北师大版七年级下册数学第三章《变量间的关系》知识点梳理及典型例题(最新整理)
北师大版七年级数学下册第三章 变量之间的关系(考点讲解)(含解析)
第三章 变量之间的关系【学习目标】1．知道现实生活中存在变量和常量,变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）； 2．感受生活中存在的变量之间的依赖关系. 3．能读懂以不同方式呈现的变量之间的关系.4．能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系,并进行简单的预测. 【考点总结】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量.特别说明：一般地,常量是不发生变化的量,变量是发生变化的量,这些都是针对某个变化过程而言的.例如,60s t =,速度60千米/时是常量,时间t 和里程s 为变量. t 是自变量,s 是因变量. 要点二、用表格表示变量间关系借助表格,我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.特别说明：表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值,这会对某些特定的数值带来一目了然的效果,例如火车的时刻表,平方表等. 要点三、用关系式表示变量间关系关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如3y x =）,我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.特别说明：关系式能揭示出变量之间的内在联系,但较抽象,不是所有的变量之间都能列出关系式. 要点四、用图象表示变量间关系图象是我们表示变量之间关系的又一种方法,它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量,用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.特别说明：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势,而且对于一些无法用关系式表达的变量,图象可以充当重要角色. 【例题讲解】类型一、常量、自变量与因变量例1、根据心理学家研究发现,学生对一个新概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （分钟）之间有如表所示的关系：（1）上表中反映的两个变量之间的关系,哪个是自变量？哪个是因变量？（2）根据表格中的数据,提出概念所用时间是多少分钟时,学生的接受能力最强？（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？【答案】（1）“提出概念所用时间”是自变量,“对概念的接受能力”为因变量；（2）13分钟；（3）从第13分钟以后开始逐渐减弱【分析】（1）根据表格中提供的数量的变化关系,得出答案；（2）根据表格中两个变量变化数据得出答案；（3）提供变化情况得出结论．【详解】解：（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量,其中“提出概念所用时间”是自变量,“对概念的接受能力”为因变量；（2）根据表格中的数据,提出概念所用时间是13分钟时,学生的接受能力最强达到59.9；（3）学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱．【点睛】本题考查用表格表示变量之间的关系,理解自变量、因变量的意义以及变化关系是解决问题的关键．【训练】某公交车每月的支出费用为4000元,每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）．（1）在这个变化过程中,每月的乘车人数x与每月利润y分别是变量和变量；（2）观察表中数据可知,每月乘客量达到人以上时,该公交车才不会亏损；（3）当每月乘车人数为4000人时,每月利润为多少元？【答案】（1）每月的乘车人数,每月利润；（2）2000人；（3）4000元【分析】（1）根据函数的定义即可求解；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时,该公交车才不会亏损,即可求解；（3）有表中的数据推理即可求解．【详解】解：（1）在这个变化过程中,每月的乘车人数是自变量,每月利润是因变量；故答案为：每月的乘车人数,每月利润；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时,该公交车才不会亏损,故答案为：2000；（3）有表中的数据可知,每月的乘车人数每增加500人,每月的利润可增加1000元,当每月的乘车人数为2000人时,利润为0元,故每月乘车人数为4000人时,每月的利润是（4000-2000）÷500×1000=4000元．【点睛】本题考查了根据表格与函数知识,正确读懂表格,理解表格体现变化趋势是解题关键．类型二、用表格表示变量间关系例2、一辆小汽车在告诉公路上从静止到起动10秒内的速度经测量如下表：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用时间t表示时间,v表示速度,那么随着t的变化,v的变化趋势是什么？（3）当t每增加1秒,v的变化情况相同吗？在哪个时间段内,v增加的最快？（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/小时,试估计大约还需几秒这辆小汽车的速度就将达到这个上限．【答案】（1）时间与速度；时间；速度；（2）0到3和4到10,v随着t的增大而增大,而3到4,v随着t的增大而减小；（3）不相同；第9秒时；（4）1秒．【分析】（1）根据表中的数据,即可得出两个变量以及自变量、因变量；（2）根据时间与速度之间的关系,即可求出v的变化趋势；（3）根据表中的数据可得出V的变化情况以及在哪1秒钟,V的增加最大；（4）根据小汽车行驶速度的上限为120千米/小时,再根据时间与速度的关系式即可得出答案．【详解】解：（1）上表反映了时间与速度之间的关系,时间是自变量,速度是因变量；（2）如果用t 表示时间,v 表示速度,那么随着t 的变化,v 的变化趋势是0到3和4到10,v 随着t 的增大而增大,而3到4,v 随着t 的增大而减小；（3）当t 每增加1秒,v 的变化情况不相同,在第9秒时,v 的增加最大； （4）由题意得：120千米/小时=12010003600⨯（米/秒）,由33.328.9 4.4-=,且28.924.2 4.7 4.4-=>, 所以估计大约还需1秒．【点睛】本题主要考查函数的表示方法,常量与变量；关键是理解题意判断常量与变量,然后结合图表得到问题的答案即可．【训练】某路公交车每月有x 人次乘坐,每月的收入为y 元,每人次乘坐的票价相同,下面的表格是y 与x 的部分数据．x /人次500 1000 1500 2000 2500 3000 … y /元1000200040006000…（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）请将表格补充完整．（3）若该路公交车每月的支出费用为4000元,如果该路公交车每月的利润要达到10000元,则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润=收入-支出费用）【答案】（1）反映了收入y 与人次x 两个变量之间的关系,其中x 是自变量,y 是因变量；（2）表格见解析；（3）7000人次． 【分析】（1）根据表格即可得出结论；（2）由表格可知：每增加500人次乘坐,每月的收入就增加1000元,即可得出结论； （3）先求出每增加1人次乘坐,每月的收入就增加2元,然后求出总收入即可求出结论； 解：（1）反映了收入y 与人次x 两个变量之间的关系,其中x 是自变量,y 是因变量． （2）由表格可知：每增加500人次乘坐,每月的收入就增加1000元, 表格补充如下：÷=（元）（3）10005002()÷（人次）4000+100002=7000答：每月乘坐该路公交车要达到7000人次【点睛】此题考查的是变量与常量的应用,掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．类型三、用关系式表示变量间关系例3.按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数,用y来表示可坐人数．①题中有几个变量？②你能写出两个变量之间的关系吗？