初中数学完全平方公式的变形与应用
七年级数学下册《完全平方公式的探索与简单应用》优秀教学案例
（二）讲授新知
1.教师讲解完全平方数的定义，引导学生了解完全平方数的特点，如：它是某个整数的平方，且它的因数都是成对出现的。
2.通过具体例子，如1²、2²、3²等，让学生观察并总结完全平方数的结构特征。
3.小组合作，促进学生沟通与合作
本案例注重小组合作学习，让学生在小组内共同探讨问题、分享想法。这种教学策略有助于培养学生团队合作精神，提高他们的沟通与协作能力。同时，小组合作学习也为学生提供了互相学习、互相启发的机会，有利于提高他们的学习效果。
4.反思与评价，关注学生个体差异
在本案例中，教师引导学生进行自我反思和互相评价，使学生在反思中总结经验，在评价中学会欣赏他人。同时，教师关注学生的个体差异，给予针对性的指导，激发学生的学习兴趣和自信心。
小组合作是本章节教学的重要策略。教师将根据学生的认知水平和个性特点，合理分组，确保每个学生都能在小组中发挥自己的优势。在小组合作过程中，学生将共同探讨问题，分享想法，互相启发，共同解决问题。这种教学策略有助于培养学生团队合作精神，提高他们的沟通与协作能力。
（四）反思与评价
在教学过程中，教师将引导学生进行自我反思，总结自己在学习完全平方公式过程中的收获与不足。同时，教师将组织学生进行互相评价，鼓励他们客观、公正地评价他人的学习成果，学会欣赏他人的优点，并提出建设性的意见。
五、案例亮点
1.生活化情景导入，激发学生学习兴趣
本案例从学生熟悉的生活情景出发，以公园草地面积为背景，引出完全平方公式的学习。这种导入方式贴近学生生活，易于激发学生的学习兴趣和探究欲望，使他们感受到数学与生活的紧密联系。
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式是指一个二次三项式可以表示为一个完全平方的形式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c，如果可以写成形式(a ± b)^2，那么它就是一个完全平方。
完全平方公式可以用来因式分解一元二次方程，也可以用来求解一元二次方程的根。
完全平方公式可以表示为，(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
这个公式可以帮助我们将一个二次三项式写成一个完全平方，从而更容易地进行因式分解或求解方程。
从代数的角度来看，完全平方公式是二次多项式的一个重要性质。
它可以帮助我们理解二次多项式的因式分解和根的性质。
当我们遇到一个二次多项式时，可以通过完全平方公式来判断它是否可以因式分解为两个一次多项式的平方。
从几何的角度来看，完全平方公式可以帮助我们理解平方的几何意义。
一个完全平方可以表示为一个正方形的面积，其中边长为(a ± b)。
这有助于我们直观地理解完全平方的概念，以及它在代数中的应用。
从应用的角度来看，完全平方公式在物理、工程等领域也有广
泛的应用。
例如，在物理学中，完全平方公式可以用来分析二次函数的最值和零点，从而帮助我们理解物体的运动规律和力学性质。
总的来说，完全平方公式是代数中一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解二次多项式的性质，还可以应用到实际问题中去。
通过多个角度的理解和应用，我们可以更好地掌握完全平方公式的概念和用法。
人教版初中数学八年级上册14.2.2完全平方公式教案
《完全平方公式》教案【教学目标】1.知识与技能（1）经历完全平方公式的探索及推导过程，掌握完全平方公式的结构特征并能熟练应用。
（2）学会将多项式进行添括号的变形。
2.过程与方法通过观察、操作、交流等活动发展空间观念和推理能力。
3.情感态度和价值观通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。
【教学重点】完全平方公式及其它的应用。
【教学难点】完全平方公式的应用。
【教学方法】引导发现，启发讨论相结合的教学方法【课前准备】教学课件。
【课时安排】1课时【教学过程】一、复习导入【过渡】上节课我们学习了平方差公式，大家能快速说出什么是平方差公式吗？(a+b)(a-b)=a2-b2【过渡】接着，我们来进行几道简单的计算，复习一下这个公式吧。
（1）(3+2a)(-3+2a)（2）(b2+2a3)(2a3-b2)（3）(-4a-1)(4a-1)【过渡】大家计算的都很快而且准确，看来大家已经掌握了平方差公式。
今天，我们就接着学习另一个公式——完全平方公式。
二、新课教学1．完全平方公式【过渡】首先，我们来看一下课本的探究内容。
你能正确计算这几个式子吗？课件展示探究内容，引导学生思考。
【过渡】从这几个式子中，如果我们分别换成a和b，又能得到什么样的结果呢？探究：计算: (a+b)2, (a- b)2解：(a+b)2= (a+b) (a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2= (a-b) (a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2【过渡】由此，我们就可以得到我们需要的完全平方公式：(a+b)2= a2 +2ab+b2(a-b)2= a2 - 2ab+b2文字叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
【过渡】现在，老师想问大家一个问题，从这两个公式，你能总结出都有哪些特点吗？（1）积为二次三项式；（2）其中两项为两数的平方和；（3）另一项是两数积的2倍，且与左边乘式中间的符号相同。
完全平方公式在数学运算中的作用
