完全平方公式变形公式专题
知识专题3_完全平方公式的变形
《小专题完全平方公式的变形》
——教材P112习题T7的变式与应用教材母题：（教材P112习题T7）已知，求的值.
【变式1】（淄博中考）若，则=（）
A.2
B.1
C.-2
D.-1
【变式2】（乐山中考）已知实数满足，则=（）
A.1
B.-
C.
D.
【变式3】已知，则_________.
【变式4】阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式
，通过配方可对进行适当的变形，如
或.
（1，则的值为_________.
（2）已知，求的值.
针对训练
1.已知都是正数，，则（）
A.-3
B.3
C. 3
D.9
2.已知.
（1）求的值.
（2）若，求的值.
3.已知，求的值.
4.（1）请同学们观察用硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，写出一个代数恒等式：
（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①若m+n=8，mn=12，求m-n的值：
②已知，请利用上述等式求mn.
参考答案
教材母题
解：即
【变式1】B.
【变式2】C
【变式3】25
【变式4】解：(1)
.
针对训练
1.B
2.解：(1) .
.
3.解：
.
4.解：（2）①m-n=4或-4.②mn= 1.。
完全平方公式变形练习题
求223a b +与2()a b -的值。
的值。
4 4．已知．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。
的值。
5 5．已知．已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。
的值。
6.6.已知已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。
的值。
7.7.已知已知已知((a +b)2=60=60，，(a -b)2=80=80，求，求a 2+b 2及a b 的值的值8.8.已知已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值。
的值。
完全平方公式变形练习题1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值的值2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是都是有理数有理数，求yx 的值。
3．已知．已知 2()16,4,a b ab +==9.9.已知已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --的值。
的值。
10.10.已知已知16x x -=，求221x x+的值。
的值。
11.0132=++x x ，求（，求（11）221x x +（2． B ．C ．D ．2．下列式子：①②③④中正确的是（中正确的是（ ）A ．①．①B B B．①②．①②．①②C C C．①②③．①②③．①②③D D D．④．④．④3．（ ））441x x +12.12.试说明不论试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
13.13.已知已知已知三角形三角形 ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足满足等式等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？，请说明该三角形是什么三角形？一、选择题一、选择题１．下列各式中，能够成立的等式是（１．下列各式中，能够成立的等式是（ ）．）．AA ．B B．．C C．．D ．4．若 ，则M 为（为（ ）．）．A ．B B．．C C．．DD．．5． B B．．C C．．D D．以上都不对．以上都不对．以上都不对6．DD．．7，则（ ）A ．B B．．C C．．DD．．8．下列多项式不是完全平方式的是（．下列多项式不是完全平方式的是（ ）．）．A ．B B．．C C．．D D．．9①②③④A ．①．①B B B．①②．①②．①②C C C．①②③．①②③．①②③D D D．①②③④．①②③④．①②③④ 二、填空题二、填空题 1． 2 2．．3 3．． 44．．5．66．．7 7．．．一个．一个正方形正方形的边长为 ，若边长增加，则新正方形的，则新正方形的面积面积人增加了（人增加了（ ）．）． A ．如果是一个是一个完全平方公式完全平方公式，那么a 的值是（的值是（ ）．）． A ．2 B 2 B．－．－．－2 C 2 C ．若一个．若一个多项式多项式的平方的结果为 ．已知 ，则下列，则下列等式等式成立的是（成立的是（ ）8）（（2）（3）（（4） （（2） ；（3）（（4） ．3．计算：．计算：（1）． ； （2）． （3）．；（4）．（5）；（6）（7）；（8）．三、解答题三、解答题1．运用．运用完全平方公式完全平方公式计算：计算：（1）2．运用．运用乘法乘法公式计算：公式计算： （1。
