几类不同增长的函数模型
几类不同增长的函数模型 课件 高一上学期数学人教A 版(2019)必修第一册
A(1, 0)，B(2,lg 2)
f (1) 0, f (2) lg 2
k b 0
即
2k b lg 2
解得k lg 2, b lg 2
f ( x ) (lg 2) x lg 2
练习
(课本P139页练习第4题)
4.函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)可能是（ ）
大超过y=kx(k>0)的增长速度.
指数函数不像一次函数按同一速度增
长，而是越来越快，呈爆炸性增长.
探究2 选取适当的对数函数与
一次函数，探索它们在区间(0
，+∞)上的增长差异，你能描述
一下对数函数的增长特点吗？
不妨以函数y=lgx和= x为例.
列出上述两个函数自变量与函数值的对应值表，并
大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直
至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百
分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
:探究不同函数增长的差异
引例2.假如你有一笔资金用于投资，现有三种方
案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天
有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳
大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只
兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，
兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大
利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75
亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载
畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳
1
函数y=lgx与y= 10 x在 6
高考数学必修知识讲解几类不同增长的函数模型提高
几类不同增长的函数模型【学习目标】1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．【要点梳理】要点一：几类函数模型的增长差异一般地，对于指数函数和幂函数，通过探索可以发现，在区间上，无论比大多少，尽管在的一定范围内，会小于，但由于的增长快于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．同样地，对于对数函数增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与轴平行一样，尽管在的一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．综上所述，在区间上，尽管函数、和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长则会越来越慢，因此总会存在一个，当时，就有三类函数模型增长规律的定性描述：1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）；2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）；3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）．如图所示：要点诠释：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．常用的函数模型有以下几类：（1）线性增长模型：；（2）线性减少模型：．（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数(1)xy a a =>(0)y x αα=>()0,+∞αa x x a x αx a x α0x 0x x >xa >x αlog a y x =x x log a x x αlog a x x α0x 0x x >log a x x α<()0,+∞(1)xy a a =>(0)y x αα=>log (1)a y x a =>x (1)xy a a =>(0)y x αα=>log (1)a y x a =>0x 0x x >log .xa x x a α<<(0)y kx b k =+>(0)y kx b k =+<2(0)y ax bx c a =++<．（3）指数函数模型（a 、b 、c 为常数，a≠0，b ＞0，b≠1），当时，为快速增长模型；当时，为平缓减少模型．（4）对数函数模型（m 、n 、a 为常数，a ＞0，a≠1）；当时，为平缓增长模型；当时，为快速减少模型．（5）反比例函数模型．当时，函数在区间和上都是减函数；当时，函数在和上都是增函数．（6）分段函数模型当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．【典型例题】类型一、研究函数的变化规律并比较其大小例1. 当x ＞0时，比较，，的大小．【解析】作出函数，，的图象（如下图所示）．由二分法可得，方程的解为x=0.5，方程的近似解为x=0.64118574，方程的近似解为x=0.587774756．由图象及上述近似解可知，当0＜x ＜0.5时，；当x=0.5时，；当0.5＜x ＜0.587774756时，；2(0)y ax bx c a =++>()x f x ab c =+1b >01b <<()log a f x m x n =+1a >01a <<(0)ky k x=≠0k >(),0-∞()0,+∞0k <(),0-∞()0,+∞12log x 12x 12x⎛⎫⎪⎝⎭12log y x =12y x =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭1212xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭121log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭1212log x x =12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭12121log 2x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当x=0.587774756时，；当0.587774756＜x ＜0.64118574时，；当x=0.64118574时，；当x ＞0.64118574时，．