最新完全平方公式变形讲解资料
完全平方公式的变形公式
完全平方公式的变形公式完全平方公式的变形公式在我们的考试中经常遇到，很多同学对此很苦恼，今天咱们一起来学习完全平方的变形公式。
一、通过移项变形1、（a+b）²=a²+2ab+b²变形为a²+b²=（a+b）²-2ab2、（a+b）²=a²+2ab+b²变形为2ab=（a+b）²-（a²+b²）用法：以上变形适用于已知a+b、ab、a²+b²中的两项求另一项的值，知二求一。
第二个变形也有记ab=½{（a+b）²-（a²+b²）}的，我们不需要这么记，记住上面第2个就行！例1：已知a+b=7，ab=10，求下列各式的值：（1）a²+b²；（2）a²-ab+b²解=（a+b）²-2ab 解= a² +b²-ab先移项因为a+b=7，ab=10 =（a+b）²-2ab-ab所以a²+b²=49-20=29 =（a+b）²-3ab因为a+b=7，ab=10所以a²+b²=49-30=19二、a+b与a-b的转换（1）（a+b）²=（a-b）²+4ab（由a-b变为a+b）（2）（a-b）²=（a+b）²+4ab （由a+b变为a-b）（3）（a+b）²-（a-b）²=4ab（4）（a+b）²+（a-b）²=2（a² +b²）用法：已知a+b、a-b、ab中的两项，求另一项，知二求一.例2、已知（a+b）²=9，（a-b）²=5，求（1）a² +b²，（2）ab的值.解：（1）2（a² +b²）=（a+b）²+（a-b）²2（a² +b²）=9+5=14a² +b²=7（2）4ab=（a+b）²-（a-b）²4ab=9-5=4ab=1特殊的小结：总的来说（a+b）²、（a-b）²、ab、a² +b²、a+b、a-b这六个项，我们通过题目给出的已知项把它们进行加或减就能够求出其它的项。
完全平方公式20种变形
完全平方公式20种变形【最新版】目录1.完全平方公式的基本形式2.完全平方公式的 20 种变形3.变形实例及解题方法正文【1.完全平方公式的基本形式】完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以表示为两个一次多项式的平方和。
其基本形式为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2【2.完全平方公式的 20 种变形】在实际解题过程中，完全平方公式可以衍生出 20 种变形，具体如下：1.(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^22.(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^23.(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^24.(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^25.(a+3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^26.(a-3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^27.(a+ab)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^28.(a-ab)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^29.(a+b^2)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^410.(a-b^2)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^411.(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^212.(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^213.(a+3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^214.(a-3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^215.(a+ab)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^216.(a-ab)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^217.(a+b^2)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^418.(a-b^2)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^419.(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^220.(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2【3.变形实例及解题方法】以第一种变形为例：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2假设 a = 3, b = 2，代入公式得：(3+2)^2 = 3^2 + 2*3*2 + 2^2= 25 = 9 + 12 + 4可见，公式左边的 (3+2)^2 等于右边的 9 + 12 + 4。
