完全平方公式的变形与应用
完全平方公式的综合应用
完全平方的综合应用一、公式移项变形运用：1、若3,2a b ab +=-=， 则22a b += ，()2a b -=2、若x y x y 22126-=+=，，则x ＝_____________，y ＝_____________3、已知2=+n m ，2-=mn ，则=--)1)(1(n m _______ 若a 2+2a=1则(a+1)2=________.4、若1,2=-=-c a b a ,则=-+--22)()2(a c c b a5、若22a b +=7，a+b=5，则ab= 若22a b +=7，ab =5，则a+b= 6、若22a b +=7，a-b=5，则ab= 若22a b +=3，ab =-4，则a-b=7.若(x-3)2=x 2+kx+9,则k=_________. 若x 2+y 2=12,xy=4,则(x-y)2=_________. 8.已知:a+b=7,ab=-12,求 (1)a 2+b 2= (2)a 2-ab+b 2= (3)(a-b)2=9、多项式192+x 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是10、若4x 2-Mxy+9y 2是两数和的平方,则M 的值是 ( )A.36 B.±36 C.12 D.±1211．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为（ ）（A ）－5 （B ）5 （C ）－2 （D ）213．如果m-n=15, m 2+n 2=5125,那么(mn)2005的值为 ( )A.1 B.-1 C.0 D.无法确定二、公式的组合及变形应用：1、已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求: (1)a 2+b 2= (2)ab=2、若a―b=7, ab=2, 则(a+b)2的值3、已知a+b=－8,ab=12,则（a －b)2= 若x-y=3，xy=1，则（x+y ）2=________4．若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2a b -= ]5、若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，ab =_________6. 若()()x y x y a -=++22，则a 为（ ） A. 0B. -2xy ;C. 2xyD. -4xy7. 如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( )A 、 2xy B 、－2xy C 、4xy D 、－4xy8．已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于（ ）A 、()n m -21 B 、()n m --21 C 、()n m -41 D 、()n m --419．若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是（ ）A. -24ab B.12ab C.24ab D.-12ab三、公式中的特殊关系： 1、如果12a a +=,那么221a a += 2、已知51=+x x ，那么221x x +=_______ 3、 已知31=-x x ，则221x x +的值是 4、若12a a += 且0<a<1,求a － a1的值是 5. 已知a 2－3a ＋1＝0．求a a 1+和a － a1和221a a +的值；6.已知242411112,1;(2);(3)x a a a x a a a+=++-求：（）7．已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值；四、公式倒用：1.已知x 2+y 2-2x+2y+2=0,求代数式20032004x y +的值.2、练习：若x y x y 2246130++-+=，x ，y 均为有理数，求x y=3、已知a 2+b 2+6a-4b+13=0，求(a+b)2的值。
完全平方公式
完全平方公式的变形与应用一、完全平方公式的变形：完全平方公式222222()2,()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+在使用时常作如下变形：(1) 222222()2,()2a b a b ab a b a b ab +=+-+=-+(2) 2222()()4,()()4a b a b ab a b a b ab +=-+-=+-(3) 2222()()2()a b a b a b ++-=+ (4) 2222221[()()()]2a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+- (5) (a a 1+)2=2122++aa 1、 已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？2、 已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积.3、 若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和.4、 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？