第二节 一元线性回归分析
第二节一元线性回归分析
本节主要内容：
回归是分析变量之间关系类型的方法，按照变量之间的关系，回归分析分为：线性回归分析和非线性回归分析。
本节研究的是线性回归，即如何通过统计模型反映两个变量之间的线性依存关系。
回归分析的主要内容：
1.从样本数据出发，确定变量之间的数学关系式；
2.估计回归模型参数；
3.对确定的关系式进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出
影响显著的变量。
一、一元线性回归模型：
一元线性模型是指两个变量x、y之间的直线因果关系。
理论回归模型：
理论回归模型中的参数是未知的，但是在观察中我们通常用样本观察值估计参数值，通常用分别表示的估计值，即称回归估计模型：
回归估计模型：
二、模型参数估计：
用最小二乘法估计：
【例3】实测某地四周岁至十一岁女孩的七个年龄组的平均身高（单位：厘米）如下表所示
某地女孩身高的实测数据
建立身高与年龄的线性回归方程。
根据上面公式求出b0=80.84,b1=4.68.
三．回归系数的含义
（2）回归方程中的两个回归系数，其中b0为回归直线的启动值，在相关图上变现为x=0时，纵轴上的一个点，称为y截距；b1是回归直线的斜率，它是自变量（x）每变动一个单位量时，因变量（y）的平均变化量。
（3）回归系数b1的取值有正负号。
如果b1为正值，则表示两个变量为正相关关系，如果b1为负值，则表示两个变量为负相关关系。
[例题·判断题]回归系数b的符号与相关系数r的符号，可以相同也可以不同。
（）
答案：错误
解析：回归系数b的符号与相关系数r的符号是相同的
[例题·判断题]在回归直线y c=a+bx,b<0,则x与y之间的相关系数（）
a.r=0
b.r=1
c.0<r<1
d.-1<r<0
答案：d
解析：b<0,则x与y之间的相关系数为负即-1<r<0
[例题·单选题]回归系数和相关系数的符号是一致的，其符号均可用来判断现象（）
a.线性相关还是非线性相关
b.正相关还是负相关
c.完全相关还是不完全相关
d.单相关还是复相关
答案：b
解析：回归系数和相关系数的符号是一致的，其符号均可用来判断现象正相关还是负相关
四．回归方程的评价与检验：
当我们得到一个实际问题的经验回归方程后，还不能马上就进行分析与预测等应用，在应用之前还需要运用统计方法对回归方程进行评价与检验。
进行评价与检验主要是基于以下理由：第一，在利用样本数据估计回归模型时，首先是假设变量y与x之间存在着线性关系，但这种假设是否存在需要进行检验；第二，估计的回归方程是否真正描述了变量y与x之间的统计规律性，y 的变化是否通过模型中的解释变量去解释需要进行检验等。
一般进行检验的内容有：
1.经济意义的检验：
利用相关的经济学原理及我们所积累的丰富的经验，对所估计的回归方程的回归系数进行分析与判断，看其能否得到合理的解释。
2.回归方程的统计检验：
包括回归方程的显著性检验（f检验）和对回归系数的检验（t检验）。
（1）线性回归方程的显著性检验——f检验
线性回归方程的显著性检验即方差分析检验法，它是对所有参数感兴趣的一种显著性检验。
其检验步骤为：
第一步：提出假设。
原假设
备择假设
第二步：构造f统计量
在h
成立的条件下，有：
第二自由度为n-2，其中n为样本容量。
（2）回归系数的显著性检验——t检验
回归系数的显著性检验是检验解释变量x对因变量y 的影响是否显著。
首先：提出假设。
原假设
备择假设
如果h0成立，则因变量y对解释变量x之间并没有真正的线性关系，即x的变化对y并没有显著的线性影响。
其次：计算检验统计量t，并得出对应的概率值（伴随概率）。
检验统计量：（为回归系数的标准差）
最后：根据伴随概率进行判断：如果伴随概率（sig.值）小于我们事先确定的显著性水平时，拒绝原假设，接受备择假设，即解释变量x对y的线性效果显著。
否则，不能拒绝原假设，认为x对y的线性效果不显著。
一元线性回归分析时，由于只有一个解释变量，因此t检验与f检验的结果是一致的。
3.回归方程的评价——拟合程度分析：
拟合程度是指估计的回归方程是否很接近因变量，即估计的精确度。
而估计的精确度如何取决于回归方程对观测数据的拟合程度。
最常用的指标就是——判定系数。
1.判定系数
判定系数是用来说明回归方程对观测数据拟合程度的一个度量值，以一元线性回归方程为例，若各观测值数据（x i,y i）在坐标系上形成的散点都落在一条直线上，那么这条直线就是对数据的完全拟合，直线充分代表了各个点，此时，用x估计y是没有误差的。
