湖南省长沙一中2020-2021学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷含答案
2024-2025学年湖南省长沙市百强校(YZ)高一上期中考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|21}A x x =-<≤，{|03}B x x =<≤，则A B = （）A.(]2,3- B.()2,0- C.(]0,1 D.(]1,3【答案】C 【解析】【分析】由交集的运算法则求解即可.【详解】解：{}{}2103A x x B x x =-<≤=<≤ ，，{}01A B x x ∴⋂=<≤，故选：C.2.函数1()2f x x =+-的定义域为（）A.2|2}3{x x x >≠且 B.2{|2}3x x x <>且C.3{|2}2x x ≤≤ D.3{|2}2x x x ≥≠且【答案】D 【解析】【分析】利用函数有意义，列出不等式组求解即得.【详解】函数1()2f x x =+-的意义，则230x -≥且20x -≠，解得32x ≥且2x ≠，所以原函数的定义域为3{|2}2x x x ≥≠且.故选：D 3.已知()()5,62,6x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则()4f =（）A.3 B.2C.1D.0【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数解析式列式求解即可.【详解】由题意可得：()()46651f f ==-=.故选：C.4.设x ∈R ，则“2x ≤”是“11x -≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】从充分性和必要性两个方面考虑.【详解】先说充分性：当2x ≤，比如2x =-，此时：12131x -=--=≤不成立，所以“2x ≤”不是“11x -≤”的充分条件；再说必要性：11x -≤⇒111x -≤-≤⇒02x ≤≤，所以2x ≤成立，所以“2x ≤”是“11x -≤”的必要条件.故“2x ≤”是“11x -≤”的必要不充分条件.故选：B5.若不等式210x tx -+<对一切132x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，则实数t 的取值范围为（）A.52t ≥B.52t >C.2t ≥D.103t ≥【答案】D 【解析】【分析】首先分离参数，然后结合对勾函数的性质求得函数的最值，从而可确定t 的取值范围．【详解】因为不等式210x tx -+<对一切132x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，所以211x t x x x+>=+在区间132⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立，由对勾函数的性质可知函数1y x x =+在区间112⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()13，上单调递增，且当12x =时，15222y =+=，当3x =时，110333y =+=，所以1103x x +<，故103t ≥，故选：D6.若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是A.6B.3C.4D.23【答案】B 【解析】【分析】根据22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，将等式转化为不等式，求x y +的最大值.【详解】()22211x y xy x y xy ++=⇒+-=,22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()2212x y x y +⎛⎫∴+-≤ ⎪⎝⎭，解得()2314x y +≤，x y ≤+≤x y ∴+故选B.【点睛】本题考查了基本不等式求最值，属于基础题型.7.已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，(2)b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.c b a << B.b a c<< C.b c a<< D.a b c<<【答案】B 【解析】【分析】根据题意先求出函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数且关于直线1x =对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.【详解】∵当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，∴当121x x <<时，()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，∴函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∵函数(1)f x +是偶函数，即()()11f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即1(2)(3)2f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∴b a c <<，故选：B.8.幂函数()()22251m m f x m m x+-=--在区间()0,∞+上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】A 【解析】【分析】由已知条件求出m 的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可【详解】由函数()()22251m m f x m m x+-=--是幂函数，可得211m m --=，解得2m =或1m =-．当2m =时，()3f x x =；当1m =-时，()6f x x -=．因为函数()f x 在()0,∞+上是单调递增函数，故()3f x x =．又0a b +>，所以a b >-，所以()()()f a f b f b >-=-，则()()0f a f b +>．故选：A ．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.{}0∅∈B.集合{|2,Z}{|Z}2xx x n n x =∈=∈C.集合{}{}3,44,3= D.集合22{|}{|}x y x y y x ===【答案】BC 【解析】【分析】根据集合间的基本关系逐一判定即可.【详解】解：对于A ，{}0∅⊆，故A 错误；对于B ，由Z 2x ∈，可得x 为偶数，所以集合{|2,Z}{|Z}2xx x n n x =∈=∈，故B 正确；对于C ，集合{}{}3,44,3=，故C 正确；对于D ，集合2{|}R x y x ==，2{|}{|0}y y x y y ==≥，故D 错误.故选：BC.10.已知20ax bx c ++>的解集是()2,3-，则下列说法正确的是（）A.>0B.不等式20cx bx a ++<的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1234b b ++的最小值是83D.当2c =时，()236f x ax bx =+，[]12,x n n ∈的值域是[]3,1-，则21n n -的取值范围是[]2,4【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，B ，利用一元二次不等式与相应函数和方程的关系求解判断；对C ，利用基本不等式求最值，对D ，利用二次函数图象与性质，进行分析可得结果.【详解】对于A ，由题意可知：2,3-是关于x 的方程B 2+B +=0的两个根，且0a <，故A 错误；对于B ，由题意可知：16bac a⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得,6b a c a =-=-，0a <.不等式20cx bx a ++<化为：260ax ax a --+<，由0a <可得2610x x +-<，解得1123x -<<，所以不等式20cx bx a ++<的解集为1123⎛⎫- ⎪⎝⎭，，故B 正确；对于C ，因为=-b a ，0b >，可得()121214483434343333b b b b +=++-≥-=++，当且仅当()12134343b b =++，即23b =时，等号成立，所以1234b b ++的最小值是83，故C 正确；对于D ，当2c =时，13b a =-=，则()222362(1)1f x ax bx x x x =+=-+=--+，当=1时，()f x 取到最大值()11f =，由()3f x =-得，=−1或3x =，()[]212,36f x ax bx x n n =+∈，的值域是[]3,1-，因()f x 在[]12,n n 上的最小值为3-，最大值为1，从而得121,13n n =-≤≤或1211,3n n -≤≤=，因此2124n n ≤-≤，故D 正确.故选：BCD.11.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当>0时，()21f x x x =-+，则下列结论正确的是（）A.()02f =-B.()f x 的单调递增区间为()1,0-，()1,+∞C.当0x <时，()21f x x x=+-D.()0xf x <的解集为()()1,00,1-⋃【答案】BCD 【解析】【分析】由奇函数()f x 在=0处有定义，可得()00f =，可判断A ；由>0的函数的解析式，结合奇函数的定义可得0x <时的函数解析式，可判断C ；判断>0时的()f x 的单调性，可得0x <时的()f x 的单调性，不等式()0xf x <等价为>0且()0f x <，0x <且()0f x >，结合()()110f f -==，解不等式可判断D ；由()y f x =的图象与=op 的图象特点，结合单调性可判断B.【详解】对于A ，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()00f =，故A 错误；对于C ，当>0时，()21f x x x =-+，设0x <，则0x ->，()21f x x x-=---，又−=−，所以0x <时，()21f x x x=+-，故C 正确；对于D ，由>0时，()21f x x x =-+，可得1=0，又y x =和21y x =-+在()0,∞+递增，可得()f x 在()0,∞+递增，由奇函数的图象关于原点对称，可得()f x 在(),0∞-递增，且()10f -=，所以()0xf x <等价为>0op <0=o1)或<0op >0=o −1)，解得01x <<或10x -<<，故D 正确；对于B ，因为()f x 在(),0∞-和()0,∞+上递增，且()()110f f =-=，由()y f x =的图象可看做=op 的图象位于x 轴上方的图象不变，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方得到，所以()y f x =的递增区间为()1,0-，1,+∞，故B 正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知a =，b =，则a ______b ．(填“>”或“<”)【答案】<【解析】【分析】对,a b 进行分子有理化，然后通过比较分母的大小，从而可得结果.【详解】a ==b ==，>0+>，<<所以a b <.故答案为：<13.已知()5311f x ax bx cx x=-+++，且()35f -=-，则()3f =__________.【答案】7【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得()()2f x f x -+=，结合()35f -=-即可求解.【详解】()5311f x ax bx cx x=-+++，则()()531()()1f x a x b x c x x ⎛⎫-=---+-+-+ ⎪⎝⎭5311ax bx cx x ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭则有()()2f x f x -+=，若()35f -=-，则()()3257.f =--=故答案为：7.14.定义{},min ,=,>a a b a b b a b≤⎧⎨⎩，若函数(){}2min 33,33f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[],m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[],m n 长度的最大值为________.【答案】74.【解析】【分析】根据定义作出函数()=y f x 的图像,根据函数值域,求出对应点的坐标,利用数形结合进行判断即可.【详解】根据定义作出函数()=y f x 的图像如图:(实线部分的曲线).其中()()1,13,3A B 、,即23|3|,13()=3+3,1<<3x x x f x x x x --≤≥-⎧⎨⎩或.当()34f x =时,当1x ≤或3x ≥时,由3334x --=,解得：34C x =或214G x =;当()74f x =时,当13x <<时,由27334x x -+=解得：52E x =.由图像知,若函数()f x 在区间[],m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[],m n 长度的最大值为537244E C x x -=-=.故答案为：74四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(1)计算：111224127()10()()20024-+⨯⨯（2）已知11223x x-+=，求22122x x x x --+-+-的值.【答案】（1）25；（2）9.【解析】【分析】（1）（2）利用指数性质、运算法则直接求解.【详解】（1）原式131144221103(1)151025.2++=+⨯⨯-=+-+=（2）由11223x x-+=，得129x x -++=，则17x x -+=，2247x x -+=，所以22124729272x x x x --+--==+--.16.若关于x 的不等式2310ax x +->的解集是112A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.（1）求a 的值；（2）设集合=2<<1−，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）−2（2）0m ≤【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，利用根与系数的关系，即可求得答案；（2）由题意可得A B ⊆，由此列不等式求解，即得答案.【小问1详解】因为关于x 的不等式2310ax x +->的解集是112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，故2310ax x +-=的两根为1,12，且0a <，故11122a a⨯=-⇒=-；【小问2详解】由题意集合{}21B x m x m =<<-，“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，故A B ⊆，由于112A xx ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，故B 不为空集，则1221121m m m m ⎧≤⎪⎪-≥⎨⎪<-⎪⎩，解得0m ≤.17.函数()29x x ax f b--=是定义在区间()3,3-上的奇函数，且()11.4f =（1）确定()f x 的解析式，并用定义证明()f x 在区间()3,3-上的单调性;（2）解关于t 的不等式()()10.f t f t -+<【答案】（1）()229xf x x =-；证明见解析（2）12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用函数在()3,3-上有定义且为奇函数，则()00f =，求出b 的值，再由()114f =求出a 的值，即可确定()f x 的解析式；直接利用定义法证明函数()f x 在()3,3-上的单调性；（2）由奇函数的性质知()()1f t f t -<-，由函数单调性得313331t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩，求解即可.【小问1详解】根据题意，函数()29ax bf x x -=-是定义在()3,3-上的奇函数，则()009bf -==，解可得0b =；又由()114f =，则有()1184a f ==，解可得2a =，则()229xf x x=-，又()()()222299x xf x f x x x --==-=----，符合题意，故()229xf x x=-.设1233x x -<<<，则()()()()()()2212211212222212122929229999x x x x x x f x f x x x x x ----=-=----()()()()121222122999x x x x x x +-=--，又由1233x x -<<<，则1290x x +>，120x x -<，2190x ->，2290x ->，则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，则函数()f x 在()3,3-上为增函数；【小问2详解】由（1）知()f x 为奇函数且在()3,3-上为增函数.则()()()()101f t f t f t f t -+<⇒-<-()()1f t f t ⇒-<-，故313331t t t t-<-<⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩，解可得：122t -<<，即不等式的解集为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.18.某机床厂今年年初用100万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用.已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和t （单位：万元）与使用时间x （*,20x x ∈≤N ，单位：年）之间满足函数关系式为：228.t x x =+该机床每年的生产总收入为50万元.设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元.（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）？（3）该机床使用过程中，已知年平均折旧率为4%（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）.现对该机床的处理方案有两种：第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出；第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出.研究一下哪种处理方案较为合理?请说明理由.（参考数据：70.960.751≈，80.960.721≈，90.960.693≈，100.960.665≈）【答案】（1）2242100y x x =-+-，()*,20x x ∈≤N （2）第3年（3）选第一方案较为合理，理由见解析【解析】【分析】（1）利用盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用，得到y 与x 之间的函数关系式；（2）令0y >，解一元二次不等式即可；（3）利用二次函数求最值，求出第一方案总获利，由100100242422y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，利用函数单调性求出第二方案总获利，再比较即可.【小问1详解】由题意，使用过程中所需要的各种支出费用总和t 与使用时间x 之间的函数关系式为228t x x =+，且该机床每年的生产总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元，可得y 与x 之间的函数关系式()225028100242100y x x x x x =-+-=-+-，()*,20x x ∈≤N ；【小问2详解】由（1）知：2242100y x x =-+-，()*,20x x ∈≤N ，令0y >，可得22421000x x -+->，解得212412124122x -+<<，因为1516<<，所以521322-<<，213718.22+<<因为*x ∈N ，所以318x ≤≤且*x ∈N ，故从第3年开始盈利.【小问3详解】由（1）知2242100y x x =-+-，()*,20x x ∈≤N ，因为22212412421002()22y x x x =-+-=--+，所以当10x =或11x =时，营利额达到最大值为120万元，使用10年后机床剩余价值为：10100(14%)66.5-≈（万元），所以按第一方案处理，总获利为12066.5186.5+=（万元）；又由100100242422y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，令()100422h x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，()020x <≤，12020x x ∀<<≤，则()()()()12121212121250100100222x x x x h x h x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=-+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当120x x <<<时，12120,500x x x x -<-<，则()()120h x h x -<，即()()12h x h x <，因此可得ℎ在(上单调递增；1220x x <<≤时，12120,500x x x x -<->，则()()120h x h x ->，即()()12h x h x >，因此可得ℎ20⎤⎦上单调递减；又78<<，当7x =时，年平均盈利为967万元，当8x =时，年平均盈利为272万元，又962772>，所以当第7年时，年平均盈利额达到最大值，此时机床剩余价值为：7100(14%)75.1-≈（万元），所以按第二方案处理，总获利为96775.1171.17⨯+=（万元）.由于186.5171.1>，则选第一方案较为合理.【点睛】方法点睛：解答函数应用题的一般步骤：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义．19.定义：对于定义在区间I 上的函数()f x 和正数(01)αα<≤，若存在正数M ，使不等式()()1212|f x f x M x x |α-≤-对任意1x ，2x I ∈恒成立，则称函数()f x 在区间I 上满足α阶李普希兹条件.（1）判断函数y x =，3y x =在R 上是否满足1阶李普希兹条件;（2）证明函数y =在区间[)1,+∞上满足12阶李普希兹条件，并求出M 的取值范围;（3）若函数y =[)1,+∞上满足α阶李普希兹条件，求α的范围.【答案】（1）y x =满足1阶李普希兹条件，3y x =不满足1阶李普希兹条件.（2）证明见解析，1M ≥（3）112α≤≤.【解析】【分析】（1）结合题意根据1阶李普希兹条件的含义即可求解；（2）结合已知条件以及题干定义即可求解.（3）分情况讨论α的取值范围结合定义从而即可求解.【小问1详解】y x =满足1阶李普希兹条件，3y x =不满足1阶李普希兹条件.理由：对于y x =，1212||||x x M x x -≤-，只需1M ≥，所以存在正数1M ≥，对任意1x ，2R x ∈使()()1212f x f x M x x -≤-成立，所以y x =满足1阶李普希兹条件；对于3y x =，331212||||x x M x x -≤-，不妨设12x x >，则≥12+12+22=1+22−12>()21234x x +，()[)212304y x x ∞=+∈+，，即不存在正数M ，使不等式()()1212f x f x M x x -≤-对任意1x ，2x I ∈恒成立，所以3y x =不满足1阶李普希兹条件.【小问2详解】证明：不妨设121x x >≥，()()12f x f x ∴-=()()()()()1212212120,1f x f x x x x x -∴=--，故1M ≥时，对1x ∀，[)21,x ∈+∞，均有()()121212()f x f x M xx -≤-，故函数y =在区间[)1,+∞上满足12阶李普希兹条件，1M ≥；【小问3详解】①首先证明102α<<时不成立，假设函数y =在区间[)1+∞，上满足1(02αα<<阶李普希兹条件，12()M x x α≤-，令124x x =，则有22(4)M x x α-≤-，即122221.3M x α-≥>=取()212231x M α-=+，则1221133x M α-=+，则13M M >+，矛盾，所以假设不成立.②然后证明112α≤≤时成立，不妨设12121(x x x x >≥=时显然成立)，令212(1)x k x k =>，()()(121f x f x k ∴-==-()22122221x x k x x k x ∴-=-=-；要证函数y =在区间[)1,∞+上满足112αα⎛⎫≤≤⎪⎝⎭阶李普希兹条件，只需证存在正数M12()M x x α≤-成立，即证(221(1)k M k x αα--，又1222211(1)(1)k k x k k ααα---≤--，当(k ∈时，22(1)1k k α-≥-，所以221111(1)11k k k k k α--≤=<--+；当)2k ∈时，1222(1)(1)k k α-≥-，所以211(1)k k α-≤=<-；当[)2,k ∞∈+时，121(1)(1)1(1)(1)(1)k k k k k k ααααα----=≤<-++，故取1M≥，不等式即可成立.综上，α的取值范围为1 1. 2α≤≤【点睛】难点点睛：本题考查函数新定义问题，难度大.解答时要根据题目所给α阶李普希兹条件的定义分析所给函数的结合不等式分析可解答.。
湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测(一) 数学试题[含答案]
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长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学试卷时量：120分钟总分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合,集合,则（ ）{||1}A x x =<∣{B x y ==∣A B = A ．B ．C ．D ．(1,1)-(0,1)[0,1)(1,)+∞2．已知复数z 满足,则复数在复平面内对应的点位于（ ）i 12i z =-+z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件有8个样本点，则（ ）A B +()P AB =A ．B ．C ．D ．231213164．己知等差数列的前5项和,且满足,则等差数列的公差为（ ）{}n a 535S =5113a a ={}n a A ． B ．C ．1D ．33-1-5．已知的展开式中的系数为80，则m 的值为（ ）51(2)my x y x ⎛⎫+-⎪⎝⎭24x y A ．B ．2C ．D ．12-1-6．如图，正方形中，是线段上的动点，且,则ABCD 2,DE EC P = BE (0,0)AP x AB y AD x y =+>>的最小值为（ ）11x y+A ．B ．C D ．47．设,则下列关系正确的是（ ）0.033,ln1.03,e 1103a b c ===-A ．B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c b a >>c a b>>8．已知，则1tan 1tan()tan 6,tan tan 3222tan 2αβαβπαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤⎛⎫-+-=-=⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭ ⎪⎝⎭（ ）cos(44)αβ+=A ． B ． C ． D ．7981-79814981-4981二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为,则下列说法正确的是（ ）lg 4.8 1.5E M =+A ．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级约为七级15.310B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为,地震释放的能量为,则数列是等比数列(1,2,,9,10)n n = an {}an 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P 在双曲线的右支上，现有四2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 个条件：①;②；③平分;④点P 关于原点对称的点为Q ,且120PF PF ⋅=1260F F P ∠=︒PO 12F PF ∠,能使双曲线C 的离心率为）12||PQ F F =1+A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④11．如图，是底面直径为2高为1的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转ABCD 1OO 1OO DA 1OO 到,则（ ）(0)θθπ≤≤111OO D A A ．圆柱的侧面积为 B ．当时，1OO 4π0θπ<<11DD A C⊥C ．当时，异面直线与所成的角为D ．3πθ=1A D 1OO 4π1A CD △三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．如图，某景区共有A ,B ,C ,D ,E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有___________种不同的检测顺序．13．已知函数在上是增函数，且，则的取()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f π⎛⎫- ⎪⎝⎭值的集合为___________．14．斜率为1的直线与双曲线交于两点A ，B ,点C 是曲线E 上的一点，满足2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>和的重心分别为的外心为R ,记直线的斜率为,,AC BC OAC ⊥△OBC △,,P Q ABC △,,OP OQ OR 123,,k k k 若，则双曲线E 的离心率为___________．1238k k k =-四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）设函数．2()ln ()f x x ax x a =-++∈R （1）若,求函数的单调区间；1a =()f x （2）设函数在上有两个零点，求实数a 的取值范围（其中e 是自然对数的底数）()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．（15分）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面1111ABCD A B C D -ABCD 11CC D D 平面为线段的中点，且．11CC D D ⊥,ABCD E 1CD BE CE =（1）求证：平面;AD ⊥11BB D D（2）若,直线与平面的余弦4,2AB AD ==1A E 11BB D D 1D AB D --值．17．（15分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育．某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中．60a ≤认真完成不认真完成总计男生5aa女生总计60若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习0.10α=软笔书法的女生的人数．（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．参考公式及数据：．22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.100.050.01x α2.7063.8416.63518．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C 上一点，且到的距离2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,,(2,3)F F A 12,F F 之和为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为A 关于原点O 的对称点，斜率为k 的直线与线段（不含端点）相交于点Q ,与椭圆C 相交于AB 点M ,N ,若为常数，求与面积的比值．2||||||MN AQ BQ ⋅AQM △AQN △19．（17分）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：12,,,n a a a (2,3,4,)n n =①；②．1230n a a a a ++++= 1231n a a a a ++++= （1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*2k k ∈N n a 12n k ≤≤（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*21k k +∈N n a 121n k ≤≤+（3）记n 阶“曼德拉数列”的前k 项和为,若存在,使,试{}n a (1,2,3,,)k S k n = {1,2,3,,}m n ∈ 12m S =问：数列能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理{}(1,2,3,,)i S i n = 由．长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C【解析】，故．故选C ．{11},{0}A xx B x x =-<<=≥∣∣{01}[0,1)A B x x =≤<= ∣2．D【解析】，212i (12i)ii 12i 2i 2i i iz z z -+-+⋅=-+⇒===+⇒=-所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D z 3．D【解析】根据概率公式计算可得；由概率的加法公式可614182(),(),()122123123P A P B P A B ====+==知,代入计算可得()()()()P A B P A P B P AB +=+-1()6P AB =故选：D 4．D【解析】,解得,故选D 5151151035;413S a d a a d a =+==+=13,1d a ==5．A 【解析】，55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭在的展开式中，由,51(2)x y x-155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅令，得r 无解，即的展开式没有的项；424r r -=⎧⎨=⎩51(2)x y x -24x y 在的展开式中，由,5(2)my x y -555155(2)()(1)2rr r r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅令,解得，5214r r -=⎧⎨+=⎩3r =即的展开式中的项的系数为,5(2)my x y -24x y 35335(1)240mC m --⋅=-又的展开式中的系数为80，5(2)()x my x y +-24x y 所以,解得,故选A ．4080m -=2m =-6．C【解析】正方形中，,则,ABCD 2DE EC = 2233AD AE ED AE CD AE AB =+=+=-而,则，AP x AB y AD =+ 2233AP xAB y AE AB x y AB y AE ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又点B,P ,E 共线，于是,即,而，213x y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭13yx +=0,0x y >>因此，1111443333y x y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取等号，3x y y x=y ==所以当时，．x y ==11x y +故选：C 7．C【解析】记．()e 1,(0)xf x x x =--≥因为,所以当时，,所以在上单调递增函数，()e 1xf x '=-0x >()0f x '>()f x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0f x f >=1xe x ->0.03e 10.03->记．()ln(1),(0)g x x x x =+-≥因为，所以在上单调递增函数，1()1011xg x x x-'=-=<++()g x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0g x g <=ln(1)x x +<ln1.030.03<所以．记．c b >()ln(1),(0)1xh x x x x=+-≥+因为，所以当时，，2211()1(1)(1)x h x x x x '=-=+++0x >()0h x '>所以在上单调递增函数，()h x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0h x h >=ln(1)1x x x +>+0.033ln1.0310.03103>=+所以,综上所述：．b a >c b a >>故选：C 8．A【解析】，1tan 1tan()tan 622tan 2αβαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤-+-=⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭．2221tan 2tan 2216tan1tan 22αβαβαβαβ--⎛⎫- ⎪+= ⎪-- ⎪-⎝⎭，2221tan 2tan2cos()226sin()1tan 2αβαβαβαβαβ--⎛⎫-+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，221tan2cos()2cos()126,6sin()sin()cos()1tan 2αβαβαβαβαβαβαβ-⎛⎫+ ⎪--=⨯=⎪---- ⎪-⎝⎭，11sin(),sin cos cos sin 33αβαβαβ-=-=又因为，所以，tan tan 32παβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 3cos sin αβαβ=则,所以11cos sin ,sin cos 62αβαβ==2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=．241cos(22)12sin ()1299αβαβ+=-+=-⨯=．2179cos(44)2cos (22)1218181αβαβ+=+-=⨯-=-故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．ACD【解析】对于A:当时，由题意得,15.310E =15.3lg104.8 1.5M =+解得,即地震里氏震级约为七级，故A 正确；7M =对于B:八级地震即时，,解得,8M =1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=16.8110E =所以，16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B 错误；1.510对于C:六级地震即时，,解得,6M =2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=13.8210E =所以,16.83113.821010100010E E ===即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D:由题意得,lg 4.8 1.5(1,2,,9,10)n a n n =+= 所以，所以4.8 1.510n n a += 4.8 1.5(1) 6.31.511010n nn a ++++==所以，即数列是等比数列，故D 正确；6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++=={}an 故选：ACD 10．AD【解析】③平分且为中线，可得,PO 12F PF ∠PO 12PF PF =点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：可得,1212120,60,2PF PF F F P F F c ⋅=∠=︒=21,PF c PF ==，即离心率为，成立；2c a -=1c e a ===+若选②④：，点P 关于原点对称的点为Q ,1260F F P ∠=︒且，可得四边形为矩形，12||PQF F =12F QF P 即可得,1212,2PF PF F F c ⊥=12,PF c PF ==,即离心率为,成立；2c a -=1c e a ===+故选：AD 11．BC【解析】对于A,圆柱的侧面积为，A 错误；1OO 2112ππ⨯⨯=对于B,因为，所以,又,0θπ<<11DD D C ⊥111DD A D ⊥所以平面,所以,B 正确；1DD ⊥11A D C 11DD A C ⊥对于C,因为,所以就是异面直线与所成的角，因为，所以111A D OO ∥11DA D ∠1A D 1OO 113DO D π∠=为正三角形，所以,因为,所以，C 正确；11DO D △1111DD A D ==111A D DD ⊥114DA D π∠=对于D,作,垂足为E ,连接,所以平面,所以．1D E DC ⊥1A E DC ⊥11A D E 1A E DC ⊥在中，11Rt A D E △1A E ==≤=,所以,D 错误．1111222A CD S DC A E =⨯⨯≤⨯=△()1maxA CDS =△故选：BC ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．32【解析】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，从B 或E 处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B 处出发的路线情形即可．①走路线：3126547,3126745,3147526,3147625,3156247,3157426，共6种；BA ②走路线：4137526,4137625,4265137,4267315,4562137,4573126，共6种；BC ③走路线：7513426,7543126,7621345,7624315，共4种；BE 综上，共有种检测顺序．()266432⨯++=故答案为：3213．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由可知，，得，3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32442T nT πππ+=-=,21T n n π=∈+Z 所以,2||42n Tπω==+又函数在上是增函数，()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，所以，7212212T πππ≥-=6T π≥||12ω≤所以，的可能取值为．ω2,6,10±±±当时，由解得，0ω>2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω-+≤≤+∈Z 经检验，,6,10时不满足题意；2ω=当时，由解得,0ω<2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω+≤≤-+∈Z 经检验，时满足题意．2,6ω=--所以，的可能取值为．12f π⎛⎫-⎪⎝⎭1sin ,sin 11262122f f ππππ⎛⎫⎛⎫-==-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭14【解析】若直线与双曲线有两个交点G ,H ,设G ,H 的中点为K ，y kx m =+22221x y a b -=联立方程组，整理得,22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22222222220b a k x a kmx a m a b ----=可得,则，22222G H a km x x b a k +=-22222G H K x x a kmx b a k+==-又由在直线上，可得，(),K K K x y y kx m =+22222222K a km b my m b a k b a k =+=--所以，所以，22K OKK y b k x ka ==22GH OK b k k a ⋅=即直线l 与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l 的斜率之积为定值，22b a如图所示，取的中点M ,N ,,AC BC 因为的重心P 在中线上，的重心Q 在中线上，OAC △OM OBC △ON所以,可得，12,OP OM OQ ON k k k k k k ====22$OM AC ON BCb k k k k a⋅=⋅=即，2122AC BCb k k k k a⋅=⋅=又由,可得，可得AC BC ⊥1AC BCk k ⋅=-22122b k k a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭因为,且的外心为，点R ,则R 为线段的中点，AC BC ⊥ABC △AB 可得，因为，所以，22OR ABb k k a ⋅=1AB k =22OR b k a=所以，所以，3212328b k k k a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ba =所以c e a ===．