整式的乘法完全平方公式
学好完全平方公式的三点提示
学好完全平方公式的三点提示完全平方公式是两个形式相同的多项式相乘得到的公式，它的应用十分广泛，是教材中的重点和难点．那么如何掌握完全平方公式呢?下面给予三点提示，供参考．一、意义特征要牢记 1、完全平方公式：（1）(a+b)2=a 2+2ab+b 2 ；（2）(a -b)2=a 2-2ab+b 22、文字描述：这两个公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项式，而且每一项都是二次式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，而第三项是左边二项式中两项乘积的2倍（或-2倍）．可用以下口诀来记忆：“头平方和尾平方，头（乘）尾两倍在中央，中间符号是一样”．这里的“头”指的是a ，“尾”指的是b ．这两个公式实质上是统一的，即都是二项式的平方展开式．其中第一个公式是基本的，第二个公式可由第一个公式导出．如：（a-b ）2=[a+（-b ）]2=a 2+2a （-b ）+（-b ）2= a 2-2ab+b 2．3、完全平方公式的几何意义图1ababb 2a 2b aba 图2(a -b )b (a -b )b(a -b)2b 2ba ba在图1中，大正方形的面积是(a+b)2，它等于两个小正方形的面积a 2、b 2及两个等积的长方形面积ab 的和，因此有(a+b)2=a 2+2ab+b 2．在图2中，大正方形的面积是a 2，它等于两个小正方形的面积b 2、(a -b)2及两个等积的长方形面积(a-b)b 的和，因此有(a -b)2=a 2-2(a-b)b-b 2= a 2-2ab+b 2．二、两个公式的区别要清楚在运用完全平方公式时，经常会出现类似于(a+b)2=a 2+b 2、(a -b)2=a 2 -b 2的错误．要注意从以下几个方面进行区别：（1）意义不同：(a+b)2表示数a 与数b 和的平方，(a -b)2表示数a 与数b 差的平方；而a 2+b 2表示数a 的平方与数b 的平方和，a 2-b 2表示数a 的平方与数b 的平方差．（2）读法不同：(a+b)2读作两数a 、b 和的平方，(a -b)2读作两数a 、b 差的平方；而a 2+b 2读作两数a 、b 平方的和，a 2-b 2读作两数a 、b 平方的差．（3）运算顺序不同：(a+b)2的运算顺序是先算a+b ，然后再算和的平方，(a -b)2的运算顺序是先算a -b ，然后再算差的平方；而a 2+b 2是先算a 2与b 2，再求和a 2+b 2，a 2-b 2是先算a 2与b 2，再求差a 2-b 2．（4）一般情况下它们的值不相等：如当a=2，b=1时，(a+b)2=(2+1)2= 32=9，(a -b)2=(2-1)2=12=1；而a 2+b 2= 22+12=5，a 2-b 2= 22-12=3．三、应用方法要掌握完全平方公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式，还可以表示多项式及各种代数式．应用时要认真观察题目是否符合公式的特征和条件，变形后是否符合公式的特征和条件，若符合，再把公式中的字母同具体题目中的数或式对照，再逐项对照着计算；若不符合就不能应用公式．要搞清楚公式中各项的符号，灵活地进行公式的各种变形应用．例1、计算222213⎪⎭⎫⎝⎛--y x xy分析：把23xy -看成a ，y x 221看成b ，原式即为两项差的平方，然后套用完全平方差公式．解：222213⎪⎭⎫⎝⎛--y x xy=()()⎪⎭⎫⎝⎛---y x xy xy222221323+（y x 221）2=2433424139y x y x y x ++例2、计算：（a-2b-c ）2分析：可以把（a-2b ）看作公式中a ，把c 看作公式中的b ，然后套用完全平方差公式． 解：2222)2(2)2(])2[()2(c c b a b a c b a c b a +---=--=-- ＝2a bc ac abc b a c bc ac b ab 4244424422222+--++=++-+-． 说明：本题还可以进行如下变形：222]2)[()2(b c a c b a --=--或22)]2([)2(c b a c b a +-=--完全平方公式应用错例分析完全平方公式是乘法公式中的重要组成部分，它能帮助同学们简捷、灵活的完成整式的乘法运算，但在运用公式解题的过程中，却经常出现这样或那样的错误，现将典型错例进行评析．一、漏掉“中间项” 例1 计算：(a+3)2 错解：(a+3)2=a 2+9分析：完全平方公式的结果有三项：首平方，末平方，乘积的2倍写中央．因此，运用公式时不要漏掉乘积项．不能将完全平方公式与平方差公式混淆．正解：(a+3)2=a 2+6a+9 二、“中间项”漏乘2例2 计算（2y+21）2错解：（2y+21）2 = 4y 2+2y ×21+41 分析：没有理解完全平方公式的中间项“2ab ”中2的意义，2y 中的2表示首项的一部分，不是乘积的2倍．防止发生这样错误的关键是要将题目中项与公式中的项进行对应，一定要找准哪个代表字母a ，哪个代表字母b ．正解：（2y+21）2 = 4y 2+2⨯2y ⨯21+41＝4y 2+2y+41三、“－”处理错误例3 计算(-t-1) 2错解：(-t-1) 2=t 2 -2t+1 或 (-t-1) 2= -t 2 +2t+1分析：本题可以看成首项-t 与末项1的差的平方，应把-t 看做一个整体． 正解：(-t-1) 2=(-t) 2-2 (-t) ×1 +12＝t 2＋2t+1. 四、系数未平方 例4 计算(3x-2y) 2错解：(3x-2y) 2=3x 2-12xy+2y 2分析：首项3x 与末项2y 都应看成一个整体进行平方． 