算法分析与复杂性理论
TSP实验报告
TSP实验报告（实验报告、研究报告）考核科⽬：算法分析与复杂性理论学⽣所在学院：计算机科学与技术学院学⽣所在学科：计算机应⽤技术姓名：学号：学⽣类别：研究⽣⼀、实验⽬的1.通过TSP算法的具体实现，加深对算法复杂分析的理解。
2.通过TSP算法的具体实现，提⾼对NP完全问题的认识。
3.通过TSP算法的具体实现，理解不确定性算法。
4.通过TSP算法的具体实现，理解不确定性算法。
⼆、实验环境实验平台：Visual C++编程语⾔：C++编程电脑配置：三、实验内容描述TSP（Travelling Salesman Problem）⼜称货郎担或巡回售货员问题，在运筹学、管理科学及⼯程实际中具有⼴泛的⽤途。
及⼯程实际中具有⼴泛的⽤途。
TSP问题是组合优化中的著名难题，⼀直受到⼈们的极⼤关注。
由于其NP难题性质，⾄今尚未完全解决。
此问题可以抽象描述为：给出⼀个n个顶点⽹络（有向或⽆向），要求找出⼀个包含所有n个顶点的具有最⼩耗费的环路。
其中，任何⼀个包含所有n个顶点的环路被称作⼀个旅⾏。
对于旅⾏商问题，顶点表⽰旅⾏商所要旅⾏的城市（包括起点）。
边上权值给出了在两个城市旅⾏所需的路程。
旅⾏表⽰当旅⾏商游览了所有城市后再回到出发点时所⾛的路线。
四、实验原理许多研究表明，应⽤蚁群优化算法求解TSP问题优于模拟退⽕法、遗传算法、神经⽹络算法、禁忌算法等多种优化⽅法。
为说明该算法，引⼈如下的标记: m表⽰蚁群中蚂蚁的数量；表⽰城市i和城市j之间的距离；表⽰t时刻位于城市i的蚂蚁数，显然应满⾜，表⽰t时刻在ij连线上的信息数量。
在算法的初始时刻，将m只蚂蚁随机地放到n座城市上，此时各路径上的信息量相等，设。
每只蚂蚁根据路径上保留的信息量独⽴地选择下⼀个城市。
在时刻t，蚂蚁k从城市i转移到城市j 的概率为其中，表⽰蚂蚁⾛下⼀步允许选择的所有城市，列表纪录了当前蚂蚁k所⾛过的城市，当所有n个城市都加⼊到中时，蚂蚁k便完成了⼀次循环，此时蚂蚁⾛所⾛过的路径便是问题的⼀个解。
理解计算机中的计算理论与复杂性
理解计算机中的计算理论与复杂性计算机中的计算理论与复杂性计算理论是计算机科学的重要分支之一，它研究计算过程的本质和性质，为计算机科学提供了理论基础。
而复杂性理论则研究计算问题的复杂性，即问题的难解程度。
在计算机发展的不断推动下，计算理论与复杂性的研究越发重要。
本文将从计算理论和复杂性两个方面对相关概念和研究进行介绍和探讨。
一、计算理论计算理论是计算机科学中关于计算概念和过程的研究。
它主要分为可计算性理论和形式语言与自动机理论两大部分。
1. 可计算性理论可计算性理论研究的是什么问题可以用计算机算出，以及如何判断一个问题是否可计算。
它的核心思想是“图灵机”，即由英国数学家图灵提出的一种理论模型，用于描述计算过程。
可计算性理论的研究对象包括了函数的计算性、计算问题是否可判定、可计算函数的分类等。
2. 形式语言与自动机理论形式语言与自动机理论研究的是描述和处理信息的形式化语言和自动机模型。
形式语言的研究对象包括了正则语言、上下文无关语言和上下文敏感语言等。
而自动机模型则包括了有限状态自动机、下推自动机和图灵机，用于描述和处理形式语言。
二、复杂性理论复杂性理论是研究计算问题的复杂性的学科。
它关注的是问题的求解难易程度，即问题的复杂性。
复杂性理论主要分为计算复杂性理论和各类计算问题的复杂性。
1. 计算复杂性理论计算复杂性理论研究的是计算问题的复杂性度量和分类。
其中最具代表性的是时间复杂性和空间复杂性。
时间复杂性研究的是计算问题在计算时间上的耗费，空间复杂性研究的是计算问题在计算空间上的耗费。
常用的时间复杂性度量是“大O记号”，用于表示问题在最坏情况下的耗时增长趋势。
2. 计算问题的复杂性计算问题的复杂性研究的是不同类型问题的复杂性分类以及它们之间的关系。
其中最经典的研究是关于P类问题和NP类问题的划分。
