2017年全国高考文科数学试题及标准答案全国1卷

只 A ．A⎧B = ⎨ x |x < ⎬ B =∅C ．A⎧B = ⎨ x |x <⎬.正 .在)( B ． π7．设 x ，y 满足约束条件 ⎨ x - y ≥ 1,则 z =x +y 的最大值为2017 年普通高等学校招生全国统一考试 1 卷文科数学一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中， 有一项是符合题目要求的。

1．已知集合 A = {x|x < 2}，B = {x|3 - 2x > 0}，则3 ⎫ ⎩ 2 ⎭ B ．A3 ⎫ ⎩ 2 ⎭ D ．AB=R2．为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田.这 n 块地的亩产量（单位：k g ）分别为 x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数3．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图 方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．141C ．8 2D ．π4y 25．已知 F 是双曲线 C ：x 2 -=1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是(1,3).△则 APF 3的面积为( )A ．1 3B ．12 C ．23D ．326．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是⎧ x + 3 y ≤ 3, ⎪ ⎪ ⎩y ≥ 0, A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．.函数 y = sin2 x 1 - cosx的部分图像大致为( )A ． π15．已知 a ∈ (0， ) ,tan α=2，则 cos (α - ) =__________。

}的前 n 项和，已知 S =2，S =-6. 9．已知函数 f (x) = lnx + ln(2 - x) ，则A ． f (x) 在（0,2）单调递增B ． f (x) 在（0,2）单调递减C ．y = f (x) 的图像关于直线 x =1 对称D ．y = f (x) 的图像关于点（1,0）对称10．如图是为了求出满足 3n - 2n > 1000 的最小偶数 n ，那么在可以分别填入和 两个空白框中，A ．A>1000 和 n =n +1C ．A ≤1000 和 n =n +1B ．A>1000 和 n =n +2D ．A ≤1000 和 n =n +211△． ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c 。

已知 sin B + sin A(sin C - cos C ) = 0 ，a =2，c = 2 ，则 C =12B ．π 6 C ． π 4 D ．π3x 2 y 212．设 A 、B 是椭圆 C ： +3 m= 1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°，则 m 的取值范围是A ． (0,1] [9, +∞)B ． (0, 3] [9, +∞ )C ． (0,1] [4, +∞)D ． (0, 3] [4, +∞ )二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13．已知向量 a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量 a +b 与 a 垂直，则 m =______________.14．曲线 y = x 2 + 1 x在点（1，2）处的切线方程为_________________________.π π 2 416．已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径。

若平面 SCA ⊥平面 SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥 S-ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为________。

三、解答题：共 70 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60 分。

17．（12 分）记 S n 为等比数列{a n2 3（1）求 {a n}的通项公式；（2）求 S n ，并判断 S n +1，S n ，S n +2 是否成等差数列。

9.919.221 ∑ 1 ∑ 1∑ x 2 - 16 x 2 ) ≈ 0.212 ，经计算得 x = ( x - x )2 = ( x = 9.97 ， s = 16 16 16i =1 i =1∑ (i - 8.5)≈ 18.439 ， ∑ ( x - x )(i - 8.5) = -2.78 ，其中 x 为抽取的第 i 个零件的尺寸， i = 1,2, ⋅⋅⋅ ,16 ．∑ ( x - x )( y - y )∑ ( x - x ) ∑ ( y - y )18．（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD ，且 ∠BAP = ∠CDP = 90（1）证明：平面 P AB ⊥平面 P AD ；（2）若 P A =PD =AB =DC, ∠APD = 90 ,且四棱锥 P-ABCD 的体积为锥的侧面积.8 3，求该四棱19．（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸：抽取次序零件尺寸抽取次序19.959210.1210 39.961149.9612510.0113 69.921479.9815810.0416 零件尺寸 10.26 10.13 10.02 10.04 10.059.9516 16 i i i i =116i =12 16i =1i i（1）求 ( x i , i) (i = 1,2, ⋅⋅⋅,16) 的相关系数 r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若 | r |< 0.25 ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( x - 3s, x + 3s) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在 ( x - 3s, x + 3s) 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到 0.01）附：样本 ( x , y ) (i = 1,2, ⋅⋅⋅ , n) 的相关系数 r =iin i ii =1n n2i i2， 0.008 ≈ 0.09 ．i =1i =1y=1-t,.x220．（12分）设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4.4（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.21．（12分）已知函数f(x)=e x(e x﹣a)﹣a2x．（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)≥0，求a的取值范围．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）⎧x=3cosθ,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎨（θ为参数），直线l的参数方程为⎩y=sinθ,⎧x=a+4t,⎨（t为参数）⎩（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f（x）=–x2+ax+4，g（x）=│x+1│+│x–1│.（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.1016.36π1-q331=1参考答案一、选择题：1.A 7.D2.B8.C3.C9.C4.D5.A6.A10.D11.B12.A二、填空题：13.714.y=x+115.310三、解答题：17.解：（1）设{a}的公比为q，由题设可得n⎧a(1+q)=2,⎨1⎩a2(1+q+q2)=-6.解得q=-2,a=-21故{a}的通项公式为a=(-2)nn n（2）由（1）可得a(1-q n)22n+1S==-+(-1)nn由于Sn+2+Sn+142n+3-2n+222n+1=-+(-1)n=2[-+(-1)n3333]=2Sn故Sn+1,S,Sn n+2成等差数列18.解：（1）由已知∠BAP=∠CDP=90，得AB⊥AP,C D⊥PD由于AB//CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面P AD又AB⊂平面P AB，所以平面P AB⊥平面P AD（2）在平面P AD内作PE⊥AD，垂足为E由（1）知，AB⊥平面P AD，故AB⊥PE，可得PE⊥平面ABCD设AB=x，则由已知可得AD=2x,PE=2 2故四棱锥P-ABCD的体积1V AB•AD•PE=x333x由题设得 1 ∑ ( x - x )(i - 8.5)∑ ( x - x ) ∑ (i - 8.5)∑ x 2 = 16 ⨯ 0.2122 + 16 ⨯ 9.972 ≈ 1591.134 ， 4 48x 3 = ，故 x = 23 3从而 P A = PD = 2, AD = BC = 2 2, PB = PC = 2 2可得四棱锥 P - ABCD 的侧面积为1 1 1 1P A PD + P A AB + PD DC + BC 2 sin 60 = 6 + 2 3 2 2 2 219.解：（1）由样本数据得 ( x , i )(i = 1,2,...,16) 的相关系数为ir =16ii =116 162i2= -2.780.212 ⨯ 16 ⨯18.439≈ -0.18 i =1 i =1由于 | r |< 0.25 ，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小。