【总结升华】本例归纳到一般有如下规律：在区间（0，+∞）上，尽管函数y=a x （0＜a ＜1）、y=log a x（0＜a ＜1）和y=x n （n ＜0）都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y=log a x （0＜a ＜1）的衰减速度越来越快，直至负值，因而远远大于y=a x （0＜a ＜1）与y=x n （n ＜0）的衰减速度．而y=a x （0＜a ＜1），y=a n （n ＜0）都是在正值范围内衰减，随着x 的不断增长，两者的衰减速度差距越来越小，其中y=a n （n ＜0）的衰减速度会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有x n ＞a x ＞log a x ．举一反三：【变式1】 比较、、的大小．【答案】【解析】分别画出的图象，可得结论．类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型例2．某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现，f (n )近似地满足，其中，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A .已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．【答案】9【解析】由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A .所以，解得a ＝1，b ＝8.所以，其中.令f (n )＝8A ，得，解得，即，所以n ＝9.11221log 2xx x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭13x⎛⎫⎪⎝⎭13x 13log (1)x x >13x >13x⎛⎫⎪⎝⎭13log x>13131(,,log 3xy y x y x ===9()nAf n a bt=+232t -=99314AA a b A A a b ⎧=⎪+⎪⎨=⎪+⎪⎩9()18n A f n t =+⨯223t =-9818nA A t =+⨯164nt =62122364n --==答：栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．【总结升华】本题将指数函数型嵌入树苗种植问题，使问题情景生动而新颖，自然而贴切．同学们不仅要学会二次函数的知识，而且还要会运用所学数学知识分析和解决生活实际问题，体验数学与生活“融合”的乐趣．举一反三：【高清课程：几类不同增长的函数模型377565 例3】【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x = t （0≤t ≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f （t ），则函数y = f （t ）的图象大致是（ ）【答案】D【解析】 函数故选 D ．【变式2】据调查，某贫困地区约有100万人从事传统农业的农民，人均年收入仅有3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x （x ＞0）万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为3000a 元（a ＞0）．（1）建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大．【答案】（1）0＜x≤50；（2）50．【解析】（1）由题意得，即x 2－50x≤0，解得0≤x≤50．又∵x ＞0，∴0＜x≤50．（2）设这100万人农民的人均年收入为y 元，则，即，0＜x≤50．当0＜25(a+1)≤50且a ＞0，即0＜a≤1时，则x=25(a+1)时，y 取最大值．当25(a+1)＞50即a ＞1时，y 在（0，5]上单调递增，∴当x=50时，y 取最大值．答：在0＜a≤1时，安排25(a+1)万人进入企业工作，在a ＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这10022(01)()(12)t S t t ≤≤=⎪+<≤⎪⎩23000(100)(11003000100xx -⨯+≥⨯23000(100)(1)3000100100xx ax y -⨯++=603000(1)300000100x a x -+++=223[25(1)]3000375(1)5y x a a =--++++万人的人均年收入最大．【总结升华】本题是一个关注民生的实际问题，应认真阅读，理解题意，转译为数学语言，寻找变量之间的联系．然后对此二次函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．例3．某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接收订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？【解析】首先建立直角坐标系，画出散点图（右图）；其次，根据散点图，我们可以设想函数模型可能为一次函数型：f (x)=kx+b （k≠0）；二次函数型：g (x)=ax 2+bx+c （a≠0）；幂函数型：；指数函数型：m (x)=ab x +c ．最后，用待定系数法求出各解析式，并验证，选出合适的函数． 设月产量为y 万件，月份数为x ，建立直角坐标系（如右图），可得A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）．（1）对于直线，将B 、C 两点的坐标代入，有，，解得k=0.1，b=1，故．将A 、D 两点的坐标代入，得f (1)=1.1，与实际误差为0.1，f (4)=1.4，与实际误差为0.03．（2）对于二次函数，将A 、B 、C 三点的坐标代，有g (1)=a+b+c=1，g (2)=4a+2b=c=1.2，g (3)=9a+3b+c=1.3．解得a=―0.05，b=0.35，c=0.7，故g (x)=―0.05x 2+0.35x+0.7．将D 点的坐标代入，得g (4)=―0.05×42+0.35×4+0.17=1.3，与实际误差为0.07．（3）对于幂函数型，将A 、B 两点的坐标代入，有h (1)=a+b=1，．解得a≈0.48，b≈0.52．故．将C 、D 两点的坐标代入，得，与实际误差为0.05；h (4)=0.48×2+0.52=1.48，与实际误差为0.11．（4）对于指数函数型m(x)=ab x +c ，将A 、B 、C 三点的坐标代入，得m (1)=ab+c=1，m (2)=ab 2+c=1.2，m (3)=ab 3+c=1.3．解得a=―0.8，b=0.5，c=1.4．故m (x)=―0.8×(0.5)x +1.4．将D 点的坐标代入，得m (4)=－0.8×(0.5)4+1.4=1.35，与实际误差为0.02．