历年高考理科数学真题汇编+答案解析(4)：数列
2019年高考真题汇编理科数学(解析版)4：数列
2018高考真题分类汇编：数列一、选择题1.【2018高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25【答案】B【解析】因为12=a ，54=a ，所以64251=+=+a a a a ，所以数列的前5项和156252)(52)(542515=⨯=+=+=a a a a S ,选B. 2.【2018高考真题浙江理7】设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D. 若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列【答案】C【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立．故选C 。
3.【2018高考真题新课标理5】已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【答案】D【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a ，又274=+a a ，所以2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a ，综上选D.4.【2018高考真题上海理18】设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．25B ．50C ．75D ．100【答案】D【解析】当1≤n ≤24时，n a ＞0，当26≤n ≤49时，n a ＜0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值，当51≤n ≤74时，n a ＞0，当76≤n ≤99时，n a ＜0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值，∴当1≤n ≤100时，均有n S ＞0。
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n
3
26
3
4
9
a>0,故 q 1 。
3
1
1
由2a1 3a2
1得2a1
3a2q
1
，所以
a1 3 。故数列{an}的通项式为
an=
。
3n
（Ⅱ ） bn log1 a1 log1 a1... log1 a1
(1 2 ... n) n(n 1)
2
1
2
11
故
2( )
bn n(n 1)
1.S
1 3
(1
1 3n
)
1
31n
,
n
() 33
3n n
1 1
2
3
所以
Sn
1
an , 2
（Ⅱ） bn log3 a1 log3 a2 log3 an
n(n 1)
所以{bn }的通项公式为bn
. 2
n(n 1) (1 2 ....... n)
2
2、(2011 全国新课标卷理）
{a1 9
解得 d 2
数列{an}的通项公式为 an=11-2n。 ...................................................6 分
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n(n 1)
(2)由(1) 知 Sn=na1+
d=10n-n2。
2
因为 Sn=-(n-5)2+25.
a1 d 0, 解：（I）设等差数列{an } 的公差为 d，由已知条件可得2a1 12d 10,
a1 1,
解得 d
1.
故数列{an } 的通项公式为 an 2 n. ………………5 分
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解答: 13，设等比数列公比为q3、25•- (ag )ag••• q 3• S 121 …S 53（1）证明:a nb n 是等比数列，a n b n 是等差数列;(2 )求a n 和b n 的通项公式. 答案： (1) 见解析 1 x n 11 x n 1(2)a n () n，b n () n2222解析：(1)将 4a n 1 3a n b n 4 , 4b n 1 3b n a n 4 相加可得 4a n1 4b n 1 3a n 3b n a n b n ,11 整理可得a n 1 b n 1丄(a n b n )，又玄1 Q 1，故a . b n 是首项为1,公比为1的等比数列22将 4a n 1 3a n b n 4, 4b n 13b n a n 4 作差可得 4a n14b n13a n 3b n a . b n 8,整理可得a n 1 b n 1a nb n 2，又a 1 Q 1，故a .b n 是首项为1，公差为2的等差数列1 1A. a n 2n 5B.3n 3n 10 CS2n 28nD.S n■In 2 2n 2答案：A解析：S 4 4冃 6d 0a 1 3 5, S n2依题意有 可得 a nn 4n .3S 31 4d 5 d 2 n（2019全国1理）9•记S n 为等差数列 a n 的前n 项和•已知S 40 , a 5 5，则（2（2019全国1理）14.