高二数学段考复习卷
高二数学期末复习(7)
常熟市浒浦高级中学高二数学期末复习（7）综合卷（1）期末考试倒计时：12天姓名：____________ 1．复数z=在复平面上对应的点位于第_________象限.2．“a＞0”是“＞0”的______________条件.3．“无理数是无限小数，而是无限小数，所以是无理数.”这个推理是 _推理（在“归纳”、“类比”、“演绎”中选择填空）4．圆C：的圆心到直线的距离_______. 5．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 .（用数字作答）6．以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为________________.7．已知向量，若，则的值是_ ___.8．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是_________.9．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。
假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 ___.10．观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式．．．．．为_________________________________. 11．、设a n(n＝2,3,4…)是(3＋)n的展开式中x的一次项的系数，则 (＋＋…＋ )的值是．12．若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为_________________.13．设是不等式的解集，整数.（1）记使得“成立的有序数组”为事件A，试列举A包含的基本事件；（2）设，求的分布列及其数学期望.14．如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）设AB=，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为.（i）当点C在圆周上运动时，求的最大值；（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值.15．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.(1)求展开式的第四项；(2)求展开式的常数项；(3)求展开式中各项的系数和．16．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F 分别是PB,PC的中点.(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.17．如图，椭圆C：的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,,= ,(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.18．参考答案1．一【解析】2．充分不必要_【解析】3．演绎【解析】4．3【解析】5．20【解析】6．【解析】7．-3或1【解析】8．_126【解析】9．0.128【解析】10．13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.【解析】11．18【解析】12．【解析】13．。
【解析版】河北省唐山市丰南一中2012-2013学年高二下学期第二次段考数学(理)试题
2012-2013学年河北省唐山市丰南一中高二（下）第二次段考数学试卷（理科）一、单选题（在四个选项中选出一个正确的答案，每题5分，共计60分）1．（5分）（2013•太原一模）复数的共轭复数为（）B利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数为﹣+i解：复数=﹣+﹣i3．（5分）（2013•丰南区）下列各式的值为的是（）BD﹣=﹣==4．（5分）（2013•丰南区）下列函数中，周期为π，且在上为奇函数的是（）））x+2x+，在上为奇函数，2x+），在5．（5分）（2013•丰南区）曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（），由y=，（6．（5分）（2012•唐山二模）已知α是第三象限的角，且tanα=2，则sin（α+）=（）B C Dcos+cos sin=﹣cos sin=回归方程表示的直线必经过点（，），回归方程表示的直线必经过点（，解：回归方程表示的直线必经过点（，8．（5分）（2013•丰南区）y=asinx+bcosx关于直线对称，则直线ax+by+c=0的倾斜角B C）对称，）﹣（解：五名志愿者甲、乙不能分在同一社区，共有=21610．（5分）（2010•山东）观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，y=f（x），由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）11．（5分）（2011•惠州模拟）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x 向左平移向右平移向左平移向右平移先根据诱导公式将函数解：∵的图象向左平移个单位得到函数12．（5分）（2011•安徽）已知函数f（x）=sin（2x+ϕ），其中ϕ为实数，若对x∈R恒成立，且，则f（x）的单调递增区间是（）．．D 由若（解：若（×+，，又，满足条件，13．（5分）（2013•丰南区）设随机变量δ的分布列为P（δ=k）=，k=1，2，3，其中c为常数，则P（0.5＜δ＜2.5）=．，∴=故答案是14．（5分）（2013•丰南区）的展开式中常数项为．=的展开式中常数项为=故答案为：个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．16．（5分）（2013•丰南区）若sinθ，cosθ是关于x的方程5x﹣x+a=0（a是常数）的两个根，θ∈（0，π），则cos2θ=﹣．，，，所以．因为=，故答案为：．17．（10分）（2013•丰南区）；（1）求tanα的值．（2）求的值．=，解方程求得））∴﹣=tan=，﹣﹣cos﹣sin=∴18．（12分）（2013•丰南区）已知x=2是函数f（x）=（x+ax﹣2a﹣3）e的一个极值点（I）求实数a的值；（II）求函数f（x）在的最大值和最小值．，19．（12分）（2013•丰南区）已知函数f（x）=sinx+cosx，f'（x）是f（x）的导函数（1）．（2）．∴∵∴∴∴1=．3件，乙箱共装4件，其中一等品3件，二等品1件．现采取分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两箱中共抽取产品3件．（1）求抽取的3件全部是一等品的概率．P=．=+•=+，=×+1×+2×+3×=121．（12分）（2013•丰南区）已知函数f（x）=lnx﹣ax+x（a∈R）（1）求a的最大值，使函数f（x）在（0，+∞）内是单调函数．）求导函数可得令，∴构造函数∴。
2021-2022年高二下学期第二次段考数学试卷(文科)含解析
2021-2022年高二下学期第二次段考数学试卷（文科）含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．A）∩B=．1．已知全集U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，B={1，2，3}，则（∁U2．已知幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）的图象过点（，），则k+α=．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为名．4．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是．5．“α=”是“tanα=1”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）6．如图是一个算法流程图，则输出S的值是．7．函数f（x）=ln（x2﹣3x+2）的单调减区间为．8．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a的值是．9．定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x）•f（x+1）=1，当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，则f=x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为．11．若f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f （x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为．13．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．14．已知f（x）=，a∈R，对任意非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则实数k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号分组频数频率第一组[230，235）8 0.16第二组[235，240）①0.24第三组[240，245）15 ②第四组[245，250）10 0.20第五组[250，255] 5 0.10合计50 1.00（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．16．已知命题：“∃x∈[﹣1，1]，使等式m=x2﹣x成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）[x﹣（2﹣a）]＜0的解集为N，若N⊆M，求a的取值范围．17．已知二次函数f（x）有两个零点0和﹣2，且f（x）最小值是﹣1，函数g（x）与f（x）的图象关于原点对称．（1）求f（x）和g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）﹣λg（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．18．某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．19．已知函数f（x）=|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m．（1）若方程f（x）=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；（2）若对任意x1∈（﹣∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．20．对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a﹣x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．（1）判断函数f（x）=4x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；（2）已知函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）=x2﹣m（x﹣1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤3成立，试求m的取值范围．xx江苏省泰州市泰兴一中高二（下）第二次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．已知全集U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，B={1，2，3}，则（∁U A）∩B={2，3} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接利用补集和交集的运算进行求解即可得到答案．【解答】解：由U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，∴∁U A={2，3}，又B={1，2，3}，∴（∁U A）∩B={2，3}∩{1，2，3}={2，3}．故答案为：{2，3}．2．已知幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）的图象过点（，），则k+α=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用幂函数的定义求出k，利用函数的图象经过的点求出α，即可得到结果．【解答】解：因为幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）由幂函数的定义可知k=1，幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）的图象过点（，），所以，，∴k+α==．故答案为：．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为32名．【考点】分层抽样方法．