初中数学完全平方公式的变形与应用

完全平方公式的变形与应用

提高培优完全平方公式

222222()2,()2a b a a b b a b a a b b 在使用时常作如下变形：

(1) 222222()2,()2a b a b a b a b a b a b

(2) 2222()()4,()()4a

b a b a b a b a b a b (3) 2222

()()2()a b a b a b (4) 2222

1

[()()]2a b a b a b (5) 22

1

[()()]2a b a b a b (6) 222222

1

[()()()]2a b c a b b c ca a b b c c a 例1 已知长方形的周长为

40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？

解设长方形的长为α，宽为b ，则α+b=20，αb=75.

由公式(1)，有：

α2+b 2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250.

(答略，下同)

例2 已知长方形两边之差

为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积.

解设长方形长为

α，宽为b ，则α-b=4，αb=12.由公式(2)，有：(α+b)2=(α-b)2+4αb=42+4×12=64.

例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和，

证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和

. 证明设整数为x ，则x=α2+b 2(α、b 都是整数).

由公式(3)，有2x=2(α2+b 2)=(α+b)2+(α-b)2.得证

例4 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？

解设绳被分成的两部分为x 、y ，则x+y=64.

设两正方形的面积之和为

S ，则由公式(4)，有：S=(x 4)2+(y 4)2=116

(x 2+y 2) =132

[(x+y)2+(x-y)2] =132

[642+(x-y)2]. ∵(x-y)2

≥０，∴当x=y 即(x-y)2=0时，S 最小，其最小值为

64232=128(cm 2). 例5 已知两数的和为

10，平方和为52，求这两数的积. 解设这两数分别为α、b ，则α+b =10，α2+b 2

=52. 由公式(5)，有：

αb=12

[(α+b)2-(α2+b 2)] =12

(102-52)=24. 例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3.

求：α2+b 2+c 2-αｂ-bc-c α的值.

解由公式(6)有：

α2+b 2+c 2-αｂ-bc-αｃ

=12

[(α-b)2+(b-c )2+(c-α）2] =12

[(-1)2+(-1)2+22] =12×(1+1+4)=3.