（2）（i ）由于 x = 9.97, s ≈ 0.212 ，由样本数据可以看出抽取的第 13 个零件的尺寸在 ( x - 3s, x + 3s) 以外，因此需对当天的生产过程进行检查。

（ii ）剔除离群值，即第 13 个数据，剩下数据的平均数为115(16⨯ 9.97 - 9.92) = 10.02这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为 10.0216 ii =1剔除第 13 个数据，剩下数据的样本方差为115(1591.134 - 9.222 - 15 ⨯10.022 ) ≈ 0.008这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为 0.008 ≈ 0.0920.解：（1）设 A( x , y ), B( x , y ) ，则 x ≠ x , y = 1 1 2 2 1 2 1 x 2 x 21 , y =2 , x + x = 4 ，2 1 2于是直线 AB 的斜率 k =y 1 - y 2 = x - x1 2x 2 x（2）由 y = ，得 y ' =4 2x + x 1 2 = 1421,2= 2 ± 2 m + 1设 M ( x , y ) ，由题设知 x3 = 1 ，解得 x = 2 ，于是 M (2,1)3 33x 2设直线 AB 的方程为 y = x + m 代入 y = 得 x 2 - 4 x - 4m = 04当 ∆ = 16(m + 1) > 0 ，即 m > -1时， x从而 | AB |= 2 | x - x |= 4 2(m + 1)1 2由题设知 | AB |= 2 | MN | ，即 4 2(m + 1) = 2(m + 1)，解得 m = 7所以直线 AB 的方程为 y = x + 721.解：（1）函数 f ( x ) 的定义域为 (-∞, +∞), f '( x ) = 2e 2 x - ae x - a 2 = (2e x + a)(e x - a)①若 a = 0 ，则 f ( x ) = e 2 x ，在 (-∞, +∞) 单调递增②若 a > 0 ，则由 f '( x ) = 0 得 x = ln a当 x ∈ (-∞,ln a) 时， f '( x ) < 0 ；当 x ∈ (ln a, +∞) 时， f '( x ) > 0 ；故 f ( x ) 在 (-∞,ln a) 单调递减，在 (ln a, +∞) 单调递增a③若 a < 0 ，则由 f '( x ) = 0 得 x = ln(- )2a当 x ∈ (-∞,ln( - )) 时， f '( x ) < 0 ；2 a当 x ∈ (ln(- ), +∞) 时， f '( x ) > 0 ；2a a故 f ( x ) 在 (-∞,ln( - )) 单调递减，在 (ln(- ), +∞) 单调递增2 2（2）①若 a = 0 ，则 f ( x ) = e 2 x ，所以 f ( x ) ≥ 0②若 a > 0 ，则由（1）得，当 x = ln a 时， f ( x ) 取得最小值，最小值为 f (ln a) = -a 2 ln a ，从而当且仅当 -a 2 ln a ≥ 0 ，即 a ≤ 1 时， f ( x ) ≥ 0a③若 a < 0 ，则由（1）得，当 x = ln(- ) 时， f ( x ) 取得最小值，2a 3 a最小值为 f (ln(- )) = a 2[ - ln(- )] ，2 4 23a⎪+y ⎧x=3,⎪⎪⎩y=0⎪y=24⎩3从而当且仅当a2[-ln(-)]≥0，即a≥-2e4时，f(x)≥0423综上，a的取值范围是[-2e4,1]22.解：（1）曲线C的普通方程为x29+y2=1当a=-1时，直线l的普通方程为x+4y-3=0⎧x+4y-3=0,⎪由⎨x22=1⎩9解得⎨或⎨⎪25⎧21x=-,25从而C与l的交点坐标为(3,0),(-21,24) 2525（2）直线l的普通方程为x+4y-a-4=0，故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离为d=|3cosθ+4sinθ-a-4|17当a≥-4时，d的最大值为a+917，由题设得a+917=17，所以a=8；当a<-4时，d的最大值为-a+1-a+1，由题设得1717=17，所以a=-16；综上a=8或a=-1623.解：（1）当a=1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0①当x<-1时，①式化为x2-3x-4≤0，无解；当-1≤x≤1时，①式化为x2-x-2≤0，从而-1≤x≤1；当x>1时，①式化为x2+x-4≤0，从而1<x≤-1+172所以f(x)≥g(x)的解集为{x|-1≤x≤（2）当x∈[-1,1]时，g(x)=2-1+172}所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]，等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一，所以f(-1)≥2且f(1)≥2，得-1≤a≤1所以a的取值范围为[-1,1]。