【分析】先求出高一学生在总体中所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即得应从高一年级抽取的学生人数．【解答】解：高一学生在总体中所占的比例为=，故应从高一年级抽取的学生人数为80×=32，故答案为：32．4．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是．【考点】计数原理的应用．【分析】求出从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议的基本事件，甲被选中的基本事件，即可求出甲被选中的概率．【解答】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，共有=6种方法，甲被选中，共有3种方法，∴甲被选中的概率是=．故答案为：．5．“α=”是“tanα=1”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件、必要条件的概念，以及tanα=1时α的取值情况即可判断是tanα=1的什么条件．【解答】解：时，tanα=1；tanα=1时，，所以不一定得到；∴是tanα=1的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．6．如图是一个算法流程图，则输出S的值是35．【考点】程序框图．【分析】执行算法流程，写出每次循环得到的S，k的值，当k=7时满足条件k＞5，输出S 的值35．【解答】解：执行算法流程，有S=0，k=1不满足条件k＞5，S=1，k=3，不满足条件k＞5，S=10，k=5，不满足条件k＞5，S=35，k=7，满足条件k＞5，输出S的值35．故答案为：35．7．函数f（x）=ln（x2﹣3x+2）的单调减区间为（﹣∞，1）．【考点】复合函数的单调性．【分析】求出函数的定义域，结合复合函数的单调性的关系进行求解即可．【解答】解：由x2﹣3x+2＞0得x＞2或x＜1，设t=x2﹣3x+2，则y═lnt为增函数，要求函数f（x）=ln（x2﹣3x+2）的单调减区间，即求函数t=x2﹣3x+2的递减区间，∵t=x2﹣3x+2的递减区间为（﹣∞，1），∴函数f（x）=ln（x2﹣3x+2）的单调减区间为（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．8．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a的值是1．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】由题意知“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，由二次函数的性质得△＜0，求出m的范围，结合题意求出a的值．【解答】解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，∴“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1，故a的值是1．故答案为：1．9．定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x）•f（x+1）=1，当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，则f=f（x），利用函数的周期性，将条件进行转化即可得到结论．【解答】解：对任意x∈R都有f（x）•f（x+1）=1，可得f（x+2）==f（x），∴f（x+2）=f（x），函数f（x）是定义在R上是周期函数周期为2，当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，则f=f（﹣1）=4﹣1=故答案为：．10．设f（x）=x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为（0，] ．【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．【分析】函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立即可，转化出求函数的值域问题即可获得问题的解答．【解答】解：函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立，∵a=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，x∈（1，3）∴a∈（0，]．故答案为：（0，]．11．若f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为[﹣，0）．【考点】函数单调性的性质．【分析】分f（x）是R上的减函数、增函数两种情况，分别求得实数a的取值范围，再取并集，即得所求．【解答】解：若f（x）=是R上的单调减函数，则，求得﹣≤a＜0．若f（x）=是R上的单调增函数，则，求得a∈∅，综上可得实数a的范围为[﹣，0），故答案为：[﹣，0）．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为7．【考点】函数零点的判定定理．【分析】如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，结合图象即可得出零点个数．【解答】解：如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，利用偶函数的性质可得x ∈[﹣2，0）上的图象．x∈[0，2）时，g（0）=g（1）=0，x∈[2，4]时，g（2）=g（4）=g（0）=0，g（3）=g（1）=0．x∈[﹣2，0）时，g（﹣2）=g（2）=0，g（﹣1）=g（1）=0．指数可得：函数g（x）共有7个零点．故答案为：7．13．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．【解答】解：因为t∈[0，1]，所以f（t）=3t∈[1，3]，又函数，所以f（f（t）=，因为f（f（t））∈[0，1]，所以解得：，又t∈[0，1]，所以实数t的取值范围．故答案为：．14．已知f（x）=，a∈R，对任意非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，0]∪[8，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】由题意结合函数图象可将问题转化为关于a的方程（3﹣a）2=k（1﹣a2）有实数解，解△≥0可得．【解答】解：∵f（x）=）=，∴当x=0时，f（x）=k（1﹣a2），∵对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立．∴函数必须为连续函数，∴（3﹣a）2=k（1﹣a2），问题转化为（k+1）a2﹣6a+9﹣k=0有实数解，∴△=62﹣4（k+1）（9﹣k）≥0，解得k≤0或k≥8．故答案为：（﹣∞，0]∪[8，+∞）．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号分组频数频率第一组[230，235）8 0.16第二组[235，240）①0.24第三组[240，245）15 ②第四组[245，250）10 0.20第五组[250，255] 5 0.10合计50 1.00（1）写出表中①②位置的数据；（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．【考点】等可能事件的概率；分层抽样方法；频率分布表．【分析】（1）由频率分布表，可得①位置的数据为50﹣8﹣15﹣10﹣5=12，②位置的数据为1﹣0.16﹣0.24﹣0.20﹣0.1=0.3，即可得答案；（2）读表可得，第三、四、五组分别有15、10、5人，共15+10+5=30人，要求从中用分层抽样法抽取6名学生，抽取比例为，由第三、四、五组的人数，计算可得答案；（3）设（2）中选取的6人为abcdef（其中第四组的两人分别为d，e），记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，用列举法列举从6人中任取2人的所有情形，进而可得事件A所含的基本事件的种数，由等可能事件的概率，计算可得答案．【解答】解：（1）由频率分布表，可得①位置的数据为50﹣8﹣15﹣10﹣5=12，②位置的数据为1﹣0.16﹣0.24﹣0.20﹣0.1=0.3，故①②位置的数据分别为12、0.3；（2）读表可得，第三、四、五组分别有15、10、5人，共15+10+5=30人，要求从中用分层抽样法抽取6名学生，则第三组参加考核人数为15×=3，第四组参加考核人数为10×=2，第五组参加考核人数为5×=1，故第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；（3）设（2）中选取的6人为a、b、c、d、e、f（其中第四组的两人分别为d，e），则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共有15种；记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种．所以，故2人中至少有一名是第四组的概率为．16．已知命题：“∃x∈[﹣1，1]，使等式m=x2﹣x成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）[x﹣（2﹣a）]＜0的解集为N，若N⊆M，求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；特称命题．【分析】（1）若方程m=x2﹣x在[﹣1，1]上有解，即m的取值范围为函数y=x2﹣x在[﹣1，1]上的值域，结合二次函数的图象和性质，要得M；（2）对a的取值进行分类讨论，求出不等式（x﹣a）[x﹣（2﹣a）]＜0的解集为N，结合N⊆M，可得a的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，方程m=x2﹣x在[﹣1，1]上有解，即m的取值范围为函数y=x2﹣x在[﹣1，1]上的值域，由函数y=x2﹣x的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故当x=时，函数最小值为﹣，当x=﹣1时，函数最大值为2，故m=[﹣，2]，（2）当a=1时，解集N为空集，满足题意；当a＞1时，a＞2﹣a，此时集合N={x|2﹣a＜x＜a}，则1＜a≤2当a＜1时，a＜2﹣a，此时集合N={x|a＜x＜2﹣a}，则0≤a＜1综上：0≤a≤217．已知二次函数f（x）有两个零点0和﹣2，且f（x）最小值是﹣1，函数g（x）与f（x）的图象关于原点对称．（1）求f（x）和g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）﹣λg（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．【考点】函数的零点；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）根据二次函数的零点，利用待定系数法即可求f（x）和g（x）的解析式；（2）根据h（x）=f（x）﹣λg（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，确定对称轴和对应区间之间的关系，即可求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数f（x）有两个零点0和﹣2，∴设f（x）=ax（x+2）=ax2+2ax（a＞0）．f（x）图象的对称轴是x=﹣1，∴f（﹣1）=﹣1，即a﹣2a=﹣1，∴a=1，∴f（x）=x2+2x．∵函数g（x）的图象与f（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+2x．（2）由（1）得h（x）=x2+2x﹣λ（﹣x2+2x）=（λ+1）x2+2（1﹣λ）x．①当λ=﹣1时，h（x）=4x满足在区间[﹣1，1]上是增函数；②当λ＜﹣1时，h（x）图象对称轴是x=则≥1，又λ＜﹣1，解得λ＜﹣1；③当λ＞﹣1时，同理需≤﹣1，又λ＞﹣1，解得﹣1＜λ≤0．综上，满足条件的实数λ的取值范围是（﹣∞，0]．18．某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）总面积为xy=3000，且2a+6=y，则y=，（其中6＜x＜500），从而运动场占地面积为S=（x﹣4）a+（x﹣6）a，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积S=3030﹣6x﹣=3030﹣（6x+），由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．【解答】解：（1）由已知xy=3000，∴，其定义域是（6，500）．S=（x﹣4）a+（x﹣6）a=（2x﹣10）a，∵2a+6=y，∴，∴，其定义域是（6，500）．（2），当且仅当，即x=50∈（6，500）时，上述不等式等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．19．已知函数f（x）=|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m．