四、解答题（本题共6小题，共70分）15．解：（1）当时，的定义域为,1a =2()ln ,()f x x x x f x =-++(0,)+∞，2121()21x x f x x x x-++'=-++=令,则,解得,()0f x '>2210x x --<01x <<令,则,解得．()0f x '<2210x x -->1x >∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．()f x (0,1)(1,)+∞（2）令,则．2()ln 0f x x ax x =-++=ln xa x x=-令，其中，ln ()x g x x x =-1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则．2221ln ln 1()1x xx x x g x x x⋅-+-'=-=令,解得,令,解得．()0g x '>1e x <≤()0g x '<11ex ≤<的单调递减区间为，单调递增区间为,()g x ∴1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭(1,e]．min ()(1)1g x g ∴==又,函数在上有两个零点，111e ,(e)e e ee g g ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围是．a ∴11,e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦16．解：（1）在中，E 为线段的中点，且,所以,1BCD △1CD BE CE =1D E CE BE ==所以为直角三角形，且，所以,111,2BE CD BCD =△190CBD ∠=︒1D B BC ⊥因为底面为平行四边形，,所以,ABCD AD BC ∥1AD D B ⊥又因为四边形为矩形，所以,11CC D D 1D D DC ⊥因为平面平面,平面平面平面,11CC D D ⊥ABCD 11CC D D 1,ABCD DC D D =⊂11CC D D 所以平面,1D D ⊥ABCD 因为平面,所以,AD ⊂ABCD 1AD D D ⊥因为平面,11111,,D D D B D D D D B =⊂ 11BB D D 所以平面．AD ⊥11BB D D （2）因为平面平面,所以,AD ⊥11,BB D D BD ⊂11BB D D AD BD ⊥由（1）知平面,又平面,所以,11,D D AD D D ⊥⊥ABCD BD ⊂ABCD 1D D BD ⊥所以两两垂直，1,,DA DB DD 以D 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，DA DB所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，1DD 在中，,所以,Rt ADB △4,2AB AD ==DB ==设,则,1(0)DD t t =>1(0,0,0),(2,0,0),(2,0,),,(0,2t D A A t E B ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以,1,(2,2t A E AB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭易知平面的一个法向量为,11BB D D (2,0,0)DA =设直线与平面所成的角为,1A E 11BB D D θ则,解得111sin cos ,||A E DAA E DA A E DA θ⋅====t =所以,11(0,0,(2,0,D AD =-设平面的法向量为1ABD (,,)m x y z =则，令,12020AB m x AD m x⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ x =m = 易知平面的一个法向量为,ABCD (0,0,1)n =则，cos ,||||m n m n m n ⋅===易知二面角是锐角，故二面角1D AB D --1D AB D --17．解：（1）根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a 5a a女生4605a -205a -80a-总计602080由题意可得，2244802060555516 2.7066020(80)15(80)a a a a a a a a χ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==≥⨯⨯⨯--得．57.38a >易知a 为5的倍数，且，所以,60a ≤60a =所以该培训机构学习软笔书法的女生有（人）．806020-=（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为，24:163:2=所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有310632⨯=+（人），210432⨯=+所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，，4312266464444101010C C C C C 151808903(0),(1),(2)C 21014C 21021C 2107P X P X P X ============．134644441010C C C 2441(3),(4)C 21035C 210P X P X =======X 的分布列为：X 01234P114821374351210所以．183418()0123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=18．解：（1）由椭圆的定义得,所以．1228AF AF a +==4a =又为椭圆C 上一点，所以，(2,3)A 22491a b+=将代入，得,4a =212b =所以椭圆C 的标准方程为．2211612x y +=（2）因为B 为A 关于原点O 的对称点，所以,直线的方程为．()2,3B --AB 32y x =设,则直线的方程为,()()2,311Q t t t -<<MN ()32y t k x t -=-联立得，可得,22116123(2)x y y t k x t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩()2222438(32)4(32)480k x kt k x t k ++-+--=由点Q 在椭圆内，易知，0∆>不妨令,则，()()1122,,,M x y N x y 221212228(23)4(32)48,4343kt k t k x x x x k k ---+=⋅=++所以．()()()()()()222222222121212224811612(32)||11443k k t k MN kx x k x x x x k⎡⎤++--⎣⎦⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+又,()2||||131AQ BQ t ⋅==-所以为常数，()()()222222224811612(32)||||||13431k k t k MN AQ BQ k t ⎡⎤++--⎣⎦=⋅+-则需满足为常数，22221612(32)1k t k t+---（此式为与t 无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即，解得．221612(32)k k +=-12k =-将代入，可得,得，12k =-1228(23)43kt k x x k -+=+124x x t +=1222x x t +=所以Q 为的中点，MN 所以．||1||AQM AQNS MQ S NQ ==△△19．解：（1）设等比数列的公比为q ．1232,,,,(1)k a a a a k ≥ 若，则由①得,得,1q ≠()21122101k k a q a a a q-+++==- 1q =-由②得或．112a k =112a k=-若,由①得，,得,不可能．1q =120a k ⋅=10a =综上所述，．1q =-或．11(1)2n n a k -∴=-11(1)2n n a k-=--（2）设等差数列的公差为d ,12321,,,,(1)k a a a a k +≥ ,123210k a a a a +++++= ,112(21)(21)0,02k k dk a a kd +∴++=+=即,120,k k a a d ++=∴=当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，0d =当时，据“曼德拉数列”的条件①②得，0d >，()23211212k k k k a a a a a a ++++++==-+++ ，即，(1)122k k kd d -∴+=1(1)d k k =+由得，即，10k a +=110(1)a k k k +⋅=+111a k =-+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=-+-⋅=-∈≤++++N 当时，同理可得，0d <(1)122k k kd d -+=-即．1(1)d k k =-+由得,即，10k a +=110(1)a k k k -⋅=+111a k =+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=--⋅=-+∈≤++++N 综上所述，当时，,0d >()*1,21(1)n n a n n k k k k∴=-∈≤++N 当时，．0d <()*1,21(1)n n a n n k k k k=-+∈≤++N （3）记中非负项和为A ,负项和为B ,则,12,,,n a a a 0,1A B A B +=-=得，即．1111,,2222k A B B S A ==--=≤≤=1(1,2,3,,)2k S k n ≤= 若存在，使，由前面的证明过程知：{1,2,3,,}m n ∈ 12m S =，且． 12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤ 1212m m n a a a +++++=- 若数列为n 阶“曼德拉数列”，{}(1,2,3,,)i S i n = 记数列的前k 项和为,则．{}(1,2,3,,)i S i n = k T 12k T ≤，1212m m T S S S ∴=+++≤又,1211,02m m S S S S -=∴==== ．12110,2m m a a a a -∴===== 又，1212m m n a a a +++++=- ，12,,,0m m n S S S ++∴≥ ，123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++ 又与不能同时成立，1230n S S S S ++++= 1231n S S S S ++++= ∴数列不为n 阶“曼德拉数列{}(1,2,3,,)i S i n =。
函数的单调性+奇偶性(含答案)
函数的单调性+奇偶性（含解析）一、单选题1．函数1()lg(21)f x x =-的定义域为（ ） A ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B ．12x x ⎧≥⎨⎩且}1x ≠ C ．12x x ⎧⎨⎩且}1x ≠ D ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭2．函数()f x = ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3．已知函数，若方程有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(−1,−12] B ．[−12,0) C ．[−1,+∞) D ．[−12,+∞) 4．设函数()1,02,0x x x f x b x +≥⎧=⎨+<⎩是R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(]1,1- 5．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x -=C ．1y x x =-D ．()2ln 1y x =+ 6．设 ()212,11,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()2f f =( ) A ．－2B ．2C ．5D ．267．集合{|,P x y =={|,Q y y ==U =R ，则()U P Q ⋂是（ ） A ．[)1,+∞B ．∅C ．[)0,1D ．[)1,1- 8．函数x x x f 431)(3-=的单调递减区间是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,2(-C ．),2(∞+D ．),2()2,(+∞⋃--∞9．已知集合214A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∣，集合{B y y ==∣，则A B =（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[1,1]- C ．[0,1] D ．1[0,]210．若函数()f x 满足()2f x x =+，则()32f x +的解析式是( )A ．()3298f x x +=+B ．()3232f x x +=+C ．()3234f x x +=--D ．()3234f x x +=+11．函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f （x ）=x+1，则当x<0时，f （x ）的 表达式为（ ）A ．1)(+-=x x fB ．1)(--=x x fC ．1)(+=x x fD ．1)(-=x x f12．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩， 则[(2)]f f -的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5二、多选题13．已知函数()f x 是一次函数，满足()()98ff x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 14．已知函数2,[1,2)x y x ∈-=，下列说法正确的是（ ）A ．函数是偶函数B ．函数是非奇非偶函数C ．函数有最大值是4D ．函数的单调增区间是为(0，2)15．下列函数中，与y x =是同一个函数的是（ ） A ．3log 3x y = B．3log 3x y = C．y = D ．2y = 16．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合-{}1,1,2,4M =-，{}1,2,4,16N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ）A ．2y x =B ．2y x =+C ．2x y =D ．2y x三、填空题17．函数()f x =_______．18．偶函数()f x 满足当0x >时，()34f x x =+，则()1f -=_____．19．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,0)-∞上的单调性是________.20．设,0()ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1()2g g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦____________.四、解答题21．已知()222f x x x =-+.（1）画出()f x 的图象.（2）根据图象写出()f x 的单调区间和值域.22．用函数的单调性的定义证明函数()4f x x x=+在()2,+∞上是增函数. 23．求解下列函数的定义域（1）（2） 24．求函数1,01(),12x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩的最值25．已知函数1(),f x a x=-其中0a >。
高三数学上学期第一次月考试题含解析
一中2021-2021学年第一学期高三年级阶段性检测〔一〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日数学学科一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分．，，那么___________．【答案】【解析】【分析】此题是集合A与集合B取交集。
【详解】因为，所以【点睛】交集是取两集合都有的元素。
是虚数单位)是纯虚数，那么实数的值是___________．【答案】-2【解析】【分析】此题考察的是复数的运算，可以先将复数化简，在通过复数是纯虚数得出结果。
【详解】，因为是纯虚数，所以。
【点睛】假如复数是纯虚数，那么。
3.“〞是“直线与直线互相垂直〞的___________条件〔填“必要不充分〞“充分不必要〞“充要〞或者“既不充分又不必要〞〕．【答案】充分不必要【解析】【分析】可以先通过“直线与直线互相垂直〞解得的取值范围，再通过与“〞进展比照得出结论。
【详解】因为直线与直线互相垂直，所以两直线斜率乘积为或者者一条直线与轴平行、一条与轴平行，所以或者者，解得或者者，由“〞可以推出“或者者〞，但是由“或者者〞推不出“〞，所以为充分不必要条件。
【点睛】在判断充要条件的时候，可以先将“假设A那么B〞中的A和B化为最简单的数集形式，在进展判断。
的递增区间是___________．【答案】【解析】【分析】此题可以先通过的取值范围来将函数分为两段函数，再依次进展讨论。
【详解】当时，，开口向下，对称轴为，所以递增区间是，当时，，开口向上，对称轴是，所以在定义域内无递增区间。
综上所述，递增区间是。
【点睛】在遇到带有绝对值的函数的时候，可以根据的取值范围来将函数分为数段函数，在依次求解。
5.按如下图的程序框图运行后，输出的结果是63，那么判断框中的整数的值是___________．【答案】5【解析】【分析】此题中，，可根据这几个式子依次推导出每一个A所对应的S的值，最后得出结果。
【详解】因为当时输出结果，所以【点睛】在计算程序框图时，理清每一个字母之间的关系，假如次数较少的话可以依次罗列出每一步的运算结果，最后得出答案。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段性检测数学试题
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段性检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．已知复数2i1iz =+，则||z =（ ）A B ．2 C D ．52．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为8π的扇形，则此圆锥的体积是（ ） A ．12π B ．16πC ．48πD ．64π3．“1a a<”是“1a <-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的渐近线交于A 、B 两点，满足A ，B 均在y 轴右侧，且1ABF V 为正三角形，则双曲线E 的渐近线方程为（ ）A ．x y =B ．y =C ．y =D ．x =5．在等比数列{}n a 中，已知12323421,7a a a a a a ++=++=-，那么456a a a ++等于（ ） A ．79-B ．79C ．73-D ．736．将5个相同的白球和5个相同的红球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有红球，则不同的放球方法共有( ) A ．18种B ．24种C ．36种D ．48种7．如图，已知圆O 的半径为2，弦长2,AB C =为圆O 上一动点，则2AC AC BC -⋅uu u r uu u r uu u r的取值范围为（ ）A ．[2,3]-B ．[3,3]-C ．[6,2]-D ．[2,6]-8．已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x >时，()2()0xf x f x '+>，则下列四个判断正确的为（ ） A ．(2)4(1)f f -< B ．(2)4(1)f f -> C ．(1)(2)4f f -<D ．(1)(2)4f f ->二、多选题9．为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计．得到如图所示的列联表，则下列说法正确的是（ ）参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．附表：A ．喜爱物理学科的学生中，男生的频率为34B ．女生中喜爱物理学科的频率为14C ．依据小概率值0.001α=的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关10．函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的最小正周期是2，已知()()()()1,0,2,R 11,,12x x f x g x f x a a x x ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦==+∈⎨⎛⎤⎪-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩．下列四个判断中，正确的有（ ）A ．函数()5xy f x =-有5个零点B ．当1a =时，()g x 为偶函数C ．当4a =时，函数()()f x g x +的值域为[1,1]-D ．当12a =时，函数()()f x g x 关于(1,0)对称 11．已知函数()sin()(0,0,0)f x x λωϕλωϕπ=+>><<图象如图1所示，A ，B 分别为图象的最高点和最低点，过A ，B 作x 轴的垂线，分别交x 轴于,A B ''，点C 为该部分图象与x 轴的交点，()f x 与y轴的交点为D ，此时135AA B '∠=︒．将绘有该图象的纸片沿x 轴折成60︒的二面角OC αβ--，如图2所示，折叠后||AB =个结论正确的有（ ）A ．3πϕ=B ．()f x 的图象在(2,3)上单调递增C ．在图2中，()f x 上存在唯一一点Q ，使得//DQ 面ABCD ．在图2中，若12,P P 是()f x 上两个不同的点，且满足,1,2i AP BB i '⊥=，则12PP 的最小值为43三、填空题12．已知02a <<，则212a a+-的最小值为．13．已知直线22y x =+与抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点，抛物线的焦点为F ，O 为原点，且OA OB ⊥，则||||+=AF BF ．14．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马P ABCD -（如图），PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，6AD =，点E ，F 分别在AB ，BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，三棱锥P ADF -外接球的表面积为.四、解答题15．已知函数2()2cos 2f x x x =． (1)求()f x 的最小正周期；(2)设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()3,sin 2sin 2Aa f B C ===，求ABC V 的面积．16．已知平面内的一动点(,)P x y (1)求动点P 的轨迹C 的标准方程；(2)已知点1(0,1)F -，过2(0,1)F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，若222AF F B =u u u u r u u u u r，求1ABF V 的面积．17．在如图所示的直三棱柱111ABC A B C -中，12,,AB BC AA D E ===分别是线段11,BC A B 上的动点．(1)若//DE 平面11ACC A ，求证：1110B E BC B A BD ⋅-⋅=;(2)若ABC V 为正三角形，E 是11A B 的中点，求二面角B AE D --余弦值的最小值．18．已知函数()e ,(0,)x f x mx x =-∈+∞． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若函数()()ln 1g x f x x x =--有两个零点12,x x ， （一）求m 的取值范围； （二）求证：121x x <．19．某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由()*n n ∈N 位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束．已知A 团队每位成员闯过第一关和第二关的概率均为12，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．(1)用随机变量X 表示A 团队第2*,2()n n ∈≥N 位成员的闯关数，求X 的分布列； (2)已知A 团队第6*,6()n n ∈>N 位成员上场并闯过第二关，求恰好是第3位成员闯过第一关的概率；(3)记随机变量n Y 表示A 团队第()1,2,,n n Y Y n =L 位成员上场并结束闯关活动，证明()n E Y 单调递增，并求使()114n E Y ≤的n 的最大值．。
