第九章弯曲刚度.

第九章 弯曲刚度
一、弯曲变形与位移
二、小挠度微分方程及其积分 三、变形叠加原理
四、弯曲刚度计算 五、简单静不定梁
一、弯曲变形与位移
1、变形和挠度有关概念
在平面弯曲的情况下，梁的轴线弯曲成平面曲 线，梁的横截面变形后仍然为平面，与梁的轴线垂 直。由于弯曲变形使梁的横截面发生位置改变，称 为位移。梁的位移包括三部分：
a M 2 ( x) (l x) P； a x l l d 22 a Pa
EI
2
M 2 ( x) (l x) P x Pa dx l l
Pa 3 Pa 2 EI 2 x x C2 x D2 6l 2
EI 2
x 0： A 0
Pa 2 x Pax C2 2l
x l： B 0
Pa 2 C2l D2 l 0 3
D1 0
x a：
Pa3 Pa 2 EI1 C1 2l 2
1 2
Pa3 EI 2 Pa 2 C2 2l
Pa 2 C1 C2 2
Pa 4 Pa3 3 EI1 C1a D1 Pa 1 2 (C1 C2 )a 6l 6 D2 6 Pa 4 Pa3 EI2 C2 a D2 6l 2
挠度方程： EI ( M ( x)dx)dx Cx D
l l

4、积分常数的确定、约束条件及连续条件
在上面的转角方程和挠度方程中，积分常数 由梁的约束条件和连续条件确定。
约束条件是指约束对挠度和转角的限制，也 称边界条件。 常见约束条件：
0 在固定铰链支座和辊轴支座处，有：
a M 2 ( x) (l x) P； a x l l

A

C
B
C点的挠度和转角相等。 P214，例题8-1
l a M 1 ( x) px； 0 x a l
d 21 l a EI 2 M 1 ( x) Px dx l 3 2 P ( l a ) x P(l a) x C1 x D1 EI1 C1 EI1 6l 2l
横截面形心处垂直于轴线方向的位移，称为挠
度； 变形后横截面相对于变形前位置绕中性轴转过 的角度，称为转角； 横截面形心沿轴线方向的位移，成为轴向位移。
2、弯曲变形的挠度曲线
在弹性范围内，梁的轴线在弯曲变形 变成一条连续光滑的曲线，称为弹性曲线 或挠度曲线。 挠度曲线上某一点的曲率半径与这一 点横截面上的弯矩、弯曲刚度的关系：
d y K 3 2 ds 1 y dx ( 1 y2 ) 2
y dx 2 1 y
，有：K y 当 y 1
3、小挠度微分方程及其积分
M K y 方法一： EI
方法二：
1
d 2 M 2 dx EI
d dx
1
d d 2 dx dx
y
连续可导。在曲线上取一 点A(x0，y0)作为基点，对于 f ( x) 曲线上任意一点M(x，y)， 规定： N T 曲线的正向为x增大的 方向；
A
M
x
s AM
o
s f ( x) 是x的单调增函数
s f ( x) 的导数与微分：
N ( x x，y y) 为曲线上另 一点， s MN
在固定端处，有： 0和 0
连续条件是指在梁的弹性范围内，其轴线弯曲变 形为一条连续光滑曲线，因此在集中力、集中力偶以 及分布载荷的间断处，两侧的挠度和转角相等。 a l a P FB P F P x B A A l l
( x) C
a
l
M l a pa l
AC段弯矩方程： l a M 1 ( x) ( ) Px； 0 x a l BC段弯矩方程：
M EI 1
在小变形情况下，轴向位移与挠度相 比为高阶小量，通常不考虑。
( x)
( x)
挠度与转角的关系： 如图：挠度 与转角的关系
x
x

( x)
d tan dx
挠度方程
小变形情况下： tan d dx
二、小挠度微分方程及其积分
1、弧微分
函数 f ( x)在区间（a,b）上
2
d d K ds dx
d 2 dx 1
2
M EI
挠度曲线近似微分方程。
1
d M 2 dx EI
2
d 2 M 2 dx EI
式中的正负号与坐标取向相关。
对于等截面梁，对上式进行不定积分，得：
d EI M ( x)dx C 转角方程： EI dx l
K s
s

点M处的曲率：
d K lim s 0 s ds
M

o
x
设 y f ( x) 二阶可导，有：
y tan
arctan y
y d (arctan y)dx dx 2 1 y
2 由：ds 1 y dx
2 MN s MN x x MN f ( x) 2 MN x 2 y 2 2 MN N x T 2 MN y 2 1 2 MN x
2
有：
y

2
MN x
2
A
M
x
o
x0
x x x
得： s
MN MN

2
y 2 1 x 2
当： x 0，N M
lim N M
MN MN
1，
2
y lim y x 0 x
s f ( x) 是x的单调增函数 由于：
2 ds 1 y dx
弧微分公式
2、曲率的定义
描述曲线局部弯曲程度的量 如图：s MM ，M M 切线的转角为
y
f ( x)