一元线性回归分析
6.2 一元线性回归分析
6.2.2 一元线性回归分析的原理 2. 最小二乘点估计
根据样本数据 ( xi , yi )(i 1, 2, , n) 计算得到回归 系数的最小二乘点估计 b0 和 b1 之后，定义：
ˆi b0 b1 xi ，称为预测值； y
定义 ei yi y ˆi ，称为残差； 记 RSS= i 1 ei2 ，称为残差平方和；
n i 1 i
n i 1
y n ， ( x x ) n ， s ( x x )( y y ) n
n， y
n i 1 i
b0 y b1x
(6.2.4)
2
n
i
xy
i 1
i
i
6.2.2 一元线性回归分析的原理 2. 最小二乘点估计
可 以 证 明 (6.2.3) 式 和 (6.2.4) 式 与 1.7.2 小 节 的 (1.7.3)式
6.2.2
一元线性回归分析的原理
6. 一元线性回归模型显著性的F检验
回归模型 y 0 1 x 的显著性检验，就是由 样本数据 ( xi , yi )(i 1, 2, , n) 检验假设： 原假设 H 0 : 1 0 ；备择假设 H1 : 1 0 拒绝原假设 H 0 : 1 0 而采纳备择假设 H1 : 1 0 ，意 味着回归模型是显著的；采纳原假设 H 0 : 1 0 ，意 味着回归模型是不显著的. 在实际应用中，不显著的回归模型是不应该采用 的.
6.2.2 一元线性回归分析的原理 3. 决定系数
定义决定系数为 R2 FSS TSS . R 2 就是由于使 用一元线性回归模型而使误差平方和下降的降幅占 总平方和的比例. 由(6.2.6)式，有 R2 1 RSS TSS ， 0 R2 1 所以 R 2 越接近 1， 一元线性回归模型的拟合精确程度 就越高；特别的，当 R 2 1 时，回归直线 y b0 b1x 恰 好经过所有的数据点，残差 ei 都等于 0 (i 1, 2, , n) .
一元线性回归分析
C=α+βy + µ
其中， µ是随机误差项。 是随机误差项。 其中， 是随机误差项 根据该方程， 的值， 根据该方程，每给定一个收入 y 的值，消 并不是唯一确定的， 费C并不是唯一确定的，而是有许多值， 并不是唯一确定的 而是有许多值， 他们的概率分布与µ的概率分布相同 的概率分布相同。 他们的概率分布与 的概率分布相同。 线性回归模型的特征： 线性回归模型的特征： 有随机误差项！ 有随机误差项！
21
说
明
一、严格地说，只有通过了线性关系的检验，才 严格地说，只有通过了线性关系的检验， 能进行回归参数显著性的检验。 能进行回归参数显著性的检验。 有些教科书在介绍回归参数的检验时没有考虑线 性关系的检验，这是不正确的。 性关系的检验，这是不正确的。因为当变量之间 的关系没有通过线性检验时， 的关系没有通过线性检验时，进行回归参数显著 性的检验是没有意义的。 性的检验是没有意义的。 在一元线性回归分析中， 二、在一元线性回归分析中，即只有一个解释变 量时，这两种检验是统一的。 量时，这两种检验是统一的。但在多元回归分析 这两种检验的意义是不同的。 中，这两种检验的意义是不同的。 为了说明该问题， 为了说明该问题，我们在本章中依然把两种检验 分开论述。 分开论述。
13
为了达到上述目的， 为了达到上述目的，我们直观上会采 用以下准则： 用以下准则： 选择这样的SRF，使得： 选择这样的 ，使得：
残差和∑ ε i = ∑ ( yi − yi )尽可能小！ ˆ
但这个直观上的准则是否是一个很好 的准则呢？我们通过以下图示说明： 的准则呢？我们通过以下图示说明：
14
12
ˆx i + ε i yi = α + β ˆ ˆ 即：y i = y i + ε i ˆ ∴ ε i = yi − yi
一元回归分析
一元回归分析1. 简介回归分析是统计学中重要的分析方法之一，用于研究变量之间的关系。
在回归分析中，一元回归是指只涉及一个自变量和一个因变量的分析。
一元回归分析的目的是建立一个数学模型，描述自变量对因变量的影响关系，并通过拟合数据来确定模型的参数。
通过一元回归分析，我们可以研究自变量和因变量之间的线性关系，预测因变量的值，并进行因变量的控制。
2. 原理2.1 线性回归模型一元线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，可以用以下方程来表示：Y = β0 + β1 * X + ε其中，Y 表示因变量，X 表示自变量，β0 和β1 分别表示模型的截距和斜率，ε 表示误差项。
2.2 最小二乘法拟合回归模型的常用方法是最小二乘法。
最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和来确定模型的参数。
残差是指观测值与模型预测值之间的差异。
最小二乘法通过计算观测值与回归线之间的垂直距离来确定参数值，使得这些距离的平方和最小化。
3. 回归分析步骤一元回归分析通常包括以下步骤：3.1 数据收集收集与研究问题相关的数据。
数据包括自变量和因变量的观测值。
3.2 模型设定根据问题和数据，选择适当的回归模型。
对于一元回归分析，选择一元线性回归模型。
3.3 模型估计利用最小二乘法估计模型的参数值。
