2020版高考数学一轮浙江专用版第八章 立体几何与空间向量86PPT课件
2020版高考数学新增分大一轮新高考专用课件：第八章 8.5 空间向量及其运算
题组三 易错自纠
4.在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，
D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是
A.垂直
√B.平行
C.异面
D.相交但不垂直
解析 由题意得，A→B＝(－3，－3，3)，C→D＝(1，1，－1)，
∴A→B＝－3C→D，
∴A→B与C→D共线，又 AB 与 CD 没有公共点，
表示以下各向量：
(1)A→P；
(2)M→P＋N→C1.
思维升华
用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形. (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
跟踪训练 1 (1)如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点.用A→B， A→D，A→A1表示O→C1，则O→C1＝_21_A_→_B_＋__12_A→_D_＋__A_→_A_1_.
cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 __a_21_＋__a_22＋__a_23_·___b_21＋__b_22_＋__b_23_
【概念方法微思考】 1.共线向量与共面向量相同吗？ 提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量.
2.零向量能作为基向量吗？ 提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共 面，故零向量不能作为基向量. 3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？ 提示 无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离 都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.
A.12(－a＋b＋c) C.12(a－b＋c)
2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第八章 立体几何与空间向量8.3
大一轮复习讲义第八章 立体几何与空间向量§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识 自主学习题型分类 深度剖析课时作业1基础知识 自主学习PART ONE知识梳理1.四个公理公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 .ZHISHISHULI两点不在同一条直线上平行有且只有一条2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类任何(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).平行相交锐角(或直角)3.直线与平面的位置关系有、 、__________三种情况.4.平面与平面的位置关系有、 两种情况.5.等角定理空间中如果两个角的，那么这两个角相等或互补.直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行平行相交两边分别对应平行【概念方法微思考】1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示 不一定.因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交.2.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示 不一定.如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a ，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a .( )(2)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线.( )(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.( )(5)没有公共点的两条直线是异面直线.( )(6)若a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 是异面直线.( )基础自测JICHUZICE题组一 思考辨析√××√××题组二 教材改编2.[P52B组T1(2)]如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°解析 连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.√3.[P45例2]如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则AC＝BD(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；解析 ∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.AC＝BD且AC⊥BD(2)当AC，BD满足条件___________________时，四边形EFGH为正方形.解析 ∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∴AC＝BD且AC⊥BD.题组三 易错自纠4.α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是A.垂直B.相交√C.异面D.平行解析 依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.5.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M 解析 ∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上.同理可知，点C也在γ与β的交线上.√6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在3原正方体中互为异面的对数为____.解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有3对.2题型分类 深度剖析PART TWO题型一 平面基本性质的应用师生共研例1 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；证明 如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又AB∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面.证明 ∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.(2)CE，D1F，DA三线共点.思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合.(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.跟踪训练1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；证明 ∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F，G，H四点共面.。
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.6立体几何中的向量方法课件
考点三
利用空间向量证明平行、垂直(考点难度★)
【例1】 如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥底面
ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点.
求证:(1)PB∥平面EFH;
(2)PD⊥平面AHF.
-13-
考点一
考点二
考点三
证明:建立如下图的空间直角坐标系A-xyz.
容,重点考察向量方法的应用,题目有一定难度.题目的常见类型
有:(1)利用空间向量求异面直线所成的角;(2)利用空间向量求直线
与平面所成的角;(3)利用空间向量求二面角.
-19-
考点一
考点二
考点三
类型一 利用空间向量求异面直线所成的角
【例2】 将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周
PA=PD,E,F分别为线段AD,PC的中点.
(1)求证:PA∥平面BEF;
(2)假设直线PC与AB所成的角为45°,求线段PE的长.
-23-
考点一
考点二
考点三
(1)证明:∵在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,四边形
1
ABCD为直角梯形,BC∥AD,∠ADC=90°,BC=CD= 2 AD=1,
1 2
∴||= (- 2) + 2 + 1 = (2-1)2 + 2 + 1.
1
3
2
30
4பைடு நூலகம்
4
5
29
5
∵ ≤y≤ ,∴当 y= 时,||min=
3
当 y= 时,||max=
4
4
;
.
-18-
考点一
2020版高考数学一轮复习第八章立体几何8.6空间向量及其运算课件新人教A版
知识梳理
-4-
知识梳理 双基自测
12345
3.两个向量的数量积
(1)两个向量的夹角
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 ������������=a,������������=b, 则
∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作 <a,b> ,其范围
是 0≤<a,b>≤π
,若<a,b>=
π 2
,则向量a,b
������
2 1
+������22
+������32
·
������12 +������22 +������32
知识梳理
-6-
知识梳理 双基自测
12345
5.常用结论 (1)对空间任一点 O,若������������=x������������+y������������(x+y=1),则 P,A,B 三点共 线. (2)对空间任一点 O,若������������=x������������+y������������+z������������(x+y+z=1),则 P,A,B,C 四点共面.
