3.2生活中线性相关实例分析
人教B版高中数学必修三课件2.3.2两个变量的线性相关
7.下表是某地的年降雨量与年平均气温， 判断两者是相关关系吗？求回归直线方程 有意义吗？
年平均气温 12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 (°C)
年降雨量 748 542 507 813 574 701 432 (mm)
由散点图看出， 求回归直线方 程无实际意义。
（1）求回归方程； （2）若市政府下一步再扩大5千煤气用户， 试预测该市煤气消耗量将达到多少.
解：（1）画散点图并求回归方程
^y=6.0573x+0.0811 （2）当x=5时, y=30.3676≈30.37。
（1）画出散点图： 杯 数
温度
（2）从图中可以看出温度与杯数具有相 关关系，当温度由小到大变化时，杯数 的值由大到小. 所以温度与杯数成负相关.
图中的数据大致分布在一条直线附近， 因此温度与杯数成线性相关关系。 （3）根据不同的标准，可以画出不同的 直线来近似地表示这种线性关系。
如可以连接最左侧和最右侧的点，或者 让画出的直线上方的点和下方的点的数目 数的历史资料如下：
年份
x用户（万 户）
y （百万立 方米）
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 1 1.2 1.6 1.8 2 2.5 3.2 4 4.2 4.5 6 7 9.8 12 12.1 14.5 20 24 25.4 27.5
y
1 n
n i 1
yi
同样a，b的上方加“^”，表示是由观察 值按最小二乘法求得的估计值。
由于 y bx a，故巧合的是：(xi，yi) (i=1，
2，…，n)的中心点
在(x回, y归) 直线上，x
人教A版高中数学必修三第二章第3节 2.3.2两个变量的线性相关 课件(共28张PPT)
【学习目标】 1、理解线性相关、正相关、负相关、散点图； 2、理清线性相关和散点图之间的关系；(定性) 3、在两个变量具有线性相关关系时，会作出线
性直线。(定量) 【学法指导】
在解决统计问题的过程中，系统地经历数据 收集和处理的全过程，进一步体会用样本估计总 体的思想，理解数形结合的数学思想和回归分析 的统计思想。
【探究新知】
在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获 得了一组样本数据：
.
根据上述数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄 之间有怎样的关系吗？
【小组合作】
探究一 收集数据 （1）回忆前面学过的统计知识，表中数据可能是如何收集到的？举例说明 （2）如何理解23岁对应的脂肪百分比为9.5？ 探究二 分析数据 （1）统计学中常用什么方法分析收集到的数据？ （2）高一在函数应用章节，如何根据已知数据预测其它数据？ （3）你发现年龄与脂肪含量这两个变量之间是什么关系？怎样发现的？ 探究三 寻找回归直线（定量） （1）回归直线一定过样本点的中心吗？为什么? （2）为什么要找回归直线？找到这条直线是否说明年龄与脂肪含量是函数关系? （3）假如我45岁，我的脂肪含量大约是多少？是表中的27.5吗？ （4）如何具体求出这个回归直线的方程呢？回归直线与散点图中各点的位置应
人体内脂肪含量与年龄之间是相关关系
在一定年龄段内，随着年龄的增长，人体内的脂肪 含量会增加，但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体 育锻炼等有关，可能还与个人的先天体质有关。
对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄 增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起， 就可能表现出一定的规律性.
