Ch 17.2-3 子群与循环群
循环群
§ 3 循环群（Cyclic Group）定义若G=<a>，则G被称为循环群.a称为G的一个生成元. Fg1 整数集Z对于普通加法是一个循环群,-1和1是生成元.Fg2 对n≥1,Z n={0,1,⋅⋅⋅,n−1}关于模n的加法是一个循环群.1和−1=n−1为生成元.Fg3 Z8=<1>=<3>=<5>=<7>Fg4 U10=1,3,7,9=<3>=<7>Fg5 U8={1,3,5,7}定理1G是一个群，a∈G.如果a=∞,则a i=a j当且仅当i=j.如果a=n,则<a>={e,a,a2,⋅⋅⋅,a n−1}和a i=a j当且仅当n|i−j.Corollary 1 a=<a>Corollary 2 a k=e implies that a divides k.Fg6 假设a=6，则<a>的结构如下图定理2 假设a是一个群阶为n的一个元和k是一个正整数, 则<a k>=<a gcd(n,k)>和 a k=n gcd(n,k).Corollary 1 在一个有限循环群中，元素的阶整除群的阶.Corollary 2 假设a=n,则<a i>=<a j>当且仅当gcd n,i=gcd(n,j)和 a i= a j当且仅当gcd n,i= gcd(n,j).Corollary 3假设a=n, 则<a>=<a j>当且仅当gcd n,j=1和a= a j当且仅当gcd n,j=1.Corollary 4 Z n中，整数k为Z n的一个生成元当且仅当gcd n,k=1.循环群的子群的分类定理 3 Fundamental Theorem of Cyclic Group循环群的每一个子群都是循环群.如果<a>=n,则<a>的任意一个子群的阶是n的一个因子.而且对n的每一个正因子k,<a>只有一个k阶子群即<a n/k>.Corollary 对于n的每一个正因子k,Z n的唯一阶k的子群为<n/k>；而且所有的<n/k>为Z n的全部子群.Fg7 Z30的全部子群为定义若ϕ1=1且当n>1时，ϕn为小于n同n互素的正整数的个数，则ϕ为Z+的一个函数.这个数学理论函数叫做Euler phi function.由U(n)的定义，我们知道U(n)=ϕ(n).ϕ(n)的前12个函数值在下表中给出定理4 如果d是n的一个因子，则一个阶为n的循环群中阶为d的元的个数为ϕ(d).Corollary 在一个有限群中，阶为d的元的个数被ϕ(d)整除.Subgroup lattice of group。
第循环群
17
变换群
A上的一一变换群：设E(A)是A上的全体一一变换构 成的集合，E(A)={f|f:AA为双射}，则E(A)关于 变换的乘法构成一个群。
证：任取f,gE(A),则fgE(A). 变换的乘法就是函数
的合成，满足结合律。A上的恒等变换IA是一一变 换,是关于变换乘法的单位元。fE(A),f-1也是一
[n,r]定义：n与r的最小公倍数
性质：
[n, r]
nr
(n, r)
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欧拉函数
欧拉函数(n):小于等于n且与n互质的正 整数个数。
例：n=12,小于等于12且与12互质的正整 数是1,5,7,11，因此(n)=4
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例： 两个Z上的一一变换 f:ZZ,f(x) = x g:ZZ,g(x) = -x
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变换的乘法
定义17.10 设f，g是A上的两个变换, f和g的合成称为f与g的乘积， 记作fg。
如果f和g都是A上的一一变换，则fg也是A上的一一变换。
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第3节 循环群
循环群的定义 循环群的分类 生成元 子群 循环群的实例
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1
循环群的定义及其分类
定义： G = <a> = {ak | kZ}, aG 称 G 为循环群，a 为 G 的生成元.
