《二次函数的图象》典型例题1

《二次函数y=ax^2+bx+c的图象》典型例题
例1 已知二次函数，当x＝4时有最小值-3，且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式。

例2 如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象如图13-25所示，那么代数式b+c-a与零的关系是（）
A．b+c-a=0； B．b+c-a＞0；
C．b+c-a＜0；D．不能确定。

例3 二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是（）
例4 如果抛物线y=-x2+2(m-1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b。

(1)求m的取值范围；
(2)若a∶b=3∶1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；
(3)设(2)中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是
否存在点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由。

例5 已知二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴相交于点)0,6(A ，顶点B 的纵坐标是－3.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若一次函数m kx y +=的图像与x 的轴相交于)0,(1x D ，
且经过此二次函数的图像的顶点B ，当62
3≤≤m 时， （ⅰ）求1x 的取值范围；
（ⅱ）求BOD ∆（O 为坐标原点）面积的最小值与最大值.
例6 求函数解析式的题目
(1) 已知二次函数的图像经过点（-1，-6），（1，-2）和（2，3），求这个二次函数的解析式.
(2) 已知抛物线的顶点为)3,1(--，与y 轴交点为)5,0(-，求此抛物线的解析式.
(3) 已知抛物线与x 轴交于)0,1(-A ，)0,1(B ，并经过点)1,0(M ，求抛物线的解析式.
参考答案
例1 分析：因为二次函数当x=4时有最小值-3，所以顶点坐标为(4，-3)，对称轴为x=4，抛物线开口向上．图象与x 轴交点的横坐标为1，即抛物线过(1，0)点．又根据对称性，图象与x 轴另一个交点的坐标为(7，0)有下面的草图：
解：此题可用以下四种方法求出解析式。

方法一：因为抛物线的对称轴是x ＝4，抛物线与ｘ轴的一个交点为
（1，0），由对称性可知另一点为（7，0），同例1，抛物线y=ax 2＋bx
＋c 通过(4，-3)、(1，0)、(7，0)三点，由此列出一个含a 、b 、c 的三元一次方程组，可解出a 、b 、c 来。

方法二：由于二次函数当x=4时有最小值-3，又抛物线通过(1，0)点，所以
由上面的方程组解出a 、b 、c 。

方法三：由于抛物线的顶点坐标已知，可以设二次函数式为
y=a(x+h)2+k ，其中h=-4，k=-3即有y=a(x-4)2-3，式中只有一个待定系数a ，再利用抛物线通过(1，0)或通过（7，0）求出a 来. 即20(14)3a =--得出13a =. 所求二次函数解析式为221187(4)33333
y x x x =--=-+
方法四：由于抛物线与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1=1，x 2=7．可以采用双根式y=a(x-x 1)(x-x 2)，其中x 1=1，x 2=7即有y=a(x-1)(x-7)式中只有待定系数a ，再把顶点(4,-3)代入上式得:13(41)(47),3a a -=--=所求二次函数解析式为21187(1)(7)3333
y x x x x =--=-+. 例2 解： 从图13-25上看出抛物线开口向下，所以a ＜0．当x=0时，y 的值为正，所以c ＞0．又因为抛物线以y 轴为对称轴，所以b=0。

综上分析知b+c-a ＞0，应选B 。

注意：这个题考察了二次函数中三个系数a 、b 、c 的含义，二次项系数a 决定抛
物线开口方向，c 为抛物线在y 轴上的截距即抛物线与y 轴交点的纵坐标，抛物线的对称轴方程为2b x a
=-
，要根据图象具体分析才能得出正确结论。

例3 解：图象大致是D 。

分析： 这一类题是考察数学逻辑推理能力．题目中a ，b ，c 均是变量，字母多不知从何下手考虑．考虑问题应该是有层次的，首先抓住两个函数共性的东西，如两个图象的交点中有一个是(0，c)，也就是说两个图象的交点中有一个应在y 轴上，从而否定了A ．和B ．，且c ＞0．其次考虑完字母c 后，再考虑a 的取值．若a ＞0，则直线y=ax+c 与x 轴交点应在原点左边，这样否定了C ．；再检验D ．，从二次函数图象知a ＜0，且c ＞0，直线y=ax+c 与x 轴交点应在原点右边，所以D ．是正确的．考虑变量的取值范围要先考虑第一个再考虑第二个、第三个有次序地进行，切忌无头绪地乱猜，思维混乱。