记S n 为等比数列 a n 的前 n 项和,a 436，则 S5答案: S 51213 2019全国2理)19.已知数列a n 和b n满足a 10 , 4a n 1 3a n b n 4, 4b n 1 3b n a n 4.-31 2 3436(2)由a n b n是首项为1 ,公比为?的等比数列可得a n b n ()"①；由a n bn 是首项为1公差为2的等差数列可得a n b n 2n 1②;【解析】 【分析】首先确定公差，然后由通项公式可得 a 5的值，进一步研究数列中正项 ？负项的变化规律,得到和的最小值.【详解】等差数列 a n 中，8s 5a 3 10,得a 3 2& 3,公差da 3 a ?1, a§% 2d 0,由等差数列a n 的性质得n 5时，a n 0, n 6时，a n 大于0,所以S n 的最小值为S 4或S 5,即为10.①②相加化简得a n（!）n n 1，①②相减化简得b n 2 2（2019全国3理）5.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且a s 3a 3 4印，则a ?（）A. 16B. 8 答案： C解答：C. 4D.设该等比数列的首项 a i ，公比由已知得,4a©3dq 24a i ， 因为a 0且q 0， 则可解得2，又因为 a i (1q 3) 15,即可解得c 1，则4.（2019全国3理）14.记S n 为等差数列 a n 的前n 项和，若q0, a 2 3a ，则 3°S 5答案:4解析:设该等差数列的公差为d 2a 1 a 1 0,d 0 ,10 a 1 a 10S 0____________2S 55 a 1 a 522 2a 1 9d3 4.2a 1 4d 5d（2019北京理）10.设等差数列 的前n 项和为S n,若a 2=-3 ,S s =-10，则a s = ,S n 的最小值为【答案】 (1). 0. (2). -10.【点睛】本题考查等差数列的通项公式？求和公式？等差数列的性质，难度不大，注重重要知识？基础知识？基本运算能力的考查a i (2019北京理)20.已知数列｛a n｝，从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项(i l<i2<・・Vm)，若a h a2则称新数列a h, a i2, , a m为｛a n｝的长度为m的递增子列•规定：数列｛a n｝的任意一项都是｛a n｝的长度为1的递增子列．(I)写出数列1 , 8, 3, 7, 5, 6, 9的一个长度为4的递增子列；(H)已知数列｛a n｝的长度为p的递增子列的末项的最小值为a m o，长度为q的递增子列的末项的最小值为a n0.若p<q,求证：a m°<a n°；(川)设无穷数列｛a n｝的各项均为正整数，且任意两项均不相等若｛ a n｝的长度为s的递增子列末项的最小值为2s -, 且长度为S末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1 , 2,…)，求数列｛a n｝的通项公式.【答案】(I )1,3,5,6.(n )见解析; (川)见解析.【解析】【分析】(I )由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；(n )利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；(川)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可•【详解】(I )满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.(n)对于每一个长度为q的递增子列a n a2丄a q，都能从其中找到若干个长度为p的递增子列色总丄a p，此时a p a q ，设所有长度为q的子列的末项分别为：a q, ,a q2,a q3 ,L ,所有长度为p的子列的末项分别为：a p1,a p2,a p3,L ,则a n0 min a q1,a q2,a q3,L ，注意到长度为P的子列可能无法进一步找到长度为q的子列，故a m0 min a p1,a p2,a p3,L ，据此可得：a m0a n0n 1, n为偶数(川)满足题意的一个数列的通项公式可以是a n 斗才来朴2,1,4,3,6,5,8,7,L ,n 1,n为奇数面说明此数列满足题意很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.