分类： 生成元的阶无限，则 G 为无限循环群 生成元 a 为 n 阶元，则 G={e,a,a2,…,an-1}为 n 阶循环群
9
关于子群定理的证明
《循环群与置换群》课件
在实际应用中，同态和同构的概念可 以用于比较不同置换群之间的相似性 和差异性，以及进行置换群的分类和 结构分析。此外，同态和同构也是研 究其他代数结构的重要工具和方法。
06
应用实例
在密码学中的应用
加密算法
置换群和循环群在加密算法中有着广泛的应用，如凯撒密码、栅栏密码等。这些 算法利用置换群中的置换操作对明文进行加密，保护信息的安全。
编码理论
置换群在编码理论中也有着广泛的应用，如线性码和循环码等。这些编码利用置换群的性质，能够设 计出高效可靠的编码方案。
在几何学中的应用
几何变换
置换群在几何变换中有着重要的应用 ，如矩阵表示和仿射变换等。通过利 用置换群的性质，可以研究几何图形 在不同变换下的性质和关系。
分形几何
循环群在分形几何中也有着一定的应 用，如Mandelbrot集和Julia集等。 这些分形结构通过循环群的迭代和递 归生成，展现出复杂而美丽的几何图 案。
《循环群与置换群》PPT课件
目录
• 群的基本概念 • 置换群 • 循环群与置换群的关系 • 循环群的性质 • 置换群的性质 • 应用实例
01
群的基本概念
群的定义
1
群是由一个集合以及定义在这个集合上的二元运 算所组成的一个代数结构。
2
群中的元素称为群元，通常用小写字母表示，如 $a, b, c, ldots$。
子群的构造
通过选择置换群中的若干个置换作为子群的元素，可以构造出置换群的子群。子群可以由单位元和若干个非单位元的 置换构成，其中非单位元的置换可以两两复合得到。
子群在置换群中的作用
子群在置换群的结构和性质研究中具有重要的作用。通过研究子群的性质和分类，可以进一步了解整个 置换群的性质和结构。
近世代数第一章
映射。记号 f : x
f ( x) 表示映射 f 所规定的元素之间的具体对应关系。对于集合 A 到集
合 B 的两个映射 f 与 g ，如果对 A 中每一个元素 a 都有 f (a ) g (a ) ，则称它们是相等的， 记为 f g 。 例1. 设 A 是全体整数的集合， B 为全体奇数的集合，定义
iI
设 xP ， 按定义有 x S 而且 x
因此， 对每个 i I ，x Ai ， 因而 x S Ai ， Ai 。
(i I ) 。即 x Q 。这就是说，凡 P 中的元素都属于 Q ，所以， P Q 。
反过来，设 x Q ，则对任何 i I ，有 x S Ai ，即 x S ，而且 x Ai (i I ) 。因 此，x
A A
A BB A， A B B A
（空集是加法的零元） （交换律）
A ( B C ) ( A B) C A (B C) ( A B ) C
（结合律）
(5)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A (B C ) ( A B ) (A C)
（分配律） （吸收律） （模律） （德.摩尔根律）
(6)
A ( A B) A ， A ( A B) A ( B C ) ( A B) C
(7) 若 A C ，则 A (8) (9) (10)
A B ( A B) A B ， ( A B） ( A) A ( A B) C ( A C ) ( B C )
近世代数讲义
北京工业大学应用理学院
姚海楼编 2014 年 9 月
第一章 群论
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系统， 即具有一些代数运算的集合。 代数系统中 最简单的是具有一个二元代数运算，本章将要介绍督促群，就是一个这样的代数系统。群岛 理论是近代数学的一个重要分支， 它在物理学、 化学、 信息学等许多领域都有着广泛的应用。 本章主要介绍群的基本理论。第一节介绍集合于映射等基本知识，为后面内容的介绍做 些准备。第二节介绍半群与群急切基本性质。第三节介绍子群与陪集，第四节介绍循环群与 变换群以及群的同构， 循环群与变换群是两类最常见的群。 第五节介绍群的正规子群和商群。 第六节介绍群的同态基本定理等内容。第七节介绍群的内外直积概念及基本性质。 第一节 集合与映射 1. 集合的概念 集合是数学中的最基本概念之一，它没有确切的定义。一般地，由具有某种特定性质的 具体的或抽象的事物全体组成一个集合（Set） ，简称集，其中的成员称作这个集合的元素 （Element） ，例如，自然数全体就是一个集合，称为自然数集。每个自然数就称为自然数集 合的元素。 集 合 一 般 用 大 写 拉 丁 字 母 A, B, C 等表示，集合中的元素用小写拉丁字母
离散数学(78)
18
作业
复习要点： 子群的判定定理 有哪些重要子群，它们之间存在什么关系？ 循环群的定义 有限循环群与n阶循环群的区别 怎样求循环群的生成元 怎样求循环群的子群 书面作业： 习题十七，13, 16, 18, 19, 20
19
5
关于子群的证明
证明中心C为子群 证 由于e属于C, C非空. 任取 x, y∈C，对于任意 a∈G有 (xy−1)a = x(y−1a) = x(a−1y)−1 = x(ya−1)−1 = x(ay−1) = (xa)y−1 = (ax)y−1 = a(xy−1) 因此 xy−1属于C. 由判定定理2，命题得证.
2
子群判定定理一
定理1 G 是群，H 是 G 的非空子集，则 H≤G ⇔ ∀a,b∈H, ab∈H, b−1∈H 证：只证充分性. H 非空，存在 a 属于H， 由条件2，a−1属于H， 由条件1，有aa−1属于H, 即 e 属于H
3
子群判定定理二和三
定理2 G是群，H是G的非空子集，则 H≤G ⇔ ∀a,b∈H, ab−1∈H 证 充分性. H ≠ ∅ ⇒∃b∈H b∈H ⇒ bb−1∈H ⇒ e∈H ∀a, a∈H ⇒ ea−1∈H ⇒ a−1∈H ∀a,b, a,b∈H ⇒ a,b−1∈H ⇒ a(b−1)−1∈H ⇒ ab∈H 定理3 G是群，H 是 G 的有限非空子集，则 H≤G ⇔ ∀a,b∈H, ab∈H 证明见教科书.
