第5讲为什么说根号2不是有理数
令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数
令⼈称奇的简单证明：五种⽅法证明根号2是⽆理数令⼈称奇的简单证明：五种⽅法证明根号2是⽆理数我喜欢各种各样的证明。
⼈们很难想到这样⼀些完全找不到突破⼝的东西竟然能够证明得到。
说“没有突破⼝”还不够确切。
准确地说，有些命题多数⼈认为“怎么可能能够证明”却⽤了⼀些技巧使得证明变得⾮常简单。
我看了五⾊定理的证明，定理宣称若要对地图进⾏染⾊使得相邻区域不同⾊，五种颜⾊就够了。
没看证明之前，我⼀直在想这个玩意⼉可以怎么来证明。
直到看了证明过程后才感叹居然如此简单，并且⽴即意识到四⾊定理基本上也是这种证明⽅法。
还有，像“⼀个单位正⽅形⾥不可能包含两个互不重叠且边长和超过1的⼩正⽅形”这样的命题竟然完全⽤初中学的那些平⾯⼏何知识证明到了，简单得不可思议。
关键是，我们能够读懂证明过程，但只有⽜⼈才能想到这个证明过程。
今天在OIBH上看到了这个帖⼦，帖⼦中哲⽜分享的⼀篇⽂章The Power Of Mathematics恰好说明了这⼀点。
⽂章中包含有⼀个推翻“万物皆数”的新思路，相当有启发性。
今天我想把我已经知道的四种证明连同新学到的这⼀个⼀起写下来。
如何证明存在⼀种不能表⽰为两个整数之⽐的数？古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“⼤⾃然的⼀切皆为整数之⽐”的思想统治了古希腊数学相当长的⼀段时间，许多⼏何命题都是根据这⼀点来证明的。
当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表⽰为整数之⽐”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。
直到有⼀天，毕达哥拉斯的学⽣Hippasus告诉他，单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。
被⼈们公认的假设被推翻了，⼤半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学⼤厦轰然倒塌，数学陷⼊了历史上的第⼀次危机。
最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。
今天我们要看的是，为什么单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。
单位正⽅形的对⾓线长度怎么算呢？从上⾯的这个图中我们可以看到，如果⼩正⽅形的⾯积是1的话，⼤正⽅形的⾯积就是2。
为什么说√2不是有理数
2
不是有理数
• 公元前6世纪古希腊的毕达哥拉 斯有一种观点，即“万物皆数”， 一切量都可以用真实或整数的比 （分数）表示，后来，当这一学 派的希帕索斯发现边长为1的正 方形的对角线的长度不能用整数 或整数的比表示，即 2 不是 有理数时，毕达哥拉斯学派感到 惶恐不安。由此还引发了一次数 学危机……
• 因为(n/m)^2=2,所以n/m不 可能是整数，于是把它写 成小数形式，而有限小数 的平方不可能是整数。如 果n/m不是有限小数的话， 可以把它转换成另外的进 制使得n/m是有限小数，因 而上面的结论仍然成立。
毕达哥拉斯，古 希腊数学家、哲 学家。
• 把BD减去BC，剩下一段DE。以DE 为边做一个新的小正方形DEFG， 那么显然DE=EF=FC（∵△EDF为 等腰直角且△BEF≌△BCF）。接 下来我们应该在BC和DE间辗转相 除。BC就等于CD，CD减去一个DE 相当于减去一个FC，就只剩下一 段DF了。现在轮到DE和DF之间辗 转相除，而它们是一个新的正方 形的边和对角线，其比例正好与 最初的BC和BD相当。于是，这个 操作再次回到原问题，并且无限 递归下去。
同样是证明不存在整数p, q， 使得p^2=2q^2，这个证明只需 一句话。假如p、q是最小的正整 数使得p^2=2q^2，看图，两个边 长为q的小正方形放在一个边长 为p的大正方形里，那么图中深 灰色正方形的面积就等于两个白 色正方形面积之和，于是我们就 找到了具有同样性质的更小的整 数p和q。仔细体会一下这个“面 积守恒”，如果A+B=C，那么A和 B重复计算了的必然是C里还没有 算过的。