最小二乘法将通过最小化残差平方和来确定参数值。
3.4 模型诊断对拟合的模型进行诊断，检查模型是否满足回归假设。
常见的诊断方法包括检查残差的正态分布性、检查残差与自变量的关系等。
3.5 结果解释解释模型的结果，包括参数估计值、模型拟合程度、因变量的预测等。
3.6 模型应用利用拟合的模型进行预测、推断或决策。
4. 注意事项在进行一元回归分析时，需要注意以下几点：•数据的收集应当尽可能准确和全面，以确保分析的可靠性；•模型的设定应当符合问题的实际情况，并选择合适的函数形式；•模型诊断是确定模型是否可靠的重要步骤，需要进行多种检验；•需要注意回归分析的局限性，不能因为有了一元回归模型就能解释所有的问题。
一元线性回归分析的作用方法步骤
一元线性回归分析的作用方法步骤一元线性回归分析是一种用于探究两个变量之间线性关系的统计方法。
它的作用是根据给定的自变量和因变量数据，建立一个线性回归模型，以预测未来的因变量值或者对自变量进行解释。
以下是一元线性回归分析的方法步骤：1. 收集数据：收集自变量（x）和因变量（y）的数据。
确保数据具有代表性，容量足够大，并且是可靠的。
2. 绘制散点图：根据所收集的数据，绘制自变量（x）和因变量（y）的散点图，以查看它们之间的大致关系。
3. 计算相关系数：计算自变量（x）和因变量（y）的相关系数，以评估它们之间的线性相关性。
通常使用皮尔逊相关系数来进行衡量。
4. 建立模型：使用最小二乘法来建立一元线性回归模型。
该模型的方程可表示为y = β₀+ β₁x，其中β₀是截距，β₁是斜率。
最小二乘法通过最小化残差平方和来确定最佳拟合的直线。
5. 评估模型：评估回归模型的拟合程度。
可以使用多种统计指标，如可决系数（R²）和均方根误差（RMSE），来评估模型的精度和稳定性。
6. 预测和推断：使用建立的回归模型进行预测和推断。
可以利用模型来预测因变量的值，或者对自变量进行解释和推断。
7. 检验假设：对回归系数进行假设检验，以判断自变量对因变量是否具有统计上显著的影响。
常见的方法是计算回归系数的t值和p值，并根据显著性水平来确定是否拒绝或接受假设。
8. 验证和诊断：验证回归模型的有效性和适用性。
可以使用残差分析、正态概率图和残差图等方法来检查模型的假设前提和模型的良好性。
以上是一元线性回归分析的一般方法步骤。
实际分析中，可能会根据具体问题进行调整和扩展。
第9章 一元线性回归分析
9.1.2相关关系的类型
从涉及的变量数量看
简单相关 多重相关（复相关）
从变量相关关系的表现形式看
线性相关——散点图接近一条直线(左图) 非线性相关——散点图接近一条曲线(右图)
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
11.2
11
10.8 10.6 10.4 10.2 10
若在定距变量分布不满足正态性的条件，可将定距变 量降级为定序变量
如要研究考试中学生交卷的名次是否与成绩有关，
交卷名次与考试名次之间的关系
交卷名 次
1 2 3 4
5
6
7
8
9
10
11
12
考试成 绩
94 74 74 60 68 86 92 60 78 74
78
64
参阅《统计学在经济和管理中的应用》
2 i i 2 i i
__
^
__
^
2
总离差平方和
回归平方和
残差平方和
判定系数定义：
r
2
(Y Y ) (Y Y )
i i
^
2 2
判定系数的特点
判定系数是非负的统计量； 判定系数取值范围： 0 r 2 在一元线性回归中，判定系数在数值上是
独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的ε与其他 x 值所对应的ε不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关
回归方程
描述因变量y的期望值如何依赖于自变量x的方程称为回归方程。
E( y) b0 b1 x
估计的回归方程
(estimated regression equation)
第15讲 一元线性回归分析
n
i 1
2
2 2 ˆ ˆ 2b yi y xi x b xi x i 1 i 1
i 1
n
i 1
n
ˆS /S ˆ b ˆ2 S S bS ˆ . b S yy 2bS xy xx xy xx yy xy
例2 求例1中误差方差的无偏估计。
采用最小二乘法估计参数a和b，并不需要事先知道Y与x之间 一定具有相关关系，即使是平面图上一堆完全杂乱无章的散 点，也可以用公式求出回归方程。因此μ(x)是否为x的线性函 数，一要根据专业知识和实践来判断，二要根据实际观察得 到的数据用假设检验方法来判断。
即要检验假设 H0 : b 0, H1 : b 0, 若原假设被拒绝，说明回归效果是显著的，否则， 若接受原假设，说明Y与x不是线性关系，回归方程 无意义。回归效果不显著的原因可能有以下几种：
将每对观察值( xi , yi )在直角坐标系中描出它相应的点 （称为散点图），可以粗略看出 ( x)的形式。
基本思想
(x, Y)
回归分析 回归方程
采集样本信息 ( xi, yi )
散点图
回归方程参数估计、显著性检验
对现实进行预测与控制