（1）若方程f（x）=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；（2）若对任意x1∈（﹣∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．【考点】带绝对值的函数；函数的最值及其几何意义；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）解方程f（x）=|m|，解得x=0，或x=2m．由题意可得2m≥﹣4，且2m≠0，由此求得实数m的取值范围．（2）命题等价于任意x1∈（﹣∞，4]，任意的x2∈[3，+∞），f min（x1）＞g min（x2）成立，分m＜3、3≤m＜4、4≤m三种情况，分别求出实数m的取值范围再取并集，即得所求．【解答】解：（1）方程f（x）=|m|，即|x﹣m|=|m|，解得x=0，或x=2m．要使方程|x﹣m|=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，需2m≥﹣4，且2m≠0．解得m≥﹣2 且m≠0．故实数m的取值范围为[﹣2，0）∪（0，+∞）．（2）由于对任意x1∈（﹣∞，4]，都存在x2∈[3，+∞），使f（x1）＞g（x2）成立，故有f min（x1）＞g min（x2）成立．又函数f（x）=|x﹣m|=，故f min（x1）=．又函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m=，故g min（x2）=．当m＜3时，有0＞m2﹣10m+9，解得1＜m＜3．当3≤m＜4，有0＞m2﹣7m，解得3≤m＜4．当4≤m，有m﹣4＞m2﹣7m，解得4≤m＜4+2．综上可得，1＜m＜4+2，故实数m的取值范围为（1，4+2 ）．20．对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a﹣x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．（1）判断函数f（x）=4x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；（2）已知函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）=x2﹣m（x﹣1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤3成立，试求m的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用；抽象函数及其应用．【分析】（1）利用定义，直接判断求解即可．（2）由题意得，g（1+x）g（1﹣x）=4，所以当x∈[1，2]时，，其中2﹣x∈[0，1]，而x∈[0，1]时，g（x）=x2+m（1﹣x）+1=x2﹣mx+m+1＞0，且其对称轴方程为，通过①当，②当，③当，求出函数的值域，然后推出所求m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=4x是“（a，b）型函数”…因为由f（a+x）•f（a﹣x）=b，得16a=b，所以存在这样的实数对，如a=1，b=16…（2）由题意得，g（1+x）g（1﹣x）=4，所以当x∈[1，2]时，，其中2﹣x∈[0，1]，而x∈[0，1]时，g（x）=x2+m（1﹣x）+1=x2﹣mx+m+1＞0，且其对称轴方程为，①当，即m＞2时，g（x）在[0，1]上的值域为[g（1），g（0）]，即[2，m+1]，则g（x）在[0，2]上的值域为，由题意得，此时无解…②当，即1≤m≤2时，g（x）的值域为，即，所以则g（x）在[0，2]上的值域为，则由题意得且，解得1≤m≤2…③当，即0＜m≤1时，g（x）的值域为，即，则g（x）在[0，2]上的值域为=，则，解得．综上所述，所求m的取值范围是…xx10月15日> 35055 88EF 裯`M25317 62E5 拥33269 81F5 臵y•(N35864 8C18 谘34971 889B 袛。
2022-2023学年人教版高二数学阶段复习精练专题2-1 直线倾斜角与斜率(解析版)
专题2.1 直线倾斜角与斜率知识点1:直线的斜率直线的倾斜角:0180α︒︒≤< (1) 定义法:tan ,90k αα︒=≠; (2)坐标法:()()211112221221,,,,,y y k P x y P x y x x x x -=≠-(3)向量法:直线的方向向量为(,)u m n =,则直线的斜率为(0)nk m m=≠. 【注意】1.直线的倾斜角:0180α︒︒≤<，直线一定有倾斜角，但不一定有斜率。
2.求直线的倾斜角的取值范围, 要注意倾斜角是否包含0︒情形. 求直线的斜率的取值范围, 要注意倾斜角是否包含90︒情形.3.A , B , C 三点共线AB AC k k ⇔=⇔点A 在直线B C 上//AB AC ⇔.4. A , B , C , D 四点共圆⇔四边形ABCD 对角互补.5.单调性:tan k α=在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭和,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增. 6.若斜率为k ,则直线的一个方向向量为(1,)u k =.7.若两条直线以垂直坐标轴的直线为对称轴, 则两直线的斜率互为相反数知识点2:直线的平行与垂直方法1:设 111222:;:l y k x b l y k x b =+=+, 则 (1) 1212//l l k k ⇔=且12b b ≠; (2) 12121l l k k ⊥⇔⋅=-.(3) 1l 与 2l 重合12k k ⇔=且12b b =; (4) 1l 与 2l 相交12k k ⇔≠;方法2:设11112222:0;:0l A x B y C l A x B y C ++=++=,则 (1) 11112222//A B C l l A B C ⇔=≠; (2) 121212121210A A l l A A B B B B ⎛⎫⎛⎫⊥⇔-⋅-=-⇔+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (3) 1l 与 2l 重合111222A B C A B C ⇔==;(4) 1l 与 2l 相交11122122A B A B A B A B ⇔≠⇔≠.注：两直线平行则倾斜角相等，可能没有斜率。
高中数学-高二期末复习卷(1)
高二期末复习卷一、单选题1.已知()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（）A．B．C．D．2.“m>2”是“方程22212x ym m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2121S =，则616a a +的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．44.若直线l ：12y x m =-+与曲线C ：21164x x y +=有两个公共点，则实数m 的取值范围为（）A．()(0,- B．(0,C ．()()2,00,2-⋃D ．()0,25.已知()f x 在0x x =处可导，则()()02200lim x x f x f x x x →-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-等于（）A ．()0f x 'B ．()0f x C ．()20f x '⎡⎤⎣⎦D ．()()002f x f x '6.有关数据显示,2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨.有专家预测,如果不采取措施,快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知,如果不采取有效措施,则从（）年（填年份）开始,快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.（参考数据:lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）A ．2019B ．2020C ．2021D ．20227.数列{}n a 满足154a =，211n n n a a a +=-+，*n ∈N ，则122022111a a a +++ 的整数部分是（）A ．1B ．2C ．3D ．48.已知抛物线22(0)y px p =>）的焦点为F ，过F 且倾斜角为π4的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，12AB =，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，交于点Q .则下列四个命题中正确的个数是（）个.①QA QB ⊥；②若M （1，1），P 是抛物线上一动点，则||||PM PF +的最小值为52；③AOB （O为坐标原点）的面积为；④(,0)2PM -，则tan AMB ∠=A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．已知函数3()2f x x x =+，则该函数在区间[]1,3上的平均变化率为30B ．已知11(,)A x y ，22(,)B x y 在函数()y f x =图象上，若函数()f x 从1x 到2x则曲线()y f x =的割线AB 的倾斜角为3πC ．已知直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是221V t =-，则2t =时瞬时加速度为7D ．已知函数()f x x =，则(9.05) 3.008f ≈10．在底面边长为2、高为4的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O 为棱1A A 上一点，且111,4A O A A P Q =､分别为线段1111B D A D ､上的动点，M 为底面ABCD 的中心，N 为线段AQ 的中点，则下列命题正确的是（）A ．CN 与QM 共面B ．三棱锥A DMN -的体积为43C ．PQ QO +的最小值为322D ．当11113D Q D A = 时，过,,A Q M 三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为()82103+11．数列{}n a 满足1a a =，2131n n n a a a +=--，则下列说法正确的是（）A ．若1a ≠且2a ≠，数列{}n a 单调递减B ．若存在无数个自然数n ，使得1n n a a +=，则1a =C ．当2a >或1a <时，{}n a 的最小值不存在D ．当3a =时，121111,12222n a a a ⎛⎤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈ ⎥---⎝⎦12．设F 是抛物线2:4C y x =的焦点，直线:1l x ty =+与抛物线C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A ．||4AB ≥B ．OA OB ⋅可能大于0C ．P 为抛物线上异于A 、B 的点，直线l 与准线交于点T ，当0,t A >为第一象限的点时，若APB α∠=，PF 平分APB ∠，则π2APT +∠=αD ．若在抛物线上存在唯一一点Q (异于,)A B ，使得QA QB ⊥则3t =±三、填空题13．若()f x 为可导函数，且()()0121lim 14x f x f x→--=-，则过曲线()y f x =上点()()1,1f 处的切线斜率为______．14．对于数列{}n a ，若1,n n a a +是关于x 的方程2103n n x c x -+=的两个根，且12a =，则数列{}n c 所有项的和为________．15．法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的蒙日圆为2223:2C x y a +=，过C 上的动点M 作Γ的两条切线，分别与C 交于P ，Q 两点，直线PQ 交Γ于A ，B 两点，则下列说法，正确的有______.①椭圆Γ的离心率为22②MPQ 面积的最大值为232a③M 到Γ的左焦点的距离的最小值为()22a-④若动点D 在Γ上，将直线DA ，DB 的斜率分别记为1k ，2k ，则1212k k =-16．已知数列{}n a 的通项公式为4152nn n a +⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，设数列{}n a 的最大项和最小项分别为,M N ，则M N +=______.四、解答题17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的四个顶点构成的四边形的面积为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 右焦点且倾斜角为135︒的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，求MN 的值．18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，四点12346,,4,,4,333M M M M ⎛⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中恰有三点在C 上．(1)求C 的方程；(2)过点(3,0)的直线l 交C 于P ，Q 两点，过点P 作直线1x =的垂线，垂足为A ．证明：直线AQ 过定点．19．