高一数学期中试卷及答案
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
2023-2024学年河南省南阳市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．∅B．A C．B D．A∪B2．命题“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是（）A．方程x2﹣8x+15＝0有一个根不是偶数B．方程x2﹣8x+15＝0至少有一个根不是偶数C．方程x2﹣8x+15＝0至多有一个根不是偶数D．方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数3．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f(x)=1e x+e−x B．f(x)=1e x−e−xC．f(x)=e x−e−xe x+e−x D．f(x)=ex+e−xe x−e−x4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln54≈0.223，由此可知ln5的近似值为（）A．1.519B．1.726C．1.609D．1.3165．已知a=243，b=425，c=2013，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b6．通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把y＝[x]称为取整函数．那么“[x]＝[y]”是“|x﹣y|＜1”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要7．若关于x的不等式1x−a ＞1x−b的解集是{x|1＜x＜3}，则下列式子中错误的是（）A．a﹣b＜0B．a+b＝4C．a＝1，b＝3D．a＝3，b＝18．已知函数f(x)={−2x 2+4x ，x ≤2，x−2x+1，x ＞2，若存在三个不相等的实数x 1，x 2，x 3使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则f （x 1+x 2+x 3）的取值范围是（ ） A ．(25，1)B ．(25，+∞)C ．(25，2)D ．（2，+∞）二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．满足函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调的实数a 的值可能是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．610．下列函数中，具备奇偶性的函数是（ ） A ．f(x)=(√x)2B ．f(x)=1+22x−1C ．f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.D ．f(x)=√4−x 22−|x−2|11．已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），且对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的有（ ）A ．f （1.2）＞f （1.5）B ．2a +b ＝0C ．f(−√2)＜f(√3)D ．abc ＜012．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则下列结论成立的是（ ） A ．1a +1b的最小值为4B ．1a +ab 的最小值为3C ．11−a+12−b的最小值为2D ．a +1b的最小值为1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4），则a +b ＝ ． 14．若函数f （x ）的定义域是[2，5]，则函数y =f(2x−3)√x 2−2x−3的定义域是 ．15．已知f （x ）＝x 2+|x |+2；则不等式f （x +1）＜8的解集是 ．16．如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为√6，则该等腰三角形的面积最大值为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）已知x+x﹣1＝3，求是x 12+x−12值；（2）计算：2−12+2+(1−√2)−1−823+2lg5lg20+(lg2)2．18．（12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）在[1+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）求函数g(x)=√x2+4x2+5的值域．19．（12分）已知集合A＝{x|x2+ax﹣a﹣1＜0，a∈R}，B＝{x|2＜x＜3}．（1）若0∈A且2∉A，求实数a的取值范围；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．20．（12分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+600．（1）设袁阳每月获得的利润为ω（单位：元），写出每月获得的利润ω与销售单价x的函数关系；（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？21．（12分）已知log a b+log b a=52，a b＝b a，其中a＞b＞1．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）＝m•a x+b x+1在定义域[1，2]上为增函数，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＞0时，f（x）＝2x+a，a∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求函数f（x）的表达式；（2）若函数f（x）是奇函数且在R上单调，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，若关于x的方程（（f（x）+2+a）（f（x）﹣a）＝0有三个不等的实数根，求实数a的取值范围．2023-2024学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）A．∅B．A C．B D．A∪B解：集合A＝{x|1＜x＜3}，则B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}＝{y|1＜y＜5}，故A∩B＝A．故选：B．2．命题“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是（）A．方程x2﹣8x+15＝0有一个根不是偶数B．方程x2﹣8x+15＝0至少有一个根不是偶数C．方程x2﹣8x+15＝0至多有一个根不是偶数D．方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数解：“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是：方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数．故选：D．3．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f(x)=1e x+e−x B．f(x)=1e x−e−xC．f(x)=e x−e−xe x+e−x D．f(x)=ex+e−xe x−e−x解：对于A，f(0)=12，与图象不相符，故A错误；对于B，f（0）无意义，与图象不相符，故B错误；对于C，函数定义域为R，f（0）＝0，f(−x)=e−x−e xe−x+e x=−f(x)，函数为奇函数，符合图象，故C正确；对于D，f（0）无意义，与图象不相符，故D错误．故选：C．4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln 54≈0.223，由此可知ln 5的近似值为（ ）A ．1.519B ．1.726C ．1.609D ．1.316解：因为ln 2≈0.693，ln 54≈0.223=ln 5﹣2ln 2＝ln 5﹣1.386，由此可知ln 5≈1.609．故选：C ． 5．已知a =243，b=425，c=2013，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解：∵a =243=√163，b =425=√165，c =2013=√203，y =x 13=√x 3是R 上的增函数，20＞16，∴√203＞√163，即c ＞a ．再根据√163＞√165，可得a ＞b ． 综上可得，c ＞a ＞b ． 故选：A ．6．通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把y ＝[x ]称为取整函数．那么“[x ]＝[y ]”是“|x ﹣y |＜1”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要解：若[x ]＝[y ]，设[x ]＝[y ]＝m ，则x ＝m +a （0≤a ＜1），y ＝m +b （0≤b ＜1）， ∴x ﹣y ＝a ﹣b ∈（﹣1，1），∴|x ﹣y |＜1，反之，令x ＝1.1，y ＝0.9，则满足|x ﹣y |＝0.2＜1，但[x ]＝1，[y ]＝0，[x ]≠[y ]， ∴[x ]＝[y ]是|x ﹣y |＜1的充分不必要条件． 故选：A ． 7．若关于x 的不等式1x−a＞1x−b的解集是{x |1＜x ＜3}，则下列式子中错误的是（ ）A ．a ﹣b ＜0B ．a +b ＝4C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝3，b ＝1解：由1x−a＞1x−b，得1x−a−1x−b＞0，化简得，a−b(x−a)(x−b)＞0，即（a ﹣b ）（x ﹣a ）（x ﹣b ）＞0，∵不等式1x ＞a＞1x−b的解集是{x |1＜x ＜3}，∴a ﹣b ＜0，且1和3是方程（x ﹣a ）（x ﹣b ）＝0的两个根， ∴a ＝1，b ＝3，∴a +b ＝4，故A 正确，B 正确，C 正确，D 错误． 故选：D ．8．已知函数f(x)={−2x 2+4x ，x ≤2，x−2x+1，x ＞2，若存在三个不相等的实数x 1，x 2，x 3使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则f （x 1+x 2+x 3）的取值范围是（ ） A ．(25，1)B ．(25，+∞)C ．(25，2)D ．（2，+∞）解：函数f （x ）={−2x 2+4x ，x ≤2x−2x+1，x ＞2的图象如图所示：由f （x ）在（﹣∞，2]上关于x ＝1对称，且f max （x ）＝2， 当x ∈（2，+∞）时，f （x ）=x−2x+1=1−3x+1是增函数， 且f （x ）=x−2x+1=1−3x+1∈（0，1）， 所以x 1+x 2＝2，x 3∈（2，+∞）， 所以x 1+x 2+x 3∈（4，+∞），又f （4）=4−24+1=25， 故f （x 1+x 2+x 3）∈（25，1）．故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．满足函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调的实数a 的值可能是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：因为函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调，所以1＜12a ＜3，即2＜a ＜6．故选：ABC ．10．下列函数中，具备奇偶性的函数是（ ） A ．f(x)=(√x)2B ．f(x)=1+22x−1C ．f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.D ．f(x)=√4−x 22−|x−2|解：根据题意，依次分析选项：对于A ，f （x ）＝（√x ）2，其定义域为[0，+∞），不关于原点对称， 则该函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B ，f （x ）＝1+22x−1，其定义域为R ， 有f （﹣x ）+f （x ）＝1+22−x −1+1+22x −1=2+2⋅2x1−2x +22x−1=0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 则该函数为奇函数，符合题意；对于C ，f(x)={−x ，x ＜−11，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.其定义域为{x |x ≠±1}，当x ＜﹣1时，﹣x ＞1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝﹣x ， 当﹣1＜x ＜1时，﹣1＜﹣x ＜1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝1， 当x ＞1时，﹣x ＜﹣1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝x ，综合可得：∀x ∈{x |x ≠±1}，都有f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）为偶函数，符合题意；对于D ，f （x ）=√4−x 22−|x−2|，则有{4−x 2≥02−|x −2|≠0，解可得﹣2≤x ≤2且x ≠0，即函数的定义域为{x |﹣2≤x ≤2且x ≠0}， 则f （x ）=√4−x 2x，则有f （﹣x ）=−√4−x 2x=−f （x ），则f （x ）为奇函数．