专题19 椭圆(客观题)(新高考地区专用)(解析版)
专题19 椭 圆（客观题）一、单选题1．如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为,,F A B 分别为椭圆的上､下顶点，P 是椭圆上一点，//,||||AP BF AF PB =，记椭圆的离心率为e ，则2e =A ．2BC ．12D 【试题来源】2021年1月浙江省普通高中学业水平考试 【答案】B【解析】()()0,,,0B b F c -，则BF b k c=，所以直线:bAP y x b c =+，与椭圆方程联立()222220a c x a cx ++=，所以点P 的横坐标是2222a c x a c =-+，322b y a c=-+，即2322222,a c b P a c a c ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，222322222222a c b PB a b a a c a c ⎛⎫⎛⎫=⇒+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 整理为6244264321c a c a c a --+=，两边同时除以6a 得64243210e e e --+=，()()2421410ee e -+-=，210e -≠，所以42410e e +-=，得2e =或2e =（舍）．故选B ． 2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点M 在椭圆上，以M 为圆心的圆与x 轴相切与椭圆的焦点，与y 轴相交于P ，Q ，若MPQ 为正三角形，则椭圆的离心率为A ．12B ．13C ．2D ．3【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试 【答案】D【解析】不妨设()00,M x y 在第一象限，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆右焦点，则0x c =，又M 在椭圆上，则20b y a =，∴圆M 的半径2br a =，MPQ 为正三角形，c r ∴==2220ac +=220e +=，解得3e =．故选D ． 【名师点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，求解离心率的关键是能够通过图形中的长度关系构造出关于,a c 的齐次方程，利用齐次方程配凑出离心率e ，解方程求得结果．3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是A ．,12⎤⎢⎥⎣⎦B ．12⎤⎥⎣⎦C ．,22⎣⎦D ．33⎣⎦【试题来源】河北省衡水中学2021届高三上学期期中（理） 【答案】B【解析】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为1F ，因为AF BF ⊥，所以四边形为1AF BF 为矩形，所以12AB FF c == 因为ABF α∠=，所以2sin ,2cos ,AF c BF c αα==由椭圆的定义得22sin 2cos a c c αα=+，所以11sin cos 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,4122πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 4πα⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，4πα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎣，所以1e ⎤∈⎥⎣⎦，故选B. 【名师点睛】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等．4．已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，且120AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是A．⎫⎪⎪⎣⎭B．⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【试题来源】湖北省黄冈市部分普通高中2020-2021学年高三上学期12月联考 【答案】C【解析】连接A ，B 与左右焦点F ，F '的连线，由120AFB ∠=︒，由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF '为平行四边形，60FAF '∠=︒，在三角形AFF '中，()22222cos 3FF AF AF AF AF FAF AF AF AF AF ''''=+-⋅∠=+-⋅，所以()222332AF AF AF AF FF AF AF '+⎛⎫''+-=⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2214AF AF FF ''+≤即221444a c ⋅≤，可得1 2c e a =≥，所以椭圆的离心率1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选C ． 【名师点睛】该题考查的是有关椭圆离心率的取值范围的求解问题，解题方法如下： （1）根据题意，结合椭圆的对称性，连接相应点，得到平行四边形； （2）根据平行四边形的性质，得到角的大小；（3）根据余弦定理，列出相应等式，结合椭圆定义以及基本不等式求得结果．5．已知P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，且34PA PB k k ⋅=-，则椭圆的离心率为 A ．12B ．13C ．14D．2【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第四次月考（文） 【答案】A【解析】由题可设(),P x y ，()11,A x y ，11,B x y ，则2211122111PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，22221x y a b +=，2211221x y a b+=，两式相减可得222211220x x y y a b --+=，即22212221y y b x x a -=--，2234b a ∴-=-，22234a c a -∴=，12c a ∴=，故选A.【名师点睛】（1）该题来自椭圆的一个小结论：若椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，,A B是该椭圆上关于原点对称的两点，P 为椭圆上异于,A B 的任意一点，则PA PB k k ⋅为定值，为22b a-．（2）椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．已知椭圆22:195x y E +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一个动点，Q 为圆22:108400M x y x y +--+=上一个动点，则1PF PQ +的最大值为 A ．12 B 1+ C ．11D ．18【试题来源】江苏省苏州市常熟市2020-2021学年高三上学期阶段性抽测二 【答案】A【解析】由题意得12(2,0),(2,0)F F -，根据椭圆的定义可得1226PF PF a +==，所以126PF PF =-，又圆22:108400M x y x y +--+=，变形可得22(5)(4)1x y -+-=，即圆心(5,4)M ，半径1r =，所求1PF PQ +的最大值，即求1PF PM r ++的最大值，126PF PM PF PM +=-+，如图所示：当2,,P F M 共线时，2PM PF -有最大值，且为25F M ==， 所以126PF PM PF PM +=-+的最大值为5611+=，所以1PF PQ +的最大值，即1PF PM r ++的最大值为11+1=12，故选A7．已知A ､B 分别为椭圆C ：2214x y +=的左､右顶点，P 为椭圆C 上一动点，PA ，PB与直线3x =交于M ，N 两点，PMN 与PAB △的外接圆的周长分别为1L ，2L ，则12L L 的最小值为 ABCD ．14【试题来源】湖南省长郡中学、湖南师大附中、长沙市一中联合体2020-2021学年高三上学期12月联考【答案】A【解析】由已知得(2,0)A -、(2,0)B ，设椭圆C 上动点(,)P x y ， 则利用两点连线的斜率公式可知02-=+PA y k x ，02-=-PA y k x ， ()()22222100142222444---∴⋅=⋅====-+-+---PA PBx y y y y k k x x x x x x 设直线PA 方程为()2y k x =+，则直线PB 方程为()124y x k=--，根据对称性设0k >， 令3x =得5M y k =，14N y k =-，即()3,5M k ，13,4-⎛⎫ ⎪⎝⎭k N ，则154MN k k =+ 设PMN 与PAB △的外接圆的半径分别为1r ，2r ， 由正弦定理得1sin 2N P r M M N =∠，22sin ABr APB=∠，又180∠+∠=︒MPN APB ，sin sin ∴∠=∠MPN APB111222152424+∴====≥=k L r r MNk L r r ABππ，当且仅当154=k k ，即=k 等号成立，即12L LA 8．若点M 到两定点()10,1-F ，()20,1F 的距离之和为2，则点M 的轨迹是 A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．线段的中垂线．【试题来源】四川省绵阳市绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期11月月考（文） 【答案】C【分析】根据M 到12,F F 的距离之和正好等于12F F ，可得M 的轨迹．【解析】()10,1-F ，()20,1F ，122F F ∴=，因为点M 到两定点()10,1-F ，()20,1F 的距离之和为2，M ∴的轨迹是线段12F F ，故选C ．9．已知椭圆C 经过点()()5004A B -，，，，则椭圆C 的标准方程为 A ．22154x y +=B ．2212516x y +=C ．2211625x y +=D ．221259x y +=【试题来源】西藏日喀则市拉孜县中学2021届高三上学期第二次月考（理） 【答案】B【分析】由所给的椭圆上的点为顶点，即可求出椭圆的方程．【解析】因为椭圆C 经过点()()5004A B -，，，，所以5,4a b ==，且焦点在x 轴上， 所以椭圆的方程为2212516x y +=，故选B. 10．关于x ，y 的方程()22211ax a y +-=表示的曲线为椭圆的一个充分不必要条件为A ．12a >B ．1a >C ．12a >且1a ≠D ．12a >或0a < 【试题来源】百师联盟2021届一轮复习（二） 全国卷III 理数试题 【答案】B【分析】根据椭圆的方程可得021021a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，求出a 的取值，再根据充分条件、必要条件的定义即可求解．【解析】若方程()22211ax a y +-=表示的曲线为椭圆，则有021021a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，所以12a >且1a ≠，故选项A 和D 非充分条件，选项C 为充要条件，选项B 为充分不必要条件，故选B ．11．已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆221x y m+=的离心率为AB ．2 C或2D．2【试题来源】宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试（理） 【答案】A【分析】由1，m ，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率．【解析】因为1，m ，9构成一个等比数列，所以m 2=1×9，则m=±3．当m=3时，圆锥曲线2xm +y 2=13；当m=﹣3时，圆锥曲线2x m +y 2=1是双曲线，故舍去，则离心率为3．故选A ． 12．椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F 、2F ，上顶点为A ，若123F AF π∠=，则m =A ．1 BCD ．2【试题来源】2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学 【答案】C【解析】在椭圆()2222101x y m m m+=>+中，a ，b m =，1c ==，如下图所示：因为椭圆()2222101x y m m m +=>+的上顶点为点A ，焦点为1F 、2F ，所以12AF AF a ==，123F AF π∠=，12F AF ∴△为等边三角形，则112AF F F =22a c ===，因此，m ．故选C ．13．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 是椭圆C 的上顶点，直线13x c =与直线2BF 交于点A ，若124AF F π∠=，则椭圆C 的离心率为ABC．2D．2【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）（3-2）试题 【答案】A【解析】由题设知，()0,B b ，()2,0F c ，所以直线2BF 的方程为1x y c b +=，联立131x c x y c b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，12,33A c b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线13x c =与x 轴交于点M ，则143F M c =，23MA b =， 因为124AF F π∠=，所以14233F M MA c b =⇒=，即2b c =， 所以2224a c c -=，即225a c =，所以2155e e =⇒=，故选A. 14．已知ABCDEF 为正六边形，若A 、D 为椭圆W 的焦点，且B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则椭圆W 的离心率为 A1B1 C．12D．12【试题来源】湖南省株洲市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量统一检测 【答案】A【分析】设正六边形ABCDEF 的边长为1，则1c OA ==，由21AF FD a +==可得a ，从而可得椭圆的离心率．【解析】设正六边形ABCDEF 的边长为1，如图由A 、D 为椭圆W 的焦点，则在椭圆中，1c OA ==，由B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则在直角三角形ADF中，DF ===由椭圆的定义可得21AF FD a +==+a =，所以12c e a ===，故选A.15．椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，过椭圆上的点M 作向量MN使得12MN F F =，且12 F F N 为正三角形，则该椭圆的离心率为 A．2B．12CD【试题来源】2021届高三湘豫名校联考（2020年11月）（文） 【答案】D【分析】根据12 F F N 为正三角形得到点N 必在x 轴上，即可求出ON ，再根据12MN F F =，即可求出M 点的坐标，代入椭圆方程，根据离心率的公式即可求出离心率．【解析】12F F N 为正三角形，∴点N 必在x 轴上，且1260NF F ∠=︒，1tan60ON OF ∴=︒⋅=，又12MN F F =，),2Mc ∴，又点M在椭圆上，)2222(2)1c ab ∴+=，化简得424810e e -+=，解得2e ==，又01e <<，e ∴=．故选D ． 16．已知曲线Γ：22123x y λλ+=-，则以下判断错误的是A ．0λ<或3λ>时，曲线Γ一定表示双曲线B ．03λ<<时，曲线Γ一定表示椭圆C ．当3λ=-时，曲线Γ表示等轴双曲线D ．曲线Γ不能表示抛物线【试题来源】云南省西南名校联盟2021届高三12月高考适应性月考卷（理） 【答案】B【解析】对Γ：22123x y λλ+=-，当2(3)0λλ-<，即0λ<或3λ>时，曲线Γ表示双曲线，当3λ=-时，Γ：22166y x -=表示等轴双曲线，因为无论λ取何值，曲线方程均只含2x ，2y 项与常数项，因此A ，C ，D 正确；当1λ=时，Γ：222x y +=表示圆，B 错误．选B ．17．已知点P 是椭圆C ：22110064x y +=上一点，M ，N 分别是圆()2261x y -+=和圆()2261x y ++=上的点，那么PM PN +的最小值为A ．15B ．16C ．17D ．18【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第四次月考（理） 【答案】D【解析】如图，椭圆C ：22110064x y +=的108a b ==，，所以6c =，故圆()2261x y -+=和圆()2261x y ++=的圆心为椭圆的两个焦点，则当M ，N 为如图所示位置时，PM PN +最小， 值为12122218PF PF MF MF a +--=-=，故选D ．18．椭圆C ：2221(0)3x y a a +=>的焦点在x 轴上，其离心率为12，则A ．椭圆CB ．椭圆C 的长轴长为4 C ．椭圆C 的焦距为4D ．4a =【试题来源】辽宁省葫芦岛市协作校2020-2021学年高三12月联考 【答案】B【分析】由离心率可求出2a =，结合椭圆的性质可求出椭圆的短轴长，长轴长，焦距．【解析】由椭圆的性质可知，椭圆C 的短轴长为12e ==，则24a =，即2a =，2231c a =-=，所以椭圆C 的长轴长24a =，椭圆C 的焦距22c =，故选B ．19．已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为 A ．1 B ．2 C ．4D ．5【试题来源】河南省洛阳市2021届高三上学期第一次统一考试（文） 【答案】A【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得OQ 是12F F M △的中位线， ||5OQ a ==，可得Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项．【解析】因为P 是焦点为1F ，2F 的椭圆2212516x y +=上的一点，PQ 为12F PF ∠的外角平分线，1QF PQ ⊥，设1F Q 的延长线交2F P 的延长线于点M ，所以1||||PM PF =，12212210,PF PF a MF PF PF +==∴=+，所以由题意得OQ 是12F F M △的中位线，所以||5OQ a ==，所以Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q 与y 轴重合时， Q 与短轴端点取最近距离54 1.d =-=故选A ．20．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABCBCF S S=，则椭圆的离心率为A BC ．3D ．10【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第三次双基检测（理） 【答案】A【解析】设椭圆的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，由x c =-，代入椭圆方程得2by a =±，设2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),C x y ，由23ABCBCF SS=，可得222AF F C =，即22,2(,)b c x c y a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即222c x c =-，22b y a -=，所以2x c =，22b y a =-，代入椭圆得，2222414c b a a+=，由222b a c =-得2153e =，解得e =，由01e <<，所以e =．故选A ．21．已知抛物线()220y px p =>的准线与椭圆22194x y +=相交的弦长为p =A ．1B ．2C ．3D ．4【试题来源】云南师大附中2020届高三（下）月考（理）（七） 【答案】C【解析】抛物线的准线方程为2px =-，设其与椭圆相交于A ，B两点，AB = 不妨设0A y >，根据对称知A y =32A x =-或32A x =（舍去），3p =，故选C ．22．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交C于A ，B 两点，若1AF B △为等边三角形，则椭圆C 的离心率为 A ．12B．2C ．13D．3【试题来源】天津市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考 【答案】D【分析】利用椭圆方程，求出焦点坐标，通过三角形是等边三角形求解椭圆的离心率即可．