向量表示
坐标表示
数量积 a·b 共线 a=λb(b≠0) 垂直 a·b=0(a≠0,b≠0)
a1b1+a2b2+a3b3
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0
模 夹角
|a|
������12 + ������22 + ������32
<a,b>(a≠0,b≠0)
cos<a,b>= ������1������1+������2������2+������3������3
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.5空间向量及其运算课件
.
∵a=(0,-1,1),b=(4,1,0),∴λa+b=(4,1-λ,λ). ∴16+(λ-1)2+λ2=29(λ>0).∴λ=3.
3
关闭 关闭
解析 答案
-9-
知识梳理 双击自测
3.已知在一个60°的二面角的棱上,如图有两个点A,B,AC,BD分别是
在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4 cm,AC=6
向量表示
坐标表示
数量积 共线 垂直
a·b a=λb(b≠0) a·b=0(a≠0,b≠0)
a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0
模
|a|
������12 + ������22 + ������32
夹角
<a,b>(a≠0,b≠0)
cos<a,b>
1 8
关闭 关闭
解析 答案
-11知识梳理 双击自测
5.如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点 E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,求:
(1)������������ ·������������; (2)������������ ·������������; (3)EG的长; (4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.
= ������1������1+������2������2+������3������3
������ 12
+������
22 +������
2 322 +������32
-7-
知识梳理 双击自测
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.2空间点、直线、平面之间的位置关系课件
与铅笔所在直线垂直;若铅笔所在直线与地面相交不垂直,则其必在地面
上有一条投影线,在地面上一定存在与此投影线垂直的直线,由三垂线定
理知,与投影垂直的直线一定与此斜线垂直;若铅笔所在直线与地面平行,
过铅笔所在直线的平面与地面的交线与铅笔所在直线平行,在地面内与交
线垂直的直线都与铅笔所在直线垂直.综上,教室内任放一支铅笔,无论怎
直线PQ与RS是异面直线.故选C.
C
关闭
解析
-25答案
考点一
考点二
考点三
(2)假设P是两条异面直线l,m外的任意一点,那么(
)
A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行
B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直
关闭
C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交
设过点
P 的直线为 n,若 n 与 l,m 都平行,则 l,m 平行,与 l,m 异面矛盾,
面ABC与平面β的交线是(
)
关闭
由题意知,D∈l,l⊂β,∴D∈β.
又D∈AB,
∴D∈平面ABC,
A.直线AC
B.直线AB
∴点D在平面ABC与平面β的交线上.
C.直线CD
D.直线BC
又C∈平面ABC,C∈β,
∴点C在平面β与平面ABC的交线上,
∴平面ABC∩平面β=CD.
关闭
C
解析
-20答案
考点一
AB,AD,B1C1的中点,那么正方体的过P,Q,R的截面图形是(
)
关闭
A.三角形 B.四边形
如图所示,连接 QP 并延长与 CB 的延长线交于 M,连接 MR 交 BB1
C.五边形 D.六边形
于 E,连接 PE,作 RG∥PQ 交 C1D1 于 G,则 PE,RE 为截面的部分外形.
2020版高考数学(浙江专用版)新增分大一轮课件：第八章立体几何与空间向量8.2
由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直
观图如图所示.
1 表面积为 2×2＋2×2×π×12＋π×1×2＝4＋3π.
1
2
3
4
5
6
5.(2018· 浙江省杭州名校协作体月考)三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别 为 3， 2，1，则该三棱锥的外接球的表面积是
A.24π
B.18π
C.10π
D.6π √
的中点，则三棱锥 A－B1DC1 的体积为 A.3 3 B.2 C.1 √ 3 D. 2
(3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
多维探究
题型二
求空间几何体的体积
命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积 例1 (2018· 浙江省杭州市七校联考 )已知图中的网格是由边长为 1的小正方形组 成的，一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示，则这个几何体的体
积为
A.64
则由 x2＝8，得 x＝2 2，
∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×( 2)2＋2π× 2×2 2＝12π.故选 B.
2.(2018· 浙江省 “ 七彩阳光 ”联盟联考 )某四棱锥的三视图如图所示，则该四 棱锥的表面积为
A.8＋4 √
2
B.6＋ 2＋2 3 D.6＋2 2＋2 3
C.6＋4 2
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台
ห้องสมุดไป่ตู้
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝____ 2πrl
S圆锥侧＝____ πrl
π(r1＋r2)l S圆台侧＝__________
3.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) 表面积 S表面积＝S侧＋2S底 S表面积＝S侧＋S底 体积 Sh V＝___
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.4空间向量及其运算课件
线与AB,AD,AA'所成角都相等,所以m=4.
易知AC1与三个平面AB',AC,AD'所成角都相等.
同理在平面ACC1A1,ABC1D1,AB1C1D中都可以过点A作一条不同于AC1
的直线与AB,AD,AA'所成角都相等,所以n=4.
