ξ∆-∈=1()ni i i v t ξ∆=∑()()s t v t '=2121()()()T T v t dt s T s T =-⎰命题 若函数f 在区间[a,b]上连续，且存在原函数F ，即F'(x)= f(x) , x ∈[a,b ] ,则f 在[a,b]上可积，且)()()(a F b F dx x f ba-=⎰（三）验证猜想，得到定理证明：有定积分的定义，任给0>∀ε,只需证0>∃δ，当||T||<0时，有εξ<--∆∑=ni x ia Fb F f i1)]()([)(.事实上，对于[a,b]的任意分割T={a=x 1,x 2,...,x n =b},在每个小区间[x i-1,x i ]上对F(x)使用拉格朗日中值定理，则分别存在使得,,...,2,1),,(1n i x x i i i =∈-ηini i i ni i i ni i x f x F x F x F a b F ∆=∆=-=-∑∑∑==-=)()()]()([)(F )(11'11ηη、当对上述上连续，从而一致连续在因为',0,0.b][a,x f >∃>∀δε有时且,||],['''''δ<-∈x x b a xa b x f x f -|)(-)(|'''ε<.证得：则有时，任取.||],,[1δξηξδ<-∈<<∆-i i i i i i x x T xεεηξηξξ∑∑∑∑=====∆≤∆≤∆=-∆ni i ii i ni i i i i i ni x ab x f f x f f a F b F x f 11n1i 1.-|)(-)(||)](-)([||)]()([-)(|所以，f 在[a ,b ]上可积，则命题成立，成为定理.定理 9.1 若函数f 在区间[a,b]上连续，且存在原函数F ，即F'(x)= f(x) ,x ∈[a,b ] ,则f 在[a,b]上可积，且)()()(a F b F dx x f ba-=⎰这成为牛顿-莱布尼茨公式，可以写成.|)()(b a b a x F dx x f f =（四）反馈练习，巩固新知例1.求注：因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来为某些特殊的极限.例2.计算曲线y=sinx 在],0[π上与x 轴所围成的平面图形的面积.例3.用定积分求极限)21...2111(lim nn n n +++++∞→ 分析：解题要领主要是利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式.（五）总结反思，提炼精华1.学生反思：本节课的学习有何收获？积极参与课堂活动了吗？2.教师反思：课堂气氛？充分调动学生学习的兴趣了吗？ （六）、安排作业，课堂延伸作业：习题第一题中的（2）、（4）、（6）、（8）；第二题中的（2）、（3）..)1sin cos 2(20⎰π-+dx x x。
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第九章定积分教学要求：1知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；2.深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；3.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；4.理解并熟练地应用定积分的性质；5.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学重点：1.深刻理解并掌握定积分的思想，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；2.掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；3.理解并熟练地应用定积分的性质；4.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学时数：14学时§ 1 定积分概念（2学时）教学要求：知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；教学重点：深刻理解并掌握定积分的思想.一、问题背景：1. 曲边梯形的面积:2. 变力所作的功:二、不积分的定义:三、举例:已知函数在区间上可积 .用定义求积分例1.等分区间作为分法, . 取解取.=.上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 .由函数在区间例2已知函数在区间上可积 ,用定义求积分.解分法与介点集选法如例1 , 有.上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分.讨论Dirichlet函数在区间上的可积性 .例3四、小结：指出本讲要点§ 2 Newton — Leibniz公式（2学时）教学要求：深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.