高一数学模拟试题

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2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学试题(天津专用,测试范围：人教A版2019)含解析

2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷（天津）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章5．难度系数：0.6。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．B ．()21x f x x-=【解析】由题意得：根据图像可得：函数为偶函数，当时，∵y=当时，易得：当时，易得第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．7+在[]()1,1m m >上的最大值为，解得：133x =-，22x =，x 7+在[],21m m -上的最大值为，解得：3332m -≤≤.)1>上最大值()2A f m m ==-()()210f m f m A =->=>，3⎤⎥，故答案为：333,⎡⎤-⎢⎥.16．（14分）17．（15分）已知函数()()221R f x x mx m m =+-+∈.(1)若2m =，求函数()f x 在区间[]2,1-上的最大和最小值；(2)解不等式()21f x x <+.【解析】（1）解：当2m =时，可得()223f x x x =+-，则函数()y f x =表示开口向上的抛物线，且对称轴为1x =-，所以函数()y f x =在[]2,1--上单调递减，在[1,1]-上单调递增，所以，当1x =-时，函数()f x 取得最小值，最小值为()14f -=-，又因为()()23,10f f -=-=，所以函数的最大值为0，综上可得，函数()y f x =的最大值为0，最小值为4-.（7分）（2）解：由不等式()21f x x <+，即22121x mx m x +-+<+，即不等式2(2)2(0)(2)x m x m x m x +--=-<+，当2m =-时，不等式即为2(2)0x -<，此时不等式的解集为空集；当2m -<时，即2m >-时，不等式的解集为2m x -<<；当2m ->时，即2m <-时，不等式的解集为2x m <<-，综上可得：当2m =-时，不等式的解集为空集；当2m >-时，不等式的解集为(),2m -；当2m <-时，不等式的解集为()2,m -.（15分）18．（15分）19．（15分）某公司决定在公司仓库外借助一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：应急室正面墙体每平方米的报价400元，侧面墙体每平方米的报价均为300元，屋顶和地面及其他报价共20．（16分）10，。