故选：BCD ．11．已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），且对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的有（ ）A ．f （1.2）＞f （1.5）B ．2a +b ＝0C ．f(−√2)＜f(√3)D ．abc ＜0解：因为二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ）， 即函数的图象关于x ＝1对称，故−b2a=1，所以b +2a ＝0，B 正确； 对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，所以f （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，所以a ＜0，b ＝﹣2a ＞0，但c 的正负无法确定，D 错误；根据函数的对称性可知，f （x ）在（1，+∞）上单调递减，则f （1.2）＞f （1.5），A 正确， 又f （−√2）＝f （2+√2）＜f （√3），C 正确． 故选：ABC ．12．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则下列结论成立的是（ ）A ．1a +1b的最小值为4B ．1a +ab 的最小值为3C ．11−a+12−b的最小值为2D ．a +1b的最小值为1解：对于A ，1a +1b =(a +b)(1a +1b )=2+b a +a b ≥2+2√b a ⋅a b=4，当且仅当a ＝b =12时，取等号，故A 正确；对于B ，1a =a+b a =1+b a ，故1a +a b =1+b a +a b ≥1+2√b a ⋅a b=3，当且仅当a ＝b =12时，取等号，故B 正确；对于C ，由a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，可知（1﹣a ）+（2﹣b ）＝3﹣（a +b ）＝2，且1﹣a ＞0，2﹣b ＞0， 11−a+12−b=12[(1−a)+(2−b)](11−a+12−b)=12(2+2−b 1−a+1−a 2−b)≥12(2+√2−b 1−a ⋅1−a 2−b)=2， 不等式取等号的条件是1﹣a ＝2﹣b ＝1，即a ＝0，b ＝1，与题设a +b ＝1矛盾，故11−a+12−b的最小值大于2，C 不正确；对于D ，a +1b −1=1b −b =1−b 2b =(1+b)(1−b)b ＞0，故a +1b＞1，最小值大于1，故D 不正确．故选：AB ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4），则a +b ＝ 3 ． 解：幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4）， ∴{a 2−2a +2=1f(2)=2b =4，解得a ＝1，b ＝2，则a +b ＝1+2＝3． 故答案为：3．14．若函数f （x ）的定义域是[2，5]，则函数y =f(2x−3)√x 2−2x−3的定义域是 （3，4] ．解：由题意得，{2≤2x −3≤5x 2−2x −3＞0，解得3＜x ≤4．故答案为：（3，4]．15．已知f （x ）＝x 2+|x |+2；则不等式f （x +1）＜8的解集是 （﹣3，1） ．解：对于f （x ）＝x 2+|x |+2，当x ≥0时，f （x ）＝x 2+x +2，当x ＜0时，f （x ）＝x 2﹣x +2， 所以f(x)={x 2+x +2，x ≥0x 2−x +2，x ＜0，当x +1≥0时，即x ≥﹣1时，不等式f （x +1）＜8可化为（x +1）2+（x +1）+2＜8，即x2+3x﹣4＜0，解得﹣4＜x＜1，所以﹣1≤x＜1；当x+1＜0时，即x＜﹣1时，不等式f（x+1）＜8可化为（x+1）2﹣（x+1）+2＜8，即x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，所以﹣3＜x＜﹣1；综上，不等式f（x+1）＜8的解集为（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．16．如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为√6，则该等腰三角形的面积最大值为4．解：如图所示：作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则AE＝EB，EF＝FB，设DF＝h，FB＝b，故AF＝3b，在△ADF中：6＝9b2+h2≥2√9b2×ℎ2=6bh，即bh≤1，当且仅当9b2＝h2，即h=√3，b=√33时等号成立，S△ABC＝2S△ABD＝4bh≤4．故答案为：4．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（1）已知x+x﹣1＝3，求是x 12+x−12值；（2）计算：2−12+40√2+(1−√2)−1−823+2lg5lg20+(lg2)2．解：（1）由于(x 12+x12)2=x+x−1+2=5，又x 12+x−12＞0，故x12+x12=√5；（2）原式=√222−（√2+1）﹣4+2＝﹣3．18．（12分）已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）在[1+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）求函数g(x)=√x2+4x2+5的值域．解：（1）函数f（x）在[1+∞）上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，x2x1＞1，则f(x2)−f(x1)=(x2+1x2)−(x1+1x1)=x2−x1+1x1=(x2−x1)(x2x1−1)x2x1＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）是[1，+∞）上的增函数．（2）令t=√x2+4(t≥2)，则t2﹣4＝x2，于是g（x）的值域即为求ℎ(t)=tt2+1=1t+1t的值域，由（1）知函数y=t+1t(t≥2)在[2，+∞）是单调递增的，所以当t＝2时，即√x2+4=2，即x＝0处y取最小值y min=2+12=52，所以0＜1t+1t≤25，所以函数g(x)=√x2+4x2+5的值域为(0，25]．19．（12分）已知集合A＝{x|x2+ax﹣a﹣1＜0，a∈R}，B＝{x|2＜x＜3}．（1）若0∈A且2∉A，求实数a的取值范围；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：（1）由0∈A且2∉A，得{−a−1＜0a+3≥0，∴a＞﹣1，∴a的取值范围为（﹣1，+∞）；（2）由p是q的必要不充分条件，∴B⫋A，∵x2+ax﹣a﹣1＝（x﹣1）（x+a+1）＜0，且B＝{x|2＜x＜3}，故A＝{x|1＜x＜﹣a﹣1}，∴{1＜−a−1−a−1≥3，∴a≤﹣4，∴a的取值范围为（﹣∞，﹣4]．20．（12分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+600．（1）设袁阳每月获得的利润为ω（单位：元），写出每月获得的利润ω与销售单价x 的函数关系；（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？解：（1）依题意可知每件的销售利润为（x ﹣20）元，每月的销售量为（﹣10x +600）件，所以每月获得的利润ω与销售单价x 的函数关系为ω＝（x ﹣20）（﹣10x +600）（20≤x ≤60）；（2）由每月获得的利润不小于3000元，即（x ﹣20）（﹣10x +600）≥3000，即x 2﹣80x +1500≤0，即（x ﹣30）（x ﹣50）≤0，解得30≤x ≤50，又因为这种节能灯的销售单价不得高于40元，所以30≤x ≤40，设政府每个月为他承担的总差价为p 元，则p ＝（24﹣20）（﹣10x +600）＝﹣40x +2400，由30≤x ≤40，得800≤p ≤1200，故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[800，1200]元．21．（12分）已知log a b +log b a =52，a b ＝b a ，其中a ＞b ＞1． （1）求实数a ，b 的值；（2）若函数f （x ）＝m •a x +b x +1在定义域[1，2]上为增函数，求实数m 的取值范围．解：（1）设log b a ＝k ，则k ＞1，因为log a b +log b a =52， 可得k +1k =52，所以k ＝2，则a ＝b 2． 又a b ＝b a ，所以b 2b =b b 2，即2b ＝b 2，又a ＞b ＞1，解得b ＝2，a ＝4．（2）由（1）以及函数f （x ）＝m •a x +b x +1，得f （x ）＝m •4x +2x +1，令t ＝2x ，x ∈[1，2]，则y ＝mt 2+t +1，t ∈[2，4]．为使f （x ）在[1，2]上为增函数，则m ＝0或{m ＞0−12m ＜2或{m ＜0−12m≥4，解得m ＝0或m ＞0或−18≤m ＜0． 综上，m 的取值范围为[−18，+∞)． 22．（12分）已知函数f （x ）的定义域为R ．当x ＞0时，f （x ）＝2x +a ，a ∈R ．（1）若函数f （x ）为奇函数，求函数f （x ）的表达式；（2）若函数f （x ）是奇函数且在R 上单调，求实数a 的取值范围；（3）在（1）的条件下，若关于x 的方程（（f （x ）+2+a ）（f （x ）﹣a ）＝0有三个不等的实数根，求实数a 的取值范围．解：（1）当x ＝0时，f （0）＝0；当x ＜0时，f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（2﹣x +a ）＝﹣2﹣x ﹣a ；故f(x)={2x +a ，x ＞00，x =0−2−x −a ，x ＜0．（2）因为当x ＞0时，f （x ）＝2x +a 是单调增函数，所以若f （x ）在R 上单调，则f （x ）必为R 上的单调增函数，只须满足﹣20﹣a ≤0≤20+a ，得a ≥﹣1，实数a 的取值范围是[﹣1，+∞）；（3）由方程（f （x ）+2+a ）（f （x ）﹣a ）＝0⋯（*），可得f （x ）＝﹣2﹣a 或f （x ）＝a ，由题意可知，f （x ）不可能是单调函数，故a ＜﹣1，又因为方程（*）有三个不等的实数根，且a ＜1+a ，所以只须1+a ＜﹣2﹣a ＜﹣1﹣a 且﹣2﹣a ≠0，解得a ＜−32且a ≠﹣2， 综上所述，a 的取值范围为(−∞，−2)∪(−2，−32)．。
(完整word版)高一数学期中考试试卷及答案
高一数学期中考试试卷及答案（考试时间：120分钟）一、 选择题（10⨯5分）1． 下列四个集合中，是空集的是（ ）A ． }33|{=+x xB ． },,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ． }0|{2≤x xD ． },01|{2R x x x x ∈=+- 2． 下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个 3． 若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（ ）A ． 锐角三角形B ． 直角三角形C ． 钝角三角形D ． 等腰三角形4． 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ． )2()1()23(f f f <-<-B ． )2()23()1(f f f <-<-C ． )23()1()2(-<-<f f fD ． )1()23()2(-<-<f f f5． 下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ． x y = B ． x y -=3C ．xy 1=D ． 42+-=x y 6． 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f ．A ． ⑴、⑵B ． ⑵、⑶C ． ⑷D ． ⑶、⑸ 7 . 以下说法正确的是( ).A.正数的n 次方根是正数B.负数的n 次方根是负数C.0的n 次方根是0(其中n>1且n ∈N *) D .负数没有n 次方根8. 若n<m<0,则错误!未找到引用源。
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期期中考试 数学含答案