教学重点：能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.Th9.1 （N — L公式）( 证 )例1求ⅰ> ; ⅱ> ;例2 求.§3可积条件（4学时）教学要求：理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题.教学重点：掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；一、必要条件:在区间上有界.Th 9.2 ，二、充要条件:1.思路与方案:思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的及介点无关的条件 .双逼原理考查积分和有极限, 且与分法和下和. 研究它们的性质和当时有方案: 定义上和相同极限的充要条件 .在区间上有界. 并设2. Darboux和: 以下总设函数,其中确界 .定义Darboux和, 指出Darboux和未必是积分和 . 但Darboux和由分法、和记相应于分法的上（大）和、下（小）唯一确定.分别用和与积分和.积分和是数集(多值) . 但总有, 因此有. 和的几何意义 .3. Darboux和的性质: 本段研究Darboux和的性质, 目的是建立Darboux 定理.是的加细 .先用分点集定义分法和精细分法: 表示, 则, . 即 : 分法加细, 大性质1 若和不增,小和不减 . ( 证 )性质2 对任何, 有, . 即 : 大和有下界,小和有上界. ( 证 )和 , 总有. 即: 小和不会超过大和 .性质3 对任何证.性质4 设是 添加个新分点的加细. 则有+,.证 设是只在 中第 个区间内加上一个新分点 所成的分法, 分别设, , .显然有 和 . 于是.添加个新分点可视为依次添加一个分点进行次. 即证得第二式.可类证第一式. 系 设分法有个分点，则对任何分法 ，有， .证 ..4. 上积分和下积分: 设函数在区间 上有界. 由以上性质2 ，有上界 ，有下界 . 因此它们分别有上确界和下确界.定义 记,. 分别称和为函数在区间上的上积分和下积分.对区间上的有界函数, 和存在且有限 , .并且对任何分法, 有. 上、下积分的几何意义.例1 求和. 其中是Dirichlet 函数 .5. Darboux 定理 :Th 1 设函数在区间上有界, 是区间的分法 .则有=,=.证 ( 只证第一式 . 要证 : 对使当时有.是显然的. 因此只证 . ),对, 使<设有个分点, 对任何分法 , 由性质4的系, 有,由*式, 得<即<亦即<.于是取, ( 可设, 否则为常值函数, =成立. ) 对任何分法, 只要, 就有对任何分法.此即=.6. 可积的充要条件:在区间上有界.Th 2 （充要条件1 ）设函数= .证设=, 则有=. 即对时有使当| | < 对, 使, 于是,在每个上取| | = < .因此, 时有| | | | + | | < + = .=. 由Darboux定理 , = .此即同理可证= . = ., 有, 而对任何分法== = .和的共值为, 由双逼原理=.令Th 9.3 有界.对.证( ) = 0. 即对时,., 由,–, = .定义称为函数易见有0 . 可证=对.Th 3’的几何意义及应用Th 3’的一般方法: 为应用Th 3’, 通常用下法构造分法:在区间上含某些点的小区间上作不到任意小时, 可试当函数用时, 倘能用总长小于, 否则盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法的一部分分点，在区间<, 对如此构造的分法的其余部分作分割，使在每个小区间上有, 有 <.在区间上有界.Th 4 ( (R)可积函数的特征 ) 设对和, 使对任何分法, 只要, 对应于的那些小区间的长度之和.证, 只要, 就有使对任何分法.的区间总长小于此时有对==三．可积函数类：1．闭区间上的连续函数必可积：Th 5 （证）2．闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积 .Th 6 （证）推论1 闭区间上按段连续函数必可积 .在区间上有界且其间断点仅有有限个聚点, 则推论2 设函数函数在区间上可积.例2 判断题 : 闭区间上仅有一个间断点的函数必可积 . ( )闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积 . ( ) 3. 闭区间上的单调函数必可积：Th 7 （证）例3证明在上可积.§ 4 定积分的性质（2学时）教学要求：理解并熟练地应用定积分的性质；教学重点：理解并熟练地应用定积分的性质；一.定积分的性质:1.线性性质:. （证）Th 1 —Const , 且Th 2 , , 且.（证）综上 , 定积分是线性运算 .2. 乘积可积性:.Th 3 ,证和或恒为零 ). 插项估计, 有.( 否则.……但一般.3. 关于区间可加性:在区间和上可积，,并有Th 4 有界函数. ( 证明并解释几何意义 )规定, .系设函数在区间上可积 . 则对, 有. （证）4. 积分关于函数的单调性:, 且, .（证）(反Th 5设函数之确否?). 其中和分别为函积分的基本估计:数5. 