P 类问题指的是可以在多项式时间内求解的问题，而NP类问题指的是可以在多项式时间内验证的问题。
复杂性理论的研究则主要集中在P与NP问题之间的关系。
计算复杂性理论
计算复杂性理论计算复杂性理论是计算机科学中重要的一个分支，它研究了计算问题的难度和可解性。
通过对问题的复杂性进行分析和分类，计算复杂性理论为我们提供了解决问题的指导原则和限制条件。
本文将介绍计算复杂性理论的基本概念、主要研究内容以及其在实际应用中的重要性。
一、基本概念1. P和NP问题在计算复杂性理论中，最基本的概念是P问题和NP问题。
P 问题是指可以在多项式时间内解决的问题，即存在一个算法可以在多项式时间内给出问题的正确答案。
而NP问题则是指可以在多项式时间内验证答案的问题，但尚未找到多项式时间内解决的算法。
P问题是NP问题的子集，即所有的P问题也是NP问题，但目前尚不清楚P问题和NP问题是否是相同的类。
2. NP完全性NP完全性是计算复杂性理论中的一个关键概念，它指的是一类最困难的NP问题。
一个问题被称为是NP完全的，如果它既是一个NP问题，又满足以下条件：对于任何一个NP问题，都可以用多项式时间的算法将其约化为该问题。
换句话说，如果我们能够找到一个多项式时间算法来解决一个NP完全问题，那么我们也可以用同样的算法来解决所有的NP问题。
3. NP难度除了NP完全性概念，计算复杂性理论还引入了NP难度的概念。
一个问题被称为是NP难度的，如果对于任何一个NP问题，都可以用多项式时间的算法将其约化为该问题。
虽然NP难度问题不一定是NP问题，但它们和NP完全问题一样，都是十分困难的问题。
二、主要研究内容1. 多项式时间算法计算复杂性理论的一个主要研究内容是寻找和分析多项式时间算法。
多项式时间算法是指可以在多项式时间内解决的算法，即其执行时间与输入规模呈多项式关系。
研究多项式时间算法的目标是寻找高效的解决方法，从而提高问题的可解性。
2. 算法复杂性分析算法复杂性分析是计算复杂性理论中的另一个重要内容。
通过对算法的复杂性进行全面的分析，我们可以预测算法在实际应用中的性能表现。
算法复杂性分析的主要方法包括时间复杂性分析和空间复杂性分析，通过对算法的时间和空间需求进行测量和评估，我们可以判断算法在给定条件下的可行性和效率。
算法分析与复杂性理论
stopvegas = 3
③回溯算法与lv算法 混合使用 1 先在棋盘的前若 2 干行中随机地放臵皇 3 后,（即设定 stopvegas的值）然 4 后在后继行中用回溯 5 法继续搜索，直至找 到一个解或宣告失败.6 随机放臵的皇后 7 越多，后继回溯搜索 所需的时间就越少， 8 但失败的概率就越大. 1
完全回溯法
LV和回溯混合效 率最高的情况
完全LV算法ห้องสมุดไป่ตู้
8
分析：
①完全回溯法比LV算法在解八皇后问题时效率 低得多； ②LV算法和回溯的混合使用有利于提高解八皇 后的效率。
9
LV算法具体应用分析
2、N皇后问题 下面是n取不同值时效率对比情况：
随着n值的增加，与回溯法相比，使用LV算法的 高效率性逐渐明显。
10
LV算法的现状与展望
缺点：时间复杂度不确定，有时候得不到解， 而要多次运行算法。 LV算法还可以来解决排序问题，分班问题， 考试系统安排问题，aD-Hoc网络中基于距离的动 态概率广播协议问题，航天器与短期空间碎云碰 撞问题等等。 如今，人们在实验中发现基于重启优化方法可 以提高LV算法的性能和稳定性，可以很直观的解 决一些NP难解问题，如TSP问题。
e
0.000000 0.000000 39.852940 15.784404 8.884438 7.165462 6.662811 6.315917 6.017177
t
113.000000 38.165001 28.320000 29.720001 38.134998 52.995003 45.480000 47.285000 48.285000