比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m (x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m (x)恰好反映了这种趋势，因此选用m (x)=－0.8×(0.5)x +1.4比较接近客观实际．选用y=a·b x +c 模型，且a=－0.8，b=0.5，c=1.4比较接近实际．举一反三：【高清课程：几类不同增长的函数模型377565例4】12()h x ax b =+()(0)f x kx b k =+≠(2)2 1.2f k b =+=(3)3 1.3f k b =+=()0.11f x x =+2()(0)g x ax bx c a =++≠12()h x ax b =+(2) 1.2h b =+=12()0.480.52h x x =+(3)0.480.52 1.35h =+≈【变式1】某山区加强环境保护后，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么经过x 年绿色植被的面积为y ，则函数y = f (x ) 的图象大致为（ ）．【答案】D【解析】设某山区原有绿色植被为，则经过第一年增长后面积为，经过第二年增长后面积为，…，经过x 年绿色植被的面积为，是指数型函数，故选D ．【变式2】“水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨二不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x （x≤7）吨，试计算本季度他应交的水费y （单位：元）．【思路点拨】根据每一季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%．分为三段，建立分段函数模型．【答案】【解析】由题意可知：①当x ∈[0，5]时f （x ）=1.2x②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；即：当x ∈（5，6]时f （x ）=1.2×5+（x －5）×3.6=3.6x －12③当x ∈（6，7]时f （x ）=1.2×5+1×3.6+（x －6）×6=6x －26.4∴【总结升华】本题主要考查将实际应用问题转化为数学问题的能力，解题时要仔细阅读，抓住关键词，关键句来建立数学模型，分段函数的意义和应用．例4．（2016春 江苏启东市月考）某人年初向银行贷款10万元用于购房，（1）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？（2）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的计算计入次年的本金生息），a (110.4%)a +2(110.4%)a +(110.4%)xa +1.2,[0,5]() 3.612,(5,6]626.4,(6,7]x x f x x x x x ∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈⎩1.2,[0,5]() 3.612,(5,6]626.4,(6,7]x x f x x x x x ∈⎧⎪=-∈⎨⎪-∈⎩仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（其中：1.0410=1.4802）【思路点拨】（1）设每年还款x 元，由题意可得，从而解x ；（2）设每年还款y 元，由题意可得，从而解y ．【答案】（1）12245；（2）12330【解析】（1）设每年还款x 元，则，即，解得，；（2）设每年还款y 元，则，即，则．【总结升华】上述公式是计算复利的本利和公式，应熟练掌握它，并灵活地运用它解决实际问题中的复利利息计算问题．所谓复利，就是到期后，本期的利息自动计入下一期的本金，类似地，到期后，本期的利息不计作下一期的本金就是单利，单利的计算公式为y =a (1+xr )．其中a 为本金，r 为每一期的利率，x 为期数．举一反三：【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．【答案】219.01【变式2】某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为（n+1）元时，比礼品价值为n 元（n ∈N*）时的销售量增加10%．（1）写出礼品价值为n 元时，利润y n （元）与n （元）的函数关系式；（2）请你设计礼品的价值，以使商品获得最大利润．【答案】（1）；（2）9元或10元．【解析】第（1）问易得，第（2）问礼品的价值为多少时，使商店获取最大的利润，只需借助于指数函数的单调性，使得n 取某个值时，其前面的取值与后面的取值都比它小即可，即且510(1105%)(195%)(185%)x x x +⨯=+⨯++⨯++ 5109810(14%)(14%)(14%)y y y +=+++++ 510(1105%)(195%)(185%)x x x +⨯=+⨯++⨯++ 510 1.510450.05x x ⨯=+⋅105 1.512245()12.25x ⨯=≈元5109810(14%)(14%)(14%)y y y +=+++++ 105101.04110 1.04 1.041y -⨯=-510 1.48020.0412330()0.4802y ⨯⨯≈≈元(1r)xy a =+(10080)(110%)(20) 1.1nnn y n m n m =--⋅⋅+=-⋅⋅(020,N*)n n <<∈10n n y y +-≥．（1）设未赠礼品时的销售量为m 件，则当礼品价值为n 元时，销售量为m(1+10%)n ；利润．（2）令，即，解得n≤9．所以y 1＜y 2＜y 3＜…＜y 9=y 10，令，即，解得n≥8．所以y 9=y 10＞y 11＞y 12＞y 13＞…＞y 19，所以礼品价值为9元或10元时，商品获得最大利润．【高清课程：几类不同增长的函数模型377565例6】例5．如图，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为v （v ＞0），雨速沿E 移动方向的分速度为c （c ∈R ）．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S 成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y 的表达式；（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）当时，；当时，．【解析】（Ⅰ）单位时间的淋雨量为：总的淋雨量为：，即（Ⅱ）①当即时120n n y y ++-≥(10080)(110%)(20) 1.1n nn y n m n m =--⋅⋅+=-⋅⋅(020,N*)n n <<∈10n n y y +-≥1(19) 1.1(20) 1.10n n n m n m +-⋅⋅--⋅⋅≥120n n y y ++-≥12(19) 1.1(18) 1.10n n n m n m ++-⋅⋅--⋅⋅≥v c -11012325(103)15(),5(310)15().c v c vy c v c v -⎧+≥⎪⎪=⎨+⎪-<⎪⎩10v =min 3202y c =-v c =min 50y c=131||1022v c ⨯-+10031||202y v c v ⎡⎤=⨯-+⎢⎥⎣⎦5(103)c y v -∴=5(103)15(),5(310)15().c v c vy c v c v -⎧+≥⎪⎪=⎨+⎪-<⎪⎩1030,c ->1003c <≤在上单调递减时，最小，．②当即时在上单调递减，在上单调递增．当时，最小，．答：当雨速的分速度，时，；当雨速的分速度，时，．y (]0,10v ∈10v ∴=y min 3202y c =-1030,c -<1053c <≤y (0,)v c ∈(,10)v c ∈v c =y min 50y c=1003c <≤10v =min 3202y c =-1053c <≤v c =min 50y c=。