• 无理数，即非有理数之实 数，不能写作两整数之比。 若将它写成小数形式，小 数点之后的数字有无限多 个，并且不会循环。
为什么说根号2(√2)不是有理数
5,
3 0.3737737773
有理数集合
无理数集合
整数 实 有理数
数
分数
有限小数或无 限循环小数
无理数 无限不循环小数
正实数
实
数
0
负实数
正有理数 正无理数
负有理数 负无理数
一、判断：
1.实数不是有理数就是无理数。（ ）
2.无理数都是无限不循环小数。（ ）
3.无理数都是无限小数。（ ）
4.带根号的数都是无理数。（ × ） 5.无理数一定都带根号。（× ）
6.两个无理数之积不一定是无理数。（ ）
7.两个无理数之和一定是无理数。（ × ）
8.有理数与无理数之和一定是无理数 ( )
把下列各数填入相应的集合内：
9 35
64
0.6
3 4
3 9
3
0.13
有理数集合： 9
64
0.6330.13 Nhomakorabea4
无理数集合： 3 5
3 9
整数集合： 9 64 3
分数集合： 0.6
3 4
0.13
实数集合：
9 35
64
0.6
3 4
3 9
3
0.13
每个有理数都可以用数轴上的点表示， 那么无理数 是否也可以用数轴上的 点来表示呢？
你能在数轴上找到表示 和 2及 2
这样的无理数的点吗？
直径为1的圆
7
3
有理数能不能将数轴排满？
2、（结果保留3个有效数字）
(1)、5
(2)、( 3 2 2) 2
(3)、2 9 2
为什么说√2不是有理数
• 无理数，即非有理数之实数， 无理数，即非有理数之实数， 不能写作两整数之比。 不能写作两整数之比。若将 它写成小数形式， 它写成小数形式，小数点之 后的数字有无限多个， 后的数字有无限多个，并且 不会循环。 不会循环。
假设根号2为有理数,那么存在两个互质 的正整数p, q, 使得: √2=p/q 于是： p= （√2）q 两边平方得： p^2=2q^2 由2q^2是偶数，可得p^2是偶数。而只有 偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。 因此可设p=2s,代入上式，得： 4s^2=2q^2, 即，q^2=2s^2. 所以q也是偶数。这样，p, q都是偶数， 不互质，这与假设p, q互质矛盾。 这个矛盾说明，√2不能写成分数的形 式，即√2不是有理数。
• 因为(n/m)^2=2,所以n/m不 因为(n/m)^2=2,所以n/m不 (n/m)^2=2,所以n/m 可能是整数， 可能是整数，于是把它写 成小数形式， 成小数形式，而有限小数 的平方不可能是整数。 的平方不可能是整数。如 n/m不是有限小数的话 不是有限小数的话， 果n/m不是有限小数的话， 可以把它转换成另外的进 制使得n/m是有限小数， n/m是有限小数 制使得n/m是有限小数，因 而上面的结论仍然成立。 而上面的结论仍然成立。
同样是证明不存在整数p, q， 同样是证明不存在整数p, q， 使得p^2=2q^2 p^2=2q^2， 使得p^2=2q^2，这个证明只需 一句话。假如p 一句话。假如p、q是最小的正整 数使得p^2=2q^2 看图， p^2=2q^2， 数使得p^2=2q^2，看图，两个边 长为q 长为q的小正方形放在一个边长 的大正方形里， 为p的大正方形里，那么图中深 灰色正方形的面积就等于两个白 色正方形面积之和， 色正方形面积之和，于是我们就 找到了具有同样性质的更小的整 仔细体会一下这个“ 数p和q。仔细体会一下这个“面 积守恒” 如果A+B=C 那么A A+B=C， 积守恒”，如果A+B=C，那么A和 重复计算了的必然是C B重复计算了的必然是C里还没有 算过的。 算过的。
6.3为什么说根号2不是有理数(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握有理数的定义和性质，能够正确判断一个数是否为有理数。
（2）理解无理数的概念，尤其是根号2为什么不是有理数。
（3）学会运用反证法进行数学证明。
举例解释：
-在讲解有理数的定义时，可以通过具体的例子（如分数、整数）让学生理解有理数的含义，强调有理数可以表示为两个整数的比。
2.介绍根号2的概念，引导学生思考根号2是否为有理数。
3.引导学生尝试用反证法证明根号2不是有理数，从而理解无理数的存在。
4.通过实际例题，让学生巩固对有理数和无理数的认识，提高解题能力。
