电力系统潮流计算方法分析

电力系统潮流分析

—基于牛拉法和保留非线性的随机潮流

，

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学号：***

1 潮流算法简介

常规潮流计算

常规的潮流计算是在确定的状态下。即：通过已知运行条件（比如节点功率或网络结构等）得到系统的运行状态（比如所有节点的电压值与相角、所有支路上的功率分布和损耗等）。

常规潮流算法中的一种普遍采用的方法是牛顿-拉夫逊法。当初始值和方程的精确解足够接近时，该方法可以在很短时间内收敛。下面简要介绍该方法。 牛顿拉夫逊方法原理

对于非线性代数方程组式（1-1），在待求量x 初次的估计值(0)x 附近，用泰勒级数（忽略二阶和以上的高阶项）表示它，可获得如式（1-2）的线性化变换后的方程组，该方程组被称为修正方程组。'()f x 是()f x 对于x 的一阶偏导数矩阵，这个矩阵便是重要的雅可比矩阵J 。

12(,,,)01,2,

,i n f x x x i n == （1-1）

(0)'(0)(0)()()0f x f x x +?=

（1-2）

'

由修正方程式可求出经过第一次迭代之后的修正量(0)x ?，并用修正量(0)x ?与估计值(0)

x 之和，表示修正后的估计值(1)x ，表示如下（1-4）。

(0)'(0)1(0)[()]()x f x f x -?=-

（1-3）

(1)(0)(0)x x x =+?

（1-4）

重复上述步骤。第k 次的迭代公式为： '()()()()()k k k f x x f x ?=-

（1-5）

(1)()()k k k x x x +=+?

（1-6）

当采用直角坐标系解决潮流方程，此时待解电压和导纳如下式：

i i i ij ij ij

V e jf Y G jB =+=+ （1-7）

假设系统的网络中一共设有n 个节点，平衡节点的电压是已知的，平衡节点表示如下。

n n n V e jf =+

（1-8）

}

除了平衡节点以外的所有2(1)n -个节点是需要求解的量。每个节点可列出两个方程式。假定系统中前m 个节点为P-Q 节点,第1m +到1n -个节点为P-V 节点。对于PQ 节点，i P 和i Q 的值是固定的，对于PV 节点，i P 和i V 的值是固定的。

()()0

1,2,,()()0

i is ij ij i ij j ij j j j j

j i j i ij ij ij j j ij j i is i j j j i j i i m f f f e G e G e P P B B Q Q f f f G e e G e B B ∈∈∈∈??=---+=?

=????

?=--++=??

∑∑∑∑ （1-9）

2

222()()0

1,2,,1

()0

i is ij ij i ij j

ij

j j

i j

j i j i

i is i

i i m m n f

f f

e G e G e P P B B

f V V e ∈∈??=---

+=?=++???-???=-+=?∑∑（1-10）

选定电压初始值，按泰勒级数展开,忽略,i i e f ??二次方程及以后各项,得到修正方程如下:

W J U ?=-?

（1-11）

其中：2

21111

11

T m

m

m m n n W P Q P Q P U

P U

++--???=??????????，

[]111

11T

m m

m m n n U e f

e f e f e f ++--?=????????，

1

1

111111

1

11111111111111111111111m m m m n n m m m m n n m m m m m m m m m m m n P P P P P P P P e

f e f e f e f Q Q Q Q Q Q Q Q e

f e f e f e f P P P P P P P e f e f e f e J ++--++--++-?????????????????????????????????????????????????????????????????????=11111111111111111

11

1112222211

1

1

111m n m m m m m m m m m m m m n n m m m m m m m m m

m m m n n m m m m m m m P f Q Q Q Q Q Q Q Q e f e f e f e f P P P P P P P P e

f e f e f e f U U U U U e

f e f e -++--++++++++++--+++++??????????????????????????????????????????????????????????222

11111111111111111111122222211

1

1

1111

1

1

m m m m m n n n n n n n n n n m m m m n n n n n n n n m

m

m m U U U f e f P P P P P P P P e f e f e f e f U U U U U U e

f e f e f +++++----------++--------++?????????????????????????????????????????????????????22111

1n n n n U U e f ----????