【答案】①有2个变量；②能,函数关系式可以为y=4x+2．【解析】试题分析：①根据变量和常量的定义可得结果；②由图形可知,第一张餐桌上可以摆放6把椅子,进一步观察发现：多一张餐桌,多放4把椅子．x张餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2．试题解析：①观察图形：x=1时,y=6,x=2时,y=10；x=3时,y=14；…可见每增加一张桌子,便增加4个座位,因此x张餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2个座位．故可坐人数y=4x+2,故答案为：有2个变量；②能,由①分析可得：函数关系式可以为y=4x+2．【训练】已知,如图,在直角三角形ABC中,∠ABC＝90°,AC＝10,BC＝6,AB＝8．P是线段AC上的一个动点,当点P从点C向点A运动时,运动到点A停止,设PC＝x,△ABP的面积为y．求y与x之间的关系式．【答案】y＝﹣125x+24．【分析】过点B作BD⊥AC于D,则BD为AC边上的高．根据△ABC的面积不变即可求出BD；根据三角形的面积公式得出S△ABP＝12AP•BD,代入数值,即可求出y与x之间的关系式．【详解】如图,过点B作BD⊥AC于D．∵S△ABC＝12AC•BD＝12AB•BC,∴BD＝8624105 AB BCAC⋅⨯==；∵AC＝10,PC＝x,∴AP＝AC﹣PC＝10﹣x,∴S△ABP＝12AP•BD＝12×（10﹣x）×245＝﹣125x+24,∴y与x之间的关系式为：y＝﹣125x+24．【点睛】此题考查直角三角形的面积求法,列关系式的方法,能理解图形中三角形的面积求法得到高线BD的值是解题的关键.类型四、用图象表示变量间关系例4、巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体,到达起点后小明做了一会准备活动,朱老师先跑．当小明出发时,朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息,解答下列问题：(1)在上述变化过程中,自变量是______,因变量是______；(2)朱老师的速度为_____米/秒,小明的速度为______米/秒；(3)当小明第一次追上朱老师时,求小明距起点的距离是多少米？【答案】(1)t,s；(2)2,6；(3)小明距起点的距离为300米．【分析】解析(1)观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变(2)根据速度=路程÷时间,即可分别算出朱老师以及小明的速度;(3)设t秒时,小明第一次追上朱老师,列出关系式即可解答【详解】解：(1)在上述变化过程中,自变量是t,因变量是s；(2)朱老师的速度420200110＝2(米/秒),小明的速度为42070＝6(米/秒)；故答案为t,s；2,6；(3)设t秒时,小明第一次追上朱老师根据题意得6t＝200+2t,解得t＝50(s),则50×6＝300(米),所以当小明第一次追上朱老师时,小明距起点的距离为300米．【点睛】此题考查一次函数的应用,解题关键在于看懂图中数据【训练】如图是甲、乙两人同一地点出发后,路程随时间变化的图象．（1）此变化过程中, 是自变量, 是因变量；（2）甲的速度乙的速度（大于、等于、小于）；（3）6时表示；（4）路程为150km,甲行驶了小时,乙行驶了小时；（5）9时甲在乙的（前面、后面、相同位置）；（6）乙比甲先走了3小时,对吗？.【答案】（1）t；s；（2）小于；（3）乙追赶上了甲；（4）9；4；（5）后面；（6）不对. 【解析】试题分析：（1）根据自变量与因变量的含义得到时间是自变量,路程是因变量；（2）甲走6小时行驶100千米,乙走3小时走100千米,则可得到他们的速度的大小；（3）6时两图象相交,说明他们相遇；（4）观察图形得到路程为150千米,甲行驶9小时,乙行驶了7-3=4小时；（5）观察图象得到t=9时,乙的图象在甲的上方,即乙行驶的路程远些；（6）观察图象得到甲先出发3小时后,乙才开始出发.试题解析：解：（1）函数图象反映路程随时间变化的图象,则t是自变量,s是因变量；（2）甲的速度是100÷6=503千米/小时,乙的速度是100÷3=1003千米/小时,所以甲的速度小于乙的速度；（3）6时表示他们相遇,即乙追赶上了甲；（4）路程为150千米,甲行驶9小时,乙行驶了7-3=4小时；（5）t=9时,乙的图象在甲的上方,即乙行驶的路程远些,所以9时甲在乙的后面；（6）不对,是乙比甲晚走了3小时.故答案为（1）t；s；（2）小于；（3）乙追赶上了甲；（4）9；4；（5）后面；（6）不对. 考点：函数的图象.【训练】根据图回答下列问题.(1)图中表示哪两个变量间的关系?(2)A、B两点代表了什么?(3)你能设计一个实际事例与图中表示的情况一致吗?【答案】（1）时间与价钱；（2）A点表示250元,B点表示150元；（3）这可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况:5月1日花150元5月2日花100元5月3日花250元5月4日花200元5月5日花300元5月6日花150元5月7日花250元【解析】试题分析：认真分析表中数据再结合身边的事例即可得到结果.（1）图中表示时间与价钱的关系；（2）A点表示250元,B点表示150元；（3）这可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况:5月1日花150元5月2日花100元5月3日花250元5月4日花200元5月5日花300元5月6日花150元5月7日花250元考点：本题考查的是函数的图象点评：解答本题的关键是读懂图象,得到图象的特征及规律,再根据这个规律解决问题.。
完整版北师大版七年级下册数学第三章变量间的关系知识点梳理及典型例题
，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在位轴（纵轴）上的点表示知识点梳理及典型例题第三章变量之间的关系置；知识回顾——复习但只是反映两形象地描述两个变量之间的关系，【温馨提示】图象法能直观、；，，路程、速度、时间之间的关系：.个变量之间的关系的一部分，而不是整体，且由图象确定的数值往往是近似的常量与变量知识点一）借助图象，过某点分别向横轴、纵轴作垂线可以知道自变【方法技巧】（1数值始终不变的量. 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为）借助图象可判断因变量的变化趋势：图象自.量取某个值时，因变量取什么值（2；为图象自左向右是上升下左向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大，在一定范围内在某一变化过程中，如果有两个变量x和y，当其中一个变量x图象自左向右是与横轴平行的，降的，则说明因变量随着自变量的增大而增大减小，也有唯一一个数值与其对应，那么，通常把前一个变取一个数值时，另一个变量y.则说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变；，后一个变量y叫做自变量的量x叫做变量之间的关系的表示方法比较知识点五一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对注意：.t为变量时是，时间t和里程s60某个变化过程而言的.例如：s=60t，速度千米/其中表格；和、可以用表示变量之间的关系，s是。
是，但列出的数值有限，不容易看出因变量与自变量的变化规法一目了然，使用方便，用表格表示变量之间的关系知识点二能准确反映出整个变化过程中因变量与自变量之间的相互律；关系式法简单明了，因变量；表示两个变量之间的关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示关系，但是求对应值时，要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的变量之借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。