绝对可积性:(注意.)Th 6设函数,,且证以证明; 以证明不等式.该定理之逆不真. 以例做说明.6. 积分第一中值定理:Th 7 ( 积分第一中值定理 ), 使. （证）==. （证）, 使.二. 举例:. 试证明:例1设.其中和是内的任二点, {}, .例2 比较积分与的大小.例3 设但. 证明>0.例4 证明不等式.证明分析所证不等式为只要证明在上成立不等式, 且等号不恒成立, 则由性质4和上例得所证不等式.例5 证明.§5 微积分基本定理.定积分计算（续）（2学时）教学要求：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学重点：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.一. 变限积分与原函数的存在性引入：由定积分计算引出 .1.变限积分: 定义上限函数，（以及函数）. 指出这是一种新的函数, 也叫做面积函数.其中函数思路：表达面积函数.2.微积分学基本定理：则面Th 10 微积分学基本定理（原函数存在定理）若函数在上可导，且=.积函数时, 面积函数可导且在点的导即当数恰为被积函数在上限的值. 亦即是系连续函数必有原函数.3.积分第二中值定理在上可积，Th11 （积分第二中值定理）设函数（i）若函数上增，且，则存在，使得（ii）若函数在推论函数在上可积，若为单调函数，则存在，使得二．换元积分法与分部积分法：1.换元积分法Th 12 设函数满足条件：ⅰ>, 且;ⅱ>在上有连续的导函数.则. （证）例1. ( P225 )例2. ( P225 )例3 计算. ( P225—226 ) 该例为技巧积分. 例4 . 该例亦为技巧积分.例5 已知 , 求例6 设函数连续且有求积分是区间上连续的奇（或偶函数）函数，则例7设，（. ）例8 ..2. 分部积分法Th13 ( 分部积分公式 )例9例10计算.解=；解得直接求得，. 于是,当为偶数时, 有;当为奇数时, 有.三. Taylor公式的积分型余项: P227—229.习题课（2学时）一．积分不等式：1．利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式：例1 证明不等式.证注意在区间 [ 0 , 1 ]上有 , ……例2证明不等式.证考虑函数, . 易见对任何, 在区间上和均单调, 因此可积,且有, 注意到, 就有. 而,.因此有.取, .在区间仿以上讨论, 有. 而，.综上 , 有不等式.2.某些不等式的积分推广:原理: 设函数和在区间上可积. 为区间的等分分法, . 若对任何和, 均有, 即得.令, 注意到函数和在区间上可积, 即得积分不等式.和连续 , 还可由倘若函数.例3证明Schwarz 不等式 ( 亦称为Cauchy–Буняковский在区间上连续 ( 其实只要可积就可 ).不等式 ): 设函数和则有不等式.证法一( 由Cauchy 不等式Schwarz不等式 . Cauchy 不等式参和为两组实数, 则有阅上册 : 设. )为区间的等分分法. 由Cauchy 不等式 , 有设,两端同乘以, 有,, 注意到函数、和在区间上的可令积性以及函数的连续性，就有积分不等式.证法二（用判别式法）对任何实数，有，, 即对任何实数成立.即上述关于的二次不等式的解集为全体实数, 于是就有,即.且. 证明不等式例4.. 对函数和应用Schwarz证取不等式, 即得所证 .在区间 [ 0 , 1 ]上可积 . 试证明有不等式例5 设函数.证先用Jensen不等式法证明不等式 : 对, 有不等式.为区间的等分分法. 由上述不等式 , 有设., 注意到函数和在区间 [ 0 , 1 ]上的可积性以令的连续性，就有积分不等式.及函数和仿该例, 可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等式的积分形式 .二. 面积函数的导数 :例6 求和例7 求和例8 求 .=)例9 设时函数连续且.求.(连续且. 求和.例10 设函数. 两端求导, = .例11 设.=.试证明 :=.证 =,=.例12 设函数在区间上连续且>0. .试证明: 函数在区间内严格递增.证 = , 而.>0 , 在内，又 连续 ，，在区间 内>0 . 因此 在区间内严格递增.三. 含有变限积分的未定型极限:例13 求极限 . ( 2 )四. 定积分的计算 :例 14 计算积分.例15计算积分=.解时, =;时, =;.时, =因此,例16利用积分的值 , 计算积分.解.,而 ,.因此，例17 , 求 ( 2)是区间上连续的偶函数 . 试证明 :例18 设是上的奇函数 .证法一.证法二注意到, 有=.=五. 利用定积分求和式极限 :原理: 用定积分定义，在函数可积时，能用特殊的分割及介点取法，计算定积分.例19 求极限. [3] P163 E13 . 与§1例2连系.例20 求极限.解==.由函数在区间 [ 0 , 1 ]上可积 , 有=..例21 求极限.解==.,.因此, .例22 试证明: 对任何,有不等式< .证=是函数=在区间[ 0 ,1 ]上相应于等分分法的小和. 由函数=在区间[ 0 , 1 ]上可积, 有时, ↗. 又易见↗↗.对任何, 有< , 即< .。