本节课旨在帮助学生理解无理数的概念，掌握反证法的运用，为后续学习奠定基础。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力，通过反证法的运用，让学生掌握证明根号2不是有理数的方法，提高学生的逻辑思维水平。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“无理数来自实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调有理数的定义和无理数的证明这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的例子和反证法的步骤来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的实际问题，如其他常见的无理数有哪些，它们在生活中的应用等。
人教版七年级数学下册《为什么说根号2不是有理数》教学设计 (1)
二、讲授新课
1、5分钟时间带着2个问题自学58页阅读与思考。
（1）√2不是有理数这句话是命题吗？
（2）探究证明√2不是有理数需要应用哪些知识点？
2、学生发言“√2不是有理数”是否命题？
一般都能说出是真命题。题设是？结论是？
3、学生发言“探究证明√2不是有理数还需应用哪些知识点？”
题设：有一个数是√2，
结论：这个数不是有理数。
√2：不是有理数，是无理数
方法：反证法，奇偶分析法
4、教师给予所需知识点的补充说明证明真命题的方法：反证法。
反证法：通过断定与命题相反的结论的虚假来确定原命题的真实性的论证方法。
与命题相反的结论是什么？题设成立，方法。
（1）先把结论否定，假设√2是有理数，用之前复习的有理数可写成分数形式
（2）利用分子=分数值*分母
《为什么说根号2不是有理数》
教学
目标
知识与技能
掌握利用奇偶分析法证明根号2不是有理数。
过程与方法
熟练使用奇偶分析法来证明被开方数是2的数不是有理数的证明方法。
情感、态度与价值观
培养学生的探究能力和归纳问题的能力。
课型
新授课
课时
第一课时
教学重点
掌握利用奇偶分析法证明根号2不是有理数。
教学难点
熟练使用奇偶分析法来证明被开方数是2的数不是有理数的证明方法。
教学方法
通过创设情境引发学生思考，引导学生积极动手动脑进行探索。教学环节的设计与展开都以生活中的常见问题为出发点，让学生在自主探索的过程中，形成自己的观点。
教学准备
PPT课件
教学过程设计
教学过程
教学过程
教学内容
八年级数学下册 7.3 根号2是有理数吗学习要点素材 (新版)青岛版
7.3 √2是有理数吗
学习目标：
1．理解无理数的概念．
2．能用无理数估计√2的大致范围，明确无理数与有理数的区别与联系．
3．理解无理数也可以用数轴上的点表示．
学习要点：
1．无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数．
判断一个数是不是无理数，就看这个数是否满足定义中的三条：（1）小数；（2）无限；（3）不循环三个条件缺一不可．
常见无理数的三种表现形式：
（1）开方开不尽的数，如√2，√3等．
（2）含有π的一类数，如π/2，-2π+1等．
（3）特殊形式的无限不循环小数，如0.2121121112…（小数点后面相邻的两个2之间依次多1个）等．
2．作长度为无理数的线段
作形如√2，√3，√5这些长度为无理数的线段可以通过构造直角三角形，借助勾股定理来确定，也可以在数轴上用几何作图的方法在数轴上表示出来．
注意：并不是所有的无理数都能用尺规作图的方法在数轴上作出对应的点，如π，
0.1010010001…（小数点后面相邻两个1之间依次多1个0）等．
3．有理数与无理数的区别
有理数是有限小数或无限循环小数，都能写成分数的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式．
有理数和无理数与数轴上的点是一一对应的，即数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数；每一个有理数或无理数都可以用数轴上的点来表示．
拓展：整数、分数统称为有理数．无理数与有理数的和、差仍为无理数，无理数与不为0的有理数的积、商是无理数．。
阅读与思考：为什么根号2不是有理数
理数、无理数的由来，为什么 2 不是有理数，学生只是知其然并不知其所以然。
