伯努利-欧拉错排问题的思考与推广
E09.关于错排问题的思考与讨论
关于错排问题的思考与讨论江苏省苏州第十中学高三（10）钱炘祺于浩佳指导老师：吉剑锋摘要：我们在对一道课堂习题深入挖掘的过程中引出了著名的数学问题----错排问题。
这个问题已经有许多数学家做过研究，但我们用自己的方法求出了递推式，并最终以不同于欧拉的方式得出了与其相同的结果。
关键词：排列组合，分类计数原理和分步计数原理，麦克劳林公式，联想，取整Abstract：In a math class,we studied a problem of receiving postcards of others:there are 4different people in one dorm.Each of them writes a postcard.After gathering all the postcards,each of them choose one card from other people.And the question is how many kinds of choosing ways do they have?We easily find the answer,even using two different ways to solve it.But not satisfied in the case of4people,we extend the problem to the case of n people,and find our own method of solution:recurrence.But as we do more research on it,we find that this problem is one of the most famous100math problems:the problem of derangements.So,we do some concluding.But after scanning all of the solutions we conclude,we find that none of them give a simplified answer.Considering this,we put the point of research on the simplification of the answer.In the end,we find we can use the bracket function to solve the problem.目录一．引入 (4)二．直接用容斥原理求出答案 (5)三．求出这一数列的递推式 (6)四．由递推式求出通项公式 (7)（一）方法一 (7)（二）方法二 (8)（三）用数学归纳法证明通项公式 (9)五．通过麦克劳林公式简化通项公式 (11)六．我们对欧拉对这一问题的研究的理解 (14)七．推广 (18)参考文献 (20)一．引入：有一道练习题是这样的：同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，求4张贺年卡不同的分配方式的数目。
行测数学运算技巧：如何快速解决错位重排
行测数学运算技巧：如何快速解决错位重排行测数学运算技巧：如何快速解决错位重排错位重排是伯努利和欧拉在错装信封时发现的，因此又称伯努利-欧拉装错信封问题。
作为公务员考试行测试卷中比较难理解的复杂数学模型，我们只需要会认题，会利用公式解答即可。
第一：什么是错位重排问题?错位重排是指把n个元素的位置重新排列，使每个元素都不在原来位置上的排列问题。
用一句话简单描述就是元素和位置的对应关系要重新排列且不能恢复原本的位置关系。
第二：如何快速解决错位重排的问题?（例）：编号是1、2的2封信，装入编号为1、2的2个信封，要求每封信和信封的编号不同应该有多少种方法?（解析）由于信封数目比较少，我们可以写出具体装法，1-2,2-1共一种（例）：编号是1、2、3的3封信，装入编号为1、2、3的3个信封，要求每封信和信封的编号不同应该有多少种方法?（解析）由于信封数目比较少，我们可以一一罗列相应的装法:1-2,2-3,3-1或1-3,2-1,3-2,共两种。
（例）：四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。
现在要求每人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜，问共有几种不同的尝法?（解析）第一步判断题型：根据“四位厨师不能尝试自己的菜”得出：菜相当于是信，厨师相当于是信封，信不能放到自己的信封里，很明显符合错位重排题型的特征。
第二步计算结果：带公式则D4=4-1D2+D1=9。
所以有9种尝法。
（例）：四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。
现在要求每人去品尝一道菜，只有一人尝到自己的菜，其余三人都没有尝到自己做的那道菜，问共有几种不同的尝法?（解析）第一步：挑出只尝到自己菜的认，应该是4人中选一人，则有4种结果。
第二步：算出其余三人都没有尝到自己做的那道菜的方法数，首先符合3个元素的错位重排，则可以直接得出应该是2种结果。