5、 已知两数的和为10，平方和为52，求这两数的积.6、 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3.求：α2+b 2+c 2－αb －bc －cα的值.二、完全平方公式的应用例析（一）根据公式的特点求字母的值已知36442++mx x 是完全平方式，则m 的值为（ ）（二）构造完全平方公式：1、x 4+6x 2+______=（ ___ + ___ ）2 ；m 2+3m+____=（m+___）22、4x 6y 4－_____+9=( _____- _____)2 ；(x+2y)2-8(x+2y)+16=( )2（三）直接用公式求代数式的值 当12s t =+时，代数式222s st t -+的值为 ．992=_______ （四）变形用公式求代数式的值1、已知x+y = –5，xy = 6，则22x y +的值是（ ）；2、已知已知m ＜1且m+m－１＝３，则m －m －1的值为（ ）. 3、已知：ab =60, 22a b +=169，则22a b -的值为（ ）； 4、已知a+1a =5,则=4221a a a++=_____；已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a b a b +-=_____. （五）用公式解决实际问题1、如图，矩形ABCD 的周长是20cm ，以AB 、CD 为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH ，若正方形ABEF 和ADGH 的面积之和682cm ,那么矩形ABCD的面积是（ ）2、一个直角三角形的周长为5+13，已知斜边为13，求该三角形面积。
完全平方公式的变形及其应用
完全平方公式的变形及其应用多项式乘法的完全平方公式的变形形式很多，且应用广泛，下面结合例题，介绍完全平方公式的变形“公式”及其应用。
一、变式1：2a ＋2b ＝()2a b +－2ab这样因为：由()2a b +＝2a ＋2b ＋2ab ，移项，得2a ＋2b ＝()2a b +－2ab 。
例1 已知x ＋y ＝5，xy ＝2，求下列各式的值：（1）2x ＋2y ；（2）4x ＋4y . 解 由变式1，得（1）2x ＋2y ＝()2x y +－2xy ＝25－2×2＝21.（2）4x ＋4y ＝()222x y +－222x y ＝221－2×4＝433. 二、变式2：2a ＋2b ＝()2a b -＋2ab这是因为：由()2a b -＝2a －2ab ＋2b ，移项，得2a ＋2b ＝()2a b -＋2ab 。
例2 已知a －1a ＝5，求2a ＋21a的值。
解 由变式2，得2a ＋21a ＝21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2＝25＋2＝27. 三、变式3：ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+-+⎣⎦ 这是因为：由()2a b +＝2a ＋2b ＋2ab ，得2ab ＝()2a b +－（2a ＋2b ），两边同除以2，得ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+-+⎣⎦。
例3 已知a ＋b ＝7，2a ＋2b ＝29，求ab 的值。
解 由变式3，得ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+-+⎣⎦＝12[27－29]＝10. 四、变式4：ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+--⎣⎦ 这是因为：由()2a b -＝2a －2ab ＋2b ，移项得2ab ＝（2a ＋2b ）－()2a b -，两边同除以2，得ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+--⎣⎦。
例4 已知a －b ＝3，2a ＋2b ＝5，求ab 的值。
解 由变式4，得ab ＝12()()222a b a b ⎡⎤+--⎣⎦＝12[5－23]＝－2.五、变式5：()2a b +＝()2a b -＋4ab这是因为：()2a b +＝2a ＋2b ＋2ab ＝（2a ＋2b －2ab ）＋4ab ＝()2a b -＋4ab 。
完全平方公式的变形公式
完全平方公式的变形公式完全平方公式的变形公式在我们的考试中经常遇到，很多同学对此很苦恼，今天咱们一起来学习完全平方的变形公式。
一、通过移项变形1、（a+b）²=a²+2ab+b²变形为a²+b²=（a+b）²-2ab2、（a+b）²=a²+2ab+b²变形为2ab=（a+b）²-（a²+b²）用法：以上变形适用于已知a+b、ab、a²+b²中的两项求另一项的值，知二求一。