各观测点越是紧密围绕直线，说明直线对观测数据的拟合程度越好，判定系数越高，反之则越差，判定系数越小。
总变差平方和=回归平方和+残差平方和
判定系数的取值范围在【0，1】，=1时，拟合是完全的，即所有观测值都在直线上。
若x与y无关，x完全无助于解释y的变差，此时，则=0.可见，越接近于1，表明回归平方和占总变差平方和的比重越大，回归直线与各观测点越接近，回归直线的拟合程度就越好。
反之，越接近0，回归直线的拟合程度越差。
2.估计标准误差
估计标准误差是残差平方和的均方根，用表示。
其计算公式为：
从实际意义看，反映了用估计的回归方程预测因变量y时预测误差的大小，越小，说明根据回归方程进行预测也就越准确；若各观测点全部落在直线上，则=0，此时用自变量来预测因变量是没有误差的。
可见也从另一个角度说明了回归直线的拟合程度。
[例题·单选题]评价回归直线方程拟合优度如何的指标有（）
a.回归系数b
b.直线截距a
c.判定系数r2
d.相关系数r
答案：c
[例题·单选题]关于估计标准误差，下列说法正确的是( )
a.估计标准误差数值越大，说明回归直线的代表性越大
b. 估计标准误差数值越大，说明回归直线的代表性越小
c. 估计标准误差数值越大，说明回归直线的实用价值越大
d. 估计标准误差数值越大，说明回归直线的实用价值越小
答案：b
解析：估计标准误差是残差平方和的均方根，用表示。
其计算公式为。
从实际意义看，反映了用估计的回归方程预测因变量y时预测误差的大小，越小，说明根据回归方程进行预测也就越准确
[例题·单选题]估计标准误差的作用是表明（）
a.回归方程的代表性
b.样本的变异程度
c.估计值与实际值的平均误差
d.样本指标的代表性
e.总体的变异程度
答案：ac。
2、一元线性回归 PPT课件
假设零均值同方差 E( )=0
无序列相关性
i
假设零均值同方差 无序列相关性
Var( i)= 2
E(Yi )= 0 1 X i
Var(Yi /X i )= 2
假设零均值同方差 Cov( i , j)=0 Cov(Yi , Y j)=0
无序列相关性
二、普通最小二乘法
给定一元线性回归模型
回归函数（方程）
E（Y
X
）＝
i
0 1X i
估计
回归模型
估计
Yi 0 1 X i i
样本（实际） Yˆi ˆ0 ˆ1Xi Yi ˆ0 ˆ1Xi ei
2.2 一元线性回归模型的参数估计
一元线性回归模型是最简单的线性回归模型，在模型中只有 一个自变量，其参数估计方法普通最小二乘法也是最普 遍使用的。
n
X
2 i
(
X i )( Yi ) Xi )2
将ˆ1代入正规方程组，令 X
ˆ0 Y ˆ1 X
Xi n
，Y
Yi
n
，得ˆ0表达式
令
xi
差
Xi X
，则
，
ˆ0
yi Yi Y ，即分别代表样本值与其平均值的离 、ˆ1表达式可简写为
ˆ1
质，即最小二乘估计量还具有一致性：当样本容量趋于无 穷时，估计量收敛于总体参数真值。
高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)
在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计 量是具有最小方差的线性无偏估计量。
2、无偏性，即估计量ˆ0 、 ˆ1 的均值（期望）等于总体回归
一元线性回归分析
C=α+βy + µ
其中， µ是随机误差项。 是随机误差项。 其中， 是随机误差项 根据该方程， 的值， 根据该方程，每给定一个收入 y 的值，消 并不是唯一确定的， 费C并不是唯一确定的，而是有许多值， 并不是唯一确定的 而是有许多值， 他们的概率分布与µ的概率分布相同 的概率分布相同。 他们的概率分布与 的概率分布相同。 线性回归模型的特征： 线性回归模型的特征： 有随机误差项！ 有随机误差项！
21
说
明
一、严格地说，只有通过了线性关系的检验，才 严格地说，只有通过了线性关系的检验， 能进行回归参数显著性的检验。 能进行回归参数显著性的检验。 有些教科书在介绍回归参数的检验时没有考虑线 性关系的检验，这是不正确的。 性关系的检验，这是不正确的。因为当变量之间 的关系没有通过线性检验时， 的关系没有通过线性检验时，进行回归参数显著 性的检验是没有意义的。 性的检验是没有意义的。 在一元线性回归分析中， 二、在一元线性回归分析中，即只有一个解释变 量时，这两种检验是统一的。 量时，这两种检验是统一的。但在多元回归分析 这两种检验的意义是不同的。 中，这两种检验的意义是不同的。 为了说明该问题， 为了说明该问题，我们在本章中依然把两种检验 分开论述。 分开论述。