8.4 直线、平面垂直的判定与性质
-2-
年份
2018
直线、平面垂
直的判定与 性质
19(2),7 分
2017 2016
2015
2014
9,4 分
2,5 分(理) 14,4 分(理) 17,15 分(理)
17,15
分(理)
20,15 (理)
分
19(2),8
分 2,5
分(文)
18,15 分(文)
4,5 分(文) 18,15 分(文)
l l
⊂β ⊥α
⇒α⊥β
α⊥β
α⋂β = a l⊂β
⇒
l⊥α
l⊥a
-7-
知识梳理 双击自测
1.(教材改编)下列命题中错误的是( ) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于 平面β C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
关闭
显然,A1C1⊥平面 BB1D1D,垂足为 O(A1C1 与 B1D1 的交点),则∠A1BO
即为 A1B 与平面 BB1D1D 所成的角.
在 Rt△A1OB 角B 是 30°.
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(2)空间向量数量积的运算律 ①(λa)·b＝_λ_(_a_·b_)_； ②交换律：a·b＝_b_·_a_； ③分配律：a·(b＋c)＝_a_·_b_＋__a_·c__.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示
数量积
a·b
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R)
【概念方法微思考】 1.共线向量与共面向量相同吗？ 提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量. 2.零向量能作为基向量吗？ 提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面， 故零向量不能作为基向量.
3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？ 提示 无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都 是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.
又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.
123456
5.已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则|b|＝_2__6___. 解析 ∵a⊥b，∴a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0， ∴x＝2，∴|b|＝ －42＋22＋22＝2 6.
123456
6.O 为空间中任意一点，A，B，C 1三点不共线，且O→P＝34O→A＋18O→B＋tO→C，若 P， A，B，C 四点共面，则实数 t＝___8___. 解析 ∵P，A，B，C 四点共面，∴43＋81＋t＝1，∴t＝18.
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)
坐标表示 a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 夹角
|a|
〈a，b〉 (a≠0，b≠0〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3
a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b23
大一轮复习讲义
第八章 立体几何与空间向量
§8.6 空间向量及其运算
内容索引
NEIRONGSUOYIN
基础知识 题型分类 课时作业
自主学习 深度剖析
1 基础知识 自主学习
PART ONE
知识梳理
ZHISHISHULI
1.空间向量的有关概念
名称
概念
零向量
模为 0 的向量
单位向量
长度(模)为 1 的向量
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题组三 易错自纠
4.在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，
D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是
A.垂直 C.异面
√B.平行
D.相交但不垂直
解析 由题意得，A→B＝(－3，－3，3)，C→D＝(1，1，－1)，
∴A→B＝－3C→D，∴A→B与C→D共线，
基础自测
JICHUZICE
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a，b共面.( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c).( × ) (3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( × ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( × ) (5)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.( √ )
(6)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角.( × )
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题组二 教材改编
2.[P97A 组 T2] 如图所示，在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点.若A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则下列向量中与B→M相等的向量是
√A.－21a＋12b＋c
B.21a＋12b＋c
C.－21a－12b＋c
D.21a－12b＋c
解析 B→M＝B→B1＋B→1M＝A→A1＋21(A→D－A→B)
＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.
123456
3.[P98T3]正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长 为___2___. 解析 |E→F|2＝E→F2＝(E→C＋C→D＋D→F)2 ＝E→C2＋C→D2＋D→F2＋2(E→C·C→D＋E→C·D→F＋C→D·D→F) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2， ∴|E→F|＝ 2，∴EF 的长为 2.
相等向量 相反向量
方向相同且模 相等 的向量 方向 相反 且模 相等 的向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相 共线向量
_平__行__或__重__合__的向量
共面向量
平行于同一个 平面 的向量
表示 0
a＝b a的相反向量为－a
a∥b
2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝_x_a_＋__y_b__，其中x，y∈R，a，b为不共线向量. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y， z}，使得xpa＝＋_y_b_＋__z_c_____，{a，b，c}叫做空间的一个基底.
123456
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
师生共研
题型一 空间向量的线性运算
例1 如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形， 设A→A1＝a，A→B＝b，A→D＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a， b，c表示以下各向量： (1)A→P；
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB 叫
做向量a，b的夹角，记作_〈__a_，__b_〉__，其范围是__0_≤__〈__a_，__b_〉__≤__π__，若〈a，b〉 ＝π2，则称a与b 互相垂直 ，记作a⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则_|_a_||_b_|c_o_s_〈__a_，__b_〉__叫做向量a，b的数量积，记 作_a_·_b_，即a·b＝_|a_|_|b_|_co_s_〈__a_，__b_〉_.
解 因为P是C1D1的中点， 所以A→P＝A→A1＋A――1D→1＋D→1P＝a＋A→D＋12D――1→C1 ＝a＋c＋12A→B＝a＋c＋12b.