柱锥台球的表面积与体积精例
柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 2．锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；3．台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高)；4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.类型一 柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64答案 A解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( )A ．0.6 cmB ．0.15 cmC ．1.2 cmD ．0.3 cm 答案 A解析 设杯里的水下降h cm ，由题意知π(202)2h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6 cm.反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ， ∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高． 所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)，OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2 ＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm)． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上·S 下)＝433×(34×202＋34×302＋34×20×30)＝1 900(cm 3)．类型二 球的表面积与体积命题角度1 与球有关的切、接问题例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解 如图等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O . 设球的半径OE ＝R ， OA ＝OE sin 30°＝2OE ＝2R ，∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ， BD ＝AD ·tan 30°＝3R ， ∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，则V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2 答案 B解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ， 得球的半径为62a ，则球的表面积为4π(62a )2＝6πa 2. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练2 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×(12)3∶43π×(32)3＝1∶3 3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球表面积为_______． 答案 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.命题角度2 球的截面例3 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的表面积． 解 方法一 (1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr 21＝49π，得r 1＝7(r 1＝－7舍去)， 由πr 2＝400π，得r ＝20(r ＝－20舍去)．在Rt △OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49，在Rt △OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400.由题意可知OC 1－OC ＝9，即R 2－49－R 2－400＝9， 解此方程，取正值得R ＝25.(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.由题意可知OC 1＋OC ＝9， 即R 2－49＋R 2－400＝9.整理，得R 2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2 500π(cm2)．方法二(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OC21＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OC21－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25 cm.(以下略)反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是()A．1 B．2 C．1或7 D．2或6答案 C解析画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝52－32＝4，n＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.类型三组合体的体积例4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π 答案 A解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×(12×1×2)×1＝π＋13.故选A.反思与感悟 此类问题的关键是把三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体． 跟踪训练4 如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体积．解 三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球． 这个奖杯的体积V ＝13h (S 上＋S 上S 下＋S 下)＋22π·16＋4π3×33＝336＋100π(cm 3)．1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是( ) A ．2 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．8 cm 答案 C解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ， ∴铜质的五棱柱的体积V ＝16×4＝64(cm 3)， 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ， 则a 3＝64，解得a ＝4 cm ，故选C.2.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π答案 B解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S ＝4π×12＝4π.4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 柱∶V锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案 3π解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ←―――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算． 5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．课时作业一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 答案 B解析 设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π.2．如图，在正方体中，四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的( )A.12B.13C.14 D ．不确定 答案 B解析 由于四棱锥S －ABCD 的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的13，故选B.3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π(32)3＋3×3×2＝92π＋18. 4．如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34答案 C解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.5．一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3B.208π3 cm 3C.500π3 cm 3D.4163π3cm 3答案 C解析 如图，根据题意， |OO 1|＝4 cm ，|O 1A |＝3 cm ，∴|OA |＝R ＝|OO 1|2＋|O 1A |2＝5(cm)， 故球的体积V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．故选C.6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm ，那么该棱柱的表面积为( ) A ．(2＋42) cm 2 B ．(4＋82) cm 2 C ．(8＋162) cm 2 D ．(16＋322) cm 2答案 C解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为22，∴正四棱柱的高为16－8＝22，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×22＝8＋162，故选C.7.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.23πB.43πC.53π D ．2π答案 C解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.8．一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为()A．45π B．27π C．36π D．54π答案 D解析因为球的表面积为36π，所以球的半径为3，因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6，所以圆柱的表面积S＝2π×32＋2π×3×6＝54π.二、填空题9．如图，三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A －FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．答案124解析设三棱柱的高为h，∵F是AA1的中点，则三棱锥F－ADE的高为h2，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝14S△ABC，∵V1＝13S△ADE·h2，V2＝S△ABC·h，∴V1V2＝16S△ADE·hS△ABC·h＝124.10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 2 cm，则该圆锥的体积为___ cm3. 答案π3解析∵圆锥的侧面展开图的弧长为2π cm，半径为 2 cm，故圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 2 cm ，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V ＝13·π·12·1＝π3.11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．答案2π6＋16解析 由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V ＝13×(12×1×1)×1＋[43π(22)3]×12＝16＋2π6. 12．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________． 答案 3π解析 满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V －ABC ，所以VA ＝AB ＝BC ＝1，VB ＝AC ＝2，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R ＝32， 所以该四面体外接球的表面积为4π×(32)2＝3π. 三、解答题13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC ＝30°)解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°， ∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，1圆锥侧AO S ＝π×32R ×3R ＝32πR 2， 1圆锥侧BO S ＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴11几何体表球圆锥侧圆锥侧＝＋＋AO BO S S S S＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.又∵V 球＝43πR 3，1圆锥AO V ＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1， 1圆锥BO V ＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－()11圆锥圆锥＋AO BO V V ＝56πR 3.四、探究与拓展14．圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm答案 C解析 设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得 3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3. 15．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解 (1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由P A 1＝PD 1＝ 2 cm ，A 1D 1＝AD ＝2 cm ， 可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．。
柱锥台和球的表面积与体积
思考：多面体的平面展开图唯一吗？
把直(正)三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到 什么图形？侧面积怎么求？
h
e
b
h
h
b a a S 直棱柱侧＝（a b e) h ch
r ' O’
l
2r '
r ' O’
l
x
2r '
2r
r
O
r
'2 2
O
S ( r r r l rl )
'
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
S ( r r 2 r ' l rl )
'2
l
r
O
r 'O’
l
l
r
O
r
O
O
S 2 r 2 2 rl 2 r ( r l )
e
c即底面周长
即底面周长和高的乘积
棱锥、棱台
正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射 影是底面中心的棱锥. 正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截 P 面和底面之间的部分叫正棱台.