【解析】椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1AF B △为等边三角形，可得222b c a=，所以：)222ac a c =-，即220e +=， 因为()01e ∈，，解得3e =，故选D ． 23．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ≥ A．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．2]C．12⎛⎤ ⎥⎝⎦D．1]【试题来源】江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学2020-2021学年高三上学期11月教学调研 【答案】C【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PF QF 为矩形，设12,PF n PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m=+的取值范围， 进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可 【解析】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <， 因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==， 所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QFPF；由113QF PF ≥1mn≤<， 由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-； 令=+m nt n m，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦， 即()2224232c a c <≤-，所以，()222223a c c a c -<≤-，所以，()22211e e e-<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤，故选C. 24．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e = A ．12B．2 C ．14D．4【试题来源】江苏省泰州市姜堰中学、南通市如东中学、宿迁市沭阳如东中学2020-2021学年高三上学期联考 【答案】D【分析】依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得22142a c =，再根据离心率公式计算即可．【解析】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2(0)c c >，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 的坐标为()0c -，，右焦点2F 的坐标为()0c ，， 依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得 22212121212||||2cos F F AF AF AF AF F AF ∠=+-⋅⋅，123cos 4F AF ∠=，22223142242c a a a ∴=-⨯=，22218c e a ∴==，解得4e =．故选D ． 25．已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为A ．12BC ．13D 【试题来源】黑龙江省哈尔滨市道里区第三中学校2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据已知条件求出,,B H M 三点坐标，再由三点共线可得斜率相等，从而得出3a c =可得答案．【解析】由题意可设(,0),(,0),(,0)F c A a B a --，设直线AE 的方程（由题知斜率存在）为()y k x a =+，令x c =-，可得(),()M c k a c --，令0x =，可得(0,)E ka ，设OE 的中点为H ，可得0,2ka H ⎛⎫⎪⎝⎭，由,,B H M 三点共线，可得BH BM k k =，即()2kak a c a c a-=---，即为3a c =，可得13c e a ==，故选C ．26．已知命题p ：22x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，命题q：22162x y m m +=-+表示椭圆，若命题“p q ∧”为真命题，则实数m 的取值范围是 A ．26m -<< B ．06m <<C ．06m <<且2m ≠D ．26m -<<且2m ≠【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理） 【答案】C【解析】对于命题2:2p x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，所以0m >，对于命题22:162x yq m m +=-+表示椭圆，所以602062m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得26m -<<且2m ≠， 因为命题“p q ∧”为真命题，所以命题p 和命题q 均为真命题， 所以实数m 的取值范围是06m <<且2m ≠．故选C ．27．已知()11,0F -，21,0F ，M 是第一象限内的点，且满足124MF MF +=，若I 是12MF F △的内心，G 是12MF F △的重心，记12IF F △与1GF M △的面积分别为1S ，2S ，则A ．12S S >B ．12S SC ．12S S <D ．1S 与2S 大小不确定【试题来源】浙江省十校联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】B【分析】作出图示，根据,I G 的特点分别表示出1S ，2S ，即可判断出12,S S 的大小关系．【解析】因为121242MF MF F F +=>=，所以M 的轨迹是椭圆22143x y +=在第一象限内的部分，如图所示：因为I 是12MF F △的内心，设内切圆的半径为r ，所以()12121222MMFMF F F rF F y ++⋅⋅=，所以3M y r =，所以12121223I MF F y F F r y S ⋅⋅===，因为G 是12MF F △的重心，所以:1:2OG GM =， 所以12112221133323M M MOF F OF F F yy S S S ⋅===⋅=，所以12S S ，故选B ． 28．已知1F 、2F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A ．BCD ．【试题来源】【新东方】【2020】【高三上】【期中】【HD -LP367】【数学】 【答案】C【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a 12()a a >，半焦距为c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为1e 和2e ，11||PF r =，22||PF r =， 由椭圆和双曲线的定义可知，1212r r a +=，1222r r a -=±， 因为123F PF π∠=，由余弦定理得222121242cos3c r r r r π=+-221212r r r r =+-，所以22212121124()343c r r r r a r r =+-=-，且22212122124()4c r r r r a r r =-+=+，所以222212443(44)a c c a -=-，即2221234a a c +=，则2221314e e +=，由柯西不等式得22212121131(1)()(13e e e e ++≥⨯+，所以12113e e +≤=，当且仅当13e =，2e =时，等号成立．故选C 29．如图，设1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若124PF QF =，则直线2PF 的斜率为A ．2-B ．1-C ．12-D ．1【试题来源】浙江省宁波十校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】A【解析】如下图，连接11,PF QF ，设()20QF x x =>，则14PF x =，因为122PF PF a +=，122QF QF a +=，所以224PF a x =-，12QF a x =-，在△1PF Q 中，1290F PF ︒∠=，所以22211+=PF PQ QF ，即()()()2224242x a x x a x +-+=-，整理得3a x =， 所以121244tan 22464PF x xPF F PF a x x x∠====--，所以直线2PF 的斜率为()21tan 1802k PF F ︒=-∠=-．故选A ．30．已知P 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点，1F ，2F 分别是C 的左，右焦点，O是坐标原点，若212OP OF OF +=且1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为 A ．12BCD 【试题来源】福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试 【答案】A【解析】如图所示，设M 是2PF 中点，则22OP OF OM +=，1||2||PF OM =， 因为212OP OF OF +=，所以1||||OM OF =，所以112||||2PF F F c ==，因为1260F PF ∠=︒，所以1122||||||2PF F F PF c ===．由椭圆的定义得12||||2PF PF a +=， 所以11222,,22c c c a e a +=∴=∴=．故选A 二、多选题1．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆M 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四点，且从1F ，2F ，A ，B ，C ，D 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为A ．3 B ．2 C ．512- D ．312- 【试题来源】湘鄂部分重点学校2020-2021学年高三上学期11月联考（理） 【答案】BC【分析】结合椭圆的对称性，只需要考虑三种情况，即以D 、C ，2F 作为三角形的三个顶点；以C 、1F 、2F 作为三角形的三个顶点或以C 、A 、2F 作为三角形的三个顶点，分别根据图形列出关于以a 、b 、c 的齐次式，化简求离心率．【解析】①如图，若以D 、C ，2F 作为三角形的三个顶点，则2DC CF ⊥， 由勾股定理可得，()()2222a ba a c ++=+，由222b ac =-，可得220c ac a +-=，即210e e +-=，因为01e <<，解得512e =；②如图，若以C 、1F 、2F 作为三角形的三个顶点， 则12CF CF ⊥，故245OCF ∠=︒，则2c e a ==；③如图，若以C 、A 、2F 作为三角形的三个顶点， 则22CF AF ⊥，245CF O ∠=︒，则22c e a ==；故选BC ．2．已知F 是椭圆2212516x y +=的右焦点，M 为左焦点，P 为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =，1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，则A ．FPM 的面积最大时，24tan 7FPM ∠= B ．1FP 的最大值为8 C ．d 的值可以为310D ．椭圆上存在点P ，使2FPM π∠=【试题来源】湖北省十一校考试联盟2020-2021学年高三上学期12月联考 【答案】ABC【解析】由椭圆2212516x y +=，当点P 为短轴顶点时，FPM ∠最大，FPM 的面积最大，此时24tan 7FPM ∠=，此时角为锐角，故A 正确、D 错误； 椭圆上的动点P ，1a c PF a c -≤≤+，即有128PF ≤≤，又椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =，1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，所以1FP 最大值8，B 正确；设1FP ，2FP ，3FP ，…组成的等差数列为{}n a ，公差0d >，则12a ≥，8n a ≤，又11n a a d n -=-，所以663121110d n ≤≤=--，所以3010d <≤，所以d 的最大值是310，故C 正确．故选ABC【名师点睛】由椭圆性质知在椭圆上的点中，与焦点构成的三角形面积、以该点为顶点的角最大时，点在短轴端点上；且2||8FP ≤≤，进而可得d 的范围．3．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1F ，2F 分别为左、右焦点，1A ，2A 分别为左、右顶点，P 为椭圆上的动点，且12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥恒成立，则椭圆C 的离心率可能为A ．12BC D ．2【试题来源】云南省楚雄州2021届高三上学期期中教学质量检测（理） 【答案】AC【解析】设()00,P x y ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，则()100,PF c x y =---，()200,PF c x y =--， ()100,PA a x y =---，()200,PA a x y =--．因为22221212022PF PF PA PA x y a c ⋅+⋅=+--2222220222b x b x a c a ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭222222022330c x a c a c a =+-≥-≥恒成立，所以离心率3c e a =≤．故选AC 【名师点睛】此题考查椭圆的几何性质的应用，考查的离心率的求法，解题的关键是由12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥转化为坐标的关系，进而可得到,a c 的关系，考查计算能力，属于中档题4．设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ， B 两点，则下述结论正确的是 A ．AF +BF 为定值 B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]C ．当m =时，△ABF 为直角三角形D ．当m =1时，△ABF【试题来源】海南省2020届高三高考数学五模试题 【答案】AD【解析】设椭圆的左焦点为F '，则AF BF '= 所以=6AF BF AF AF '+=+为定值，A 正确；ABF 的周长为AB AF BF ++，因为AF BF +为定值6，所以AB 的范围是()0,6， 所以ABF 的周长的范围是()6,12，B 错误；将y =(A ，B，因为)F，所以(?60BA BF ⋅=-=-<，所以ABF 不是直角三角形，C 不正确；将1y =与椭圆方程联立，解得()A -，)B ，所以112ABFS=⨯=D 正确．故选AD. 5．已知椭圆22:163x y C +=的左、右两个焦点分别为12,F F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ︒∠<C ．直线BE 的斜率为12k D ．90PAB ︒∠>【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（二） 【答案】ABC 【解析】A 选项：根据对称性，如上图有2112,,OA OB BOF AOF OF OF =∠=∠=，所以21BOF AOF ≅，即12OAF OBF ∠=∠，则12//AF BF ，12AF BF =，所以四边形12AF BF 为平行四边形；A 正确．B 选项：由余弦定理222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，12F F =，12,PF x PF x ==，由直线(0)y kx k =≠中k 存在故x ≠所以212cos F PF ∠=，令t x <=，则x t =+，所以212226cos 166t F PF t t∠==---，203t ≤<， 120cos 1F PF ≤∠<，即1290F PF ∠<︒；B 正确．C 选项：若(,)A m km ，则(,)B m km --，(m,0)E ，所以直线BE 的斜率为22km km =；C 正确．D 选项：由上可设:()2k PB y x m =-，联立椭圆方程22:163x y C +=，整理得22222(2)2120k x mk x m k +-+-=，若(,)p p P x y ，则2222p mkx m k -=+，即2222p mk x m k =++，322p mk y k =+，所以直线PA 的斜率为32221222mk km k mk k k -+=-+，故AB AP ⊥，即90PAB ∠=︒，故D 错误．故选ABC ． 三、填空题1．点P 是椭圆22:1167x y C +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，且12PF F △的内切圆半径为1．当点P 在第一象限时，它的纵坐标为__________．【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第五次复习检测（理） 【答案】73【分析】椭圆的焦点三角形问题，充分利用椭圆的定义，从两个角度表示出12PF F S ，建立关于p y 的关系式求解．【解析】因为128PF PF +=，126F F =，所以()1212121172PF F S PF PF F F =++⨯=；因为12121372PF F p p SF F y y =⋅==，所以73p y =．故答案为73【名师点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a 等．2．已知椭圆221164x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为6，则点P 到另一个焦点的距离为__________．【试题来源】上海市奉贤区2021届高三上学期一模 【答案】2【解析】利用椭圆定义122PF PF a +=，4a =，可知268PF +=，即22PF =.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则椭圆C 的离心率为__________． 【试题来源】广西北海市北海中学2021届高三12月考试（理）【答案】5【解析】设1BF k =，则13AF k =，24BF k =，由12122BF BF AF AF a +=+=， 得25a k =，22AF k =，在2ABF 中，21cos 4BAF ∠=， 又在12F AF 中，22212(3)(2)(2)1cos 2324k k c F AF k k +-∠==⨯⨯，得2c =故离心率5c e a ==．故答案为54．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l交椭圆于A B ，两点，且A B ，的中点为112M ⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的离心率为__________． 【试题来源】吉林省梅河口市第五中学2021届高三上学期第三次月考（文）【答案】2【解析】由题意知(),0F c -，()0,P b -，所以直线FP 的斜率为00()b bc c--=---，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，①-②得2222121222x x y y a b --=-，即()()()()1112221222x x y y y y a x x b =-+--+， 因为112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是A B ，的中点，所以122x x +=，121y y +=，所以()()2112222x y y a b x =---，所以2122122ABy y b k x x a-==--， 因为//AB FE ，所以222b b c a-=-，即22a bc =，所以222b c bc +=，所以b c =，所以22222a b c c =+=，所以c e a ==【名师点睛】本题的关键点是利用点差法设设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得2222121222x x y y a b --=-，112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是A B ，的中点，所以 122x x +=，121y y +=，可得2122122ABy y b k x x a-==--，再计算00()FP b b k c c --==---， 利用AB FP k k =结合222a b c =+即可求离心率．5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为__________．【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期数学统练5试题【解析】如下图所示，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，则2AB c =，212AF AB c ==，由勾股定理可得1AF ==，由椭圆的定义可得122AF AF a +=2c a +=，所以，该椭圆的离心率为21cea====．6．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>，左焦点(,0)F c-，右顶点(,0)A a，上顶点(0,)B b，满足0FB AB=，则椭圆的离心率为__________．【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高三期中（文）【解析】由0FB AB=可得，()(),,0c b a b⋅-=，即222ac b a c==-，则210e e+-=，解得e=（舍）7．已知椭圆1C：()222210x ya ba b+=>>和双曲线2C：22221(0,0)x ym nm n-=>>的焦点相同，1F，2F分别为左､右焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，PM x⊥轴，M为垂足，若223OM OF=(O为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为__________．【试题来源】浙江省台州市六校2020-2021学年高三上学期期中联考【答案】32【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，根据223OM OF=，得到P的横坐标为23c，设12,PF s PF t==，分别利用椭圆和双曲线的定义求得,s t，然后再利用椭圆和双曲线的第二定义求解．