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，4AC BC ==，D 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且DE AB ⊥.将ADE V 沿着DE 折起，形成四棱锥-P BCDE ，其中点A 对应的点为点P ，如图2.(1)在图2中，在线段PB 上是否存在一点F ，使得CF ∥平面PDE ？若存在，请求出PFPB的值，并说明理由；若不存在，请说明理由；(2)在图2中，平面PBE 与平面PCD 所成的锐二面角的大小为3π，求四棱锥-P BCDE 的体积.20．在①11a =，525S =；②35a =，917a =；③416S =，864S =这三个条件中任选一个补充在下面的横线上并解答.已知等差数列{}n a 满足________.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{3}n n a ⋅的前n 项和.n T (如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)21．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z 拓展”．如数列1，2第1次“Z 拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z 拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a 、b 、c 经过第n 次“Z 拓展”后所得数列的项数记为n P ，所有项的和记为n S ．(1)求1P 、2P ；(2)若2023n P ≥，求n 的最小值；(3)是否存在实数a 、b 、c ，使得数列{}n S 为等比数列？若存在，求a 、b 、c 满足的条件；若不存在，说明理由．21．记数列{}n a 的前n 项和为111,2,34n n n n S a S S a ++=+=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2log n n n b a a =，记{}n b 的前n 项和为n T .若2(1)2n t n T -+≤对于2n ≥且*N n ∈恒成立，求实数t 的取值范围.22．已知抛物线的顶点为原点，焦点F 在x轴的正半轴，F 到直线20x +=的距离为54.点()2,2N ，不过点N 的直线l 与抛物线交于两点,A B ，且2NA NB k k +=-.(1)求抛物线方程及抛物线的准线方程(2)求证：直线AB 过定点，并求该定点坐标.高二期末复习卷(答案)一、单选题1.已知()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（）2.“m>2”是“方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2121S =，则616a a +的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质，可得2121S =与616a a +的关系式，即可求得结果.4.若直线l ：12y x m =-+与曲线C ：21164x x y +=有两个公共点，则实数m 的取值范围为（）A ．()(0,-B ．(0,2,00,2-⋃0,2如图可知，当直线l 介于直线12y x =-和与曲线C 有两个公共点．设1l 的方程为012y x m =-+，()00m >，则有联立220116412x yy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去x 并整理得2y 由()2200Δ4840m m =--=，解得022m =故m 的取值范围为()0,22．故选：B ．5.已知()f x 在0x x =处可导，则()()02200lim x x f x f x x x →-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-等于（）A ．()0f x 'B ．()0f x C ．()20f x '⎡⎤⎣⎦D ．()()002f x f x '业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知,如果不采取有效措施,则从（）年（填年份）开始,快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.（参考数据:lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）7.数列{}n a 满足154a =，211n n n a a a +=-+，*n ∈N ，则122022111a a a +++ 的整数部分是（）8.已知抛物线22(0)y px p =>）的焦点为F ，过F 且倾斜角为π4的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，12AB =，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，交于点Q .则下列四个命题中正确的个数是（）个.①QA QB ⊥；②若M （1，1），P 是抛物线上一动点，则||||PM PF +的最小值为52；③AOB （O 为坐标原点）的面积为；④(,0)2PM -，则tan AMB ∠=二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．已知函数3()2f x x x =+，则该函数在区间[]1,3上的平均变化率为30B ．已知11(,)A x y ，22(,)B x y 在函数()y f x =图象上，若函数()f x 从1x 到2x 则曲线()y f x =的割线AB 的倾斜角为3πC V 与时间t 的关系是221V t =-，则2t =时瞬时加速度为7D ．已知函数()f x =，则(9.05) 3.008f ≈【答案】BD10．在底面边长为2、高为4的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O 为棱1A A 上一点，且11,4A O A A P Q =､分别为线段1111B D A D ､上的动点，M 为底面ABCD 的中心，N 为线段AQ 的中点，则下列命题正确的是（）A ．CN 与QM 共面B ．三棱锥A DMN -的体积为43C ．PQ QO +的最小值为2D ．当11113D Q D A = 时，过,,A Q M 三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为83对于C ，如图2，展开平面点P ，交11A D 与点Q ，则此时对于D ，如图3，取11113D H D C =uuuu r uuuu r共面，即过,,A Q M 三点的正四棱柱的截面为梯形，且12233QH AC ==，所以平面截正四棱柱所得截面的周长为故选:ACD.11．数列{}n a 满足1a a =，1n n n +=--，则下列说法正确的是（）A ．若1a ≠且2a ≠，数列{}n a 单调递减B ．若存在无数个自然数n ，使得1n n a a +=，则1a =C ．当2a >或1a <时，{}n a 的最小值不存在D ．当3a =时，121111,12222n a a a ⎛⎤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈ ⎥---⎝⎦【答案】ACD【分析】A 选项，根据()2110n n n a a a +=--<-求出1n a ≠，再由21311n n n a a a +=--≠求出2n a ≠，从而得到1a ≠且2a ≠，数列{}n a 单调递减，A 正确；B 选项，可举出反例；与抛物线C 交于两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A ．||4AB ≥B ．OA OB ⋅可能大于0C ．P 为抛物线上异于A 、B 的点，直线l 与准线交于点T ，当0,t A >为第一象限的点时，若APB α∠=，PF 平分APB ∠，则π2APT +∠=α对于D 选项，因QA QB ⊥，则Q 为以因()()1122,,A x y B x y ，，1222y y t +=，212212x xt +=+，2AB 则以AB 为直径的圆的方程为(22x t -将其与2:4C y x =联立，消去x 化简得：注意到()4228166448y t y ty +---4y =()()2244412yty yty =--++，由题可得，联立方程有2440y ty --=，其判别式恒大于0，则24120y ty ++=的判别式216t -故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题为直线与抛物线综合题为常用手段；对于C 选项，在抛物线中有很多的等量关系与成比例的关系分解因式处理.三、填空题13．若()f x 为可导函数，且()()121lim14x f x f x→--=-，则过曲线()y f x =上点()()1,1f 处的切线斜率为14．对于数列n a ，若1,n n a a +是关于x 的方程203n n x c x -+=的两个根，且12a =，则数列{}n c 所有项的和为________．【答案】92##4.5种情况进行分类讨论，利用分组和法来求得n T ，进而可利用极限求得“数列所有项的和”.15．法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的蒙日圆为2223:2C x y a +=，过C 上的动点M 作Γ的两条切线，分别与C 交于P ，Q 两点，直线PQ 交Γ于A ，B 两点，则下列说法，正确的有______.①椭圆Γ②MPQ 面积的最大值为232a③M到Γ的左焦点的距离的最小值为(2a④若动点D 在Γ上，将直线DA ，DB 的斜率分别记为1k ，2k ，则1212k k =-16．已知数列{}n a 的通项公式为52n n a +⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，设数列{}n a 的最大项和最小项分别为,M N ，则四、解答题17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的四个顶点构成的四边形的面积为12．18．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>，四点12346,,4,,3M M M M⎛⎛⎛-⎝⎭⎝⎭⎝⎭中恰有三点在C上．(1)求C的方程；将ADEV沿着DE折起，形成四棱锥-P BCDE，其中点A对应的点为点P，如图2.(1)在图2中，在线段PB 上是否存在一点F ，使得CF ∥平面PDE ？若存在，请求出PFPB的值，并说明理由；若不存在，请说明理由；(2)在图2中，平面PBE 与平面PCD 所成的锐二面角的大小为3π，求四棱锥-P BCDE 的体积.3PB 理由如下：过点C 作CH ED ⊥，垂足为H ，在PE 上取一点M ，使得13PM PE =，连接因为13PM PE =，13PF PB =，所以FM 建立空间直角坐标系，设PEB θ∠=，则()2,0,0D -，()22,2,0C -，(P 则()2,2,0DC =- ，(2,2cos DP = 设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则220,22cos 2sin m DC x y m DP x y θθ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+⋅+⎪⎩取sin x θ=，则sin y θ=，cos z θ=-所以()sin ,sin ,cos 1m θθθ=--，，948153线上并解答.已知等差数列{}n a满足________.(1)求数列{}n a的通项公式；(2)求数列{3}na⋅的前n项和.n Tn一次“Z拓展”．如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a、b、c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为n P，所有项的和记为n S．(1)求1P 、2P ；(2)若2023n P ≥，求n 的最小值；(3)是否存在实数a 、b 、c ，使得数列{}n S 为等比数列？若存在，求a 、b 、c 满足的条件；若不存在，说明n 项和为111n n n n ++(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2log n n n b a a =，记{}n b 的前n 项和为n T .若2(1)2n t n T -+≤对于2n ≥且*N n ∈恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)2nn a =(2)8t ≤【分析】（1）利用n a 与n S 的关系证得数列{}n a 是等比数列，从而求得2n n a =；22．已知抛物线的顶点为原点，焦点F 在x 轴的正半轴，F 到直线20x +=的距离为4.点2,2N ，不过点N 的直线l 与抛物线交于两点,A B ，且2NA NB k k +=-.(1)求抛物线方程及抛物线的准线方程。
高二数学复习优质试题(附经典解析)25