图象法的特点是形象、直观，可以形象地反间的关系不一定能用关系式表示出来；其不足是由图象是研究变量性质的好工具，映出变量之间的变化趋势和某些性质，能准确地指出几组自变量和因注意：用表格可以表示两个变量之间的关系时，法往往难以得到准确的对应值；变量的值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分，从数.找出变化规律是解题的关键据中获取两个变量关系的信息，能从表格中获取两个变量之间关系这个关系式就是表示两个变量=x例如，正方形的边长为x，面积为y，则y（变量）一般地，含有两个未知数；，y是x之间的对应关系，其中是30510152025/min 时水间注的等式就是表示这两个变量的关系式；将）写关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式，【温馨提示】（1 200 250 300 350 400 450 /L500注水量）（.2表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边是用自变量表示因变量的代数式实际问题中，有）（自变量的取值必须使式子有意义，实际问题还要有实际意义.3之间的关系，反映的是两个变量）（1在这个注水过程中，与的变量关系不一定能用关系式表示出来. 是因变量；是自变量，变量其中变量记住一些常见图形的相关公式和弄清两个变量【方法技巧】列关系式的关键是2（）这个水箱原有水；L.根据关系式求值实质上是求代数式的值或解方程.间的量的关系）（3时水箱注满水；min知识点四用图象表示两个变量间的关系）由表中的数据可以看出，水箱的注水过程是均匀的，那么平均每分钟注水4（图象法就是用图象来表示两个变量之间的关系的方法；在用图象法表示变量之L.间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示，用竖直方向的数 1上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个变量是自变量？哪个变量是因变1）（2．一根合金棒在不同的温度下，其长度也不同，合金棒的长度和温度之间有如下量？关系：的变化趋势是什的变化，v如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t（2）15 -5 0 5 10 ℃）温度（么？3）当t每增加1 s时，v的变化情况相同吗？在哪一秒钟,v的增加量最大？（10.01510.005109.99510.01长度（cm）试估计还需几秒这，若在高速公路上小汽车行驶速度的上限为120 km/h（4）是）上表反映了温度与长度两个变量之间的关系，其中?辆小汽车的速度就达到这个上限自变量，（1 .因变量cm．2（）当温度是10 ℃时，合金棒的长度是专题三用关系式表示两个变量之间的关系，根据表中的数据推测，此时3 ）如果合金棒的长度大于10.05 cm小于10.15 cm（5．某水果批发市场香蕉的价格如下表：的范围内．℃℃～的温度应在购买香蕉数>4020< x≤20 x≤40 x cm．cm和（4）当温度为-20 ℃和100 ℃，合金棒的长度分别为（千克）x元元 6 8 每千克价格元7根据表格确定自变量、因变量及变化规律专题二的关系式xy关于千克（若小强购买香蕉xx大于40千克）付了y元，则）班第一小组的同学星期天去郊外爬山，得到如下数据：．七年级（13. 为200 150 80 30 50 100 /m x坡爬长度1个座位，后面每一排都比前一排多（6.1）某礼堂共有25排座位，第一排有220/min293.76.514爬坡时的取个座位，写出每排的座位与这排的排的关系式，并写出自变范围）当爬100 时，所花的时间是多少）在其他条件不变的情况下，请探究下列问题）当爬到每增10 时，所花的时间相同吗个座位时则每排的座位与这排的排当后面每一排都比前一排）从表中数据的变化中，你能得到什么变化趋势，是正整数）1≤2的关系式与个座位时，则每排的座位当后面每一排都比前一排个座位4 ．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动410秒之间的速度经测量如下表是正整数）1≤2，排的排的关系式分别，个座p排座位，第一排有ba个座位，后面每一排都比前一排多某礼堂共有③10 9 5 6 4 3 218 0 7 时间s（）的关系式．与这排的排数位，试写出每排的座位数mn1.34.92.8m/s28.924.214.111.07.618.40.3 ）速度（2（3）这一天从最低温度到最高温度经过了用关系式求值专题四小时；（4）温度上升的时间范围为7．一棵树苗，栽种时高度约为，温度下降的时间范围为80 厘米，；栽种以后的年数n/年高度h/厘米（5）你预测次日凌晨1为研究它的生长情况，测得数据如下表：时的温度是．（1）此变化过程中是自变量，105 1（即单位时间如图，是因变量；水以恒速10．130 2 注入下面之间内注入水的体积相同）h（2）树苗高度与栽种的年数n. ；四种底面积相同的容器中的关系式为155 3 ）请分别找出与各容器对应的1后，3（）栽种后树苗能长到280（的变化关系水的高度厘米．h和时间t180 4的图象，用直线段连接起来；……）当容器中的水恰好达到一半（2 T轴上标出此时t值对应点的位置．t高度时，请在关系图的某市为了鼓励市民节约用水，．8 每吨价（元）每月每户用水量规定自来水的收费标准如下表：折线型图象专题六11.如图，表现了一辆汽车在行驶途中的速度随时间的变化情况．1（）现已知小伟家四月份用水0.50 10吨部分不超过两点分别表示B）A 18吨，则应缴纳水费多少元？、1（0.75 y写出每月每户的水费2（）（元）吨部分20 汽车是什么状态？吨而不超过超过10请你分段描写汽车在）（吨）之间的函数关与用水量x（1.50超2吨部分分钟的行分钟到系式．019元，则他家五月份用水多少吨1）若已知小伟家五月份的水费3 驶状况分钟后继）司机休息53（2的速度匀速行驶，60 km/专题曲线型图象分钟后开始以5分钟后减速，用了1续上路，加分钟汽车停止，请在原图上画出这段时间内汽车的速度与时间的关系图．．温度的变化是人们经常谈论的话9 题．请你根据图象，讨论某地某天温度变化的情况如图所示：度，时的温度是10）上午（1度；时的温度是14是度，）2（这一天最高温度是时达到的；最低温度是在度，是在时达到的；3变量之间的关系复习题第三章xy随的增大而增大，当x在什么范围变化时，(5)当x在什么范围变化时，y随x的增大而减小？你又是根据哪种表示法得到的？一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发．1 生变化，实验数据如下表： x取何值时，制成的无盖长方体的体积最大？(6)请你估计5 3 0 1 2 4 所挂物体的质量/千克千米的书店买书，下图反应了他们两人离开53．小红与小兰从学校出发到距学校14.513弹簧的长度/cm13.51212.514学校的路程与时间的关系。
北师大版数学七年级下册 第三章变量之间的关系复习
表示法三：图象法
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平
方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，
用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量。
纵轴
图象是表示变
量之间关系的
一种重要方法，
它的特点是非
横轴 常直观。
归纳总结
第三章变量之间的关系第三章回顾与思考丰富的现实情境自变量和因变量变量之间关系的探索和表示列表法关系式图像法利用变量之间的关系解决问题进行预测变量之间的关系知识梳理变量1
第三章 变量之间的关系 第三章 回顾与思考
知识梳理
丰富的现实情境 变量之间的关系
列表法
自变量和 因变量
变量之间关 系的探索和 表示
怎样通过图象判断速度随时间变化的 情况？
速
速
速
度
度
度
时间
加速
速 度
时间
停止
时间
减速
速 度
减速
匀速
时间
时间
归纳总结
怎样通过图象了解速度与时间变化的情况？
(1)汽车的速度是__6_0__千米/时； (2)汽车的行驶了120千米，需 2 小时。
s（千米）
120
60
0
1
2
t（小时）
我国从1949年到1999年的人口统计数据如下：（精确到0.01亿）：
时间/年x 1949 1959 1969 1979 1989 1999 人口/亿y 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59
X和y哪个是自变量?哪个是因变量? 自变量：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ间 因变量：人口
第三章 变量之间的关系(单元小结)七年级数学下册(北师大版)
知识专题
用表格表示变量之间关系的“三个一” 一个优点：根据表格中已列出的自变量的值，可以直接查 到与其对应的因变量的值，使用起来比较方便. 一个不足：表格中所列出的对应值一般都是有限的，由表 格不容易看出两个变量之间的对应规律，不能直观、形象 地反映变量之间的变化趋势. 一个注意：用表格表示变量之间关系时,要先表示自变量,再 表示因变量,在表示自变量和因变量时,第一列要写单位名称.