几类不同增长的函数模型
定义与公式
定义
幂函数是一种特殊的函数形式，通常表 示为`f(x) = x^n`，其中n是实数。
VS
公式
幂函数的公式为f(x) = x^n，其中x为底 数，n为指数。
幂函数增长的特点
增长率
幂函数的增长率随着n的增大而增大，即指数越大，函数增长速 度越快峭，随着x的增大，函数值 增长越来越快。
对数增长的应用
01
金融领域
对数增长函数模型被广泛应用于 金融领域，如股票价格、债券收 益率等变量的预测和分析。
02
03
环境科学
生物学
在环境科学领域，对数增长函数 模型被用于描述污染物在环境中 的扩散和稀释过程。
在生物学中，对数增长函数模型 被用于描述细菌生长、人口增长 等生物学过程。
04
幂函数增长模型
。
工业生产
在工业生产中，如果生产速度与 时间成正比，那么可以使用线性 增长函数来描述生产情况。通过 调整参数 k 可以控制单位时间内
生产的数量。
其他应用
线性增长函数还可以应用于描述 某些物理现象，如弹簧的伸长量
与受到的力成正比等。
02
指数增长函数模型
定义与公式
定义
指数增长函数模型是一种特殊的增长函数，其增长速度与时间成正比，通常表 示为 y = ae^rt，其中 a 为初始值，r 为增长率，t 为时间。
经济问题
高次多项式增长函数可以描述经济现象的变化 ，例如收益曲线、成本曲线等。
信号处理
高次多项式增长函数可以用于信号处理领域，例如频谱分析、滤波等。
06
分段函数增长模型
定义与公式
01
分段函数增长模型是指函数在 各个区间内具有不同的增长趋 势和公式。
几类不同增长的函数模型 课件
(2)如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需 要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数 关系图象，根据图象填空：
①通话2分钟，需付电话费________元．
②通话5分钟，需付电话费________元．
③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间 的函数关系式为________．
几类不同增长的函数模型
常见的增长模型
1．线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不 变．
2．指数函数模型
能 利 用 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _指_ _数_ _函_ _数_ _(_底_ _数_ _a_>_1_)_ _ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 指 数 函
数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速 度越来越快，常形象地称为指数爆炸．
3．对数函数模型 能 用 _ _ _ _ _ _ _对_ _数_函_ _数_ _(_底_数_ _a_>_1_)_ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 做 对
数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _越_ _来_越_ _慢_ _ ， 函 数 值 增 长 速 度 _____________．
函数模型的增长差异
(1)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝60x
B．y＝x60
C．y＝60x D．y＝log60x(x∈N*) (2)研究函数y＝0.3ex－3，y＝ln(x＋2)，y＝x2－2在[0，＋
∞)上的增长情况．
[思路探究] 1．处理函数模型增长速度差异问题的关键是什么？ 2．对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差异？
3.2.1几类不同增长的函数模型课件人教新课标1
0.8
0.4
3 40 0 30 10
1.6
0.8
4 40 0 40 10
3.2
1.6
5 40 0 50 10
6.4
3.2
6 40 0 60 10
12.8
6.4
7 40 0 70 10
25.6
12.8
8 40 0 80 10
51.2
25.6
9 40 0 90 10
102.451.2…… … … ……
…
种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投
资方案；投资11天（含11天）以上，应选择
第三种投资方案。
解决实际问题的步骤：
实际问题
读
抽
懂
象
问
概
题
括
数学问题
演推 算理
实际问题的解 还 原 说 明
数学问题的解
例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备 制定一个激励门的嘉奖方案：在销售利润到达10万 元时，按销售利润进行嘉奖，且资金y(单位：万元) 随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资 金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。 现有三个嘉奖模型：y=0.25x，y=log7x+1， y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
O
R
圆的周长随着圆的半径的增大而增大：
L=2*π*R (一次函数) 圆的面积随着圆的半径的增大而增大：
S=π*R2 (二次函数)
回顾： 某种细胞分裂时，由1个分裂成两 个，两 个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x次后，得 到的细胞个数y与x的函数关系是 y = 2x 。
第一次 第二次 第三次 第四次
第x次 2x个
成长曲线模型
成长曲线模型成长曲线模型是一种分析个体、企业或产品在不同阶段成长与发展规律的数学模型。
通过对成长曲线模型的研究，我们可以更好地预测未来的发展趋势，制定相应的决策，并评估战略效果。
一、成长曲线模型的概述1.成长曲线模型的定义成长曲线模型是通过建立一个数学方程，描述个体、企业或产品在时间序列上的成长规律。