正解：(3x-2y) 2 = (3x)2-12xy+(2y)2 = 9x 2-12xy+4y 2 五、问题考虑不全面例5 已知x 2-2mx+1是一个完全平方式，则m= 错解：因为12＝1由乘积项－2mx=2x ×1得m=-1．分析：错解忽略了另一种情况：因为(-1) 2=1，由－2mx=2x ×(-1)得m=1，所以m=±1. 正解：m=±1. 六、运算顺序错误 例6 计算2(a-) 2 错解：2(a-2b ) 2=(2a-b) 2 分析：由乘方的定义知：2(a-2b ) 2=2(a-2b )(a-2b )=(2a-b) (a-2b)，这与(2a-b) 2的结果是不相等的．因此，应按照运算顺序先算乘方，再算乘除进行化简．正解：2(a-2b ) 2=2(a 2-ab+41b 2)=2a 2-2ab+21b 2. 总之，运用完全平方公式进行整式的运算时，应牢固掌握公式的实质，并与其它相关法则、运算顺序有机的结合，才能简便、准确地进行整式的运算．完全平方公式学习导航1.完全平方公式有两个：2222)(b ab a b a ++=+,2222)(b ab a b a +-=-.即，两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为2222)(b ab a b a ++=±.记忆口诀：“首平方、尾平方，2倍乘积在中央”.2.公式的条件是：两数和的平方或两数差的平方.3.公式的结果是：这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍.4.公式的特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式.5. 完全平方公式的几何意义如图1，大正方形的面积可以表示为2)(b a +，也可以表示为IV III II I S S S S S ++=，同时22222b ab a b ab ab a S ++=+++=.从而验证了完全平方公式2222)(b ab a b a ++=+.6.完全平方公式重难点重点1 （1）公式右边是这两个数的平方和与这两个数乘积的2倍的和（差）。
整式的乘法知识点
整式的乘法知识点1、幂的运算性质：（a ≠0，m 、n 都是正整数）（1）a m ·a n ＝a m ＋n 同底数幂相乘，底数不变，指数相加．（2）()n m a ＝ a mn 幂的乘方，底数不变，指数相乘．（3）()n n n b a ab = 积的乘方等于各因式乘方的积． （4）n m a a ÷＝ a m －n 同底数幂相除，底数不变，指数相减．例（1）．在下列运算中，计算正确的是（ ）（A ）326a a a ⋅=（B ）235()a a = （C ）824a a a ÷=（D ）2224()ab a b = （2）()()4352a a -⋅-=____ ___=2．零指数幂的概念：a 0＝1（a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 例：()022017π-=3．负指数幂的概念： a - p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数） 任何一个不等于零的数的负指数幂，等于这个数的正指数幂的倒数． 例：223-⎛⎫ ⎪⎝⎭= 312-⎛⎫- ⎪⎝⎭=4．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()21(n m n m -⋅-5．单项式与多项式的乘法法则： a(b+c+d)= ab + ac + ad单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．例：（1）)35(222b a ab ab + （2）)32()5(-22n m n n m -+⋅6．多项式与多项式的乘法法则：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 例：（1）1(4)x x --（） （2）(2)(1)x y x y +-+7．乘法公式： ①完全平方公式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2口诀：首平方、尾平方，乘积的二倍放中央．例：① (2x +5y )2=( )2 + 2×( )×( ) + ( )2=__________________；② 2)2131(-m =( )2 - 2×( )×( ) + ( )2=________________； ③ (-x +y )2 = ( )2 =__________；④ (-m -n )2 = [ ]2 = ( )2_______________；⑤x 2+__ _ +4y 2 = (x +2y )2 ⑥214m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ +2n = ( )2 ②平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2口诀：两个数和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差．注意：相同项的平方减相反项的平方例：① (x -4)(x +4) = ( )2 - ( )2 =________；② (3a+2b )(3a -2b ) = ( )2 - ( )2 =_________________；③ (-m +n )( m +n ) = ( )2-( )2 =___________________；④ 11(2)(2)44x y x y ---=( )2-( )2=___________； ⑤(2a +b +3)(2a +b -3) =( )2-( )2=________________ ___= ；⑥(2a —b +3)(2a +b -3)=[ ][ ]=( )2-( )2另一种方法：(2a —b +3)(2a +b -3)==⑦ ( m +n )( m -n )( m 2+n 2 ) =( )( m 2+n 2 ) = ( )2 -( )2 =_______；⑧(x +3y )( ) = 9y 2-x 2③十字相乘：2()()x a x b x ++=+ ( ) x +一次项的系数是a 与b 的 ，常数项是a 与b 的例：()()12x x ++＝ ， ()()23x x --= ，()()57x x +-= ， ()()34x x -+=1、若22916x mxy y ++是一个完全平方式，那么m 的值是__________。
