几类不同增长的函数模型

(2)随着x的增大,y=ax(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn (n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度 越来越慢 . (3)存在一个x0,当x>x0时,有 logax<xn<ax .
自我检测
C
2.(增长速度比较)下列函数中,增长速度最快的是( A ) (A)y=20x (B)y=x20 (C)y=log20x (D)y=20x
课堂探究——典例剖析·举一反三
题型一 图象信息迁移问题
【例1】 如图所示,折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(
元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象,根据图象填空:
(1)通话2分钟,需付电话费
元;
(2)通话5分钟,需付电话费
元;
解析:(1)由题中图象可知,当0≤t≤3时,电话费都是3.6元. (2)由题中图象可知,当t=5时,y=6,需付电话费6元. 答案:(1)3.6 (2)6
3.(函数模型)对于两个变量x,y有如下一组数据,
x
0
1
2
3
y
0.9
2
4.1
7.9
4 16.2
则x,y间拟合效果最好的曲线方程是( C )
(A)y=log2x (C)y=2x
(B)y=2x (D)y=x2
4.(函数模型)若长方形的长x是宽的2倍,则该长方形的面积y与x之间的
关系式为
.
答案:y= x2(x>0)
(3)如果t≥3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为 .
答案:(3)y=1.2t(t≥3)
方法技巧 解答图象信息迁移题的方法 (1)明确横轴,纵轴的意义,如本题中横轴t表示通话时间,纵轴y表示电话 费; (2)从图象形状上判定函数模型,如本题中在区间[0,3]和[3,+∞)上均是 直线型; (3)抓住特殊点的实际意义,特殊点一般包括最高点(最大值点)、最低点( 最小值点)及折线的拐角点等; (4)通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题.
方法技巧 开放型的探究题,函数模型不是确定的,需要我们去探索,去尝 试,找到最合适的模型,解题过程一般为: (1)用待定系数法求出函数解析式; (2)检验:将(1)中求出的几个函数模型进行比较、验证,得出最适合的函数 模型; (3)利用所求出的函数模型解决问题.
即时训练3-1:某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如表:
解:(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1, C2对应的函数为f(x)=lg x. (2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x), 当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x), 当x∈(x2,+∞)时,g(x)>f(x).
题型三 函数模型的选取
【例3】 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万 件,为估测以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的 月产量y和月份x的关系,模拟函数可以选用二次函数y=ax2+bx+c或函数y=a·bx+c( 其中a,b,c为常数,a≠0,b>0且b≠1).已知4月份该产品的产量为1.37万件,问用上 述哪一种函数作为模拟函数好?请说明理由.
即时训练1-1:甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示 ,则下列说法正确的是( ) (A)甲比乙先出发 (B)乙比甲跑的路程多 (C)甲、乙两人的速度相同 (D)甲先到达终点
解析:由题图可知甲、乙同时出发,且所跑路程相同,因为甲所用时间较 少,所以甲先到达终点.综上,选D.
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【备用例1】 一天,亮亮发烧了,早晨他烧得很厉害,吃过药后感觉好多了 ,中午时亮亮的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜亮 亮才感觉身上不那么发烫.下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～ 24时)体温的变化情况的是( )
解析:当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时,s=vt,图象为一条线段;当环 岛两周时,s两次增至最大,并减少到与环岛前的距离s0;上岸考察时,s= s0;返回时,s=s0-vt,图象为一条线段.所以选C.
题型二 常见函数模型增长趋势的比较 【例2】 函数f(x)=2x和g(x)=x3(x≥0)的图象,如图所示.设两函数的图 象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2. (1)请指出示意图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;
月份
1
2
3
产量(千件)
50
52
53.9
为估计以后每月对该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数 y=ax+b或y=ax+b(a,b为常数,且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与 月份x的关系.请问:用以上哪个模拟函数较好?说明理由.
题型四 建立函数模型解决实际问题 【例4】 一工厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价为60元, 该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100时,每多订购1个,订购 的全部零件的单价就降低 0.02元,但最低出厂单价不低于51元. (1)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂价恰好为51元?
解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3(x≥0),C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)结合函数图象,比较f(8),g(8),f(2 015),g(2 015)的大小.
解:(2)因为 g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10) =1 000,f(10)=1 024, 所以f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9), f(10)>g(10). 所以1<x1<2,9<x2<10. 所以x1<8<x2<2 015. 从题中图象上知,当x1<x<x2时,f(x)<g(x); 当x>x2时,f(x)>g(x),且g(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以f(2 015)>g(2 015)>g(8)>f(8).
几类不同增长的函数模 型
课标要求:1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长差异 .2.结合实例体会直线上升,对数增长,指数爆炸等不同函数类型增长的含 义.3.会分析具体的实际问题,建模解决实际问题.
自主学习 课堂探究
自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】 导入 在同一坐标系内观察图象(1)y=2x,y=3x,y=4x; (2)y=log2x,y=log3x,y=log4x;(3)y=x2,y=x3,y=x4; (4)y=2x,y=log2x,y=x2.
想一想 指数函数,对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律?幂函数的 幂指数大于0且不相同时增长快慢如何? (由图象可知,指数函数在x>0时,底数越大增长得越快,对数函数在x>1时 底数越大增长得越慢,幂函数在x>1时指数越大增长得越快)
知识探究
1.三种函数模型的性质
函数 性质 在(0,+∞)上的
解析:观察图象A,体温逐渐降低,不合题意;图象B不能反映“下午体温又 开始上升”;图象D不能体现“下午体温又开始上升”与“直到半夜才感觉 身上不那么发烫”.故选C.
【备用例2】 某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况, 从某码头乘汽艇出发,沿直线方向匀速开往该岛,靠近岛时,绕小岛环行两 周后,把汽艇停靠岸边,上岸考察,然后又乘汽艇沿原航线提速返回.设t为 出发后的某一时刻,s为汽艇与码头在时刻t的距离,下列图象中能大致表 示s=f(t)的函数关系的为( )
(2)设一次订购量为x个时零件的实际出厂价为p元,写出p=f(x).
(3)当销售商一次订购量分别为500,1 000个时,该工厂的利润分别为多少? (一个零件的利润=一个零件的实际出厂价-一个零件的成本)
方法技巧
数学建模中要对所给条件进行简化及合理的假设,从中区分
出主要条件及次要条件,再根据要求选取合适的数学知识来求解.
增减性
图象的变化
y=ax(a>1)
单调递增 随x增大逐 渐______
上升
y=logax(a>1)
单调递增 随x增大逐 渐_上__升___
y=xn(n>0)
单调递增 随x增大 逐渐_上__升__
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是 增函数 ,但 增长速度 不同,且不在同一个“档次”上.
方法技巧 由指数函数、对数函数增长的规律识别图象,即指数函数增长 的速度越来越快,在某一位置会远远超过幂函数的增长,总存在x0,使x>x0 时,ax>xα.
即时训练2-1:函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)指出图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数; (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进 行比较).