最终总的方法数是，4乘以2等于8种结果。
总而言之，对于错位重排的问题考生只需要先认题，再利用公式直接解答即可。
而且不管题干话题怎么改变，只要是3个元素的错位重排那么一定是2种结果，只要是4个元素的错位重排那么一定是9种结果，答案的该固定性可以实现快速解题的功效。
装错信封问题即欧拉错排问题
“装错信封问题”的数学模型与求解某人写了n封信，同时写了n个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？排列、组合及简单计数问题．计算题．设这n封信依次为a、b、c…，第1封信a有（n﹣1）种放法，假设a放到了b对应的信封里，则b有（n﹣1）种放法；依此类推，分析随后的几封信的放法，进而由排列数公式计算可得答案．解：设这n封信依次为a、b、c…，则第1封信a有（n﹣1）种放法，假设a放到了b对应的信封里，则b有（n﹣1）种放法；假设b放到了c对应的信封里，则c有（n﹣2）种放法；假设c放到了d对应的信封里，则d有（n﹣3）种放法；…依此类推，第n封信有1种放法；则共有（n﹣1）（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…1=（n﹣1）（n﹣1）!，故每封信都装错的情况有（n﹣1）（n﹣1）!种．点评：本题考查分步计数原理的运用，解题中注意用假设的方法．被著名数学家欧拉(Leonhard Euler，1707－1783)称为“组合数论的一个妙题”的“装错信封问题”的两个特例．“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748)的儿子丹尼尔·伯努利(DanidBernoulli，1700－1782)提出来的，大意如下：一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？公式证明n个相异的元素排成一排a1,a2,...,an,且ai(i=1,2,...,n)不在第i位的排列数为n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)证明：设1,2,...,n的全排列t1,t2,...,tn的集合为I,而使ti=i的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n),则Dn=|I|-|A1∪A2∪...∪An|.所以Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|.注意到|Ai|=(n-1)!,|Ai∩Aj|=(n-2)!,...,|A1∩A2∩...∩An|=0!=1.由容斥原理：Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|=n!-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!-C(n,3)(n-3)!+...+(-1)^nC(n,n)*0!=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)1 问题的提出1)同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡．则四张贺年卡的不同分配方式有A．6种B．9种C．11种D．23种(1993年全国高考题理科17题)2)有5个客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家．回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子．问5个客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？上述两个问题，实质上是完全一样的．是被著名数学家欧拉(Leonhard Euler，1707－1783)称为“组合数论的一个妙题”的“装错信封问题”的两个特例．“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748)的儿子丹尼尔·伯努利(DanidBernoulli，1700－1782)提出来的，大意如下：一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？2建立数学模型“装错信封问题”及两个特例，其实就是n个不同元素的一类特殊排列问题，本文试就给出这类问题的数学模型及求解公式．为方便，我们先把n个不同的元素及相应的位置都编上序号1，2，…，n，并且约定：在n个不同元素的排列中1°若编号为i(i=1，2，…，n)的元素排在第i个位置，则称元素i在原位；否则称元素i不在原位．2°若所有的元素都不在原位，则称这种排列为n个不同元素的一个错排(若每个元素都在原位则称为序排)．按照上面约定，“装错信封问题”即为n个不同元素的错排问题，则可构建“装错信封问题”的数学模型为在n个不同元素的全排列中，有多少种不同的错排？3 模型求解应用集合中的容斥原理，我们就可得到“装错信封问题”的数学模型的求解公式．设I表示n个不同元素的全排列的集合A i(i=1，2，…，n)为元素i在原位的排列的集合．A i∩A j(1≤i＜j≤n)为元素i与j在原位的排列的集合．