2023-2024学年江苏省常州市高一上学期期末学业水平监测数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年江苏省常州市高一上册期末学业水平监测数学试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}{}2|650,3A x x x B x x =++<=<-，则() U A B ð为（）．A ．()3,1--B ．[)3,5-C ．[)3,1--D ．∅【正确答案】C【分析】根据一元二次不等式求集合A ，再根据集合间的运算求解.【详解】由题意可得：{}{}{}2|65051,|3U A x x x x x B x x =++<=-<<-=≥-ð，则()[) 3,1U A B =--I ð.故选：C.2．若12cos 13α=，且α为第四象限角，则tan α的值为（）A ．125B ．125-C ．512D ．512-【正确答案】D【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】由于12cos 13α=，且α为第四象限角，所以5sin 13α==-，sin 5tan cos 12ααα==-.故选：D3．下列幂函数中，既在区间()0,∞+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【正确答案】D【分析】根据幂函数的奇偶性和单调性依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，12y x =在()0,∞+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,∞+为减函数，设()123321f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()()11332211f x f x x x ⎡⎤⎛⎫-===⎢⎥⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,∞+为减函数，设()11331f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()113311f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D4．已知扇形的圆心角为2rad ，面积为4，则扇形的周长为（）．A．B．C ．6D ．8【正确答案】D【分析】由弧度制下，扇形面积公式可得扇形半径，后可得扇形周长.【详解】设扇形半径为r ，因扇形面积为4，则212422r r ⨯⋅=⇒=.则扇形周长为228r r +=.故选：D5．设函数()123,0log ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()3f a >，则实数a 的取值范围是（）．A ．()1,10,8⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭B ．()1,18⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭C ．11,8⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】根据题意分类讨论，结合指、对数函数单调性解不等式即可.【详解】当0a ≤时，则()33af a -=>，即1a ->，解得1a <-；当0a >时，则()11221log 3log 8f a a =>=，解得108a <<；综上所述：实数a 的取值范围是()1,10,8⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.故选：A.6．函数()1xf x x =-的图象大致形状是（）A ．B ．C．D．【正确答案】A【分析】本题为分段函数图像判断，写出分段函数，可根据特殊点进行判断.【详解】函数()1x f x x =-的定义域为1x ≠±，(),0111,011xx x x x f x xx x x x ⎧>≠⎪⎪-==⎨-⎪<≠-⎪--⎩且且(2)20f =>，排除BC 选项，(2)20f -=-<，排除D 选项.故选：A7．某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（）．A ．36平方米B ．48平方米C ．64平方米D ．72平方米【正确答案】C【分析】设不靠墙的两个侧面的长度分别为x y ，，由题有()160060064000x y xy ++≤，利用基本不等式可得答案.【详解】设不靠墙的两个侧面的长度分别为x y ，，由题有()640001600600600x y xy xy ≥++≥+.0t =>，则26003200640000t t +-≤()()2003408008t t t ⇒+-≤⇒<≤，即64xy ≤，当且仅当8x y ==时取等号.故选：C8．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移π2个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式可以是（）．A ．()2cos3x g x =B ．()π2sin 33x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()2π2sin 33x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()5π2sin 612x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】先根据图象求得()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数图象变换求()g x .【详解】由函数()()sin f x A x =+ωϕ的图象可得：311ππ3π2,41264A T ==-=，可得2ππT ω==，解得2ω=，则()()2sin 2f x x ϕ=+∵函数()f x 图象过点π,26⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ππ2sin 2266f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 13πϕ⎫⎛+= ⎪⎝⎭，由ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得ππ5π,366ϕ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故ππ32ϕ+=，解得π6ϕ=，故()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，得到1π2sin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向左平移π2个单位长度，得到()1ππ1π2sin 2sin 32633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.方法点睛：1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的确定（1）A 由最值确定，max min2y y A -=；（2）ω由周期确定；（3）φ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．二、多选题9．下列函数中，以3为最小值的函数有（）．A ．63cos y x =-B ．2427x x y +=-+C ．229sin 4sin y x x=+D ．e 94ex xy =+【正确答案】ABD【分析】对A ：根据余弦函数的有界性分析运算；对B ：换元结合二次函数分析运算；对C ：换元结合对勾函数分析运算；对D ：利用基本不等式分析运算.【详解】对A ：∵[]cos 1,1x ∈-，则[]63cos 3,9y x =-∈，故63cos y x =-的最小值为3，当且仅当cos 1x =时取到最小值，A 正确；对B ：令20x t =>，则()22242747233x x y t t t +=-+=-+=-+≥，故2427x x y +=-+的最小值为3，当且仅当2t =，即1x =时取到最小值，B 正确；对C ：令(]2sin 0,1t x =∈，且94y t t=+在(]0,1上单调递减，故113|4t y y =≥=，故229sin 4sin y x x =+的最小值为134，C 错误；对D ：e 934e x x y =+≥=，当且仅当e 94e x x =，即ln 6x =时等号成立，故e 94ex x y =+的最小值为3，D 正确.故选：ABD.10．下列不等式中，正确的有（）．A ．1113332.12 1.8<<B ．0.90.8.80.80.8 1.20<<C ．420.5log 9log 5log 0.1<<D ．π2π4πsinsin sin 777<<【正确答案】BCD【分析】对A ：根据幂函数单调性分析判断；对B ：根据幂函数和指数函数单调性分析判断；对C ：根据对数运算结合对数函数单调性分析判断；对D ：根据正弦函数的对称性和单调性分析判断.【详解】对A ：13y x =在()0,∞+上单调递增，则1113332.12 1.8>>，A 错误；对B ：0.8y x =在()0,∞+上单调递增，则0.8.80.8 1.20<，0.8x y =在R 上单调递减，则0.90.80.80.8<，故0.90.8.80.80.8 1.20<<，B 正确；对C ：2121420.5222log 9log 3log 3,log 0.1log 10log 10--====，2log y x =在()0,∞+上单调递增，则222log 3log 5log 10<<，故420.5log 9log 5log 0.1<<，C 正确；对D ：sin y x =关于直线π2x =对称，则4π4π3πsin sin πsin 777⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且π2π3ππ,0,7772⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π2π3πsin sin sin 777<<，故π2π4πsinsin sin 777<<，D 正确.故选：BCD.11．关于函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的说法正确的有（）．A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象的对称轴方程为()ππ212k x k =-∈Z D ．关于x 的方程()1f x =的解集为π2π,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 【正确答案】AC【分析】根据题意结合正弦函数的性质与图象分析运算.【详解】由题意可得：()ππ2sin 22sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对A ：()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 正确；对B ：令()ππ3π2π22π232k x k k +≤-≤+∈Z ，解得()5π11πππ1212k x k k +≤≤+∈Z ，故()f x 的单调增区间为()5π11ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，B 错误；对C ：令()ππ2π32x k k -=-∈Z ，解得()ππ212k x k =-∈Z ，故()f x 的图象的对称轴方程为()ππ212k x k =-∈Z ，C 正确；对D ：令()π2sin 213f x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则π1sin 232x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故()ππ22π36x k k -=-∈Z 或()π7π22π36x k k -=+∈Z ，解得()ππ12x k k =+∈Z 或()3ππ4x k k =+∈Z ，可得关于x 的方程()1f x =的解集为ππ12x x k ⎧=+⎨⎩或3ππ,4x k k ⎫=+∈⎬⎭Z ，D 错误.故选：AC.12．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，若函数()()log a g x f x x =-（其中1a >）恰有3个不同的零点，则实数a 可能的取值有（）．A ．5B ．6C ．7D ．9【正确答案】BC【分析】根据题意分析函数()f x 的性质，将零点问题转化为()y f x =与log a y x =的交点问题，数形结合，列式运算即可.【详解】∵()()11f x f x +=-，则函数()f x 关于直线1x =对称，又∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()111f x f x f x +=-=--，即()()2f x f x +=-，则()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=⎡⎤⎣⎦，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，又∵()()()222f x f x f x +=---=--+，即()()220f x f x ++-+=，故函数()f x 关于点()2,0对称，令()()log 0a g x f x x =-=，则()log a f x x =，原题等价于()y f x =与log a y x =有3个交点，且()log 1a y x a =>的定义域为()0,∞+，如图所示，则可得log 51log 911a a a <⎧⎪>⎨⎪>⎩，解得59a <<，故B 、C 正确，A 、D 错误.故选：BC.方法点睛：利用数形结合求方程解应注意两点：（1）讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．（2）正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．三、填空题13．给定3个条件：①定义域为R ，值域为[]22-,；②最小正周期为2；③是奇函数．写出一个同时满足这3个条件的函数的解析式：__________．【正确答案】()2sin πf x x =（答案不唯一，满足题意即可）【分析】根据题意写出函数解析式即可，并根据函数性质分析判断.【详解】对于函数()2sin πf x x =的定义域为R ，()[]2sin π2,2f x x =∈-，即()f x 的值域为[]22-,，符合①；函数()2sin πf x x =的最小正周期2π2πT ==，符合②；()()()2sin π2sin πf x x x f x -=-=-=-，即()f x 是奇函数，符合③；综上所述：()2sin πf x x =符合题意.故答案为.()2sin πf x x =（答案不唯一，满足题意即可）14．已知函数()21xx a f x =+（0a >且1a ≠）为偶函数，则实数a 的值为__________．【分析】根据偶函数的定义即可求解.【详解】因为函数()21xx a f x =+（0a >且1a ≠）为偶函数，所以()2212121x x x xx x xa a a f x ---⋅-===+++，则有22x x a =，所以a =故答案为15．设函数()()2ln 1f x x x =++，使()()211f a f a +<-成立的充要条件是a I ∈（其中I 为某区间），则区间I =__________．【正确答案】()2,0-【分析】根据题意判断()f x 的单调性和奇偶性，根据函数性质解不等式即可.【详解】∵()()()()()22ln 1ln 1f x x x x x f x -=-+-+=++=，故函数()f x 在定义域内为偶函数，当0x ≥时，则()()2ln 1f x x x =++在[)0,∞+上单调递增，故()f x 在(],0-∞上单调递减，若()()211f a f a +<-，等价于211a a +<-，等价于()()22211a a +<-，整理得220a a +<，解得20a -<<，则使()()211f a f a +<-成立的充要条件是()2,0a ∈-，即()2,0I =-.