人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
整式乘除知识点
整式乘除知识点在数学的学习中，整式乘除是一个重要的部分，它不仅是后续学习代数运算的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面就让我们一起来深入了解整式乘除的相关知识点。
一、整式的乘法（一）单项式乘以单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：3x²y × 5xy³＝ 15x³y⁴（二）单项式乘以多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：2x(3x² 5x ＋ 1) ＝ 6x³ 10x²＋ 2x（三）多项式乘以多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：（x ＋ 2)（x 3) ＝ x² 3x ＋ 2x 6 ＝ x² x 6二、整式的除法（一）单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例如：18x⁴y³z² ÷ 3x²y²z ＝ 6x²yz（二）多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加。
例如：（9x³y 18x²y²＋ 3xy³) ÷ 3xy ＝ 3x² 6xy ＋ y²三、乘法公式（一）平方差公式（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²例如：（3x ＋ 2)（3x 2) ＝ 9x² 4（二）完全平方公式（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²例如：（x ＋ 5)²＝ x²＋ 10x ＋ 25四、整式乘除的应用（一）几何图形中的应用在求解长方形、正方形等图形的面积和周长时，经常会用到整式的乘除。
整式的乘法和因式分解
同底数幂的乘法：a m×a n=a m+na 可以是单项式，底数为正数还是负数，括号外为奇数次方还是偶数次方，若偶次方有没有对着负号，运算过后把底数都化为正数，再利用同底数幂的乘法。
若为同类项再把系数相加减。
a 若为多项式时，看底数是相同的还是相反数，若相反的把相反的化为相同的，若指数为偶数次方，直接改变；若指数为奇数次方，前面添负号，把底数化为相同的。
若指数中有子母，求字母的值，把底数化为相同的，一般化为最小的，再按同底数幂相乘，两个式子相等，底数一样，则指数也相等。
公式的倒用：给两个幂的值，求一个更复杂幂的值，见指数的和转化为同底数幂的乘，见指数的差转化为同底数幂的差，以所给的式子为目标进行变形出来，再代入求值。
比较几个幂的大小：根据题中给的形式，把底数化为相同的或把指数化为相同的形式，有一个相同，另一个谁大总体谁就大了。
指数比较大的幂相乘：把指数都化成最小的，根据积的乘方的倒算，把底数相乘，结果往往为±1，再算剩余的。
整式的乘法：1）几个单项式相乘，若题中有幂的乘方或积的乘方先进行自身计算，再进行其他的计算。
2）给积和一个因式，求另一个因式，利用乘法除法来做均可以，若为多项式注意带括号。
3）单项式×多项式，利用乘法的分配率来做题。
4）两个多项式乘开后没有几次项，就是看哪些项相乘可以得到几次项，利用合并同类项把系数写在一起，则总系数为0.5）多项式×多项式利用乘法的分配率来做，有公式的先用公式，先用平方差再用完全平方公式。
6）给一个等式，求字母的值：这类题是左边为多项式×多项式，右边为一个二次三项式；把左边按多项式×多项式乘开，两个多项式相等，二次项系数等于二次项系数，一次项系数等于一次项系数，常数项等于常数项。
整式的除法：若有积的乘方或幂的乘方，先用积的乘方或幂的乘方进行自身运算，再利用同底数幂的除法。
用同底数幂的乘或除，关键是化为相同的，可以同带负号，也可以都是正的，若不同应化为相同的。
八年级数学上册整式的乘法与因式分解(平方差公式, 完全平方公式)
平方差公式 相同为a
适当交换 (a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
合理加括号
相反为b，-b
注：这里的两数可以是两个
也可以是两个
等．
(1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
1
x
-3
a
a1
0.3x 1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12
3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符 号相同. 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和 多项式.