拉斯维加斯算法利用随机来指导解的搜索即使做了个不宜的选择也可以保证正确的解因为这样会导致算法进入绝境这样就会报告在这一次运行中无法得到解然后重新启动算法直到得到正确的结果
计算机科学中的算法复杂性分析
计算机科学中的算法复杂性分析在当今数字化的时代，计算机科学的影响力日益显著，而算法作为计算机科学的核心之一，其复杂性分析更是至关重要。
当我们使用各种软件、应用程序或者进行大规模的数据处理时，背后都离不开算法的支持。
而了解算法的复杂性，能够帮助我们更好地评估其效率，从而做出更明智的选择。
那么，什么是算法的复杂性呢？简单来说，算法的复杂性就是衡量一个算法在执行过程中所需要的资源量，这些资源通常包括时间和空间。
时间复杂性关注的是算法运行所需的时间，而空间复杂性则关注的是算法在运行过程中所占用的内存空间。
为了更直观地理解算法的复杂性，让我们来看一个简单的例子：冒泡排序算法。
冒泡排序的基本思想是通过反复比较相邻的元素并交换它们的位置，将最大的元素逐步“浮”到数组的末尾。
对于一个包含 n个元素的数组，冒泡排序在最坏情况下的时间复杂度为 O(n^2)。
这意味着，如果数组的元素数量增加一倍，算法运行的时间将增加大约四倍。
与冒泡排序相比，快速排序算法通常在平均情况下具有更好的性能。
快速排序通过选择一个基准元素，将数组分为小于和大于基准元素的两部分，然后对这两部分分别进行排序。
在平均情况下，快速排序的时间复杂度为 O(n log n)。
这种对数级的增长速度使得快速排序在处理大规模数据时更加高效。
算法复杂性的分析不仅仅局限于排序算法，在图论、搜索算法、动态规划等众多领域都有着广泛的应用。
例如，在图的遍历中，深度优先搜索和广度优先搜索有着不同的时间和空间复杂性。
深度优先搜索通常具有较低的空间复杂度，但在某些情况下可能会导致较长的运行时间；而广度优先搜索则在处理某些问题时能够更快地找到解，但可能需要更多的空间来存储队列。
影响算法复杂性的因素有很多。
首先是问题的规模，通常来说，问题的规模越大，算法所需的时间和空间就越多。
其次是算法的设计和实现方式，一个巧妙的算法设计能够显著降低复杂性。
此外，硬件环境和编程语言的选择也可能对算法的实际性能产生影响。
第5章 算法与复杂性
5.7 可计算性理论基础
研究计算的可行性和函数算法的理论，又称算法 理论，是算法设计与分析的基础，也是计算机科 学的理论基础。可计算性是函数的一个特性。
5.8 NP问题
NP(Non-deterministic Polynomial)问题是非确定性多 项式问题，是指算法无法直接计算出结果，只能通过进 行一些有选择的“猜算”来得到结果。 NP问题的研究结果有两种可能： 一种是找到了求解问题的算法； 另一种就是求解问题的算法是不存在的，那么就要从数
钥，通常有两个密钥，称为“公钥”和“私钥”，它 们两个必须配对使用，否则不能打开加密文件。
5.10 加密算法
常见加密算法有如下： (1)DES(Data Encryption Standard)：数据加密标准，速 度较快，适用于加密大量数据的场合。 (2)3DES(Triple DES)：是基于DES，对一块数据用3个不 同的密钥进行3次加密，强度更高； (3)RC2和RC4：用变长密钥对大量数据进行加密，比DES 快。 (4)IDEA(International Data Encryption Algorithm)国 际数据加密算法，使用128位密钥提供非常强的安全性。 (5)RSA：由RSA公司发明，是一个支持变长密钥的公共密 钥算法，需要加密的文件块的长度也是可变的。 (6)DSA(Digital Signature Algorithm)：数字签名算法， 是一种标准的DSS(数字签名标准)。
计算机科学中的理论基础
计算机科学中的理论基础计算机科学作为一门综合性学科，其发展离不开理论基础的支撑。
理论基础为计算机科学提供了思维框架和分析方法，深刻影响了计算机科学的发展和应用。
本文将探讨计算机科学中的几个重要理论基础，包括计算模型、算法分析和复杂性理论。