完全平方公式在数学运算中的作用摘要：“完全平方公式”是初中数学中运用最广泛的公式，是代数运算的基础公式，在初中阶段的教学中具有重要地位，是进行代数运算与变形的重要知识基础。
运用这一公式可以迅速而简捷地计算出符合公式特征的多项式乘法的结果，不能乱套公式。
特别对于初学者来说，要通过具体的、学生易出错的例子让学生正确理解公式中的字母a和b的真正含义。
关键词：应用；基础公式；简捷；正确理解“完全平方公式”是初中数学中应用最广泛的公式，是代数运算的基础公式。
它在整式乘法、因式分解、分式运算及其他代数式的变形中起着十分重要的作用。
它是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容；它是让学生感悟换元思想，感受数学的再创造性的好教材。
在初中阶段的教学中具有重要地位。
所以对这个公式的教学要求很高，需要每一名学生都必须熟练掌握这个公式，从而灵活运用公式。
但是，许多学生在学习这个公式后，仍对其来源、形成过程理解不透彻，对其结构形式记忆模糊，并未深刻领悟到公式的本质。
作为整式的乘法公式，北师大版教科书把完全平方公式安排在整式的乘除这一章的第六节，前五节先让学生掌握整式乘法的各项法则，当学生熟练掌握多项式与多项式的乘法后，再让学生利用多项式乘法法则计算，从而推导完全平方公式，并由找规律得出公式的猜想，再通过几何面积验证方法来验证公式猜想的正确性，从而由代数探究及几何论证来得出公式.完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
运用这一公式可以迅速而简捷地计算出符合公式特征的多项式乘法的结果.但运用公式计算一定要看是否符合公式的特征，不能乱套公式。
特别对于初学者来说，要通过具体的、学生易出错的例子让学生正确理解公式中的字母a和b的真正含义。
在教学完全平方公式后反思学生中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式与；③运算结果中符号错误；④变式应用对初学者来说更难于掌握.现结合教授完全平方公式的实践经验对完全平方公式作如下解析：一、概念理解完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2这就是说，两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或者减去)它们的积的2倍，这个公式叫做乘法的完全平方公式．公式的结构特征：左边是二项式的完全平方，右边是三项式．如果左边二项式各项分别用首项、尾项代表，那么右边三项可以记作：首平方，尾平方，首尾2倍乘积写中央；积的符号由二式项系数符号来确定，二项式系数符号同号，则积的符号为正；二项式系数符号异号，则积的符号为负，平方项前面均为正号.在运用完全平方公式（a±b）2 = a2±2ab+b2解题时，应注意掌握公式中各项的特征，明确公式中的“两数”的意义.在公式中，字母a，b可以表示一个具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式.例如：在运用公式（a-b）2 = a2-2ab+b2计算(-2b2-5a)2时“-2b2”就是公式中的a，“5a” 就是公式中的“b”.二、把握运用公式四步曲1.“察”：计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式的形式，则应运用相应乘法法则进行计算．2.“导”：正确地选用完全平方公式，关键是确定式子中a、b分别表示什么数或式．3.“算”：注意每步的运算依据，即各个环节的算理.4.“验”：完成运算后学会检验，既回过头来再反思每步的计算依据和符号等各方面是否正确无误，又可通过多项式的乘法法则进行验算，确保万无一失.三、掌握运用公式常规四变1.变符号例1.运用完全平方公式计算：（1）；（2）；方法一：把两式分别变形为：再用公式计算.方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计算.方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算.2.变项数：例2.计算： .分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾.所以在运用公式时，可先变形为或[a+（b+c）] 或，再进行计算。
初中数学《完全平方公式》知识点归纳
初中数学《完全平方公式》知识点归纳初中数学《完全平方公式》知识点归纳完全平方公式是初中学习当中一个比较重要的知识点，今天极客数学帮就为大家总结了完全平方公式的知识点以及练习题。
帮助同学们学习、掌握完全平方公式的知识内容。
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
（a b）2=a 2ab b ，（a-b）2=a -2ab b 。
（1）公式中的a、b可以是单项式，也就可以是多项式。
（2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。
结构特征：1左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2左边两项符号相同时，右边各项全用“ ”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“ ”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）;3公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．记忆口诀:首平方，尾平方，2倍首尾。