故答案为.()2,0-16．某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则至少经过______次过滤才能达到市场要求．（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）【正确答案】9【分析】根据题意列不等式20.030.0013n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，运算求解即可.【详解】由题意可得：经过n 次过滤后该溶液的杂质含量为12130.03,33％nnn *⎛⎫⎛⎫-⨯=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，则20.030.10.0013％n⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，解得22331lg 30lg 3lg10lg 31log log 308.392230lg 2lg 3lg 3lg 2lg 3n ++≥=-=--=≈--，∵n *∈N ，则n 的最小值为9，故至少经过9次过滤才能达到市场要求.故9.方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序：（1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题；（2）应用函数模型解决实际问题的一般程序：读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）；（3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式的有关知识加以综合解答．四、解答题17．求值：(1))1213250.02719-⎛⎫+-⎪⎝⎭；(2)2350.2log 27log 82log 10log 4⨯--．【正确答案】(1)4(2)7【分析】（1）根据指数幂的运算求解；（2）根据对数的运算求解.【详解】（1）)()12131121233255351020.02710.31149310333---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-=+-=+-=+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）()13322350.25555ln 3ln 23ln 33ln 2log 27log 82log 10log 42log 25log22log 212log 2927ln 2ln 3ln 2ln 3-⨯--=⨯-⨯-=⨯-++=-=.18．已知二次函数()21f x ax bx =++，且关于x 的不等式()0f x ≤的解集为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(1)求实数a ，b 的值；(2)若不等式()22x xf m ≥⋅对[]1,1x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)2,3a b ==-(2)(,3⎤-∞⎦【分析】（1）根据三个二次之间的关系列式运算；（2）换元12,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，根据恒成立问题利用参变分离可得123t m t +-≥对1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，再结合基本不等式运算求解.【详解】（1）由题意可得：方程210ax bx ++=的两根为1,12，且0a >则032112a b a a ⎧⎪>⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩，故2,3a b ==-.（2）由（1）可得()2231f x x x =-+，令12,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则2231t t mt -+≥对1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，故123t m t +-≥对1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，∵123323t t +-≥=，当且仅当12t t =，即1,222t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时成立，∴3m ≤，即实数m的取值范围为(,3⎤-∞⎦.19．已知角θ是第二象限角，其终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点4,5P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(1)求sin θ，cos θ，tan θ的值；(2)求()()πsin tan sin π2cos θθθθ⎛⎫-⋅+- ⎪⎝⎭-的值．【正确答案】(1)343sin ,cos ,tan 554θθθ==-=-(2)32-【分析】（1）利用三角函数的定义求出cos θ，再根据同角三角关系求sin θ，tan θ；（2）利用诱导公式化简函数的解析式，结合第一问即可得到结果．【详解】（1）由题意可得：4cos 5θ=-，且角θ是第二象限角，则3sin 3sin ,tan 5cos 4θθθθ====-，故343sin ,cos ,tan 554θθθ==-=-.（2）由（1）可得：3tan 4θ=-，则()()πsin tan sin πcos tan sin 2sin 322tan cos cos cos 2θθθθθθθθθθθ⎛⎫-⋅+- ⎪⋅+⎝⎭====--.20．某同学用“五点法”画函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0ω>，π2ϕ<）在某一个周期内的图象时，列表并已经正确地填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx5π1211π12()sin A x ωϕ+0505-0(1)请将上表数据补充完整，并求函数()f x 的解析式；(2)将()y f x =图象上所有点向左平移()0θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值．【正确答案】(1)()π5sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，表格见详解；(2)π12【分析】（1）利用三角函数的性质可得，进而可补充表格并求出函数的解析式；（2）利用三角函数的平移变换原则可得π()5sin(22)3g x x θ=+-，根据整体代入法可得π22πZ,3x k k θ+-=∈，解方程即可求解.【详解】（1）根据表中的数据，得5A =，11π5ππ,212122T =-=2ππ,2T Tω∴=∴==，又5πππ2,1223ϕϕ⨯+=∴=-，函数的解析式为()5sin(2).3f x x π=-分别令π20,23π,x π-=，依次解得6π2,63π7,x π=数据补全如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ65π122π311π127π6sin()A x ωϕ+0505-0所以函数的解析式为()5sin(23f x x π=-；（2）由（1）知π()5sin(2)3f x x =-得π()5sin(223g x x θ=+-，因为函数sin y x =图像的对称中心为Z ,0()k k π∈，令π22πZ,3x k k θ+-=∈，解得ππ,Z 26k x k θ=+-∈.因为函数()y g x =图像的一个对称中心为7π(,0)12，所以ππ7π,Z 2612k k θ+-=∈，解得π5π,Z 212k k θ=-∈.由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值为π12.21．已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，定义域均为R ，且()()1233x xf xg x +-+=-．(1)求()f x ，()g x 的解析式；(2)判断()g x 在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；(3)解关于x 的不等式()28029g x x +<．【正确答案】(1)()33x xf x -=+，()33x xg x -=-.(2)函数()33x x g x -=-在R 上单调递增，证明见详解.(3)(11---+【分析】(1)根据函数的奇偶性，利用解方程组法即可求解；(2)利用指数函数的单调性判断函数为R 上的增函数，然后利用定义即可证明；(3)结合（2）的结论，利用函数的单调性列出不等式解之即可求解.【详解】（1）由()()1233x xf xg x +-+=-①可得：()()1233x x f x g x -+-+-=-，又因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()1233x xf xg x -+--=②，①+②可得：()33x xf x -=+，则()33x xg x -=-，所以()33x xf x -=+，()33x xg x -=-.（2）函数()33x x g x -=-在R 上单调递增，证明如下：设任意的12,R x x ∈，且12x x <，则2111221212121212331()()3333(33)(33)(1)33x x x x x x x x x x x x x x g x g x --++--=--+=--=-+，因为12x x <，所以12121330,103x xx x +-<+>，则12()()0g x g x -<，所以12()()<g x g x ，故函数()33x x g x -=-在R 上单调递增.（3）因为()33x x g x -=-，所以180(2)999g =-=，则不等式()28029g x x +<可化为()22(2)g x x g +<，由（2）可知：函数()33x x g x -=-在R 上单调递增，所以222x x +<，解得：11x -<<-，所以不等式()28029g x x +<为(11---+.22．已知函数()()2log 1f x x =+，()g x 是定义在R 上的奇函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，且对任意x ∈R ，都有()()20g x g x ++=．(1)求使得()()tan 13tan 10f x f x -+-<成立的x 的取值集合；(2)求证：()g x 为周期为4的周期函数，并直接写出．．．．()g x 在区间[]22-,上的解析式；(3)若不等式()()2sin sin 4e e y yg x x a --++<+对任意,x y ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)()ππ,π6k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z (2)证明见详解，()()(]()[]()[)()[)2222log 3,1,2log 1,0,1log 1,1,0log 3,2,1x x x x g x x x x x ⎧-+∈⎪+∈⎪=⎨--+∈-⎪⎪-+∈--⎩(3)211log 5,2⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意结合对数函数、正切函数运算求解；（2）根据题意结合周期的定义分析证明，再根据函数()g x 的性质求解析式；（3）先利用换元令[]sin 1,1t x =∈-，结合二次函数求得2172sin sin 44x x ≤-++≤，再根据()g x 的性质求()2sin sin 4g x x -++的最大值，再利用基本不等式求得e e 2y y -+≥，结合恒成立问题分类讨论分析求解.【详解】（1）由题意可得：()()()()()2222log ta ta n 13t n log 3tan log an 13tan 0x f x f x x x -+=+=<-，则2tan 03tan 03tan 1x x x >⎧⎪>⎨⎪<⎩，解得0tan 3x <<，则()πππ6k x k k <<+∈Z ，故使得()()tan 13tan 10f x f x -+-<成立的x 的取值集合()ππ,π6k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z .（2）∵()()20g x g x ++=，即()()2g x g x +=-，则()()()()42g x g g g x x x =--=⎡⎤⎣-⎦+=+，∴()g x 为周期为4的周期函数，又∵()g x 是定义在R 上的奇函数，则()()()2g x g x g x +=-=-，即()()2g x g x =-，当(]1,2x ∈时，则[)20,1x -∈，故()()()()222log 21log 3g g x x x x -=-+=-+=；又∵()g x 是定义在R 上的奇函数，则有：当[)1,0x ∈-时，则(]0,1x -∈，故()()()2log 1g x g x x -=---+=；当[)2,1x ∈--时，则(]1,2x -∈，故()()()2log 3g x g x x -=--+=；综上所述：当[]2,2x ∈-时，则()()(]()[]()[)()[)2222log 3,1,2log 1,0,1log 1,1,0log 3,2,1x x x x g x x x x x ⎧-+∈⎪+∈⎪=⎨--+∈-⎪⎪-+∈--⎩.（3）对于2sin sin 4m x x =-++，令[]sin 1,1t x =∈-，则22117424m t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭的对称轴为12t =，故当12t =时，24m t t =-++取到最大值174，故当1t =-时，24m t t =-++取到最小值2，故2172sin sin 44x x ≤-++≤，由（2）可知：()g x 在[)2,1--上单调递减，在11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()()221512,20,log 2log 5044g g g ⎛⎫-=--===-+> ⎪⎝⎭，故当12,4x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则()g x 的最大值为22log 5-+，又∵()g x 为周期为4的周期函数，则当172,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则()g x 的最大值为22log 5-+，∴()2sin sin 4g x x -++的最大值为22log 5-+，则()22log 5e e y ya --+<+对任意y ∈R 恒成立，又∵e e 2y y -+≥=，当且仅当e e y y -=，即0y =时等号成立，则有：当0a ≤时，则()22log 5e e y ya --+>+，不合题意，舍去；当0a >时，则22log 52a -+<，解得211log 52a >-+，综上所述：实数a 的取值范围为211log 5,2⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭.结论点睛：（1）对()(),,x M y N f x g y ∀∈∀∈≥，则()()min max f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）对()(),,x M y N f x g y ∀∈∃∈≥，则()()min min f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（1）对()(),,x M y N f x g y ∃∈∀∈≥，则()()max max f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（1）对()(),,x M y N f x g y ∃∈∃∈≥，则()()max min f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.。