例4 解：(1)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)．因为A 、B 两点在原点的两侧，所以x 1·x 2＜0，即-(m+1)＜0。

当m ＞-1时，Δ＞0，所以m 的取值范围是m ＞-1。

(2)因为a ∶b=3∶1，设a=3k ，b=k(k ＞0)，则x 1=3k ，x 2=-k ，所以
所以m=2。

所以抛物线的解析式是y=-x 2+2x+3。

(3)易求抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴的两个交点坐标是A(3，0)，B(-1，0)；抛物线与y 轴交点坐标是C(0，3)；顶点坐标是M(1，4)．设直线BM 的解析式为
y=px+q ，
所以直线BM 的解析式是y=2x+2．设直线BM 与y 轴交于N ，则N 点坐标是(0，2)．所以
设P 点坐标是(x ，y)，因为S △ABP =8S △BCM ．所以
所以｜y ｜=4，由此得y=±4。

当y=4时，P 点与M 点重合，即P(1，4)；
所以满足条件的P 点存在。

注意：这一类题是探索性的，需要独立思考，前两问是为第三问作铺垫的，都是
常规的思路不太难．第三问是假设条件成立可导出什么结果，在求△BCM 的面积时要用分割法，因为△BCM 是任意三角形，它的面积不好求，而△BCN 和△CMN 的面积都好求，底都为CN=1，高都是
1．S △BCM =S △BCN +S △CMN 这样就化难为易了．方程-x 2+2x+3=±4有解则P 点存在，如果方程无解则P 点不存在，探索性题的思路都是这样的。

例5 分析：（1）由已知条件可知，抛物线的顶点坐标是（3，－3），所以可设出抛物线的顶点式，再把已知点的坐标代入解析式，即可求得。

（2）因为当m 取最小值时，1x 也取最小值；当m 取最大值时，1x 也取最大值。

所以把m 的最大值和最小值代入直线的解析式，即可求出1x 的取值范围。

解：（1）∵二次函数c bx ax y ++=2的图像经过原点O （0，0）与点A （6，0），∴它的对称轴是3=x .
∴它的顶点B 的坐标是（3，－3）.
设此二次函数为3)3(3--=x a y ，把（6，0）代入解析式得039=-a ，∴3
1=a ，故所求二次函数的解析式为 x x x y 23
13)3(3122-=--=. （2）（ⅰ）令23=m 得直线1l 的解析式为2
31+=x k y ，把（3，－3）代入得231-=k ，故直线1l 的解析式为2
323+-=x y . 令0=y ，得)0,1(D .
令6=m 得直线2l 的解析式为62+=x k y ，把（3，－3）代入得32-=k ，故直线2l 的解析式为63+-=x y ，令0=y ，则得)0,2(D .
故1x 的取值范围是211≤≤x .
（ⅱ）∵BOD ∆的OD 边上的高（即B 点的纵坐标的绝对值）为定值3，故OD 最小，则BOD ∆面积最小，OD 最大，则BOD ∆面积最大.
∵OD 最小为1，最大为2，
故BOD ∆的面积最小是2
3，最大为3. 例6 （1）解：设二次函数的解析式为c bx ax y ++=2………①
将（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）分别代入①，得
⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=+-,324,2,6c b a c b a c b a 解得⎪⎩
⎪⎨⎧-===.5,2,1c b a
所以二次函数的解析式为.522-+=x x y
（2）解：因为抛物线的顶点为)3,1(--，
设其解析式为3)1(2-+=x a y ……①
将)5,0(-代入①得35-=-a ，2-=a ，
所求抛物线的解析式为.3)1(22-+-=x y
即.5422---=x x y
（3）解：因为点)0,1(-A ，)0,1(B 是抛物线与x 轴的交点，
所以设抛物线的解析式为)1)(1(-+=x x a y ………①
将)1,0(M 代入①，得1-=a ，
所求抛物线解析式为).1)(1(-+-=x x y
即12+-=x y
说明：此三题考查用待定系数法求抛物线的解析式，关键是根据已知条件选择正确解析式的三种形式，将给我们做题带来很大的方便.(1)中给出抛物线上任意三点，所以选择一般式；(2)中给出顶点，所以选择顶点式；(3) 中给出与x 轴的两个交点，所以选择两根式.。