…………A1∩A2∩…∩A n为n个元素的序排的集合．则它们的排列数(即各个集合中元素的个数)分别为|I|=n！|A i|=(n－1)！|A i∩A j|=(n－2)！…………|A1∩A2∩…∩A n|=(n－n)！=0！所以，根据容斥原理即得“装错信封问题”的数学模型的求解公式(即n个不同元素的错排数)为4 应用举例一个元素的错排数显然为0，二个不同元素的错排数为1，三个不同元素的错排数为2，均可由公式验证，由公式还可求得四个不同元素的错排数为五个不同元素的错排数为则本文开头的问题1)共有9种不同的分配方式，故选(B)．问题2)共有44种不同的戴法，下面再举几例说明公式的应用．例1 (1991年上海高考题)设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投放入五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为[ ] A．20种B．30种C．60种D．120种解本题实质上是三个元素的错排问题，但由于题中未指明是哪三个元素进行的错排，故本题可分两步求解．第二步，对已选出的三个元素进行错排，有2种．例2某省决定对所辖8个城市的党政一把手进行任职交流，要求把每个干部都调到另一个城市去担任相应的职务．问共有多少种不同的干部调配方案？解实质上本题即为8个不同元素的错排问题，一种干部调配方法对应于8个不同元素的一个错排．故由公式可求得不同的干部调配方案数为-- 参考答案：瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：用Ａ、Ｂ、Ｃ……表示写着ｎ位友人名字的信封，ａ、ｂ、ｃ……表示ｎ份相应的写好的信纸。
全装错信问题即全错位排列问题及拓展
全装错信问题即全错位排列问题及拓展——龙城老欧全装错信问题又称全错位排列问题，最早由瑞士数学家伯努利提出，最后由伯努利与他的学生欧拉讨论解决，这个问题就是——我们将编号是1、2、…、n的n封信，装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信都和信封的编号不同，即1不能装进1，2不能装进2，3不能装进3……问有多少种装法？看到这个问题时，我们的第一反应就是退到简单处入手研究，如果只有一封信，2封信，3封信，4封信，……，然后从中再思考，之间是否有共性，是否有关联，共性用归纳，关联构成递推，或者其他。
〖解法〗容易知道：a[1]=0,a[2]=1，a[3]=2，a[4]=6;依我们设a[i]为i封信的全错位排列数据递归推理那么有a[i]=(a[i-1]+a[i-2])×(i-1)， (i>=3)。
为什么？为什么？为什么？大多数人看不明白。
不急，尽量先自己思考，不行的话，听我来解释：思考1：对于插入第i个元素，只可能有两种情况：第一种情况:插入第i个元素时，前i-1个已经错位排好，则选择其中任意一个与第i个互换一定满足要求,选择方法共i-1种，前i-1位错排f[i-1]种，记f[i-1]*(i-1),如下图：第二种情况:插入第i个元素时，前i-1个中恰有一个元素恰好在自己的位置上，即恰好只有一个元素不满足错位排列，其他i-2个错位排好，则将i与j交换，j在i-2位中的插入共i-1种，前i-2位错排a[i-2]种，记f[i-2]*(i-1)，如下图：以上两种情况求和可得: a[i]=(a[i-1]+a[i-2])×(i-1) (i>=3)我们还可以这样思考：思考2：有(i-1)个人已经都坐在在自己的板凳上了，现在第i个人张三带着自己的板凳来了，下面我们来对这i个人进行全错位排排坐，方法1：前面(i-1)个人中的某一个带着板凳出来与第i个人张三互换板凳坐（有（i-1）种方法），其它(i-2)个人进行全错位排列（有a[i-2]种方法），这样就整体上都是全错位；方法2：第i 个人张三走进去与将(i-1)个人中的某一个人换出来（i-1种方法），换出来的人（不妨称是李四）坐张三的板凳，换出来的李四的板凳看作张三的新板凳，这样又面临了(i-1)个元素进行全错位排列问题（a[i-2]种方法），这样就整体上也都是全错位了。
关于错排问题的递推公式的一点分析
关于错排问题的递推公式的一点分析作者：冯弋舟来源：《读与写·下旬刊》2018年第01期中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2018）01-0166-011.背景排列组合里有一道题，叫错排问题（staggered formula）。
错排问题最早被尼古拉.伯努利和欧拉研究，因此历史上也称为尼古拉.伯努利-欧拉（Bernoulli-Euler装错信封问题）。
这个问题如下：写了n封信，装到n个不同的信封，每封信和信封都不匹配，问全部装错的可能性有多少种。
错排问题的标准定义是：集合{1，2，…，n}的一个排列i1i2，…in }，满足条件i j≠j（1≤ j≤ n），即没一个数字在它自然顺序位置的全排列。
问这样的排列有多少个。
n个自然数的全部错排数用Dn表示。
2.问题的提出习题解答上在给出Dn的递推公式时，这样的：假设i1的位置放置2（还有 3.4..n 等n-1种可能），剩下1，3，4，…n往i2，i3..in位置上放，这时错排数设为An，那么Dn=（n-1）An。