河南省郑州市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次模拟测试数学试题

河南省郑州市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次模拟测试数学试题一、单选题1．设全集U R =，(){}{}30,1M x x x N x x =+<=<-，则如图中阴影部分表示的集合为（）A ．{|1}x x ≥-B ．{|30}-<<x xC ．{|3}x x ≤-D ．{|10}x x -≤< 2．命题“x ∃∈R ，310x x +>”的否定是（） A ．x ∃∈R ，310x x+≥ B ．x ∃∈R ，310x x +≤ C ．x ∀∈R ，310x x +≤ D ．x ∀∈R ，310x x +> 3．已知函数()()2,1,2,1x x f x f x x -≤⎧=⎨>⎩的值为（） A ．2- B ．0 C ．2 D ．44．已知3()2f x x x =+，若a ，b ，c ∈R ，且0a b +>，0a c +>，0b c +>，则()()()f a f b f c ++的值（）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定 5．函数()22111x f x x +=-+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．22a b a b +>+B ．2()4a b ab +≤C ．2b a a b +<D ．22b b a a +<+ 7．已知Z a ∈，关于x 的一元二次不等式280x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值不可能是（）A ．13B ．14C ．15D ．168．已知函数212,()23,3x c f x x x x c x ⎧-+<⎪=⎨⎪-+≤≤⎩，若()f x 的值域为[2,6]，则实数c 的取值范围是（）A ．11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[1,0)-D ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二、多选题9．下列函数中，既是奇函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（）A．()f x B ．()||f x x x =C ．2()1x x f x x -=- D ．3()f x x = 10．命题“[1,2)x ∀∈，20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）A ．4a ≥B ．5a >C ．6a ≥D ．7a >11．设x 为实数，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x .例如[1.2]1=，[ 1.4]2-=-.称函数()[]f x x =为取整函数，下列关于取整函数()f x 的结论中正确的是（）A ．()f x 在R 上是单调递增函数B ．对任意x ∈R ，都有()1f x x >-C ．对任意x ∈R ，k ∈Z ，都有()()f x k f x k +=+D ．对任意x ，y ∈R ，都有()()()f xy f x f y =三、填空题12．用列举法表示6N N 1a a ⎧⎫∈∈=⎨⎬-⎩⎭∣． 13．函数()f x 是R 上的偶函数，且当0x >时，函数的解析式为2()1f x x=-，则(1)f -=；当0x <时，函数的解析式为.14．已知a ，b 为非负实数，且21a b +=，则22211a b a b +++的最小值为.四、解答题15．已知全集R U =，集合{}2|560A x x x =-+>，{|230}B x x =->.(1)求A B ⋂；(2)求()()U U A B U 痧.16．设命题[]:1,1p x ∀∈-，使得不等式2230x x m --+<恒成立；命题[]:0,1q x ∃∈，不等式2223x m m -≥-成立．(1)若p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．17．设函数()22a f x x a x+=-+为定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的奇函数. （1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义法证明()f x 在(0,+∞)上的单调性.18．已知某园林部门计划对公园内一块如图所示的空地进行绿化，用栅栏围4个面积相同的小矩形花池，一面可利用公园内原有绿化带，四个花池内种植不同颜色的花，呈现“爱我中华”字样．(1)若用48米长的栅栏围成小矩形花池（不考虑用料损耗），则每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大？(2)若每个小矩形的面积为983平方米，则当每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小？19．已知集合A 中含有三个元素,,x y z ，同时满足①x y z <<；②x y z +>；③x y z ++为偶数，那么称集合A 具有性质P .已知集合{}1,2,3,,2n S n =L *(N ,4)n n ∈≥，对于集合n S 的非空子集B ，若n S 中存在三个互不相同的元素,,a b c ，使得,,+++a b b c c a 均属于B ，则称集合B 是集合n S 的“期待子集”.(1)试判断集合{}1,2,3,5,7,9A =是否具有性质P ，并说明理由；(2)若集合{}3,4,B a =具有性质P ，证明：集合B 是集合4S 的“期待子集”；(3)证明：集合M 具有性质P 的充要条件是集合M 是集合n S 的“期待子集”.。

高一数学模拟试题及答案

高一数学模拟试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个选项不是实数集合R的子集？A. 整数集合ZB. 有理数集合QC. 无理数集合D. 复数集合C2. 函数f(x) = 2x + 3的值域是：A. (-∞, +∞)B. [3, +∞)C. (-∞, 3]D. [0, +∞)3. 如果a和b是方程x^2 - 4x + 4 = 0的两个根，那么a + b的值是：A. 0B. 2C. 4D. 84. 已知点A(3, 4)和点B(6, 8)，线段AB的长度是：A. 2B. 3C. 4D. 55. 以下哪个不等式是正确的？A. |-3| > 3B. |-3| < 3C. |-3| = 3D. |-3| ≠ 36. 圆的标准方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25，圆心坐标是：A. (1, 2)B. (-1, -2)C. (2, 1)D. (-2, -1)7. 函数y = sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. 3πD. 4π8. 已知等差数列的首项a1 = 3，公差d = 2，第5项a5的值是：A. 7B. 9C. 11D. 139. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的解？A. x = 2B. x = 3C. x = 4D. x = 610. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3，b = 4，c = 5，根据余弦定理，角A的余弦值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/5D. 1/6二、填空题（每题3分，共15分）11. 圆的面积公式为πr^2，其中r是圆的______。

12. 函数y = 3x - 2的反函数是______。

13. 已知等比数列的首项a1 = 2，公比q = 3，第3项a3的值是______。

14. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a和b，那么c^2 = ______。

15. 已知向量\(\vec{a}\) = (2, 3)，向量\(\vec{b}\) = (4, -1)，向量\(\vec{a}\)与向量\(\vec{b}\)的数量积是______。