长度为s 的递增子列末项的最小值为2s-1，下面用数学归纳法证明长度为s 末项为2s-1 的递增子列恰有2s 1个s 1,2,L ：当n 1 时命题显然成立，假设当n k时命题成立，即长度为k末项为2k-1的递增子列恰有21个，则当n k 1时，对于n k 时得到的每一个子列a s1,a s2,L ,a s k 1,2k 1，可构造：aq,a s2丄，a s「2k 1,2 k 1 1和a5^,a S2,L ,a^l,2k,2 k 1 1两个满足题意的递增子列，则长度为k+1 末项为2k+1 的递增子列恰有 2 2k 12k2k 1 1个，n 1, n为偶数综上可得，数列a n、，卄沁.2,1,4,3,6,5,8,7,L是一个满足题意的数列的通项公式•n 1, n为奇数注：当s 3时，所有满足题意的数列为：2,3,5 , 1,3,5 , 2,4,5 , 1,4,5 ，当s 4 时，数列2,3,5 对应的两个递增子列为：2,3,5,7 和2,3,6,7 .【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.2019天津理) 19.设a n 是等差数列，b n 是等比数列.已知a1 4,b1 6，b2 2a2 2,b3 2a3 4.(I)求a n和b n的通项公式;（n）设数列q满足G 1,c n X 2 J 2「其中k Nn 1 n b k,n 2k ,i )求数列a2n c2n1 的通项公式;2nii ）求a i c i n Ni1答案】（I ）a n 3n 1 ; b n 3 2n（n ）（i ）a2n c2n 1 9 4n1 （ii ）* 2n 1n 1 *aqnN 27 25 2 n 12 nNi 1【解析】 【分析】(I )由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可; (n )结合(I )中的结论可得数列a 2n c 2n 1的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等2n价变形，结合等比数列前n 项和公式可得aG 的值.i 12 4 d 26 2d，解得2 4 2d 4 12 4d故a n 4 (n 1) 33n1 ,b n6 2n13 2n.所以,a n的通项公式为 a n 3n 1 , b n的通项公式为b n3 2n (n )( i ) a 2n C 2n 1 a ?n b n 1 3 2n 1 3 2n 19 4n 1所以,数列 a ?n c?n1 的通 项公式 :为a2nc 2n 19 4n 12n 2n2n2n(ii )a &a i a C i 1a ia c 2i1i 1i 1i 1i 12n 2n 1n2 n4-39 412i 14 1 4n3 ?2 n5 2n 19n1 427 _2n•1J 112N*25 2n n【点睛】本题主要考查等差数列 ？等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列 求和的基本方法以及运算求解能力.【详解】(I )设等差数列a n 的公db n 的公比为q .依题意得6q6q 2（2019上海）18•已知数列｛a n ｝ , a 1 3，前n 项和为S n •（1）若｛an ｝为等差数列,且 a 4 15, 求S n ；（2）若｛a n ｝为等比数列,且 lim n S n 12，求公比 q 的取值范围 【解答】解：（1） Q a 4 a 3d 3 3d 15 ,d 4 ,n(n 1),S n 3n4 2n 2 n；2lim S n 存在，nlim 3(^ 2 ,n1 q 1 q3 4公比q 的取值范围为（1 , 0） （0 , 3）.42综上，d -或者d3Hm S n存在， lim S n n （2019上海）21.已知等差数列｛务｝的公差d (0， ］，数列｛b n ｝满足 b n sin (a n )，集合 S x|xb n ,n2 、（1 ）若a 1 0,d 一，求集合 30,d —,3｛乜，0, △.2 2根据三角函数线，①等差数列 ｛a n ｝的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时此时d —,3（2）若a 1，求d 使得集合 2 S 恰好有两个（3）若集合S 恰好有三个元素: b n T b n , T 是不超过7的正整数，求 T 的所有可能的值.【解答】解：（1） Q 等差数列｛a n ｝的公差d (0，］，数列｛b n ｝满足 b n sin (a n )，集合 S x|xb n ,n当a 1集合S (2) Q，数列｛b n ｝满足 b n sin (a .),2集合S x|x N *恰好有两个元素，如图:②a 1终边落在OA 上，要使得集合 S 恰好有两个元素，可以使 a 2, a 3的终边关于y 轴对称，如图OB , OC ,(3)①当T 3 时，b n 3 b n，集合S {bl，b2, b3},符合题意.②当T 4 时，b n 4 b n ，sin(a n 4d) sina. a n 4d a n 2k ，或者a n 4d 2k a n ，4d a n 2k，又k 1，2当k1时满足条件，此时S {，1, 1}.③当T 5时，b n 5b n，si n(a n5d)sina n，故k1，2.