高二（上）期末数学试卷一、单选题 1．（5分）直线x +y ﹣1=0的倾斜角为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（5分）若直线l 过点A （﹣2，3），B （3，﹣2），则l 的斜率为（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣23．（5分）抛物线x 2=8y 的焦点到准线的距离是（ ） A ．1B ．2C ．4D ．84．（5分）“a=1”是“a 2=1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．（5分）过椭圆的焦点F 1作直线交椭圆与A 、B 两点，F 2是椭圆的另一焦点，则△ABF 2的周长是（ ） A ．12 B ．24 C ．22 D ．10 6．（5分）命题“∀x ∈R +，＞x +1”的否定是（ ）A ．∀x ∈R +，＜x +1B ．∀x ∈R +，≤x +1C ．∃x0∈R +，+1 D ．∃x 0∈R +，+17．（5分）已知命题P ：2+2=5，命题Q ：3＞2，则下列判断错误的是（ ） A ．“P ∨Q”为真，“￢Q”为假 B ．“P ∧Q”为假，“￢Q”为假 C ．“P ∧Q”为假，“￢P”为假 D ．“P ∧Q”为假，“P ∨Q”为真 8．（5分）抛物线y=ax 2的准线方程是y=2，则a 的值为（ ） A ． B ．C ．8D ．﹣89．（5分）与直线2x +y +1=0的距离为的直线的方程是（ ）A ．2x +y=0B ．2x +y ﹣2=0C ．2x +y=0或2x +y ﹣2=0D ．2x +y=0或2x +y +2=010．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±3x B． C．y=±2x D．11．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）若过点A（3，0）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A．[﹣，]B．（﹣，）C．[﹣，]D．（﹣，）二、填空题13．（5分）命题“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆命题是．14．（5分）抛物线y2=16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F间的距离|PF|=．15．（5分）已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为．16．（5分）若方程所表示的曲线为C，给出下列四个命题：①若C为椭圆，则1＜t＜4；②若C为双曲线，则t＞4或t＜1；③曲线C不可能是圆；④若，曲线C为椭圆，且焦点坐标为；⑤若t＜1，曲线C为双曲线，且虚半轴长为．其中真命题的序号为．（把所有正确命题的序号都填在横线上）三、解答题17．（10分）已知圆经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x﹣y ﹣2=0上．求圆C的方程．18．（12分）已知抛物线的方程为y2=4x，过点M（2，1）作直线l交抛物线于A、B两点，且M为线段AB的中点．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求线段AB的长度．19．（12分）已知命题p：（x+1）（x﹣5）≤0，命题q：1﹣m≤x+1＜1+m（m＞0）．（1）若￢p 是￢q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．20．（12分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求|AB|；（2）若直线l的斜率为1，求实数b的值．21．（12分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2．（1）求双曲线的方程（2）若直线l：y=kx+与双曲线恒有两个不同的交点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为原点），求k的取值范围．22．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点M（4，﹣）．（1）求双曲线方程；（2）求△F1MF2的面积．高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．（5分）直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）A．B．C． D．【解答】解：设直线x+y﹣1=0的倾斜角为θ．由直线x+y﹣1=0化为y=﹣x+1，∴tanθ=﹣，∵θ∈[0，π），∴θ=．故选：C．2．（5分）若直线l过点A（﹣2，3），B（3，﹣2），则l的斜率为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：根据题意，直线l过点A（﹣2，3），B（3，﹣2），则其斜率k AB==﹣1；故选：B．3．（5分）抛物线x2=8y的焦点到准线的距离是（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：抛物线x2=8y，所以p=4，抛物线x2=8y的焦点到准线的距离是：4．故选：C．4．（5分）“a=1”是“a2=1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由a2=1得a=1或﹣1，则“a=1”是“a 2=1”的充分不必要条件， 故选：A5．（5分）过椭圆的焦点F 1作直线交椭圆与A 、B 两点，F 2是椭圆的另一焦点，则△ABF 2的周长是（ ） A ．12 B ．24 C ．22 D ．10 【解答】解：由椭圆可得，a=6，b=5，△ABF 2的周长是 （ AF 1+AF 2 ）+（BF 1+BF 2）=2a +2a=4a=24， 故选B ．6．（5分）命题“∀x ∈R +，＞x +1”的否定是（ ）A ．∀x ∈R +，＜x +1B ．∀x ∈R +，≤x +1C ．∃x0∈R +，+1 D ．∃x 0∈R +，+1【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x ∈R +，＞x +1”的否定是：∃x 0∈R +，+1．故选：D ．7．（5分）已知命题P ：2+2=5，命题Q ：3＞2，则下列判断错误的是（ ） A ．“P ∨Q”为真，“￢Q”为假 B ．“P ∧Q”为假，“￢Q”为假 C ．“P ∧Q”为假，“￢P”为假 D ．“P ∧Q”为假，“P ∨Q”为真【解答】解：2+2=5错误，故命题P 是假命题，3＞2正确，故Q 是真命题， 则“P ∧Q”为假，“￢P”为假， 故选：C8．（5分）抛物线y=ax 2的准线方程是y=2，则a 的值为（ ） A ． B ．C ．8D ．﹣8【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．故选B．9．（5分）与直线2x+y+1=0的距离为的直线的方程是（）A．2x+y=0 B．2x+y﹣2=0C．2x+y=0或2x+y﹣2=0 D．2x+y=0或2x+y+2=0【解答】解：设与直线2x+y+1=0的距离为的直线的方程是2x+y+m=0，则由两条平行直线间的距离公式可得=，解得m=0，或m=2，故所求的直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0，故选D．10．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±3x B． C．y=±2x D．【解答】解：根据题意，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则有e==，即e2===1+=10，解可得=9，即=3，又由双曲线=1的焦点在x轴上，其渐近线方程为：y=±x，则该双曲线的渐近线方程为y=±3x，故选：A．11．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选D．12．（5分）若过点A（3，0）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A．[﹣，]B．（﹣，）C．[﹣，]D．（﹣，）【解答】解：设直线的斜率是k，则直线方程为y=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k=0，当直线和圆相切时，满足圆心到直线的距离d==1，解得k=±，则直线l的斜率的取值范围为[﹣，]，故选：C．二、填空题13．（5分）命题“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆命题是若a+b是偶数，则a、b都是偶数．【解答】解：“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆命题是：“若a+b是偶数，则a、b都是偶数”故答案为：若a+b是偶数，则a、b都是偶数14．（5分）抛物线y2=16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F间的距离|PF|=13．【解答】解：依题意可知点P的纵坐标|y|=12，代入抛物线方程求得x=9抛物线的准线为x=﹣4，根据抛物线的定义可知点P与焦点F间的距离9+4=13故答案为1315．（5分）已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为9．【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|=2a=4而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．故答案为9．16．（5分）若方程所表示的曲线为C，给出下列四个命题：①若C为椭圆，则1＜t＜4；②若C为双曲线，则t＞4或t＜1；③曲线C不可能是圆；④若，曲线C为椭圆，且焦点坐标为；⑤若t＜1，曲线C为双曲线，且虚半轴长为．其中真命题的序号为②④⑤．（把所有正确命题的序号都填在横线上）【解答】解：①若C为椭圆，则，∴1＜t＜4且t，故①不正确；②若C为双曲线，则（4﹣t）（t﹣1）＜0，∴t＞4或t＜1，故②正确；③t=时，曲线C是圆，故③不正确；④若，曲线C为椭圆，此时焦点在x轴上，且焦点坐标为，故④正确；⑤若t＜1，曲线C为双曲线，此时焦点在x轴上，且虚半轴长为，故⑤正确．综上真命题的序号为②④⑤故答案为：②④⑤三、解答题17．（10分）已知圆经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x﹣y ﹣2=0上．求圆C的方程．【解答】解：∵圆C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，∴点C在线段AB的垂直平分线y=﹣x+7，又∵圆心C在直线2x﹣y﹣2=0上∴联立，得C（3，4）．圆C的半径r=|AC|==1，∴圆C的方程是（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．18．（12分）已知抛物线的方程为y2=4x，过点M（2，1）作直线l交抛物线于A、B两点，且M为线段AB的中点．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求线段AB的长度．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A、B在抛物线上，所以有，相减得（y1﹣y2）（y1+y2）=4（x1﹣x2），所以，因为M（2，1）为线段AB的中点，所以x1+x2=4，y1+y2=2，所以k AB=2，又因为直线l过点M（2，1），所以直线l的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0；（Ⅱ）由得，4x2﹣16x+9=0，所以x1+x2=4，，所以，所以线段AB的长度为．19．（12分）已知命题p：（x+1）（x﹣5）≤0，命题q：1﹣m≤x+1＜1+m（m＞0）．（1）若￢p 是￢q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．【解答】解：命题p：（x+1）（x﹣5）≤0，解得﹣1≤x≤5．命题q：1﹣m≤x+1＜1+m（m＞0），即﹣m≤x＜m（m＞0）．（1）若￢p 是￢q的充分条件，则q是p的充分不必要条件．∴，等号不能同时成立，解得0＜m≤1，∴实数m的取值范围是（0，1]．（2）若m=5，q：﹣5≤x＜5．由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则p与q必然一真一假．∴，或．解得x=5或﹣5≤x＜﹣1．∴实数x的取值范围是{x|﹣5≤x＜﹣1，或x=5}．。
高二数学二项式定理复习试题（附答案）
高二数学二项式定理复习试题（附答案）考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。