2023-2024学年山东省青岛市高一上学期期中数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年山东省青岛市高一上学期期中数学模拟试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}23,A y y x x R ==+∈，{}24B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．[]2,3-B ．()2,3-C ．(]2,3-D ．[)2,3-【正确答案】B【分析】首先求得集合A ，结合图象求得正确结论.【详解】233y x =+≥，所以[)3,A =+∞，图象表示集合为()U A B ⋂ð，()U ,3A =-∞ð，()()U 2,3A B ⋂=-ð.故选：B2．若a ，b ，R c ∈，则下列不等式成立的是（）．A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则ac bc >C ．若a b >，则11b a>D ．若a b >，则33a b >【正确答案】D利用特殊值、排除法进行判断即可.【详解】对于A ：当0,1a b ==-时，显然a b >，但22a b <，因此本选项不符合题意；对于B ：当0c =时，显然ac bc =，因此本选项不符合题意；对于C ：当0,1a b ==-时，显然1a没有意义，因此本选项不符合题意；故选：D3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，如：[]2.13-=-，[]3.13=，已知()13213x x f x +-=+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（）A ．{}0,3-B ．{}0,1-C ．{}0,1,2--D ．{}1,0,1,2--【正确答案】C【分析】结合指数函数性质求得()f x 的值域，然后再根据新定义求[()]y f x =的值域．【详解】111173321733()133133(31)x xx x x f x ++++--===-+++，显然1311x ++>，177(0,3(31)3x +∈+，所以()f x 的值域是1(2,)3-，当2()1f x -<<-时，[()]2f x =-，10x -≤<时，[()]1f x =-，当10()3f x ≤<时[()]0f x =，所以所求值域是{2,1,0}--．故选：C ．4．若0.33a =，3log 0.3b =，13log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b<c<a B ．c<a，∴3log 0.31<-，∴1b <-，13log 31c ==-，0a >，∴b<c<a .故选：A5．函数2()log ||f x x x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】由解析式判断()f x 奇偶性及1((1)2f f 的符号，即可确定图象.【详解】由22()log ||log ||()f x x x x x f x -=--=-=-且定义域为{|0}x x ≠，所以()f x 为奇函数，排除C 、D ；又21111()log |(1)02222|f f ==-<=，排除B.故选：A.6．若232018log 3log 4log 2019a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则a 的范围是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()10,11D ．()11,12【正确答案】C【分析】利用换底公式以及对数函数的单调性求解.【详解】2320182lg3lg4lg2019lg2019log 3log 4log 2019log 2019lg2lg3lg2018lg2a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⨯==，∵1021024=，1122048=，1011222log 2log 2019log 2<<，∴()10,11a ∈，故选：C ．7．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式.2log 1S C W N⎛⎫=+⎪⎝⎭它表示：在受高斯白噪声扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内所传信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比SN从1999提升至原来的10倍，则C 大约变为原来的几倍（）(参考数据：lg 20.3≈，lg19991 4.3≈)A ．2.5B ．1.3C ．10D ．5【正确答案】B【分析】根据题意先表示出1999S N =，19990SN=所对应的12,C C ，然后求解21C C 的值即可【详解】解：由题意得122log (11999)log 2000C W W =+=，222log (119990)log 19991C W W =+=，所以2212log 19991lg19991 4.3 1.3log 2000lg 230.33C W C W ===≈++故选：B8．设函数()()()()1212log 0log 0x x f x x x ⎧>⎪=⎨--<⎪⎩，若()()1f a f a >-，则实数a 的取值范围是A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭D ．∅【正确答案】B【详解】画出函数()f x的图象，如图：函数在()0-∞，和()0+∞，上单调递减，若10a a <-<或01a a <<-都不符合题意当10a a -<<时，()1122og o 1l l g a a -<-可得11a a->恒成立，可得01a <<，故01a <<故选B二、多选题9．下列命题中是假命题的是（）．A ．x ∀∈R ，30x ≥B ．0x ∃∈R ，303x =C ．x Q ∀∈，31x ≥D ．0x N ∃∈，303x =【正确答案】ACD举反例即可判断选项A 、C ，解方程303x =即可判断选项B 、D.【详解】取12x =-，3108x =-<，所以选项A ，C 不正确；由303x =得0x =是无理数，所以选项B 正确，选项D 不正确，故选：ACD10．下列函数在定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A ．()1f x x=B ．()2f x x =-C ．()22,0,0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩D ．()1f x x x=+【正确答案】BC利用基本初等函数的基本性质可判断AB 选项中函数的单调性与奇偶性，利用函数的奇偶性的定义可判断CD 选项中函数的奇偶性，利用二次函数的基本性质可判断C 选项中函数的单调性，利用特殊值法可判断D 选项中的函数不单调.【详解】对于A 选项，函数()1f x x=为奇函数，且该函数在定义域上不单调，A 选项中的函数不合乎要求；对于B 选项，函数()2f x x =-为奇函数，且该函数在定义域上为减函数，B 选项中的函数合乎要求；对于C 选项，当0x <时，0x ->，则()()()22f x x x f x -=--=-=-，当0x >时，0x -<，则()()()22f x x x f x -=-==-，又()00f =，所以，函数()22,0,0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩为奇函数，当0x ≤时，函数()2f x x =单调递减；当0x >时，函数()2f x x =-单调递减.由于函数()f x 在R 上连续，所以，函数()f x 在R 上为减函数，C 选项中的函数合乎要求；对于D 选项，函数()1f x x x =+的定义域为{}0x x ≠，()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，函数()1f x x x=+为奇函数，()51222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数()1f x x x =+不是减函数，D 选项中的函数不合乎要求.故选：BC.11．下列结论正确的是（）．A ．若0x <，则1y x x=+的最大值为2-B ．若0a >，0b >，则22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭C ．若0a >，0b >，且41a b +=，则11a b+的最大值为9D ．若[]0,2x ∈，则y =2【正确答案】ABD利用基本不等式，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，由0x <可得()112y x x x x ⎡⎤⎛⎫=+=--+-≤-=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即=1x -时，等号成立；即1y x x=+的最大值为2-；A 正确；B 选项，由0a >，0b >，可得222220224a b ab ab a b a b +-+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-==≥，即22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故B 正确；C 选项，若0a >，0b >，且41a b +=，则()1111441459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即1316a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立；即11a b +的最小值为9，故C 错；D 选项，因为[]0,2x ∈，所以()22422x x y +-=≤=，当且仅当x=即x =时，等号成立，故D 正确.故选：ABD.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12．若4455x y x y ---<-，则下列关系正确的是（）A ．x y C <D ．133yx-⎛⎫< ⎪⎝⎭【正确答案】AD【分析】先由4455x y x y ---<-变形为4545x x y y ---<-，构造函数()45x xf x -=-，利用其单调性，得到x ，y 的大小关系，再逐项判断.【详解】由4455x y x y ---<-得4545x x y y ---<-，令()45x xf x -=-，则()()f x f y <，因为5,4x x y y --==在R 上都是增函数，所以()f x 在R 上是增，所以x y <，故A 正确；当2,1x y =-=-时，33y x --<，故B 错误；当0,0x y >><，当0,0x y <<<C 错误；因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，且x y ->-，所以1133yx⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭，故正确；故选：AD三、填空题13．一种体育用品的售价为25元，因为原材料供应紧张，上涨20%后，经过一段时间，原材料恢复正常供应，又下降20%，则该商品的最终售价是原来的______倍．【正确答案】0.96根据价格变化，求出该商品的最终售价，进而可求出答案.【详解】由题意，该商品的最终售价为()()25120%120%⨯+⨯-元，则()()25120%120% 1.20.80.9625⨯+⨯-=⨯=.所以该商品的最终售价是原来的0.96倍.故答案为.0.9614．函数()f x ____________【正确答案】[)()3,44,+∞ 利用被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】要使函数有意义，则30150x x -≥⎧⎨+-≠⎩，解得3x ≥且4x ≠.故[)()3,44,+∞ 本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.15．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：级数全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020169204(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45李华全年综合所得收入额为元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的综合所得个税是______元．【正确答案】5712先根据已知求出专项扣除总额，然后再求出应纳税所得额，进而可以求出个税税额．【详解】解：专项扣除总额为：249600(8%2%1%9%)49920⨯+++=元，应纳税所得额为：249600600005280045604992082320----=元，个税税额为：8232010%25205712⨯-=元，故5712．16．函数()212log 21y x x =--的单调递减区间为____________.【正确答案】()1,+∞【分析】先由2210x x -->，求得函数的定义域，然后令221x x t =--，由复合函数的单调性求解.【详解】由2210x x -->，解得12x <-或1x >，所以函数()212log 21y x x =--的定义域为{1|2x x <-或}1x >，因为221x x t =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递减，在()1,+∞上单调递增12log y t =在()0,∞+递减，所以函数()212log 21y x x =--的单调递减区间为()1,+∞.故()1,+∞四、解答题17．在①x ∈R ，2220x ax a ++-=，②存在区间()2,4A =，(),3B a a =，使得A B ⋂=∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题．问题：求实数a 满足的条件，使得命题[]:1,2p x ∀∈，20x a -≥，命题q ：______，都是真命题．【正确答案】选择条件①：{}21a a a ≤-=或；选择条件②：203a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【分析】对命题[]:1,2p x ∀∈，转化为不等式2x a ≥在[]1,2x ∈上恒成立，求解2x 的最小值即可得1a ≤.选择条件①：根据判别式大于等于0求解命题q 为真时a 的取值范围结合1a ≤求解即可；选择条件②：根据区间端点满足的不等式求解命题q 为真时a 的取值范围结合1a ≤求解即可；【详解】选择条件①．由命题p 为真，可得不等式2x a ≥在[]1,2x ∈上恒成立．因为[]1,2x ∈，所以214x ≤≤，所以1a ≤．若命题q 为真，则方程2220x ax a ++-=有解，所以()()22420a a ∆=--≥，解得1a ≥或2a ≤-．又p ，q 都是真命题，所以2a ≤-或1a =，所以实数a 的取值范围是{}21a a a ≤-=或．选择条件②，由命题p 为真，可得不等式20x a -≥在[]1,2x ∈上恒成立．困为[]1,2x ∈，所以214x ≤≤，所以1a ≤．因为区间(),3B a a =，则3a a <，故0a >，由A B ⋂=∅，得4a ≥或32a ≤，即203a <≤或4a ≥．又p ，q 都是真命题，所以12043a a a ≤⎧⎪⎨<≤≥⎪⎩或，得203a <≤，所以实数a 的取值范围是203a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭18．计算下列各式：02)-+；(2)23948(lg 2)lg 2lg 50lg 25(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+++⋅+【正确答案】(1)19(2)134【分析】（1）、利用指数幂的运算性质求解即可；（2）、利用对数的运算性质求解.【详解】（1）4032)18--)21216=19---+.（2）23948(lg2)lg2lg50lg25(log2log2)(log3log3)+⋅+++⋅+()23232111(lg2)lg2lg512lg5log2log2log3log3223⎛⎫⎛⎫=++++++⎪⎪⎝⎭⎝⎭23235(lg2)lg2lg5lg22lg5log2log326=++++⨯()5lg2lg2lg5+lg22lg54=+++52lg22lg54=++134=19．某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为30万元，使用x年()x+∈N所需的各种费用总计为226x x+万元．（1）该车营运第几年开始赢利（总收入超过总支出，今年为第一年）；（2）该车若干年后有两种处理方案：①当赢利总额达到最大值时，以10万元价格卖出；②当年平均赢利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出．问：哪一种方案较为合算？并说明理由．【正确答案】（1）第3年开始赢利；（2）方案②合算．理由见解析.（1）设该车x年开始盈利，可构造不等关系，结合x+∈N可求得解集，由此得到结果；（2）由二次函数最值和基本不等式求最值分别求得两种方案的盈利总额，通过比较盈利总额和所需时长，得到方案②合算．【详解】（1）客车每年的营运总收入为30万元，使用x年()x+∈N所需的各种费用总计为226x x+万元，若该车x年开始赢利，则2302650x x x>++，即212250x x-+<，x+∈N，39x∴≤≤，∴该车营运第3年开始赢利．（2）方案①赢利总额()()2221302650224502622y x x x x x x=-++=-+-=--+，6x ∴=时，赢利总额达到最大值为22万元．6∴年后卖出客车，可获利润总额为221032+=万元．方案②年平均赢利总额222245050252242424x x y x x x x x -+-==--+=⎛⎫ ⎝+⎪⎭-≤（当且仅当5x =时取等号）．5x ∴=时年平均赢利总额达到最大值4万元．5∴年后卖出客车，可获利润总额为451232⨯+=万元．两种方案的利润总额一样，但方案②的时间短，∴方案②合算．关键点点睛：本题考查建立拟合函数模型求解实际问题，解题关键是能够根据已知条件构造出合适的函数模型，结合二次函数性质和基本不等式求得函数的最值.20．已知函数22()log log .24x x f x =⋅(1)求函数()f x 的值域;(2)若对任意的[2,4]x ∈，不等式2(2)log 40f x a x -⋅+≥恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(2) 3.a ≤【分析】（1）换元转化为求二次函数值域；（2）换元，分离参变量，根据不等式求解恒成立问题.【详解】（1）因为()f x 定义域为(0,)+∞，则22222()(log 1)(log 2)(log )3log 2f x x x x x =--=-+，设()2log x t t =∈R ，则2231132()244y t t t =-+=--≥-，所以()f x 值域为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.（2）因为2(2)log 40f x a x -⋅+≥，所以222log (log 1)log 40x x a x ⋅--+≥，设2log x t =，则[1,2]t ∈，原问题化为对任意[1,2]t ∈，240t t at -+-≥，即41a t t≤+-，因为4113(t t +-≥=当且仅当2t =即4x =时，取等号)，即41t t+-的最小值为3，所以 3.a ≤21．已知函数()1(01)x f x a a a =+>≠，的图像恒过定点A ，且点A 又在函数()()g x x a =+的图像上．(1)若()()32f x f x --=，求x 的值；(2)若关于x 的不等式()()1f g x kx >+在[]3,4x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围．【正确答案】(1)1x =(2)25,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意得出a 后解方程；（2）题意为不等式恒成立，转化为最值，讨论二次函数对称轴和区间的位置关系求解．【详解】（1）()1(0)x f x a a =+>，当0x =时，()2f x =，则函数()y f x =图像恒过定点()0,2A ，又()0,2A 在函数()y g x =图像上，则2=，得2a =由()()32f x f x --=，则3222x x --=，令20x t =>，则132t t -=，即22320t t --=，()()2120t t +-=，0t > ，2t ∴=，即22x =，得1x =；（2）())222log 2log (2)22121(2)1x x f g x x ++⎡⎤=+=+=++⎣⎦，则2(2)11x kx ++>+在区间[]3,4上恒成立，即()2440x k x +-+>在区间[]3,4上恒成立，令()()244h x x k x =+-+，则min ()0h x >，函数()y h x =的对称轴为22k x =-，232k -≤①，即10k ≤，()y h x =在区间[]3,4上单调递增，()min ()32530h x h k ==->，则253k <，又10k ≤，253k ∴<；3242k <-<②，即1012k <<，函数()y h x =在3,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间2,42k ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则()()22min 22424202224k k k k h x h k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+--+=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则08k <<，又1012k <<，所以k 无解；242k -≥③，即12k ≥，()y h x =在区间[]3,4上单调递减，()min ()43640h x h k ==->，即9k <，又12k ≥，∴无解综上所述，实数k 的取值范围为25,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．22．设()121log 1ax f x x -=-为奇函数，a 为常数．(1)求a 的值；(2)证明()f x 在区间()1,+∞上单调递增．【正确答案】(1)1a =-(2)证明见解析【分析】（1）利用奇函数的定义求解即可，（2）利用函数单调性的定义以及复合函数的单调性求解【详解】（1）因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以111222111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----．所以1111ax x x ax +-=---，即()()()()1111ax ax x x +-=-+-，所以1a =-或1a =，当1a =时，()121log 1x f x x -=-，此时不成立，故1a =-；（2）证明：由（1）可知()112212log log 111x f x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，令()211u x x =+-，1x ∀，()21,x ∈+∞，且12x x <，则()()()()()21121212222111111x x u x u x x x x x -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭．因为121x x <<，所以110x ->，210x ->，210x x ->，所以()()()21122011x x x x ->--，即()()120u x u x ->，所以函数()211u x x =+-在()1,+∞上是减函数．又因为函数12log y u =在()0,∞+上是减函数，所以()121log 1x f x x +=-在()1,+∞上为增函数．。