完全平方公式知识点例题变式
完全平方公式知识点例题变式完全平方公式知识点、例题、变式。
一、完全平方公式知识点。
1. 公式内容。
- (a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2- (a - b)^2=a^2-2ab + b^22. 公式结构特点。
- 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。
- 右边第一项是左边第一项的平方，右边第三项是左边第二项的平方，右边第二项是左边两项乘积的2倍（对于(a + b)^2是正的2ab，对于(a - b)^2是负的2ab）。
二、例题。
1. 计算(3x + 2y)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 3x，b=2y。
- 计算过程：- (3x+2y)^2=(3x)^2+2×(3x)×(2y)+(2y)^2- = 9x^2+12xy + 4y^2。
2. 计算(2m - 5n)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 2m，b = 5n。
- 计算过程：- (2m - 5n)^2=(2m)^2-2×(2m)×(5n)+(5n)^2- =4m^2-20mn + 25n^2。
三、变式。
1. 已知(x + 3)^2=x^2+ax + 9，求a的值。
- 解析：根据完全平方公式(x + 3)^2=x^2+2× x×3+9=x^2 + 6x+9，因为(x + 3)^2=x^2+ax + 9，所以a = 6。
2. 若(m - n)^2=16，m^2 + n^2=20，求mn的值。
- 解析：- 由完全平方公式(m - n)^2=m^2-2mn + n^2，已知(m - n)^2 = 16，即m^2-2mn + n^2=16。
- 又已知m^2 + n^2=20，将其代入m^2-2mn + n^2=16中，得到20-2mn = 16。
- 移项可得-2mn=16 - 20=-4，解得mn = 2。
完全平方公式及其变形公式
完全平方公式及其变形公式好的，以下是为您生成的文章：在咱们数学的世界里，有这么一对神奇的公式，就像一对默契十足的好伙伴，时刻准备着帮咱们解决各种各样的难题，它们就是完全平方公式及其变形公式。
还记得我读中学那会，有一次数学考试，最后一道大题就是用完全平方公式来解题。
当时我看着那道题，心里就像揣了只小兔子，怦怦直跳。
题目是这样的：已知一个正方形的边长增加了 3 厘米，面积就增加了 39 平方厘米，求原来正方形的边长。
我一开始有点懵，这可咋办呀？但静下心来一想，这不就是完全平方公式的用武之地嘛！咱们先设原来正方形的边长为 x 厘米，那么边长增加 3 厘米后，新正方形的边长就是 (x + 3) 厘米。
根据正方形面积公式，原来正方形的面积是 x²平方厘米，新正方形的面积就是 (x + 3)²平方厘米。
因为面积增加了 39 平方厘米，所以可以列出方程：(x + 3)² - x² = 39。
接下来就是完全平方公式大显身手的时候啦！(x + 3)²展开就是 x² + 6x + 9，代入方程就得到 x² + 6x + 9 - x² = 39 ，化简一下，6x + 9 = 39 ，再解这个方程，6x = 30 ，x = 5 。
哎呀，当算出答案的那一刻，我心里那叫一个美呀，就像大热天吃了根冰棍儿，爽极了！那咱们先来好好认识一下完全平方公式吧。
完全平方公式有两个：(a + b)² = a² + 2ab + b²，(a - b)² = a² - 2ab + b²。
这两个公式看起来有点复杂，其实就像搭积木一样，把各项按照规则拼在一起就行。
比如说 (a + b)²，就是先把第一个括号里的 a 和 b 分别平方，得到a²和 b²，然后再把 a 和 b 相乘，乘 2 ，得到 2ab ，最后把它们加起来，就是 a² + 2ab + b²啦。
完整版)完全平方公式变形公式专题
完整版)完全平方公式变形公式专题半期复（3）——完全平方公式变形公式及常见题型一、公式拓展：拓展一：$a+b=(a+b)^2-2ab$a-b=(a-b)^2-2ab$拓展二：$(a+b)-(a-b)=4ab$a+b)=(a-b)+4ab$拓展三：$a+b+c=(a+b+c)-2ab-2ac-2bc$拓展四：杨辉三角形a+b)^2=a^2+2ab+b^2$a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$拓展五：立方和与立方差a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$二、常见题型：一）公式倍比已知$a+b=4$，求$\frac{a^2+b^2}{2ab}$ 1）$x+y=1$，求$x^2+xy+y^2$2）已知$x(x-1)-(x-y)=-2$，求$x^2-y^2$ 二）公式变形1）设$(5a+3b)^2=(5a-3b)^2+A$，求$A$2）若$(2a-3b)=(2a+3b)+N$，求$N$3）如果$(x-y)+M=(x+y)$，求$M$4）已知$(a+b)=m$，$(a-b)=n$，求$ab$5）若$(2a-3b)=(2a+3b)+N$，求$N$的代数式三）“知二求一”1.