【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，所以22233OM OF c==，即P的横坐标为23c，设12,PF s PF t==，由椭圆的定义得2s t a+=，由双曲线的定义得2s t m-=，联立解得,s a m t a m=+=-，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，由椭圆的第二定义得22223pPF t ca a ax cc c==--，解得123t a e c=-，由双曲线的第二定义得22223p PF t cm m m x c c c==--，解得223t e c m =-，又t a m =-，则223a e c =，1232e e =，所以12232c e e e a ==，故答案为328．已知F 为椭圆22:143x y C +=的左焦点，定点()3,3A --，点P 为椭圆C 上的一个动点，则PA PF +的最大值为__________．【试题来源】湖南省长沙市广益实验中学2020-2021学年高三上学期第一次新高考适应性考试 【答案】9【分析】设椭圆的右焦点为1(1,0)F ，再利用数形结合分析求解． 【解析】设椭圆的右焦点为1(1,0)F ，111=||24||4||49PA PF PA a PF PA PF AF ++-=+-≤+==．【名师点睛】圆锥曲线中的最值问题常用的解题方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法．要根据已知条件，灵活选择方法求解．9．椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，以原点为圆心，半径为椭圆C 的半焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆C 的离心率为__________． 【试题来源】江苏省镇江市2020-2021学年高三上学期期中【分析】由题意画出图形，利用等面积法可得关于a ，b ，c 的等式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率．【解析】如图所示，过点O 作22OM A B ⊥，则290OMA ∠=︒，由题意可得，22221122OB OA A B OM ⋅=⋅，即a b c ⋅=，又由222a b c =+可得，()()2222222a a c a a c c -=+-，整理可得442230a c a c +-=，因为c e a =，所以42310e e -+=，解得2e =，因为01e <<，所以12e =．故答案为12． 10．如图，过原点O 的直线AB 交椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）于A ，B 两点，过点A分别作x 轴、AB 的垂线AP ，AQ 分别交椭圆C 于点P ，Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若34AM AP =，则椭圆C 的离心率是__________．【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（三）【分析】设11(,)A x y ，22(,)Q x y ，根据已知条件得B 、P 、M 的坐标，AB AQ ⊥、B ，M ，Q 三点共线，211211y y x x x y -=--以及1212y y x x +=+114y x ，由A ，Q 在椭圆上有2221222212y y b x x a-=--，联立所得方程即可求离心率．【解析】设11(,)A x y ，22(,)Q x y ，则11(,)B x y --，11(,)P x y -，11,2y M x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由AB AQ ⊥，则1212111212111y y y y y xx x x x x y --=-⇒=--- ①， 由B ，M ，Q 三点共线，则BQ BM k k =，即1212y y x x +=+114yx ②．因为2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，即22221212220x x y y a b--+=，2221222212y y b x x a -=--③， 将①②代入③得2214b e a =⇒=．11．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=，则椭圆E 的离心率为__________．【试题来源】四川省眉山市仁寿第二中学2020-2021学年高三上学期第四次诊断（理） 【答案】4【解析】取椭圆的右焦点F '，连接QF '，PF '，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF '为平行四边形，则PF QF '=，180********FPF PFQ ∠='=-∠-=，||3||PF QF =3||PF '=，而||||2PF PF a '+=，所以2a PF '=，所以32a PF =， 在PFF '中，2222222914||||58144cos 32332222a a c PF PF FF FPF e a PF PF a +-+-∠===-''''=⨯⨯，解得4e =，故答案为4． 【名师点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中，由椭圆的对称性以及椭圆的定义得到2a PF '=，所以32aPF =，然后在PFF '中，根据余弦定理得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．12．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，椭圆上的点M 满足：1223F MF π∠=且122MF MF →→⋅=-，则b =__________．【试题来源】河北省保定市2021届高三上学期10月摸底考试 【答案】1【分析】先根据数量积运算得124MF MF =，再结合椭圆的定义与余弦定理即可得1b =． 【解析】因为1223F MF π∠=且122MF MF →→⋅=-，所以124MF MF =， 由椭圆的定义得122MF MF a +=，故222121224MF MF MF MF a++= 所以在12F MF △中，由余弦定理得1222212124cos 2MF M F M F c M F F MF =+-∠，代入数据得222144848288a cb ----==，解得1b =．故答案为1． 【名师点睛】解题的关键在于应用定义122MF MF a +=与余弦定理1222212124cos 2MF M F M F c M F F MF =+-∠列方程求解得1b =．13．已知椭圆的方程为222116x y m+=，焦点在x 轴上，m 的取值范围是__________．【试题来源】江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期第二次月考数学（三校生）试题。
湖南省长沙市2025届高三上学期阶段性检测(一)数学试题含答案
长沙市2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学试卷（答案在最后）时量：120分钟总分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}1A x x =<，集合{B x y ==，则A B = （）A.()1,1- B.()0,1 C.[)0,1 D.()1,+∞【答案】C 【解析】【分析】求解绝对值不等式和函数定义域解得集合,A B ，再求交集即可.【详解】根据题意，可得{}{}11,0A x x B x x =-<<=≥，故{01}[0,1)A B x x ⋂=≤<=.故选：C .2.已知复数z 满足i 12i =-+z ，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算法则、结合共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征进行求解即可.【详解】i 12i =-+z 212i (12i)i2i i iz -+-+⋅⇒===+2i z ⇒=-，所以复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D3.已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件A B +有8个样本点，则()P AB =（）A.23B.12C.13D.16【答案】D 【解析】【分析】依题意计算可得()12P A =，()13P B =，()23P A B +=，再由概率的加法公式计算即可得1()6P AB =.【详解】根据概率公式计算可得()61122P A ==，()41123P B ==，()82123P A B +==；由概率的加法公式可知()()()()P A B P A P B P AB +=+-，代入计算可得1()6P AB =故选：D4.已知等差数列{}n a 的前5项和535S =，且满足5113a a =，则等差数列{a n }的公差为（）A.-3B.-1C.1D.3【答案】D 【解析】【分析】根据题意得到5151035S a d =+=，511413a a d a =+=，解得答案.【详解】5151035S a d =+=；511413a a d a =+=，解得3d =，11a =.故选：D5.已知()512my x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中24x y 的系数为80，则m 的值为（）A.2- B.2C.1- D.1【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+-⎪⎝⎭，利用二项式展开式的通项公式1C r n r rr n T ab -+=求出24x y 的项的系数，进而得出结果.【详解】55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，在51(2)x y x-的展开式中，由155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅，令424r r -=⎧⎨=⎩，得r 无解，即51(2)x y x -的展开式没有24x y 的项；在5(2)my x y -的展开式中，由555155(2)()(1)2rrr r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅，令5214r r -=⎧⎨+=⎩，解得r =3，即5(2)my x y -的展开式中24x y 的项的系数为35335(1)240mC m --⋅=-，又5(2)()x my x y +-的展开式中24x y 的系数为80，所以4080m -=，解得2m =-.故选：A.6.如图，正方形ABCD 中，2,DE EC P = 是直线BE 上的动点，且(0,0)AP x AB y AD x y =+>>，则11x y+的最小值为（）A. B. C.43+ D.4【答案】C 【解析】【分析】根据给定图形，用,AB AE 表示向量AD，再利用共线向量定理的推论，结合“1”的妙用求解即得.【详解】正方形ABCD 中，2DE EC =，则2233AD AE ED AE CD AE AB =+=+=- ，而AP xAB y AD =+ ，则(22)()33A B x AE A x P AB y AB y E y A --=++=，又点,,B P E 共线，于是2()13x y y -+=，即13y x +=，而0,0x y >>，因此313111)(444()333x y x x y y x y x y ++=+=+++≥+，当且仅当3x y y x =，即3332y -==时取等号，所以当33,22x y ==时，11x y +取得最小值43+.故选：C 7.设3103a =，ln1.03b =，0.03e 1=-c ，则下列关系正确的是（）A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()e 1,0xf x x x =--≥.利用导数判断单调性，证明出0.03e 10.03->.构造函数()()()ln 1,0g x x x x =+-≥.利用导数判断单调性，证明出ln1.030.03<，得到c b >；构造函数()()()ln 1,01xh x x x x =+-≥+.利用导数判断单调性，证明出3ln1.03103>，即为b a >.即可得到答案.【详解】记()()e 1,0xf x x x =--≥.因为()e 1xf x '=-，所以当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00f x f >=，即1x e x ->，所以0.03e 10.03->.记()()()ln 1,0g x x x x =+-≥.因为()11011x g x x x-'=-=<++，所以在0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00g x g <=，即()ln 1x x +<，所以ln1.030.03<.所以c b >.记()()()ln 1,01xh x x x x=+-≥+.因为()()()2211111x h x x x x '=-=+++，所以当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00h x h >=，即()ln 11x x x +>+，所以0.033ln1.0310.03103>=+.所以b a >.综上所述：c b a >>.故选：C8.已知()1tan 1tan tan 622tan 2⎛⎫⎪--⎡⎤-+-=⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭αβαβαβαβ，tan tan 32⎛⎫-= ⎪⎝⎭παβ，则()cos 44+=αβ（）A.7981-B.7981C.4981-D.4981【答案】A 【解析】【分析】结合二倍角公式和两角和差公式化简即可求得.【详解】()1tan 1tan tan 622tan 2⎛⎫ ⎪--⎡⎤-+-= ⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭αβαβαβαβ，222612tan 2tan 21tan1tan 22αβαβαβαβ--⎛⎫ ⎪+= ⎪-- ⎪-⎝⎭-.()()2221tan 2tan 2cos 2261n2si ta n αβαβαβαβαβ--⎛⎫-+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，()()221tan 2cos 21s 6ta i 2n n αβαβαβαβ-⎛⎫+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，()()()2cos 16c sin os αβαβαβ-⨯=--，()1sin 3αβ-=，1sin cos cos sin 3αβαβ-=，又因为tan tan 32⎛⎫-=⎪⎝⎭παβ，所以sin cos 3cos sin αβαβ=，则11cos sin ,sin cos 62αβαβ==，所以()2sin sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=()()241cos 12sin 129922αβαβ=-=-⨯=++.()()2179cos 442cos 221218181αβαβ+=+-=⨯-=-.故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M ，则下列说法正确的是（）A.地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B.八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C.八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D.记地震里氏震级为n （n =1，2，···，9，10），地震释放的能量为a n ，则数列{a n }是等比数列【答案】ACD 【解析】【分析】根据所给公式，结合指对互化原则，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A ：当15.310E =时，由题意得15.3lg10 4.8 1.5M =+，解得7M =，即地震里氏震级约为七级，故A 正确；对于B ：八级地震即8M =时，1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=，解得16.8110E =，所以16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 1.510倍，故B 错误；对于C ：六级地震即6M =时，2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=，解得13.8210E =，所以16.83113.821010100010E E ===，即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D ：由题意得lg 4.8 1.5n a n =+（n =1，2，···，9，10），所以 4.81.510n n a +=，所以 4.81.5(1)6.31.511010n n n a ++++==所以6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++==，即数列{a n }是等比数列，故D 正确；故选：ACD10.已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，现有四个条件：①120PF PF ⋅=；②1260F F P ∠=︒；③PO 平分12F PF ∠；④点P 关于原点对称的点为Q ，且12PQ F F =，能使双曲线Ｃ的离心率为1+）A.①②B.①③C.②③D.②④【答案】AD 【解析】【分析】对各个选项进行分析，利用双曲线的定义找到a,c 的等量关系，从而确定离心率.【详解】③PO 平分12F PF ∠且PO 为中线，可得12PF PF =，点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：120PF PF ⋅=，1260F F P ∠=︒，122F F c =可得2PF c =，1PF =，2c a -=，即离心率为1c e a ===+，成立；若选②④：1260F F P ∠=︒，点P 关于原点对称的点为Q ，且12PQ F F =，可得四边形12F QF P 为矩形，即12PF PF ⊥，122F F c =可得2PF c =，1PF =，2c a -=，即离心率为1c e a ===+，成立；故选：AD11.如图，ABCD 是底面直径为2高为1的圆柱1OO 的轴截面，四边形1OO DA 绕1OO 逆时针旋转()0θθπ≤≤到111OO D A ，则（）A.圆柱1OO 的侧面积为4πB.当0θπ<<时，11DD AC ⊥C.当3πθ=时，异面直线1A D 与1OO 所成的角为4πD.1A CD 【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，由圆柱的侧面积公式可得；对于B ，由线面垂直的判定定理和性质定理可得；对于C ，由题知，11DO D 为正三角形，根据异面直线所成的角的定义计算得解；对于D ，作1D E DC ⊥，由线面垂直的判定定理和性质定理得1A E DC ⊥.在11Rt A D E 中，1A E ==≤=【详解】对于A ，圆柱1OO 的侧面积为2112ππ⨯⨯=，A 错误；对于B ，因为0θπ<<，所以11DD D C ⊥，又111DD A D ⊥，所以1DD ⊥平面11A D C ，所以11DD AC ⊥，B 正确；对于C ，因为111//A D OO ，所以11DA D ∠就是异面直线1A D 与1OO 所成的角，因为113DO D π∠=，所以11DO D 为正三角形，所以1111DD A D ==，因为111A D DD ⊥，所以114DA D π∠=，C 正确；对于D ，作1D E DC ⊥，垂足为E ，连接1A E ，所以DC ⊥平面11A D E ，所以1A E DC ⊥.在11Rt A D E 中，1A E ==≤=1111222A CD S DC A E =⨯⨯≤⨯= ，所以()1maxA CD S = ，D 错误.故选：BC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.如图，某景区共有,,,,A B C D E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测.若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有____________种不同的检测顺序.【答案】32【解析】【分析】将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，分析可得只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，再用列举法列出所有可能结果，即可得解.【详解】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，从B 或E 处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B 处出发的路线情形即可.①走BA 路线：3126547，3126745，3147526，3147625，3156247，3157426，共6种；②走BC 路线：4137526，4137625，4265137，4267315，4562137，4573126，共6种；③走BE 路线：7513426，7543126，7621345，7624315，共4种；综上，共有()266432⨯++=种检测顺序.故答案为：3213.已知函数()()sin f x x ωω=∈R 在π7π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，且π3π244f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值的集合为______.【答案】11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】由π3π244f f ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得2π42n T ω==+，由函数在π7π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数可得12ω≤，然后对ω的取值逐一验证，然后可得π12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭取值.【详解】由π3π244f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知，3πππ2442T nT +=-=，得π,21T n n =∈+Z ，所以2π42n Tω==+，又函数()()sin f x x ωω=∈R 在π7π,212⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，所以7πππ212212T ≥-=，即6πT ≥，所以12ω≤，所以，ω的可能取值为2,6,10±±±.