初中数学 完全平方公式的五种常见应用举例
完全平方公式的五种常见应用举例完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明.一、正用根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22(23)m m -- 分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22[(2)3]m m =--222(2)6(2)9m m m m =---+4322446129m m m m m =-+-++43242129m m m m =--++思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用将公式逆向使用，即由右向左套用.例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( )222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2c a -=∴222a b c ab bc ac ++---2221(222222)2a b c ab bc ac =++---2222221(222)2a ab b b bc c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+3=应选D.三、正逆联用根据已知条件和待求式特征，有正用、又逆用，即综合运用.例3 (全国初中数学竞赛试题)已知，且，则21()()()4b c a b c a -=--0a ≠b c a +.= 分析 欲求的值，则需要明与之间的等量关系.而题目中的已知条件刚好就b c a+b c +a 是、、之间的关系式，于是将条件等式进行化简变形，明确与之间的关系，a b c b c +a 应该是一条即常规又恰当的选择.解 由已知，得2()4()()b c a b c a -=--22224444b bc c ac bc ab a ∴-+=-+-2222(44)40b bc c ab ac a ∴++-++=22()4()40b c a b c a ∴+-++=把和分别看成一个“整体”，再逆用完全平方公式，得b c +2a 2[()2]0b c a +-=，20b c a ∴+-=2b c a+=.22b c a a a+∴== 四、特例应用在完全平方公式中，如果，那么222()2a b a ab b +=++0ab =222()a b a b+=+反之，若，则一定有.222()a b a b +=+0ab =例5 若满足，则.n 22(2017)(2019)4n n -+-=(2019)(2017)n n --= 分析 若设，，则很容易验证，这正好2017n a -=2019n b -=222()a b a b +=+符合上面完全平方公式特例.据此，本题迎刃而解.解 设，，2017n a -=2019n b -= 则，2()4a b +=又已知224a b +=∴222()a b a b+=+于是0ab =∴(2019)(2017)n n --=(2017)(2019)n n --0ab ==五、变形应用由完全平方公式，易得如下的两个最常见的变形公式:222()2a b a ab b ±=±+①2222()2()2a b a b ab a b ab+=+-=-+②22()()4a b a b ab-=+-(或)221[()()]4ab a b a b =+-- 活用上面变形公式，常常会使问题化难为易，取得奇妙的解题效果。
完全平方公式30道题
完全平方公式30道题一、完全平方公式基础计算（10道题）1. 计算(a + 3)^2解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a=a，b = 3。
所以(a+3)^2=a^2+2× a×3 + 3^2=a^2 + 6a+9。
2. 计算(x 5)^2解析：根据完全平方公式(a b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a=x，b = 5。
所以(x 5)^2=x^2-2× x×5+5^2=x^2-10x + 25。
3. 计算(2m+1)^2解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 2m，b=1。
所以(2m + 1)^2=(2m)^2+2×2m×1+1^2=4m^2 + 4m+1。
4. 计算(3n 2)^2解析：根据完全平方公式(a b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 3n，b = 2。