这种模型可以帮助我们了解成长过程中的波动和趋势，为未来的发展提供指导。
2.成长曲线模型的分类根据不同的应用场景，成长曲线模型可以分为以下几类：（1）指数增长模型：适用于成长速度迅速加快的情况，如初创企业的快速发展。
（2）逻辑增长模型：适用于成长速度逐渐减缓的情况，如成熟企业的稳定发展。
（3）对数增长模型：适用于成长过程中波动较小，但总体趋势明显的情况。
二、成长曲线模型的应用1.个人成长与发展成长曲线模型可以帮助个人了解自己的成长速度和潜力，制定合适的学习和发展计划。
2.企业成长与战略规划企业可以通过成长曲线模型预测市场趋势，评估产品生命周期，制定有效的战略规划。
3.产品生命周期管理成长曲线模型可以帮助企业了解产品的市场接受程度、销售量和利润变化，从而制定有针对性的市场营销策略。
三、成长曲线模型的优势与局限性1.优势（1）预测未来发展趋势：通过对成长曲线模型的分析，我们可以预测未来的发展速度和潜力。
（2）指导决策制定：成长曲线模型可以为决策者提供有关个人、企业或产品的成长状况，有助于制定合适的决策。
（3）评估战略效果：通过比较实际成长曲线与预测曲线，可以评估战略实施的效果。
2.局限性（1）数据的准确性与可靠性：成长曲线模型的建立依赖于历史数据，数据的准确性和可靠性对模型的预测效果具有重要影响。
（2）忽视外部环境变化：成长曲线模型主要关注内部成长规律，对外部环境变化敏感度较低，可能导致预测失误。
四、如何优化成长曲线模型1.提高数据质量：收集更全面、准确和可靠的数据，提高成长曲线模型的预测精度。
2.结合其他分析方法：如SWOT分析、PESTLE分析等，综合评估个人、企业或产品的成长状况。
学案3：4.5 增长速度的比较
4.5增长速度的比较学习目标核心素养1.了解和体会函数模型在实际生活中的广泛应用．(一般)2．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较．(重点) 3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．(难点)1.通过三种不同增长的函数模型差异的学习，培养逻辑推理的核心素养．2．借助函数模型的应用，提升数学建模核心素养.【自主预习】1．三种函数增长速度的比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度，会超过并远远y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度．(3)存在一个x0，当x>x0时，有.2．增长率问题日常生活中常见的问题，计算公式为y＝，若某月的产值是b，月增长率为p，则此月开始第n个月后的产值是.【基础自测】1．下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2 020x B．y＝x2 020C．y＝log2 020x D．y＝2 020x2．已知增函数f(x)的图像如图，则它的一个可能的解析式为()A．y＝2x B．y＝4－4x＋1C ．y ＝log 3(x ＋1)D ．y ＝x 13(x ≥0)3．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．2x ＞x 12＞lg xB ．2x ＞lg x ＞x 12C ．x 12＞2x ＞lg xD ．lg x ＞x 12＞2x4．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过________小时．【合作探究】【例1】(1)f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A ．f (x )＞g (x )＞h (x )B ．g (x )＞f (x )＞h (x )C ．g (x )＞h (x )＞f (x )D ．f (x )＞h (x )＞g (x )(2)四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是哪一个？为什么？[思路探究] (1)根据指数函数、幂函数、对数函数的增长情况及指数函数的底数对其增长速度的影响来判断．(2)根据不同函数模型的增长特点来判断．【规律方法】三种函数模型的表达式及其增长特点(1)指数函数模型：表达式为f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0，b >0且b ≠1)，当b >1时，增长特点是随着自变量x 的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当0<b <1时，函数值由快到慢地减小.(2)对数函数模型：表达式为f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m>0，a>0且a≠1)，当a>1时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当0<a<1时，相应函数值逐渐减小，变化得越来越慢.(3)幂函数模型：表达式为f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1，α>0)，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型.【跟踪训练】1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y2232 1 02432 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y32102030405060y42 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907关于x呈指数函数变化的变量是________．类型二三类函数图像的比较【例2】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图像，判断f(6)，g(6)，f(2 020)，g(2 020)的大小．[思路探究]首先判断x1、x2的范围，再判断6和2 020在哪个区间内，从而得到f(6)与g(6)，f(2 020)与g(2 020)的大小．最后四个值进行排序．【规律方法】由图像判断指数函数、对数函数和幂函数的方法,根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图像上升的快慢，即随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数；图像趋于平缓的函数是对数函数. 【跟踪训练】2．(1)若－1＜x ＜0，则不等式中成立的是( ) A ．5－x ＜5x ＜0.5x B ．5x ＜0.5x ＜5－x C ．5x ＜5－x ＜0.5xD ．0.5x ＜5－x ＜5x(2)函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图像如图所示．①试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；②比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)．