矩形脉冲信号的分解和合成
方波的合成与分解
综合性实验报告题目：方波的合成与分解实验课程：信号与系统学号：姓名：班级：12自动化2班指导教师：方波的分解与合成一、实验类型综合性实验二、实验目的和要求1．观察方波信号的分解。
2．用同时分析法观测方波信号的频谱，并与方波的傅利叶级数各项的频率与系数作比较。
3．掌握带通滤波器的有关特性测试方法。
4．观测基波和其谐波的合成。
三、实验条件实验仪器1．20M 双踪示波器一台。
2．信号与系统实验箱。
四、实验原理1. 信号的频谱与测量信号的时域特性和频域特性是对信号的两种不同的描述方式。
对于一个时域的周期信号)t (f ，只要满足狄利克莱(Dirichlet)条件，就可以将其展开成三角形式或指数形式的傅里叶级数。
例如，对于一个周期为T 的时域周期信号)t (f ，可以用三角形式的傅里叶级数求出它的各次分量，在区间)1,1(T t t +内表示为：)sin cos 1(0)(t n nb t n n n a a t f Ω+Ω∑∞=+=即将信号分解成直流分量及许多余弦分量和正弦分量，研究其频谱分布情况。
AA（c）图7-1 信号的时域特性和频域特性信号的时域特性与频域特性之间有着密切的内在联系，这种联系可以用图7-1来形象地表示。
其中图7-1(a)是信号在幅度--时间--频率三维座标系统中的图形；图7-1(b)是信号在幅度--时间座标系统中的图形即波形图；把周期信号分解得到的各次谐波分量按频率的高低排列，就可以得到频谱图。
反映各频率分量幅度的频谱称为振幅频谱。
图7-1(c)是信号在幅度--频率座标系统中的图形即振幅频谱图。
反映各分量相位的频谱称为相位频谱。
在本实验中只研究信号振幅频谱。
周期信号的振幅频谱有三个性质：离散性、谐波性、收敛性。
测量时利用了这些性质。
从振幅频谱图上，可以直观地看出各频率分量所占的比重。
测量方法有同时分析法和顺序分析法。
同时分析法的基本工作原理是利用多个滤波器，把它们的中心频率分别调到被测信号的各个频率分量上。
矩形脉冲的傅里叶变换
矩形脉冲的傅里叶变换引言傅里叶变换是一种重要的数学工具，可以将一个信号分解成不同频率的正弦波成分。
矩形脉冲是一种常见的信号形态，具有方波的特点。
在本文中，我们将探讨矩形脉冲的傅里叶变换及其在信号处理中的应用。
傅里叶变换简介什么是傅里叶变换傅里叶变换是一种将一个函数表示为多个正弦和余弦函数的和的方法。
它将时域函数转换为频域函数，使我们能够观察信号的不同频率成分。
傅里叶变换的数学表示对于一个连续时间信号x(t)，其傅里叶变换X(f)可以表示为：∞(t)e−j2πft dtX(f)=∫x−∞其中，f为频率，j为虚数单位，X(f)为频谱表示。
离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)是傅里叶变换在离散时间域上的扩展。
对于一个离散时间信号x[n]，其DFT可以表示为：N−1[n]e−j2πkn/NX[k]=∑xn=0其中，k为频率，X[k]为频谱表示。
矩形脉冲的定义矩形脉冲是一种具有方波形态的信号，其在一个有限时间内保持高电平，其余时间为低电平。
矩形脉冲的数学表示可以为：rect (t )={1,if −T 2≤t ≤T 2,0,otherwise .其中，T 为脉冲的周期。
矩形脉冲的频域表示为了求解矩形脉冲的频域表示，我们需要对矩形脉冲进行傅里叶变换。
对称性质矩形脉冲具有对称性质，即其频谱在频谱轴上呈现奇对称性。
具体来说，矩形脉冲的频谱X(f)满足：X (f )=X (−f )频域表示对于一个宽度为T 的矩形脉冲，其频谱X(f)可表示为 sinc 函数的线性组合形式：X (f )=sinc (Tf 2) 其中 sinc 函数定义为 sinc (x )=sin (πx )πx 。