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
= 3x2-5x-10.
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y －x)，其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
原式＝5×12－5×22＝－15.
例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－ (3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
x2 － 12 m2－22
③（2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 12 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
(2m)2 － 12 (5y)2 － z2
想一想：这些计算结果有什么特点？
整式的运算法则
整式的运算法则整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。
整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=•),(都是正整数）（n m a a m n n m =)()(都是正整数n b a ab n n n = 22))((b a b a b a -=-+ 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数【注意】（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数 相同。
（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要 注意单项式的符号。
（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。
（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
（6）),0(1);0(10为正整数p a a a a a p p ≠=≠=-（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。
一、选择（每题2分，共24分） 1．下列计算正确的是（ ）．A ．2x 2·3x 3=6x 3B ．2x 2+3x 3=5x 5C ．（－3x 2）·（－3x 2）=9x 5D ．54x n ·25x m =12x m+n2．一个多项式加上3y 2－2y －5得到多项式5y 3－4y －6，则原来的多项式为（ ）． A ．5y 3+3y 2+2y －1 B ．5y 3－3y 2－2y －6 C ．5y 3+3y 2－2y －1 D ．5y 3－3y 2－2y －1 3．下列运算正确的是（ ）．A ．a 2·a 3=a 5B ．（a 2）3=a 5C ．a 6÷a 2=a 3D ．a 6－a 2=a 4 4．下列运算中正确的是（ ）．A．12a+13a=15a B．3a2+2a3=5a5C．3x2y+4yx2=7 D．－mn+mn=0二、填空（每题2分，共28分）6．－xy2的系数是______，次数是_______．8．x_______=x n+1；（m+n）（______）=n2－m2；（a2）3·（a3）2=______．9．月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时， 若坐飞机飞行这么远的距离需_________．10．a2+b2+________=（a+b）2a2+b2+_______=（a－b）2（a－b）2+______=（a+b）211．若x2－3x+a是完全平方式，则a=_______．12．多项式5x2－7x－3是____次_______项式．三、计算（每题3分，共24分）13．（2x2y－3xy2）－（6x2y－3xy2）14．（－32ax4y3）÷（－65ax2y2）·8a2y17．（x－2）（x+2）－（x+1）（x－3）18．（1－3y）（1+3y）（1+9y2）19．（ab+1）2－（ab－1）2四、运用乘法公式简便计算（每题2分，共4分）20．（998）221．197×203五、先化简，再求值（每题4分，共8分）22．（x+4）（x－2）（x－4），其中x=－1．23．[（xy+2）（xy－2）－2x2y2+4]，其中x=10，y=－1 25．六、解答题（每题4分，共12分）24．已知2x+5y=3，求4x·32y的值．25．已知a2+2a+b2－4b+5=0，求a，b的值．幂的运算一、同底数幂的乘法（重点）1.运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
完全平方公式
完全平方公式：两个数的和(或差)的平方,等于它的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做乘法的完全平方公式.(a+b)2＝a2-2ab+b2(a-b)2＝a2-2ab+b2公式中字母a和b可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．一、把握运用公式四步曲1、“察”：计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用相应乘法法则进行计算。
2、“导”：正确地选用完全平方公式，关键是确定式子中a、b 分别表示什么数或式。
3、“算”：注意每步的运算依据，即各个环节的算理。
4、“验”：完成运算后学会检验，既回过头来再反思每步的计算依据和符号等各方面是否正确无误，又可通过多项式的乘法法则进行验算，确保万无一失。
二、公式的变换应用1. a2+b2=(a+b)2-2ab(已知a+b、ab的值)2.a2-b2=(a-b)2+2ab(已知a+b、ab的值)3.(a-b) 2=(a+b) 2-4ab4. (a+b) 2=(a-b) 2+4ab三、公式的逆用1、x2 +2x+1=(x+1) 2 x2 -2x+1=(x-1) 22、x2 +2+1/x2=(x+1/x) 2x2 -2+1/x2=(x-1/x) 2平方差公式：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式。
(a+b)(a-b)= a2- b2公式中字母a和b可以是任意一个单项式或多项式等数学式．注意平方时不能只对字母平方，而忘记系数，如（2a）2不等于2a2而是4 a2。
1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
公式表示：a m a n= a m+n(mn都是正整数)。
2、幂的乘方法则（a m）n= a mn(mn都是正整数)。
3、积的乘方法则（ab）n= a n b n (n是正整数)。