A1 C1 D1 B1 h'
h' C B
A
C D
O
B
O
A
D
斜高：侧面等腰三角形底边上的高.
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图 形？侧面积怎么求？
教学情境
取一摞纸张放在桌面上(如图所示) ， 并改变它们的放置方法，观察改变前后 的体积是否发生变化？
柱锥台球的表面积与体积精例_2022年学习资料
●课堂小结-求表面积的方法：-将空间图形问转化为平面图形问题，利用平面-图形求面积的方法求立体图形的表面积 -体现了一种化归思想-作业：P32习题1.3A组1、2、5
例1：-一个几何体的三视图及相关尺寸如图所示：-这个几何体是-正四棱锥-正视图-侧视图-它的表面积是-4+ V3cm2-2 cm-它的体积是-号V2cm3,-俯视图
例2-G-已知长方体ABCD--ABCD1的长、宽、高分-别为3,2,1，求沿其表面-从点A到点C,的最短 离。
变式2-已知正方体的棱长为a,有一只蚂蚁从点A出发-经正方体的侧面走一周到达点A,求蚂蚁走的最短-距离。-C
例3在底面边长为a,侧棱长为2a的-正四棱柱ABCD-ABCD,中，求：D-1此棱柱的体积V;-2三棱锥B AB1C的体积-VB-ABC-VB-ABC-VA-BB.C-=VCABB
变式3-已知正三棱锥S-ABC的侧棱-两两垂直，侧棱长为V2cm,求：-1此棱锥的体积V;-2点S到底面A C的距离。-VS-ABC-VB-SAC-=VA-SBC-VC-SAB
例4：-5-在Rt△ABC中-3-AC=3,BC=4-AB=5,求分别以三-角形的三边为旋转轴-旋转一周所 的旋转-体的表面积与体积。-是
1.3.1-柱体、维体、台体-的表面积与体积
·1在体、雕体、台你的晨予图与共表面积的关张-问题一：正方体的展开图与其表面积有何关系？-几何体表面积-→ 开图>平面图形面积-空间问题>平面问题-动画演示
提出问题-在初中己经学过了正方体和长方体的表面积，你-知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？-·几 体表面积·展开图→·平面图形面积-空间问题-•平面问题
例3：有两个球，一球切于棱长为a的正方体的各-面，一球过棱长为a的正方体的各顶点，求这两个-球的体积之比. u
柱锥台球表面积和体积获奖解析PPT课件
S侧面积
=
1 2
c2（l+x）-
1 2
Cc1’Xx
=
1 2
c2 l +
1 2
c2x
-
1 2
c1x
=
1 2
+ 12（c2 - c1）X
S
又∵
c1 c2
=
X X+l
∴
x
=
c1 l c2- c1
c1 c2
=
1 2
+
12（c2
-
c1）cc21-
l
c1
l
O 1 rr1 M
l
=
1 2
+
1 2
c1l
r R2
O2
N
例3.已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边
长都是8 cm，求它的侧面积．
[解] 法一：在 Rt△B1FB 中， B1F＝h′， BF＝12(8－4)＝2，B1B＝8， ∴B1F＝ 82－22＝2 15， ∴h′＝B1F＝2 15. ∴S 正棱台侧＝4×12×(4＋8)×2 15 ＝48 15(cm2)．
三.台体的表面积(一)
1
S侧正棱台= 2 (c+c’)·h’
a' h h'
a
台体的表面积(二)
如图，上底周长是 c’=2πr1、c=πr2，侧面母线长 是l
S侧面积 = （12 c 1+c2）l=∏（r 1+r2）l
S
c1 c2
O 1 rr1 M
l
l
r R2
O2
N
证明： 将圆台补成圆锥.作其侧面展开图，设SM=x
人教版高中数学必修二（B版）第一章 P25-32
柱,锥,台的体积及球的表面积和体积
[例2] 如图，圆柱的底面直径与高
都等于球的直径.
