2013郑州高三三模理科数学试题及答案word版

郑州市2013年高三第三次调研考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题.每小题5分．在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}R ,,01|),(∈=-+=y x y x y x A ，{}R ,,1|),(2∈+==y x x y y x B ，则集合B A ⋂的元素个数是A.0B. 1 C 2 D.32.已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，若iiyi x +=+-121，则y x +的值为 A.2 B.3 C.4 D.53.下列命题中的假命题是 A.0,R 2≥∈∀x x B.02,R 1>∈∀-x x C.1lg ,R <∈∃x x D.2cos sin ,R =+∈∃x x x4.设a 为实数，函数x a ax x x f )3()(23-++=的导函数为)(x f '，且)(x f '是偶函数，则曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为A.0169=--y xB.0169=-+y xC.0126=--y xD.0126=-+y x 5.已知实数x ，y 取值如下表x 0 1 4 5 6 8 y 1.3 1.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且a x y +=∧95.0，则a 的值是A.1.30B.1.45C. 1.65D.1.806.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确的命题的序号是A.①②③B.②③④C.①③D.②④7.如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值，若要使输入的x 的值与输出相应的y 值相等，则这样的x 值有A.1个B.2个C.3个D.4个8.函数)cos(2ϕω+=x y （0>ϕ且2πϕ<），在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ上单调递增，且函数值从-2增大到2，那么此函数图像与y 轴交点的纵坐标为 A.1 B.2 C.3 D.226+ 9.设⎰=πsin xdx a 则二项式8)1(xax -的展开式中2x 项的系数是 A.-1120 B.1120 C.-1793 D.179210.抛物线x y 122=的准线与双曲线112422=-y x 的两条渐近线围成的三角形的面积为 A.6 B.36 C.9 D.3911.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，6=a ，2=b ，且0)cos(21=++C B ，则△ABC 的BC 边上的高等于A.2B.26 C.226+ D.213+12.已知椭圆有这样的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点，长轴长为a 2，焦距为c 2，当静止放置点A 的小球（半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后再回到点A ，则小球经过的路径为 A.a 4 B.)(2c a - C.)(2c a + D.以上答案都有可能第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第2l 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题.每小题5分．13.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221=a a ，823=a a ，则10S = . 14.已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是4,8，h ，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的表面积为π100，则h = .15.已知函数)(x f y =的图像与函数12--=-xy 的图像关于直线x y =对称，则)3(f = .16.已知⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-101553034x y x y x ，则x y z =的范围是 .三、解答题：(12+12+12+12+12+10=70分)解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，21=a ，且2a ，3a ，14+a 成等比数列。

1）求数列{}n a 的通项公式；2）设)2(2+⋅=n n a n b ，求数列{}n b 的前n 项和为n S 。

18.为了倡导健康、绿色、低碳的生活理念，某市建立了公共自行车服务系统，鼓励市民租用公共自行车出行，公共自行车按每车每次的租房时间进行收费，具体收费标准如下： 1）租用时间为1小时以上且不超过2小时，收费1元；②租用时间为2小时以上且不超过3小时，收费2元；③租用时间超过3小时，按每小时2元收费（不足一小时的部分按1小时计算）甲乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲乙租用时间不超过一小时的概率分别为0.5和0.6；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别为0.4和0.2.1）求甲乙两人所付租车费相同的概率；2）设甲乙两人所付租车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望ξE 。

19.如图所示的几何体中，四边形PDCE 为矩形，ABCD 为直角梯形，且BAD ∠=ADC ∠ =90°，平面PDCE ⊥面ABCD ，121===CD AD AB ，2=PD 。

1）若M 为PA 的中点，求证：AC ∥面MDE ；2）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小。

20.已知椭圆C ：12222=+a y b x （0>>b a ）的离心率36=e ，短轴右端点为A ，)0,1(P 为线段OA 的中点。

1）求椭圆C 的方程；2）过点P 任作一条直线与椭圆C 相交于两点M ，N ，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使得NQP MQP ∠=∠，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.21.已知函数x xem mx x f ln 21)(-+--=，R m ∈，函数x x x g ln cos 1)(+=θ在[)+∞,1上为增函数，且θ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ。