当k1时，S{sin—，1，sin}满足题意1010④当T 6时，b n 6b n，sin (an6d)sina n，a na n等差数列{a n}的公差d (0，］，故a n5d a n 2k ，或者a n 5d 2k a n，因为 d (0 ,所以6d a n 2k 或者a n 6d 2k a n，d (0，1 , 2, 3.1时，S {-^O, —3}，满足题意.2 2⑤当T 7 时，b n 7 b n，si n(a n 7d) si na n si na n，所以a n 7d a n 2k ，或者a n 7d 2k a n，d (0，故k 1 , 2, 31时，因为b i ~b7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n 2 ，d m 7，不符合条件.k 2时，因为b i~b7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n 2 ，d n不是整数，不符合条件.k 3时，因为bi ~ b7对应着3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有a m a n—，或者d7—，此时，m n均不是整数，不符合题意.7综上，T3，4，5，6.(2019江苏)8.已知数列{a n}( n N*)是等差数列，S n是其前n项和若a2^ 兎0,S9 27 ,则Q的值是 _____________________ 【答案】16【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.a 2a 5CBa 1 d a-i 4d7d 0【详解】由题意可得：9 8S99a 1 9 8d227解得： a 1 51 ，则 S 8 8a 1 8 7d40 28 216.d 22【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应 用通项公式、求和公式等，构建方程(组)，如本题，从已知出发，构建a 1, d 的方程组.(2019江苏)20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M—数列”.(1)已知等比数列｛a n ｝满足：a ?a 4 a 5,a 3 4a ? 4印 0 ,求证：数列｛a n ｝为“M—数列”；u . 1 2 2(2)已知数列｛b n ｝满足：b 1 1,S b b ，其中S 为数列｛b n ｝的前n 项和.S n b n b n 1① 求数列｛b n ｝的通项公式；② 设m 为正整数，若存在 “M—数列” ｛｝ (n € N *)，对任意正整数k ，当k 呦 时，都有C k b k q 1成立，求m 的 最大值.【答案】(1)见解析； (2［① b n = n n N * :② 5. 【解析】 【分析】(1 )由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论； (2)①由题意利用递推关系式讨论可得数列｛b n ｝是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定b k 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得【详解】(1)设等比数列｛a n ｝的公比为q ,所以a 1^0, q 丰0.因此数列｛a n ｝为M —数列”1 22 (2) ①因S n—，所以b nb nbn11 2 2由b| 1,S 1th 得1 1 ，则 b 22.1由2 2 得 S nb n b n 1m 的最大值.a 2&4 a s由a 3 4a ： 4ci|。
全国高考理科数学试题分类汇编4：数列 Word版含答案.pdf
2 3
an
+
1 3
,则数列{
an
}的通
项公式是 an =______. 【答案】 an = (−2)n−1 .
21．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,互不-相同
的点 A1, A2 K , X n ,K 和 B1, B2 K , Bn ,K 分别在角O的两条边上,所有 An Bn 相互平行,且所有
所以数列的前 n
项和
sn
=
4n
或 sn
=
3n2 − 2
n
11．（2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD 版含答案））等差数
列 an的前 n 项和为 Sn ,已知 S10 = 0, S15 = 25 ,则 nSn 的最小值为________.
【答案】 −49
12．（2013 年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三
图像如图所示,在区间a,b 上可找到 n(n 2) 个不同的数 x1,x2...,xn , 使得
f (x1) = f (x2 ) = f (xn ) , 则 n 的取值范围是
x1
x2
xn
(A)3,4
(B)2,3,4 (C) 3,4,5
(D)2,3
【答案】B
5 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版））已知等比数列
则
学海无涯
(1) a3 = _____; (2) S1 + S2 + + S100 = ___________.