北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题(含答案)

北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题1．已知集合，，则（）{}51A x x =-<≤{}29B x x =≤A B ⋃=A ．B ．C ．D ．[)3,1-[]3,1-(]5,3-[]3,3-2．已知函数()3sin 2f x x =，将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的解析式为（）A ．()π3sin 28g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．D ．()π3sin 28g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()π3sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3．设0m n <<，则下列不等关系中不能成立的是（）A ．m n>B ．33m n<C ．11m n >D ．11m n m>-4．已知函数26()(1)f x x x =+-，则下列区间中含有()f x 的零点的是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．已知0.50.65log 0.5,5,0.5a b c ===，则（）A ．a c b<”是“01x <<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设()f x 是奇函数，且在()0,∞+内是减函数，又()30f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（）A ．{30xx -<<∣或3}x >B ．{3xx <-∣或03}x <<C ．{30x x -<<∣或03}x <<D ．或{3xx <-∣3}x >9．已知函数()()1104f x x x x =++>，则（）A ．当且仅当12x =，时，()f x 有最小值32B ．当且仅当12x =时，()f x 有最小值2C ．当且仅当1x =时，()f x 有最小值32D ．当且仅当1x =时，()f x 有最小值.210．已知函数()y f x =图象是连续不断的，并且是R 上的增函数，有如下的对应值表A ．()00f 时，()0f x >C ．函数()f x 有且仅有一个零点D ．函数()()g x f x x=+可能无零点11．函数(01)||x xa y a x =<<的图像的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．12．分贝（dB ）、奈培（Np ）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，其中A 为待测值，0A 为基准值．如果1dB =Np(R)t t ∈，那么t ≈（）（参考数据：lg e 0.4343≈）A ．8.686B ．4.343C ．0.8686D ．0.115二、填空题（本大题共6小题）13．命题“0x ∀>，20x>”的否定是．14．已知函数()38log xf x x=+，则13f ⎛⎫=⎪⎝⎭.15．函数()()ln 31x f x x +=+的定义域为.16．若函数()sin y A x ωϕ=+(0,0π)ωϕ>≤<的部分图象如图所示，则此函数的解析式为．17．已知函数21,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，那么((3))f f -= ；当方程()f x a =有且仅有3个不同的根时，实数a 的取值范围是.18．设函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=”则称函数()f x 具有性质τ，给出下列四个结论：①函数()f x x =具有性质τ；②所有奇函数都具有性质τ；③若函数()f x 和函数都具有性质，则函数也具有性质；()g x τ()()f x g x +τ④若函数，具有性质，则.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ2a =-其中所有正确结论的序号是 .三、解答题（本大题共6小题）19．已知全集U =R ，{2A x x a =≤-或}x a ≥，{}250B x x x =-<．(1)当1a =时，求()U A B A B A B ⋂⋃⋂,,ð；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围．20．已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边经过点()1,3P -.(1)求sin2cos2tan2ααα、、的值；(2)求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭、πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(3)求sin 2cos 2cos 3sin αααα+-的值.21．设函数()2cos cos (02)f x x x x ωωωω=⋅+<<，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上的值域；(3)求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间.条件①：函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭；条件②：函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =；条件③：函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2.22．已知函数()24x f x x =+.(1)判断函数()f x 奇偶性，并证明你的结论；(2)判断函数()f x 在()0,2上的单调性，并证明你的结论；(3)若在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立，求m 的取值范围.23．函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭部分图象如图所示,已知41πx x -=.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程；(3)设0α>,若函数()()g x f x α=+为奇函数,求α的最小值.条件①：1π12x =；条件②：2π6x =；条件③.3π2x =注：如果选择多个条件组合分别解答,则按第一个解答计分.24．设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A=∈且}u v ≠为集合A 的生成集．(1)当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．答案1．【正确答案】C【分析】解29x ≤得出集合B ，然后根据并集的运算，即可得出答案.【详解】解29x ≤可得，33x-≤≤，所以{}3|3B x x =-≤≤.所以，{}{}{}51|3353A B x x x x x x ⋃=-<≤⋃-≤≤=-<≤.故选：C.2．【正确答案】B【分析】根据平移变换的性质即可求解.【详解】将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π8个单位长度，得到ππ33si 2πn 88sin(24f x x x ⎛⎫⎛-=⎫=- ⎪⎪- ⎝⎭⎝⎭，故()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：B3．【正确答案】D【分析】利用不等式的性质判断ABC ，举反例判断 D.【详解】对于A ：0m n << ，0m n ∴->->，即m n>，A 正确；对于B ：0m n << ，33m n ∴<，B 正确；对于C ：0m n << ，0mn ∴>，m n mn mn ∴<，即11m n >，C 正确；对于D ：取2,1m n =-=-，满足0m n <<，但11112m n m =-<=--，D 错误.故选：D.4．【正确答案】B 【分析】先判断26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增，再根据零点存在性定理求解即可.【详解】因为函数26(,1)y x x y +==-在(0,)+∞上都递增，所以26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增，又因为()260(1)(11)201f f <=+-=-<，()4(3)f f >>26(2)(21)602f =+-=>，所以()1(2)0f f <，所以区间(1,2)含有()f x 的零点，故选：B.5．【正确答案】A【分析】利用指对数函数性质判断大小关系即可.【详解】由0.600.5055log 0.5log 100.55150.5a c b <==<=<<===，即a c b <<.故选：A6．【正确答案】C【分析】利用指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质、正切函数的图象与性质分析即可得解.【详解】解：对于选项A ，指数函数2xy =是非奇非偶函数，故A 错误；对于选项B ，函数ln ||y x =是偶函数，故B 错误；对于选项C ，幂函数3y x =既是奇函数，又是定义域R 上的增函数，故C 正确；对于选项D ，正切函数tan y x =在每个周期内是增函数，在定义域上不是增函数，故D 错误.故选：C.7．【正确答案】B【分析】根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果.【详解】解不等式()10x x +>可得0x >或1x <-；显然{}1|0x x <<是{0xx 或}1x <-的真子集，所以可得“()10x x +>”是“01x <<”的必要不充分条件.故选：B8．【正确答案】D【分析】根据题意，得到函数()f x 在(0,)+∞为减函数，且()30f =，结合不等式()0x f x ⋅<，分类讨论，即可求解.【详解】由函数()f x 是奇函数，且在()0,∞+内是减函数，可得函数()f x 在(),0∞-为减函数，又由()30f -=，可得()()330f f =--=，因为不等式()0x f x ⋅<，当0x >时，则()0f x <，解得3x >；当0x <时，则()0f x >，解得3x <-，所以不等式()0x f x ⋅<的解集为{3xx <-∣或3}x >.故选：D.9．【正确答案】B【分析】根据题意，由基本不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为0x >，则()11124f x x x =++≥=，当且仅当14x x =时，即12x =时，等号成立，所以当且仅当12x =时，()f x 有最小值 2.故选：B10．【正确答案】D【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据判断AB ；利用零点存在性定理判断CD.【详解】对于A ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以()()010.240f f <=-<，正确；对于B ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以当2x >时，()()2 1.210f x f >=>，正确；对于C ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，()10f <且()20f >，即()()120f f <，所以函数()f x 有且仅有一个在区间()1,2的零点，正确；对于D ，因为函数()()g x f x x=+连续，且()()()()()0010,1110g f f g f =<<=+>，即()()010g g <，所以函数()()g x f x x=+在区间()0,1上一定存在零点，错误，故选：D.11．【正确答案】D【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.【详解】根据01a <<(01)||xxa y a x =<<,0,0x xa x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩ 01a <<，∴xy a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||x xa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增故选：D.本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．【正确答案】A【分析】结合题意得到00110lgln 2A A t A A =⨯，再利用换元法与换底公式即可得解.【详解】因为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，1dB =Np(R)t t ∈，所以00110lgln 2A A t A A =⨯，令0A x A =，则110lg ln 2x t x=⨯，所以lg ln e lg e2020lg 20lg 20lg e 200.43438.686ln ln lg x t x x x x x =⋅=⋅=⋅=≈⨯=.故选：A.13．【正确答案】000,20x x ∃>≤【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】命题“0x ∀>，20x>”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“000,20x x ∃>≤”故000,20x x ∃>≤14．【正确答案】1【分析】结合指数与对数的运算法则，计算即可.【详解】结合题意.()113333118log 2121133f ⎛⎫=+=-=-= ⎪⎝⎭故答案为.115．【正确答案】()()3,11,---+∞ 【分析】根据对数的真数大于零，分母不等于零列不等式求解.【详解】由已知得3010x x +>⎧⎨+≠⎩，解得3x >-且1x ≠-，即函数定义域为()()3,11,---+∞ .故答案为.()()3,11,---+∞ 16．【正确答案】π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】根据图象，可得()3332A --==，πT =，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减.进而可求出2ω=，π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，根据ϕ的范围即可解出ϕ，进而得到解析式.【详解】由已知可得，函数最大值为3，最小值为-3，所以()3332A --==.又由图象知，5πππ2632T =-=，所以πT =.因为0ω>，所以2ππT ω==，所以2ω=，所以()3sin 2y x ϕ=+.又由图象可推得，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减，所以有π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,3k k ϕ=+∈Z .又0πϕ≤<，所以.π3ϕ=所以，函数的解析式为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭17．【正确答案】2[)0,1【分析】入解析式即可求出((3))f f -；方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，结合()y f x =图象，即可得出答案.【详解】因为()21,02,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，所以()()23363f -=--=，所以()((3))32f f f -==；画出函数()fx 的图象，方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，由图可得.01a ≤<故2；[)0,1.18．【正确答案】①②④【分析】根据函数具有性质τ，知函数的值域关于原点对称，从而依次判断得结论.【详解】由题知，若()f x 满足性质τ即：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=”则()f x 的值域关于原点对称.对于①，函数()f x x =，值域为R 关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于②，因为所有的奇函数对应定义域内任意x 的都有()()f x f x -=-，则值域关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于③，设2()1f x x =-，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1-，具有性质τ，()1g x =+，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1-，具有性质τ，2()()f x g x x +=，x ⎡∈⎣，值域为，不具有性质，故错误；1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦τ对于④，若函数，具有性质，则的值域关于原点对称.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ()f x 又，时，的值域为，2()f x x a =+[2,1]x ∈-()f x [,4]a a +则，解得，故正确.40a a ++=2a =-故答案为:①②④.19．【正确答案】(1){}15A B x x ⋂=≤<，{1A B x x ⋃=≤-或}0x >，(){}01UA B x x ⋂=<<ð(2)(][),07,-∞+∞ 【分析】（1）代入数据计算得到集合A 和B ，再根据的交并补运算计算得到答案.（2）确定B A ⊆，再根据集合的包含关系计算得到答案.【详解】（1）1a =时，{1A x x =≤-或}1x ≥，{}{}25005B x x x x x =-<=<<，{}15A B x x ⋂=≤<，{1A B x x ⋃=≤-或}0x >，{}11U A x x =-<<ð，故(){}01UA B x x ⋂=<<ð.（2）A B B = ，则B A ⊆，{2A x x a =≤-或}x a ≥，{}05B x x =<<，则25a -≥或0a ≤，解得0a ≤或7a ≥，即(][),07,a ∈-∞+∞ .20．【正确答案】(1)343sin 2,cos 2,tan 2554ααα=-=-=(2)π1πtan ,tan 2424αα⎛⎫⎛⎫+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)111-【分析】(1)已知角α的终边上一点(),P x y ,则sin αα==再结合二倍角公式代入运算即可;(2)已知角α的终边上一点(),P x y ,则tan ,y x α=再结合正切两角和差公式运算即可;(3)通过sin tan ,cos ααα=构造齐次式分式,再代入正切值运算即可.【详解】（1）角α的终边经过点()1,3P -,sin αα∴====3sin 22sin cos 2,5ααα⎛∴==⨯=- ⎝224cos 22cos 121,5αα=-=⨯-=-sin 23tan 2.cos 24ααα==（2）由题得3tan 3,1α-==-()πtan 1311tan ,41tan 132ααα+-+⎛⎫∴+===- ⎪---⎝⎭()πtan 131tan 2.41tan 13ααα---⎛⎫-=== ⎪++-⎝⎭（3）由(2)知tan 3,α=-()sin 2cos tan 2321.2cos 3sin 23tan 23311αααααα++-+∴===----⨯-21．【正确答案】(1)()1sin 262πf x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭;(2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(3)π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据三角函数的恒等变换可得()π1sin 262f x x ω⎛⎫=++⎪⎝⎭，分别选择条件①，②，③都可得到1ω=，从而可得()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭；（2）通过换元法并结合正弦函数的图象与单调性，求解值域即可.（3）通过换元法并结合正弦函数的单调性即可求解()f x 在[]0,π上的单调递增区间.【详解】（1）结合题意可得：()211cos cos 2cos 2,22f x x x x x x ωωωωω=⋅+=++所以()π1sin 2,(02)62f x x ωω⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭，若选条件①：因为函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π5ππ11sin 21212622f ω⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5ππsin 0sin π66k ω⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以5πππ,Z 66k k ω+=∈，即6155k ω=-，Z k ∈,因为02ω<<，所以当1k =时，1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件②：因为函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =；所以πππ2π662k ω⨯+=+，Z k ∈,即31k ω=+,Z k ∈，因为02ω<<，所以当1k =时，1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件③：因为函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2，所以π,22T =即πT =，由周期公式可得2ππ2T ω==，解得,满足题意,1ω=故函数的解析式为.()f x ()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭（2）由（1）问可得，()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，因为，所以，π26t x =+π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ7π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知：1sin 2y t =+在上单调递增，在单调递减；1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦当，即时，；π2t =π6x =()max ππ13sin 26622f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭当，即时，.7π6t =π2x =()minππ1sin 20262f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭所以在上的值域为.()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）由（1）问可得，()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，因为，所以，π26t x =+[]0,πx ∈ππ13π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知：1sin 2y t =+①在上单调递增， 1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，解得：，所以在单调递增；πππ2662x ≤+≤π06x ≤≤()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦②在单调递增，1sin 2y t =+3π13π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，解得：，所以在单调递增；63ππ13π262x ≤+≤2ππ3x ££()f x 2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数在上的单调递增区间为,.()f x []0,ππ0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦22．【正确答案】(1)奇函数，证明见解析(2)单调递增，证明见解析(3)14m <-【分析】（1）通过判断()(),f x f x -的关系得奇偶性；（2）任取()12,0,2x x ∈，且12x x >，通过计算()()12f x f x -的正负来确定单调性；（3）将恒成立问题转化为最值问题，利用奇偶性和单调性求出()f x 在区间[]2,0-上的最小值即可.【详解】（1）函数()f x 为奇函数．证明：由已知函数()24xf x x =+的定义域为R ，又()()()2244xxf x f x x x --==-=-+-+，所以函数()f x 为奇函数；（2）函数()f x 在()0,2上单调递增.证明：任取()12,0,2x x ∈，且12x x >，则()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，因为()12,0,2x x ∈，且12x x >，所以1212400,x x x x <--<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在()0,2上单调递增；（3）在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立，即()min f x m >，又由（1）（2）得函数()f x 在[]2,0-上单调递增，故()()min 212444f x f -=-==-+，所以14m <-.23．【正确答案】(1)选择条件①②或者①③或者②③均可求得()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)最小正周期π,T =对称轴方程为ππ,Ζ32k x k =+∈(3)π12【分析】（1）根据图像得函数()f x 的一个周期为π,从而求得ω=2,选择两个条件,根据五点法求函数解析式参数的方法代入求解即可.（2）根据函数解析式,代入2π,T ω=求得最小正周期；根据正弦函数的对称轴为ππ,Ζ,2k k +∈代入求得()f x 的对称轴方程.（3）根据()g x 的解析式,结合()11sin sin ,Ζx k x k π+=±∈,可得若()g x 为奇函数,则π2π,Ζ,6k k α'='-∈再进行计算即可.【详解】（1）根据图像和41πx x -=,2ππ,0,2,T ωωω∴==>∴= ()()sin 2.f x A x ϕ∴=+若选条件①②,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件①③,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()3ππsin 21,2,26f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件②③,则当23π23x x x +==时,()f x 取得最大值A ,∴根据五点法得πππ2,,326ϕϕ⨯+=∴=-()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫∴=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（2）()π2sin 2,6f x x ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭ 最小正周期2ππ.2T ==令ππ2π,Ζ,62x k k -=+∈解得ππ,Ζ,32k x k =+∈∴()f x 的对称轴方程为ππ,Ζ.32k x k =+∈（3）由题得()()()ππ2sin 22sin 22,66g x f x x x ααα⎡⎤⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()g x 为奇函数,π2π,Ζ,6k k α∴'='-∈解得ππ,Ζ.122k k α''=+∈0,α>∴ 当0k '=时,α取得最小值π.1224．【正确答案】(1){}6,10,15B =(2)7(3)不存在，理由见解析【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【详解】（1）{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2023-2024学年数学高一上期末教学质量检测模拟试题含解析

15．幂函数 y f (x) 的图象经过点 (4, 1 ) ，则 f ( 1 ) =____.
2
4
16．函数
f
x
满足
f
x
x2 2x, x 2
2 f x 2, x
2
，则
f
3
值为_____.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
的 17．已知函数
19．设函数
f
x
a2x
t
ax
1
（
a
0且a
1)是定义域为
R
的奇函数
（Ⅰ）求 t 的值；
（Ⅱ）若函数
f
x 的图象过点 1，32
，是否存在正数
mm
1
，使函数
g(x)
logm
a2x
a 2 x
mf
(x)
在
1，log2 3 上的最大值为 0，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由
20．已知对数函数 f (x) (a2 2a 2) loga x .
C. (2, 3)
D. (3, 4)
9．下列指数式与对数式的互化不正确的一组是（）
A.100=1 与 lg1=0
1
B. 27 3
1 3
与 log27
1 3
3
C.log39=2 与 32=9
D.log55=1 与 51=5
10．已知偶函数 f x 在0, 上单调递增，则对实数 a 、 b ，“ a b ”是“ f a f b ”的（
故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查空间点线面位置关系，考查棱锥的体积，考查线面垂直的判定定理的应用，判断线面