小兰前20分的速度为6千米/时，最后10分的速度为18千米/时. （3）小红与小兰从学校到书店的平均速度各是多少？
小红的平均速度为6千米/时，小兰的平均速度为5千米/时.
考点专练
例4：一辆汽车以每时 50 千米的速度行驶了 t 时，行驶路 程为 s 千米. （1）这个情境中，有哪些变量？其中自变量是什么？因
缓——速度越慢
知识专题
三种表示变量之间关系的方法和优缺点：
方法
优点
缺点
表格法
对于表中自变量的每一个值，可以 只能列出部分自变量与因变量
不通过计算，直接把因变量的值找 的对应值，难以反映变量间变
到，查询时很方便，于是一些数学 化的全貌，而且从表中看不出
用表应运而生
变量间的对应规律
关系式法 关系式简明扼要，规范准确
程＝时间×速度”，销售问题中“销售额＝单价× 数量”等； (3)根据表格与图象中的信息列关系式(这种方法以后 会学习)等．
知识专题
4.用关系式表示变量之间的关系的优缺点：
优点：简单明了，能准确反映整个变化过程中自 变量与因变量的相互关系. 缺点：求对应值时有时要经过比较复杂的计算， 而且实际问题中，有的变量之间的关系不一定能 用关系式表示出来.
s/千米
实线—小兰 虚线—小红
北师大版数学七年级下册第三章《变量之间的关系》回顾与思考
第四章变量之间的关系第4章知识整合与解题指导一、知识导航1、主要概念：变量是；自变量是；因变量是。
2、变量之间关系的三种表示方法：。
其特点是：列表：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把的值找到，查询方便；但是欠，不能反映变化的全貌，不易看出变量间的对应规律。
关系式：简明扼要、规范准确；但有些变量之间的关系很难或不能用关系式表示。
图像：形象直观。
可以形象地反映出事物变化的过程、变化的趋势和某些特征；但图像是近似的、局部的，由图像确定因变量的值欠准确。
3、主要数学思想方法：类比和比较的方法（举例说明）；数形结合和数学建模思想（举例说明）。
二、学习导航1、有关概念应用例1下列各题中，那些量在发生变化其中自变量和因变量各是什么①用总长为60的篱笆围成一边长为L（m），面积为S（m2）的矩形场地；②正方形边长是3，若边长增加x，则面积增加为y.2、利用表格寻找变化规律例2研究表明，固定钾肥和磷肥的施用量，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：上表中反映了哪两个变量之间的关系哪个是自变量哪个是因变量根据表格中的数据，你认为氮肥的使用量是多少时比较适宜变式（湖南）一辆小汽车在高速公路上从静止到起动10秒后的速度经测量如下表：时间/秒012345678910速度/米/秒①上表反映了哪两个变量之间的关系哪个是因变量②如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么③当t每增加1秒时，v的变化情况相同吗在哪1秒中，v的增加最大④若高速公路上小汽车行驶的速度的上限为120千米/时，试估计大约还需要几秒小汽车速度就将达到这个上限3、用关系式表示两变量的关系例3.、①设一长方体盒子高为10，底面积为正方形，求这个长方形的体积v与底面边长a 的关系。
②设地面气温是20℃，如果每升高1km，气温下降6℃，求气温与t高度h的关系。
变式（江西）如图，一个矩形推拉窗，窗高米，则活动窗扇的通风面积A（平方米）与拉开长度b（米）的关系式是： .4、用图像表示两变量的关系例4、（桂林）今年，在我国内地发生了“非典型肺炎”疫情，在党和政府的正确领导下，目前疫情已得到有效控制．下图是今年5月1日至5月14日的内地新增确诊病例数据走势图（数据来源：卫生部每日疫情通报）．从图中，可知道：（1）5月6日新增确诊病例人数为人；（2）在5月9日至5月11日三天中，共新增确诊病例人数为人；（3）从图上可看出，5月上半月新增确诊病例总体呈趋势．例5、（陕西）星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（）.A.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C.从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了D.从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返变式 (成都)右图表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车沿相同路线行驶45千米，由A地到B地时，行驶的路程y（千米）与经过的时间x（小时）之间的关系．请根据这个行y（千米）3015甲乙45驶过程中的图象填空：汽车出发 小时与电动自行车相遇；电动自行车的速度为 千米/时；汽车的速度为 千米/时；汽车比电动自行车早 小时到达B 地．三、一试身手1、（贵阳）小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y 表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x 表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ）ABCD2、在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余 部分的高度y （厘米）与燃烧时间x （小时） 之间的关系如图所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ， 从点燃到燃尽所用的时间分别是 ；（2）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低3、（2006宿迁课改）小明从家骑车上学，先上坡到达A 地xO x Ox OxOy y y y后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（）Ａ．分钟Ｂ．9分钟Ｃ．12分钟Ｄ．16分钟4、某机动车出发前油箱内有油42l，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中余油量Q（L）与行驶时间t（L）之间的关系如图8 所示．回答问题：（1）机动车行驶几小时后加油（2）中途中加油_________L；（3）已知加油站距目的地还有240km，车速为40/km h，若要达到目的地，油箱中的油是否够用并说明原因．5、在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定．在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值．所挂质量/x kg012345弹簧长度/y cm182022242628（1）上表反映了哪两个变量之间的关系哪个是自变量哪个是因变量（2）当所挂物体重量为3kg时，弹簧多长不挂重物时呢（3）若所挂重物为7kg时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗6、小明在暑期社会实距活动中，以每千克元的价格从批发市场购进若干千克瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价元，全部售完．销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图9所示．请你根据图象提供的信息完成以下问题： （1）求降价前销售金额y （元）与售出西瓜x （千克）之间的关系式； （2）小明从批发市场共购进多少千克西瓜 （3）小明这次卖瓜赚子多少钱7、如图中的折线ABC 是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费y （元）与通话时间t （分钟）之间的关系的图象.（1）通话1分钟，要付电话费多少元通话5分钟要付多少电话费（2）通话多少分钟内，所支付的电话费不变（3）如果通话3分钟以上，电话费y （元）与时间t （分钟）的关系式是 2.5(3)y t =+-，那么通话4分钟的电话费是多少元8、如图是某水库的蓄水量v(万米3)与干旱持续时间t （天）之间的关系图，回答下列问题： （1）该水库原蓄水量为多少万米3持干旱持续时间10天后，水库蓄水量为多少万米3 （2）若水库的蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报（3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸9、（成都市）某移动通信公司开设了两种通信业务，“全球通”：使用时首先缴50元月租费，然后每通话1分钟，自付话费元；“动感地带”：不缴月租费，每通话1分钟，付话费元（本题的通话均指市内通话），若一个月通话x 分钟，两种方式的费用分别为1y 元和2y 元． （1）写出1y 、2y 与x 之间的关系式；（2）一个月内通话多少分钟，两种移动通讯费用相同（3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通信合算些。
北师大版数学七年级下册第三章《变量之间的关系》回顾与思考
第四章变量之间的关系第4章知识整合与解题指导一、知识导航1、主要概念：变量是；自变量是；因变量是。