已知$x-y=1$，$x^2+y^2=25$，求$xy$的值2.若$x+y=3$，$(x+2)(y+2)=12$，求$xy$和$x^2+3xy+y^2$的值3.已知$x+y=3$，$xy=-8$，求$x^2+y^2$和$(x^2-1)(y^2-1)$的值4.已知$a-b=3$，$ab=2$，求$(a+b)^2$和$a^2-6ab+b^2$的值四）整体代入例1：已知$x-y=24$，$x+y=6$，求$5x+3y$的值例2：已知$a=x+20$，$b=x+19$，$c=x+21$，求$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$的值⑴若$x-3y=7$，$x-9y=49$，求$x+3y$的值⑵若$a+b=2$，求$a-4b$的值⑶已知$a^2+b^2=6ab$且$a>b$，求$a+b$的值已知$a=2005x+2004$，$b=2005x+2006$，$c=2005x+2008$，则代数式$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$的值为：begin{aligned}a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca&=(2005x+2004)^2+(2005x+2006)^2+(2005x+2008)^2\\ quad-(2005x+2004)(2005x+2006)-(2005x+2006)(2005x+2008)-(2005x+2008)(2005x+2004)\\ 3\cdot(2005x)^2+3\cdot2\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2 +2008^2)-3\cdot(2004\cdot2006+2006\cdot2008+2008\cdot2004)\\ 3\cdot2005^2x^2+6\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2+2008 ^2)-3\cdot(2004+2006+2008)^2+3\cdot(2004^2+2006^2+2008^2)\\ 3\cdot2005^2x^2+6\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2+2008 ^2)-3\cdot2018^2+6\cdot(2004^2+2006^2+2008^2)\\10\cdot(2005^2x^2+2005)+10\cdot(2004^2+2006^2+2008^2) -3\cdot2018^2\\10\cdot(2005^2x^2+2005)+10\cdot(2005^2-1)-3\cdot2018^2\\10\cdot2005^2x^2+10\cdot2005^2-10\cdot2005+10\cdot2005^2-10-3\cdot2018^2\\10\cdot2005^2x^2+20\cdot2005^2-10\cdot2005-3\cdot2018^2-10\\end{aligned}五）杨辉三角观察杨辉三角（1），发现每个数都是上面两个数之和，可以得到如下规律：a+b)^1=a+b$$a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$$根据规律，$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6 $。
完全平方公式知识讲解
完全平方公式知识讲解首先，让我们来看一个简单的例子，以帮助我们理解完全平方公式的原理和应用。
假设我们要求解方程x²+6x+9=0的根。
我们可以使用完全平方公式将其转化为一个完全平方的形式。
进一步展开左边的表达式，我们可以发现它可以写成一个完全平方的形式，即(x+3)²=0。
这个方程的解可以直接得到为x=-3通过这个例子，我们可以看到完全平方公式的使用，并且可以发现这种转化后的形式更容易求解。
接下来，我们来推导一下完全平方公式的原理。
假设我们有一个二次方程x² + bx + c = 0。
我们可以利用完全平方公式将其转化为一个完全平方。
首先，我们可以将方程写成一个完全平方加上一个常数：x² + bx + c = (x + d)² + e。
展开右边的表达式，我们可以得到x² + 2dx + d² + e = x² + bx + c。
通过对比系数，我们可以得到2d=b，d²+e=c。
根据第一个等式，我们可以解出d=b/2将d带入第二个等式，我们可以得到(b/2)²+e=c，将e移项得到e=c-(b/2)²。
综上所述，我们可以轻松地将一个二次方程转化为一个完全平方加上一个常数的形式。
此外，使用完全平方公式还可以帮助我们更好地理解二次函数的性质。
二次函数的图像是一个抛物线，而完全平方公式可以将其转化为一个完全平方，从而更清晰地展示出抛物线的特性，如顶点、对称轴等。
在工程学和物理学等应用中，完全平方公式也有重要的作用。
例如在机械结构设计中，我们可以利用完全平方公式求解最小的轴心距离，以保证结构的稳定性。
总之，完全平方公式是一种重要的数学工具，它不仅可以帮助我们更快地求解平方根，还可以简化计算过程，帮助我们更好地理解数学和解决实际问题。
通过熟练掌握和灵活运用完全平方公式，我们可以更高效地解决数学问题，并在学习和工作中取得更好的成绩和效果。