第二个变形也有记ab=½{（a+b）²-（a²+b²）}的，我们不需要这么记，记住上面第2个就行！例1：已知a+b=7，ab=10，求下列各式的值：（1）a²+b²；（2）a²-ab+b²解=（a+b）²-2ab 解= a² +b²-ab先移项因为a+b=7，ab=10 =（a+b）²-2ab-ab所以a²+b²=49-20=29 =（a+b）²-3ab因为a+b=7，ab=10所以a²+b²=49-30=19二、a+b与a-b的转换（1）（a+b）²=（a-b）²+4ab（由a-b变为a+b）（2）（a-b）²=（a+b）²+4ab （由a+b变为a-b）（3）（a+b）²-（a-b）²=4ab（4）（a+b）²+（a-b）²=2（a² +b²）用法：已知a+b、a-b、ab中的两项，求另一项，知二求一.例2、已知（a+b）²=9，（a-b）²=5，求（1）a² +b²，（2）ab的值.解：（1）2（a² +b²）=（a+b）²+（a-b）²2（a² +b²）=9+5=14a² +b²=7（2）4ab=（a+b）²-（a-b）²4ab=9-5=4ab=1特殊的小结：总的来说（a+b）²、（a-b）²、ab、a² +b²、a+b、a-b这六个项，我们通过题目给出的已知项把它们进行加或减就能够求出其它的项。
完全平方公式变形的应用
完全平方公式变形的应用完全平方公式是解二次方程的重要基础工具，可以将一个二次方程转化为一个完全平方的形式。
在实际应用中，完全平方公式变形主要用于简化计算、求解函数极值、确定函数性质等方面。
下面我们将具体介绍完全平方公式变形的应用。
一、解析几何中的应用1.完全平方公式变形常用于求解平面上的曲线的性质，如拟合圆弧、确定形状等。
例如，在平面几何中，如果已知一个椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，要求椭圆上两点之间的距离，可以利用完全平方公式将方程变形为$(\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2=1$，即$x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$。
然后，通过参数方程求解两点之间的距离。
2.完全平方公式变形也常用于解决计算几何中的问题。
例如，在计算几何中，如果已知一个长方形的面积为$8$平方单位，要求长方形的长和宽的和，可以利用完全平方公式将面积写成方程$x^2+lx-8=0$，其中$l$为长方形的长和宽的和。
然后，通过求解这个方程，即可得到长方形的长和宽的和的值。
二、实际问题中的应用1.完全平方公式变形可用于优化问题中的求解。
例如，在生产实践中，工厂生产其中一种产品，设产量为$x$件/天。
已知每件产品的销售价格为$p$元/件，每件产品的生产成本为$c$元/件，则销售收入$R$与生产成本$C$之间的关系可以表示为$R=px$，$C=cx$。
要使得利润最大化，即$R-C$最大化，可以通过完全平方公式变形求得产量$x$的最优值，进而计算出最大利润。
2.完全平方公式变形可用于求解抛物线的最值问题。
例如，在物理学中，一个抛体的运动轨迹为抛物线，设该抛物线的方程为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$为常数。
要求抛物线的顶点坐标，可通过完全平方公式将方程变形为$y=a(x-\frac{b}{2a})^2+c-\frac{b^2}{4a}$，即可得到顶点坐标$(\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$。
完全平方公式变形的应用培优
完全平方公式变形的应用培优
1.变形一：平方差公式
将完全平方公式中的等式两边移项，可以得到平方差公式：
(a+b)²-a²=2ab；
(a-b)²-a²=-2ab
这些公式可以用于解决一些二次方程的求解问题，也可以用于快速计
算一些算术运算，如：(42)²-40²=(42+40)(42-40)=82*2=164
2.变形二：立方差公式
(a+b)³-a³=3a²b+3ab²+b³；
(a-b)³-a³=-3a²b+3ab²-b³
这些公式可以用于解决一些立方方程的求解问题和立方运算问题，如：(a+b)³=(a+b)(a+b)²
1.应用一：平方求和公式
1²+2²+…+n²=(n(n+1)(2n+1))/6
2.应用二：定积分计算
∫(x²+2x+1)dx=∫(x+1)²dx=(1/3)(x+1)³+C
3.应用三：因式分解
x²+6x+9=(x+3)²
以上是完全平方公式变形的一些应用示例，从中可以看出完全平方公式变形在代数学习中的重要性。
通过灵活运用完全平方公式变形，可以解决一些复杂的方程和计算问题，提高解题能力和计算效率。
因此，学生在数学学习中一定要熟练掌握完全平方公式的变形和应用。
完全平方公式的五种变式
完全平方公式的五种变式《完全平方公式的五种变式》完全平方公式可以让我们更轻松地解算出方程，它的表达形式是a^2+2ab+b^2=c^2，在几何学中被广泛应用。
它是研究直角三角形内比例数学关系、特别是勾股定理和其他定理的基础。
完全平方公式有五种不同的变式，这些变式拥有不同的应用。
首先，原式完全平方形式。
它的正式表达是a^2+2ab+b^2，它展示了两个乘积的累加，这也就是它的名字。
它被用于错角比方程中，由错角定理可知，一个错角必有三个对边，这三个对边可由它推出。
其次，一元二次函数形式。
它是最常用的变式，表达式如下：y=ax^2+2bx+c，其中a、b、c为实数。
它常被用于物理领域，特别是电磁领域，比如连接变压器、引力等等。
下一个变式是极坐标变形。
它的表达式是r=a(cosθ+sinθ)，其中r是极坐标原点，θ是极角，a是椭圆的长半轴。
它可以用来表示二维坐标系内的椭圆，因为椭圆是由它来表达的。
第四种变式是矩阵形式。
它可以用矩阵表达式来构造。
举例来说，可以表示为A^2+2AB+B^2=C^2，这里A、B、C是一组矩阵。