矩形脉冲的频域特性矩形脉冲的频域特性对于信号处理具有重要意义。
通过分析矩形脉冲的频谱，我们可以了解其频率响应及滤波特性。
零点矩形脉冲的频谱在一些特定频率上为零。
这些特定频率的幅度为零，意味着矩形脉冲对这些频率的信号进行了滤波。
带宽矩形脉冲的频谱在f=±1T 处等于sinc(1/2)，即频率上升至最高并保持不变的位置。
信号与系统实验_矩形信号的分解
学号： 姓名：实验三、矩形信号的分解一、实验目的1、分析典型的矩形脉冲信号，了解矩形脉冲信号谐波分量的构成；2、观察矩形脉冲信号分解出各谐波分量的情况。
二、预备知识1.学习“周期信号的傅里叶级数分析”一节；2．复习matlab 软件的使用方法。
3．信号的滤波知识三、实验原理1、信号的频谱与测量信号的时域特性和频域特性是对信号的两种不同的描述方式。
对于一个时域的周期信号)t (f ，只要满足狄利克莱(Dirichlet)条件，就可以将其展开成三角形式或指数形式的傅里叶级数。
例如，对于一个周期为T 的时域周期信号)t (f ，可以用三角形式的傅里叶级数求出它的各次分量，在区间)T t ,t (11+内表示为)sin cos ()(10t n b t n a a t f n n n Ω+Ω+=∑∞=即将信号分解成直流分量及许多余弦分量和正弦分量，研究其频谱分布情况。
AA（c）图3-1 信号的时域特性和频域特性信号的时域特性与频域特性之间有着密切的内在联系，这种联系可以用图3-1来形象地表示。
其中图3-1(a)是信号在幅度--时间--频率三维座标系统中的图形；图3-1(b)是信号在幅度--时间座标系统中的图形即波形图；把周期信号分解得到的各次谐波分量按频率的高低排列，就可以得到频谱图。
反映各频率分量幅度的频谱称为振幅频谱。
图3-1(c)是信号在幅度--频率座标系统中的图形即振幅频谱图。
反映各分量相位的频谱称为相位频谱。
在本实验中只研究信号振幅频谱。
周期信号的振幅频谱有三个性质：离散性、谐波性、收敛性。
测量时利用了这些性质。
从振幅频谱图上，可以直观地看出各频率分量所占的比重。
测量方法有同时分析法和顺序分析法。
2、 矩形脉冲信号的频谱一个幅度为E ，脉冲宽度为τ，重复周期为T 的矩形脉冲信号，如图10-3所示。
图3-2 周期性矩形脉冲信号其傅里叶级数为：t n Tn Sa T E T E t f n i ωπτττcos )(2)(1∑=+= 该信号第n 次谐波的振幅为：Tn T n T E T n Sa T E a n /)/sin(2)(2τπτπττπτ== 由上式可见第n 次谐波的振幅与E 、T 、τ有关。
信号的几种分解形式
信号的几种分解形式
信号是消息的表现形式，消息则是信号的详细内容。
为了讨论信号传输与信号处理的问题，往往将一些信号分解成比较简洁的信号重量之和，信号可以从不同角度进行不同的信号分解。
一、直流重量与沟通重量
信号平均值即信号的直流重量，从原信号中去掉直流重量即得到信号的沟通重量。
设原信号为f(t)分解为直流重量fD与沟通重量fA(t)。
表示为f(t)=fD+fA(t)
信号的平均功率= 信号的直流功率+ 沟通功率
二、偶重量与奇重量
任何信号都可以分解为偶重量与奇重量两部分之和。
信号的平均功率= 偶重量功率+ 奇重量功率
这个分解方法的优点是可以分别利用偶函数与奇函数的对称性简化信号运算。
三、脉冲重量
一个信号可以近视分解为很多脉冲重量之和。
可以分解为矩形窄脉冲重量（窄脉冲组合的极限状况就是冲激信号的叠加）或者分解为阶跃信号重量的叠加。
用矩形脉冲靠近信号f（t）