散点图：
——具有函数关系． 2.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，那么这两个 变量之间有关系吗？关系确定吗？是什么关系？ ——有关系，不确定，有相关关系。 3. 如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线 性相关关系。线性相关又分正相关和负相关。（呈条形状） 4．如果散点图的点几乎没有什么规则，则这两个变量之间 关系又如何？ ——没有相关关系
线性代数 向量组的线性相关性应用案例2-刘杨
案例二：D urer 魔方O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M O O CO O C中国大学MOO C中国大学M OO C 中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M O O C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M O O C中国大学M OO C德国著名艺术家Albrecht Dürer(1471-1521年)于1514年曾铸造一枚充满数学符号、数字及几何图形的铜币，这里我们仅研究铜币右上角的数字问题。
O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OOC 中国大学M OO CO O C中国大学MOOC中国大学M OOC 中国大学M OO COOC中国大学M O OC 中国大学M OOC中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C特点：行和= 列和= 对角线之和= 每个小方块之和= 四个角之和=3416321351011896712415141Albrecht Dürer’s Magic SquareO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学M O O C中国大学MO O C中国大学M OO CO OC中国大学MO OC中国大学MO OC中国大学M OOCO O C中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M O O CDürer 魔方定义：一个4×4的数字方，它的每一行，每一列，每一对角线，每一小方块及四个角上的数字和均相等且为一确定数⚫如何构造Dürer 魔方？⚫一共有多少个Dürer 魔方？⚫如何构造所有的Dürer 魔方？——利用向量组的线性相关性O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC 中国大学M O O C中国大学M O O COOC中国大学M O OC 中国大学M O O C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C 中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C记D ={A =[a ij ]4×4|A 为Dürer 魔方}⚫⚫k R A D kA D,,∀∈∀∈∈A B D A B D,,∀∈+∈D 构成向量空间，称为D ürer 魔方空间O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC 中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MO O C中国大学M O O C中国大学M O O COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M O O COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M O O COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M O O C令R =行和，C =列和，D =对角线和，S =小方块和利用0和1构造R=C=D=S=1的简单Dürer 魔方可构造出8个基本魔方Q 1, …,Q 8O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC 中国大学M OO C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O COO C中国大学M OO C中国大学M OO C 中国大学M O O COO C中国大学M OO C中国大学M O O C中国大学M O O COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M O O CQ Q Q Q Q Q Q 123456710001000000100010010000110000100====000101000010100001001001000010001001000010100000100100===010*********101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q 801000001=1001010001000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦O O C中国大学M O O C中国大学M O O C中国大学M O O C O O C中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C 中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M O O CO O C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学M OOCO O C 中国大学MO O C中国大学M O O C中国大学M O O CO O C 中国大学MO O C中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C 中国大学MO O C中国大学M O O C中国大学M O O CO O C 中国大学MO O C中国大学M O O C中国大学M O OCQ Q Q Q Q Q Q Q 123456780−−++−−+=r Q r Q r Q r Q r Q r Q r Q 112233445566770++++++=⇒Q 1, …,Q 7是Dürer 魔方空间的一组基，任意Dürer 魔方可由其线性表示⇒Q 1, …,Q 8线性相关⇒Q 1, …,Q 7线性无关r r r r r r r 1234567======0⇒=O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C O O C中国大学M O O C中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOO C中国大学M OO C 中国大学M OO CO O C 中国大学MO O C 中国大学M O O C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C⚫构造Dürer 魔方D r Q r Q r Q r Q r Q r Q r Q r r r r r r r d d d d r r r r r r r d d d d r r r r r r r d d d d r r r r r r r d d d d 11223344556677126573411121314354716221222324462531731323334713245641424344+===++++++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⚫取不同的r 1,…,r 7值，可直接构造不同的Dürer 魔方⚫取不同的d 11,…,d 44 值，也可构造不同的Dürer 魔方O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中O O C中国大学M O O C中国大学MO O C 中国大学M O O C中O O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M O O C中O O C中国大学MOOC 中国大学M O O C 中国大学M OO C中OOC 中国大学M OOC 中国大学M O O C 中国大学M OO C中OOC中国大学M OOC中国大学M O O C中国大学M O OC中OO C中国大学M O OC中国大学M O O C中国大学M