2024年下学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{1,2}A =，{,}B xy x A y A =∈∈，则集合B 中元素的个数为（）A.4B.3C.2D.12.设,a b ∈R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“a ∃∈R ，210ax +=有实数解”的否定是（）A.a ∀∈R ，210ax +≠有实数解 B.a ∃∈R ，210ax +=无实数解C.a ∀∈R ，210ax +=无实数解D.a ∃∈R ，210ax +≠有实数解4.已知集合{1,2}M =，{1,2,4}N =，给出下列四个对应关系：①1y x=，②1y x =+，③y x =，④2y x =，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A.①②B.①③C.②④D.③④5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）A. B.C. D.6.若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.02a << B.111a b+≤2≤ D.228a b +≤7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则满足()0xf x <的x 的取值范围是（）A.(,2)(2,)-∞-+∞B.(0,2)(2,)+∞ C.(2,0)(2,)-+∞ D.(,2)(0,2)-∞-8.若函数2(21)2(0)()(2)1(0)b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+--≤⎩，为在R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（）A.1,22⎛⎤⎥⎝⎦ B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.[]1,2 D.[2,)+∞二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数()bf x x x=+，下列说法正确的是（）A.若1b =，则函数()f x 的最小值为2B.若1b =，则函数()f x 在(1,)+∞上单调递增C.若1b =-，则函数()f x 的值域为RD.若1b =-，则函数()f x 是奇函数10.已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）的部分图象如图所示，则（）A.0abc >B.0a b +>C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+>的解集为112x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-<<11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，当0x <时，()0f x >.则下列说法正确的是（）A.(0)0f = B.()f x 为奇函数C.()f x 在区间[],m n 上有最大值()f n D.()2(21)20f x f x -+->的解集为{31}x x -<<三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若36a ≤≤，12b ≤≤，则a b -的范围为________.13.定义在R 上的函数()f x 满足：①()f x 为偶函数；②()f x 在(0,)+∞上单调递减；③(0)1f =，请写出一个满足条件的函数()f x =________.14.对于一个由整数组成的集合A ，A 中所有元素之和称为A 的“小和数”，A 的所有非空子集的“小和数”之和称为A 的“大和数”.已知集合{1,0,1,2,3}B =-，则B 的“小和数”为________，B 的“大和数”为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合{3}A x a x a =≤≤+，集合{1B x x =<-或5}x >，全集R U =.（1）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围；（2）若命题“x A ∀∈，x B ∈”是真命题，求实数a 的取值范围.16.（15分）已知幂函数()2()253mf x m m x =-+是定义在R 上的偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]1,4上，()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围.17.（15分）已知关于x 的不等式(2)[(31)]0mx x m ---≥.（1）当2m =时，求关于x 的不等式的解集；（2）当m ∈R 时，求关于x 的不等式的解集.18.（17分）为促进消费，某电商平台推出阶梯式促销活动：第一档：若一次性购买商品金额不超过300元，则不打折；第二档：若一次性购买商品金额超过300元，不超过500元，则超过300元部分打8折；第三档：若一次性购买商品金额超过500元，则超过300元，不超过500元的部分打8折，超过500元的部分打7折.若某顾客一次性购买商品金额为x 元，实际支付金额为y 元.（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若顾客甲、乙购买商品金额分别为a 、b 元，且a 、b 满足关系式45085b a a =++-320(90)a ≥，为享受最大的折扣力度，甲、乙决定拼单一起支付，并约定折扣省下的钱平均分配.当甲、乙购买商品金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付多少钱？并分析折扣省下来的钱平均分配，对两人是否公平，并说明理由．（提示：折扣省下的钱=甲购买商品的金额+乙购买商品的金额-甲乙拼单后实际支付的总额）19.（17分）经过函数性质的学习，我们知道：“函数()y f x =的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“()y f x =是奇函数”.（1）若()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()1f x x =+，求()f x 的解析式；（2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数()y f x =的图象关于点(,0)a 成中心对称图形”的充要条件是“()y f x a =+为奇函数”.若定义域为R 的函数()g x 的图象关于点(1,0)成中心对称图形，且当1x >时，1()1g x x=-.（i ）求()g x 的解析式；（ii ）若函数()f x 满足：当定义域为[],a b 时值域也是[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值”区间，若函数()tg()(0)h x x t =>在(0,)+∞上存在保值区间，求t 的取值范围.2024年下学期期中考试参考答案高一数学1.B2.A3.C4.D【详解】对于①，1y x =，当2x =时，1N 2y =∉，故①不满足题意；对于②，1y x =+，当1x =-时，110N y =-+=∉，故②不满足题意；对于③，y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，2N y =∈，故③满足题意；对于④，2y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，4N y =∈，故④满足题意. D.5.A6.C 【详解】因为0a >，0b >，当3a =，1b =时，3ab =，1114133a b +=+=，2210a b +=，所以ABC 选项错误.由基本不等式a b +≥22a b+≤=，选C.7.A 【详解】定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，故函数在(0,)+∞上单调递减，且(2)0f =，故(2)(2)0f f -=-=，函数在(2,0)-和(2,)+∞上满足()0f x <，在(,2)-∞-和(0,2)上满足()0f x >.()0xf x <，当0x <时，()0f x >，即(,2)x ∈-∞-；当0x >时，()0f x <，即(2,)x ∈+∞.综上所述：(,2)(2,)x ∈-∞-+∞ .故选A.8.C 【详解】21020221b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-≥-⎪⎩，解得12b ≤≤.∴实数b 的取值范围是[]1,2，故选C.9.BCD 10.ACD11.ABD解：因为函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，所以(0)(0)(0)f f f +=，即2(0)(0)f f =，则(0)0f =；令y x =-，则()()(0)0f x f x f +-==，故()f x 为奇函数；设12,x x ∈R ，且12x x <，则1122122()()()()f x f x x x f x x f x =-+=-+，即1212())()(0f x f x f x x -=->，所以()f x 在R 上是减函数，所以()f x 在区间[],m n 上有最大值()f m ；由2(21)(2)0f x f x -+->，得2(23)(0)f x x f +->，由()f x 在R 上减函数，得2230x x +-<，即(3)(1)0x x +-<，解得31x -<<，所以2(21)(2)0f x f x -+->的解集为{31}x x -<<，故选ABD.12.[1,5]13.21x -+（答案不唯一）14.5，80【详解】由题意可知，B 的“小和数”为(1)01235-++++=，集合B 中一共有5个元素，则一共有52个子集，对于任意一个子集M ，总能找到一个子集M ，使得M M B = ，且无重复，则M 与M 的“小和数”之和为B 的“小和数”，这样的子集对共有54222=个，其中M B =时，M =∅，考虑非空子集，则子集对有421-对，则B 的“大和数”为4(21)5580-⨯+=.故答案为：5；80.15.【详解】（1）因为3a a <+对任意a ∈R 恒成立，所以A ≠∅，又A B =∅ ，则135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得12a -≤≤；（2）若x A ∀∈，x B ∈是真命题，则有A B ⊆，则31a +<-或5a >，所以4a <-或5a >.16.【详解】（1）因为2()(253)mf x m m x =-+是幂函数，所以22531m m -+=，解得2m =或12，又函数为偶函数，故2m =，2()f x x =；（2）原题可等价转化为220x kx -+>对[1,4]x ∈恒成立，分离参数得2k x x <+，因为对[1,4]x ∈恒成立，则min 2(k x x<+，当0x >时，2x x +≥=当且仅当2x x=即x =时取得最小值.故k <17.【详解】（1）解：当2m =时，不等式可化为(1)(5)0x x --≥解得1x ≤或5x ≥，所以当2m =时，不等式的解集是{1x x ≤或5}x ≥.（2）①当0m =时，原式可化为2(1)0x -+≥，解得1x ≤-；②当0m <时，原式可化为2((31)]0x x m m ---≤，令231m m =-，解得23m =-或1；1）当23m <-时，231m m -<.故原不等式的解为231m x m -≤≤；2）当23m =-时，解得3x =-；3）当203m -<<时，231m m <-，原不等式的解为231x m m≤≤-；③当0m >时，原式可化为2((31)]0x x m m---≥，1）当01m <<时，231m m >-，2x m∴≥或31x m ≤-；2）当1m =时，不等式为2(2)0x -≥，x ∈R ；3）当1m >时，231m m <-，31x m ∴≥-或2x m≤.综上，当23m <-时，原不等式的解集为231x m x m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-≤≤；当23m =-时，不等式的解集为{}3x x =-；当203m -<<时，解集为231x x m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤-；当0m =时，解集为{}1x x ≤-；当01m <<时，不等式的解集是{2x x m ≥或31}x m ≤-；当1m =时，不等式的解集为R ；当1m >时，解集是{31x x m ≥-或2}x m≤.18.【详解】（1）由题意，当0300x <≤时，y x =；当300500x <≤时，3000.8(300)0.860y x x =+-=+；当500x <时，3000.8(500300)0.7(500)0.7110y x x =+-+-=+.综上，,03000.860,300500 0.7110,500x x y x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪+<⎩.（2）甲乙购买商品的金额之和为4502320(90)85a b a a a +=++≥-.45045023202(85)3201708585a b a a a a +=++=-+++--490230490550≥=⋅+=（元）当且仅当4502(85)85a a -=-即8515a -=±时，原式取得最小值.此时100a =（或70a =，舍去），550450b a =-=（元）因为550500>，则拼单后实付总金额0.7550110495M =⨯+=（元）故折扣省下来的钱为55049555-=（元）.则甲乙拼单后，甲实际支付5510072.52-=（元），乙实际支付55450422.52-=（元）而若甲乙不拼单，因为100300<，故甲实际应付100a '=（元）；300450500<<，乙应付0.845060420b '=⨯+=（元）.因为420元<422.5元，若按照“折扣省下来的钱平均分配”的方式，则乙实付金额b 比不拼单时的实付金额b '还要高，因此该分配方式不公平.（能够答出“乙购买的商品的金额是甲购买商品的金额的4.5倍，则乙应减的价钱应是甲的4.5倍，故不公平”之类的答案的可酌情给分）答：当甲、乙的购物金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付495元.若按“折扣省下来的钱平均分配”的方式拼单，则拼单后乙实付422.5元，比不拼单时的实付420元还要高，因此这种方式对乙不公平.19.