求证：(1) 球的
体积等于圆柱体积
的 2;
O
3
(2) 球] 如图，圆柱的底面直径与高
都等于球的直径.
***补例*** 1. 若圆台的高是3，一个底面半径
是另一个底面半径的2倍，母线与下底 面所成的角是45°，求这个圆台的侧 面积.
***补例***
2. 如图，一块正方形薄铁片的边长
为22cm，以它的一 个顶点为圆心，一
22cm
边长为半径画弧.沿
弧剪下一扇形，围
成一锥筒.求它的侧面积和体积.
1
V锥 3 sh V台 3 h(s s' ss')
1 V锥 3 sh
s'=0
1 V台体 3 h(s s' ss')
V柱 sh
s'=s
V圆锥
1 3
R2h
r=0
V圆台
1 3
h(r 2
R
R2
)
V圆柱 R2h
r=R
三、 球的表面积、体积公式
S球表 4R2
V球
4 R3
3
典型例题 [例1] 有一堆规格相同的铁制六角
1、多面体的表面积公式是什么？
S多面体表 底面面积 侧面面积
2、圆柱体的表面积公式是什么？
S圆柱表 2 r(r l)
3、圆锥体的表面积公式是什么？
S圆锥表 r(r l)
4、圆台的表面积公式是什么？
S圆台表(r'2 r2 r'l rl)
柱、锥、台表面积体积公式
圆柱体体积公式
圆柱体体积公式
$V = pi r^{2}h$
解释
其中，$V$表示圆柱体的体积，$pi$是圆周率，$r$是底面圆的半径，$h$是圆柱的高。
棱柱体表面积公式
棱柱体表面积公式
根据棱柱的形状和尺寸有所不同，需 要具体问题具体分析。
解释
棱柱体的表面积由底面和顶面的面积 以及侧面的面积组成，具体计算方法 需要根据棱柱的具体形状和尺寸来确 定。
03
台体表面积体积公式
圆台体表面积公式
总结词
圆台体表面积公式是计算圆台侧面积和两个底面积的总和。
详细描述
圆台体表面积公式为 S = π * (r1 + r2) * l，其中 r1 和 r2 分别为圆台上下底面的半径， l 为圆台母线长度。
圆台体体积公式
总结词
圆台体体积公式是计算圆台所占三维空间的 大小。
物理学
在计算物体之间的相互作用力、热传导、电磁波的传播等物理现象 时，需要使用表面积和体积公式来描述物体的大小和形状。
化学工程
在化学工程领域，表面积和体积的计算对于反应器设计、传热传质计 算等方面具有重要意义。
表面积和体积公式的推导过程
要点一
柱体
柱体的表面积由底面和侧面组成，侧面 面积是高乘以底面周长，底面周长是 2πr（r为底面半径），所以侧面面积 是2πrh（h为高），底面面积是πr^2， 所以柱体表面积是2πrh+πr^2，体积 是底面积乘以高，即πr^2h。
棱台体体积公式
总结词
棱台体体积公式是计算棱台所占三维空间的 大小。
详细描述
棱台体体积公式为 V = (1/3) * (a1 + a2) * l * h，其中 a1 和 a2 分别为棱台上下底面的边
8.2 柱、椎、台、球的表面积与体积
4 π( S + S ′ + SS ′ ) h 3 4 3 V = 3πR
2.几何体的表面积 2.几何体的表面积 （1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积 棱柱、棱锥、 之和 . （2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 矩 圆柱、圆锥、 形 、 扇形 、 扇环形；它们的表面积等于侧面积 与底面面积之和.
题型二
旋转体的表面积及其体积
如图所示,半径为R 如图所示,半径为R的半圆内的 【例2 】 阴影部分以直径AB所在直线为轴, 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋 AB所在直线为轴 转一周得到一几何体, 转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中∠BAC=30° 及其体积. 表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.