13
为了达到上述目的， 为了达到上述目的，我们直观上会采 用以下准则： 用以下准则： 选择这样的SRF，使得： 选择这样的 ，使得：
残差和∑ ε i = ∑ ( yi − yi )尽可能小！ ˆ
但这个直观上的准则是否是一个很好 的准则呢？我们通过以下图示说明： 的准则呢？我们通过以下图示说明：
14
12
ˆx i + ε i yi = α + β ˆ ˆ 即：y i = y i + ε i ˆ ∴ ε i = yi − yi
第二章2.2一元线性回归分析
ˆ β1 ~ N ( β1 ,
∑x
σ2
2 i
)
ˆ β 0 ~ N (β 0 ,
∑ n∑ x
X i2
2 i
σ 2)
22
随机误差项u的方差σ 随机误差项 的方差σ2的估计 的方差
σ2又称为总体方差 总体方差。 总体方差
23
由于随机项ui不可观测，只能利用残差ei (ui的 估计)的样本方差，来估计ui的总体方差σ2 。 样本方差？ 样本方差？ 可以证明，σ2的最小二乘估计量 最小二乘估计量为: 可以证明 最小二乘估计量
= β1 + P lim(∑ xi µ i / n) P lim(∑ xi2 / n)
xi µ i
2 i
∑x
)
样本协方差？ 样本协方差？
Cov ( X , µ ) 0 = β1 + = β1 + = β1 Q Q
21
四、参数估计量的抽样分布及随机项方 差的估计
ˆ ˆ 、 1、参数估计量 β 0 和 β 1 的概率分布
Yi = β0 + β1 X i + ui
i=1
Y为被解释变量，X为解释变量，β0与β1为待估 待估 参数， 随机项。 参数 u为随机项。 随机项
2
回归分析的主要目的是要通过样本回归函数 回归分析的主要目的 （模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数 （模型）PRF。 估计方法有多种，其中最广泛使用的是普通最 普通最 估计方法 小二乘法（ordinary least squares, OLS）。 小二乘法 为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模 型提出若干基本假设。 实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。
2
1 X2 = + n ∑ x2 i
第二节-一元线性回归分析PPT课件
-0.8208
-2.2882
-0.9263
0.9676
1.0619
2.9156
-1.6404
6.3038
-1.8122
0.6708
-1.3033
-0.1802
-0.5911
-2.2869
1.0443
0.8245
0.4687
-1.5557
0.8935
2.3470
-1.5233
-1.1970
-2.1237
三相关关系的描述与测度散点图scatterdiagram用直角坐标的横轴表示变量x的值纵轴表示变量y的值每组数据在直角坐标系中用一个点表示n组数据在直角坐标系中形成的n个数据点称为散布点或散点由坐标及其散点形成的二维数据图
8-1
第八章 相关与回归分析
学习目的：
1. 理解现象之间存在的相关关系； 2. 能利用相关系数对相关关系进行测定分析； 3. 明确相关分析与回归分析的主要内容以及它们 各自的特点；
不可观测的随机变量，表示 x和 y的关系中不确定因素的影响，我们 称之为随机误差；响应变量 y为随机变量。
模型的三个假定
1. 随机误差 e的期望值为0，即 E(e)0 2. 对于所有的x值，e的方差都相同 ； 3. 随机误差 e是一个服从正态分布的随机变量，且各次观测的随机误
差 e1,e2,,en相互独立。
• 回归模型(regression model) 描述响应变量与回归变量和误差项之间的因果关系的数学表达式
称为回归模型。
-
8
8-9第二节 一元线性回归分析
一、一元线性回归模型
理论回归模型
yAB xe
式中A和B是未知常数，称作回归系数（coefficient）；回归变量 x
计量经济学第二章 一元线性回归模型(1)(肖)
10
2．在经济学中，经济学家要研究个人
消费支出与个人可支配收入的依赖关系。
这种分析有助于估计边际消费倾向，就是
可支配收入每增加一元引起消费支出的平
均变化。
11
3．在企业中，我们很想知道人们对企
业产品的需求与广告费开支的关系。这种
研究有助于估计出相对于广告费支出的需
求弹性，即广告费支出每变化百分之一的
（2.3）
想想：结合表2.1的资料 ，怎样理解式（2.3）