计算模型计算模型是计算机科学的核心概念之一，它描述了计算机系统中信息的处理和传递方式。
常见的计算模型包括图灵机、有限状态机和Lambda演算等。
图灵机是由阿兰·图灵提出的一种抽象的计算模型。
它由一个无限长的纸带和一个读写头组成，纸带上存储着一连串的符号，读写头可以读取和改写纸带上的符号。
图灵机通过读取和改写符号，执行一系列的状态转换来模拟计算过程。
有限状态机是一种基本的计算模型，它由一组有限的状态和一组输入和输出组成。
有限状态机可以根据当前的状态和输入，根据预定义的状态转换规则，切换到下一个状态并输出相应的结果。
有限状态机常用于识别和处理具有离散行为的问题，例如自动售货机和电梯控制系统。
Lambda演算是一种数学形式化的计算模型，它描述了无变量的函数和函数应用的形式。
Lambda演算的基本思想是将函数抽象为匿名函数，并通过函数应用的方式进行计算。
Lambda演算在函数式编程语言的设计和研究中起到了重要的作用，例如LISP和Haskell等。
算法分析算法分析是计算机科学中研究算法效率和性能的重要方法。
通过对算法进行分析，可以评估其时间复杂度和空间复杂度，从而指导算法设计和优化。
时间复杂度是衡量算法在各种输入规模下执行时间增长速度的度量。
一般而言，时间复杂度较低的算法更加高效。
常见的时间复杂度有常数复杂度O(1)、线性复杂度O(n)、对数复杂度O(logn)、平方复杂度O(n²)等。
通过时间复杂度分析，可以选择最适合的算法来解决各类计算问题。
空间复杂度是衡量算法所需内存空间的度量。
随着输入规模的增大，算法执行所需的内存空间也会增加。
通过空间复杂度分析，可以控制算法的内存占用，提高算法的资源利用效率。
计算机科学中的计算复杂性理论
计算机科学中的计算复杂性理论计算复杂性理论是计算机科学中的一个重要分支，研究的是计算问题的算法复杂性和计算机问题的可解性。
它帮助我们理解计算问题是否有高效的解决方法，为设计和分析算法提供了基础。
一、引言计算复杂性理论涉及到算法的效率和计算问题的可解性，对计算机科学和信息技术具有重要意义。
本文将首先介绍计算复杂性理论的起源和发展，然后重点讨论几个计算复杂性理论中的重要概念和问题。
二、计算复杂性理论的起源和发展计算复杂性理论起源于20世纪60年代，由对计算问题的可解性进行研究逐渐演化而来。
该理论的研究者，如图灵奖得主阿隆佐·邱奇、史蒂芬·库克等，提出了多个理论模型和概念，奠定了计算复杂性理论的基础。
三、计算复杂性理论的重要概念1. P问题和NP问题在计算复杂性理论中，P问题指的是可以在多项式时间内解决的问题，而NP问题则是指可以在多项式时间内验证给定解是否正确的问题。
其中，P问题是NP问题的一个子集，即P⊆NP。
2. NP完全性NP完全性是计算复杂性理论中的一个重要概念。
一个问题是NP完全的，意味着它是NP问题中最难的一类。
如果我们能够找到一个多项式时间内解决NP完全问题的算法，那么可以得出P = NP的结论，这是计算机科学中的一个重大问题。
3. 计算复杂性度量计算复杂性理论通过引入时间复杂性和空间复杂性度量来衡量算法的效率。
其中，时间复杂性度量算法执行所需的时间步数，空间复杂性度量算法所需的存储空间。
这些度量帮助我们选择具有高效率的算法，提高计算问题的解决速度。
四、计算复杂性问题的研究方法计算复杂性理论研究问题的方法主要有两种：证明方法和求解方法。
证明方法通过证明某个问题是NP完全的来研究问题难度；而求解方法则是通过设计高效的算法来解决问题。
1. 证明方法证明方法是计算复杂性理论中常用的方法之一，它使用约简技术将一个已知的NP完全问题转化为待研究问题，从而证明待研究问题也是NP完全的。
算法分析与复杂性理论
算法分析与复杂性理论算法是计算机科学中的重要概念，它是解决问题的一系列步骤或指令。
但是，并不是所有的算法都一样效率高，因此我们需要进行算法分析来评估算法的性能。
同时，复杂性理论则是用来研究算法在不同规模下的复杂性和可解性。