定义 设G为群, H是G 的非空子集，若H 关于G 中运 算构成群，则称 H 为G 的子群，记作 H≤G. 如果子群H 是G 的真子集，则称为真子群，记作H<G. 说明：子群H 就是G 的子代数. 假若H 的单位元为 e’, 且 x 在H 中相对 e’ 的逆元为 x’, 则 xe’= x = xe ⇒ e’ = e xx’ = e’ = e = xx−1 ⇒ x’= x−1
ch7-群与环-2nd-hy
置换的轮换表示
7.4 循环群与置换群
一个置换可以表示为若干个轮换的合成 设 S = {1, 2, …, n}，对于任何S上的 n 元置换 , 存在着一个有限序列 i1, i2, …, ik, k≥1, (可 以取i1=1) 使得 (i1) = i2, (i2) = i3, …, (ik1) = ik, (ik) = i1 令 1 = (i1 i2 … ik), 是 分解的第一个轮换.
27 27/40
置换的对换分解式：性质
7.4 循环群与置换群
对换分解式中对换之间可以有交，分解式也不惟 一.
1 2 3 4 2 3 1 4
可以有下面不同的对换表示： = (1 2) (1 3)， = (1 4) (2 4) (3 4) (1 4)
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继续对 分解. 由于S 只有n 个元素, 经过有 限步得到 = 1 2 … t
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置换的轮换表示
= 1 2 … t 轮换分解式的特征
轮换两两无交集 分解的唯一性
7.4 循环群与置换群
若 = 12 …t 和 = 12 …s 是的两个轮换表示式，则有 { 1, 2, …, t } = {1, 2, …,s }
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7.5 环与域
例： 设 p为素数，证明Zp是域.
证 p为素数，所以 |Zp|≥2. 易见Zp可交换，乘法单位元是1 对于任意的 i, j∈Zp, i ≠ 0有 i j = 0 p 整除 ij p| j j = 0 所以 Zp 中无零因子，Zp为整环. 下面证明每个非零元素都有逆元. 任取 i∈Zp，i ≠ 0，令 i Zp = { i j | j∈Zp} 则 i Zp = Zp，否则 j, k∈Zp，使得 i j = i k，由消去律 得 j = k. 由1∈Zp，存在 j∈Zp，使得 i j = 1. 由于交换性可知 j 就是 i 的逆元. 39/40
正规子群和群基本同态定理
商群
设N是群G的正规子群，(G/N, *)是群
封闭性：*的定义保证。 结合律：G的运算满足结合律。 单位元素：N本身(注意：G的单位元素e∈N) 逆元素：Na的逆元素是Na-1。
(G/N, *)称为G的商群。
同态核
假设G1, G2是群，f: G1→G2是同态映射，定义 集合 ker f = {x|x∈G1,且f(x)=e2},其中e2是G2的 ∈ 且 单位元素， ker f称为同态核。
G2的单位元素 ker f
G1
同态映射 f
G2
同态核是正规子群
ker f是G1的正规子群。
非空： G1的单位元必在ker f 中。 子群：任取a,b∈ ker f , 则：f(a)=f(b)=e2; 因此： f(ab1) = f(a)*[f(b)]-1= e 。 2 正规子群：任取a∈ ker f ,x∈G1, 则： f(a)=e2; 因此： f(xax-1) = f(x)* f(a)*[f(x)]-1 =e2 。
若aj=ak，则j,k对m同余，也对n同余，所以：bj=bk， 因此f是函数。 f(aj ak) = f(aj+k) = bj+k = bj * bk = f(aj)*f(ak)
同态基本定理的应用
例：G是群，H和K都是G的正规子群，且H⊆K， 证明：G/K ≅ (G/H)/(K/H)
比较同态基本定理， G/ker f ≅ G’ 定义f: G/H→G/K, 对任意Ha∈G/H, f(Ha)=Ka
群同态基本定理
离散数学 第14讲
上一讲内容的回顾
同构与同态 循环群与生成元 循环群的子群 无限循环群与整数加群同构 有限循环群与相应的剩余加群同构
群论中的群与子群
群论中的群与子群在数学领域中，群论是一门非常重要的学科，其研究对象是群和群之间的关系。
群是一种代数结构，一般来说，它由一组元素和一个二元运算所构成。
这个二元运算必须满足结合律、存在单位元素和逆元素等性质。
子群则是群论中的一个基本概念，它是指一个群中的子集，该子集可以构成一个群，并且该子群的元素在原来的群中依然满足同样的运算法则。
在群论中，群中的元素可以是任何对象，但它们必须满足一些特殊的性质。
例如，群中的元素必须是可逆的，所以它们必须具有逆元素；同时，群中的元素也必须遵守结合律，这意味着它们的运算顺序不影响结果。
此外，群中的元素也必须具有单位元素，该元素在进行运算时不会改变元素的值。
子群是指在一个群中选择一些元素，并对它们进行运算形成的小群。
这些子群的运算法则必须和原来的群相同。
一个最简单的例子是，一个由整数{…,-2,-1,0,1,2,…}构成的加法群，它的子群可以是所有偶数的整数。
可以看到，偶数的整数在加法运算下构成了一个群，并且它们的加法运算法则是和原来的加法群相同的。
子群的一个关键性质是，它必须是原来的群中的一个子集。
这意味着，子群中的元素必须在原来的群中仍然满足群的公理。
例如，如果一个群是由实数和加法运算构成的，那么该群的子群必须仍然具有实数的性质，否则就不是一个合法的子群。
在群论的研究中，子群也具有特殊的意义。
它们可以用来描述一些不同的结构。
例如，在纯数学中，子群可以用来描述对称性，这对物理学来说非常有用。
同时，在编程中，子群也可以用来描述一些数据的结构，比如笛卡尔积。
此外，子群还可以用来描述一些群的性质。
例如，如果一个群有一个非平凡子群（即除了空子集和群本身以外还有其他的子群），那么这个群就被称为可简群。