OO C中OO C 中国大学M OO C 中国大学M O O C中国大学M OO C中向量组的线性相关性应用案例⚫取不同的d 11,…,d 44 值，也可构造不同的Dürer 魔方1265734354716246253177132456110000000000100000101001100000101000001001+1000010010000000010101001000010000100000100000011010000r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⎡⎢⎢⎢⎢⎢++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥⇒⎢⎥+++⎢⎥+++⎣⎦1234567=r r r r Ar r r r ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥()11121314212223241611613132333441424344=ijd d d d d d d d d d d d d d d d d d ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⇒⎢⎥⎢⎥⎣⎦⚫构造Dürer 魔方Ar d ⇒−=OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOO C 中国大学M O O C 中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOO C中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MO O C中国大学MOOC 中国大学MOO C中国大学M OO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学M⚫取不同的d 11,…,d 44 值，也可构造不同的Dürer 魔方1265734354716246253177132456110000000000100000101001100000101000001001+100001001000000001010100100001000010000010000001101000001010000000110r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⎡⎢⎢⎢⎢⎢++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥⇒⎢⎥+++⎢⎥+++⎣⎦⎣1234567=r r r r Ar r r r ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦()11121314212223241611613132333441424344=ijd d d d d d d d d d d d d d d d d d ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⇒⎢⎥⎢⎥⎣⎦()Ar d r A E d 0,0⇒−=⎛⎫⇒−= ⎪⎝⎭中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOO C 中国大学M O O C 中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOO C中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOO C中国大学MOOC 中国大学MOO C中国大学M OO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学M OOC——解线性方程组()A E 1000000000000000001100001000000000000-10000000000100000000000000011100000100000000001000000100000100000000010100000000000100000000-1010000010000001000000000000100000000001000000-100011000,−−−−−−−−−⇒00000000100000-1010000010000000001000010100100000000000001000100011110000000000001001010111000000000000001010000101000000000000001-1010110010000000000000001100001100000000000000000111−−−−−−−−−−−−−−−−−100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭d 24 , d 32 , d 34 , d 41 , d 42 , d 43 , d 44(),0r A E d ⎛⎫−= ⎪⎝⎭中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M O O C 中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MO O C中国大学M OOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M O OC中国大学M OOC中国大学MO O C中国大学MO O C 中国大学MO OC中国大学M OOC中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O C向量组的线性相关性应用案例选取d 24 , d 32 , d 34 , d 41 , d 42 , d 43 , d 44为自由变量，其他量可由其唯一确定16321351011896712415141自由变量的选取不唯一！⚫构造Dürer 魔方中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M 中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M中国大学MO O C 中国大学MOO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M中国大学MO O C中国大学M O OC中国大学MO O C中国大学M OO C中国大学M中国大学MOOC 中国大学M OOC 中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M中国大学M OOC中国大学M OOC 中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M中国大学M OO C中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M。
线性相关分析
Z的95%可信区间为：
1.5334 ± 1.96 / 16 − 3 = (0.9898,2.0770)
总体相关系数ρ的95%可信区间为 ：
−1 e −1 e ~ 2×2.0770 = (0.76,0.97 ) 2×0.9898 +1 e +1 e
TX = ∑ (t − t ) / 12
3
TY = ∑ (t − t ) / 12
3
48
秩相关的含义
• 秩相关反映的是两变量的秩之间的相关， 并不反映两变量间的数值关系
例1 例2 例3 例4
X 1 2 3 4 5
Y 1 2 3 4 5
X 1 2 3
Y 1 4 9
X 1
Y 1
X 1 2
Y 1 10
2 1.1 3 1.2 4 1.3 5 1.4
r= Σ( X − X )(Y − Y ) Σ( X − X )
2
Σ(Y − Y )
2
=
l XY l XX lYY
(ΣX )(ΣY ) l XY = Σ( X − X )(Y − Y ) = ΣXY − n 2 ( ΣX ) 2 2 l XX = Σ( X − X ) = ΣX − n
lYY = ∑ (Y − Y ) 2 = ∑ Y 2 − (∑ Y )2 n
3 100 4 1000 5 10000
49
4 16 5 25
本章重点内容
一、相关系数r的意义 二、相关系数r的计算和总体相关系数 ρ的假设检验 三、线性回归与相关的区别与联系 四、Spearman秩相关系数的应用
【数学】 2.3.2《两个变量的线性相关》课件(新人教B版必修3)
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
11
11
写出回归方程为^y=0.304x+5.346.