【详解】（1）()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，0x -<，所以()()f x f x =--()2211x x ⎡⎤=--+=--⎣⎦，又()00f =，所以()221,00,01,0x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩；（2）（i ）因为定义域为R 的函数()g x 的图象关于点()1,0成中心对称图形，所以()1y g x =+为奇函数，所以()()11g x g x +=--，即()()2g x g x =--，1x <时，21x ->，所以()()1121122g x g x x x ⎛⎫=--=--=-+ ⎪--⎝⎭.所以()11,111,12x xg x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪-⎩；（ii ）()()()11,1tg 011,12t x x h x x t t x x ⎧⎛⎫⋅-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==>⎨⎛⎫⎪⋅-+< ⎪⎪-⎝⎭⎩，a ）当()0,1x ∈时，()11()11022h x t t t x x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+=⋅--> ⎪ --⎝⎭⎝⎭在()0,1单调递增，当()[,]0,1a b ⊆时，则112112t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅--= ⎪⎪-⎝⎭⎩，即方程112t x x ⎛⎫⋅--= ⎪-⎝⎭在()0,1有两个不相等的根，即()220x t x t +--=在()0,1有两个不相等的根，令()()()22,0m x x t x t t =+-->，因为()()0011210m t m t t ⎧=-<⎪⎨=+--=-<⎪⎩，所以()220x t x t +--=不可能在()0,1有两个不相等的根；b ）当()1,x ∈+∞时，()()110h x t t x ⎛⎫=⋅-=> ⎪⎝⎭在()1,+∞单调递增，当()[,]1,a b ⊆+∞时，则1111t a a t bb ⎧⎛⎫⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即方程11t x x ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭在()1,+∞有两个不相等的根，即20x tx t -+=在()1,+∞有两个不相等的根，令()()2,0n x x tx t t =-+>，则有()2110022212n t t t t t n t t t⎧=-+>⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+<⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得4t >.c ）当01a b <<<时，易知()g x 在R 上单调递增，所以()()()tg 0h x x t =>在()0,+∞单调递增，此时11211t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()()()()2222211221111111211112111a a a a a t a a a a a b b b t b b b b ⎧---+-====-+⎪⎪----⎨-+-+⎪===-++⎪---⎩令()()()11,011r a a a a =--+<<-，则易知()r a 在()0,1递减，所以()()00r a r <=即0t <，又1b >时，()112241t b b =-++≥=-，当且仅当()111b b -=-，即2b =时取等，以()()110111241t a a t b b ⎧=-+<⎪⎪-⎨⎪=-++≥⎪-⎩，此时无解；t 的范围是()4,+∞.。
2024-2025学年广州市三校高一数学上学期期中联考试卷及答案解析
2024-2025学年上学期期中三校联考高一数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}24,,3401A x x k B x x x k ⎧⎫=∈=∈=--≤⎨⎬+⎩⎭Z Z ∣∣，则A B = （ ）A. {}1,1,2,4-B. {}4,2,1,1---C. [)(]1,00,4-⋃D. [)(]4,00,1- 【答案】A 【解析】【分析】根据列举法求解集合和求解一元二次不等式的解法即可求解.详解】41x k =+，若要Z x ∈，则需14,2,1,1,2,4k +=---，所以解得1,2,4,4,2,1x =---所以{}4,2,1,1,2,4,A =---，{}()(){}{}234041014B x x x x x x xx =--≤=-+≤=-≤≤∣∣∣所以{}1,1,2,4A B ⋂=-.故选：A .2. 给出下列命题，其中是正确命题是（ ）A. 两个函数()f x =，()g x =表示的是同一函数B. 函数()1f x x=的单调递减区间是()(),00,-∞+∞ C. 若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,1D. 命题“[)0,x ∞∀∈+，210x +>”的否定是“(),0x ∃∈-∞，210x +≤”【答案】C 【解析】【的【分析】先看定义域，再看解析式判断选项A ；据减函数定义判断选项B ；根据抽象函数定义域，判断选项C ；根据全称量词命题的否定形式判断选项D.【详解】()1f x x =≥，()(][),11,g x x =∈-∞-⋃+∞，定义域不同，故A 正确；函数()1f x x=的单调递减区间是(),0-∞ 和()0,∞+，故B 错误；因为函数()f x 的定义域为[]0,2，所以02x ≤≤，所以022x ≤≤，解得01x ≤≤，所以函数()2f x 的定义域为[]0,1，故C 正确；命题“[)0,x ∞∀∈+，210x +>”的否定是“[)0,x ∃∈+∞，210x +≤”，故D 错误.故选：C3. 近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率f （单位时间内心跳的次数）与其自身体重W 满足()130=≠k f k W的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg 、脉搏率为205次1min -⋅，若经测量一匹马的脉搏率为41次1min -⋅，则这匹马的体重为（ ）A. 350kg B. 450kg C. 500kg D. 250kg【答案】D 【解析】【分析】根据已知函数模型代入2W =即可得出132052k =⨯，最后再根据脉搏率得出体重.【详解】根据题意()130k f k W=≠，当2W =时，205f=，则132052k =⨯，当41f =时，则11133320525241W ⨯==⨯，故250W =.故选：D.4. 已知R a b c ∈,,，那么下列命题中正确的是（ ）A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a bc c>，则a b >C. 若0a >，0b >，则22b a a ba b+≥+ D. 若22a b >且0ab >，则11a b<【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质或通过举反例，对四个选项进行分析．【详解】A ．若a b >，当0c =时， 22ac bc =，所以A 不成立；B ．若a bc c>，当0c <时，则a b <，所以B 不成立；C ．若0a >，0b >，由()()()()2222222220a b a b a b a b b a b a a b a b a b a b ab ab ---+--+--=+==≥，所以C 成立D ．若22a b >且0ab >，当00a b <⎧⎨<⎩时，则a b <，所以11a b >，则D 不成立．故选：C ．5. 关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则下列说法正确的个数是（ ）个.①0a <；②关于x 的不等式0bx c +>的解集为(),6-∞-；③0a b c ++>；④关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集为11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据解一元二次不等式的规则，得出,,a b c 三者之间的关系，进而判断每一个说法的正误，得出本题结果.【详解】解：因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，所以0a <且2-和3是20ax bx c ++=的解，所以说法①正确；由韦达定理得，()2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得6b a c a =-⎧⎨=-⎩，所以0bx c +>即为60ax a -->，故6x >-，所以说法②错误；660a b c a a a a ++=--=->，所以说法③正确；不等式20cx bx a -+>即为260ax ax a -++>，即2610x x -->，解得11,,32x ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不等式20cx bx a -+>的解集为11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以说法④正确.故选：C.6. 已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在[)0,1为减函数，在[)1,+∞为增函数，()20f =，则不等式()()110x f x +-≥的解集为（ ）A. (][],11,3-∞- B. []{}1,31- C. (][),11,-∞-+∞ D. []13,-【答案】B 【解析】【分析】由题意先明确函数()f x 在R 上的单调性和函数值情况并作出函数图，接着分(),1x ∞∈--、1x =-和()1,x ∞∈-+三种情况分析()()11x f x +-即可求解.【详解】由题意可知()()00,20f f =-=，且()f x 在(],1-∞-上单调递增，在(]1,0-上单调递减，如图：当(),1x ∞∈--时，10,12x x +<->，故()10f x ->，此时()()110x f x +-<；当1x =-时，满足()()110x f x +-≥；当()1,x ∞∈-+时，10x +>，12x -<，此时()()110x f x +-≥，则()10f x -≥，所以21013x x -≤-≤⇒≤≤，综上，不等式()()110x f x +-≥的解集为[]{}1,31⋃-.故选：B.7. 已知()g x 是定义域为R 的函数，()22g x ax =+，若对任意的1212x x <<<，都有()()12123g x g x x x ->--成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)0,∞+B. 3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D. 3,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】构造2()32h x ax x =++，根据其在(1,2)x ∈单调递增，分类讨论即可求解.【详解】因为对任意的1212x x <<<，都有()()12123g x g x x x ->--成立，所以()()121233g x g x x x -<-+，所以()()112233g x x g x x +<+成立，构造2()()332h x g x x ax x =+=++，所以由上述过程可得2()32h x ax x =++在(1,2)x ∈单调递增，(i)若0a <，则对称轴0322x a =-≥，解得304a -≤<；(ii) 若0a =，()32h x x =+(1,2)x ∈单调递增，满足题意；(iii) 若0a >，则对称轴0312x a=-≤恒成立；综上，3,4a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，故选：D8. 若对于定义域内的每一个x ，都有()()f kx kf x =，则称函数()f x 为“双k 倍函数”.已知函数()f x 是定义在[]1,4上的“双2倍函数”，且当[)1,2x ∈时，()24127f x x x =-+-，若函数()y f f x a ⎡⎤=-⎣⎦恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. ()1,2 B. []1,4 C. ()(]1,22,4 D. (]1,4【答案】D 【解析】在【分析】先根据定义求出函数()f x 解析式，并作出函数图象，结合图象分析可得.【详解】由题知，对[]1,4x ∈，都有()()22f x f x =设[2,4)x ∈，则[1,2)2x∈所以22()2(2[4(127]21214222x x x f x f x x ==-+⨯-=-+-又2(2)22122142f =-⨯+⨯-=所以(4)2(2)4f f ==则224127,[1,2)()21214,[2,4)4,4x x x f x x x x x ⎧-+-∈⎪=-+-∈⎨⎪=⎩因为函数()y f f x a ⎡⎤=-⎣⎦恰有4个不同的零点，即方程[f(x)]f a =有4个不同的实数根，记()f x m =，则方程()f m a =必有两个不同的实数根为12,m m ，且1()f x m =和2()f x m =都有两个不同实数根，由图可知，当(1,4]a ∈时，有12,(1,4]m m ∈，且12m m ≠，此时1()f x m =和2()f x m =都有两个不同实数根，满足题意.所以，实数a 的取值范围为(1,4].