本节课所涉及的推理和证明过程中所涉及的反证法的数学思想，综合性较
1
强，学生在探究的过程中存在一定的思维障碍。 2.心理特征
此阶段的学生已经基本适应了初中的数学学习，学习的主动性和进步性进一 步加强。
理由的。例如负数的负就是亏欠、负
债的意义，也表示其意义与正数的正
恰好相反。而有理数之所以叫做有理
数确实毫无道理的。它源于翻译中的
失误。
19 世纪，西方科学传入中国时，
我国数学家李善兰（1811-1882）在译
英国 De Morgan 的《代数学》时将
rational function 与 irrational function
学习了有理数和七年级下册学习无理数、实数内容的延续和拓展。 数的范围从有理数扩充到实数，完善了初中阶段数域的意义，构建了实数与
数轴的完美结合与统一。
1.认知基础：
学情分析
本节课的授课对象为普通初中的学生，学生的学习基础一般。在先前的学习
中，学生已经了解有理数、无理数、实数的分类等内容，了解形如 m （m、n 是 n
数比表示，即 2 不是有理数时，毕达
哥拉斯学派感到狂恐不安，由此，引 发了第一次数学危机。
让学生通过微课视 频了解数系扩充的 过程。
将数学文化融入 数学课堂，激发 学生学习数学的 兴趣。
有理数是能表示成 m （m、n 是 教 师 提 出 问 题 ， 学
n
生回答。
整数，n≠ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）的数。我们知道有理数
3
包括整数和分数，请把下列分数写成 小数的形式，你有什么发现？
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第5讲
学习目标
1.了解无理数产生的背景；
2.
3..
重点与难点
. 一、无理数产生的背景
公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点，即“万物皆数”，一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示.后来，当这一学派中的希帕索斯（Hippasus ）发现边长为1
哥拉斯学派感到惊恐不安.由此引发了第一次数学危机.据传希帕索斯被抛入大海而葬身鱼腹.
.
法国数学家笛卡尔（R.Descartes ）于1637. 二、P41探究：能否用两个面积为1dm 2的小
正方形拼成一个面积为2dm 2的大正方形？
三、P41
∵221=1,2=4，∴12<
;
∵221.4=1.96,1.5=2.25，∴1.4 1.5<
;
∵221.41=1.9881,1.42=2.0164，∴1.41 1.42;
∵221.414=1.999396,1.415=2.002225，∴1.414 1.415<
;
……
.
⋅⋅⋅，它是一个无限不循环小数.
.
四、P54
以单位长度为边长画一个正方
形（如图所示），以原点为圆心，正
方形的对角线长为半径画弧，与正
与负半轴的
五、P58
下面给出欧几里得《原本》中的证明方法.
p q
，，使得
p
q,
于是p=，
两边平方，得22
2
p q
=.
由2
2q是偶数，可得2p是偶数.而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.
因此可设2
p s
=，代入上式，得22
42
s q
=，即
22
2
q s
=.
所以q也是偶数.这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.
..
事实上，无理数只是一种命名，并非“无理”，而是实际存在的不能写成分数形式的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映.
如何理解“理”的含义？《几何原本》是我国最早译自拉丁文的数学著作，明朝科学家徐光启在翻译时没有现成的、可以对照的词，许多译名都是从无到有创造出来的.徐光启将“ratio（比）”译成了“理”，即“理”就是比的意思.所以，“有理数”应理解为“可以写成两个整数之比的数”，不应理解为“有道理的数”；同样，“无理数”应理解为“不可以写成两个整数之比的数”，不应该理解为“没有道理的数”.因此，有人建议，把“有理数”和“无理数”改称为“比数”和“非比数”.
六、一试身手
习题见PPT课件内容
七、课堂小结
说一说你本节课的感受与体会.。