它常用于矩阵的运算，用于求解方程组。
最后，齐次二次方程变形。
它的表达式是ax^2+2bx+c=0，其中a、b、c是常数。
由此可知，这种变形主要用于求解二元齐次方程，可以非常有效的解决二元的齐次方程。
总之，完全平方公式的五种变式是非常重要的，它们可以用于不同的应用领域，比如研究三角形内比例数学关系、一元二次函数、极轴变形、矩阵运算和齐次二次方程求解等。
完全平方公式变形公式及常见题型
完全平方公式变形公式及常见题型加法形式的完全平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²减法形式的完全平方公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²这两个公式可以用来解决一些常见的数学题型，包括因式分解、求根、化简等。
下面将分别介绍这些题型并给出解题方法和例题。
1.因式分解：如果一个二次多项式可以进行因式分解，它的形式可以表示为(x+a)²或者(x-a)²。
通过比较系数，可以求解出a的值。
例题：将多项式x²+6x+9进行因式分解。
解：这个多项式可以整理成(x+3)²的形式，所以其因式分解为(x+3)²。
2.求根：可以利用完全平方公式来求解一个二次方程的根。
例题：求方程x²+6x+9=0的根。
解：可以通过变形公式x²+6x+9=(x+3)²得到，然后令(x+3)²=0，可以得到x=-3、所以方程的根为x=-33.化简：通过利用完全平方公式的变形，可以化简一个复杂的二次多项式。
例题：化简多项式x²+8x+16解：这个多项式可以整理成(x+4)²的形式。
4.求面积和周长：通过完全平方公式，可以求解一个平方区域的面积和周长。
例题：一个正方形的边长为x，求其周长和面积。
解：正方形的周长为4x，面积为x²。
5.求最值：通过完全平方公式，可以求解一个多项式的最大值或最小值。
例题：求多项式y = ax² + bx + c 的最小值。
解：可以通过完全平方公式将该多项式转化为(x+p)²+q的形式，从而得到最小值为q。
这只是完全平方公式的一些常见应用，还有很多其他的题型和解题方法。
希望这些例题和解题方法能够帮助你更好地理解和应用完全平方公式。
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完全平方公式的变形与应用
完全平方公式222222()2,()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+在使用时常作如下变形：
(1) 222222()2,()2a b a b ab a b a b ab +=+-+=-+
(2) 2222()()4,()()4a b a b ab a b a b ab +=-+-=+-
(3) 2222()()2()a b a b a b ++-=+ (4) 22221[()()]2
a b a b a b +=++- (5) 221[()()]2
ab a b a b =+-- (6) 2222221[()()()]2
a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+-
例1 已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？
解 设长方形的长为α，宽为b ，则α+b=20，αb=75.
由公式(1)，有：
α2+b 2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250.
(答略，下同)
例2 已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积.
解 设长方形长为α，宽为b ，则α-b=4，αb=12.
由公式(2)，有：
(α+b)2=(α-b)2+4αb=42+4×12=64.
例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和.
证明 设整数为x ，则x=α2+b 2(α、b 都是整数).
由公式(3)，有2x=2(α2+b 2)=(α+b)2+(α-b)2.得证
例4 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？
解 设绳被分成的两部分为x 、y ，则x+y=64.
设两正方形的面积之和为S ，则由公式(4)，有：
S=(x 4)2+(y 4)2=116
(x 2+y 2) =132
[(x+y)2+(x-y)2] =132
[642+(x-y)2]. ∵(x-y)2≥0，
∴当x=y 即(x-y)2=0时，S 最小，其最小值为64232
=128(cm 2). 例5 已知两数的和为10，平方和为52，求这两数的积.
解 设这两数分别为α、b ，则α+b=10，α2+b 2=52.
由公式(5)，有：
αb=12
[(α+b)2-(α2+b 2)] =12
(102-52)=24. 例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3.
求：α2+b 2+c 2-αb -bc-cα的值.
解 由公式(6)有：
α2+b 2+c 2-αb -bc-αc
=12
[(α-b)2+(b-c)2+(c-α)2] =12
[(-1)2+(-1)2+22] =12
×(1+1+4)=3.。