变量Y 的原因， 给定变量X 的值也不能具
体确定变量Y的值， 而只能确定变量Y 的
统计特征，通常称变量X 与Y 之间的这种
关系为统计关系。
16
例如，企业总产出Y 与企业的资本投入
K 、劳动力投入L 之间的关系就是统计关 系。虽然资本K 和劳动力L 是影响产出Y 的两大核心要素，但是给定K 、L 的值并 不能确定产出Y 的值。因为，总产出Y 除 了受资本投入K、劳动力投入L 的影响外
在进入正式的回归理论之前，先斟酌一下变量y与变 量x可以互换的不同名称、术语。 Y 因变量 X 自变量
被解释变量 响应变量
被预测变量
解释变量 控制变量
预测变量
回归子
归回元
22
第二节
一、引例
一元线性回归模型
假定我们要研究一个局部区域的居 民消费问题，该区域共有80户家庭组成 ，将这80户家庭视为一个统计总体。
32
函数f (Xi)采取什么函数形式，是一个
需要解决的重要问题。在实际经济系统
中，我们不会得到总体的全部数据，因
而就无法据已知数据确定总体回归函数 的函数形式。同时，对总体回归函数的 形式只能据经济理论与经验去推断。
第二章 一元线性回归
n ei 0 i 1 n xe 0 i i i 1
经整理后,得正规方程组
n n ˆ ˆ n ( x ) 0 i 1 yi i 1 i 1 n n n ( x ) ˆ ( x 2 ) ˆ xy i 0 i 1 i i i 1 i 1 i 1
y ˆ i 0 1xi ˆi 之间残差的平方和最小。 使观测值 y i 和拟合值 y
ei y i y ˆi
n
称为yi的残差
ˆ , ˆ ) ˆ ˆ x )2 Q( ( y i 0 1i 0 1
i 1
min ( yi 0 1 xi ) 2
i
xi x
2 ( x x ) i i 1 n
yi
2 .3 最小二乘估计的性质
二、无偏性
ˆ ) E ( 1
i 1 n
n
xi x
2 ( x x ) j j 1 n
其中用到
E ( yi )
( x x) 0 (xi x) xi (xi x)2
二、用统计软件计算
1．例2.1 用Excel软件计算
什么是P 值?(P-value)
• P 值即显著性概率值 ，Significence Probability Value
•
是当原假设为真时所得到的样本观察结果或更极端情况 出现的概率。
P值与t值： P t t值 P值
•
它是用此样本拒绝原假设所犯弃真错误的真实概率，被 称为观察到的(或实测的)显著性水平。P值也可以理解为 在零假设正确的情况下，利用观测数据得到与零假设相 一致的结果的概率。
2 .1 一元线性回归模型
一元线性回归分析
一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。
本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。
1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。
通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。
2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。
- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。
- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。
- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。
3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。
3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。
根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。
3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。
通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。
3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。
常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。