故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知实数a 满足14a a -+=，下列选项中正确的是（ ）A. 1a a --=B. 2214a a -+=C. 1122a a -+=D. 3322a a -+=的【答案】BCD 【解析】【分析】运用幂的乘方公式，完全平方公式以及立方和公式建立1a a -+，1a a --，1122a a -+，22a a -+以及3322a a -+之间的内在联系即可求得.【详解】因为14a a -+=，所以0a >，对于A 选项，由()()22122114122a a a a a a a a-----=+⋅-==-+，可得1a a --=±，故A 项错误；对于B 选项，()22211216214a a a a a a ---+=+-⋅=-=，故B 项正确；对于C 选项，由211111222226a a a a a a ---⎛⎫+=++⋅= ⎪⎝⎭，又0a >，所以11220a a -+>，则1122a a-+=，故C 项正确；对于D 选项，因331111331222222()()()(1)a a a a a a a a ----+=+=+-+=故D 项正确.故选：BCD.10. 已知0,0x y >>，且21x y +=，则下列正确的有（ ）A. xy 的最大值是18B. 24x y +的最小值是C. 12x y+的最大值是9D.【答案】AB 【解析】【分析】由基本不等式逐项判断即可.【详解】因为0,0,21x y x y >>+=，12x y =+≥18xy ≤，当且仅当11,24x y ==时，等号成立，A 正确；22224x y x y =+≥=+=222x y =，即11,24x y ==时等号成立，B 正确．121222(2)()(5)(59x y x y x y x y y x +=++=++≥+=，当且仅当22x y y x =，即13x y ==时等号成立，C 错误；由2x y +得22(2)2x y ≤+=+≤，D 错；故选：AB ．11. 定义在()0,∞+上的函数()f x 满足下列条件：（1）()()x f yf x xf y y ⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）当1x >时，()0f x >，则（ ）A. ()10f =B. 当01x <<时，()0f x <C. ()()22f xf x ≥ D. ()f x 在()1,+∞上单调递增【答案】ABD 【解析】【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，A ，取1x y ==可得；B ，取1x =，再由条件当1x >时，()0f x >推理可得；对于C ，虽能用基本不等式，但因()f x 在()0,∞+上的符号不定，得不出结论；对于D ，运用单调性定义法推导即可.【详解】对于A 项，由()()x f yf x xf y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取1x y ==，得，(1)(1)(1)0f f f =-=，故A 项正确；对于B 项，由()()x f yf x xf y y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，取1x =，因()10f =，故1(()f f y y =-，即1(()f f x x=-，当01x <<时，11x >，则1()0f x>，故()0f x ->，即()0f x <，故B 项正确；对于C 项，由()()x f yf x xf y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取2x y =，可得，22()()()f y yf y y f y =-，整理得，21()(()f y y f y y=+，因0y >，12y y+≥，当且仅当1y =时取等号，但因()f y 的符号不能确定，故不一定有2()2()f y f y ≥，即2()2()f x f x ≥不一定成立，故C 项错误；对于D 项，任取121x x >>，则121x x >，依题意，12(0xf x >，而()()121122x f x f x x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()()21120x f x x f x ->，即()()1212f x f x x x >，即()()f x g x x=在(1,)+∞上是增函数.于是，对于()()f x xg x =，任取121x x >>，因12()()0g x g x >>，则1122()()x g x x g x >，即12()()f x f x >，即函数()f x 在()1,∞+上单调递增，故D 项正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 4130320.064(πe)9-+-+-⨯=__________.【答案】52【解析】【分析】根据分数指数幂及根式的运算法则计算即可.【详解】解：4130320.064(πe)9-+-⨯4131322322[(0.4)]21[(3)]3--⎛⎫=+--⨯ ⎪⎝⎭32140.3413--=+--⨯41352=+--52=.故答案：5213. 已知幂函数()f x过点⎛ ⎝，若()(32)1a f f a <+-，则实数a 的取值范围是_________.【答案】23,32⎛⎫⎪⎝⎭【解析】为【分析】设出幂函数解析式y x α=代入点待定α，再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解即可得.【详解】设幂函数()f x x α=，因为函数图象过点⎛ ⎝，则1222α-==，解得12α=-，则12()f x x-==，其定义域为()0,∞+，且()f x 在()0,∞+单调递减.所以由()(32)1a f f a <+-，可得10320132a a a a+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得2332a <<.所以实数a 的取值范围是23,32⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：23,32⎛⎫⎪⎝⎭.14. 定义区间(a,b)，[a,b)，(a,b]，[a,b]的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,(1,2) [3,5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3. 用[x]表示不超过x 的最大整数，记{x}=x-[x]，其中x R ∈.设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，当0x k ≤≤时,不等式()()f x g x <解集区间的长度为5，则k 的值为_______．【答案】7【解析】【详解】f(x)=[x]⋅{x}=[x]⋅(x−[x])=[x]x−[x]2,g(x)=x−1，f(x)<g(x)⇒[x]x−[x]2<x −1即([x]−1)x<[x]2−1，当x ∈[0,1)时,[x]=0，上式可化为x>1，∴x ∈∅；当x ∈[1,2)时,[x]=1，上式可化为0>0，∴x ∈∅；当x ∈[2,3)时,[x]=2,[x]−1>0,上式可化为x<[x]+1=3，∴当x ∈[0,3)时,不等式f(x)<g(x)解集区间的长度为d=3−2=1；同理可得,当x ∈[3,4)时,不等式f(x)<g(x)解集区间的长度为d=4−2=2；∵不等式f(x)<g(x)解集区间的长度为5，∴k−2=5，∴k=7.故答案为7.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知集合12324x A x⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}22440,R B x x x m m =-+-≤∈.（1）若3m =，求A B ⋂；（2）若存在正实数m ，使得“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求正实数m 的取值范围.【答案】（1）[]1,5A B =-∩ （2）[)4,+∞【解析】【分析】（1）解指数不等式，一元二次不等式化简集合,A B ，然后由交集定义计算；（2）根据充分不必要条件的定义得不等式组求解；【小问1详解】[]12322,54x A x ⎧⎫=≤≤=-⎨⎬⎩⎭因0m >，则()(){}[]22,R 2,2B x x m x m m m m ⎡⎤⎡⎤=---+∈=-+⎣⎦⎣⎦.当3m =时，[]1,5B =-，所以[]1,5A B =-∩.【小问2详解】因“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，则A 是B 的真子集.所以[)002244,253m m m m m m m ∞>>⎧⎧⎪⎪-≤-⇒≥⇒∈+⎨⎨⎪⎪+≥≥⎩⎩，经检验“=”满足.所以实数m 的取值范围是[)4,+∞.16. 设()212y mx m x m =+-+-．（1）若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()()2121R +-+-<-∈mx m x m m m ．【答案】（1）13m ≥； （2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题设()210mx m x m +-+≥对一切实数x 恒成立，讨论参数m ，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可.（2）讨论0m =、0m ≠，结合一元二次不等式的解法求解集.【小问1详解】由题设()2122mx m x m +-+-≥-，即()210mx m x m +-+≥对一切实数x 恒成立，当0m =时，()210mx m x m x +-+=≥不恒成立；当0m ≠时，只需()22Δ140m m m >⎧⎪⎨=--≤⎪⎩，可得13m ≥；综上，13m ≥.【小问2详解】当0m =时，()2121mx m x m m +-+-<-，即21x -<-，可得1x <；解集为(,1)-∞；当0m ≠时，()2111()(1)0mx m x m x x m+--=+-<，若0m <，则1()(1)0x x m+->，若11m ->，即10m -<<时，可得1x m >-或1x <，解集为1(,1)(,)m-∞-+∞ ；若11m-=，即1m =-时，可得1x ≠，解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞；若11m -<，即1m <-时，可得1x >或1x m <-，解集为1(,(1,)m-∞-+∞ ；若0m >，则1()(1)0x x m +-<，可得11x m -<<，解集为1(,1)m-.17. 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC 卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为()R x 万元，且()24,0105300,10a x x R x b x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）2418420,01040000165280,10x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩（2）当50x =时，W 取得最大值为3680万元【解析】【分析】（1）根据题意求出,a b ，分别求出当010x <≤时和当10x >时的年利润()()1620W xR x x =-+，即可求解；（2）分类讨论，当010x <≤时根据二次函数的单调性求出最大值，当10x >时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解．【小问1详解】因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元，所以()488208161196a -⨯⨯--⨯=，解得200a =，当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元，所以253002020201629602020b ⎛⎫-⨯--⨯=⎪⎝⎭，解得40000b =，当010x <≤时，()()()()2162020041620418420W xR x x x x x x x =-+=--+=-+-，当10x >时，()()()25300400004000016201620165280W xR x x x x x xx x ⎛⎫=-+=--+=--+⎪⎝⎭，综上2418420,01040000165280,10x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩．【小问2详解】①当010x <≤时，24(23)2096W x =--+单调递增，所以()max 101420W W ==；②当10x >时，40000165280W x x=--+，由于40000161600x x +=≥，当且仅当4000016x x=，即5010x =>时取等号，所以此时W 的最大值为3680，综合①②知，当50x =时，W 取得最大值为3680万元．18. 双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：双曲正弦函数e e sinh 2x x x --=，双曲余弦函数：e e cosh 2x xx -+=（1）请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分）①22cosh sinh 1x x -= ②22cosh 2cosh sinh x x x =+（2）请证明双曲正弦函数sinh x 在R 上是增函数；（3）求函数22cosh sinh cosh y x x x =++在R 上的值域．