完全平方公式6种变形
完全平方公式6种变形在学习数学的过程中，学生们会遇到完全平方公式。
它是一种经典的数学概念，可以通过数学运算容易地计算出一个数的完全平方值。
本文将对完全平方公式的六种变形进行详细讨论。
首先，什么是完全平方公式？它是一种描述数的完全平方的特定的数学结构。
例如，完全平方公式为：(x + y)2 = x2 + 2xy + y2。
它表明，通过将一个数的完全平方和两个数伴随的系数相乘，就可以得到一个数的完全平方。
其次，完全平方公式有六种变形，它们分别是：1.方差公式：(x - y)2 = x2 - 2xy + y22.方和公式：(x + y)2 = x2 + 2xy + y23.方和差的和：(x + y)(x - y) = x2 - y24.方和差的差：(x - y)(x + y) = x2 + y25.方差和的和：(x - y)[2xy = x2 + y26.方差和的差：(x - y)[2xy = x2 - y2第一种变形就是平方差公式。
它表明，只要x和y值相减，系数相乘就可以得到两数之间的平方差值。
第二种变形是平方和公式，它表明，只要x和y值相加，系数相乘就可以得到两数之间的平方和值。
第三种变形是平方和差的和，它表明，当x与y的和乘以x与y的差时，就可以得到平方和差的和。
第四种变形是平方和差的差，它表明，当x与y的差乘以x与y的和时，就可以得到平方和差的差。
第五种变形是平方差和的和，它表明，当x与y的差乘以2xy时，就可以得到平方差和的和。
最后，第六种变形是平方差和的差，它表明，当x 与y的差乘以2xy时，就可以得到平方差和的差。
完全平方公式是一种经典的数学概念，熟练掌握它的变形是很重要的，能够帮助我们计算出一个数的完全平方值，使我们更快地解决数学问题。
因此，我们需要努力掌握和练习完全平方公式的六种变形，这样才能更好地学习数学。
在数学学习中，完全平方公式有六种变形，它们分别是：平方差公式、平方和公式、平方和差的和、平方和差的差、平方差和的和以及平方差和的差。
《完全平方公式》 知识清单
《完全平方公式》知识清单一、完全平方公式的定义完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识工具，有两个：1、两数和的完全平方公式：（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²2、两数差的完全平方公式：（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²这两个公式可以合写成一个公式：（a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋ b²二、完全平方公式的特征1、左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。
2、右边第一项是左边二项式中第一项的平方，第二项是左边二项式中两项乘积的 2 倍，第三项是左边二项式中第二项的平方。
3、公式中的字母 a、b 可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
三、完全平方公式的推导我们可以通过多项式乘法来推导完全平方公式。
以两数和的完全平方公式为例：＼＼begin{align}（a ＋ b)²&＝（a ＋ b)（a ＋ b)＼＼＆＝a×a ＋ a×b ＋ b×a ＋ b×b\＼＆＝a²＋ 2ab ＋ b²＼end{align}＼同理，对于两数差的完全平方公式：＼＼begin{align}（a b)²&＝（a b)（a b)＼＼＆＝a×a a×b b×a ＋ b×b\＼＆＝a² 2ab ＋ b²＼end{align}＼四、完全平方公式的常见变形1、 a²＋ b²＝（a ＋ b)² 2ab2、 a²＋ b²＝（a b)²＋ 2ab3、（a ＋ b)²＝（a b)²＋ 4ab4、（a b)²＝（a ＋ b)² 4ab这些变形公式在解题时非常有用，可以根据具体题目条件灵活选择使用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
完全平方式
能够还原成(a±b)2的代数式叫做完 全平方式
一个数如果是另外一个数的平方， 那么这个数叫做平方数
完全平方式
完全平方式
（ 1） 已 知 ， x2 ax 16是 完 全 平 方 式 ， 则a _______。 （2） 已 知 ，4 x 2 kxy 25 y 2是 完 全 平 方 式 ， 则k ___________。 (3)x2 12x m是完全平方式,则m ____ (4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式
a2
1 a2
(a 1)2 2进行运算。 a
解：由 a2
a a
Hale Waihona Puke 16，可知a0，因此可得
1 a2 a 1 a 1 1 ，
6
a
a
a 1 5。 a6
a4
a2 a2
1
a2
1 1
1
(a
1 1)2
1
1 ( 5)2
36 1 11
3 3 。 11
a2
a
6
• 1、已知 m 2 n 2 6 m 1 n 3 0 0 4 ，求m+n
例2 计算 （1）(ab1 )a (b1 )
（2）.(m2np)2
例3 当 a 1 ,b 1 时 ( 3 a ， 2 b )3 a ( 2 求 b ) ( a 2 b ) 2
的值.