使用误解：①漏下了一次项；②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。
注意事项：1、左边是一个二项式的完全平方。
2、右边是二项平方和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b 可以是数，单项式，多项式。
3、不论是还是，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
完全平方公式例题解析：（一）、变符号例：运用完全平方公式计算：（1）(-4x 3)（2）(-a-b)分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原公式中的a，将(-b)看成原公式中的b，即可直接套用公式计算。
初中数学 完全平方公式的五种常见应用举例
完全平方公式的五种常见应用举例完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明.一、正用根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22(23)m m -- 分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22[(2)3]m m =--222(2)6(2)9m m m m =---+4322446129m m m m m =-+-++43242129m m m m =--++思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用将公式逆向使用，即由右向左套用.例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( )222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2c a -=∴222a b c ab bc ac ++---2221(222222)2a b c ab bc ac =++---2222221(222)2a ab b b bc c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+3=应选D.三、正逆联用根据已知条件和待求式特征，有正用、又逆用，即综合运用.例3 (全国初中数学竞赛试题)已知，且，则21()()()4b c a b c a -=--0a ≠b c a +.= 分析 欲求的值，则需要明与之间的等量关系.而题目中的已知条件刚好就b c a+b c +a 是、、之间的关系式，于是将条件等式进行化简变形，明确与之间的关系，a b c b c +a 应该是一条即常规又恰当的选择.解 由已知，得2()4()()b c a b c a -=--22224444b bc c ac bc ab a ∴-+=-+-2222(44)40b bc c ab ac a ∴++-++=22()4()40b c a b c a ∴+-++=把和分别看成一个“整体”，再逆用完全平方公式，得b c +2a 2[()2]0b c a +-=，20b c a ∴+-=2b c a+=.22b c a a a+∴== 四、特例应用在完全平方公式中，如果，那么222()2a b a ab b +=++0ab =222()a b a b+=+反之，若，则一定有.222()a b a b +=+0ab =例5 若满足，则.n 22(2017)(2019)4n n -+-=(2019)(2017)n n --= 分析 若设，，则很容易验证，这正好2017n a -=2019n b -=222()a b a b +=+符合上面完全平方公式特例.据此，本题迎刃而解.解 设，，2017n a -=2019n b -= 则，2()4a b +=又已知224a b +=∴222()a b a b+=+于是0ab =∴(2019)(2017)n n --=(2017)(2019)n n --0ab ==五、变形应用由完全平方公式，易得如下的两个最常见的变形公式:222()2a b a ab b ±=±+①2222()2()2a b a b ab a b ab+=+-=-+②22()()4a b a b ab-=+-(或)221[()()]4ab a b a b =+-- 活用上面变形公式，常常会使问题化难为易，取得奇妙的解题效果。
七年级数学下册知识讲义-9完全平方公式-苏科版
【考点精讲】1. 完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，a2－2ab＋b2＝（a－b）2，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
这两个等式是完全平方式，它们由左到右的变形是多项式的因式分解，我们可以运用这个公式对某些多项式进行因式分解，这种方法叫做运用完全平方公式法。
2. 完全平方公式的特点：等式的左边是三项式，其中有两项同号，且能写成两数平方和的形式，另一项是这两数乘积的2倍；等式右边是这两数和（或差）的平方。
其中三项式可用口诀来记忆：首平方尾平方，二数乘积在中央。
【典例精析】例题1 把下列各式因式分解：（1）9x2＋12xy＋4y2；（2）4a2－36ab＋81b2；（3）25x4＋10x2＋1；（4）4（m＋n）2－28（m＋n）＋49。
思路导航：本例中的四个题目直接按完全平方公式分解因式即可，但一定要分清公式中的a，b，并适当地改写成公式的形式。
答案：（1）原式＝（3x）2＋2·3x·2y＋（2y）2＝（3x＋2y）2；（2）原式＝（2a）2－2·2a·9b＋（9b）2＝（2a－9b）2；（3）原式＝（5x2）2＋2·5x2·1＋12＝（5x2＋1）2；（4）原式＝[2（m＋n）]2－2·2（m＋n）·7＋72＝[2（m＋n）－7]2＝（2m＋2n－7）2。