【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）[)2,+∞【解析】【分析】（1）根据双曲正弦、余弦函数的定义，利用指数的运算化简，即可得证；（2）运用单调函数的定义结合指数函数的单调性进行证明即可；（3）利用整体思想，通过换元的方法转化为二次函数，分析二次函数的单调情况求得值域.【小问1详解】（1）若选择①：由题意e e sinh 2x x x --=，e e cosh 2x xx -+=，则()()22222222e e e e e e 2e e 24cosh sinh 12244x x x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫+-++-+--=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若选择②：()()22222222e e e e e e 2e e 2cosh sinh 224x x x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫+-++++-+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22e e cosh 22x x x -+==.【小问2详解】（2）（1）证明：12,x x ∀∈R ，且12x x <1211221212e e e ee ee e sinh sinh 22211x x x x x x x x x x -----∴=⎛⎫---=-⎪⎝⎭()21121212121e e e e 1e e ee e e 22x x x x x x x x x x ⎛⎫--+-- ⎪⋅⎝⎭⋅==∵12x x <，∴12e e 0x x -<，12110e ex x +>，∴12sinh sinh 0x x -<，即12sinh sinh x x <所以sinh x 在R 上是增函数．【小问3详解】（3）法一：由（1）知，22cosh sinh 1x x -=，则222cosh sinh cosh 2cosh 1cosh x x x x x ++=-+，令cosh t x =，则e e 12x x t -+=≥=，当且仅当0x =时取等，令()()222cosh sinh cosh 21f x x x x g t t t =++==-+，又函数()g t 在[)1,+∞上单调递增，故g(t)≥g （1）=2，故()g t 的值域为[)2,+∞，即22cosh sinh cosh y x x x =++的值域为[)2,+∞；法二：，22cosh 2cosh 2x x e e x x -++=+2xxee -+ ，令e e 2x x t -=+≥，则222222e e 2e e 2x x x x t t --=++⇒+=-，令()()cosh 2cosh f x x x g t =+=，则()()22111922224g t t t t ⎡⎤⎛⎫=-+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()g t 在[)2,+∞上单调递增，故()()22g t g ≥=，故()g t 的值域为[)2,+∞，即22cosh sinh cosh y x x x =++的值域为[)2,+∞．19. 已知函数()y F x =的定义域为D ，t 为大于0的常数，对任意x D ∈，都满足()()()2F x t F x t F x ++->，则称函数()y F x =在D 上具有“性质A ”．（1）试判断函数2xy =和函数2y x =-是否具有“性质A ”（无需证明）；（2）若函数()y f x =具有“性质A ”，且()102f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，求证：对任意n ∈N ，都有()()1f n f n >+；（3）若函数()y g x =的定义域为R ，且具有“性质A ”，试判断下列命题的真假，并说明理由，①若()y g x =在区间(),0-∞上是严格增函数，则此函数在R 上也是严格增函数；②若()y g x =在区间(),0-∞上是严格减函数，则此函数在R 上也是严格减函数．【答案】（1）函数2xy =不具有“性质A ”，函数2y x =-具有“性质A ” （2）证明见解析 （3）命题①为假命题，命题②为真命题，理由见解析【解析】【分析】（1）利用作差法结合“性质A ”的定义判断可得出结论；（2）利用“性质A ”的定义结合不等式()102f f ⎛⎫>⎪⎝⎭可推导出()1102f n f n ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭，()102f n f n ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，利用不等式的基本性质可证得结论成立；（3）取()2g x x =-可判断命题①为假命题，对命题②，对任意的1t 、2t ∈R 且12x x <，取210t x x =->，根据“性质A ”的定义结合基本不等式的性质、单调性的定义证得()()12g x g x >，即可证得结论成立.【小问1详解】解：函数2xy =不具有“性质A ”，函数2y x =-具有“性质A ”，理由如下：设()2xp x =，()2q x x =-，对任意的0t >，()()()()222222222x tx t x x t t p x t p x t p x +--++--=+-⋅=+-()220x >⨯-=，所以，()()()2p x t p x t p x ++-<，所以，函数2xy =不具有“性质A ”，对任意的0t >，()()()()()22222220q x t q x t q x x x t x t t ++--=-+--=<，所以，()()()2q x t q x t q x ++->，所以，函数2y x =-具有“性质A ”.【小问2详解】证明：因为函数()y f x =具有“性质A ”，对任意的0t >，()()()2f x t f x t f x ++->，所以，()()()()f x f x t f x t f x -->+-，又因为()102f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，所以，()()()1130011222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->->-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1111222f n f n f n f n f n f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-->+->+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，()()1021102f n f n f n f n ⎧⎛⎫+-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，由不等式的可加性可得()()10f n f n +-<，故对任意的N ∈n ，()()1f n f n +<.【小问3详解】解：命题①是假命题，命题②是真命题，理由如下：对于命题①，取函数()2g x x =-，由（1）可知，函数()g x 具有“性质A ”，函数()2g x x =-在区间(),0-∞上是严格增函数，但该函数在R 上不单调；对于命题②，对任意的0t >，对任意的x ∈R ，()()()2g x t g x t g x ++->，所以，()()()()g x t g x g x g x t -->-+，对任意的1t 、2t ∈R 且12x x <，取210t x x =->，必存在1k ≥且N k ∈，满足()2201x kt x k t >->-+，因为函数()y g x =在区间(),0-∞上是严格减函数，所以，()()()221g x kt g x k t -<-+，即()()()2210g x kt g x k t ---+<，所以，()()()()()()()()222222011g x k t g x kt g x kt g x k t g x t g x <-+--<----<<-- ，故()()()()22120g x t g x g x g x <--=-，即()()12g x g x >，故函数()y g x =在R 上是严格减函数.所以，命题②为真命题.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试题高一数学 2024.11试卷满分:150分，考试时间:120分钟注意事项:1.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上(用2B 铅笔填涂)，非选择题一律在答题卡上作答（用0.5mm 黑色签字笔作答），在试卷上答题无效。
3.考试结束后，请将答题卡交监考人员。
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每题给出的四个选项中只有一项是最符合题意的。
1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 或2. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D.43.设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）A. B. C. D. 4．函数的值域为（ ）A. B. C. D. 5.已知函数的定义域为，则函数）A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）{|02}A x x =<<{|14}B x x =<<A B = {|02}x x <<{|24}x x <<{|04}x x <<{2|x x <4}x >a {}260A x x x =+-=∣{20}B x ax =-=∣B A ⊆a ()f x 0x ≥()2f x x x =+0x <()f x =2x x +2x x -2x x --2x x -+x x y 211-++=(]2，∞-()2，∞-()20，[)∞+，2(2)f x +(3,4)-()g x =(1,6)(1,2)(1,6)-(1,4)20ax bx c ++>{}12x x -<<()()2112a x b x c ax ++-+>A. B. 或C. 或 D. 7.命题在单调增函数，命题在上为增函数，则命题是命题的（ ）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要8. 已知,则的最大值为（ ）A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。
2023-2024学年山东省临沂市临沂一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省临沂市临沂一中高一（上）期中数学试卷一、选择题1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2 B ．若a ＜b ＜0，则a +1b ＜b +1a C ．若0＜a ＜b ＜c ，则ba ＜b+c a+cD ．若a ＞0，b ＞0，则b 2a+a 2b≤a +b2．已知a 1，a 2∈（0，1），记M ＝a 1a 2，N ＝a 1+a 2﹣1，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不确定3．因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（ ） A ．甲方案B ．乙方案C ．一样D ．无法确定4．不等式（1﹣x ）（2+x ）＞0的解集为（ ） A ．{x |x ＜﹣2或x ＞1} B ．{x |﹣2＜x ＜1}C ．{x |x ＜1或x ＞2}D ．{x |﹣1＜x ＜2}5．下列关于基本不等式的说法正确的是（ ） A ．若0＜x ＜13，则x （1﹣3x ）的最大值为112B ．函数y =x 2+3x+3x+1(x ＞−1)的最小值为2C ．已知x +y ＝1，x ＞0，y ＞0，则12x+12y的最小值为54D ．若正数x ，y 满足x 2+xy ﹣2＝0，则3x +y 的最小值是36．关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0解集为{x |﹣2＜x ＜3}，不等式cx 2﹣bx +a ＜0解集是（ ） A ．(−∞，−12)∪(13，+∞) B ．(−∞，−13)∪(12，+∞) C ．(−12，13)D ．(−13，12)7．不等式（a ﹣2）x 2+（a ﹣2）x ﹣1＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2）B ．（﹣2，2]C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）8．已知a ，b ∈（0，+∞），且a 2+3ab +4b 2＝7，则a +2b 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．2√2D ．3√2二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＜b ，1a ＜1b ，则ab ＜0B ．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＞0，则ea−c＞e b−dC ．若c ＞a ＞b ＞0，则a c−a＞b c−bD ．若a ＞b ＞c ＞0，则a b＞a+c b+c10．已知正数x ，y 满足x +y ＝2，则下列说法错误的是（ ） A ．2√xy 的最大值为2 B ．x 2+y 2的最大值为2C ．√x +√y 的最小值为2D ．4xy x+y的最小值为211．