1）当0=m 时，求函数)(x f 的单调区间和极值；2）求θ的值；3）若在[]e ,1上至少存在一个0x ，使得)()(00x g x f >成立，求m 的取值范围.22.如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线，已知AB AC =。

1）求证：FG ∥AC ；2）若1=CG ，4=CD ，求GFDE的值.23.已知曲线C 的极坐标方程是2=ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 231212（t 为参数）1）写出直线l 与曲线C 在直角坐标系下的方程；2）设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y xx 2得到曲线C '，设曲线C '上任一点为),(y x M ，求y x 213+的取值范围。

24.已知函数)212(log )(2a x x x f -++-=。

1）当4=a 时，求函数)(x f 的定义域；2）若对任意的x ∈R ，都有2)(≥x f 成立，求实数a 的取值范围.2013年高中毕业年级第三次质量预测数学（理科） 参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CBDABCCABDCD一. 填空题13. 1023 14. 52 15. -2 16. 812[,]155二. 解答题17. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由21=a 和1,,432+a a a 成等比数列，得()()d d d 332)22(2++=+， 解得2=d ，或1-=d ， (2)分当1-=d 时，03=a ，与1,,432+a a a 成等比数列矛盾，舍去．2=∴d ， ………………………4分()(),212211n n d n a a n =-+=-+=∴即数列{}n a 的通项公式.2n a n = …………6分（Ⅱ）)2(2+⋅=n n a n b =111)1(1)22(2+-=+=+n n n n n n ，………………9分1111111312121121+=+-=+-++-+-=+++=n n n n n a a a S n n .…………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设甲、乙所付租车费分别为21,x x 由题意可知,1.0)2(,4.0)1(,5.0)0(111======x p x p x p,2.0)2(,2.0)1(,6.0)0(122======x p x p x p ………………………………4分12()0.50.60.40.20.10.20.4.p x x ==⨯+⨯+⨯=………………………………6分（Ⅱ）由题意得变量ξ的所有取值为0,1,2,3,4.,3.06.05.0)0(=⨯==ξp,34.04.06.02.05.0)1(=⨯+⨯==ξp(2)0.50.20.60.10.40.20.24,p ξ==⨯+⨯+⨯=,1.01.02.02.04.0)3(=⨯+⨯==ξp ,02.02.01.0)4(=⨯==ξp (9)分所以ξ的分布列为：2.102.041.0324.0234.013.00=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE …………………………12分19．（本小题满分12分）ξ0 1 2 3 4 p0.30.340.240.10.02（Ⅰ）证明：连结PC ,交DE 与N ,连结MN ，PAC ∆中，,M N 分别为两腰,PA PC 的中点 , ∴//MN AC .………2分因为MN ⊂面MDE ,又AC ⊄面MDE ，所以//AC 平面MDE . …………4分 （Ⅱ）解：设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，以D 为空间坐标系的原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则)0,2,0(),0,1,1(),2,0,0(C B P ，)0,1,1(),2,1,1(-=-=BC PB .设平面PAD 的单位法向量为1n 则可设1(0,1,0)n =.……………………………7分设面PBC 的法向量2(,,1)n x y =，应有⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=⋅=-⋅=⋅.0)0,1,1()1,,(,0)2,1,1()1,,(22y x BC n y x PB n即：⎩⎨⎧=+-=-+.0,02y x y x解得：2222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以222(,,1)22n = .……………………………10分21222cos 2121==⋅=n n n n θ，60.θ∴=.……………………………12分20. （本小题满分12分） 解：(Ⅰ)由已知，2b =，又36=e ， 即3642=-a a ，解得32=a ， 所以椭圆C 的方程为112422=+y x . ………………………………4分 (Ⅱ)假设存在点)0,(0x Q 满足题设条件.