2、变量之间关系的三种表示方法：。
其特点是：列表：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把的值找到，查询部的，由图像确定因变量的值欠准确。
3、主要数学思想方法：类比和比较的方法（举例说明）；数形结合和数学建模思想（举例说明）。
二、学习导航1、有关概念应用例1下列各题中，那些量在发生变化？其中自变量和因变量各是什么？①用总长为60的篱笆围成一边长为L（m），面积为S（m2）的矩形场地；②正方形边长是3，若边长增加x，则面积增加为y.2、利用表格寻找变化规律氮肥的使用量是多少时比较适宜？变式②如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？③当t每增加1秒时，v的变化情况相同吗？在哪1秒中，v的增加最大？④若高速公路上小汽车行驶的速度的上限为120千米/时，试估计大约还需要几秒小汽车速度就将达到这个上限？3、用关系式表示两变量的关系例3.、①设一长方体盒子高为10，底面积为正方形，求这个长方形的体积v与底面边长a的关系。
②设地面气温是20℃，如果每升高1km，气温下降6℃，求气温与t高度h的关系。
变式（江西）如图，一个矩形推拉窗，窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积A （平方米）与拉开长度b （米）的关系式是： .4、用图像表示两变量的关系例4、（桂林）今年，在我国内地发生了“非典型肺炎”疫情，在党和政府的正确领导下，目前疫情已得到有效控制．下图是今年5月1日至5月14日的内地新增确诊病例数据走势图（数据来源：卫生部每日疫情通报）．从图中，可知道：（1）5月6日新增确诊病例人数为人；（2）在5月9日至5月11日三天中，共新增确诊病例人数为 人；（3）从图上可看出，5月上半月新增确诊病例总体呈 趋势．例5、（陕西） 星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s （米）与散步所用时间t （分）之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ）.A.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C.从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了D.从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返变式 (成都)右图表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车沿相同路线行驶45千米，由A 地到B 地时，行驶的路程y （千米）与经过的时间x （小时）之间的关系．请根据这个行驶过程中的图象填空：汽车出发 小时与电动自行车相遇；电动自行车的速度为 千米/时；汽车的速度为千米/时；汽车比电动自行车早 小时到达B 地．（小三、一试身手1、（贵阳）小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y 表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x 表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ）D2、在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y （厘米）与燃烧时间x （小时）之间的关系如图所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 ；（2）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？3、（2006宿迁课改）小明从家骑车上学，先上坡到达A 地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（ ）Ａ．8.6分钟 Ｂ．9分钟Ｃ．12分钟 Ｄ．16分钟4、某机动车出发前油箱内有油42l ，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中余油量Q （L ）与行驶时间t （L ）之间的关系如图8 所示．回答问题：（1）机动车行驶几小时后加油？（2）中途中加油_________L ；（3）已知加油站距目的地还有240km ，车速为40/km h ，若要达到目的地，油箱中的油是否够用？并说明原因．5、在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定．在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y 与所挂物体质量x （1（2）当所挂物体重量为3kg 时，弹簧多长？不挂重物时呢？（3）若所挂重物为7kg 时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？6、小明在暑期社会实距活动中，以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图9所示．请你根据图象提供的信息完成以下问题：（1）求降价前销售金额y （元）与售出西瓜x （千克）之间的关系式；（2）小明从批发市场共购进多少千克西瓜？（3）小明这次卖瓜赚子多少钱？7、如图中的折线ABC 是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费y （元）与通话时间t （分钟）之间的关系的图象.（1）通话1分钟，要付电话费多少元？通话5分钟要付多少电话费？（2）通话多少分钟内，所支付的电话费不变？（3）如果通话3分钟以上，电话费y （元）与时间t （分钟）的关系式是 2.5(3)y t =+-，那么通话4分钟的电话费是多少元？8、如图是某水库的蓄水量v(万米3)与干旱持续时间t （天）之间的关系图，回答下列问题：（1）该水库原蓄水量为多少万米3？持干旱持续时间10天后，水库蓄水量为多少万米3？（2）若水库的蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报？（3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？9、（成都市）某移动通信公司开设了两种通信业务，“全球通”：使用时首先缴50元月租费，然后每通话1分钟，自付话费0.4元；“动感地带”：不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元（本题的通话均指市内通话），若一个月通话x 分钟，两种方式的费用分别为1y 元和2y 元．（1）写出1y 、2y 与x 之间的关系式；（2）一个月内通话多少分钟，两种移动通讯费用相同？（3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通信合算些？。
北师大版数学七年级下册第三章《变量之间的关系》回顾与思考
第四章变量之间的关系第4章知识整合与解题指导一、知识导航1、主要概念：变量是；自变量是；因变量是。
2、变量之间关系的三种表示方法：。
其特点是：列表：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把的值找到，查询方便；但是欠，不能反映变化的全貌，不易看出变量间的对应规律。
关系式：简明扼要、规范准确；但有些变量之间的关系很难或不能用关系式表示。
图像：形象直观。
可以形象地反映出事物变化的过程、变化的趋势和某些特征；但图像是近似的、局部的，由图像确定因变量的值欠准确。
3、主要数学思想方法：类比和比较的方法（举例说明）；数形结合和数学建模思想（举例说明）。
二、学习导航1、有关概念应用例1下列各题中，那些量在发生变化？其中自变量和因变量各是什么？①用总长为60的篱笆围成一边长为L（m），面积为S（m2）的矩形场地；②正方形边长是3，若边长增加x，则面积增加为y.2、利用表格寻找变化规律上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？根据表格中的数据，你认为氮肥的使用量是多少时比较适宜？变式①上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是因变量？②如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？③当t每增加1秒时，v的变化情况相同吗？在哪1秒中，v的增加最大？④若高速公路上小汽车行驶的速度的上限为120千米/时，试估计大约还需要几秒小汽车速度就将达到这个上限？3、用关系式表示两变量的关系例3.、①设一长方体盒子高为10，底面积为正方形，求这个长方形的体积v与底面边长a 的关系。
②设地面气温是20℃，如果每升高1km，气温下降6℃，求气温与t高度h的关系。