本文将深入探讨算法分析与复杂性理论的相关概念和方法。
一、算法分析算法分析是评估算法性能的过程，我们通常关注算法的时间复杂度和空间复杂度。
1. 时间复杂度时间复杂度表示算法解决问题所需的时间资源。
在进行时间复杂度分析时，一般会考虑最坏情况下的所需时间。
常见的时间复杂度有常数时间O(1)，线性时间O(n)，对数时间O(log n)，平方时间O(n^2)等。
2. 空间复杂度空间复杂度表示算法解决问题所需的空间资源。
与时间复杂度类似，我们通常考虑最坏情况下的所需空间。
常见的空间复杂度有常数空间O(1)，线性空间O(n)，对数空间O(log n)，平方空间O(n^2)等。
二、复杂性理论复杂性理论是研究算法在不同规模下的复杂性和可解性的学科领域。
1. NP问题NP（Nondeterministic Polynomial）问题是指可以在多项式时间内验证解答是否正确的问题。
这意味着如果我们能够在多项式时间内找到一个解答，那么我们也可以在多项式时间内验证该解答是否正确。
然而，尚未找到高效的算法来解决NP问题。
2. P问题P（Polynomial）问题是指可以在多项式时间内解决的问题。
也就是说，存在一个算法可以在多项式时间内找到问题的解答。
3. NP完全问题NP完全问题是指既属于NP问题，又属于最难的NP问题。
如果我们能够在多项式时间内找到一个解答，那么我们可以在多项式时间内解决所有的NP问题。
目前，还没有找到高效的算法来解决NP完全问题。
三、算法优化为了提高算法的效率，我们可以进行算法优化。
常用的算法优化方法包括贪心算法、动态规划、分治法等。
1. 贪心算法贪心算法是一种每次都选择当前最优解的策略。
密码学的计算复杂性理论
从前，有一个酷爱数学的年轻国王向邻国一位聪明美丽的公主求婚。 公主出了这样一道题：求出48 770 428 433 377 171的一个真因子。若国王 能在一天之内求出答案，公主便接受他的求婚。国王回去后立即开始逐个 数地进行计算，他从早到晚，共算了三万多个数，最终还是没有结果。国 王向公主求情，公主将答案相告：223 092 827是它的一个真因子。国王很 快就验证了这个数确能除尽48 770 428 433 377 171。公主说：“我再给你 一次机会，如果还求不出，将来你只好做我的证婚人了。”国王立即回国， 并向时任宰相的大数学家求教，大数学家在仔细地思考后认为这个数为17 位，则最小的一个真因子不会超过9位，于是他给国王出了一个主意：按自 然数的顺序给全国的老百姓每人编一个号发下去，等公主给出数目后，立 即将它们通报全国，让每个老百姓用自己的编号去除这个数，除尽了立即 上报，赏金万两。最后，国王用这个办法求婚成功。
– 当将一个问题分解到多个处理器上解决时，由于算法中不可避 免地存在必须串行执行的操作，从而大大地限制了并行计算机 系统的加速能力。
•设f为求解某个问题的计算存在的必须串行执行的操作占整 个最计大算 的的 加百 速分 能比 力，，则p为处理器的数目，Sp为并行计算机系统
设f=1%，p→，则Sp=100。（阿达尔定律） 串行执行操作仅占全部操作1%，解题速度最多也只能提高 一百倍。 对难解性问题而言，提高计算机系统的速度是远远不够的， 而降低算法复杂度的数量级才是最关键的问题。
读写头
状态 控制器 q
图灵在1936年提出了著名的图灵机模型(计算模型)： ▪图灵机由一个无限长的带子（被划分成均匀的方格） 、一个磁带读/写头 和一个有限状态控制器组成。 ▪在每一步计算中，图灵机从磁带上读出一个符号，并由有限状态控制器决 定是否在当前的磁带区上写入不同的符号，然后决定是否需要将磁带读/写 头向前或向后移动一位。 当前的计算机，在理论上都是可以被图灵机模拟的，其原理和图灵机是相同 的，甚至还包含了存储程序的思想。
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LV算法的现状与展望