An的计算又分为两种情况：（1） 1不放在第2个位置i2上，剩下n-1个数的错排数为Dn-1。
（2）1放在第2个位置i2上，剩下的n-2个数的进行错排，错排数为Dn-2。
所以An=Dn-1+Dn-2，所以最后总Dn=（n-1）（Dn-1+Dn-2）。
很多刚学习错排的同学会误以为Dn-1包括Dn-2，为什么还要加Dn-2呢？本文将分析这个问题。
3.问题分析下面以n=4（数字小好分析）为例子分析：2放1位置时错排列为 2143、2341、2413，放1位置的还有3和4 ，所有共有3*3=9种错排。
那么2放1位置后的剩下3个数的全错排数（图1），是否包含 2放1位置和1放2位置后的错排数（图2）呢？把2放1位置后全错排D3，是把数字1、3、4排到第2、3、4三个位置上的错排，那么数字1、3、4 排到第2、3、4位置的错排怎么排呢？现在把数字1、3、4改为数字"2"、3、4 在第2、3、4位置上错排，"2"（其实是1）不许排在位置2上，错排数为D3。
错位排列——精选推荐
错位排列问题：⼗本不同的书放在书架上。
现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。
有⼏种摆法？这个问题推⼴⼀下，就是错排问题，是组合数学中的问题之⼀。
考虑⼀个有n个元素的排列，若⼀个排列中所有的元素都不在⾃⼰原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的⼀个错排。
n个元素的错排数记为D(n)。
研究⼀个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。
错排问题最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。
这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n 封信装到n个不同的信封⾥，有多少种全部装错信封的情况？⼜⽐如四⼈各写⼀张贺年卡互相赠送，有多少种赠送⽅法？⾃⼰写的贺年卡不能送给⾃⼰，所以也是典型的错排问题。
递推公式当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的⽅法数⽤D(n)表⽰，那么D(n-1)就表⽰n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的⽅法数，其它类推.第⼀步，把第n个元素放在⼀个位置，⽐如位置k，⼀共有n-1种⽅法；第⼆步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种⽅法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种⽅法；综上得到D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.下⾯通过这个递推关系推导通项公式：为⽅便起见，设D(k) = k! N(k), k = 1, 2, …, n,则N(1) = 0, N(2) = 1/2.n ≥ 3时，n! N(n) = (n-1) (n-1)! N(n-1) + (n-1)! N(n-2)即 nN(n) = (n-1) N(n-1) + N(n-2)于是有N(n) - N(n-1) = - [N(n-1) - N(n-2)] / n = (-1/n) [-1/(n-1)] [-1/(n-2)]…(-1/3) [N(2) - N(1)] = (-1)^n / n!.因此N(n-1) - N(n-2) = (-1)^(n-1) / (n-1)!,N(2) - N(1) = (-1)^2 / 2!.相加，可得N(n) = (-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1) / (n-1)! + (-1)^n/n!因此D(n) = n! [(-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!].此即错排公式。
对全错位排列问题的拓展及新方法的探究
对全错位排列问题的拓展及新方法的探究作者：田震胡鑫来源：《科教导刊·电子版》2017年第16期摘要全错位排列问题一直是组合数学中的经典问题，本文在前人研究的基础上，想出了一个新颖的计算方法——“相式”计算法，可单独利用“相式”进行计算，也可以将“相式”与前人已总结出的公式相结合，得到一个全新的计算表达式，该表达式适用于以往经典全错位排列模式以外的排列数计算，使全错位排列问题得到了进一步的解决。
关键词全错位排列拓展新方法探究中图分类号：G623.5 文献标识码：A1问题的提出全错位排列问题，也称“伯努利-欧拉错装信封问题”，题意为：某人写了n封信及相应的n 个不同信封，问他把这n封都装错信封的装法有多少种？数学家欧拉给出了该问题的公式推导：他用A、B、C…分别表示n个信封，a、b、c…则分别表示n份相对应的信纸。
把错装的总数记作F（n）。
若把a错装进B，则该错误的错装法分两类：（1）b装入A，有F（n-2）种错装。
（2）b装入A、B之外的信封，有F（n-1）种错装。
故a装入B，共F（n-2）+F（n-1）种错装。