（3）根据求得的回归方程，当腐蚀时间 为100s时，
^y=0.304×100+5.346=38.86(μm)
即腐蚀深度约为38.86μm.
练习题
1．下列说法正确的是（ D ） （A）y=2x2+1中的x，y是具有相关关系的 两个变量 （B）正四面体的体积与其棱长具有相关 关系 （C）电脑的销售量与电脑的价格之间是 一种确定性的关系 （D）传染病医院感染“非典”的医务人 员数与医院收治的“非典”病人数是具有 相关关系的两个变量
8.某市近10年的煤气消耗量与使用煤气户 数的历史资料如下：
年份
x用户（万 户）
y （百万立 方米）
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 1 1.2 1.6 1.8 2 2.5 3.2 4 4.2 4.5 6 7 9.8 12 12.1 14.5 20 24 25.4 27.5
y
1 n
n i 1
yi
同样a，b的上方加“^”，表示是由观察 值按最小二乘法求得的估计值。
由于 y bx a，故巧合的是：(xi，yi) (i=1，
人教版数学必修三.2 两个变量之间的线性相关 教学课件
散点图：
将各数据在平面坐标系中的对应点画出来，得到表 示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图。
如下图：
脂肪含量 40
35 30 25 20 15 10 5
年龄
人教版数学必修三.2 两个变量之间的线性相关 教学课件
O 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
人教版数学必修三.2 两个变量之间的线性相关 教学课件
图
2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
图4
150
1.2
人教版数学必修三.2 两个变量之间的线性相关 教学课件
人教版数学必修三.2 两个变量之间的线性相关 教学课件
• 正相关 ：从散点图1可以看出因变量随自变量的增大 而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域
• 负相关 ：从散点图2可以看出因变量随自变量的增大 而减小则称作负相关，负相关的散点图中的点分布在 左上角到右下角的区域.
• 无相关性：从散点图3、4可以看出因变量与自变量不 具备相关性 小结：两个变量间的相关关系，可以借助散点图直 观判断
人教版数学必修三.2 两个变量之间的线性相关 教学课件
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小试牛刀：
下列变量之间是相关关系的是（ C、E） A、出租车费与行驶的里程 B、房屋面积与房屋价格 C、身高与体重 D、铁的大小与质量 E、网速与下载文件所需时间是负相关
人教版数学必修三.2 两个变量之间的线性相关 教学课件
从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点 的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关。但 有的两个变量的相关，如下图所示：
如高原含氧量与海拔高度
人教版数学必修三.2 两个变量之间的线性相关 教研课件
我们还可以找到
更多的方法，但 40 这些方法都可行 35
吗?科学吗？
30
25
准确吗？怎样的 20
方法是最好的？ 15 10 5
我们把由一个变量的变化 0 去推测另一个变量的方法 称为回归方法。
2、代入公式计算 3、写出回归直线方程
人教版数学必修三.2 两个变量之间的线性相关 教研课件（精品课件）
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练习
已知变量x和变量y有下列对应数据
x
1
2
3
4
y
1/2 3/2 2
3
则y对x的回归直线方程是什么？
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30
25
脂肪含量
如图：
20
15
10
5
年龄
O
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
人教版数学必修三.2 两个变量之间的线性相关 教研课件（精品课件）
从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的 位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关。 但有的两个变量的相关，如下图所示：
请同学们展开 讨论，能得 出哪些具体 的方案？
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脂肪含量 40
35 30
25 20 15 10
5
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
方. 案1、先画出一条直线，测量出各点与它的 人教版数学必修三.2两个变量之间的线性相关教研课件（精品课件）
高二数学人教A必修3课件：2.3.2生活中线性相关实例(习题课)
弟一早统计2. 3.2生活中线性相关实例（习题i典例精析求回归直线方程针对某工厂某产品产量与单位成本的资料进行线性回归分析：»跟踪训练I.假设学生初中数学成绩和高一数学成绩是线性相关的，若10个学生初中数学成绩(无)和高一数学成绩(y)如下：试求初中和高一数学成绩间的回归方程._ 10解析：因为7=71,店=50 520,2=1_ 10) = 72. 逼y = 51 467,所以i= 1；51 467-10X71X72.3 n nio o 6= 50 520-10X712"L2182a = 72.3-l,218 2X71 = —14.192.故所求回归直线方程为$ = 1.218 N —14.192.判断两个变量间的线性相关关系并求回归直线方程一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：(1)y与兀是否具有线性相关关系？(2)如果y与兀具有线性相关关系，求y关于兀的回归直线方程. 解析：⑴画出散点图如下,由图可知〉与r有线性相关关系•120* *110 .100・.