当x MN ⊥轴时，由椭圆的对称性可知恒有NQP MQP ∠=∠，即0x ∈R ；……………6分当MN 与x 轴不垂直时，设MN 所在直线的方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程化简得：0122)3(2222=-+-+k x k x k ， 设),(),,(2211y x N y x M ，则343)3(2)12)(3(442222222422,1++±=+-+-±=k k k k k k k k x , 312,3222212221+-=+=+k k x x k k x x , 022011x x y x x y k k NQ MQ -+-=+121020(1)(1)k x k x x x x x --=+--1202101020(1)()(1)()()()k x x x k x x x x x x x --+--=--， …………………………9分∵ 120210120120(1)()(1)()2(1)()2x x x x x x x x x x x x --+--=-+++02202223)1(23)12(2x k k x k k +++-+-= ， 若NQP MQP ∠=∠， 则0=+NQ MQ k k ，即[]023)1(23)12(2022022=+++-+-x k k x k k k ， 整理得0(4)0k x -=，∵k ∈R ，∴04x =.Q 的坐标为)0,4(Q .综上,在x 轴上存在定点)0,4(Q ，使得NQP MQP ∠=∠. ………………………12分 21. （本小题满分12分） 解：(Ⅰ)∵0m =，∴12()ln ef x x x-+=--，(0,)x ∈+∞， ∴/2221121()e e x f x x x x ---=-=. 令/()0f x =，则21x e =-(0,)∈+∞.∴x ，/()f x 和()f x 的变化情况如下表：x (0,21)e -21e -(21,)e -+∞/()f x+-()f x递增极大值(21)1ln(21)f e e -=---递减即函数()f x 的单调递增区间是(0,21)e -，递减区间为(21,)e -+∞，函数()f x 有极大值(21)1ln(21)f e e -=---； ………………………………4分(Ⅱ) 由已知01cos 1)(2≥+⋅-='xx x g θ在[1,)+∞上恒成立， 即0cos 1cos 2≥-θθx x ，∵），（22ππθ-∈，∴0cos >θ， 故01cos ≥-θx 在[1,)+∞上恒成立，只需01cos 1≥-⋅θ，即1cos ≥θ，∴只有1cos =θ，由），（22ππθ-∈,知0=θ；…………8分(Ⅲ)令,ln 22)()()(x xem mx x g x f x F -+-=-= [],02ln 2,0,,10<--≤-∈≤xe x x m mx e x m 且有时，由当 []成立；使得此时不存在)()(,,1000x g x f e x >∈∴ 2222222)(0x em x mx x x e m m x F m ++-=-++='>时，当.[].4)()(1)(max --==∴emme e F x F e x F 上单调递增，，在故 ,14,042->>--e e m e m me 则令 ）的取值范围为（故所求+∞-,142e em .………………………………12分22．（本小题满分10分）解：(Ⅰ)因为AB 为切线，AE 为割线，2AB AD AE =⋅，又因为AC AB =，所以2AD AE AC ⋅=． 所以A DA CA C A E=，又因为E A C D ∠=∠，所以A D C △∽ACE △，………………………………3分所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠， 所以AC FG //．………………………………6分 (Ⅱ)由题意可得：F D E G ,,,四点共圆，CED CFG CDE CGF ∠=∠∠=∠∴,.CGF ∆∴∽CDE ∆.CGCDGF DE =∴. 又 4,1==CD CG ，∴GFDE=4.………………………………10分 23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）直线l 的普通方程,01323=--+y x曲线C 的直角坐标方程422=+y x ；………………………………4分（Ⅱ）曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 2//得到曲线/C 的方程为4422=+y x ， 则点M 参数方程为)(,sin 4,cos 2参数θθθ⎩⎨⎧==y x ，代入y x 213+得，y x 213+==⋅+⋅θθsin 421cos 23)3sin(4cos 32sin 2πθθθ+=+ ∴y x 213+的取值范围是[]4,4-……………………………10分24．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题意得)4212(log )(2-++-=x x x f ，04212>-++-x x .04)2()12(2>-+----<x x x 时，当， 35-<∴x .即2-<x . 1,04)2()12(212-<∴>-++--≤≤-x x x x 时，当. 即12-<≤-x .1,04)2()12(21>∴>-++->x x x x 时，当.即1>x .综上所述,函数()f x 的定义域为{}11>-<x x x 或.………………………………5分 （Ⅱ）由题意得4log 2)212(log 22=≥-++-a x x 恒成立，即2124x x a -++-≥，∴2124x x a -++-≥恒成立，令=)(x g ,.21,33212,1,2,534212⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤----<--=-++-x x x x x x x x 显然21=x 时，)(x g 取得最小值23-，3.2a ∴≤-………………………………10分。