所以(3n-2)^2=(3n)^2-2×3n×2+2^2 = 9n^2-12n + 4。
5. 计算(a + b)^2，其中a = 2x，b=3y解析：先将a = 2x，b = 3y代入完全平方公式(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，得到(2x+3y)^2=(2x)^2+2×2x×3y+(3y)^2=4x^2 + 12xy+9y^2。
6. 计算(m n)^2，其中m = 5a，n=2b解析：把m = 5a，n = 2b代入完全平方公式(a b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 5a，b = 2b，所以(5a-2b)^2=(5a)^2-2×5a×2b+(2b)^2=25a^2-20ab + 4b^2。
7. 计算(4x+3)^2解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 4x，b = 3。
完全平方公式的五种变式
完全平方公式的五种变式《完全平方公式的五种变式》完全平方公式可以让我们更轻松地解算出方程，它的表达形式是a^2+2ab+b^2=c^2，在几何学中被广泛应用。
它是研究直角三角形内比例数学关系、特别是勾股定理和其他定理的基础。
完全平方公式有五种不同的变式，这些变式拥有不同的应用。
首先，原式完全平方形式。
它的正式表达是a^2+2ab+b^2，它展示了两个乘积的累加，这也就是它的名字。
它被用于错角比方程中，由错角定理可知，一个错角必有三个对边，这三个对边可由它推出。
其次，一元二次函数形式。
它是最常用的变式，表达式如下：y=ax^2+2bx+c，其中a、b、c为实数。
它常被用于物理领域，特别是电磁领域，比如连接变压器、引力等等。
下一个变式是极坐标变形。
它的表达式是r=a(cosθ+sinθ)，其中r是极坐标原点，θ是极角，a是椭圆的长半轴。
它可以用来表示二维坐标系内的椭圆，因为椭圆是由它来表达的。
第四种变式是矩阵形式。
它可以用矩阵表达式来构造。
举例来说，可以表示为A^2+2AB+B^2=C^2，这里A、B、C是一组矩阵。
它常用于矩阵的运算，用于求解方程组。
最后，齐次二次方程变形。
它的表达式是ax^2+2bx+c=0，其中a、b、c是常数。
由此可知，这种变形主要用于求解二元齐次方程，可以非常有效的解决二元的齐次方程。
总之，完全平方公式的五种变式是非常重要的，它们可以用于不同的应用领域，比如研究三角形内比例数学关系、一元二次函数、极轴变形、矩阵运算和齐次二次方程求解等。
完全平方公式的变形及其应用
完全平方公式的变形及其应用完全平方公式的变形及其应用多项式乘法的完全平方公式的变形形式很多，且应用广泛。
下面结合例题，介绍完全平方公式的变形及其应用。
一、变式1：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，移项，得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$。
例1：已知$x+y=5$，$xy=2$，求下列各式的值：（1）$x^2+y^2$；（2）$x^4+y^4$。
解：由变式1，得（1）$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-2\times2=21$；（2）$x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=21^2-2\times4=433$。
二、变式2：$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$这是因为：由$(a-b)=a^2-2ab+b^2$，移项，得$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$。
例2：已知$a-\sqrt{11}=5$，求$a^2+11$的值。
解：由变式2，得$a^2+11=\left(a-\sqrt{11}\right)^2+2\sqrt{11}=5^2+2\sqrt{11}=27$。
三、变式3：$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，得$2ab=(a+b)-\left(a^2+b^2\right)$，两边同除以2，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$。
例3：已知$a+b=7$，$a^2+b^2=29$，求$ab$的值。
解：由变式3，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{7^2-29}\right)=10$。
七下完全平方公式变形
完全平方公式是初中数学中的一个重要概念，它描述了一个二项式的平方的展开形式。