一元回归分析:只有一个自变量的回归分析 多元回归分析:多于一个自变量的回归分析
x1 x2 x3
xi
xn
整理得 na ( xi )b yi ,
( xi )a ( xi )b xi yi .——正规方程组
2 i 1 i 1 i 1
n
i 1
n
i 1
n
na ( xi )b yi ,
i 1 i 1
n
n
一元线性回归分析
一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。
本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。
1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。
通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。
2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。
- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。
- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。
- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。
3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。
3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。
根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。
3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。
通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。
3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。
常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。
4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。
一元线性回归分析
S xx xi2 nx 2 218500 10 1452 8250 S xy xi yi nx y 101570 10 145 67.3
i 1
3985 ˆ S xy 3985 0.483 b S xx 8250 ˆ ˆ a y xb 67.3 145 0.483 2.735
这里45.394>2.306，即|t|值在H0的拒绝域内，故 拒绝H0 ，说明回归效果是显著的。 b的置信度为0.95(=0.05)的置信区间为 0.934 0.934 (b, b ) 0.483 2.306 , 0.483 2.306 8250 8250
i 1 n 2 n
2
ˆ ˆ yi y yi yi
i 1 i 1
2
S回 Qe
18
线性回归的方差分析
回归平方和
残差平方和
ˆ S回 yi y
i 1 n
n
2
ˆ Qe yi yi
i 1
2
Syy自由度为n-1， Qe自由度为n-2， S回自由度为1
平方和 1924.6 7.5 1932.1
自由度
均方
F比
回归 残差 总和
1 8 9
1924.6 0.94
2047.4
30
对=0.01，查出F0.01(1,8)=11.26 因为2047.3 >>11.26，所以回归效果是 非常显著的。
六、利用回归方程进行预报（预测） 回归问题中Y是随机变量，x是普通 变量。回归方程 y a bx 是Y对x的依赖 ˆ ˆ ˆ 关系的一个估计。对给定的x值，用回归 方程确定Y的值，叫预报。
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（residual）最小。 即：
Q(a,b) (y a bx)2 最小值
8-11 第二节 一元线性回归分析
利用数学求极值的方法，由条件
Q 0 且
a
• 回归模型(regression model) 描述响应变量与回归变量和误差项之间的因果关系的数学表达式
称为回归模型。
8-9 第二节 一元线性回归分析
一、一元线性回归模型
❖ 理论回归模型
y A Bx e
式中A和B是未知常数，称作回归系数（coefficient）；回归变量 x 可以是随机变量，也可以是可以控制其取值的非随机的普通变量；e 是
8-4
第一节 相关分析
❖ 散点图与相关的类型
互动地带
8-5
第一节 相关分析
❖ 相关系数（correlation coefficient） 是测度变量之间相关关系密切程度和相关方向的代表
性指标。 ➢ 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数。