4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。
一元线性回归分析PPT课件
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
第8页/共40页
例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
第1页/共40页
回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
第2页/共40页
一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第15页/共40页
回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
第16页/共40页
ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第17页/共40页
第2章一元线性回归模型
一元线性回归模型
回归分析是计量经济学的基础内容！
本章介绍一元线性回归模型，最小二乘估计方法及 其性质，参数估计的假设检验、预测等。
浙江财经大学 倪伟才
1
本章主要内容
2 .1 一元线性回归模型
2 .2 参数β0、β1的估计
2 .3 最小二乘估计的性质
2 .4 回归方程的显著性检验 2 .5 残差分析 2 .6 回归系数的区间估计
浙江财经大学 倪伟才 10
回归的术语
y的各种名称： 因变量(dependent variable)或被解释变量 (explained variable)或回归子(regressand)或内 生(endogenous)； X的各种名称： 自变量(independent variable)或解释变量 (explanatory variable)或回归元(regressor)或外 生(exogenous) U的各种名称： 随机误差项或随机扰动项(stochastic error term, random disturbance term ): 表示其它因素的影响，是不可观测的随机误差！
浙江财经大学 倪伟才
9
2.1一元线性回归模型
由于两个变量y, x具有明显的线性关系，故考虑直 线方程y=0+1x（函数表达的是确定性关系，有缺 陷！） y=0+1x+u, 其中u表示除x外，影响y的其它一切 因素。 将y与x之间的关系用两部分来描述： a. 一部分0+1x ，由x的变化引起y变化； b.另一部分u ，除x外的其它一切因素引起y变化。 参数(parameters) 0 , 1 ; 0 称为回归常数(截距)（intercept, constant）， 1称为回归斜率(slope)
《一元线性回归》ppt课件
做该样本的散点图 样本散点图近似于一条直线，这与 总体中表达的X和Y的关系是一致的。 画一条直线以尽能够地拟合该散点 图，由于样本取自总体，可用该线近 似地代表总体回归线。 该线称为样本回归线〔sample regression lines〕。
记样本回归线的函数方式为：
Y ˆif(X i)ˆ0ˆ1X i
计量经济学
Econometrics
第二章 一元线性回归模型
§ 2.1 回归分析概述 § 2.2 一元线性回归模型的参数估计 § 2.3 一元线性回归模型的统计检验 § 2.4 一元线性回归模型的运用：预测 § 2.5 实例：时间序列问题
§2.1 回归分析概述
一、回归分析的根本概念 二、总体回归函数 三、随机干扰项 四、样本回归函数
1969 1991 2046 2068 2101
968 1045 1243 1474 1672 1881 1078 1254 1496 1683 1925
2189 2233
1122 1298 1496 1716 1969 1155 1331 1562 1749 2013
2244 2299
1188 1364 1573 1771 2035 1210 1408 1606 1804 2101
3500 1/6
2585
〔4〕描出散点图发现：随着收入X的添加，消费“平均地说〞也在添加， 且Y的条件均值均落在一条正斜率的直线上。这条线，我们称为总体回归 线〔population regression line，PRL〕
每 月 消 费 支 出 Y 〔元〕
3500 3000 2500 2000 1500 1000
A2：回归分析与因果关系
虽然回归分析通常用于研讨具有因果关系的变量之间的详细依赖关系， 但是回归关系式本身并不一定意味着因果关系