【答案】 − 1 16
;
1 3
(
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)4：数列
2012 高考真题分类汇编：数列一、选择题1.【 2012 高考真题重庆理 1】在等差数列 { a n } 中， a 21 ， a 45 则 { a n } 的前 5 项和 S 5 =A.7B.15C.20D.25【答案】 B【 解 析 】 因 为 a 2 1 ， a 45 ， 所 以 a 1 a 5 a 2a 46 ， 所 以 数 列 的 前 5 项 和5( a 1a 5 ) 5(a 2a 4 ) 5 , 选 B.S 5226 1522.【 2012 高考真题浙江理 7】设 S n 是公差为 d （ d ≠ 0）的无穷等差数列﹛ a n ﹜的前 n 项和，则 下列命题错误的是A.若 d ＜ 0，则数列﹛ S n ﹜有最大项B.若数列﹛ S n ﹜有最大项，则 d ＜ 0C.若数列﹛ S n ﹜是递增数列，则对任意n N * ，均有 S nD. 若对任意 n N * ，均有 S n 0 ，则数列﹛ S n ﹜是递增数列【答案】 C【解析】选项 C 显然是错的，举出反例：— 1，0， 1， 2， 3，⋯．满足数列 {S n }是递增数列，但是 S n ＞ 0 不成立．故选 C 。
3.【 2012 高考真题新课标理 5】已知 a n 为等比数列， a 4 a 72 ， a 5 a 68 ，则 a 1 a 10（）( A) 7 (B) 5(C )( D )【答案】 D【 解 析 】 因 为 { a n } 为 等 比 数 列 ， 所 以 a 5a 6 a 4 a 78 ， 又 a 4 a 7 2 ， 所 以 a 4 4，a 7 2 或 a 4 2，a 7 4 . 若 a 44，a 72 ， 解 得 a 18，a 10 1 ，a 1a107 ；若 a 42， a 7 4 ，解得 a 108， a 1 1 ，仍有 a 1 a 107 ，综上选D.4.【2012 高考真题上海理18】设a n 1sin n， S n a1 a2a n，在S1, S2 ,, S100 n25中，正数的个数是（）A． 25B． 50C．75D． 100【答案】 D【解析】当 1≤n≤ 24 时，a n＞ 0，当 26≤n≤ 49 时，a n＜ 0，但其绝对值要小于1≤n≤ 24时相应的值，当51≤n≤ 74时， a n＞0，当76≤ n ≤99时， a n＜0，但其绝对值要小于51≤ n ≤74时相应的值，∴当1≤n≤ 100 时，均有S n＞ 0。
2012年高考真题理科数学解析汇编：数列
．（2012年高考（四川理））已知数列 的前 项和为 ,且 对一切正整数 都成立.
(Ⅰ)求 , 的值;
(Ⅱ)设 ,数列 的前 项和为 ,当 为何值时, 最大?并求出 的最大值.
．（2012年高考（上海理））对于数集 ,其中 , ,定义向量集
.若对于任意 ,存在 ,使得 ,则称X
函数 .定义数列 如下: 是过两点 的直线 与 轴交点的横坐标.
(1)证明: ;
(2)求数列 的通项公式.
．（2012年高考（北京理））设A是由 个实数组成的 行 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记 为所有这样的数表构成的集合.
对于 ，记 为A的第 行各数之和 ， 为A的第 列各数之和 ；
．（2012年高考（上海春））已知等差数列 的首项及公差均为正数,令 当 是数列 的最大项时, ____.
．（2012年高考（辽宁理））已知等比数列 为递增数列,且 ,则数列的通项公式 ______________.
．（2012年高考（江西理））设数列 都是等差数列,若 ,则 __________。
3.考点分析:本题考察等比数列性质及函数计算.
解析:等比数列性质, ,① ;② ;③ ;④ .选C
3.【答案】B
【解析】 ,而 ,解得 .
【考点定位】该题主要考查等差数列的通项公式,考查计算求解能力.
3.答案A
【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前 项和的公式的运用,以及裂项求和的综合运用,通过已知中两项,得到公差与首项,得到数列的通项公式,并进一步裂项求和.