已知关于x 的不等式x 2﹣4x ﹣a ﹣1≥0在x ∈[1，4]上有解，则a 的取值可以是（ ） A ．﹣6B ．﹣5C ．﹣1D ．012．下列说法正确的是（ ）A ．x +1x(x ＞0)的最小值是2B ．2√x 2+2的最小值是√2C ．2√x 2+4的最小值是2D ．2−3x −4x 的最大值是2−4√3二、填空题（本题共4小题，每小题0分，共32分．将答案填在题后的横线上） 13．已知x ，y 为正实数，且x +y ＝2，则1x+1xy的最小值为 ．14．已知f(x)=x 3+1x ，若正数m ，n 满足f （2m ）+f （n ﹣2）＝0，则1m+1n的最小值为 ．15．已知函数f （x ）＝x 2+mx ﹣1，若对于任意x ∈[m ，m +1]都有f （x ）＜0，则实数m 的取值范围为 ． 16．若存在常数k 和b ，使得函数F （x ）和G （x ）对其公共定义域上的任意实数x 都满足：F （x ）≥kx +b 和G （x ）≤kx +b 恒成立（或F （x ）≤kx +b 和G （x ）≥kx +b 恒成立），则称此直线y ＝kx +b 为F （x ）和G （x ）的“隔离直线”．已知函数f （x ）＝﹣x 2（x ∈R ），g(x)=1x (x ＞0)，若函数f （x ）和g （x ）之间存在隔离直线y ＝﹣3x +b ，则实数b 的取值范围是 ． 四．解答题17．设函数f （x ）＝x 2﹣ax +b ，已知不等式f （x ）＜0的解集是{x |1＜x ＜2}． （1）求不等式bx 2﹣ax +1＞0的解集； （2）对任意x 1，x 2∈R ，比较f(x 1+x 22)与f(x 1)+f(x 2)2的大小．18．（1）已知2＜a ＜6，1＜b ＜3，求a ﹣2b ，ab取值范围；（2）已知1≤a +b ≤5，﹣1≤a ﹣b ≤3，求3a ﹣2b 的取值范围． 19．设函数f （x ）＝ax 2+（b ﹣2）x +3（a ∈R ），（1）若不等式f （x ）＜0的解集为（1，3），求函数f （x ）的解析式； （2）若b ＝﹣a ﹣3，求不等式f （x ）＞﹣4x +2的解集． （3）若f （1）＝4，b ＞﹣1，a ＞0，求1a +a b+1的最小值．20．已知关于x 的不等式kx 2﹣2kx ﹣k +1＞0的解集为M ． （1）若M ＝R ，求实数k 的取值范围；（2）若存在两个实数a ，b ，且a ＜0，b ＞0，使得M ＝{x |x ＜a 或x ＞b }，求实数k 的取值范围； （3）李华说集合M 中可能仅有一个整数，试判断李华的说法是否正确？并说明你的理由．2023-2024学年山东省临沂市临沂一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2 B ．若a ＜b ＜0，则a +1b ＜b +1a C ．若0＜a ＜b ＜c ，则ba ＜b+c a+cD ．若a ＞0，b ＞0，则b 2a+a 2b≤a +b解：对于A ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2＝0，故A 错误；对于B ，(a +1b )−(b +1a )=a −b +a−bab =(a −b)(1+1ab )， 由于a ＜b ＜0，故a ﹣b ＜0，1+1ab ＞0，所以(a +1b )−(b +1a )＜0，即a +1b ＜b +1a，B 正确； 对于C ，ba −b+c a+c=c(b−a)a(a+c)，由于0＜a ＜b ＜c ，故ba−b+c a+c =c(b−a)a(a+c)＞0，即b a＞b+c a+c，C 错误；对于D ，根据基本不等式，可知b 2a+a +a 2b+b ≥2√b 2a ⋅a +2√a 2b⋅b =2a +2b ，当b 2a=a 且a 2b=b ，即a ＝b 时取得等号，因此b 2a+a 2b≥a +b ，故D 错误．故选：B ．2．已知a 1，a 2∈（0，1），记M ＝a 1a 2，N ＝a 1+a 2﹣1，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不确定解：由M ﹣N ＝a 1a 2﹣a 1﹣a 2+1＝（a 1﹣1）（a 2﹣1）＞0，故M ＞N ， 故选：B ．3．因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（ ） A ．甲方案B ．乙方案C ．一样D ．无法确定解：设两次加油的油价分别为x ，y （x ，y ＞0，且x ≠y ），甲方案每次加油的量为a （a ＞0），乙方案每次加油的钱数为b （b ＞0）， 则甲方案的平均油价为：ax+ay 2a=x+y 2，乙方案的平均油价为：2bbx +by=2xy x+y，因为x+y 2−2xy x+y=(x−y)22(x+y)＞0，所以x+y 2＞2xy x+y，即乙方案更经济．故选：B ．4．不等式（1﹣x ）（2+x ）＞0的解集为（ ） A ．{x |x ＜﹣2或x ＞1} B ．{x |﹣2＜x ＜1}C ．{x |x ＜1或x ＞2}D ．{x |﹣1＜x ＜2}解：由（1﹣x ）（2+x ）＞0，得（x ﹣1）（x +2）＜0，解得﹣2＜x ＜1， 所以不等式的解集为{x |﹣2＜x ＜1}． 故选：B ．5．下列关于基本不等式的说法正确的是（ ） A ．若0＜x ＜13，则x （1﹣3x ）的最大值为112B ．函数y =x 2+3x+3x+1(x ＞−1)的最小值为2C ．已知x +y ＝1，x ＞0，y ＞0，则12x+12y的最小值为54D ．若正数x ，y 满足x 2+xy ﹣2＝0，则3x +y 的最小值是3 解：对于A ：由于0＜x ＜13，所以13•3x （1﹣3x ）≤13•（3x+1−3x 2）2=112，当且仅当x =16时，等号成立，故A 正确；对于B ：由于x ＞﹣1，故x +1＞0，所以y =x 2+3x+3x+1=(x+1)2+(x+1)+1x+1=（x +1）+1x+1+ 1≥2√(x +1)⋅1x+1=2+1＝3，当且仅当x ＝0时，等号成立，故B 错误；对于C ：已知x +y ＝1，x ＞0，y ＞0，所以1＝x +y ≥2√xy ，整理得1xy≥4，12x+12y≥2√12x ⋅12y =√1xy≥2，当且仅当x ＝y =12时，等号成立，故C 错误； 对于D ：正数x ，y 满足x 2+xy ﹣2＝0，整理得y =2x −x ，所以3x +2x −x ＝2x +2x ≥2√2x ⋅2x=4，当且仅当x ＝1时取等号，故D 错误． 故选：A ．6．关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0解集为{x |﹣2＜x ＜3}，不等式cx 2﹣bx +a ＜0解集是（ ） A ．(−∞，−12)∪(13，+∞) B ．(−∞，−13)∪(12，+∞) C ．(−12，13)D ．(−13，12)解：关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣2＜x ＜3}， ∴a ＜0，且﹣2，3是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个实数根，∴b a=−(−2+3)=−1，ca=−6，即b ＝﹣a ，c ＝﹣6a ，a ＜0，∴不等式cx 2﹣bx +a ＜0化为﹣6ax 2﹣ax +a ＞0， 化为6x 2﹣x ﹣1＜0，解得−13＜x ＜12． 因此不等式的解集为{x|−13＜x ＜12}． 故选：D ．7．不等式（a ﹣2）x 2+（a ﹣2）x ﹣1＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2）B ．（﹣2，2]C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）解：当a ＝2时，﹣1＜0恒成立，符合题意， 当a ≠2时，依题意得：{a −2＜0△=(a −2)2+4(a −2)＜0，解得：﹣2＜a ＜2，综上，实数a 的取值范围为（﹣2，2]， 故选：B ．8．已知a ，b ∈（0，+∞），且a 2+3ab +4b 2＝7，则a +2b 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．2√2D ．3√2解：∵7＝（a +2b ）2﹣ab ＝（a +2b ）2−12a •2b ≥（a +2b ）2−12（a+2b 2）2=7(a+2b)28， 则（a +2b ）2≤8，即|a +2b |≤2√2， 又a ，b ∈（0，+∞），所以0＜a +2b ≤2√2 当且仅当a ＝2b =√2时取等号， ∴a +2b 的最大值为2√2． 故选：C ． 二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＜b ，1a ＜1b ，则ab ＜0B ．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＞0，则ea−c＞e b−dC ．若c ＞a ＞b ＞0，则a c−a＞b c−bD ．若a ＞b ＞c ＞0，则a b＞a+c b+c解：对于A ，若a ＜b ，1a ＜1b，则1a−1b=b−a ab＜0，所以ab ＜0，即A 正确；对于B ，若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＞0，则a ﹣c ＞0，b ﹣d ＞0，b ﹣a ＜0，c ﹣d ＜0， 所以e a−c −e b−d =e(b−d)−e(a−c)(a−c)(b−d)=e(b−a+c−d)(a−c)(b−d)＜0，所以e a−c＜e b−d，即B 错误；对于C ，若c ＞a ＞b ＞0，则c ﹣a ＞0，c ﹣b ＞0，a ﹣b ＞0， 所以a c−a−b c−b=a(c−b)−b(c−a)(c−a)(c−b)=c(a−b)(c−a)(c−b)＞0，即C 正确；对于D ，若a ＞b ＞c ＞0，则a ﹣b ＞0， 所以ab −a+c b+c=a(b+c)−b(a+c)b(b+c)=c(a−b)b(b+c)＞0，即D 正确．故选：ACD ．10．已知正数x ，y 满足x +y ＝2，则下列说法错误的是（ ） A ．2√xy 的最大值为2 B ．x 2+y 2的最大值为2C ．√x +√y 的最小值为2D ．4xy x+y的最小值为2解：因为x +y ＝2，x ＞0，y ＞0，所以2√xy ≤x +y ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，A 正确； x 2+y 2≥2×(x+y 2)2=2，即最小值为2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，B 错误； （√x +√y ）2＝x +y +2√xy ≤2+2＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号， 所以√x +√y ≤2，即最大值为2，C 错误；4xy x+y=41x +1y=8(1x +1y)(x+y)=82+y x +x y≤82+2=2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，即最大值为2，D 错误．故选：BCD ．11．已知关于x 的不等式x 2﹣4x ﹣a ﹣1≥0在x ∈[1，4]上有解，则a 的取值可以是（ ） A ．﹣6B ．﹣5C ．﹣1D ．0解：不等式x 2﹣4x ﹣a ﹣1≥0在x ∈[1，4]上有解，等价于a ≤（x 2﹣4x ﹣1）max ， 设f （x ）＝x 2﹣4x ﹣1，x ∈[1，4]，则f （x ）＝（x ﹣2）2﹣5，而f （1）＝﹣4，f （4）＝﹣1， 故f （x ）在[1，4]上的最大值为﹣1，故a ≤﹣1，所以a 的取值可以是﹣6，﹣5，﹣1． 故选：ABC ．12．下列说法正确的是（ ）A ．x +1x(x ＞0)的最小值是2B ．2√x 2的最小值是√2C ．2√x 2+4的最小值是2D ．2−3x −4x的最大值是2−4√3解：由基本不等式可知，x ＞0时，x +1x ≥2，当且仅当x =1x 即x ＝1时取等号，故A 正确； B ：2√x 2+2=√x 2+2≥√2，当x ＝0时取得等号，故B 正确； C ：2√x 2+4=√x 2+4+√x 2+4，令t =√x 2+4，则t ≥2，因为y =t +1t 在[2，+∞）上单调递增，当t ＝2时，取得最小值52，故C 错误； D ：2−(3x +4x )在x ＜0时，没有最大值，故D 错误． 故选：AB ．二、填空题（本题共4小题，每小题0分，共32分．将答案填在题后的横线上） 13．已知x ，y 为正实数，且x +y ＝2，则1x +1xy 的最小值为 1+√32 ． 解：∵x ，y 为正实数，且x +y ＝2，∴x+y 2=1 ∴1x +1xy=1x+x+y 2xy=12y+32x=12（12y+32x）•（x +y ）＝1+12（x 2y+3y 2x）≥1+√x 2y ⋅3y2x =1+√32， 当且仅当x2y=3y 2x，即y =√3−1，x ＝3−√3时取等号，∴1x +1xy的最小值为1+√32．故答案为：1+√32．14．已知f(x)=x 3+1x，若正数m ，n 满足f （2m ）+f （n ﹣2）＝0，则1m+1n的最小值为32+√2 ．解：因为f(x)=x 3+1x定义域为{x |x ≠0}， 且f(−x)=(−x)3+1−x =−(x 3+1x)=−f(x)，所以f （x ）为奇函数， 因为f （2m ）+f （n ﹣2）＝0，所以2m +n ﹣2＝0，即2m +n ＝2， 因为m ＞0，n ＞0， 所以1m+1n =(1m +1n)(2m +n)⋅12=12(n m+2m n+3)≥32+√2，当且仅当n m=2mn，即m =2−√2，n =2√2−2时取等号．故答案为：32+√2．15．已知函数f （x ）＝x 2+mx ﹣1，若对于任意x ∈[m ，m +1]都有f （x ）＜0，则实数m 的取值范围为 （−√22，0） ．