例4 求证：当n为整数时，两个连续奇数的 平方差 (2n1)2(2n1)2是8的倍数.
例5 解不等式 (3 x 4 )3 ( x 4 ) 9 (x 2 )2
• 练一练
• 1.已知 (ab)5,ab3求 (a b)2 与 3(a2 b2)
的值。
2．已知 ab6,ab4求 a b 与 a 2 b 2 的值。
3.已知 ab4,a2b24 求a 2 b 2 与 ( a b ) 2 的值.
4.已知 (ab)2 80(ab)2 60求 a 2 b 2 及ab的值
例六：( 2 1 ) ( 2 2 1 ) ( 2 4 1 ) ( 2 8 1 ) ( 2 1 1 6 ) ( 2 3 1 2 ) 1
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！ 谢谢!
（ 2） 则k
已_知__，_4_x完___全k_x_y_平。2方5 y式是 完
全
平
方
式
，
(3)x2 12x m是 完 全 平 方 式,则 m ____
(4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式
可 以 添 加 ____________.
完全平方式
完全平方式
完全平方式
则 a ______完_ 。全平方式
（2） 已 知 ，4 x 2 kxy 25 y 2是 完 全 平 方 式 ， 则k ___________。 (3)x2 12x m是完全平方式,则m _____ . (4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式 ， 可 以 添 加 ____________.
则 x2 y2 ________。 （ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16
则 xy ________。
则 x 2 y 2 公 _式_ _变_ _形_ _的_ 。应用
（ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16, 则 xy ________。
公式变形的应用
（ 1） 已 知 a b 1, ab 2, 则 a2 b2 ________。
（ 2） 已 知 x y 9, xy 8, 则 x2 y2 ________。
（ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16, 则 xy ________。
则 a 2 公 b式2 变 形_ _的_ _应_ _用_ _ 。 （ 2） 已 知 x y 9, xy 8,
证明：x, y不论是什么有理数, 多项式x2+y2 4x8y25的值 总是正数。并求出它的最小值。
完全平方式
计算
①(a+b+3)2
② (2x-y-1)2
三个数和的完全平方等于这三个数的平 方和，再加上每两数乘积的2倍。
例 2已 知 a 2 a a 1 6 ， 试 求 a 4 a a 2 2 1 的 值 。
的值
2.已知 x2y24x6y130，x,y都是有理数，求
x y的值
4.说明不论x,y取何值，代数式 x2y26x4y15
的值总是正数. 5已知 x2y22x4y50求 1 (x 1)2 xy 的值。
2
6.已知a+b=－6，ab=8，求（1）a2 b2 ；（2）(ab)2
7.已知：a+b=8，ab=16+ c 2 ，求的值 (abc)2002
完全平方公式变形讲解
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
首平方，尾平方， 2倍 首尾 放中央
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
a2+b2= (a+b)2-2ab (a-b)2+2ab
(a+b)2-(a-b)2= 4ab
公式变形的应用
1.已知 x 1 6
x
，求
x2
1 x2
的值。
2.已知 x23x10，求
（1）
x2
1 x2
（2）
x3
1 x3
（3）
x4
1 x4
平方差公式、完全平方公式应用例说
例1 计算（1） (ab 1)a ( b 1)
（2） (2x3)2 (x3)
（3）102 2 2 2 . （4） 99 2
例题：
求：