下面是店铺为大家整理的高二数学二项式定理复习试题，希望对大家有所帮助!高二数学二项式定理复习试题及答案解析一、选择题1.(2013•江西高考)x2-2x35展开式中的常数项为( )A.80B.-80C.40D.-40C [展开式的通项为Tr+1=Cr5x2(5-r)(-2)rx-3r=Cr5(-2)rx10-5r.令10-5r=0，得r=2，所以T2+1=C25(-2)2=40.故选C.]2.(2014•东城模拟)(x-2y)8的展开式中，x6y2项的系数是( )A.56B.-56C.28D.-28A [由二项式定理通项公式得，所求系数为C28(-2)2=56.]3.(x+2)2(1-x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为( )A.5B.3C.2D.0A [常数项为C22×22×C05=4，x7系数为C02×C55(-1)5=-1，因此x7系数与常数项之差的绝对值为5.]4.(2012•蚌埠模拟)在x+13x24的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有( )A.3项B.4项C.5项D.6项C [Tr+1=Cr24(x)24-r13xr=Cr24x12-5r6，故当r=0，6，12，18，24时，幂指数为整数，共5项.]5.(2014•深圳二调)在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中，含x2项的系数是( )A.10B.15C.20D.25C[选 C.含x2项的系数是C22+C23+C24+C25=1+3+6+10=20.]6.在二项式x2-1xn的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( )A.32B.-32C.0D.1C [依题意得所有二项式系数的和为2n=32，解得n=5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于12-115=0.]二、填空题7.(2014•山西诊断)若x-a2x8的展开式中常数项为1120，则展开式中各项系数之和为________.解析x-a2x8的展开式的通项为Tr+1=Cr8x8-r(-a2)rx-r=Cr8(-a2)rx8-2r，令8-2r=0，解得r=4，所以C48(-a2)4=1 120，所以a2=2，故x-a2x8=(x-2x)8.令x=1，得展开式中各项系数之和为(1-2)8=1.答案 18.若x+1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________.解析由C2n=C6n可知n=8，所以x+1x8的展开式的通项公式为Tr+1=Cr8x8-r•1xr=Cr8x8-2r,当8-2r=-2时，r=5，所以1x2的系数为C58=56.答案569.(2014•深圳模拟)已知等比数列{an}的第5项是二项式x-13x6展开式的常数项，则a3a7=________.解析x-13x6的展开式的通项是Tr+1=Cr6•(x)6-r•-13xr=Cr6•-13r•x3-3r2.令3-3r2=0得r=2，因此x-13x6的展开式中的常数式是C26•-132=53，即有a5=53，a3a7=(a5)2=532=259.答案259三、解答题10.若3x+1xn的展开式中各项系数和为1 024，试确定展开式中含x的整数次幂的项.解析令x=1，则22n=1 024，解得n=5.Tr+1=Cr5(3x)5-r1xr=Cr5•35-r •x10-3r2，含x的整数次幂即使10-3r2为整数，r=0、r=2、r=4，有3项，即T1=243x5，T3=270x2，T5=15x-1.11.二项式(2x-3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和.解析设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.(1)二项式系数之和为C09+C19+C29+…+C99=29.(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.(3)由(2)知a0+a1+a2+…+a9=-1，令x=1，y=-1，得a0-a1+a2-…-a9=59，将两式相加，得a0+a2+a4+a6+a8=59-12，即为所有奇数项系数之和.12.已知x+124xn的展开式中，前三项系数成等差数列.(1)求n;(2)求第三项的二项式系数及项的系数;(3)求含x项的系数.解析(1)∵前三项系数1，12C1n，14C2n成等差数列.∴2•12C1n=1+14C2n，即n2-9n+8=0.∴n=8或n=1(舍).(2)由n=8知其通项公式Tr+1=Cr8•(x)8-r•12 41xr=12r•Cr8•x4-34r，r=0，1， (8)∴第三项的二项式系数为C28=28.第三项系数为122•C28=7.(3)令4-34r=1，得r=4，∴含x项的系数为124•C48=358.。
广东省佛山市南海区桂城中学2022-2023学年高二上学期第一次段考 数学试题(原卷版)
B.已知集合 ， ，集合 中任取一个元素，则该元素是集合 中的元素的概率为
C.甲袋中有 个白球， 个红球，乙袋中有 个白球， 个红球，从每个袋子中各任取一个球，则取到同色球的概率为
（2）若D为 的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围．
18.某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按 ， ， ， 分组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
C.若 ∥ ，则mn+2=3D.若 ，则mn+2=0
10.下列关于空间向量的命题中，正确的是（）
A.若向量 ， ， 满足 ， ，则有
B.若向量 ， 共线，对于任意向量 ，均满足
C.若 ， ， 是空间的一组基底，且 ，则A，B，C，D四点共面
D.已知向量Biblioteka ， ，若 ，则 为锐角11.下列对各事件发生的概率判断正确的是（）
D.存在某个位置M，使得直线 与平面 所成的角为
三、填空题（共4题，共20.0分）
13.如图，地上有3个不同的桶，每次取一个桶，直到取完，则最后一个取到B的概率是_____________________．
14.在棱长为1的正方体 中，E为线段 的中点，F为线段 上的中点，点M满足 ，则点M到直线AE的距离为________________．
箭靶区域
环外
黑环
北京市人大附中2022-2023学年高二数学期末复习参考试题(3)
北京市人大附中2022-2023学年高二数学期末复习参考试题（3）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、填空题11．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．12．能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________.三、单选题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*N n "Î，n n S na =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．“a b c d ,,,成等差数列”是“a d b c +=+”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．数列{}n a 的通项公式为||n a n c =-(*)n N Î,则“1c £”是 “{}n a 为递增数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．已知数列{}na 满足11a =，1n n a ra r +=+，(*n ÎN ，r R Î，0r ¹)，则“1r =”是“数列{}na 为等差数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17．已知S n 是等差数列{}()*N na n Î的前n 项和，且675S S S >>，有下列四个命题，假命题的是（ ）A ．公差0d <B ．在所有S 0n <中，13S 最大C ．满足S 0n>的n 的个数有11个D ．67a a >18．设,ab R Î，则“a b >”是“22a b >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件19．设0,0a b >>，则（ ）A ．若2223a b a b +=+，则a b >B ．若2223a b a b +=+，则a b <C ．若2223a b a b -=-，则a b >D ．若2223a b a b -=-，则a b<四、填空题20．比较下列各数的大小：可借助Venn图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．5．C【详解】试题分析：由题意得，(2,3)Ç=，故选C.A B【考点】集合的交集运算【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么（即元素的意义），是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．6．A【详解】在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得，A BÇ为图中阴影部分，即{}-<<，故选A.|32x x考点：集合的交集运算.【详解】分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f （x ）>f （0）且（0，2］上是减函数.详解：令0,0()4,(0,2]x f x x x =ì=í-Îî，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.通常举分段函数.12．1,2,3---【详解】试题分析：()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．13．C【分析】利用常数列、数列前n 项和的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】数列{}na 为常数列，则*N n "Î，1n a a =，121n n n S a a a na na =+++==L ，*N n "Î，n n S na =，则当2n ³时，11(1)n n n n n a S S na n a --=-=--，即1(1)(1)n n n a n a --=-，有1n n a a -=，因此，*N n "Î，11n a a S ==，数列{}n a 为常数列，所以“{}n a 为常数列”是“*N n "Î，n n S na =”的充分必要条件.故选：C 14．A【详解】a ，b ，c ，d 成等差数列Þ a d b c +=+,而1533+=+ ,但1,3,3,5不成等差数列,。
2022-2023学年云南省大理下关第一中学教育集团高二上学期段考(二)数学试题(B卷)(解析版)
2022-2023学年云南省大理下关第一中学教育集团高二上学期段考（二）数学试题（B 卷）一、单选题1．已知集合{}{}1,1,2,3,1,1M N =-=-，下列结论成立的是（ ） A ．M N ⊆ B ．{}1M N =- C ．M N M ⋃= D ．{}1,2,3MN =【答案】C【分析】利用集合的交、并、补运算进行判断.【详解】因为{}{}1,1,2,3,1,1M N =-=-，所以N M ⊆，故A 错；{}11MN =-，，故B 错；{}2,3M C N =，故D 错.故选：C.2．若复数z ＝3－4i 的模为a ，虚部为b ，则a ＋b 等于（ ） A ．5＋4i B ．5－4iC ．1D ．9【答案】C【分析】求出a ，b ，进而可得a b +.【详解】依题意得5a z =，虚部4b =-，所以1a b +=. 故选：C.3．等差数列{23}n -中，公差d 等于（ ） A ．2 B ．3C ．-1D ．-3【答案】D【解析】设23n a n =-，利用1n n d a a -=-即可求解.【详解】设23n a n =-，则()1232313n n d a a n n -=-=----=-⎡⎤⎣⎦， 所以公差d 等于3-， 故选：D【点睛】本题主要考查了利用定义求等差数列的公差，属于基础题. 4．“6x π=”是“1sin 2x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】若6x π=，则1sin 2x =成立，逆命题不成立，可得出结论. 【详解】当6x π=时，1sin 2x =， 所以“6x π=”是“1sin 2x =”的充分条件， 当1sin 2x =时，26x k ππ=+或526x k ππ=+，Z k ∈， 所以“6x π=”是“1sin 2x =”的不必要条件， 即“6x π=”是“1sin 2x =”的充分不必要条件， 故选：A.5．直线:10m x y +-=被圆22:240M x y x y +--=截得的弦长为（ ）A ．4B ．C ．D ．【答案】B【分析】先由圆的一般方程写出圆心坐标()1,2，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线m 的距离d ，则弦长等于【详解】∵22240x y x y +--=，∴()()22125x y -+-=，∴圆M 的圆心坐标为()1,2又点()1,2到直线10x y +-=的距离d ==∴直线m 被圆M 截得的弦长等于=【点睛】本题主要考查圆的弦长公式的求法，常用方法有代数法和几何法；属于基础题型. 6．为了解某校老年、中年和青年教师的身体状况，已知老、中、青人数之比为3:7:5，现用分层抽样的方法抽取容量为n 的样本，其中老年教师有18人，则样本容量n = A ．54 B ．90 C ．45 D ．126【答案】B【解析】根据分层抽样的概念即可求解． 【详解】依题意得318357n ⨯=++，解得90n =，即样本容量为90. 故选B【点睛】本题考查分层抽样的应用，属基础题．7．