解：∵二次函数f （x ）＝x 2+mx ﹣1的图象开口向上，对于任意x ∈[m ，m +1]，都有f （x ）＜0成立，∴{f(m)=2m 2−1＜0f(m +1)=(m +1)2+m(m +1)−1＜0，即 {−√22＜m ＜√22m(2m +3)＜0，解得−√22＜m ＜0，故答案为：（−√22，0）．16．若存在常数k 和b ，使得函数F （x ）和G （x ）对其公共定义域上的任意实数x 都满足：F （x ）≥kx +b 和G （x ）≤kx +b 恒成立（或F （x ）≤kx +b 和G （x ）≥kx +b 恒成立），则称此直线y ＝kx +b 为F （x ）和G （x ）的“隔离直线”．已知函数f （x ）＝﹣x 2（x ∈R ），g(x)=1x(x ＞0)，若函数f （x ）和g （x ）之间存在隔离直线y ＝﹣3x +b ，则实数b 的取值范围是 [94，2√3] ． 解：因为函数f （x ）和g （x ）之间存在隔离直线y ＝﹣3x +b ， 所以当﹣x 2≤﹣3x +b 时，可得﹣x 2+3x ﹣b ≤0 对任意的x ∈R 恒成立， 则b ≥﹣x 2+3x ，即 b ≥﹣（x −32）2+94， 所以b ≥94，当1x ≥−3x +b 时，可得对x ＞0恒成立，即3x 2−bx+1x≥0，令t （x ）＝3x 2﹣bx +1，则有t （x ）＝3x 2﹣bx +1≥0 对x ＞0恒成立，所以{b 6＞0b 2−12≤0，解得−2√3≤b ≤2√3 或b ＞0，即b ∈（0，2√3]，综上所述，实数b 的取值范围是94≤b ≤2√3．故答案为：[94，2√3]．四．解答题17．设函数f （x ）＝x 2﹣ax +b ，已知不等式f （x ）＜0的解集是{x |1＜x ＜2}． （1）求不等式bx 2﹣ax +1＞0的解集；（2）对任意x 1，x 2∈R ，比较f(x 1+x 22)与f(x 1)+f(x 2)2的大小．解：（1）因为不等式x 2﹣ax +b ＜0的解集是{x |1＜x ＜2}， 所以x ＝1，x ＝2是方程x 2﹣ax +b ＝0的解， 由韦达定理得：a ＝3，b ＝2，故不等式bx 2﹣ax +1＞0为2x 2﹣3x +1＞0， 解得其解集为{x|x ＜12或x ＞1}； （2）由（1）知，f （x ）＝x 2﹣3x +2， 所以f(x 1+x 22)−f(x 1)+f(x 2)2=(x 1+x 22)2−3⋅x 1+x 22+2−x 12−3x 1+2+x 22−3x 2+22=(x 1+x 22)2−x 12+x 222=−(x 1−x 2)24≤0，所以f(x 1+x 22)≤f(x 1)+f(x 2)2． 18．（1）已知2＜a ＜6，1＜b ＜3，求a ﹣2b ，a b取值范围； （2）已知1≤a +b ≤5，﹣1≤a ﹣b ≤3，求3a ﹣2b 的取值范围．解：（1）因为1＜b ＜3，由不等式的性质可得﹣3＜﹣b ＜﹣1，则﹣6＜﹣2b ＜﹣2， 又2＜a ＜6，故﹣4＜a ﹣2b ＜4． 又13＜1b＜1，2＜a ＜6，故23＜ab＜6．综上a ﹣2b ∈（﹣4，4），a b∈(23，6)；（2）令3a ﹣2b ＝m （a +b ）+n （a ﹣b ），（m ，n ∈R ），即3a ﹣2b ＝（m +n ）a +（m ﹣n ）b ， 则{m +n =3m −n =−2，解得{m =12n =52． 则12≤12(a +b)≤52，−52≤52(a −b)≤152，所以−52+12≤52(a −b)+12(a +b)≤152+52，即﹣2≤3a﹣2b ≤10．综上3a ﹣2b ∈[﹣2，10]．19．设函数f （x ）＝ax 2+（b ﹣2）x +3（a ∈R ），（1）若不等式f （x ）＜0的解集为（1，3），求函数f （x ）的解析式； （2）若b ＝﹣a ﹣3，求不等式f （x ）＞﹣4x +2的解集． （3）若f （1）＝4，b ＞﹣1，a ＞0，求1a +a b+1的最小值．解：（1）由不等式f （x ）＜0的解集为（1，3）可得：方程ax 2+（b ﹣2）x +3＝0的两根为1，3且a ＞0，由根与系数的关系可得：a＝1，b＝﹣2，所以：f（x）＝x2﹣4x+3；（2）由f（x）＞﹣4x+2得ax2+（b﹣2）x+3＞﹣4x+2，又因为b＝﹣a﹣3，所以不等式f（x）＞﹣4x+2，化为ax2﹣（a+1）x+1＞0，即（x﹣1）（ax﹣1）＞0，当a＝0时，原不等式变形为﹣x+1＞0，解得x＜1；当a＜0时，1a ＜1，解得1a＜x＜1．若a＞0，原不等式⇔(x−1a)(x−1)＞0．此时原不等式的解的情况应由1a 与1的大小关系决定，故当a＝1时，不等式(x−1a)(x−1)＞0的解为x≠1；当a＞1时，1a ＜1，不等式(x−1a)(x−1)＞0，解得x＜1a或x＞1；当0＜a＜1时，1a ＞1，不等式(x−1a)(x−1)＞0⇔x＜1或x＞1a，综上所述，不等式的解集：当a＜0时，{x|1a＜x＜1}；当a＝0时，{x|x＜1}；当0＜a＜1时，{x|x＞1a或x＜1}；当a＝1时，{x|x≠1}；当a＞1时，{x|x＜1a或x＞1}．（3）由已知得f（1）＝4，a+（b+1）＝4，又b＞﹣1，则1a +ab+1≥14+2√b+14a⋅ab+1=14+1=54．当且仅当2a=b+1=83时等号成立．20．已知关于x的不等式kx2﹣2kx﹣k+1＞0的解集为M．（1）若M＝R，求实数k的取值范围；（2）若存在两个实数a，b，且a＜0，b＞0，使得M＝{x|x＜a或x＞b}，求实数k的取值范围；（3）李华说集合M中可能仅有一个整数，试判断李华的说法是否正确？并说明你的理由．解：（1）不等式kx2﹣2kx﹣k+1＞0的解集M＝R，①当k ＝0时，1＞0恒成立，符合题意；②当k ≠0时，则{k ＞0Δ=4k 2−4k(1−k)＜0，解得0＜k ＜12， 综上，实数k 的取值范围为{k |0≤k ＜12}；（2）因为不等式 kx 2﹣2kx ﹣k +1＞0 的解集为M ＝{x |x ＜a 或x ＞b }，且a ＜0，b ＞0，所以关于x 的方程 kx 2﹣2kx ﹣k +1＝0 有一正一负两个实数根a ，b ，可得{ k ＞0Δ=4k 2−4k(1−k)＞01−k k ＜0，解得k ＞1， 综上，实数k 的取值范围为{k |k ＞1}．（3）李华的说法不正确，理由如下：若解集M 中仅有一个整数，则有k ＜0，二次函数 y ＝kx 2﹣2kx ﹣k +1，开口向下，对称轴为 x ＝1， 因为不等式 kx 2﹣2kx ﹣k +1＞0的解集中仅有一个整数，所以这个整数必为1．则{k −2k −k +1＞0−k +1≤0，解得k ∈∅． 即M 中不可能仅有一个整数，李华的说法不正确．。
2023-2024学年天津市南开区高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津市南开区高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的）1．下列给出的对象能构成集合的有（）①某校2023年入学的全体高一年级新生；②√2的所有近似值；③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式3x﹣10＜0的所有正整数；A．1个B．2个C．3个D．4个2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p的否定为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∃n∈N，n2＝2n D．∀n∈N，n2≤2n3．已知集合M＝{a|65−a∈N+，且a∈Z}，则M等于（）A．{2，3}B．{1，2，3，4}C．{1，2，3，6}D．{﹣1，2，3，4} 4．已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．下列各组函数不是同一函数的是（）A．f（x）＝4x﹣1，g（x）=2(x−1)2B．f（x）＝x（x≠0），g（x）=x 2xC．f（x）=1|x|，g（x）=1√x2D．f（x）＝|x﹣2|，g（t）={t−2，t≥22−t，t＜26．已知奇函数y＝f（x）为R上的减函数，且在区间[﹣4，3]上的最大值为8，最小值为﹣6，则f（﹣3）+f（4）的值为（）A．﹣1B．﹣2C．1D．27．已知有限集M，N，定义集合M﹣N＝{x|x∈M，且x∉N}，|M|表示集合M中的元素个数．若M＝{﹣1，0，1，3}，N＝{1，3，5}，则|（M﹣N）∪（N﹣M）|＝（）A．3B．4C．5D．6（多选）8．若a＞0，b＞0，与不等式﹣b＜1x＜a不等价的是（）A．−1b ＜x＜0或0＜x＜1aB．−1a＜x＜1bC ．x ＜−1a 或x ＞1bD ．x ＜−1b 或x ＞1a9．从盛装20升纯酒精的容器里倒出1升酒精，然后用水加满，再倒出1升酒精溶液，再用水加满，照这样的方法继续下去，如果第k 次时共倒出了纯酒精x 升，则倒出第k +1次时，共倒出了纯酒精f （x ）的表达式是（ ） A ．f(x)=1920x +1 B ．f(x)=120x +1 C ．f(x)=1920(x +1) D ．f(x)=120x 10．已知函数f （x ）={−3x ，x ≥02x −x 2，x ＜0，若 f （2﹣a 2）＞f （﹣|a |），则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣2，﹣1）∪（1，2）B ．(−2，−√2)∪(√2，2)C ．（﹣2，0）∪（0，2）D ．（﹣1，0）∪（0，1）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.）11．已知幂函数f （x ）＝（k +4）x α的图象过点（8，2），则k α＝ ． 12．函数y =1√7−6x−x 2的定义域为 ．13．设集合A ＝{2，a +2，2a 2+a }，若3∈A ，则a ＝ ． 14．函数y =(12)x 4+14x 的值域为 ．15．已知函数f （x ）＝9x ﹣m •3x +m +6，若方程f （﹣x ）+f （x ）＝0有解，则实数m 的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分。
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2006~2007学年第一学期高一数学期中测试试题 （全卷满分150分，共20小题，考试时间为120分钟，将所有答案写在答卷上）
一、选择题（共10题，每小题5分，共50分，每道题只有一个答案正确）
1.已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1,2,3}，B={2,5}，则=⋂B C A U （ ）
A {2}
B {2,3}
C {3}
D {1,3}
2.若集合A=}2{≤x x ，3=a ，则下列结论中正确的是（ ）
A A a ∉
B A a ∈}{
C A a ⊆}{
D A a ⊆
3.函数52)(-=x x f 的定义域是（ ） A ),25(+∞ B ),25[+∞ C )25,(-∞ D ]2
5,(+-∞ 4.已知lgx=3lgn+lgm (m>0,且n>0)，则x 的值为（ ）
A 3n+m
B m n +3
C 3nm
D m n 3
5.二次函数542+-=mx x y 的对称轴为2-=x ，则当x=1时，y 的值为（ ） A 7- B 1 C 17 D 25
6.方程05log 2=-+x x 在下列哪个区间必有实数解（ ）
A （1，2）
B （2，3）
C （3，4）
D （4，5）
7.设a >1，则x a y -=图像大致为（ ）
x
2{q 的值为（ ）
A 2
B 3
C 4
D 5
9.已知a >0且a ≠1，若5
2log a 1<，则a 的取值范围是（ ） A a >52 B 520<<a C 152<<a D 15
20><<a a 或 10.方程1()ln 2
x x =的解的个数为（ ） A 1个 B 2 个 C 3 个 D 无数个
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
11.二次函数2231y x x =-+的零点个数是 个。
12.已知一幂函数图像过点（2，2），则幂函数的解析式为 。
13.已知2(0)()2(0)
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则(1)f -= ；
根据表中的数据及它们的散点图，写出一个基本能反映这一变化现象的函数解析式 。
三、解答题（共6题，共80分）
15.已知集合{12},{A x x B x y =-≤<==，求：①B A ， ②B A ， ③()()R R C A C B （12分）
16.对于二次函数2()231f x x x =-+，（12分）
（1）写出它的单调区间；
（2）求函数()f x 在[0，2]上的最大值及最小值；
（3）当x 分别取何值时，()0f x > 。
17.已知函数1()lg
1x f x x
-=+；求 （1）(0)f
（2）求函数()f x 的定义域；
（3）判断函数()f x 的奇偶性。
年增城市人口为80万，计算：（14分）
（1）如果增城市人口每年比上年平均递增%，那么到2050年底，增城市人口将达到多
少（保留四个有效数字）（参考数据105.1002.150≈）
（2）要使2050年底增城市人口不超过100万，那么每年比上年平均递增率不应超过多
少？（精确到%） 。
（参考数据0045.125.150≈） 19.已知函数1
22)(+-=x a x f ，（1）若)(x f 是奇函数，求a 的值；（2）证明函数)(x f 在R 上是增函数。
（14分）
20.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、万件、万件，为了
估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数可选用二次函数2y px qx r =++或指数型函数x y a b c =⋅+（其中,,,,,p q r a b c 为常数）。
已知4月份该产品的产量为万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由。
（14分）。