类型三几类函数模型的应用【例3】 (1)如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y 与净化时间t (月)的近似函数关系：y ＝a t (t ≥0，a ＞0且a ≠1)的图像．有以下叙述：①第4个月时，剩留量就会低于15；②每月减少的有害物质质量都相等；③若剩留量为12，14，18时，所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3则t 1＋t 2＝t 3.其中所有正确叙述的序号是________．(2)某品牌茶壶的原售价为80元一个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下的方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个，……；如果一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个．乙店一律按原价的75%销售．现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙店购买，则所需金额为y2元．①分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；②该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？[思路探究](1)先求出解析式，再分别代入值求解．(2)根据题意先建立函数模型再求解．【规律方法】建立函数模型要遵循的原则(1)简化原则：,建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则：,建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.(3)反映性原则：,建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.【跟踪训练】3．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n＝P0(1＋k)n(k＞－1)，P n为预测人口数，P0为初期人口数，k为预测期内年增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期有－1＜k＜0，那么在这期间人口数()A．呈下降趋势B．呈上升趋势C．摆动变化D．不变【课堂小结】1．本节课的重点是掌握指数函数、对数函数、幂函数模型的增长差异及增长差异的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)常见函数模型的增长差异．(2)不同函数模型的选取标准．3．本节课的易错点是函数模型的选取．【当堂达标】1．我国工农业总产值从1999年到2019年的20年间翻了两番，设平均每年的增长率为x，则有()A．(1＋x)19＝4B．(1＋x)20＝3C．(1＋x)20＝2 D．(1＋x)20＝42．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有()A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y13．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表所示：则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为________，________，________.4．试比较函数y＝x200，y＝e x，y＝lg x的增长差异．【参考答案】【自主预习】1．(1)增 (2)越来越快 大于越来越慢(3) a x >x n >log a x 2．N (1＋p )xb (1＋p )n【基础自测】1．A [比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.] 2．B [由于过(1,2)点，排除C ，D ；由图像与直线y ＝4无限接近，y ＜4，排除A ，所以选B.]3．A [结合y ＝2x ，y ＝x 12及y ＝lg x 的图像易知当x ∈(0,1)时，2x＞x 12＞lg x ．]4．3 [设1个细菌分裂x 次后有y 个细菌，则y ＝2x ，令2x ＝4 096＝212，则x ＝12，即需分裂12次，需12×15＝180(分钟)，即3小时．]【合作探究】【例1】(1)B [由函数性质可知，在区间(4，＋∞)，指数函数g (x )＝2x 增长最快，对数函数h (x )＝log 2x 增长最慢，所以g (x )>f (x )>h (x )．](2)[解] 最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x ，理由如下：显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x . 【跟踪训练】1．y 2 [从表格观察函数值y 1，y 2，y 3，y 4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x 呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化．]【例2】[解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x . (2)∵f (1)＞g (1)，f (2)＜g (2)，f (9)＜g (9)，f (10)＞g (10)， ∴1＜x 1＜2,9＜x 2＜10，∴x 1＜6＜x 2,2 020＞x 2.从图像上可以看出，当x 1＜x ＜x 2时，f (x )＜g (x )，∴f (6)＜g (6)． 当x ＞x 2时，f (x )＞g (x )，∴f (2 020)＞g (2 020)． 又∵g (2 020)＞g (6)，∴f (2 020)＞g (2 020)＞g (6)＞f (6)． 【跟踪训练】2．(1)B [画出y 1＝5－x ，y 2＝5x ，y 3＝0.5x 的图像如图，所以5x ＜0.5x ＜5－x .](2)[解] ①C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x . ②当x ＜x 1时，g (x )＞f (x )； 当x 1＜x ＜x 2时，f (x )＞g (x )； 当x ＞x 2时，g (x )＞f (x )； 当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x )．