在七年级下册的数学学习中，我们通常会接触到完全平方公式的变形和应用。
下面，我将就完全平方公式的变形进行详细的阐述。
首先，我们来回顾一下完全平方公式的基本形式。
对于一个二项式a+b或a-b的平方，其展开形式分别为(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab+b²。
这两个公式揭示了二项式平方后各项系数之间的关系。
接着，我们来探讨完全平方公式的变形。
变形通常涉及到对公式中的各项进行重新组合或调整，以适应不同的解题需求。
例如，我们可以将公式中的2ab项拆分为两个相等的部分，得到(a+b)²=a²+b²+2ab。
这样的变形有助于我们更直观地理解公式中各项之间的关系，并方便我们在解题时进行运用。
除了对公式本身的变形外，我们还需要关注完全平方公式在实际问题中的应用。
在实际问题中，我们往往需要根据题目的要求，对公式进行适当的变形和调整。
例如，在求解某个代数式的值时，我们可能需要将给定的代数式转化为完全平方的形式，然后利用完全平方公式进行计算。
在变形和应用完全平方公式的过程中，我们需要注意以下几点：首先，要熟练掌握公式的基本形式；其次，要理解公式中各项的意义和作用；最后，要根据题目的要求灵活运用公式进行变形和计算。
总之，完全平方公式的变形是七年级下册数学学习的重要内容之一。
通过掌握公式的基本形式和变形方法，我们可以更好地理解和应用完全平方公式，提高解题能力。
同时，我们也需要不断练习和巩固所学知识，以便在实际问题中能够灵活运用完全平方公式进行解题。
完全平方公式的变形
完全平方公式的变形引言在代数学中，完全平方公式是一种常见的代数公式，经常被用于求解二次方程方程、因式分解和展开式化简等问题。
本文将介绍完全平方公式的变形，以及其在求解问题中的应用。
完全平方公式的基本形式完全平方公式是指将一个二次多项式写成平方的形式，其基本形式为：(a+b)2=a2+2ab+b2其中，a和b是任意实数或复数。
完全平方公式的变形完全平方公式还可以通过变形，得到其他形式的公式。
下面将介绍几种常见的变形形式。
1. 差平方公式差平方公式是一种完全平方公式的变形形式，其表达式为：(a−b)2=a2−2ab+b2与完全平方公式的基本形式相比，差平方公式仅改变了中间项的符号。
2. 平方差公式平方差公式是一种完全平方公式的变形形式，其表达式为：a2−b2=(a+b)(a−b)平方差公式可以将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。
这在因式分解和展开式化简中经常被使用。
3. 求解二次方程完全平方公式的变形形式还可以应用于求解二次方程。
对于一般的二次方程ax2+bx+c=0，可以通过完全平方公式进行变形，得到以下形式：a(x−ℎ)2+k=0其中，ℎ和k是待求解的常数。
通过移项、配方等运算，可以进一步求解出x的值。
完全平方公式的应用举例完全平方公式的变形形式在数学问题的求解中具有广泛的应用。
下面将通过几个具体例子来说明其应用。
例1：求解二次方程考虑二次方程x2−6x+9=0。
通过观察可得，该方程可以表示为(x−3)2=0的形式。
根据完全平方公式的变形形式，可知x−3=0，从而解得x=3。
这个例子展示了将二次方程转化为完全平方公式的变形形式，从而更容易求解方程的过程。
例2：因式分解考虑多项式x2−4。
根据平方差公式，可将其因式分解为(x+2)(x−2)。
这个例子展示了平方差公式在因式分解中的应用。
例3：化简展开式考虑展开式(x−2)3=x3−6x2+12x−8。
通过完全平方公式的变形形式，可以将其化简为一个较简单的形式。
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...
...
半期复习（ 3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型
一．公式拓展：
2
a2 b2 (a b)2 2ab
2 2
拓展一：
a b (a b) 2ab
1 1 2 1 1
2
2
2
a (a ) 2 a (a ) 2
2 2
a a a a
2
a b 2 a b 2 2a2 2b
2
2
拓展二：
(a b) (a b) 4ab
2 2
(a b)2 (a b)2 4ab
(a b) (a b) 4ab
2 2 2 2
拓展三：
a b c (a b c) 2ab 2ac 2bc
拓展四：杨辉三角形
3 3 2 3 2
3 3
(a b) a a b ab b
...
...
4 4 4 3 6 2 2 4 3 4
(a b)
a a b a b ab b
拓展五： 立方和与立方差
3
b a b a ab b
3 2 2 3
b3 a b a ab b
2 2
a ( )( ) a ( )( )
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...
...