反之，如果一个群没有任何非平凡子群，那么这个群就被称为单群。
总之，群论中的群与子群是非常重要的概念，它们为我们描述和理解不同的结构和性质提供了重要的工具。
在实际应用中，它们也被广泛地应用在物理学、计算机科学等领域。
循环群子群讲解学习
例5 设G={0, 1, 2}是由x3=1的三个复根组成的集合，而
G中的代数运算“○”是通常的乘法，那么< G , ○ >必为一 个乘法群。习惯上记为G3，叫做3次单位根群。这里
01,11 23,21 23.
（∵r<n）； r=0m=ngn|m.
性质3 设aG且|a|=n,那么n|m a m=e. 证明 “”正是性质2.
“”nmmng a m a n ga ng e g e .
性质4 设群G中元素a的阶是m,则|ak|=m/(m,k),其中k为任 意整数．
证明 首先，设(k,m)=d，且m=dm1,k=dk1,(m1,k1)=1, 则由于|a|=m,就有
（2）阶的计算方法 按照定义寻找使成立的最小正整数。 例1 乘法群Z5*= {[1], [2], [3], [4]}中，[1]是单位元，显然
|[1]|=1，而[2]12=[2]8=[2]4=[1]，|[2]|=4,同理知 |[3]|=4,|[4]|=2。 例2 加法群<Z5 ,+ >= {[0], [1], [2], [3], [4]}中，[0]是单位元，
证明 由于a m=e ，这本身说明|a|<+∞，令|a|=k， 若k > m，则与元素的阶的定义矛盾，故知k m 。 性质2 设aG, 且若存在mZ+使a m=e |a|=n <+∞, 且
n|m(但不能保证n=m)。 证明 由整数的带余除法知,g,rZ使m=ng+r, r=0或者
0<r<n. 如果r≠0,那么e=a m=ang+r=angar=(an)gar=(e)gar=ar矛盾
近世代数习题解答2
近世代数习题解答第二章 群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1 得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1所以))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea =a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 假设群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群.证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 那么1-a 的阶也是n .e e a a e a n n n ===⇒=---111)()(假设有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a me a m=∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a 的阶等于1-a 的阶 (2) a 的阶大于2, 那么1-≠a a 假设 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 那么 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a nm∈ ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等:n m a a =)(n m 〈 故 e a m n =-m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定一样? 证 不一定一样 例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G但 231,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 我们的答复是回有的},3,2,1{ =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 ……τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) :τb ax x +→:λd cx x +→:τλd cb cax d b ax c x ++=++→)(d cb ca +,是有理数 0≠ca 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 那么 :εx x → (4):τb ax +)(1:1ab x a x -+→-τ 而 εττ=-1所以构成变换群.又 1τ: 1+→x x:2τx x 2→:21ττ)1(2+→x x :12ττ12+→x x故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→ 来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ:)()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元.证 :1τ)(1a a τ→:2τ)(2a a τ→那么:21ττ)()]([2121a a a ττττ=→ 显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ==→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元:ε)(a a a ε=→:ετ)()]([a a a ττε=→τ:τε)()]([a a a τετ=→∴τεετ=4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。