?

?????

?????

?????

?

?????

?

?????

?

???????

???

?

????

??

?????????

?

雅克比矩阵J 各元素的计算公式如下：

22()0i

i ij i ij i j

j i i

ij i ij i j j j j P Q G e B f e f P Q B e G f j i f e U U e f ?????=-=-+?

???????????==-≠?

???????????==????

（1-12）

【

1

11122

()()()()22n i

ij j ij j ii i ii j i

n i

ij j ij j ii i ii ii j j

n i

ij j ij j ii i ii i

j i n

i ij j ij j ii i ii i j j i

i

j

i i i

P G e B f G e B f

e P G

f B e G f B e f Q G f B e G f B e e Q G e B f G e B f f U e e U f f ====???=----??????=-+-+???????=+-+??????=-?-++??????=-???

???=-??∑∑∑∑j i =?

（1-13）

一般雅克比矩阵表示为：

()()()()()()()()()()ij i ij i i ij ij j ij j ii i ii i j j i

ij i ij i i

ij ij j ij j ii i ii i j j i

ij i ij i i ij

ij j ij j ii i ii i j j i G e B f j i P H G e B f G e B f j i e

B e G f j i P N G f B e B e G f j i f B e G f Q M G f B e B e G f e ∈∈∈-+?

≠???==?----=???-?≠???==?-++-=???-????==?++-???∑∑∑22

()()

()()()()0()

2()0()2()ij i ij i i ij

ij j ij j ii i ii i j i j i

i ij i j i ij

i j j i j i j i

G e B f j i Q L G e B f G e B f j i f j i U R e j i e j i U S f j i f ∈??

???

?

????

?

≠??==??

?+?

≠????

==??--++=???

???≠???=

=??-=???

?≠????==??-=???

∑ （1-14）

牛顿拉夫逊方法求解框图如下：

保留非线性法求解过程

/

图 牛顿拉夫逊潮流计算法求解框图

与牛顿法的不同之处在于，第一是假设雅克比矩阵在迭代过程中不变，即取初值θ和U形成的雅克比矩阵来迭代；第二是计算出来的修正量一直是初始值的修正量。由于保留非线性只对直角坐标形式的公式不存在截断误差，因此为了减小计算误差，本文以直角坐标形式的牛拉法为基础编写了保留非线性潮流计算方法的程序。

迭代公式为：

?x(k+1)＝－J-1[y(x(0))－y s＋y(?x(k))] （1-14）

迭代过程和牛拉法相类似，流程图如下所示：

图保留非线性法求解框图

蒙特卡罗模拟法

蒙特卡罗模拟原理

《

蒙特卡罗模拟方法的思想是，是当求解问题是一不确定事件的平均值时，我们通过构建

模型并采用某特定的“实验”，就可以实验中此事件发生的频率去估算概率。 蒙特卡罗模拟步骤

1）根据不同新能源的特点建立新能源输出功率的样本，规模为N ；

2）将得到的N 个样本值带入对应接入新能源的各节点，得到接入光伏后的各节点的值。 3）按照所述的牛顿拉夫逊法进行确定性潮流计算，得到N 组关于节点的电压，支路功率与网损的数据等。

4）运用数学上的统计原理，可以求出输出变量的分布情况。

拉丁超立方采样法

拉丁超立方采样原理

拉丁超立方采样由M. 、和在1979年提出，它通过分层采样使采样点能够覆盖到整个随机变量的分布范围。该方法分成两步:

1）采样：所有的输入变量可以通过分层采样，使得样本点更加准确均匀的分布；

—

2）排列：改变初次采样得到的样本数据的顺序，令变量数据之间的关联程度最小，或者

通过排序达到指定的相关系数。 拉丁超立方采样优点

1)可以使采样得到的数据较为全面地覆盖变量所分布的范围，同时分层使得采样时不会再采到一样或相似的数据，更准确地体现变量的总体情况，同时减小了样本规模。一些文献证明了拉丁超立方采样与简单随机采样在采样规模同是M 时，两种方法抽取到的变量假设是独立的，那么它们的联合覆盖空间百分比平均值表示如下：

22

1100%1100%

1l m M P M M P M ?-??