点评：通过本例，我们知道运用完全平方公式法因式分解的步骤：一变（将三项式转化成“首平方尾平方，乘积2倍在中央”的形式）、二套（直接套用完全平方公式进行分解因式分解）。
另外，第（4）题要利用整体思想，即公式中的a相当于2（m＋n），并注意结果的化简。
例题2 （1）简便计算：20132－4026×2014＋20142；（2）已知实数a、b、c满足a2＋b2＋c2＝6a＋8b＋12c－61，求（a＋b－c）2014的值。
完全平方公式及各种典型问题ok课件
完全平方公式的解题思路与方法总结
完全平方公式的解题思路主要是通过 将一个二次多项式转化为两个一次多 项式的乘积，然后利用这两个一次多 项式的值来解决原问题。
VS
在解题方法上，需要注意因式分解、 配方、运算等技巧的运用，同时还要 注意公式的适用范围和限制条件。
问题，如建筑、工程等领域的问题。
03 完全平方公式的典型例题
完全平方公式的简单应用
总结词
完全平方公式是数学中常用的公式之一，它可以用于解决各种与平方有关的问 题。
详细描述
完全平方公式可以表示为(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，它通常用于计算平方和、 两数和的平方以及两数差的平方。例如，(2+3)^2=25，(2-3)^2=1，(2+3)(23)=-5等。
完全平方公式的变形应用
总结词
完全平方公式不仅可以用于简单的计算，还可以通过变形应用于解决更复杂的问 题。
详细描述
完全平方公式的变形包括(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，(a-b)^2=a^2-2ab+b^2， a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab等。这些变形可以用于解决与平方和、 两数和的平方以及两数差的平方相关的问题。
需要一定的观察和思考能力，但可以简化复杂的计算。
完全平方公式在实际问题中的应用
总结词
广泛应用于实际问题中，如几何、代数等领 域
详细描述
完全平方公式不仅在代数领域有广泛的应用， 在几何、三角等领域也有广泛的应用。例如，
在解决几何问题时，完全平方公式可以用于 计算面积、周长等；在解决代数问题时，完 全平方公式可以用于因式分解、化简等。此 外，完全平方公式还可以用于解决一些实际
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完全平方公式的变形与应用
提高培优完全平方公式
222222()2,()2a b a a b b a b a a b b 在使用时常作如下变形：
(1) 222222()2,()2a b a b a b a b a b a b
(2) 2222()()4,()()4a
b a b a b a b a b a b (3) 2222
()()2()a b a b a b (4) 2222
1
[()()]2a b a b a b (5) 22
1
[()()]2a b a b a b (6) 222222
1
[()()()]2a b c a b b c ca a b b c c a 例1 已知长方形的周长为
40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？
解设长方形的长为α，宽为b ，则α+b=20，αb=75.
由公式(1)，有：
α2+b 2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250.
(答略，下同)
例2 已知长方形两边之差
为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积.
解设长方形长为
α，宽为b ，则α-b=4，αb=12.由公式(2)，有：(α+b)2=(α-b)2+4αb=42+4×12=64.
例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和，
证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和
. 证明设整数为x ，则x=α2+b 2(α、b 都是整数).
由公式(3)，有2x=2(α2+b 2)=(α+b)2+(α-b)2.得证
例4 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？
解设绳被分成的两部分为x 、y ，则x+y=64.
设两正方形的面积之和为
S ，则由公式(4)，有：S=(x 4)2+(y 4)2=116
(x 2+y 2) =132
[(x+y)2+(x-y)2] =132
[642+(x-y)2]. ∵(x-y)2
≥０，∴当x=y 即(x-y)2=0时，S 最小，其最小值为
64232=128(cm 2). 例5 已知两数的和为
10，平方和为52，求这两数的积. 解设这两数分别为α、b ，则α+b =10，α2+b 2
=52. 由公式(5)，有：
αb=12
[(α+b)2-(α2+b 2)] =12
(102-52)=24. 例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3.
求：α2+b 2+c 2-αｂ-bc-c α的值.
解由公式(6)有：
α2+b 2+c 2-αｂ-bc-αｃ
=12
[(α-b)2+(b-c )2+(c-α）2] =12
[(-1)2+(-1)2+22] =12×(1+1+4)=3.。