第八编 立体几何
§8.2 柱、锥、台、球的表面积与体积
柯桥中学高三数学组
何利民
基础知识 自主学习
要点梳理
1.柱 1.柱、锥、台和球的侧面积和体积： 台和球的侧面积和体积： 面积 圆柱 体积 V = Sh V 圆锥
π r 2h =
S侧 = 2πrh S侧 =
πrl
1 2 1 = 3 Sh = 3 πr h
连接AH并延长交BC于 连接AH并延长交BC于E， AH并延长交BC 则E为BC的中点，且AH⊥BC. BC的中点， AH⊥BC. 的中点
∴ ∵△ABC是边长为6的正三角形， AE = ABC是边长为6的正三角形， 是边长为
3 × 6 = 3 3, 2
2 ∴ AH = AE = 2 3. 3 1 1 在∆ABC中, S ∆ABC = BC ⋅ AE = × 6 × 3 3 = 9 3. 2 2 在 Rt ∆SHA中, SA = 15，AH = 2 3， ∴ SH = SA2 − AH 2 = 15 − 12 = 3， 1 1 ∴V正三棱锥 = S ∆ABC ⋅ SH = × 9 3 × 3 = 9. 3 3
掌握柱锥台球表面积、体积公式的运用PPT全文课件
扇形 *,体积V锥=
1 r2h
3
复习回顾
3.圆台的侧面展开图是 扇环
其侧面积S侧=(rR)l ,体积V锥=
1 3(S上S下 S上S下)h
4.球不能 展成平面图形(填“能”或“不
能其”表) 面积S侧= 4r 2 fenghuangxueyi
,体积V= 4 r 3 3
*
课前热身 1.若球的半径变为原来的3倍，则表面积变 为原来的 9 倍;体积变为原来的 27 倍。
1.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个 球的体积为＿32＿3＿ cm3.
2.把半径为5cm的钢球放入一个正方体的有盖 纸盒中,至少要用多少纸?
3.有三个球,一球切于正方体的各面, 一球过正方体的各 顶点,求这两个球的体积之比_________.
掌握柱锥台球表面积、体积公式的运 用PPT名 师课件
球的体积为＿32＿3＿ cm3.
*
掌握柱锥台球表面积、体积公式的运 用PPT名 师课件
掌握柱锥台球表面积、体积公式的运 用PPT名 师课件
例5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面
积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略解： Rt B 1 D 1 D 中 :
(2R )2 a 2 ( 2a)2,得
R
3 a
2
S 4R 2 3a 2
D A
D A11
D A
C B
O C1
B1
C B
掌握柱锥台球表面积、体积公式的运 用PPT名 师课件
O
D
C1
*
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= VC-ABB1
D A
C B
变式3
已知正三棱锥S-ABC的侧棱
两两垂直，侧棱长为 2cm ，求：
(1) 此棱锥的体积V；
S
(2) 点S到底面ABC的距离。
VS-ABC= VB-SAC
C
= VA-SBC = VC-SAB
A
O
B
例4：
5
在Rt△ABC中，
AC=3，BC=4， B
4
AB=5，求分别以三
解：因为圆锥的侧面展开图是半圆,
A
2πr
所以,
1 2
l2
1 2
2
r
l , l
2r.
s
由 r2 1 (2r)2 a得
2
直径：2r 2 3 a 3
l
O B'
•课堂小结
•求表面积的方法： • 将空间图形问转化为平面图形问题，利用平面
图形求面积的方法求立体图形的表面积。
• 体现了一种化归思想
•作业： P32习题1.3 A组1、2、5
O`
O`
O`
O
O
O
•结论：•S全=S侧+S底
例1．已知棱长为a ，各面均为等边三角形
的四面体S-ABC，求它的表面积 ．
S△SBC
1 2
BC SD
1 SB SC sin 60
S
2
因此，四面体S-ABC的表面积
B
A D
C
为
S 4S△SBC 4
3 a2 4
3a 2
r O
l
2 r
O
圆柱的侧面展开图是矩形 S侧 2 rl
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式 之间有什么关系？
r O
S (r'2 r 2 r'l rl )
r r
r 'O’
r 0
l
l rO
l
O S 2 r2 2 rl 2 r(r l)
rO
S r2 rl r(r l)
典例精析：
例2 如图1.3-6
15cm
20cm 15cm
已知长方体ABCD-A1B1D1的长、宽、高分别为3，
2，1，求沿其表面从点A到点C1的最短距离。
D1
C1
A1
B1
F
D
1C
1
2
A
3 B2
a
例2
已知长方体ABCD-
A1B1C1D1的长、宽、高分
D1
别为3，2，1，求沿其表面 从点A到点C1的最短距离。
A1
D
2
A
3
G
C1 B1
1C B
变式2
已知正方体的棱长为a，有一只蚂蚁从点A出发
(3)球的体积等于圆柱体积的三分之二.