•90 ・• •80 - *■70 - •60- *I I I I I 1 I 1 』d ° 10 20 30 40 5060 70 8090100⑵列表、计算:2 i 10y=l fj55,)= 91, 7io500, 2 町沖=55 950设所求的回归直线方程为y = bx+a, 则由上表可得10 __召础厂］0巧55 950-10X55 X 91.7h = ------------------ = ------------------------ ——；寻2 “一2 38 500-10X552乙无~L Q Xi= 10, 6689a—y—bj： = 91, 7~0, 668X55 = 54. 96*即所求的回归直线方程为：$=0.66张+54.96-»跟踪训练2.以下是某地搜集到的新房屋的销售价格(y)和房屋的面积(劝的数据:(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程；(3)据⑵的结果估计当房屋面积为150山时的销售价格.解析对应的散点图如下图所示:= Vq = 109, V（工厂莎=1 570,5 a=l i=lL5y = 23. 2,工（斗一jr）（y‘一y） = 308,设所求回归直!=1竺‘心0.196 2,a = y 1 570 线方程为y = fo? +t则b =学一忘=23. 2 — 109 a 1.816 6.故所求回归直线方程为［ = 0.196 2/+1.816 6.（3）根据⑵，当X = 150 m2时，销售价格的估计值为j = 0・ 196 2 X 150 + 1.816 6 = 31.246 6（万元）.对已知数据进行线性回归分析某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间, 为此作了四次试验，得到的数据如下:(1) 在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;(2)求出y 关升的线性回归方程心復+；并在坐标系中画工厂”工• y _ _注必=’ --------- z —^a^y —bxV 22乙r ~nx~出回归直线;(3)试预测加工10个零件需要多长时间・2 = 1分析:(1)将表中的各对数据在平面直角坐标系中描点，得到散点图.(2)按求回归直线方程的步骤和公式，写出回归直线方程.(3)利用回归直线方程分析. 解析：(1)散点图如右图.4(2)由表中数据得为兀兀=i= 1525= 0. 7,L 05.•；y=O. 7T+1. 05,回归直线如图中所示.(3)将.r = 10代入回归直线方程，得$ = 0, 7 X 10+1.05=8. 05(小时),・••预测加工10个零件需要& 05小时.卜跟踪训练3.—台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损.按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下：仃）作岀散点图.（2）求y关于卫的线性回归直线方程.（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内。
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思考应用
1．对任何给定的一组样本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)是 否都可以用最小二乘法建立起一个线性回归模型？
解析：对于任何给定的一组样本(xi，yi)(i＝1,2，…， n)都可以用最小二乘法建立起一个线性回归模型，相应地 就可以得到一条回归直线．但是，这样的一条回归直线并 不是总有意义的，只有当变量X与Y之间确实存在某种因果 关系时，其回归直线才有意义．统计学中要确定变量X和Y 之间是否确实存在线性相关，通常利用相关系数来检 验．相关系数记作r，它能够较精确地描述两个变量之间线 性相关的密切程度．当r>0时称Y与X正相关；当r<0时称Y 与X是负相关．
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跟踪训练
1．假设学生在初中和高一数学成绩是线性相关 的．若10个学生初中(x)和高一(y)数学成绩如下：
x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 y 76 75 71 70 76 79 65 77 62 72
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3．线性回归：对于具有线性相关关系的两个变 量x与y，我们可以拟合许多条直线来表达它们之间的 相关关系，而这许多直线中，最“贴近”已知n个观测
∧
点(xi，yi)，i＝1,2,3…，n，的数据的直线方程y＝bx＋a 称作y对x的线性回归方程，a，b叫做回归系数．
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A．1
B．2
解析：①②③错．
答案：C
C．3
D．4
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2．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的 一组数据：
月份x 用水量y
1
23
4
4.5 4 3 2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线 性相关关系，其线性回归直线方程是 y^ ＝－0.7x＋a， 则a等于( )
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统计
2．3 变量间的相关关系 2.3.2 生活中线性相关实例
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通过生活实例进一步了解最小二乘法思想．用不 同估算方法描述两个变量线性相关的过程，建立线性 回归方程．
A．10.5
B．5.15
C．5.2
D．5.25
解析： x ＝2.5， y ＝3.5，代入得 a＝5.25.