=???????

?-???=????+???

（1-16）

可以看出,当M 大于等于2时，一式大于二式，表明拉丁超立方采样比随机采样覆盖的范围大。比如当M=20时，按式（1-16）计算得：90.25%l P =,81.86%m P =.

2)拉丁超立方采样的稳健性好。假设一输出随机变量Y 满足下式：

1

n

i i i Y c X ==∑

（1-17）

i c 是常数，Y 是输入随机变量i X 的线性函数。在相同采样规模下，进行一定次数的蒙特

卡罗模拟，每一次都能获得一个关于Y 的分布情况。由每个Y 的分布的期望值可以得到一个新的分布。用方差Z σ表示这个分布的离散程度。若Z σ越大，表明不同仿真间的差异越大，算法的稳健性越不好。文献指出通过拉丁超立方采样法得到的方差Z σ要比随机采样得到的方差小21N 。表明一共进行总数为3N 的随机采样得到的方差Z σ与只需进行N 次拉丁超立方采样得到的方差Z σ相同。 拉丁超立方采样步骤

1）采样

、

假设12,,,N X X X 是随机潮流计算的N 个输入变量。k X 的累积概率分布是：

(),1,2,

k k k Z F X k N ==

（1-18）

取采样规模为A ，采样步骤为：

a.将k Z 的取值范围[0,1]均匀分为A 等份，即112

1

[0,],[,],

,[

,1]A A A A

A

-； b.从所有区间内依次抽取一个值作为一个采样值，区间内的抽取是随机的； c.由累积概率分布k Z 的反函数变换后，便能得到输入变量k X 的样本数据。 第a 个区间k Z 的采样值和k X 的第n 个采样值如下: ,1,2,,ka a rand

Z a N A

-=

= (1-19)

11()(),1,2,

,ka ka a rand

x F z F a N A

---===

(1-20)

A

X k

Z k a A

1a A

-a rand A -ka

X 1

…

…

总共有N 个输入变量，每个随机变量采样规模为A ，假设将随机变量的数据以行为单位依次排列，那么最终可以得到N*A 阶的样本矩阵

2)排序

在求解随机潮流时，往往假设输入随机变量是独立的，但是按照上述方法得到的样本矩阵具有一定的相关性。我们需要分析和处理样本矩阵的关联性。使得变量数据值之间的关联性最小或者通过排序达到指定的相关系数。

2 系统模型建立

光伏接入后的配电网系统主要由光伏发电系统、负荷和发电机三部分组成。 太阳能光伏发电利用光伏电池可将光照转变为电动势的原理。在研究光伏并网后的随机潮流计算等有关问题时，首先要确定的是光伏发电的输出功率的随机特性，而此出力与太阳的光照强度密切相关，所以要想得到出力情况，必须先求出光照强度的随机分布[30-34]。

本次光伏发电，采用的是典型的Beta 分布。此时我们可以得到光照强度的概率密度函数为：

1

1

max max ()()..1()()S S f S S S αβαβαβ--??

??Γ+=- ?

?

ΓΓ??

?

? （2-1）

}

￥

其中S 是指光照强度统计时间内的实际值，max S 是指最大值。Γ是Gamma 函数。α和β是形状参数，将一段时间里太阳光照强度的期望值μ和方差δ进行下式的变换便能得到形状参数[35-36]。

()

2

1.1μμαμδ

-??=-?

??

?

（2-2）

()

2

1(1).1μμβμδ

-??=--?

??

?