类型三几类函数模型的应用【例3】(1)①③ [根据题意，函数的图像经过点⎝⎛⎭⎫2，49，故函数为y ＝⎝⎛⎭⎫23t，令t ＝4时，y ＝1681＜15，故①正确；令t ＝1时，y ＝23，减少13，当t ＝2时，y ＝49，减少29，每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y ＝12，14，18，解得t 1＝log 2312，t 2＝log 2314，t 3＝log 2318，t 1＋t 2＝t 3，故③正确．](2)[解] ①y 1与x 之间的函数关系式：y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋80x (0＜x ≤18，x ∈N *)，44x (x ＞18，x ∈N *)，y2与x之间的函数关系式：y2＝60x(x≥0，x∈N*)．②y＝y1－y2=当x＝10时，y＝y1－y2＝0，即y1＝y2；当1≤x＜10时，y＝y1－y2＝－2x(x－10)＞0，即y1＞y2；当10＜x≤18时，y＝y1－y2＝－2x(x－10)＜0，即y1＜y2；当x＞18时，y＝y1－y2＝－16x＜0，即y1＜y2.所以，当茶社购买这种茶壶的数量小于10个时，到乙茶具店购买茶壶的费用较少，当茶社购买数量为10个时，费用一样，当茶社购买这种茶具的数量大于10个时，到甲茶具店购买茶壶的费用较少．【跟踪训练】3．A[若－1＜k＜0，则0＜1＋k＜1，结合P0＞0类指数函数P n＝P0(1＋k)n单调递减，即在这期间人口数呈下降趋势．]【当堂达标】1．D[本题为增长率模型函数，为指数函数形式：设1999年总产值为1，则(1＋x)20＝4.] 2．B[在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图像(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图像依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.]3．y3y2y1[通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，变量y3随x的变化越来越慢，为对数函数；y2随x的变化越来越快，为指数函数；y1随x 的变化速度介于指数函数与对数函数之间，为幂函数．]4．[解]根据幂函数、指数函数、对数函数的图像特征，增长最慢的是y＝lg x，由图像(图略)可知随着x的增大，它几乎平行于x轴；当x较小时，y＝x200要比y＝e x增长得快；当x较大时，y＝e x要比y＝x200增长得快．。
函数模型及其应用教案
．
问：其中哪个模型能符合公司的要求？
生：仿照例题的探究方法||，选用具体函数进行研究、论证||，并进行交流总结||，形成结论性报告．
师：对学生的结论进行评析||，借助信息技术手段进行验证演示．
巩
固
与
反
思
尝试练习：
1）教材P116练习1、2||；
2）教材P119练习．
小结与反思：
通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义||，认识数学的价值||，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系||，从而体会数学的实用价值||，享受数学的应用美．
探究：
1）本例涉及了哪几类函数模型？
本例的实质是什么？
2）你能根据问题中的数据||，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？
师：引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响||，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况．
生：进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用||，体会它们的增长差异．
(1)求出a、b的值||；
(2)若这种鸟类为赶路程||，飞行的速度不能低于2 m/s||，则其耗氧量至少要多少个单位？
答案与解析
(1)由题意可知||，当这种鸟类静止时||，它的速度为0 m/s||，此时耗氧量为30个单位||，故有 ＝0||，
即a＋b＝0||；当耗氧量为90个单位时||，速度为1 m/s||，故 ＝1||，整理得a＋2b＝1.
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【备用例2】 某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况, 从某码头乘汽艇出发,沿直线方向匀速开往该岛,靠近岛时,绕小岛环行两 周后,把汽艇停靠岸边,上岸考察,然后又乘汽艇沿原航线提速返回.设t为 出发后的某一时刻,s为汽艇与码头在时刻t的距离,下列图象中能大致表 示s=f(t)的函数关系的为( )
解:(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1, C2对应的函数为f(x)=lg x. (2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x), 当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x), 当x∈(x2,+∞)时,g(x)>f(x).
题型三 函数模型的选取
【例3】 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万 件,为估测以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的 月产量y和月份x的关系,模拟函数可以选用二次函数y=ax2+bx+c或函数y=a·bx+c( 其中a,b,c为常数,a≠0,b>0且b≠1).已知4月份该产品的产量为1.37万件,问用上 述哪一种函数作为模拟函数好?请说明理由.Leabharlann 课堂探究——典例剖析·举一反三
题型一 图象信息迁移问题
【例1】 如图所示,折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(
元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象,根据图象填空:
(1)通话2分钟,需付电话费
元;
(2)通话5分钟,需付电话费
元;
解析:(1)由题中图象可知,当0≤t≤3时,电话费都是3.6元. (2)由题中图象可知,当t=5时,y=6,需付电话费6元. 答案:(1)3.6 (2)6
3.(函数模型)对于两个变量x,y有如下一组数据,
x
0
1
2
3
y
0.9
2
4.1
7.9
4 16.2
则x,y间拟合效果最好的曲线方程是( C )
(A)y=log2x (C)y=2x
(B)y=2x (D)y=x2
4.(函数模型)若长方形的长x是宽的2倍,则该长方形的面积y与x之间的
关系式为
.
答案:y= x2(x>0)
(2)随着x的增大,y=ax(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn (n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度 越来越慢 . (3)存在一个x0,当x>x0时,有 logax<xn<ax .