答案：D
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3．已知x与y之间的一组数据如下，则y与x的线性回 归方程y＝bx＋a必过点______.
x0123 y1357
4.“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高 之间的遗传关系时由高尔登提出的，他的研究结果是子 代的平均身高向中心回归，根据他的结论，在儿子的身 高y与父亲的身高x的回归方程y^ ＝a＋bx中，b的取值范 围是_______．
将以上数据代入公式得 b＝147891－－66××262161×271
＝－51.05≈－1.81812， ∧a＝71－(－1.81812)×261≈77.36.
∧
故回归直线方程为y＝77.36－1.82x.由于回归系数 b 为－1.82， 由回归系数 b 的意义可知，产量每增加 1000 件， 单位成本下降 1.82 元．
x2
2
73
4
3
72
9
4
71
16
3
73
9
4
69
16
5
68
25
21
426
79
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xy
146 216 284 219 276 340 1481
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∧
解析：设回归直线方程为y＝a＋bx，
因为－x ＝261，－y ＝4626＝71，i＝61x2i ＝79，i＝61xiyi＝1481，
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3．“最小二乘法”的含义是什么？
解析：设具有线性相关的两个变量之间的函数关
系近似表达式为 y^＝bx＋a，求当b，a取何值时，Q＝
(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2达到最 小的方法称为“最小二乘法”．在推导过程中两次用到 了配方法，故称为“最小二乘法”．
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自测自评
1．上列说法中错误的个数是个( ) ①任何两个变量之间一定是线性相关的．
②线性回归方程的拟合效果与选择数据多少无关．
③函数关系一定是相关关系．
④如果样本点只有两个，则用最小二乘法计算得到的 直线方程与两点式求出的方程一致．
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2．求线性回归直线方程的步骤主要有哪些？ 解析：第一步：列表 xi，yi，xiyi；
n
n
n
第二步：计算 x ， y ，x2i ，yi2，xiyi；
i＝1
i＝1
i＝1
第三步：代入公式计算 b，a 的值； 第四步：写出直线方程．
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2．线性相关：若散点图中的点的分布从整体上看大致 在一条直线附近，则称两个变量之间具有线性相关的关系， 这条直线叫做________．
例如：(1)同学学号与数学成绩间是否有相关关系？
(2)同学学习时间与学习成绩是否有相关关系？
1．回归分析 2.回归直线 例：(1)无 (2)有
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基础梳理
1．回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分 析的方法叫________．
回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定 性，由一个变量的变化推测另一个变量的变化的方法，称 作回归方法．
3.32，4 4.(0,1)金品质•高追求 我们让 Nhomakorabea更放心！
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求回归直线方程
针对某工厂某产品产量与单位成本的资料进 行线性回归分析：
月份
1 2 3 4 5 6 合计
产量x (千件)
单位成本 y(元/件)