（2-3）

假设光伏发电所用的电池方阵中有N 个电池组，每个电池组的面积为n A ，光电转换效率为1,2,

,n

n N η=。

那么电池方阵总体的光电之间转化效率η和方阵总的面积A 分别是：

1

N

n n

n A A

ηη==

∑ （2-4）

1

N

n n A A ==∑

（2-5）

此时这个电池方阵总的输出功率为：

N P SA η=

（2-6）

通过（2-4）-（2-6），在光照强度的概率密度函数基础上，便能推导出光伏输出功率的概率密度函数为：

;

1

1

max max ()()..1()()P P f P P P αβαβαβ--??

??Γ+=- ?

?

ΓΓ??

?

? (2-7)

其中，max max P AS η=，为光伏出力的最大值。 当0.8α=，2β=时，光照强度的概率分布曲线为：

概

率

密

度

函

数

S/S max

图形状参数为和2时光照强度的概率分布图

配电网中可以将接入光伏的节点视为PQ节点，主要由于通过调节电容器可以使得功率因数恒定。

3 IEEE-30节点算例

IEEE-30节点系统介绍

}

IEEE-30节点系统包括6台发电机，30个节点与41条支路。选取系统的主要接线图如下：

图IEEE-30节点系统接线图

在计算时，为了简化计算对节点进行了重新编号。

两种常规潮流算法比较

分别采用牛顿拉夫逊法和保留非线性法对IEEE30节点进行潮流计算，选取精度为10-8。牛拉法的迭代次数为6次，时间为;保留非线性的迭代次数为12次，时间为s。保留非线性的迭代次数多但是总的计算速度快。牛拉法则是相反。以30个节点的电压为例，误差表示两值之差，计算的结果如表所示。

表两种常规潮流算法对比

电压幅值/标幺相角/弧度

￥

牛拉误差保留非线性牛拉误差保留非线性

~

；

《

！

》

《

,

&

？

|

】

#

…

|

^

]

;

·

0000

在相同节点接入了相同的光伏发电，样本规模为500，采用蒙特卡罗模拟法得到节点1电压的PDF与CDF如图和所示。可以看出两种算法还是存在差异的。

U

B -P D F

（a ）保留非线性

{

U

N -P D F

（b ）牛顿拉夫逊

图 两种算法下电压1的PDF 图

U

B -

C

D F

（a ）保留非线性

U

N -C D F

（b ）牛顿拉夫逊

图 两种算法下电压1的CDF 图

&

两种随机潮流算法的比较

将以简单随机采样为基础的蒙特卡罗模拟法(MCSRS)和以拉丁超立方采样为基础的模拟法(MCLHS)得出的数据从准确性和性能等方面做一个评估，全面比较两种随机潮流算法。 模型的准确性评估

通过对输入随机变量的概率分布参数拟合，来分析所建立的模型的有效性和正确性。拟合的效果用相对误差指标来表示，表明分布情况的参数x 的相对误差指标计算公式如下：

100%xf xb

x xb

c c E c -=

? （3-1）

xf c 和xb c 分别为参数x 的样本拟合值和给定值。

对光伏的输出功率采用Beta 分布模型进行评估。Beta 分布的两个形状参数的选取值为：

0.9,0.85αβ==。在一定规模下，根据光伏采样样本得到样本的平均值和方差，得到形状参

数,αβ的拟合值。并根据式（3-1）与实际的给定值、相比较得到误差。不同规模下分别采样50次后，将平均值作为最终的相对误差指标来评估分布模型的准确性，以减小随机性对结果产生的影响。

表 光伏形状参数相对误差指标对比表

MCSRS /

MCLHS 采样规模N

α β α β

100 #

300

600 《

1000

3000 、

6000

10000 `

30000

由表可以看出，相同规模下，MCLHS 比MCSRS 的误差更小，用MCLHS 生成的样本准确性更高。随着规模的增加，MCLHS 和MCSRS 生成的样本数据的正确性都有很大的提高。 性能评估