这类分解的优点是基本信号元的波形简洁，响应好求，并且可以
充分利用LTI系统的叠加、比例与时不变性，便利的求解简单信号的响应。
四、正交函数重量
在频域法中，将信号分解为一系列正弦函数的和(或积分)，通过系统对正弦信号的响应求解系统对信号的响应。
矩形波产生原理
矩形波产生原理矩形波是一种典型的非正弦波形，它的波形特点是在等间隔的时间内，以固定的幅值快速切换，形成一个有规则的矩形波形。
矩形波被广泛应用于各种电子设备中，如信号发生器、数字电路、电子音乐等领域。
本文将详细介绍矩形波的产生原理。
一、理论基础矩形波是一种周期性方波，可以由一组不同的正弦波叠加而成。
正弦波是一种单频振荡的波形，在物理学中，任意波形都可以看作是由一组或多组正弦波组成的。
因此矩形波也可以看作是由多个不同频率的正弦波所组成的波形。
这个过程称为傅里叶变换。
傅里叶变换能够将一个周期性的信号分解成多个不同频率的正弦波，而矩形波就是由多个正弦波叠加而成的。
二、产生原理矩形波的产生原理可以分为两类：电子学和数学。
1.电子学原理矩形波可以通过使用一个二极管和一个电容器来产生。
当电容器充电时，电压与时间之间的关系是线性的，因此输出信号将是一个正弦波。
当电容器放电时，输出信号将恒定为一个固定的电压，这是因为电容器中的电荷已经耗尽，电压不再变化。
这样，通过一个简单的电路，就可以得到一个以固定幅值快速切换的矩形波。
2.数学原理矩形波也可以通过傅里叶级数展开来产生。
一个矩形波可以看作是周期为T、幅值为A 的基本频率正弦信号的有限和。
这个信号的时间函数为：f(t)= A/2 + (A/π) ∑[ (-1)^n/(2n+1)sin(2π(2n+1)f0t)/f0 ]f0是基本频率，n是正整数。
这个公式描述了一个从-A/2到A/2范围内以1/2A的幅度快速切换的矩形波。
三、应用领域矩形波是一种常见的信号波形，在电子技术、物理学和工程学中广泛应用。
以下是一些常见的应用领域：1.信号发生器矩形波是信号发生器中最基本的波形之一。
它可以用于测试和调整其他电子设备的性能，如滤波器、调制器等。
它还可用于音频合成器或波形发生器的输出。
2.数字电路在数字电路中，矩形波用作时钟信号和数据传输。
时钟信号是微处理器和其他数字电路中的基本元素，它用于协调电路中的不同部件之间的操作。
信号与系统重点概念公式总结
信号与系统重点概念公式总结一、信号的基本概念：1.离散信号：在离散时间点上取值的信号，用x[n]表示。
2.连续信号：在连续时间上取值的信号，用x(t)表示。
3.周期信号：在一定时间内重复出现的信号。
4.能量信号：能量信号的能量有限，用E表示。
5.功率信号：功率信号的能量无限，用P表示。
二、时域分析：1. 时域表示：x(t) = X(t)eiωt，其中X(t)是振幅函数，ω是角频率。
2.常用信号的时域表示：- 矩形脉冲信号：rect(t/T)- 三角函数信号：acos(ωt + φ)-单位跳跃信号：u(t)-单位斜坡信号：r(t)3.信号的分解与合成：线性时不变系统能够将一个信号分解为若干个基础信号的线性组合。
4.性质：-时域平移性：如果x(t)的拉普拉斯变换是X(s)，那么x(t-t0)的拉普拉斯变换是e^(-t0s)X(s)。
-线性性：设输入信号的拉普拉斯变换为X(s)，系统的拉普拉斯变换表达式为H(s)，那么输出为Y(s)=X(s)H(s)。
-倍乘性：设输入信号拉普拉斯变换为X(s)，输出信号的拉普拉斯变换为Y(s)，那么输出信号的拉普拉斯变换为cX(s)，即输出信号的幅度放大为c倍。
-时间反转性：x(-t)的拉普拉斯变换是X(-s)。
-时间抽取性：设输入信号的拉普拉斯变换为X(s)，那么调整时间尺度为t/T的信号的拉普拉斯变换为X(s/T)。