变式（江西）如图，一个矩形推拉窗，窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积A（平方米）与拉开长度b（米）的关系式是：.4、用图像表示两变量的关系例4、（桂林）今年，在我国内地发生了“非典型肺炎”疫情，在党和政府的正确领导下，目前疫情已得到有效控制．下图是今年5月1日至5月14日的内地新增确诊病例数据走势图（数据来源：卫生部每日疫情通报）．从图中，可知道：（1）5月6日新增确诊病例人数为人；（2）在5月9日至5月11日三天中，共新增确诊病例人数为人；（3）从图上可看出，5月上半月新增确诊病例总体呈趋势．例5、（陕西）星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（）.A.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C.从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了D.从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返变式 (成都)右图表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车沿相同路线行驶45千米，由A 地到B 地时，行驶的路程y （千米）与经过的时间x （小时）之间的关系．请根据这个行驶过程中的图象填空：汽车出发 小时与电动自行车相遇；电动自行车的速度为 千米/时；汽车的速度为 千米/时；汽车比电动自行车早 小时到达B 地．三、一试身手1、（贵阳）小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y 表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x 表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ）A B C D2、在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y （厘米）与燃烧时间x （小时）之间的关系如图所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 ；（2）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？3、（2006宿迁课改）小明从家骑车上学，先上坡到达A 地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（ ）Ａ．8.6分钟 Ｂ．9分钟（小时）Ｃ．12分钟 Ｄ．16分钟4、某机动车出发前油箱内有油42l ，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中余油量Q （L ）与行驶时间t （L ）之间的关系如图8 所示．回答问题：（1）机动车行驶几小时后加油？（2）中途中加油_________L ；（3）已知加油站距目的地还有240km ，车速为40/km h ，若要达到目的地，油箱中的油是否够用？并说明原因．5、在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定．在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y 与所挂物体质量x 的一组对应值．（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当所挂物体重量为3kg 时，弹簧多长？不挂重物时呢？（3）若所挂重物为7kg 时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？6、小明在暑期社会实距活动中，以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图9所示．请你根据图象提供的信息完成以下问题：（1）求降价前销售金额y （元）与售出西瓜x （千克）之间的关系式；（2）小明从批发市场共购进多少千克西瓜？（3）小明这次卖瓜赚子多少钱？7、如图中的折线ABC 是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费y （元）与通话时间t （分钟）之间的关系的图象.（1）通话1分钟，要付电话费多少元？通话5分钟要付多少电话费？（2）通话多少分钟内，所支付的电话费不变？（3）如果通话3分钟以上，电话费y （元）与时间t （分钟）的关系式是 2.5(3)y t =+-，那么通话4分钟的电话费是多少元？8、如图是某水库的蓄水量v(万米3)与干旱持续时间t （天）之间的关系图，回答下列问题：（1）该水库原蓄水量为多少万米3？持干旱持续时间10天后，水库蓄水量为多少万米3？（2）若水库的蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报？（3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？9、（成都市）某移动通信公司开设了两种通信业务，“全球通”：使用时首先缴50元月租费，然后每通话1分钟，自付话费0.4元；“动感地带”：不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元（本题的通话均指市内通话），若一个月通话x 分钟，两种方式的费用分别为1y 元和2y 元．（1）写出1y 、2y 与x 之间的关系式；（2）一个月内通话多少分钟，两种移动通讯费用相同？（3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通信合算些？。
新教材【北师大版】七年级下册数学：第三章-变量之间的关系-章末复习(含答案)
（新教材）北师大版精品数学资料期末复习(三) 变量之间的关系01 知识结构本章知识是学习函数的基础，要求掌握表示变量之间关系的三种方法，学会分析变量之间的关系，并能进行简单的预测．02 典例精讲【例1】 下面的表格列出了一个试验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度b 与下降高度d 的关系，下面能表示这种关系的式子是(C )A ．b ＝d 2B ．b ＝2C ．b ＝d2D ．b ＝d ＋25【思路点拨】 这是一个用图表表示的关系，可以看出d 是b 的2倍，即可得关系式．【方法归纳】 利用表格表示两个变量之间关系，其对应值清晰明了，但它们之间的关系不够明朗，要结合数据加以分析才能发现潜在的规律．从表示自变量与因变量的表格中辨识自变量与因变量，一般第一栏为自变量，第二栏为因变量．【例2】 下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序(D )①一辆汽车在公路上匀速行驶(汽车行驶的路程与时间的关系)；②向锥形瓶中匀速注水(水面的高度与注水时间的关系)；③将常温下的温度计插入一杯热水中(温度计的读数与时间的关系)；④一杯越来越凉的水(水温与时间的关系)． A ．①②④③ B ．③④②① C ．①④②③ D ．③②④①【思路点拨】 观察图象的走势，并与实际情景相联系是解决此题的关键．【方法归纳】 解决此类题重在观察图象并对图象上的数量关系和走势进行分析，抓住图象的转折点，这些转折点往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方．【例3】 如图所示，圆柱的高为10 cm ，当圆柱的底面半径变化时，圆柱的体积也发生变化．(1)在这个变化过程中，圆柱的底面半径是自变量，圆柱的体积是因变量；(2)请你求出圆柱的体积V(cm 3)与圆柱的底面半径R(cm )之间的关系式； (3)R 的值能为负值吗？为什么？(4)当圆柱的底面半径从2 cm 变化到5 cm 时，圆柱的体积变化了多少？(最后结果保留π)【思路点拨】 (1)题目中有两个变量，主动变化的量是圆柱的底面半径，随之变化的是圆柱的体积；在(2)中，根据圆柱的体积＝底面积×高即可求出V 与R 之间的关系式；由于R 为圆柱的底面半径，所以(3)中R 不能为负值；在(4)中，分别求出R 1＝2 cm 和R 2＝5 cm 时圆柱的体积，其差值即为体积的变化量． 【解答】 (2)因为圆柱的体积＝底面积×高，所以V ＝πR 2×10＝10πR 2.(3)因为R 为圆柱的底面半径，所以R>0，因此R 不能为负值．(4)因为10πR 22－10πR 21＝10π·52－10π·22＝10π·(52－22)＝210π，所以圆柱体积增加了210π cm 3. 【方法归纳】 当变量之间的关系以图形形式表示时，可根据图形特点寻找有关变量的等量关系．然后根据等量关系列出关系式．值得注意的是，为使实际问题有意义，在求出变量之间的关系式后，要根据具体的题目要求，确定自变量的取值范围． 03 整合集训一、选择题(每小题3分，共30分)1．小亮以每小时8千米的速度匀速行走时，所走路程s(千米)随时间t(小时)的增大而增大，则下列说法正确的是(C ) A ．8和s ，t 都是变量 B ．8和t 都是变量 C ．s 和t 都是变量 D ．8和s 都是变量2．已知三角形ABC 的面积为2 cm 2，则它的底边a(cm )与底边上的高h(cm )之间的关系为(D ) A ．a ＝4h B ．h ＝4a C ．a ＝h 4 D ．a ＝4h3．对关系式的描述，不正确的是(D )A ．x 看作自变量时，y 就是因变量B ．