3.【解析】选
二、填空题
3.【解析】 的前 项和为
可证明:
高考真题汇编——理科数学(解析版)4：数列.pdf
an
f
an + 2
= 2 2 = 2 2 = f a an an+2
an +an+2
2an+1
2 n +1
；
( ) ( ) ( ) ③ f an f an+2 =
anan+2 =
2
an +1
=
f2
an +1
；
( ) ④ f (an ) f (Байду номын сангаасn+2 ) = ln an ln an+2 ln an+1 2 = ( ) f 2 an+1 .选 C
（）
( A) 7
【答案】D
(B) 5
(C) −
(D) −
【 解 析 】 因 为 {an } 为 等 比 数 列 ， 所 以 a5a6 = a4a7 = −8 ， 又 a4 + a7 = 2 ， 所 以 a4 = 4，a7 = −2 或 a4 = −2，a7 = 4 . 若 a4 = 4，a7 = −2 ， 解 得 a1 = −8，a10 = 1 ， a1 + a10 = −7 ；若 a4 = −2，a7 = 4 ，解得 a10 = −8，a1 = 1，仍有 a1 + a10 = −7 ，综上选
学海无涯
比 数 列 {an} ， { f (an )} 仍 是 等 比 数 列 ， 则 称 f (x) 为 “ 保 等 比 数 列 函 数 ”. 现 有 定 义 在 (−,0) U(0, +) 上的如下函数：
① f (x) = x2 ； ② f (x) = 2x ； ③ f (x) = | x | ； ④ f (x) = ln | x | .
历年高考理科数列真题汇编含答案解析
高考数列选择题部分（2016全国I ）（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）100（B ）99（C ）98（D ）97（2016上海）已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（）（A ）1a（C ）1a （2016（A ）（2016n ，a 2n ?1+a 2n （A （C （2016∈*N ，1n n B B +=若n d =A ．{}n S C ．{}n d 1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A 、-1B 、0 C 、1D 、62.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（） A ．6B ．7 C ．8D ．93.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是（）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->4.【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（）A.140,0a d dS >>B.140,0a d dS <<C.140,0a d dS ><D.140,0a d dS <>1.【2014年重庆卷（理02）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（）13.,,A a a a 24.,,C a a 2.【A ．5.【2014 ） A ．（2016（2016同的数组成，{}3,2，则k （2016（2016的值是▲. （20165.【2015}n a 的前n 6.【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 7.【2015高考广东，理10】在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=. 8.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．9.【2015江苏高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为3.【2014年广东卷（理13）】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++=。
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历年高考理科数学真题汇编+答案解析专题4数列（2020年版）考查频率：一般为2个小题或1个大题考试分值：10分~12分知识点分布：必修5一、选择题和填空题（每题5分）1．（2019全国I 卷理9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意有⎩⎨⎧=+=+5406411d a d a ，解之得⎩⎨⎧=-=231d a .∴1(1)25n a a n d n =+-=-，21(1)42n n n S na d n n -=+=-.【答案】A【考点】必修5等差数列2.（2019全国I 卷理14）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．【解析】由246a a =可得，26511a q a q =，11a q =，∴3q =.∴551(13)1213133S -==-.【考点】必修5等比数列3．（2019全国III 卷理5）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=A ．16B ．8C ．4D ．2【解析】由题意可得，23142111(1)1534a q q q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得2q =，11a =.∴2314a a q ==.【答案】C【考点】必修5等比数列4．（2019全国III 卷理14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________.【解析】∵12103a a a =≠，，∴2113a a d a =+=，即12d a =.∵1011111091010901002S a d a a a ⨯=+=+=，51111545520252S a d a a a ⨯=+=+=.∴1054S S =.【答案】4【考点】必修5等差数列5．（2018全国I 卷理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．12【解析】由4213S S S +=得，)64()2()33(3111d a d a d a +++=+，解得3231-=-=a d ，∴10122415-=-=+=d a a .【答案】B【考点】必修5等差数列6．（2018全国I 卷理14）记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+，则6S =_____________．