三、频域分析：1.傅里叶级数：将周期信号表示为一系列谐波的和。
2.离散傅里叶变换（DFT）：将离散信号从时域变换到频域的过程。
3.傅里叶变换：将连续信号从时域变换到频域的过程。
4.频域表示：- 矩形函数：sinc(ωt) = sin(πωt)/(πωt)- 高斯函数：ft(x) = e^(-πx^2)5.频域滤波：系统的传输函数是H(ω)，那么输出信号的频率表示为Y(ω)=X(ω)H(ω)。
四、信号与系统的系统分析：1.系统稳定性：-意义：系统稳定指的是当输入有界时，输出有界。
第6讲 信号的分解与卷积
(3) 结合律
卷积的性质
积分特性
f1 * f 2 d f1 (t ) f 2 ( )d f 2 (t ) f1 ( )d
t t t
微分特性
微积分特性 时移特性
df (t ) df (t ) d [ f1 (t ) f 2 (t )] f1 (t ) 2 1 f 2 (t ) dt dt dt f1 (t ) f 2 (t )
卷积的定义
已知定义在区间（ –∞，+∞）上的两个函数 f1(t) 和 f2(t )，则定义积分为
f 1 ( ) f 2 ( t )d
为 f1(t)和 f2(t )的卷积积分，简称卷积。 记为： f 1 ( t ) * f 2 ( t )
卷积积分的上下限
（1）如果 则
t n
Gt (t k t )t (t k t ) t
k 0
f (t ) f ( ) (t )d
0
该公式可直接从冲激函数的性质得出 ，但此推导过程更利于观察其分解含义。 这种分解不仅可以用于有始信号，也 可以用于一般信号。
f (t ) f ( ) (t )d
由于 (t)* (t) = t (t)
f1 (t t1 ) * f 2 (t t2 ) y(t t1 t2 ) 又根据时移特性， 得：
f1(t)* f2(t)= 2(t+1)(t+1) -2(t –1)(t –1) - 2t(t) +2(t –2)(t –2)
常用的卷积积分表
f1 (t ) * f 2 (t ) f 2 (t ) * f1 (t )
f1 (t ) *[ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) f1 (t ) * f 3 (t )
矩形脉冲信号的分解和合成
矩形脉冲信号的分解和合成
脉冲信号简介矩形脉冲指阶跃时间远小于顶部持续时间的平顶脉冲。
定义1
矩形脉冲图形表达如图所示：（高度为A，宽度为a），此函数常作矩形采样窗口和平滑函数的模型。
定义2
具有轮廓近似为矩形，其上升和下降时间远小于脉冲持续时间的波形。
定义3
阶跃时间远小于顶部持续时间的平顶脉冲。
定义4
上升时间和下降时间相对于脉冲持续时间可以忽略，而且上升和下降之间的瞬时值实际上不变的单向脉冲。
本文主要介绍一下矩形脉冲信号的分解及合成，具体的跟随小编一起来看看吧。
矩形脉冲信号的分解一、实验目的
1、分析典型的矩形脉冲信号，了解矩形脉冲信号谐波分量的构成；
2、观察矩形脉冲信号通过多个数字滤波器后，分解出各谐波分量的情况。
二、实验原理
1、信号的频谱与测量
信号的时域特性和频域特性是对信号的两种不同的描述方式。
对于一个时域的周期信号f （t），只要满足狄利克莱（Dirichlet）条件，就可以将其展开成三角形式或指数形式的傅里叶级数。
例如，对于一个周期为T的时域周期信号发f（t），可以用三角形式的傅里叶级数求出它的各次分量，在区间。
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一、实验目的
1.进一步了解波形分解与合成原理；
2.进一步掌握用傅里叶级数进行谐波分析的方法；
