第37讲 数列的求和(原卷版)

第37讲：数列的求和
一、课程标准
1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式及倒序相加求和、错位相减求和法．
2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决与前n 项和相关的问题.
二、基础知识回顾
1．公式法
(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2
. 推导方法：倒序相加法．
(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.
推导方法：乘公比，错位相减法．
(3)一些常见的数列的前n 项和：
①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；
②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)；
③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.
2．几种数列求和的常用方法
(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．
3、常见的裂项技巧
①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.
②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.
③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1
2n －1－12n ＋1. ④1
n ＋n ＋1＝n ＋1－n .
⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).
三、自主热身、归纳总结
1、数列112，314，518，7116，…的前n 项和为(C )
A . 2n －1＋12n
B . n 2＋1－12n
C . n 2＋1－12n
D . n 2＋1－12n －1 2、数列{a n }的通项公式为a n ＝1
n ＋n －1，若该数列的前k 项之和等于9，则k ＝( )
A ．80
B ．81
C ．79
D ．82 3、若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )
A ．15 B.12 C ．－12 D ．－15
4、数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 020＝________.
5、(一题两空)(2020·安徽太和模拟)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a n ＋1＋S n S n ＋1＝0，则S n ＝________，数列{}S n S n ＋1的前n 项和为________．
6、(2020·郑州模拟)数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *
，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 018＝( )
A.2 0172 018
B.2 0182 019
C.4 0342 018
D.4 0362 019
四、例题选讲
题型一 公式法
例1、(2019通州、海门、启东期末）设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4，则它的前5项和S 5＝________．
变式1、(2019镇江期末） 设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，若a 6a 3＝－12，则S 6S 3＝________．
变式2、(2019苏锡常镇调研）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若622a a =，则
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S S ＝ ．
方法总结：若一个数列为等差数列或者等比数列则运用求和公式：①等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2
＝na 1＋n (n －1)2d .②等比数列的前n 项和公式(Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(Ⅰ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q . 考点二 利用“分组求和法”求和
例2、求和S n ＝1＋⎣⎡⎦⎤1＋12＋⎣⎡⎦⎤1＋12＋14＋…＋⎣⎡⎦⎤1＋12＋14＋…＋12n －1.
变式1、数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于________．
变式2、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．
变式3、设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *满足2S n ＝a n (a n ＋1)，且a n ≠0.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧a n ＋1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，
求数列{c n }的前2n 项和T 2n .
方法总结：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n 项和的数列求和．
考点三 裂项相消法求和
例3、(2018南通、扬州、泰州、淮安三调） 设数列{}a n 满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *)，则(a k a k ＋1)的值为________．
变式1、(2019·湖南省湘东六校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝S n －1＋1(n ≥2，n ∈N )，且a 1＝1.
(1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)记b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .
变式2、已知数列{a n}各项均为正数，其前n项和为S n，且满足4S n＝(a n＋1)2.
(1)求{a n}的通项公式；
(2)设b n＝1
a n.a n＋1，求数列{
b n}的前n项和T n及T n的最小值．
变式3、已知函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令a n＝1
f(n＋1)＋f(n)，n∈N*.记数列{a n}的前n项和为S n，则S2 020＝()
A. 2 019－1
B. 2 020－1
C. 2 021－1
D. 2 021＋1
方法总结：常见题型有（1）数列的通项公式形如a n＝
1
n n＋k时，可转化为a n＝
1
k⎝
⎛
⎭
⎫
1
n－
1
n＋k，此类数列适
合使用裂项相消法求和．
（2）数列的通项公式形如a n＝
1
n＋k＋n时，可转化为a n＝
1
k(n＋k－n)，此类数列适合使用裂项相消法
求和．
考点四错位相减法求和
例4、(2019南京调研）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，S4＋b4＝30.
(1) 求数列{a n}和{b n}的通项公式；
(2) 记c n＝a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．
变式1、(2019·郑州市第二次质量检测)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n >0，前n 项和为S n ，若a n ＝S n ＋S n －1(n ∈N *，且n ≥2)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记c n ＝a n ·2a n ，求数列{c n }的前n 项和T n .
变式2、设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d ＞1时，记c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .
方法总结：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.。

特别注意错位相减法的步骤。

五、优化提升与真题演练
1、【2018年高考全国I 卷理数】记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =___________．
2、【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105
S S =___________． 3、【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2
14613a a a ==，，则S 5=___________．
4、【2020年山东卷】将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．
5、【2020年全国1卷】.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；
（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．
6、【2020年全国3卷】设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．
（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．。