缺点：时间复杂度不确定，有时候得不到解， 而要多次运行算法。 LV算法还可以来解决排序问题，分班问题， 考试系统安排问题，aD-Hoc网络中基于距离的动 态概率广播协议问题，航天器与短期空间碎云碰 撞问题等等。 如今，人们在实验中发现基于重启优化方法可 以提高LV算法的性能和稳定性，可以很直观的解 决一些NP难解问题，如TSP问题。
算法分析与复杂性理论
用拉斯维加斯算法解决n皇后问题
s20130791 王晓星
随机化算法
随机化算法的基本特征是对所求解问题的同一实 例用同一随机化算法求解两次可能得到完全不同的效 果。这两次求解所需的时间甚至所得到的结果可能会 有相当大的差别。 一般情况下，可将随机化算法大致分为4类： 数值随机化算法 蒙特卡罗算法 拉斯维加斯算法 舍伍德算法
e
0.000000 0.000000 39.852940 15.784404 8.884438 7.165462 6.662811 6.315917 6.017177
t
113.000000 38.165001 28.320000 29.720001 38.134998 52.995003 45.480000 47.285000 48.285000
拉斯维加斯算法
定义：不返ห้องสมุดไป่ตู้错误答案的概率算法
算法可能承认失败也没什么关系，只需在在输入上 不断尝试，直到成功为止。 算法偶尔会有失败，但存在一个策略，它比失败时 重新启动整个计算这种做法更好。
LV算法基本思路
利用随机来指导解的搜索，即使做了个不宜的选择， 也可以保证正确的解，因为这样会导致算法进入绝 境，这样就会报告在这一次运行中无法得到解，然 后重新启动算法，直到得到正确的结果。 得到正确解的概率随着计算时间增加而提高。对于 所求解问题的任一实例，用同一LV算法反复对其求 解足够多次，可使求解失效的概率任意小。
stopvegas = 3
③回溯算法与lv算法 混合使用 1 先在棋盘的前若 2 干行中随机地放臵皇 3 后,（即设定 stopvegas的值）然 4 后在后继行中用回溯 5 法继续搜索，直至找 到一个解或宣告失败.6 随机放臵的皇后 7 越多，后继回溯搜索 所需的时间就越少， 8 但失败的概率就越大. 1
LV算法具体应用分析
1、八皇后问题 ①完全回溯法 用回溯法解n皇后 问题时，用完全n叉树表 示解空间。可行性约束 place剪去不满足行、列 和斜线约束的子树。 如右图（四皇后）：
②完全LV算法 对于八皇后问题的任何一个解而言，每一个皇 后在棋盘上的位臵无任何规律，不具有系统性，而 更像是随机放臵的. 由此想到可采用LV算法，满足新放臵的皇后与已 放臵的皇后互不攻击前提下，在棋盘上相继的各行 中随机地放臵皇后，直至8个皇后均已相容地放臵好， 或已没有下一皇后可放臵位臵时为止.
11
总结
在问题要求的时间复杂度或空间复杂度由确定性 算法不可能解决的情况下，随机化算法不失为一个 好的思考方向。大胆猜想，实践验证，灵活运用是 这类算法主要优势。
12
完全回溯法
LV和回溯混合效 率最高的情况
完全LV算法
8
分析：
①完全回溯法比LV算法在解八皇后问题时效率 低得多； ②LV算法和回溯的混合使用有利于提高解八皇 后的效率。
9
LV算法具体应用分析
2、N皇后问题 下面是n取不同值时效率对比情况：
随着n值的增加，与回溯法相比，使用LV算法的 高效率性逐渐明显。
运行算法
random backtrack
2
3
4
5
6
7
7
8
运行结果
stopVegas
0 1 2 3 4 5 6 7 8
p
1.000000 1.000000 0.854701 0.478469 0.235571 0.138408 0.151057 0.138504 0.129955
s
113.000000 38.165001 21.545000 12.515000 9.305000 8.390000 8.035000 8.000000 8.000000