2023-2024学年河南省高一上册期中联考数学模拟试题(B卷)含答案

2023-2024学年河南省高一上册期中联考数学模拟试题（B 卷）一、单选题1．命题“,()n N f n n *∀∈≤”的否定形式是A ．,()n N f n n *∀∈>B ．,()n N f n n *∀∉>C ．,()n N f n n *∃∈>D ．,()n N f n n*∃∉>【正确答案】C【详解】试题分析：命题的否定是把结论否定，同时存在量词与全称量词要互换，命题“,()n N f n n *∀∈≤”的否定形式“,()n N f n n *∃∈>”．故选C ．命题的否定．2．设集合{}20A x x =-≥，{}2280B x x x =--<，全集U =R ，则U B A ⋃=ð（）A ．()4,+∞B ．(),4-∞C ．[)4,+∞D ．(],4-∞-【正确答案】B【分析】解不等式可求得集合,A B ，由补集和并集定义可求得结果.【详解】由20x -≥得：2x ≥，则[)2,A =+∞，(),2U A ∴=-∞ð；由2280x x --<得：24-<<x ，则()2,4B =-，(),4U B A ∴=-∞ ð.故选：B.3．方程ln 2x x =-的根所在的区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【正确答案】B【分析】判断函数()ln 2f x x x =+-的单调性，结合零点存在性定理确定其零点所在区间，由此可得方程ln 2x x =-的根所在的区间.【详解】令()ln 2f x x x =+-，因为函数ln ,2y x y x ==-在()0+∞，上都为增函数，所以函数()f x 在()0+∞，上单调递增，又因为()11210f =-=-<，()2ln 222ln 20f +-=>=，由零点存在性定理可知()ln 2f x x x =+-的零点所在区间为()1,2，所以方程ln 2x x =-的根所在区间为()1,2.故选：B4．甲，乙两人从同一地点出发，沿同一方向行进，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A ．甲比乙先出发B ．乙比甲跑的路程多C ．甲比乙先到达终点D ．甲，乙两人的速度相同【正确答案】A【分析】根据甲乙两人运动的路程与时间的关系，结合图象即可求解.【详解】由图结合已知条件可知，甲比乙先出发，且行驶的路程都为0s ，故A 正确，B 错误；当甲、乙两人行驶的路程为0s 时，乙所用时间比甲少，故乙的速度较大，由图易知，甲，乙同时到达终点，故C ，D 错误．故选:A ．5．已知幂函数()y f x =的图像过点2⎛ ⎝⎭，则(8)f =（）A ．4B ．4C ．-D ．【正确答案】B【分析】()f x x α=，把点代入解析式求得α，再求(8)f .【详解】()f x 为幂函数，设()f x x α=，依题意12(2)222f α-===，解得12α=-，所以12()f x x -=，则12(8)84f -==．故选：B ．6．已知函数()(),af x b a b x=++∈R 为奇函数，则b =（）A ．-1B ．0C ．1D ．2【正确答案】B【分析】由于()f x 为奇函数，代入特殊值()()11f f -=-，即可求得b ，即可得到结果.【详解】因为()af x b x=++为奇函数，所以()()11f f -=-，则()11a b a b ++=---+，解得0b =，经检验，此时()af x x=为奇函数，符合题意.故选：B.7．已知函数()1y f x =+为偶函数，当1x >时，()2f x x =-，则()0xf x <的解集为（）A ．()()1,02,-⋃+∞B ．()()212-∞-,,U C ．()1,2-D ．()(),00,2-∞ 【正确答案】D【分析】根据偶函数定义可确定()f x 图象关于1x =对称，从而可得()f x 图象，将所求不等式化为()00x f x >⎧⎨<⎩或()0x f x <⎧⎨>⎩，结合图象可得不等式的解集.【详解】()1y f x =+Q 为偶函数，()()11f x f x ∴+=-，()f x \图象关于1x =对称，由此可得()f x 图象如下图所示，()0xf x < 等价于()00x f x >⎧⎨<⎩或()00x f x <⎧⎨>⎩，∴由图象知：02x <<或0x <；()0xf x ∴<的解集为()(),00,2-∞ .故选：D.8．已知关于x 的方程()()112e e 20(,)x xm n x x m n --++-=∈R 有唯一实数解，则mn的值为（）A ．12-B ．13C ．12D ．18【正确答案】C【分析】令1t x =-，变换得到21e e t t m t n --=-+，令21()e et tt h t --+=+，确定函数为偶函数，故(0)mh n=，计算得到答案.【详解】由题意得0n ≠，则2211112(1)1e e e e x x x x m x x x n -------=-=-++，令1t x =-，则上式可化为21e e t tm t n --=-+，令21()e e t tt h t --+=+，则22()11()()e e e e t t t t t t h t h t ----+-+-===++，故()h t 为偶函数，关于x 的方程()()112e e20x xm n x x --++-=有唯一实数解，即函数()h t 的图象与my n=有唯一交点，结合()h t 为偶函数，可得此交点的横坐标为0，故0011(0)e e 2m h n -===+．故选：C二、多选题9．下列各式的值相等的是（）A ．13(1)-B ．343和3413-C和144D ．324-和312-⎛⎫⎪⎝⎭【正确答案】BC【分析】根据分数指数幂与根式之间的关系，以及负分数指数幂与正分数指数幂的关系即可求解.【详解】对于A ，13(1)1-=-1=，不符合题意；对于B ，4343133-=，符合题意；对于C，114242=对于D ，323211484-==，331282-⎛⎫== ⎪⎝⎭，不符合题意．故选:BC ．10．设正实数x y ，满足21x y +=，则（）A ．xy 的最大值是18B ．21x y+的最小值为9C ．224x y +的最小值为12D的最大值为2【正确答案】ABC【分析】根据基本不等式依次分析各选项即可得答案.【详解】解：对于A，∵21x y +=≥18xy ≤，当且仅当212x y x y +=⎧⎨=⎩时，即14x =，12y =时等号成立，故A 正确；对于B，212122(2)559y x x y x y xy x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2221y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即13x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，由A 可得18xy ≤，又21x y +=，222114(2)4141482x y x y xy xy +=+-=-≥-⨯=，当且仅当14x =，y =12时等号成立，故C 正确；对于D，2212x y =++≤+=14x =，12y =时等号成立，故D 错误．故选：ABC ．三、单选题11．在同一平面直角坐标系中，函数x y a -=，()log a y x a =+（0a >且1a ≠）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】结合两个函数过定点()0,1，以及单调性相异判断即可.【详解】函数x y a -=与()log a y x a =+的图象过定点()0,1，所以C ，D 错误；又因为1xxa y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭与()log a y x a =+单调性相异.故选：A四、多选题12．若222233x y x y ---<-，则（）A ．22x y C >D ．133yx-⎛⎫< ⎪⎝⎭【正确答案】BD【分析】构造函数()43x x f x -=-，确定函数单调递增得到x y <，取=1x -，0y =可得A 错误，根据单调性知BD 正确，当0x <，0y <时C 错误，得到答案.【详解】由222233x y x y ---<-，得4343x x y y ---<-，令()43x x f x -=-，则()()f x f y <．因为()4x g x =，()3x h x -=-在R 上都是增函数，所以()f x 在R 上是增函数，故x y <.取=1x -，0y =可得2x >2y ，故A 错误；因为3()G x x =在(,)-∞+∞上单调递增，所以当x y <时，33x y <，故B 正确；当0x <，0y <无意义，故C 错误；因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，且x y <，所以1133yx⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：BD五、填空题13．集合{}2Z 0A x x x =∈-≤，{}20B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值组成的集合为______．【正确答案】{}0,2【分析】解集合A 中的不等式，得到集合A ，由B A ⊆，通过分类讨论求解实数a 的值.【详解】20x x -≤解得01x ≤≤，由Z x ∈，∴集合{}0,1A =，{}20B x ax =-=，且B A ⊆，∴B =∅或{}1B =或{}0B =，B =∅时，方程20ax -=没有实数根，∴0a =；{}1B =时，方程20ax -=的解为1x =，∴2a =；{}0B =时，20-=不成立，∴{}0B ≠．所以实数a 组成的集合为{0,2}．故{0,2}14．函数()f x =______．【正确答案】(,1)(1,0]-∞-⋃-【分析】利用分母不等于0，以及根式有意义列不等式求解即可.【详解】要使函数有意义，则0,120,21,11,101x xx x x x x ⎧⎧≤-≥≤⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨≠-≠-≠≠⎪⎩⎪⎩⎩且所以()f x 的定义域为(,1)-∞-⋃(1,0]-．故(),11,0]∞--⋃-（15．已知4:110p x≥-，:1q x >，:2r a x a <<．若r 是p 的必要不充分条件，且r 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______．【正确答案】[)5,6【分析】解不等式得到:610p x ≤<，记p ，q ，r 中x 的取值构成的集合分别为A ，B ，C ，根据集合的包含关系得到答案.【详解】4110x≥-，0106x x -≥-，解得610x ≤<，即:610p x ≤<．记p ，q ，r 中x 的取值构成的集合分别为A ，B ，C ，由于r 是p 的必要不充分条件，r 是q 的充分不必要条件，则A 是C 的真子集，C 是B 的真子集，则216210a aa a a >⎧⎪≥⎪⎨<⎪⎪≥⎩，解得56a ≤<，即实数a 的取值范围是[5,6)．故[)5,616．已知函数21,1,()2,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为______．【正确答案】2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据题意确定0a >，考虑01a <<，1a ≥两种情况，根据函数的单调性得到取值范围，计算得到答案.【详解】因为当1x ≥时，222y x ax a =-≥-，要使()f x 的值域为R ，必须满足当1x <时，1y ax =-单调递增，故0a >．当1x <时，()(),1f x a ∈-∞-，故当1x ≥时，()min 1f x a ≤-当1a ≥时，()()2min 1f x f a a a ==-≤-，不等式恒成立；当01a <<时，()()min 1121f x f a a ==-≤-，解得23a ≥，即213a ≤<.综上所述：实数a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭六、解答题17．化简求值：())13320,0a b a b ->>；(2)7log 52225lg5lg 2lg2lg5log 5log 47+++⨯+.【正确答案】(1)1(2)7【分析】(1)根据分数指数幂的定义和根式的运算性质化简；(2)根据对数的运算法则和性质运算即可.【详解】（1）因为0,0a b >>()31332221b a ab --⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，()31333222a a b b --=，所以原式332233221a b a b--==；（2）7log 52225lg5lg 2lg2lg5log 5log 47+++⨯+()25lg5lg 2lg 2lg5log 5log 25=+++⨯+()25lg5lg 2lg 2lg5log 5log 25=+++⨯+lg 5lg 2157=+++=.18．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()f xx ax =-，且(1)2f -=．(1)求()f x 的解析式；(2)画出()f x 的图象，并根据图象写出()f x 的单调区间（直接写出，无需证明）．【正确答案】(1)()223,0,3,0.x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩(2)作图见解析，单调增区间为33,,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；单调减区间为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）根据(1)2f -=，得到3a =，当0x <时，0x ->，()()f x f x =--，代入计算得到解析式.（2）画出函数图像，根据图像得到函数单调区间.【详解】（1）()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，()2(1)(1)112f f a -=-=--⨯=，解得3a =．所以当0x >时，2()3f x x x =-，当0x <时，0x ->，22()()()3()3f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦．所以()223,0,3,0.x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩（2）()f x 的图象如下：由图可知，()f x 的单调增区间为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦和3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，单调减区间为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．19．已知集合{}20A x x =-<，{}121B x a x a =+<<-．(1)若x A ∀∈，均有x B ∉，求实数a 的取值范围；(2)若B ∅ ，设:p x B ∃∈，x A ∉，求证：52a >是p 成立的必要条件．【正确答案】(1)(,2][3,)-∞⋃+∞(2)证明见解析【分析】（1）由题意有A B ⋂=∅，分B =∅和B ≠∅两种类型讨论.（2）命题p 成立，则p ⌝为假命题，先求出p ⌝为真命题的条件，就可得到p ⌝为假命题的条件.【详解】（1）{}{}[)|20|1)(2)00,4A x x x =-<=<=．因为x A ∀∈，均有x B ∉，所以A B ⋂=∅．当121a a +≥-，即2a ≤时，B =∅，满足题意；当2a >时，B ≠∅，由A B ⋂=∅，有14a +≥或210a -≤，解得3a ≥或12a ≤，所以3a ≥．综上，2a ≤或3a ≥，即a 的取值范围是(,2][3,)-∞⋃+∞．（2）证明：若:p x B ∃∈，x A ∉为真命题，则:p x B ⌝∀∈，x A ∈为假命题．先求:p x B ⌝∀∈，x A ∈为真命题时a 的范围，因为B ∅ ，所以B ≠∅，即2a >．由:p x B ⌝∀∈，x A ∈，得B A ⊆．则21410a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得512a -≤≤，所以522a <≤．因为:p x B ⌝∀∈，x A ∈为假命题，所以52a >．综上，若B ∅ ，则52a >是p 成立的必要条件．20．已知函数()()log 2a f x x =-，其中0a >且1a ≠.(1)求函数()f x 的零点；(2)若()2f a <，求a 的取值范围.【正确答案】(1)1(2)()()0,11,2U 【分析】（1）根据零点的定义，通过解方程()0f x =求函数()f x 的零点；（2）讨论a ，根据对数函数的单调性化简不等式求其解集.【详解】（1）令()0f x =，即()log 20a x -=，则21x -=，所以1x =，所以函数()f x 的零点为l.（2）()2f a <即()2log 2log a a a a -<，则20a ->，得2a <.当1a >时，函数log a y x =是增函数，所以22a a -<，解得2a <-或1a >，所以12a <<；当01a <<时，函数log a y x =是减函数，所以22a a ->，解得21a -<<，所以01a <<.综上，实数a 的取值范围为()()0,11,2U .21．某企业投资144万元用于火力发电项目，()n n +∈N 年内的总维修保养费用为（2440n n +）万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设到第n 年年底，该项目的纯利润为y 万元．（纯利润＝累计收入－总维修保养费用－投资成本）(1)写出纯利润y 的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利；(2)随着中国光伏产业的高速发展，集群效应及技术的不断革新带来了成本的进一步降低．经过慎重考虑，该公司决定投资太阳能发电项目，针对现有火力发电项目，有以下两种处理方案：①年平均利润最大时，以12万元转让该项目；②纯利润最大时，以4万元转让该项目．你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．【正确答案】(1)()2460144y n n n +=-+-∈N ，第4年起开始盈利(2)选择方案①更有利于该公司的发展，理由见解析【分析】（1）根据题意得到2460144y n n =-+-，解不等式0y >得到答案.（2）分别利用均值不等式和二次函数性质计算利润的最大值，再对比时间得到答案.【详解】（1）由题意可知()()22100440144460144y n n n n n n +=-+-=-+-∈N ，令0y >，得24601440n n -+->，解得312n <<，所以从第4年起开始盈利．（2）若选择方案①，设年平均利润为1y 万元，则136604604212y y n n n ⎛⎫==-+≤-⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当36n n=，即6n =时等号成立，所以当6n =时，1y 取得最大值12，此时该项目共获利1261284⨯+=（万元）．若选择方案②，纯利润22154601444812y n n n ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭，因为n +∈N ，所以当7n =或8时，y 取得最大值80，此时该项目共获利80484+=（万元）．以上两种方案获利均为84万元，但方案①只需6年，而方案②至少需7年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．22．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()2xf xg x +=．(1)求函数()f x 和()g x 的解析式；(2)判断并证明函数()f x 在定义域上的单调性；(3)求函数()()()()()h x f g x g f x =+的最小值．【正确答案】(1)()222x x f x -+=，()222x xg x --=(2)()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增；证明见解析(3)()min 74h x =【分析】（1）利用奇偶性可得()()2xf xg x --=，与已知等式构成方程组求得()(),f x g x ；（2）设210x x >>，由()()()12121211221022x x x x f x f x +⎛⎫-=⋅--< ⎪⎝⎭可得()f x 在()0,∞+上的单调性，根据奇偶性可得对称区间单调性；（3）由奇偶性定义可证得()h x 为偶函数；结合函数单调性可求得当0x ≥时，()()f g x ，()()g f x 都在0x =处取得最小值74；根据偶函数性质可确定()h x 的最小值即为74.【详解】（1）()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，()()()()2xf xg x f x g x -∴-+-=-=，又()()2xf xg x +=，()222x x f x -+∴=，()222x x g x --=.（2）()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，证明如下：设210x x >>，()()()112212121222221112222222x x x x x x x x f x f x --⎡⎤++⎛⎫-=-=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()12121122122x x x x +⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭；1222x x < ，1221x x +>，即12112x x +<，()()120f x f x ∴-<，()f x \在()0,∞+上单调递增，又()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x \在(),0∞-上单调递减.（3）由题意知：()h x 的定义域为R ，()()()()()()()()()()()()()h x f g x g f x f g x g f x f g x g f x -=-+-=-+=+ ()h x =，()h x ∴为定义在R 上的偶函数；当0x ≥时，2x y = 为增函数，2xy -=为减函数，()g x ∴为增函数，()()00g x g \³=；令()t x g =，则0t ≥，由（2）知：()f x 在[)0,∞+上单调递增，()()()()01f g x f t f ∴=≥=；当0x ≥时，()()01f x f =≥，令()s f x =，则1s ≥，()()()()314g f x g s g ∴=≥=，∴当0x ≥时，()()f g x ，()()g f x 都在0x =处取得最小值，则此时()min 37144h x =+=；()h x 为偶函数，∴当x ∈R 时，()min 74h x =.。