➢ 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系 数，记为 ；若是根据样本数据计算的，则称为样本相 关系数，记为 r 。
居民受教育程度与收入的关系及相关关系。
➢ 由于客观上常会出现观察或测量上的误差等原因，函数关系在实际 工作中往往通过相关关系表现出来。而在研究相关关系时，为了找出 变量之间数量关系的内在联系和表现形式，又常常需要借助函数关系
的形式加以描述。
互动地带
8-3
第一节 相关分析
二、相关关系的种类 ❖ 根据相关变量之间的密切程度不同，可分为不相关、完
• 相关系数的显著性检验
互动地带
H0 : 0； H1 : 0
统计量 t r
n2 1 r2
服从自由度为n-2的t分布
例8.2 根据对25家银行的调查数据计算不良贷款额与贷款余额的相 关系数为0.8436。试检验不良贷款额与贷款余额之间的相关系数是否显 著。
解：（1）提出原假设和备择假设
H0 : 0 ； H1 : 0
的 y估计值，也称 yˆ 为 y 的回归值(regressand value)或拟合值(fitted
value)。b 为x 每变动一个单位时，y 的平均变动值。
二、参数的最小二乘估计
互动地带
在根据散布点去拟合回归直线时，应使得直线 yˆ a bx 所代 表的估计值 yˆ 和与其对应的实际观测值 y 之间的差为最小，即残差
➢ 两个变量的线
1 1
(x
x
)(
y
y)
1 n 1
(x
x)2
n
1 1
(
y
y)2
或r
例8.1
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
8-6
第一节 相关分析
➢ 相关系数的取值范围在-1和+1之间，即：–1≤ r≤ 1。
若0＜ r≤ 1，表明和之间存在正线性相关关系； 若-1≤ r＜0，表明和之间存在负线性相关关系；
（independent variable），也称为回归变量（regressor），它可以
是随机变量，也可以是非随机变量。
• 回归的类型
如果回归分析时只有一个自变量，则称为一元回归；含有两个或 两个以上回归变量时称为多元回归。
若响应变量与回归变量之间为线性关系就称为线性回归分析，否
则称为非线性回归分析。
H0
，表明不良贷款与贷款余
互动地带 附表6
8-7
8-8 第二节 一元线性回归分析
❖ 自变量与因变量
➢
在回归分析中，通常把被解释（预测）变量称为因变量
（dependent variable），也叫响应变量（response variable），一
般假设为随机变量；
➢
把用来解释（预测）的一个或多个变量称为自变量
8-2
第一节 相关分析
一、变量间的关系
❖ 函数关系
是变量之间一种完全确定的关系。如，圆的面积与圆半径之间的关
系 s r 2 即函数关系。
❖ 相关关系（correlation）
指变量之间的数量变化受随机因素的影响而不能惟一确定的相互依
存关系，其一般数学表达式为 y f x ，其中代表随机因素。如，
不可观测的随机变量，表示 x 和 y 的关系中不确定因素的影响，我们 称之为随机误差；响应变量 y为随机变量。
❖ 模型的三个假定
1. 随机误差 e 的期望值为0，即 E(e) 0
2. 对于所有的x 值，e 的方差都相同 ；
3. 随机误差 e 是一个服从正态分布的随机变量，且各次观测的随机误
差 e1,e2 , ,en 相互独立。
❖ 回归方程
E(y) A Bx
8-10 第二节 一元线性回归分析
❖ 估计的回归方程
总体回归参数A和B是未知的，我们必须利用样本数据去估计它们。
用样本统计量 和 a 代替b 回归方程中的未知参数A和B，可以得出估计
的一元线性回归方程式：
yˆ a bx
式中，a 是估计的回归直线在 y 轴上的截距；b 是直线的斜率；yˆ 是
若 r =1，表明和之间是完全正线性相关关系；
若 r = -1，表明和之间是完全负线性相关关系。 ➢ r =0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间
没有任何关系，比如它们之间可能存在非线性相关关系。
➢ 通常认为，当n较大时：0≤︱r︱＜0.3为微弱相关；0.3≤︱r︱＜0.5为 低度相关；0.5≤︱︱r ＜0.8为显著相关；0.8≤︱︱r ＜1为高度相关。
全相关和不完全相关。 ❖ 根据相关变量的变化方向划分，可分为正相关和负相关 ❖ 根据相关变量的多少划分，可分为单相关和复相关。 ❖ 根据变量间依存关系的形式划分，可分为直线相关和曲
线相关。 三、相关关系的描述与测度 ❖ 散点图（scatter diagram）
用直角坐标的横轴表示变量x的值，纵轴表示变量y的值，每组数据 在直角坐标系中用一个点表示，n组数据在直角坐标系中形成的n个数 据点称为散布点或散点，由坐标及其散点形成的二维数据图 。
（2）取显著性水平 =0.05，根据自由度 df n 2 25 2 23 ， 查 t 分布表得：临界值 t / 2,n2 t0.025,23 2.069
（3）计算检验的统计量
t r
n2 1 r2
0.8436
25 2 1 0.8436 2
7.5344
(4)由于 t ﹥ t / 2,n2 ，所以拒绝 额之间存在显著的正线性相关关系。