当0ω>时，由ππ2π2π22k x k ω-+≤≤+解得π2ππ2π,22k k x k ωωωω-+≤≤+∈Z ，经检验，2,6,10ω=时不满足题意；当0ω<时，由ππ2π2π22k x k ω-+≤≤+解得π2ππ2π,22k k x k ωωωω+≤≤-+∈Z ，经检验，2,6ω=--时满足题意.所以，12f π⎛⎫-⎪⎝⎭的可能取值为ππ1ππsin ,sin 11262122f f ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】本题综合考查了三角函数的单调性、最值、周期之间的关系，关键在于能从已知中发现周期的所满足的条件，然后根据周期确定ω的可能取值，再通过验证即可求解.14.斜率为1的直线与双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）交于两点,A B ，点C 是曲线E 上的一点，满足AC BC ⊥，OAC 和OBC △的重心分别为,P Q ，ABC V 的外心为R ，记直线OP ，OQ ，OR 的斜率为1k ，2k ，3k ，若1238k k k =-，则双曲线E 的离心率为______.【解析】【分析】根据直线与双曲线的性质，得出二级结论斜率之积为定值22b a ，取,AC BC 的中点,M N ，得到2122AC BC b k k k k a ⋅=⋅=，再由AC BC ⊥，22OR b k a=，结合所以1238k k k =-，求得b a =c e a ==.【详解】若直线y kx m =+与双曲线22221x ya b-=有两个交点,G H ，设,G H 的中点为K ，联立方程组22221y kx mx y a b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222222222()20b a k x a kmx a m a b ----=，可得22222G H a km x x b a k +=-，则22222G H K x x a kmx b a k+==-，又由(,)K K K x y 在直线y kx m =+上，可得22222222K a km b my m b a k b a k=+=--，所以22K OKK y b k x ka ==，所以22GH OK b k k a⋅=，即直线l 与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l 的斜率之积为定值22b a，如图所示，取,AC BC 的中点,M N ，因为OAC 的重心P 在中线OM 上，OBC △的重心Q 在中线ON 上，所以1OP OM k k k ==，2OQ ON k k k ==，可得22OM AC ON BCb k k k k a⋅=⋅=，即2122AC BCb k k k k a⋅=⋅=，又由AC BC ⊥，可得1AC BCk k ⋅=-，可得22122()b k k a⋅=-因为AC BC ⊥，且ABC V 的外心为点R ，则R 为线段AB 的中点，可得22OR ABb k k a ⋅=，因为1AB k =，所以22OR b k a=，所以2321238()b k ak k =-=-，所以b a =，所以c e a ===.【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e 的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.设函数()()2ln f x x ax x a =-++∈R .（1）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数a 的取值范围.（其中e 是自然对数的底数）【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞（2）e11,e ⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据题意，求导可得()f x '，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得ln x a x x =-，构造函数()ln x g x x x =-，其中1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，转化为最值问题，即可求解.【小问1详解】当1a =时，()()2ln ,f x x x x f x =-++的定义域为()0,∞+，()212121x x f x x x x-++=-++='，令()0f x '>，则2210x x --<，解得01x <<，令()0f x '<，则2210x x -->，解得1x >.∴函数()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞.【小问2详解】令()2ln 0f x x ax x =-++=，则ln xa x x=-.令()ln x g x x x =-，其中1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()2221ln ln 11x x x x x g x x x ⋅-+-=-='.令()0g x '>，解得1e x <≤，令()0g x '<，解得11ex ≤<.()g x ∴的单调递减区间为1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为(]1,e ，()min ()11g x g ∴==.又()111e ,e e e e e g g ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，a ∴的取值范围是e 11,e ⎛⎤-⎥⎝⎦.16.如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为平行四边形，四边形11CC D D 为矩形，平面11CC D D ⊥平面,ABCD E 为线段1CD 的中点，且BE CE =.（1）求证：AD ⊥平面11BB D D ；（2）若4,2AB AD ==，直线1A E 与平面11BB D D 所成角的正弦值为155，求二面角1D AB D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质和平行线的性质得到1D B BC ⊥，再根据面面垂直和线面垂直的性质定理结合平面11CC D D ⊥平面ABCD 得到1AD D D ⊥，最后根据线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，设()10DD t t =>，利用已知条件和线面角的坐标公式求出t ，再利用面面角的坐标公式求解即可.【小问1详解】在1BCD 中，E 为线段1CD 的中点，且BE CE =，所以1D E CE BE ==，所以112BE CD =，1BCD 为直角三角形，且190CBD ∠=︒，所以1D B BC ⊥，因为底面ABCD 为平行四边形，AD BC ∥，所以1AD D B ⊥，又因为四边形11CC D D 为矩形，所以1D D DC ⊥，因为平面11CC D D ⊥平面ABCD ，平面11CC D D 平面1,ABCD DC D D =⊂平面11CC D D ，所以1D D ⊥平面ABCD ，因为AD ⊂平面ABCD ，所以1AD D D ⊥，因为11111,,D D D B D D D D B =⊂ 平面11BB D D ，所以AD ⊥平面11BB D D .【小问2详解】因为AD ⊥平面11,BB D D BD ⊂平面11BB D D ，所以AD BD ⊥，由（1）知11,D D AD D D ⊥⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1D D BD ⊥，所以1,,DA DB DD 两两垂直，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在Rt ADB △中，4,2AB AD ==，所以DB ==，设()10DD t t =>，则()()()()10,0,0,2,0,0,2,0,,,0,2t D A A t E B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()1,2,2t A E AB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，易知平面11BB D D 的一个法向量为D =2,0,0，设直线1A E 与平面11BB D D 所成的角为θ，则111sin cos ,5A E DAA E DA A E DAθ⋅====，解得t =，所以((110,0,,2,0,D AD =-，设平面1ABD 的法向量为 =s s ，则12020AB m x AD m x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令x =)m = ，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n = ，则cos,5m nm nm n⋅===，易知二面角1D AB D--是锐角，故二面角1D AB D--的余弦值为5.17.软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法.作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中60a≤.认真完成不认真完成总计男生5a a女生总计60若根据小概率值0.10α=的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生的人数.（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X，求X的分布列及数学期望.参考公式及数据：()()()()()22,n ad bcn a b c da b c d a c b dχ-==+++++++.α0.100.050.01xα2.7063.841 6.635【答案】（1）20（2）分布列见解析，()85E X=【解析】【分析】（1）由已知数据完成列联表，根据独立性检验的结论列不等式求出a 的值，可得女生人数；（2）由分层抽样确定两组人数，根据X 的取值计算相应的概率，得分布列，计算数学期望.【小问1详解】根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a5a a女生4605a -205a -80a-总计602080由题意可得()()2244802060555516 2.7066020801580a a a a a a a a χ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==≥⨯⨯⨯--，得57.38a >.易知a 为5的倍数，且60a ≤，所以60a =，所以该培训机构学习软笔书法的女生有806020-=（人）.【小问2详解】因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为24:163:2=，所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有310632⨯=+（人），学习行书的有210432⨯=+（人），所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，()46410C 1510C 21014P X ====，()3164410C C 8081C 21021P X ====，()2264410C C 9032C 2107P X ====，()1364410C C 2443C 21035P X ====，()44410C 14C 210P X ===.X 的分布列为：X01234P114821374351210所以()1834180123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()12,,2,3F F A 为椭圆C 上一点，且到1F ，2F 的距离之和为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为A 关于原点O 的对称点，斜率为k 的直线与线段AB （不含端点）相交于点Q ，与椭圆C 相交于点,M N ，若2MNAQ BQ⋅为常数，求AQM V 与AQN △面积的比值.【答案】（1）2211612x y +=（2）1【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于,,a b c 的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，表示出直线MN 的方程，联立与椭圆的方程，结合韦达定理代入计算，然后代入弦长公式，即可得到结果.【小问1详解】由椭圆的定义得1228AF AF a +==，所以4a =.又()2,3A 为椭圆C 上一点，所以22491a b+=，将4a =代入，得212b =，所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=.【小问2详解】因为B 为A 关于原点O 的对称点，所以()2,3B --，直线AB 的方程为32y x =.设()()2,311Q t t t -<<，则直线MN 的方程为()32y t k x t -=-，联立得()221161232x y y t k x t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，可得()()()222243832432480k x kt k x t k ++-+--=，由点Q 在椭圆内，易知Δ0>，不妨令()()1122,,,M x y N x y ，则()12282343kt k x x k -+=+，()221224324843t k x x k --⋅=+，所以()()()()()()()2222222221212122248116123211443k k t k MNkx x k x x x x k ⎡⎤++--⎣⎦⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+.又()()()()()2222222332233131AQ BQ t t t t t ⋅=-+-+++=-，所以()()()()2222222248116123213431k k t k MN AQ BQ k t ⎡⎤++--⎣⎦=⋅+-为常数，则需满足()22221612321k t k t+---为常数，（此式为与t 无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即()22161232k k +=-，解得12k =-.将12k =-代入()12282343kt k x x k -+=+，可得124x x t +=，得1222x x t +=，所以Q 为MN 的中点，所以1AQM AQNS MQ S NQ== .【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题，以及椭圆中三角形面积问题，难度较大，解答本题的关键在于结合弦长公式以及将面积比转化为边长比.19.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为()2,3,4,n n =⋅⋅⋅阶“曼德拉数列”：①1230n a a a a +++=⋅⋅⋅+；②1231n a a a a +++⋅⋅⋅+=.（1）若某()*2k k ∈N阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项na（12n k ≤≤，用,k n 表示）；（2）若某()*21k k +∈N阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项na （121n k ≤≤+，用,k n 表示）；（3）记n 阶“曼德拉数列”{}n a 的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =⋅⋅⋅，若存在{}1,2,3,,m n ∈⋅⋅⋅，使12m S =，试问：数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.【答案】（1）()1112n n a k -=-或()1112n n a k-=--（2）()()*1,211n na n n k k k k ∴=-∈≤++N 或()()*1,211n n a n n k k k k=-+∈≤++N （3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）结合曼德拉数列的定义，分公比是否为1进行讨论即可求解；（2）结合曼德拉数列的定义，首先得120,k k a a d ++==,然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解；（3）记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，进一步()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅，结合前面的结论以及曼德拉数列的定义得出矛盾即可求解.【小问1详解】设等比数列()1232,,,,1k a a a a k ⋅⋅⋅≥的公比为q .若1q ≠，则由①得()21122101kk a q a a a q-++⋅⋅⋅+==-，得1q =-，由②得112a k =或112a k=-.若1q =，由①得，120a k ⋅=，得10a =，不可能.综上所述，1q =-.()1112n n a k -∴=-或()1112n n a k-=--.【小问2详解】设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +⋅⋅⋅≥的公差为d ，123210k a a a a ++++⋅⋅⋅+= ，()()11221210,02k k dk a a kd +∴++=+=，即120,k k a a d ++=∴=，当0d =时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，当0d >时，据“曼德拉数列”的条件①②得，()23211212k k k k a a a a a a +++++⋅⋅⋅+==-+++ ，()1122k k kd d -∴+=，即()11d k k =+，由10k a +=得()1101a k k k +⋅=+，即111a k =-+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=-+-⋅=-∈≤++++N .当0d <时，同理可得()1122k k kd d -+=-，即()11d k k =-+.由10k a +=得()1101a k k k -⋅=+，即111a k =+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=--⋅=-+∈≤++++N .综上所述，当0d >时，()()*1,211n n a n n k k k k ∴=-∈≤++N ，当0d <时，()()*1,211n n a n n k k k k =-+∈≤++N .【小问3详解】记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，得12A =，12B =-，1122k B S A -=≤≤=，即()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅.若存在{}1,2,3,,m n ∈⋅⋅⋅，使12m S =，由前面的证明过程知：10a ≥，20a ≥，⋅⋅⋅，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-.若数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅为n 阶“曼德拉数列”，记数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅的前k 项和为k T ，则12k T ≤.1212m m T S S S ∴=++⋅⋅⋅+≤，又12m S =，1210m S S S -∴==⋅⋅⋅==，12110,2m m a a a a -∴==⋅⋅⋅===.又1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，1m S +∴，2m S +，⋅⋅⋅，0n S ≥，123123n n S S S S S S S S ∴+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，又1230n S S S S +++⋅⋅⋅+=与1231n S S S S +++⋅⋅⋅+=不能同时成立，∴数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅不为n 阶“曼德拉数列”.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到10a ≥，20a ≥，⋅⋅⋅，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，由此即可顺利得解.。
湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024—2025第一次阶段性检测数学时量：120分钟 满分：150分得分______一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（ ）C.3D.52.无论为何值，直线过定点（ ）A. B. C. D.3.在平行四边形中，，，，则点的坐标为（ ）A. B. C. D.4.已知，则（ ）A. B.C. D.5.直线关于对称的直线方程为（）A. B. C. D.6.已知椭圆：，则（ ）A. B.C.8或2D.87.已知实数满足，则的范围是（ ）A. B. C. D.8.已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为点的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（ ）A. B. C. D.3i1iz +=+z =λ()()()234210x y λλλ++++-=()2,2-()2,2--()1,1--()1,1-ABCD ()1,2,3A -()4,5,6B -()0,1,2C D ()5,6,1--()5,8,5-()5,6,1-()5,8,5--π1sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭79-7929-292410x y --=0x y +=4210x y ++=4210x y +-=4210x y --=4210x y -+=C ()22104x y m m +=>m =,x y ()22203y x x x =-+ (4)1y x ++[]2,6(][),26,-∞+∞ 92,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]9,2,4⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭()5,0M l P 4PM =()5,0M ()5,0M 3y x =-2y =430x y -=210x y -+=二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线：，圆：，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）A.若圆关于直线对称，则B.点到直线C.存在两个不同的实数，使得直线与圆相切D.存在两个不同的实数，使得圆上恰有三个点到直线的距离为10.已知圆：与圆：的一个交点为，动点的轨迹是曲线，则下列说法正确的是（ ）A.曲线的方程为B.曲线的方程为C.过点且垂直于轴的直线与曲线相交所得弦长为D.曲线上的点到直线11.在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）A.与B.过，，三点的正方体的截面面积为3C.当在线段上运动时，的最小值为3D.若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.通过科学研究发现：地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放的能量分别为，，则______.13.直线的倾斜角的取值范围是______l 20x y λλ+--=C 221x y +=O C l 2λ=-O l λl C λC l 121F ()()222328x y m m ++=……2F ()()222310x y m -+=-M M C C 22110064x y +=C 2212516x y +=1F x C 325C 4510x ++=ABCD A B C D '-'''M BC AM D B ''A M D 'ABCD A B C D '-'''P A C 'PB PM '+Q B C C B ''EF A C 'QE QF +lg 4.8 1.5E M =+1E 2E 12E E =()243410ax ay +-+=14.如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知两圆和.求：（1）m 取何值时两圆外切？（2）当时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长.16.（15分）在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积.17.（15分）如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，，，点为的中点，点为棱上的动点.（1）求证：平面；（2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由.18.（17分）某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.1F 2F ()222210x y a b a b+=>>12F F 2PF Q 222PF F Q =1PF 222610x y x y +---=2210120x y x y m +--+=45m =A B C △()()cos 2cos 2cos A C b c a B -=-sin sin CA1cos 4B =2b =A BC △P ABCD -PA ⊥ABCD 2PA AB AD ===ABCDAB AD ⊥B C A D ∥4BC =M PC E BC DM ∥PAB E PDE ADE 23BE（1）由频率分布直方图，求出图中t 的值，并估计考核得分的第60百分位数；（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，证明：19.（17分）已知动直线与椭圆：交于，两点，且的面积为坐标原点.（1）证明：和均为定值；（2）设线段的中点为，求的最大值；（3）椭圆上是否存在三点D ，E ，G，，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.[)70,90[)70,80[)80,90m x 21s n y 22s w 2s ()(){}22222121s m s x w n s y w m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+l C 22132x y +=()11,P x y ()22,Q x y OPQ △OPQ S △O 2212x x +2212y y +P Q M OM PQ ⋅C ODE ODG OEG S S S ===△△△D E G △长沙市第一中学2024—2025学年度高二第一学期第一次阶段性检测数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案BAAACCADABDBCDAC1.B 【解析】∵，∴. .故选B.2.A 【解析】由得：，由得∴直线恒过定点.故选A.3.A【解析】设，则，，得.故选A.4.A 【解析】，又，所以.故选A.5.C 【解析】取直线关于对称的直线上任意一点，易知点关于直线对称的点的坐标为，由点在直线上可知，即.故选C.6.C 【解析】椭圆：的离心率为，，解得或.故选C.7.A 【解析】表示函数图象上的点与的连线的斜率，结合图象可知，斜率分别在与（相切时）处取最大值和最小值，()()()()23i 1i 3i 33i i i 2i 1i 1i 1i 2z +-+-+-====-++-z ==()()()234210x y λλλ++++-=()()223420x y x y λ++++-=220,3420x y x y ++=⎧⎨+-=⎩2,2,x y =-⎧⎨=⎩()()()234210x y λλλ++++-=()2,2-(),,D x y z ()5,7,3AB =- (),1,2DC x y z =---()5,6,1D --22πππ17cos 2cos 212sin 1233399ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦π2π22π33αα⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭π2π2π7cos 2cos 2πcos 23339ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2410x y --=0x y +=()00,P x y P 0x y +=()00,Q y x --Q 2410x y --=002410y x -+-=004210x y --=C ()22104x y m m +=>==8m =2m =41y x ++()22203y x x x =-+……()1,4--()0,2()2,2所以的范围是.故选A.8.D 【解析】根据题意，当点到直线的距离时，该直线上存在点使得，此时直线为点的“相关直线”，对于A ，，即，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；对于B ，，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；对于C ，，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；对于D，，点到直线的距离，该直线不是点的“相关直线”.故选D.9.ABD 【解析】直线：过定点，圆：，圆心，半径，对选项A ：直线过圆心，则，解得，故选项A 正确；对选项B ：点O 到直线l的距离的最大值为B 正确；对选项C ：直线与圆相切，则圆心到直线的距离，解得，故选项C 错误；对选项D ：当圆上恰有三个点到直线的距离为时，圆心到直线的距离，解得，故选项D 正确.故选ABD.10.BCD 【解析】对A 选项与B 选项，由题意知圆与圆交于点，则，，所以，所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且，，即，，所以，所以曲线的方程为，故A 选项错误，B 选项正确；41y x ++[]2,6M l 4d …P 4PM =l()5,0M 30y x =-=30x y --=M l 4d <()5,0M 2y =M l 0224d =-=<()5,0M 430x y -=M l 4d ==()5,0M 210x y -+=M l 4d ()5,0M l 20x y λλ+--=()2,1P C 221x y +=()0,0C 1r =20λ--=2λ=-PC =l C 1d 34λ=-C l 12C l 12d λ=1F 2F M 1MF m =210MF m =-1212106MF MF F F +=>=M x 210a =26c =5a =3c =4b =C 2212516x y +=对C 选项，通径的长度为，故C 选项正确；对D 选项，设与直线平行的直线为，，将与联立得，令，解得，此时直线与椭圆相切，当时，切点到直线的距离最大，直线的方程为，故曲线上的点到直线D 选项正确.故选BCD.11.AC 【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，∴，∴与A 正确；取的中点，连接，，，则，故梯形为过点，，的该正方体的截面，∵，，∴梯形，1632255⨯=4510x ++=l 40x t ++=51t ≠40x t ++=2212516x y +=221004000y t ++-=()22Δ3004004000tt =--=40t =±l 40t =-4510x ++=l 4400x +-=C 4510x ++=A 'A D ''A B ''A A '()0,0,2A ()1,2,2M ()2,0,0D '()0,2,0B '()2,2,0C '()1,2,0AM = ()2,2,0DB''=-cos ,AM D B AM D B AM D B '⋅'''''⋅==AM D B ''C C 'N M N D N 'AD 'M N BC AD ''∥∥M N D A 'A M D 'MN AD '=AM D N ='=M N D A '=∴梯形的面积为，故B 错误；由对称性可知，，故，又由于，，，四点共面，故，当为与的交点时等号成立，故C 正确，设点关于平面的对称点为，连接，当与平面的交点为时，最小，过点作的平行线，过点作的平行线，两者交于点，此时，D 错误.故选AC.三、填空题12.1000 【解析】由题知，.13. 【解析】设直线的倾斜角为，当时，直线为，；当时，，当且仅当时取等号， ∴；当时，，当且仅当时取等号， ∴，综上可得.14.【解析】连接，，由点在以为直径的圆上，故.M N D A '1922⨯+=PB PD '='PB PM PD PM '++'=A 'B C D '3PB PM PD PM D M +=+'''=…P A C 'D M 'F B C C B ''F 'EF 'EF 'B C C B ''Q QE QF QE QF +=+'E AD 'F AB G 13EG AD =='2G F '=EF =='11112222lg 4.8 1.59,lg lg 3lg 31000lg 4.8 1.57E E EE E E E E =+⨯⎧⇒-=⇒=⇒=⎨=+⨯⎩π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()243410a x ay +-+=α0α=310x +=π2α=0α>2433tan 44a k a a a α+===+= (3)4a a =ππ,32α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭0α<24333tan 444a k a a a a a α+⎛⎫===+=--+-= ⎪-⎝⎭ (3)4a a -=-π2π,23α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦π2π,33α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦121PF 1QF P 12F F 12PF PF ⊥又，在椭圆上，故有，.设，则，，，.在中，由勾股定理得，解得，于是，，故.四、解答题15.【解析】（1）由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：，，则圆心分别为，，，解得.（2）当，则，所以两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为：，即，圆心到直线的距离，所以公共弦长.16.【解析】（1）由正弦定理得，所以，所以，化简得，又，所以，因此.（2）由，得，由余弦定理及，又，得，解得，从而.又因为，且，所以.P Q 122PF PF a +=122QF QF a +=2QF m =22PF m =122PF a m =-12QF a m =-3PQ m =1Rt PQF △()()()2223222m a m a m +-=-3a m =223a PF =143a PF =1121tan 2PF k PF F ∠==()()221311x y -+-=()()()22566161x y m m -+-=-<()1,3M ()5,6N =+25m =+45m =4=44<<+()22222611012450x y x y x y x y +----+--+=43230x y +-=()1,3M 43230x y +-=2d l ==()()cos 2cos sin 2sin sin cos A C B C A B -=-cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos A B C B C B A B -=-cos sin sin cos 2cos sin 2sin cos A B A B C B C B +=+()()sin 2sin A B B C +=+πA B C ++=sin 2sin C A =sin 2sin CA=sin 2sin C A =2c a =2222cos b a c ac B =+-1cos 4B =2b =22214444a a a =+-⨯1a =2c =1cos 4B =0πB <<sin B =因此.17.【解析】（1）因为平面，，平面，所以，，又，所以，，两两垂直.以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示，则，，，，因为点为中点，所以，，又，，所以，所以，，为共面向量，则在平面内存在直线与平面外的直线平行，所以平面.（2）设，，，，依题意可知，平面的法向量为，设平面的法向量为，则令，则.因为平面与平面所成角的余弦值为，所以，解得或，所以存在点使得平面与平面所成角的余弦值为，或.18.【解析】（1）由题意得：，解得，11sin 1222ABC S ac B ==⨯⨯=△PA ⊥ABCD A D AB ⊂ABCD PA AD ⊥PA AB ⊥AB AD ⊥PA AB A D A AB x A D y AP z ()0,0,2P ()2,0,0B ()0,2,0D ()2,4,0C M PC ()1,2,1M ()1,0,1DM =()0,0,2AP = ()2,0,0AB =1122DM AP AB =+ DM ,AP A BPAB l PAB DM DM ∥PAB ()2,,0E a 04a ……()0,2,2DP =- ()2,2,0DE a =-ADE ()0,0,2AP =PDE (),,n x y z =()220,220,DP n y z DE n x a y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩1z =2,1,12a n -⎛⎫= ⎪⎝⎭ PDE ADE 232cos ,3AP n AP n AP n ⋅==⋅23=1a =3a =E PDE ADE 231BE =3BE =()100.010.0150.020.0251t ⨯++++=0.03t =设第60百分位数为，则，解得，即第60百分位数为85.（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为，，在的有人，设为a ，b ，c .则样本空间为，.设事件“两人分别来自和”，则，，因此，所以两人得分分别来自和的概率为. （3）由题得：①；②略19.【解析】（1）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，所以，，因为在椭圆上，所以，①又因为，所以由①②得，，此时，.（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意知，将其代入得，其中，即，（*）又，，所以，x ()0.01100.015100.02100.03800.6x ⨯+⨯+⨯+⨯-=85x =[)70,8085220⨯=A B [)80,90125320⨯=()()()()()()()()()(){}Ω,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c =()Ω10n =M =[)70,80[)80,90()()()()()(){},,,,,,,,,,,M A a A b A c B a B b B c =()6n M=()()()63Ω105n M P M n ===[)70,80[)80,9035mx ny m n w x y m n m n m n+==++++l P Q x 21x x =21y y =-()11,P x y 2211132x y +=OPQ S =△11x y ⋅=1x =11y =22123x x +=22122y y +=l l y kx m =+0m ≠22132x y +=()()222236320k x kmx m +++-=()()2222Δ36122320k m k m =-+->2232k m +>122623km x x k +=-+()21223223m x x k -=+PQ ==因为点到直线的距离为，所以又，整理得，且符合（*）式，此时，，综上所述，，，结论成立。
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（1）求 m ， n 的值，并求不等式 nx2 mx 2 0 的解集；
（2）解关于 x 的不等式 ax2 n a x m 0 ( a R ，且 a 1 )
20. 已知 a 、 b 、 c 为正数.
（1）若 2a b 2ab ，证明： a 2b 9 ； 2
（2）若 a b c 1，证明： a2 b2 c2 1 . 3
21. 用清水洗一堆衣服上残留的污渍，用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，现作
如下假定：用 x 单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数
f
x
2 2 x2
.
（1）(ⅰ)试解释 f 0 与 f 1 的实际意义；
(ⅱ)写出函数 f x 应该满足的条件或具有的性质；(写出至少 2 条，不需要证明) （2）现有 a a 0 单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成 2 份后清洗两次.哪种方案清洗后衣
A. x R ，2x 2 x B. x, y R ，若x y，则 x y 1
C.
x
R
，x
x
1 2
2x
D. 不等式 2 x2 x 3 0 的解集为x | x 0 或 x 2
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.)
13.
已知函数
f
x
x
x 1 2 2x,
1
D.
3
8. 已知 a ， b 都是正数，且 ab a b 3 ，则 a 2b 的最小值为（ ）
A. 4 3 2
B. 4 2 3
C. 4 3 2
D. 4 2 3
二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.)
1, x x
1
1
，则
f
f 0 ________.
14. 已知集合 A x x2 x 2 0 ， B x ax 1 ，若 A B B ，则实数 a 的所有可能的取值组成的
集合为________.
15.
用 min a, b, c 表示 a 、 b 、 c 三个数中的最小值，则
A. a b 0
B. a 1 b
C. a b 0
D. a 2b 1
12. 设x 表示不超过 x 的最大整数，如：1.2 1，1.2 2 ， y x又称为取整函数，在现实生活
中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的 描述，正确的是（ ）
D. 由 a 的取值确定
6. 函数 f x 在 , 单调递减，且为奇函数，若 f 2 1，则满足 1 f x 1 1的 x 的取值范围
为（ ）
A. 2,2
B. 1,3
C. 1,3
D. 1,1
7. 已知 x 2
x
，
f
x
3x2 ，则 x2 1
f
3 2
（
）
A. 1 5
1
B.
5
C. 1 3
A. x R ， x3 2x 1
B. x R ， x3 2x 1
C. x R ， x3 2x 1
D. x R ， x3 2x 1
5. 若 P a 2 a 3 ， Q a a 5 ， a 0 ，则 P 、 Q 的大小关系为（ ）
A. P Q
B. P Q
C. P Q
服上残留的污渍比较少？请说明理由.
22. 已知 f x x x . （1）若 x 1, ，使 f x 2a a 0 成立，求实数 a 的取值范围； （2）若 g x x x mx 1 m 0 ，在 x 1, 上有最小值，求实数 m 的取值范围.
长沙一中 2020-2021 学年度高一第一学期第一次阶段性检测数学
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.)
1.
已知全集 U
R
，
A
x
x2 x 1
0
，则
ðU
A
=
（
）
A. x 2 x 1
B. x | x 2 或 x 1
C. x | x 2 或 x 1
D. x 2 x 1
2. 函数 f x
x3
1
的定义域为（
1 x
）
A. 3,1
B. 3,1
C. 3,
3. 下列函数为偶函数，且在 0, 单调递增的是（
D. ,1
A.
y 1 x
B. y x2 x
C. y 2 x2
D. y x 2
4. 命题“ x R ， x3 2x 1”的否定是（ ）
f
x
12 x
x
0 的最大值
为________.
16. 高二某班共有 60 人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择 3 门进行 学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少 25 人，这三门学科均不选的有15 人.这三门课程均选的有10 人，三门中任选两门课程的均至少有16 人.三门中只选物理与只选化学均至少有 6 人，那么该班选择物理与
化学但未选生物的学生至多有________人.
四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17. 已知集合 A x x2 2x 3 0 ， B x x2 2mx m2 1 0 .
（1）若
A
B
x
3
x
3
，求实数
m
的值；
2
（2） x A 是 x B 的________条件，若实数 m 的值存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由.(请
9. 已知集合 P x x2 4 ， N 为自然数集，则下列表示正确的是（ ）
A. 2 P
B. P 2,2
C. P
D. P Ü N
10. 下列函数的最小值为 4 的有（ ）
A.
y
x2
4 x2
C. y x2 10 x2 6
B. y x 9 2 x
D.
y
x
1 1
x
1 x
1
11. 以下选项中，是 a 0 ， b 0 的一个必要条件的为（ ）
在①充分不必要，②必要不充分，③充要；中任选一个，补充到空白处)
f x
1
18. 函数
2kx2 kx 3 .
8
（1）若 f x 的定义域为 R ，求 k 的取值范围
（2）当 k 1 时，求 f x 的值域.
19. 已知不等式 mx2 3x 2 0 的解集为 x n x 2 .