完全平方公式变形

完全平方公式变形

1.已知

，求下列各式的值：(答案过程略) （1）

； （25-2=23）

（2）

． (23-2=21)

（3）441x x (232-2=527)

2.已知x+y=7，xy=2，求（1）2x 2+2y 2； （2）（x ﹣y ）2; （3）x 2+y 2-3xy

解：

（1）2x 2+2y 2；

∵(x+y)=7

∴(x+y)2=72

x 2+2xy+y 2=49

∵xy=2

∴x 2+y 2=49-2x2=49-4=45

∴2x 2+2y 2=2(x 2+y 2)=2x45=90

（2）∵x 2+y 2=45

xy=2

∴（x ﹣y ）2= x 2+y 2-2xy=45-2x2=45-4=41

（3）∵x 2+y 2=45

xy=2

∴x 2+y 2-3xy=45-3x2=45-6=39

3.已知有理数m ，n 满足（m+n ）2=9，（m ﹣n ）2=1．求下列各式的值．

（1）mn ； （2）m 2+n 2

解：(1) ∵（m+n ）2=9， ∵（m+n ）2=9，

m 2+2mn+n 2=9① m 2+2mn+n 2=9①

（m ﹣n ）2=1 （m ﹣n ）2=1

m 2-2mn+n 2=12② m 2-2mn+n 2=12②

∴①-② ∴①+②

4mn=9-1=8 2m 2+2n 2=9+1=10

mn=8÷4=2 m 2+n 2=10÷2=5

平方差公式的应用

1.（a+b ﹣c ）（a ﹣b+c ）=a 2﹣（ b-c ）2．

2.（

a2）-64m2n2=（a+8mn）（a﹣8mn）

3.已知x2﹣y2=12，x﹣y=4，则x+y=3．

4．（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（x4+y4）…（x2n+y2n）=x4n-y4n．

5.．（﹣3x+2y）（3x+2y）=﹣9x2+4y2．

6.记x=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），且x+1=2128，则n=64．

7.计算：=

8.已知a﹣b=1，a2﹣b2=﹣1，则a4﹣b4=-1．

9.一个三角形的底边长为（2a+4）厘米，高为（2a﹣4）厘米，则这个三角形的面积为(2a2-8)cm2．10观察下列等式19×21=202﹣1，28×32=302﹣22，37×43=402﹣32，…，已知m，n为实数，仿照上述的表示方法可得：mn=[(m+n)÷2]2-[(n-m)÷2]2

11．正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2，求这两个正方形的边长解：设正方形Ⅰ的边长为acm,正方形Ⅱ的边长为bcm;根据题意有：

4a-4b=96①

a2-b2=960②

由①得，a-b=96÷4=24○3

由②得(a+b)(a-b)=960

a+b=960÷24=40○4

○3+○42a=40+24=64

a=64÷2=32(cm)

○4-○32b=40-24=16

b=16÷2=8(cm)

12如图，第一个图中两个正方形如图所示放置，将第一个图改变位置后得到第二个图，两图阴影部分的面积相等，则该图可验证的一个初中数学公式为a2-b2=(a+b)(a-b)

以下为提高题（请班级前20名学生会做）

13．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“神秘数”．若60是一个“神秘数”，则60可以写成两个连续偶数的平方差为：60=162-142．

14．20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12=2017036．

15．（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）×8+1=3128．

16.（3a+3b+1）（3a+3b﹣1）=899，则a+b=10．

17.化简式子，其结果是

2010/2011．(/前面是分子，/后面是分母)

完全平方式专练

1.．x2+3x+9/4=（x+3/2）2；

x2﹣(-1/x2)+2=（x+1/x）2．

2．x2﹣px+=（x﹣）2．

若（3x+2y）2=（3x﹣2y）2+A，则代数式A为24xy．

（x﹣2y）2+8xy=（x+2y）2．

3.．若x2+kxy+49y2是一个完全平方式，则k=14．

4.．若4a2﹣（k﹣1）a+9是一个关于a的完全平方式，则k=7．

5．若多项式a2﹣12ab+kb2是完全平方式，则常数k的值为36．

6.若是一个完全平方式，则k=1/16．

7.已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于64．

8.若x﹣y=2，则代数式x2﹣y2﹣4y的值为4．

9.已知三项式4x2++1是一个完全平方式，但是其中一项看不清了，你认为这一项应该是4x或-4x（写出所有你认为正确的答案）．

10．若y（x﹣1）﹣x（y﹣1）=5，则﹣xy=12.5 ．

11．已知a2+b2=13，ab=6，则a4﹣2a2b2+b4=25．

以下为提高题（请班级前20名学生会做）

12．已知（2015﹣a）（2013﹣a）=2014，则（2015﹣a）2+（2013﹣a）2的值为4032．

13.已知x2﹣4x﹣1=0，则x2+=18．

14已知（x+y）2﹣2x﹣2y+1=0，则x+y=1．

15．已知a+b+c=9，a2+b2+c2=35，则ab+bc+ca=23．

公式与拼图练习

1.方法写出一个代数恒等式是(a+b)2-(a-b)2=4ab．