方程e 10x x ++=的根所在的区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,0- C ．()2,1-- D ．()1,2【答案】C【分析】设e (1)x f x x =++，逐一分析各个选项，结合零点存在性定理，即可得答案. 【详解】设e (1)x f x x =++， 2211(2)10,(1)0,(0)2,(1)e 20,(2)e 30e ef f f f f -=-<-=>==+>=+> 因为(2)(1)0f f -⋅-<，根据零点存在性定理，可得()f x 的零点在区间()2,1--内. 故选：C8．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，243546225a a a a a a ++=，则35a a +等于（ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．20【答案】A【分析】由等比数列的性质可得22243465·,?a a a a a a ==，代入已知式子计算可得所求.【详解】解：由等比数列的性质可得a 2a 4＝a 32，a 4a 6＝a 52， ∴a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 32＋2a 3a 5＋a 52＝（a 3＋a 5）2＝25， 又等比数列{}n a 各项均为正数，∴a 3＋a 5＝5，选项A 正确 故选：A.9．已知平面α截球O α的距离最大值为3，则球O 的表面积为（ ） A ．4π B ．8πC ．16πD ．32π【答案】C【分析】根据条件求出球O 的半径即可.【详解】依题意得：截面圆半径r =O 的半径为R ，则球心O 到截面圆的距离3d R =-.如图，由勾股定理得：222(3)R R =-+，解得2R =，所以球O 的表面积为2416R ππ=. 故选：C.10．已知双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．5D ．52【答案】C【分析】可设双曲线C 的右焦点F(c,0),渐近线的方程为by x a=±,由右焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得c=5a ，可得答案.【详解】解：由题意可设双曲线C 的右焦点F(c,0),渐进线的方程为by x a=±， 可得d=22bc a b+=b=2a ，可得c=22a b +=5a ，可得离心率e=5ca=， 故选C.【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质. 11．“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910.若这堆货物总价是910020010n⎛⎫- ⎪⎝⎭万元，则n 的值为A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】D【分析】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为9210⨯万元，第三层货物总价为29310⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭万元，…，第n 层货物总价为1910n n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭万元，可设这堆货物总价为W 万元，从而可得到21999123101010n W n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋯+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用错位相减法可求出W 的表达式，结合910020010nW ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可求出答案．【详解】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为9210⨯万元，第三层货物总价为29310⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭万元，…，第n 层货物总价为1910n n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭万元，设这堆货物总价为W 万元,则21999123101010n W n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋯+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23999991231010101010nW n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相减得2311999991101010101010n n W n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+++++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭919991010109101010110nn n nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⋅+=-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-， 则99910100100100200101010n n nW n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,解得10n =， 故选D.【点睛】利用错位相减求和是解决本题的关键，考查了学生利用数列知识解决应用问题的能力，属于中档题．12．已知函数()3f x x x =+，x ∈R ，当02πθ≤≤时，()()sin 10f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．(),1-∞C ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分析函数的奇偶性、单调性，将不等式等价转化为sin 1m m θ>-，进而利用三角函数的性质及不等式恒成立的意义得到m 的取值范围.【详解】由3()f x x x =+，∴()f x 为奇函数，增函数， ∴(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，即(sin )(1)f m f m θ>-， ∴sin 1m m θ>-，即()1sin 1m θ-<当02πθ≤≤时，sin [0,1]θ∈，()01sin 1θ≤-≤当1sin =0θ-时，()1sin 1m θ-<成立， 当1sin 0θ-≠时，min111sin m θ⎛⎫<= ⎪-⎝⎭.综上实数m 的取值范围是(),1-∞． 故选：B .二、填空题13．抛物线24y x =的焦点坐标是______． 【答案】(1,0)【详解】抛物线24y x =的焦点在x 轴上，且2,12pp =∴=，所以抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，故答案为()1,0.14．数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则{}n a 的通项公式n a =___________.【答案】3,12,2n n n =⎧⎨≥⎩【分析】根据21n S n n =++求得13a =，当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-求得n a 的表达式，验证首项是否适合，即可得答案.【详解】由题意数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则113a S ==，当2n ≥时，2211(1)(1)12n n n a S S n n n n n -=-=++-----=，13a =不适合上式，故{}n a 的通项公式3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩，故答案为：3,12,2n n n =⎧⎨≥⎩15．如图，为了测量,A C 两点间的距离，选取同一平面上的B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km ）：5AB =，8BC =，3CD =，5DA =，且,,,A B C D 四点共圆，则AC 的长为_________km .【答案】7【分析】根据四点,,,A B C D 共圆可得πB D ∠+∠=，再利用余弦定理可得2289348030AC AC --=-，即可求得答案.【详解】∵,,,A B C D 四点共圆，圆内接四边形的对角和为π ﹒ ∴πB D ∠+∠= ，∴由余弦定理可得222222cos 53253cos 3430cos AD CD AC D D D AD CD =+=+-⋅∠-⨯⨯∠=-∠ ，222222cos 58258cos 8980cos AB BC AC B B B AB BC =+=+-⋅∠-⨯⨯∠=-∠， ∵πB D ∠+∠=，即cos cos B D ∠=-∠ ， ∴ 2289348030AC AC --=-,解得7AC =, 故答案为：716．已知定圆M ：22(3)16x y -+=，点A 是圆M 所在平面内一定点，点P 是圆M 上的动点，若线段PA 的中垂线交直线PM 于点Q ，则点Q 的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③拋物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果的序号为___． 【答案】①②④⑥【详解】当点A 在在圆M 内，4QA QM QP QM MP +=+==，4AM >，则点Q 的轨迹是以A M 、为焦点的椭圆，当点A 在圆上时，由于MP MA =，线段PA 的中垂线交直线PM 于M ，点Q的轨迹为一个点；点A 在圆外时，4QA QM -=，4AM <，则点Q 的轨迹是以A M 、为焦点的双曲线；当点A 与M 重合时，Q 为半径PM 的中点，点Q 的轨迹是以M 为圆心，2为半径的圆，其中正确的命题序号为①②④⑥.【点睛】求点的轨迹问题，主要方法有直接法、定义法、坐标相关法、参数法等，本题利用几何图象中的等量关系找出动点需要满足的条件，根据常见曲线的定义衡量其符合哪种曲线的定义，根据定义要求，写出曲线方程.本题由于点A 为圆面上任意一点，所以需要讨论点A 在圆心、圆内、圆上、圆外几种情况讨论研究，给出相应的轨迹方程.三、解答题17．已知抛物线()220y px p =>的顶点为O ，焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线方程；（2）过点()1,0且斜率为1的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，求线段PQ 的值．【答案】（1）22y x =．（2）【解析】（1）由题得122p =，解之即得抛物线的方程；（2）设直线l 方程为1x y =+，利用弦长公式求解.【详解】解：（1）∵22y px =焦点坐标为,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴122p =，1p =， ∴抛物线的方程为22y x =．（2）设直线l 方程为1x y =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立212x y y x =+⎧⎨=⎩ 消元得2220y y --=，∴120∆=>，122y y +=，122y y =-，∴12PQ y -===∴线段PQ 的值为【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.18．已知数列{}n a 是等比数列，公比1q <，若22a =，1237a a a ++=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）3-2nn a = ；（2）()52n n n T -=.【分析】（1）利用已知条件建立方程组，求出数列的首项和公比，进一步求出数列的通项公式． （2）利用（1）的结论，进一步利用等差数列的前n 项和公式求出结果．【详解】（1）由已知得12111a 2,a a a q 7,q q =⎧⎨++=⎩ 则1a 4,1,2q =⎧⎪⎨=⎪⎩或1a 1,2q =⎧⎨=⎩（舍去）. 所以131422n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）因为3nn 2n 2b log a log 23n -===-.所以数列{}n b 是首项为2，公差为-1的等差数列. 设数列{}n b 的前n 项和为n T , 所以()()n n 23n n 5n T 22+--==.【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题．19．20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率． 