a装入C、D…同样有F（n-2）+F（n-1）种错装，故：F（n）=（n-1）[F（n-1）+F（n-2）]F（1）=0，F（2）=12“相式”原理及推导有m个盒子和m个小球，盒子和小球都分别标着1，2，3...，其中m个小球中的n个小球编号分别与m个盒子中的n个盒子编号相同（剩余m-n个小球之间编号互不相同），若将m 个盒子里放入这m个小球，要求小球编号与盒子编号不同的放法有几种？先把与小球编号相同的其中一个盒子置于首位，将该盒子放入与其编号不同的小球，应有m-n种放法，在第一个盒子里的小球确定之后，剩下m-1个盒子里放入m-1个小球，其中这m-1个小球中有n-1个小球与盒子编号相同，我们把这n-1小球放入m-1个盒子中的排列数记作：接下来将置于首位的盒子放入与盒子编号相同的小球（其中与首位盒子编号相同的小球不能放入），这时小球放入首位盒子的放法有n-1种，剩下m-1个盒子中有n-2个小球编号与之相同，同理，将这n-2个小球放入m-1个盒子中的排列数记作：最后排列总数可表示为：①（m≥n），②我们把含“”符号的等式称为“相式”。
关于解决全错位排列问题若千方法的研究
则有 ＝一 ． ． ， 即， ＋ 一 ． ＝０ ．
所以 Ｄ 一 ， ｚ 一 ． ＝（ 一 １ ）
进 而 可 以 推 出
声波降解 亲和层 析克隆诱变分 子纯化 电泳磁珠
分 离等 检 测 所 需要 的运 算 结 果 。
我们令 Ｓ ＝Ｄ 一， ｚ
全 错位 排列问题，也称为 “ 伯努利 一 欧拉
错 装信 封问题 ”等，问题的来源可以简单地 描 述为 ：一个 人 写 了 １ １ 封信 和 ｎ个 信封 ，而 他 把这 １ ３ 封 信 全都 装错 了信封 ，那 么这 种错 误 的装法 一共有多少种。将此问题用数学语言描
我 们用 Ｄ 表示集 合 ｛ １ ，２ ，…ｎ ｌ的全 错位排 列个数 ，即错排 数。错 排问题 是组 合数学中非 常重要 的问题 ，也是应用十分广泛的 问题 。 解 决错 排 问题 的方法 有很 多， 比如利 用 递推关系、利用容斥原理等等。本文给出一些 组合数学中常用的方法以及其他学科领域的方 法来解 决全错位 排列 问题 。
计算机技术应用 ・ ｔ ｈ ｅ Ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
关于解决全错位排列问题 若千方法 的研究
文／ 许 斌 龙
是 ｌ就 在 第 ｋ位 ， 一 种 是 １ 不 在 第 ｋ位 。 当 ｌ
ａ ｌ ， ａ ２ ，… ， ａ ｎ满足条件 ａ ． ≠ｉ （ ｉ ＝ｌ ， ２ ， …， ｎ ） ，
则称 其 为 ｆ １ ，２ ，… ｎ ， 的 更 列 ，即 全 错 位 排 列 。
确性，这 里就不在一一验证 。
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虽然用这种方法把题目解决了，但这个方法却只能解决类似“至少有一个人”、“至少有一次”等等的问题，适用性未免狭隘，所以我心里一直想寻找一种更为简便、适用性更广的方法。后来经过查询相关资料，发现这类问题竟然大有来头，早在300多年前就有人研究过了，这类问题被称为“装错信封问题”。
2.背景资料：
“装错信封问题”被著名数学家欧拉称为“组合数论的一个妙题”，它是由当时的数学家约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：1个人写了n封不同的信，又写了n个不同的信封，如果他将这n封信都装错了信封，问都装错信封的方法共有多少种？并由此衍生出了相关的匹配问题。
又因为这r个人是从n个人中任意选取的，所以其共有 种取法
所以有P 得证
显然，当r=0时，就等于（1）式。
可以发现，推论（2）中引入了r后，使得推论（2）比起原先解法以及推论（1）更具有适用性。
5.总结：
将自己感兴趣的问题与数百年前的“装错信封问题”结合起来思考，并加以推广，也能得到很有意义并更具适用性的结论。
P
证明：
因为此事件的对立事件恰为“至少有一个人手里的电影票的座位号码恰与他实际所坐位置的座位号码相同”，所以根据对立事件原理：
P 得证
（2）.刚好有r（ r ）个人坐到了电影票所注明位置上的概率为
P
证明：
某指定的r个人坐到了电影票所注明位置上的概率为
由（1）式可得，其余n-r个人无一人坐到了电影票所注明位置上的概率为
概率论别计北京 科学出版社 2013
【2】李亚兰匹配问题的推广吉首大学学报（自然科学版）2010 1 31
【3】李东强“装错信封问题”的数学模型与求解
3.同一本质的两种解法：
在查阅资料时，发现了一种直接给出的、看似比上文的方法更加简便的解法：
P =1-
即P
但是，实际上与前文的解法本质上是相同的，只是列写上稍有区别，理由如下：
第一种解法中的
P= 继续化简可得
=
=1-
= 即为第二种方法
所以说这两种方法是同一种解法的不同列写方式而已。
4.推广：
（1）.这n个人中无一人坐到了电影票所注明位置上的概率为
伯努利-欧拉错排问题的思考与推广
1.论文由来：
学期初的时候，曾在作业题上见过这样一个题：假设有n个人同时间去一家影院看电影，每人一张电影票，且放映室内恰有n个位置，若这n个人随意坐到这n个座位上，求至少有一个人手里的电影票的座位号码恰与他实际所坐位置的座位号码相同的概率。
记得当时我们解这个题的方法是用“减法原理”，即