自我检测
C
2.(增长速度比较)下列函数中,增长速度最快的是( A ) (A)y=20x (B)y=x20 (C)y=log20x (D)y=20x
解析:当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时,s=vt,图象为一条线段;当环 岛两周时,s两次增至最大,并减少到与环岛前的距离s0;上岸考察时,s= s0;返回时,s=s0-vt,图象为一条线段.所以选C.
题型二 常见函数模型增长趋势的比较 【例2】 函数f(x)=2x和g(x)=x3(x≥0)的图象,如图所示.设两函数的图 象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2. (1)请指出示意图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;
方法技巧 开放型的探究题,函数模型不是确定的,需要我们去探索,去尝 试,找到最合适的模型,解题过程一般为: (1)用待定系数法求出函数解析式; (2)检验:将(1)中求出的几个函数模型进行比较、验证,得出最适合的函数 模型; (3)利用所求出的函数模型解决问题.
即时训练3-1:某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如表:
月份
1
2
3
产量(千件)
50
52
53.9
为估计以后每月对该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数 y=ax+b或y=ax+b(a,b为常数,且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与 月份x的关系.请问:用以上哪个模拟函数较好?说明理由.
题型四 建立函数模型解决实际问题 【例4】 一工厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价为60元, 该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100时,每多订购1个,订购 的全部零件的单价就降低 0.02元,但最低出厂单价不低于51元. (1)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂价恰好为51元?
想一想 指数函数,对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律?幂函数的 幂指数大于0且不相同时增长快慢如何? (由图象可知,指数函数在x>0时,底数越大增长得越快,对数函数在x>1时 底数越大增长得越慢,幂函数在x>1时指数越大增长得越快)
知识探究
1.三种函数模型的性质
函数 性质 在(0,+∞)上的
即时训练1-1:甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示 ,则下列说法正确的是( ) (A)甲比乙先出发 (B)乙比甲跑的路程多 (C)甲、乙两人的速度相同 (D)甲先到达终点
解析:由题图可知甲、乙同时出发,且所跑路程相同,因为甲所用时间较 少,所以甲先到达终点.综上,选D.
【备用例1】 一天,亮亮发烧了,早晨他烧得很厉害,吃过药后感觉好多了 ,中午时亮亮的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜亮 亮才感觉身上不那么发烫.下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～ 24时)体温的变化情况的是( )
(2)设一次订购量为x个时零件的实际出厂价为p元,写出p=f(x).
(3)当销售商一次订购量分别为500,1 000个时,该工厂的利润分别为多少? (一个零件的利润=一个零件的实际出厂价-一个零件的成本)
方法技巧
数学建模中要对所给条件进行简化及合理的假设,从中区分
出主要条件及次要条件,再根据要求选取合适的数学知识来求解.
增减性
图象的变化
y=ax(a>1)
单调递增 随x增大逐 渐______
上升
y=logax(a>1)
单调递增 随x增大逐 渐_上__升___
y=xn(n>0)
单调递增 随x增大 逐渐_上__升__
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是 增函数 ,但 增长速度 不同,且不在同一个“档次”上.
(3)如果t≥3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为 .
答案:(3)y=1.2t(t≥3)
方法技巧 解答图象信息迁移题的方法 (1)明确横轴,纵轴的意义,如本题中横轴t表示通话时间,纵轴y表示电话 费; (2)从图象形状上判定函数模型,如本题中在区间[0,3]和[3,+∞)上均是 直线型; (3)抓住特殊点的实际意义,特殊点一般包括最高点(最大值点)、最低点( 最小值点)及折线的拐角点等; (4)通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题.
方法技巧 由指数函数、对数函数增长的规律识别图象,即指数函数增长 的速度越来越快,在某一位置会远远超过幂函数的增长,总存在x0,使x>x0 时,ax>xα.
即时训练2-1:函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)指出图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数; (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进 行比较).
几类不同增长的函数模 型
课标要求:1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长差异 .2.结合实例体会直线上升,对数增长,指数爆炸等不同函数类型增长的含 义.3.会分析具体的实际问题,建模解决实际问题.
自主学习 课堂探究
自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】 导入 在同一坐标系内观察图象(1)y=2x,y=3x,y=4x; (2)y=log2x,y=log3x,y=log4x;(3)y=x2,y=x3,y=x4; (4)y=2x,y=log2x,y=x2.
解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3(x≥0),C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)结合函数图象,比较f(8),g(8),f(2 015),g(2 015)的大小.
解:(2)因为 g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10) =1 000,f(10)=1 024, 所以f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9), f(10)>g(10). 所以1<x1<2,9<x2<10. 所以x1<8<x2<2 015. 从题中图象上知,当x1<x<x2时,f(x)<g(x); 当x>x2时,f(x)>g(x),且g(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以f(2 015)>g(2 015)>g(8)>f(8).