通过算出的输出变量的平均值与标准差去评估MCLHS 与MCSRS 两种方法的计算精确度。计算公式如下：

—

100%xf xb

x xb cu cu Eu cu -=

? （3-2）

100%xf xb

x xb

cd cd Ed cd -=

? （3-3）

上面两个式子式分别用来表示平均值与标准差的相对误差指标。采样规模为N 时，一类输出变量便有N 个数值，输出变量相对误差指标用这N 个值的期望值表示。X 分为mean 、std 、max 和min 四类。为减小随机性对结果产生的影响，对两种方法在不同规模下分别采样50次，最后输出变量误差指标用50次误差的平均值mean 表示，将这50次误差计算的标准差std 、最大值max 与最小值min 用来评估上述方法收敛性与稳健性。xb cu 和xb cd 是误差计算的参考值。分别选取用20000次蒙特卡罗模拟得到的所选取的电压、功率和网损值来作为参考值。本次算例以节点18电压值、支路编号为3（3-4）的功率值与网损值作为研究对象。

1）选取采样规模为500，以节点18电压值，支路3的功率值与网损值为研究对象，将得到的平均值和标准差与参考值比较得到误差。两种方法均在此规模下进行50次仿真，得到50次计算结果的平均值、标准差、最大值和最小值（单位%）。

表 两种方法在采样规模为500时的误差比较表

仿真

方法 电压平均

电压标准差

【

平均值

标准差

最大值 最小值 平均值 标准差 最大值 最小值 MCLHS ：

MCSRS

^

仿真 方法

功率平均 ）

功率标准差

平均值

标准差 最大值 最小值 平均值 标准差 最大值 最小值 \

MCLHS

MCSRS

?

仿真 】 方法 网损平均

网损标准差 平均值 标准差 最大值 最小值 平均值 标准差 最大值 最小值 MCLHS MCSRS

以MCLHS方法为基础得到的平均值明显小于以MCSRS方法为基础得到的。可以看出MCLHS的计算正确性比MCSRS高。MCLHS得到的标准差和最大值都远小于MCSRS，最小值要大于MCSRS，可见MCSRS最值之间差距和标准差都远大于MCLHS，说明MCSRS的稳定性和收敛性较差一点。

2）以支路3(P3-4)的有功功率为研究对象，在不同采样规模下，利用两种方法进行50次仿真，将得到的平均值、标准差和最大值绘制成图，如下：

N N N N

Eu mean /%

Eu std /%Ed std /% Ed mean /%

Eu max /%

Ed max

/%

N N

由图可以看出，不同规模下MCLHS的计算准确、稳健性和收敛性都要优于MCSRS。且随着采样规模的增加，上述方法的计算准确性、稳键性与收敛性都有提高。个别出现误差增大的情况与蒙特卡罗模拟存在随机性有关，选取的20000次的参考值仍有一定的误差。

图两种方法在不同规模下的误差比较图

3）以支路3(P3-4)的有功功率为研究对象。选取N=20000次的MCSRS与N=800次的MCLHS 仿真获得支路3的有功功率的分布情况。

概

率

分

布

函

数

P3/pu

图两种方法下概率密度函数对比图

累

积

分

布

函

数

P3/pu

图两种方法下累积分布函数对比图

由图可以看出规模为800次的MCLHS基本可以达到规模为20000次的MCSRS的的水平。

4 总结

本文在讨论牛顿拉夫逊法和保留非线性法两种常规潮流算法的基础上，又研究了蒙特卡罗模拟和拉丁超立方采样两种随机潮流方法。牛拉法和保留非线性各有优缺点。比如牛拉法的迭代次数少，保留非线性的总计算时间少，这与书本上的知识也相符合。蒙特卡罗模拟通过采样化不确定为确定，而拉丁超立方采样通过改变采样方式，提高了样本质量，减小了采样规模。一个网络，可以使用的潮流计算的方法多种多样，针对不同的网络特点，针对不同的要求选择合适的计算方法。