3.观察矩形脉冲信号分解出的各谐波分量可以通过叠加合成出原矩形脉冲信号。
二、实验原理说明
实验原理部分参考实验11，矩形脉冲信号的分解实验。
矩形脉冲信号通过8路滤波器输出的各次谐波分量可通过一个加法器，合成还原为原输入的矩形脉冲信号，合成后的波形可以用示波器在观测点TP809进行观测。如果滤波器设计正确，则分解前的原始信号（观测TP101）和合成后的信号应该相同。信号波形的合成电路图如图12-1所示。
（1） ： 的数值按要求调整，测得的信号频谱中各分量的大小，其数据按表的要求记录。
表11-1 的矩形脉冲信号的频谱
，T=100 ， ， 50 ，
谐波频率
1f
2f
3f
4 f
5 f
6 f
7 f
8 f以上
理论值
电压有效值
电压峰峰值
测量值
电压有效值
电压峰峰值
四、实验报告要求
1.按要求记录各实验数据，填写表10-1、表10-2。
在数字滤波器模块上，选用了有8路输出的D/A转换器TLV5608（U502），因此设计了8个滤波器（一个低通、六个带通、一个高通）将复杂信号分解提取某几次谐波。
分解输出的8路信号可以用示波器观察，测量点分别是8TP01、8TP02、8TP03、8TP04、8TP05、8TP06、8TP07、8TP08。
图12-1信号合成电路图
三、实验步骤
本实验为上节实验的延续。
1.连接DDS1和8P09，将4个跳线器8K1、8K3、8K5、8K7放在左边位置；
2.调节信号源，使DDS1输出f=4KHz，占空比为50%的脉冲信号，调节1W1使信号幅度为4V；
3.按下8P09按钮，使程序指示灯D3D2D1D0=0101，指示灯对应信号分解；
3．按表12-1的要求，在输出端观察和记录合成结果。
表11-1矩形脉冲信号的各次谐波之间的合成
波形合成要求
合成后的波形
基波与三次谐波合成
三次与五次谐波合成
基波与五次谐波合成
基波、三次与五次谐波合成
基波、二、三、四、五、六、七及八次以上高次谐波的合成
四、实验报告要求
1.据示波器上的显示结果，画图填写表11-1。
上观测信号各次谐波的波形；
(5)矩形脉冲信号的脉冲幅度和频率保持不变，改变信号的脉宽 (即改变占空比)，测量不同 值时信号频谱中各分量的大小；
（6）根据表11-1、表11-2中给定的数值进行实验，并记录实验获得的数据填入表中。
注意：4个跳线器8K1、8K3、8K5、8K7应放在左边位置。4个跳线器的功能为：当置于左边位置时，信号幅度保持不变；当置于右边位置时，可分别通过4个电位器8W1,8W3,8W5和8W7调节各路谐波的幅度大小。
点击谐波分量右侧开关，可选取对应信号参加合成；
三、实验步骤
（1）连接DDS1和8P09；
（2）调节信号源，使DDS1输出f=4KHz，占空比为50%的脉冲信号，调节1W1使信号幅度为4V；
（3）按下8SW2按钮，使程序指示灯D3D2D1D0=0101，指示灯对应信号分解；
（4）示波器可分别在8TP01、8TP02、8TP03、8TP04、8TP05、8TP06、8TP07、8TP08
矩形脉冲信号的分解和合成
一、实验目的
1.分析典型的矩形脉冲信号，了解矩形脉冲信号谐波分量的构成；
2.观察矩形脉冲信号通过多个数字滤波器后，分解出各谐波分量的情况。
二、实验原理
1.信号的频谱与测量
信号的时域特性和频域特性是对信号的两种不同的描述方式。对于一个时域的周期信号 ，只要满足狄利克莱(Dirichlet)条件，就可以将其展开成三角形式或指数形式的傅里叶级数。
例如，对于一个周期为T的时域周期信号 ，可以用三角形式的傅里叶级数求出它的各次分量，在区间 内表示为：
即将信号分解成直流分量及许多余弦分量和正弦分量，研究其频谱分布情况。