【答案】(1)0.005,(2)2,3,(3)0.3 【详解】（1）据直方图知组距=10， 由()23672101a a a a a ++++⨯=，解得10.005200a ==（2）成绩落在[)50,60中的学生人数为20.00510202⨯⨯⨯= 成绩落在[)60,70中的学生人数为30.00510203⨯⨯⨯= （3）记成绩落在中的2人为12,A A ，成绩落在[)60,70中的3人为1B 、2B 、3B ， 则从成绩在的学生中人选2人的基本事件共有10个：()()()()()()()()()()12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：()()()121323,,,,,B B B B B B 故所求概率为310P =20．如图，四棱锥P ABCD -中，2AB AD ==，4CD =，AB CD ∥，AD ⊥平面CDP ，E 为PC 中点.(1)证明：BE ∥平面P AD ；(2)若⊥CP 平面P AD ，22CP =B PA D --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 3【分析】（1）取PD 中点F ，连接EF ，AF ，先证明BE AF ∥,从而得证.（2）由⊥CP 平面P AD ，可得CP PD ⊥，取CD 中点O ，连接PO ，BO ，证明PO ⊥平面ABCD ，BO CD ⊥，从而以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）取PD 中点F ，连接EF ，AF则//EF CD 且12EF CD =又//AB CD 且12AB CD = 所以//EF AB 且 EF AB =由四边形ABEF 是平行四边形，则BE AF ∥又BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD所以BE ∥平面P AD（2）因为⊥CP 平面P AD ∴CP PD ⊥又∵22CP =，2AB AD ==，4CD =∴2222PD CD PC =-=取CD 中点O ，连接PO ，BO∵AD ⊥平面CDP ∴AD PO ⊥，又∵PO CD ⊥∴PO ⊥平面ABCD又∵BO AD ∥，AD CD ⊥∴BO CD ⊥以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图坐标系则()2,2,0A -，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()002P ,, ∴()2,2,2PA =--，()0,2,0AB =设(),,m x y z =为平面P AB 的一个法向量.则22200200m PA x y z m AB x y z ⎧⋅=--=⎨⋅=⋅++⋅=⎩令1z =则()1,0,1m = 显然()0,2,2CP =-为平面P AD 的一个法向量设α为二面角B PA D --的平面角，则1cos =2m CP m CPα⋅=⋅ 所以sinα=所以二面角B PA D --21．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =+.(1)求证：数列{}1n a -是等比数列； (2)设()2log 1n n b a =-，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）详见解析（2）1n n T n =+ 【分析】试题分析： (1)由已知数列递推式求得首项，且当1n >时，有()1121n n S a n --=+-，结合原式作差得到121n n a a -=-，即1121n n a a --=- ，从而证得{}1n a -为等比数列． (2)求出n b ，再通过裂项相消法求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 试题解析： 证明：当1n =时，11121a S a ==+，计算得出11a =-，当1n >时，根据题意得，()1121n n S a n --=+-，所以()()111221221n n n n n n S S a n a n a a ----=+-+-=-+⎡⎤⎣⎦ ，即121n n a a -=-()1121n n a a -∴-=- ，即1121n n a a --=- ∴ 数列{}1n a -是首项为-2，公比为2的等比数列由（1）知，()11222n n n a --=-⋅=-12n n a ∴=-()22log 1log 2n n n b a n ∴=-==()1111111n n b b n n n n +∴==-++，1 则1111111...1311122⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎭⎭+⎝⎝n n n n n n T 22．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，点45P ⎫⎪⎪⎝⎭在曲线E 上，短轴下顶点为A ，且短轴长为2.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）过点P 作直线l 与椭圆的另一交点为B ，且与PA 所成的夹角为30︒，求PAB 的面积.【答案】（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ【分析】（Ⅰ）将点P 代入椭圆方程，得关于a ，b 的方程，由已知求得b ，代入方程求解a ，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由题意可得P A 的斜率为，由题意可知直线l 的倾斜角为30︒或90︒，当直线l 的倾斜角为90︒时，直接求解PB 与PA ，再由三角形面积公式求解；当直线的倾斜角为30︒时，写出直线l 的方程，与椭圆方程联立求解B 的横坐标，进一步求得PB ，再由三角形面积公式求解.【详解】（Ⅰ）将点45P ⎫⎪⎪⎝⎭代入椭圆的方程得22271612525a b +=， 由短轴长为2，知1b =，故23a =， 则椭圆的方程为2213x y +=. （Ⅱ）由题意可得PAPA 的倾斜角为60︒，当PA 与直线l 所成夹角为30︒时，易知直线l 的倾斜角为30︒或90︒.①当直线l 的倾斜角为90︒时，85PB =，PA =则1sin 302PAB S PA PB =⋅︒=△； ②当直线l 的倾斜角为30︒时，直线l的方程为45y x -=⎝⎭，即15y x =+，联立方程221513y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2722025x x +-=，则B P x x +=故B x =. 145B P P B x =-=，1sin 302PAB S PA PB =⋅︒=△ 综上可得PAB【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题.。
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高二年级段考复习试卷 班别 姓名
一、选择题(每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确.每小题5分,共60分)
1.i是虚数单位,复数iiz3443的虚部是 （ ）
A.0 B.1 C.-1 D.2
2.设b、a是两个单位向量,其夹角为,则“36”是“1||ba”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.双曲线)0(1222ayax的一个焦点为)0,2(,则其渐近线方程为（ ）
A.xy3 B.xy33 C.xy2 D.xy21
4.变量yx,满足条件010yxyx,则yxz24的最大值为 （ ）
A.2 B.3 C.4 D. 8
5.执行右图所给的程序框图，
则运行后输出的结果是 （ ）
A.3 B.3 C.4 D.4
6.如图,为一个几何体的三视图,正视图和侧
视图均为矩形,俯视图中曲线部分为半圆,
尺寸如图,则该几何体的体积为（ ）
A.2 B.22
C.4 D.42
7.设集合}16241|{xxA,)}3ln(|{2xxyxB,从集合A中任取一个元素,则这个元素也是集
合B中元素的概率是 （ ）
A.61 B.31 C.21 D.32
8.已知函数()2xfx,等差数列}{na的公差为2,且
4)(108642aaaaaf
,*)(6)]()()([log212Nnafafafn,则n （ ）
A.10 B.8 C.6 D.5
9.已知函数,)21()(||xxf设)2(3.0fa,)3.0(log2fb,)10(lnfc,则cba,,的大小关系是 （ ）
A. bca B.cab C.bac D.cba
10.如图不规则四边形ABCD中，AB和CD 是线段,AD和BC是圆弧,直线l⊥AB于E,当l从左至右移动(与线段
AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分的面积为y,则y关于x的大致图象是（ ）
11.已知函数)0)(4sin(2)(xxf的最小正周期为,下列四个判断:
(1)当]2,0[x时,)(xf的最小值为1;
(2)函数)(xf的图象可由xy2cos2的图象向右平移4个单位长度得到;
(3)函数)(xf的图象关于直线8x对称;
(4)函数)(xf在区间]83,8[上是减函数.则正确判断的个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
12.定义在R上的奇函数)(xf满足)()2(xfxf,当]1,0[x时,xxf)(.又2cos)(xxg,则函数
)9,1()()(xxgxfy
的零点个数为 （ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 若0sinaxdx,则二项式61()axx展开式中常数项是____________.
14.三棱柱111CBAABC的底面ABC是边长为2的正, 侧棱1AAABC，1AA=4,则此三棱柱外接球的表面
积为___________.
15. 数列}{na满足:11a,2121nnnnaaaa.数列}{nb满足:1111,1nnnabbb( *Nn),则nb=____ 。.
16. 已知21FF、是椭圆2222:1xyCab（0ab）的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆222xyb 相
切于点Q，且点Q为线段PF2的中点,则椭圆C的离心率为________.
三.解答题(本大题6小题,共70分,)
17. (本小题满分12分)在ABC中,角CBA、、的对边分别为cba、、,BA2,33sinB.
(1) 求Acos及Ccos的值.(2) 若2b,求c.
18. (本小题满分12分)
如图,已知四棱锥PABCD的底面是正方形,PA面ABCD,
且2PAAD,点,MN,PDPC上, 1,.2PNNCPMMD
(1) 求证:PC面AMN;
(2) 求二面角BMNA的余弦值.
19. (本小题满分12分)
某单位举行趣味知识有奖竞赛,比赛分初赛和决赛两部分,初赛采取选手选一题答一题的方式,每位选手最
多有5次答题机会,累计答对3题者直接进入决赛,答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题的正确率为32.
(1) 求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率;
(2) 设选手甲在初赛中答题的个数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.
20. (本小题满分12分)
设抛物线C的方程为:)0(22ppxy,焦点为F.
(1)过点F作直线交抛物线C于BA、两点,若,2FBAF线段AB的中点到准线的距离为49,求C的方程;
(2) 设)2)(,(000xyxP是(1)中所求抛物线C上的动点,定点)0,2(Q,线段PQ的垂直平分线与x轴交
于点)0,(mM,求实数m的最小值.
21. (本小题满分12分)
设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0，1]时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
22. (本小题满分12分)
已知函数1,ln1,)(23xxaxcbxxxxf的图象过坐标原点O,且在点))1(,1(f处的切线的斜率是5.
(1) 求)(xf在区间2,1上的最大值；
(2) 对Ra,在曲线)(xfy上是否存在两点,PQ,使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边
的中点在y轴上?若存在,求出满足条件的a的范围,若不存在,说明理由.
当且仅当2220x时，实数m取得最小值224。
21.解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
令f′(x)＝0，得x1＝－1－4＋3a3，
x2＝－1＋4＋3a3，x1
当x
当x1
故f(x)在－∞，－1－4＋3a3和 －1＋4＋3a3，＋∞内单调递减，
在－1－4＋3a3，－1＋4＋3a3内单调递增．
(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，
①当a≥4时，x2≥1.
由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
②当0
所以f(x)在x＝x2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．
又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0
当1