x ，y 之间的关系也可以用表格表示C ．x 在非负数范围内，y 的最大值为2D ．当y ＝0时，x 的值为－24．如图所示y ＝2－x 是某市某天的气温随时间变化的图象，通过观察可知，下列说法中错误的是(C )A ．这天15时气温最高B ．这天3时气温最低C ．这天最高气温与最低气温的差是13℃D ．这天有两个时刻气温是30℃5．2017年1月4日上午，小华同学接到通知，他的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x ，录入字数为y ，下面能反映y 与x 的函数关系的大致图象是(C )6则表中a 的值为(B )A ．21.5B ．20.5C ．21D ．19.57．一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子(质量非常轻的空心小圆球)后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x 表示注水时间，用y 表示浮子的高度，则用来表示变量y 与x 之间关系的选项是(B )8．(衡阳中考)小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用时间t(分钟)之间的关系，根据图象，下列信息错误的是(A )A ．小明看报用时8分钟B ．公共阅报栏距小明家200米C ．小明离家最远的距离为400米D ．小明从出发到回家共用时16分钟9．贝贝利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：那么，当输入数据8 A.861 B.863 C.865 D.86710．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t ，正方形除去圆部分的面积为S(阴影部分)，则变量S 与t 的大致图象为(A )二、填空题(每小题4分，共20分)11．圆的周长C 与圆的半径r 之间的关系式为C ＝2πr ，其中常量是2，π.12．一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h(厘米)与燃烧时间t(时)之间的关系式是h ＝20－4t .13．如图是某个计算y 值的程序，若输入x 的值是32，则输出的y 值是12.14．(义乌中考)小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y(米)与时间t(分)的图象，则小明回家的速度是每分钟步行80米．15．下面由小木棒拼出的系列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成，请写出第n 个图形中小木棒的根数S 与n 的关系式S ＝3n ＋1．三、解答题(共50分)16．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费y(元)与印刷数量x(张)之间关系如表：(1)(2)从上表可知：收费y(元)随印刷数量x(张)的增加而增大； (3)若要印制1 000张宣传单，收费多少元？解：(1)上表反映了印刷数量和收费两个变量之间的关系，印刷数量是自变量，收费是因变量． (3)由上表可知：印刷数量每增加100张，收费增加15元，所以每张的价格是0.15元． 所以收费y(元)与印刷数量x(张)之间的关系式为y ＝0.15x. 当x ＝1 000时，y ＝0.15×1 000＝150(元)． 故要印制1 000张宣传单，收费150元．17．(10分)青春期男、女生身高变化情况不尽相同，下图是小军和小蕊青春期身高的变化情况．(1)上图反映了哪两个变量之间的关系？自变量是什么？因变量是什么？(2)A，B两点表示什么？(3)小蕊10岁时身高多少？17岁时呢？(4)比较小军和小蕊青春期的身高情况有何相同与不同．解：(1)反映了身高随年龄的变化而变化的关系，自变量是年龄，因变量是身高．(2)A点表示小军和小蕊在11岁时身高都是140厘米，B点表示小军和小蕊在14岁时身高都是155厘米．(3)小蕊10岁时身高130厘米，17岁时身高160厘米．(4)相同点：进入青春期，两人随年龄的增长而快速长高，并且在11岁和14岁时两人的身高相同；不同点：11岁至14岁间小蕊的身高变化比小军的快些，14岁后小军的身高变化比小蕊的快些．18．(10分)如图所示，在△ABC中，底边BC＝8 cm，高AD＝6 cm，E为AD上一动点，当点E从点D沿DA向点A运动时，△BEC的面积发生了变化．(1)在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？(2)若设DE长为x(cm)，△BEC的面积为y(cm2)，求y与x之间的关系式．解：(1)ED长度是自变量，△BEC的面积是因变量．(2)y与x的关系式为y＝4x.19．(10分)新成药业集团研究开发了一种新药，在试验药效时发现，如果儿童按规定剂量服用，那么2小时的时候血液中含药量最高，接着逐步衰减，每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示．当儿童按规定剂量服药后：(1)何时血液中含药量最高？是多少微克？(2)A点表示什么意义？(3)每毫升血液中含药量为2微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效期是多长？解：(1)服药后2小时血液中含药量最高，最高是4微克．(2)A点表示血液中含药量为0.(3)有效期为5小时．20．(10分)如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的长方形菜园ABCD，设与墙平行的篱笆AB的长为x m，菜园的面积为y m2.(1)试写出y与x之间的关系式；(2)当AB 的长分别为10 m 和20 m 时，菜园的面积各是多少？解：(1)因为与墙平行的篱笆AB 的长为x m ， 所以长方形的另一边长为60－x2 m ，则长方形的面积为60－x2·x m 2.所以y 与x 之间的关系式为： y ＝60－x 2·x ＝－12x 2＋30x. (2)当x ＝10时，y ＝－12×102＋30×10＝250(m 2)；当x ＝20时，y ＝－12×202＋30×20＝400(m 2)．21．(12分)一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x(h )，两车之间的距离为y(km )，图中的折线表示y 与x 之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为900km ； (2)请解释图中点B 的实际意义； (3)求慢车和快车的速度．解：(2)图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4 h 时，慢车和快车相遇． (3)由图象可知，慢车12 h 行驶的路程为900 km ， 所以慢车的速度为90012＝75(km /h )．当慢车行驶 4 h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900 km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为9004＝225(km /h )，所以快车的速度为225－75＝150(km /h ).。
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借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。
注意：用表格可以表示两个变量之间的关系时，能准确地指出几组自变量和因
变量的值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分，从数
间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示
，用竖直方向的数
轴（纵轴）上的点表示
，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在位
的，则说明因变量随着自变量的增大而增大减小，图象自左向右是与横轴平行的，
则说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变.
知识点五 变量之间的关系的表示方法比较
表示变量之间的关系，可以用
、
和
；其中表格
法一目了然，使用方便，但列出的数值有限，不容易看出因变量与自变量的变化规
律；关系式法简单明了，能准确反映出整个变化过程中因变量与自变量之间的相互
0.75
（2）写出每月每户的水费 y （元）与用水量 x（吨）之间的
超过 20 吨部分
1.50
3
（1）A、B 两点分别表示 汽车是什么状态？ （2）请你分段描写汽车在 第 0 分钟到第 19 分钟的行 驶状况． （3）司机休息 5 分钟后继 续上路，加速 1 分钟后开始以 60 km/h 的速度匀速行驶，5 分钟后减速，用了 2 分钟 汽车停止，请在原图上画出这段时间内汽车的速度与时间的关系图．
（1）此变化过程中
是自变量，
是因变量；
水的体积相同）注入下面四种底
（2）树苗高度 h 与栽种的年数 n 之间的关系式为源自；面积相同的容器中.