二．常见题型：
（一）公式倍比
2 2
a b
例题：已知 a b =4，求
ab
2
。
1 1
(1) x y 1，则
2 2
x xy y = 2
2
2 2
x y
2
) 2
(2) 已知
x x x y ， xy
( 1) ( 则
=
２
( 二）公式变形
(1) 设（5a＋3b）2=（5a－3b）2＋A，则 A=
2 2
(2) 若
( x y) ( x y) a
，则 a 为
(3) 如果
2
( )
2
(x y) M x y
，那么 M等于
(4) 已知(a+b)
2=m，(a —b) 2
=n，则 ab 等于
2
(2 3 )
2
(
，则 N的代数式是
(5)
若
2a b a b N
3 )
（三） “知二求一 ”
1．已知 x﹣y=1，x
2+y2
=25，求 xy 的值．
2．若 x+y=3 ，且（ x+2）（y+2）=12．
（1）求 xy 的值；
2+3xy+y 2
的值．
（2）求 x
...
...
3．已知： x+y=3 ，xy=﹣8，求：
2+y2
（1）x
（2）（x
2﹣1）（y2
﹣1）．
第 2 页（共 5 页）
...
...
4．已知 a﹣b=3，ab=2，求：
2
（1）（a+b）
（2）a
2﹣6ab+b2
的值．
（四）整体代入
2
y
2
例 1
： x 24，
x y 6，求代数式 5x 3y
的值。
例 2：已知 a=
1 20 x＋20，b= 1 20 x＋19，c= 1
20
2＋b2＋c2
－ab－bc－ac 的值
x＋21，求 a
2
y
2
⑴若 x 3y 7,x 9 49，则
x 3y
=
2 2 ⑵若 a b 2 ，则 a b 4b 2
= 若 a 5b 6，则
a 5ab 30b
=
⑶已知 a
2＋b2
=6ab 且 a＞b
＞0，求
2＋b2
=6ab 且 a＞b＞0，求
a
a b b
的值为
⑷ 已 知 a 2 0 0x5 2 0 0 4， b 2005 x 2006 ， c 2005 x 2008 ， 则 代 数 式
2 2 a b 2
c
ab bc ca
的值是 ．
（五）杨辉三角
请看杨辉三角（ 1），并观察下列等式（ 2）：
...
...
6
= ．
根据前面各式的规律，则（ a+b）
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...
...
（六）首尾互倒
2 2
﹣6m﹣1=0，求 2m ﹣6m+ = ．
1．已知 m
2．阅读下列解答过程：
2
已知： x≠0，且满足 x ﹣3x=1 ．求： 的值．
2 2
解：∵ x ﹣3x=1，∴ x ﹣3x﹣1=0
∴ ，即 ．
2
+2=11． ∴ =
=3
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知 a≠0，且满足（ 2a+1）（1﹣2a）﹣（ 3﹣2a）
2+9a2
=14a﹣7，
求：（1） 的值；（2） 的值．
（七）数形结合
1．如图（ 1）是一个长为 2m，宽为 2n 的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，
然后按图（ 2）形状拼成一个正方形．
（1）你认为图（ 2）中的阴影部分的正方形边长是多少？
（2）请用两种不同的方法求图（ 2）阴影部分的面积；
（3）观察图（ 2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
三个代数式： （m+n）
2，（m﹣n）2
，mn．
（4）根据（ 3）题中的等量关系，解决下列问题：若 a+b=7，ab=5，求（ a﹣b）2 的值．
2．附加题： 课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形的面积来表示的， 例如：（2a+b）
2+3ab+b2
就可以用图 1 或图 2 的面积来表示．
（a+b）=2a
...
...
第 4 页（共 5 页）
...
...
（1）请写出图 3 图形的面积表示的代数恒等式；
2
2
． （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（ a+b）（a+3b）=a
+4ab+3b
（八）规律探求
15．有一系列等式：
1×2×3×4+1=5
2=（12+3×1+1） 22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32
+3×3+1）
2 2
2 2
4×5×6×7+1=29 =（4 +3×4+1） ⋯
（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出 8×9×10×11+1 的结果
（2）试猜想n（ n+1）（n+2）（n+3） +1 是哪一个数的平方，并予以证明．
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