•阿基米德的墓志铭
•探究 若正方体的棱长为a，则
•⑴正方体的内切球直径＝ a
•⑵正方体的外接球直径＝ 为a的正方体的各 面, 一球过棱长为a的正方体的各顶点,求这两个 球的体积之比.
a 2
a
r1
a 2
角形的三边为旋转轴
旋转一周所成的旋转
B
体的表面积与体积。
54
A 3C
A 3 C
B 4
12 5 C5
3 A
•球的体积及表面积
•1.球的体积
V球
=
4 3
πR3
•2.球的表面积
S 4πR2
类型一、基本计算问题
• 1.若球的半径为2，则球的表面积为_1_6___,体积为__33_2___.
• 2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
这个几何体是
由正四棱锥和长
_方__体_ 组合__而_成，
它的表面积是 _1_2__4__3_c_m_2，
它的体积是
4___34___2__c_m. 3
例2
已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别
为3，2，1，求沿其表面从点A到点C1的最短距离。
D1
C1
A1
B1
D
1C E
2
A
3
2
B1
例2
S 2 r2 2 rl 2 r(r l)
圆锥的侧面展开图是扇形
l rO
2r
S侧 rl
S r2 rl r(r l)
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆 台的侧面展开图是什么 ．
S侧 (r'l rl)
r 'Ol’
2r' 2r
l
rO
S (r'2 r 2 r'l rl )
问题一：正方体的展开图与其表面积有何关系？
几何体表面积
展开图
平面图形面积
空间问题
平面问题
动画演示
•提出问题
• 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
•几何体表面积
•展开图
•空间问题
•平面图形面积 •平面问题
• 棱柱、棱锥、棱台也是多个平面图形围成 的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它 们的表面积？
例1： 一个几何体的三视图及相关尺寸如图所示:
正视图
2cm
侧视图
2 cm
2cm
俯视图
这个几何体是 _正_四__棱_锥__，
它的表面积是
_4__4___3_c_m_2，
它的体积是
_34___2__c_m__3 .
变式1：一几何体的三视图及相关尺寸如图所示:
2cm
正视图
1 cm
侧视图
2 cm
2cm
俯视图
探究一
柱体（棱柱、圆柱）的体积：
结论１： V柱体 Sh
•h
探究二
锥体（棱锥、圆锥）的体积：
问题:等底同高的锥体的体积有何关系?
结论２：
V锥体
1
Sh
3
动画演示
探究三
台体（棱台、圆台）的体积
结论３：
1 V台体 3 h(S
SS S)
柱、锥、台体积的关系：
V柱体=Sh 高
这里S是底面积,h是
S′= S
V台体＝13 h(S SS' S ' ) 这里S、S′分别是上,下底面积,h是高
S′=0
1 V锥体= 3 Sh
这里S是底面积,h是高
例3 如图1.3-7
10mm
10mm
12mm
12mm 12mm 12mm
•练习：
•1.已知圆锥的表面积为am2,且它的侧 面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底 面直径。
• 3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_1_:_2__2_. •4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是_1__: _3 _4_.
类型二、“接”与“切”：
例2.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的
直径（球内切于圆柱）.
•O
求证:
(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.
(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
a
•D •A
•C •B
•D
•A1
1
•D •A
•O •C
•B1
1
•C •B
a
r3
3a 2
2a
•O
•D
•C
•A1
•B1
1 •画出1 正确的截面：(1)中截面；(2)对角面
•找准数量关系
类型三、截面问题
• 用一个平面α去截一个球O，截面是圆面
经正方体的侧面走一周到达点A1，求蚂蚁走的最短 距离。
D1
C1
A1
B1
C1
D1
A1
D
C
A
B
C
D
A
例3 在底面边长为a，侧棱长为2a的
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，求： D1
(1) 此棱柱的体积V；
(2) 三棱锥B-AB1C的体积
A1
C1 B1
V = V B-AB1C
B1-ABC
= VA-BB1C