（3）栽种后 后，树苗能长到 280 厘米．
（1）请分别找出与各容器对应的水
的高度 h 和时间 t 的变化关系的
图象，用直线段连接起来；
（2）当容器中的水恰好达到一半
x/cm
123456789
y/cm3
5
5. 2012 年 6 月份某一天沈阳的气温随时间变化的情况如图所示，回答下列问题：
(2)汽车行驶 5 小时后，油箱中油量是
升
(1)这天的最高气温约是
℃；
(2)这天一共有
个小时的气温在
24℃以上；
(3)这 天 在
范围内温度在上
升；
温度/℃
28 26 24 22
4．一辆汽车以每小时 50 千米的速度行驶了 t 小时，行驶的路程为 s 千米. （1）这个情境中，有哪些变量？其中自变量是什么？因变量是什么？ (2)你能用哪种方式表示路程与时间之间的关系？具体做一做。 （3）该汽车行驶 2.5 小时的路程是多少千米？ （4）一段公路全长 350 千米，这辆汽车行驶完全程需要多少小时？
8．某市为了鼓励市民节约用 水，规定自来水的收费标准如
每月每户用水量
每吨价（元）
高度时，请在关系图的 t 轴上标出此时 t 值对应点 T 的位置．
下表： （1）现已知小伟家四月份用水
不超过 10 吨部分
专题六 折线型图象 0.50
11.如图，表现了一辆汽车在行驶途中的速度随时间的变化情况．
18 吨，则应缴纳水费多少元？ 超过 10 吨而不超过 20 吨部分
（3）这一天从最低温度到最高温度经过了 小时；
座位，试写出每排的座位数 m 与这排的排数 n 的关系式．
（4）温度上升的时间范围为
，温度下降的时间范围为
；
（5）你预测次日凌晨 1 时的温度是 ．
专题四 用关系式求值
7．一棵树苗，栽种时高度约为 80 厘米，为研究它的生长情况，测得数据如下表： 10如．图水，以恒（速即单位时间内注入
置；
【温馨提示】图象法能直观、形象地描述两个变量之间的关系，但只是反映两
个变量之间的关系的一部分，而不是整体，且由图象确定的数值往往是近似的.
【方法技巧】（1）借助图象，过某点分别向横轴、纵轴作垂线可以知道自变量
取某个值时，因变量取什么值.（2）借助图象可判断因变量的变化趋势：图象自左
向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大，图象自左向右是上升下降
与这排的排数 n 的关系式分别
温度变化的情况如图所示： （1）上午 10 时的温度是 度，
是
，
（1≤n≤25，且 n
4
180
是正整数）；
③某礼堂共有 p 排座位，第一排有 a
…
…
14 时的温度是 度； （2）这一天最高温度是 度， 是在 时达到的；最低温度是 度，是在
时达到的；
个座位，后面每一排都比前一排多 b 个
量 x 叫做
，后一个变量 y 叫做自变量的
；
注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对
某个变化过程而言的.例如：s=60t，速度 60 千米/时是 ，时间 t 和里程 s 为变量t.
是
，s 是
。
知识点二 用表格表示变量之间的关系
表示两个变量之间的关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量；
6.（1）某礼堂共有 25 排座位，第一排有 20 个座位，后面每一排都比前一排多 1 个座位，写出每排的座位数 m 与这排的排数 n 的关系式，并写出自变量 n 的取值 范围．
2
（2）在其他条件不变的情况下，请探究下列问题：
函数关系式．
①当后面每一排都比前一排多 2 个座位时，则每排的座位数 m 与这排的 栽种以后的年数 n/年 高度 h/厘米
3．小红与小兰从学校出发到距学校 5 千米的书店买书，下图反应了他们两人离开 学校的路程与时间的关系。根据图形尝试解决你们提出的问题。
（1）小红与小兰谁先出发？谁 先达到？
s/千米
实线---小兰 虚线---小红
（2）描述小兰离学校的路程与
5
时间的变化关系。
4
（3）小兰前 20 分钟的速度和 3
2 最后 10 分钟的速度是多少？怎 1
样从图像上直观地反映速度的 0
大小？
10 20 30
40 50
60
t/分钟
（4）小红与小兰从学校到书店的平均速度各是多少？
(1) 这个情境反映了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？ (2)在以上问题中，若设截去的小正方形的边长是 xcm，围成的无盖长方体的体积 是 ycm3,则 y 与 x 之间的关系式是__________________； (3)若小正方形的边长是 5cm，那么长方体的体积是多少 cm3？当 x=2.5cm 体积是多 少 cm3 (4)根据以上关系式填下表：
2．如图：将边长为 20cm 的正方形纸片的四个角截去相同的小正方形，然后将截好 的材料围成一个无盖的长方体。
(5)当 x 在什么范围变化时y，随 x 的增大而增大当， x 在什么范围变化时y，随 x 的增大 而减小？你又是根据哪种表示法得到的？ (6)请你估计 x 取何值时，制成的无盖长方体的体积最大？
间的量的关系.根据关系式求值实质上是求代数式的值或解方程.
知识点四 用图象表示两个变量间的关系
图象法就是用图象来表示两个变量之间的关系的方法；在用图象法表示变量之
1
（1）在这个注水过程中，反映的是两个变量
与
其中变量
是自变量，变量
是因变量；
（2）这个水箱原有水
L；
之间的关系，
（3）
min 时水箱注满水；
（3）若已知小伟家五月份的水费为 17 元，则他家五月份用水多少吨？
排数 n 的关系式是
（1≤n≤25，
1
且 n 是正整数）；
②当后面每一排都比前一排多 3 个座
2
105
专题五 曲线型图象
9．温度的变化是人们经常谈论的话
130
题．请你根据图象，讨论某地某天
位、4 个座位时，则每排的座位数 m
3
155
情景创设：分析下面反映变量之间关系的图，想象一个适合它的实际情境.
6.果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：
时间 t/秒 0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
第三章 变量之间的关系 知识点梳理及典型例题
知识回顾——复习
路程、速度、时间之间的关
系：
，
，
；
知识点一 常量与变量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为
.数值始终不变的量
为
；
在某一变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，当其中一个变量 x 在一定范围内
取一个数值时，另一个变量 y 也有唯一一个数值与其对应，那么，通常把前一个变
4
第三章 变量之间的关系复习题
1．一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发 生变化，实验数据如下表：
所挂物体的质量/千克
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度/cm
12 12.5 13 13.5 14 14.5
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用 x 表示弹性限度内物体的质量， 用 y 表示弹簧的长度，那么随着 x 的变化，y 的变化趋势如何？ (3)如果此时弹簧最大挂重量为 15 千克，你能预测当挂重为 10 千克时，弹簧 的长度是多少？
关系，但是求对应值时，要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的变量之
间的关系不一定能用关系式表示出来；图象法的特点是形象、直观，可以形象地反
映出变量之间的变化趋势和某些性质，是研究变量性质的好工具，其不足是由图象
法往往难以得到准确的对应值；
据中获取两个变量关系的信息，找出变化规律是解题的关键.
知识点三 用关系式表示两个变量之间的关系
（4）由表中的数据可以看出，水箱的注水过程是均匀的，那么平均每分钟注水