图11-1信号的时域特性和频域特性
信号的时域特性与频域特性之间有着密切的内在联系，这种联系可以用图11-1来形象地表示。其中图11-1(a是信号在幅度--时间--频率三维座标系统中的图形；图11-1(b)是信号在幅度--时间座标系统中的图形即波形图；把周期信号分解得到的各次谐波分量按频率的高低排列，就可以得到频谱图。反映各频率分量幅度的频谱称为振幅频谱。图11-1(c)是信号在幅度--频率座标系统中的图形即振幅频谱图。反映各分量相位的频谱称为相位频
谱。在本实验中只研究信号振幅频谱。周期信号的振幅频谱有三个性质：离散性、谐波性、收敛性。测量时利用了这些性质。从振幅频谱图上，可以直观地看出各频率分量所占的比重。测量方法有同时分析法和顺序分析法。
同时分析法的基本工作原理是利用多个滤波器，把它们的中心频率分别调到被测信号的各个频率分量上。当被测信号同时加到所有滤波器上，中心频率与信号所包含的某次谐波分量频率一致的滤波器便有输出。在被测信号发生的实际时间内可以同时测得信号所包含的各频率分量。在本实验中采用同时分析法进行频谱分析，如图11-2所示。
2.描绘三种被测信号的振幅频谱图。
五、实验设备
1.信号与系统实验箱1台
2.双踪示波器1台
3.毫伏表1台
六、思考题
1. 的矩形脉冲信号在哪些谐波分量上幅度为零？请画出基波信号频率为5KHz的矩形脉冲信号的频谱图（取最高频率点为10次谐波）。
2.要提取一个 的矩形脉冲信号的基波和2、3次谐波，以及4次以上的高次谐波，你会选用几个什么类型（低通？带通？…）的滤波器？
3.信号的分解提取
进行信号分解和提取是滤波系统的一项基本任务。当我们仅对信号的某些分量感兴趣时，可以利用选频滤波器，提取其中有用的部分，而将其它部分滤去。
目前DSP数字信号处理系统构成的数字滤波器已基本取代了传统的模拟滤波器，数字滤波器与模拟滤波器相比具有许多优点。用DSP构成的数字滤波器具有灵活性高、精度高和稳定性高，体积小、性能高，便于实现等优点。因此在这里我们选用了数字滤波器来实现信号的分解。
图11-2用同时分析法进行频谱分析
其中，P801出来的是基频信号，即基波；P802出来的是二次谐波；P803的是三次谐波，依此类推。
2.矩形脉冲信号的频谱
一个幅度为E，脉冲宽度为τ，重复周期为T的矩形脉冲信号，如图11-3所示。
图11-3周期性矩形脉冲信号
其傅里叶级数为：
该信号第 次谐波的振幅为：
由上式可见第 次谐波的振幅与 、 、 有关。
4.示波器可分别在8TP01、8TP02、8TP0Байду номын сангаас、8TP04、8TP05、8TP06、8TP07、8TP08
上观测信号各次谐波的波形；
5.将8个跳线器8SK1—8SK8，根据下表中给出的内容，分别尝试不同的连接方式（如基波和三次谐波合成，只需将8SK1,8SK3打到合成位置），然后用双踪示波器同时测量DDS1和8TP12,并将8TP12的波形记录在下表中，通过调节电位器8W8可以改变8TP12的输出幅度。
4.信号分解仿真
实验箱提供了基于USB或网口的采集软件与LABVIEW仿真软件，能在PC机上观察到实时信号的频率分量和合成波形，如图11-4
图11-4信号分解与合成
使用方法：
软件按装见实验17，选择“信号与系统”复选框中“信号合成和分解”，实验箱DSP运行在“虚拟仪器”，用USB线连接实验箱和PC机，点击软件“STOP”键，软件开始行运。
2.矩形脉冲信号为例，总结周期信号的分解与合成原理。
五、实验设备
1.信号与系统实验箱1台
2.双踪示波器1台
六、思考题
方波信号在哪些谐波分量上幅度为零？请画出信号频率为2KHz的方波信号的频谱图（取最高频率点为10次谐波）。