【解析】当n ＝1时，1121a a =+，解得11a =-；当n ≥2时，有1121n n S a --=+，21n n S a =+，二式相减，得122n n n a a a -=-，化简得12n n a a -=.所以{a n }是一个以－1为首项，以2为公比的等比数列.所以661(12)6312S -⨯-==--.【答案】－63【考点】必修5等比数列7．（2017全国I 卷理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】由题意得4512724a a a d +=+=，6161548S a d =+=，解得4d =.【答案】C【考点】必修5等差数列8．（2017全国I 卷理11）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A ．440B ．330C ．220D ．110【解析】第1组有1个数：20，其和为21－1；第2组有2个数：20、21，其和为22－1；第3组有3个数：20、21、22，其和为23－1；……第k 组有k 个数：20、21、…、2k －1，其和为2k －1；于是，前k 组共(1)122++++=k k k 个数，其和为1212(12)2222(2)12+-+++-=-=-+- k k k k k k ，即1(1)2(2)2++⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭k k k S k ，设第k +1组有n 个数（n ≤k +1），其和为2n －1，则(1)2+=+k k N n ，()12(2)(21)+=-++-k n S N k ，∵数列的前N 项和为2的整数幂，∴212-=+n k ，由(1)1002+>k k 得，14≥k ，∴n ＝5，k =29，则29(291)54402⨯+=+=N .【答案】A【考点】必修5等差数列、等比数列9.（2017全国II 卷理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【解析】设这个塔顶层有a 盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a 为首项的等比数列，∵总共有灯381盏，∴7(12)38112a -=-，解得3a =.【答案】B【考点】必修5等比数列10.（2017全国II 卷理15）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11n k k S ==∑．【解析】等差数列{}n a 的公差为d ，则有11234(23)102a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1=11a d =，．∴(1)2n n n S +=，∴12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则1111111122121223111n k kn S n n n n =⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑ .【答案】21nn +【考点】必修5等差数列11．（2017全国III 卷理9）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．－24B ．－3C ．3D ．8【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵a 2，a 3，a 6成等比数列，∴2326=a a a ，即2(12)(1)(15)+=++d d d ，解得2=-d ；∴{}n a 前6项的和为1666()3(1110)242+==+-=-a a S .【答案】A【考点】必修5等差数列12．（2017全国III 卷理14）设等比数列{}n a 满足a 1＋a 2＝–1,a 1–a 3＝–3，则a 4＝___________．【解析】设等比数列{}n a 的公差为q ，∵a 1＋a 2＝–1,a 1–a 3＝–3，∴1(1)1+=-a q ，21(1)3-=-a q ，解得11,2==-a q ，∴3418==-a a q .【答案】－8【考点】必修5等比数列二、简单题（每题12分）13．（12分）（2019全国II 卷理19）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434+-=+n n n a a b ，1434+-=-n n n b b a .（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.【解析】（1）由题设得114()2()+++=+n n n n a b a b ，即111()2+++=+n n n n a b a b ．又因为a 1+b 1=l ，所以{}+n n a b 是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得114()4()8++-=-+n n n n a b a b ，即112++-=-+n n n n a b a b ．又因为a 1–b 1=l ，所以{}-n n a b 是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，112-+=n n n a b ，21-=-n n a b n ．所以111[()()]222=++-=+-n n n n n n a a b a b n ，111[()()]222=+--=-+n n n n n n b a b a b n ．【考点】必修5等差数列、等比数列14.（2018全国II 卷理17）（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15．由a 1＝－7得d ＝2．所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9．（2）由（1）得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16．所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16．【考点】必修5等差数列15．（2018全国III 卷理17）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q-=.由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.故1(2)n n a -=-或12n n a -=.（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=.由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解.若12n n a -=，则21n n S =-.由63m S =得264m =，解得6m =.综上，6m =.【考点】必修5等比数列。