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高一数学模拟试卷
考试时间：120分钟
卷I
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．经过两点A(2，1)，B(1，m)的直线的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )
A．m<1 B．m>-1 C．-1<m<1 D．m>1或m<-1
2．根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的区间为（）
A．B．C．D．
3．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且
A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为()
A．2 B ．4 C．2 2 D．42
4．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过（）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：
①若，，则；
②若// ，，则m // ；③若，，，则；
④若，，，则．
其中正确命题的序号是（）
A．①③ B．①② C．③④ D．②③
6．已知两直线，平行，则的值是（）
A．B．C．D．
7．从点（2，3）射出的光线沿斜率
1
2
k 的方向射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为（）
A．x+2y﹣4=0 B．2x+y﹣1=0 C．x+6y﹣16=0 D．6x+y﹣8=0
8．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3,2)，B(a ,-1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于( )
A．－4 B．－2 C．0 D．2
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为() A．
2
2B．
3
2
C．
5
2D．
7
2
10．若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则
m的取值范围是()
A．B．C．D．
11．已知三棱锥中，是边长为的正三角形，则三棱锥的外接球半径为（）
A．B．C．D．
12．已知函数()()()()2433,0
0,1log 11,0
a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-
恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）
A ．（0， ]
B ．[ ， ]
C ．[
， ]∪{ } D ．[ ，）∪{ }
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别为CC 1、AD 的中点，求异面直线OE 和FD 1所成角的余弦值 .
14．已知直线(3a ＋2)x ＋(1－4a)y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则实数a ＝________ ．
15．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：()
13y k x -=- 不经过第四象限，则实数k 的取值范围是________ ．
26．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
________斛．
分卷II
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．(本小题满分12分)已知点A (m －1,2)，B (1,1)，C (3，m 2－m －1)． (1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若AB ⊥BC ，求实数m 的值．
18． (本小题满分12分)四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AB AD ⊥，1
12
AB CD =
=，PA ⊥平面ABCD ，3PA AD ==.
（1）求证：PD AB ⊥；
（2）求四棱锥P ABCD -的体积.
19．(本小题满分12分)已知直线l 1：y ＝－k (x －a )和直线l 2在x 轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线l 1过点P (－3,3)．如果点Q (2,2)到直线l 2的距离为1，求l 2的方程．
20．(本小题满分12分)如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB ＝2，AD ＝23，∠BAD ＝90°.
(1)求证：AD ⊥BC ；
(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；
21． (本小题满分12分)直三棱柱111ABC A B C -中，5AB =，3AC =，4BC =，点D 是线段AB 上的动点. （1）当点D 是AB 的中点时，求证：1AC ∥平面1B CD ；
（2）线段AB 上是否存在点D ，使得平面11ABB A ⊥平面1CDB ？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由.
22．(本小题满分12分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()()01035
k
C x x x =
≤≤+ ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）求k 的值及()f x 的表达式．
（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．。