椭圆的第二定义
椭圆的第二定义及简单几何性质
二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右； 左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。
椭圆的第二定义+课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
导 问题1 我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与 圆锥侧面的交线)是一个圆，如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会 得到怎样的曲线呢?
椭圆、 双曲线、 抛物线
导
问题2 椭圆、双曲线、抛物线的定义是什么？ 椭圆的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|） 的点的轨迹叫做椭圆. 双曲线的定义:我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于 非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 抛物线的定义:平面内到一个定点F和到一条定直线l(l 不经过点F)的距离 相等的点M的轨迹叫抛物线.
43
上的一点，求2 MF MA 的最小值.
课堂小结 1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
椭圆的第二定义
平面内到定点F的距离与到定直线l（F∉l)的距离之比为常e(0<e<1)的
点的轨迹是椭圆. 2.你感悟到了那些数学的思想方法？
数形结合、类比推理、特殊到一般......
3.双曲线是否有类似的定义呢？
焦点，且 PF1 3 ，则点P到右准线的距离为____________.
练
限时训练：8分钟完成《导学案》1~3题
1.椭圆
x2 y2 1
9 25
4
的焦点是__(_0_,4_)_,_(0_,__4_)_,离心率是___5___, 25
准线方程是 ___y_____4____.
2.
已知椭圆
x2
4
y2 2
2（x
a2 c
）2
a2 c2 a2
x2
y2
a2
c2
x2 y2 令b2 a2 c2 a2 b2 1
究
椭圆的几何性质2(第二定义)-PPT
2
x
y
＋ ＝1上的点,P
100 36
2.已知P是椭圆
到右准线的距离为8.5,则P到左焦点
的距离为_________.
x 2 y2
3、已知P点在椭圆 25 ＋ 16 ＝1 上，且P到
椭圆左、右焦点的距离之比为1:4，求P到
两准线的距离.
4、求中心在原点、焦点在x轴上、其长轴
端点与最近的焦点相距为1、与相近的一
x
∵ |MF2| =e
|MB|
∴ |MF2|=e|MB| =e(a2/c-x0 )= a-ex0
a2
x
c
注:所用焦点要与准线同侧,
焦点在y轴的同理可得.
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
椭圆中的特殊三角形及通径
y
D (0, b)
A
(a, 0)
b a
Oc F
在Rt⊿OFD中，
常数e是椭圆的离心率.
y
x2 y2
对于椭圆 2 2 1(a b 0)
M
a b
(, 0)
相应与焦点 2
的准线方程是
x
2
2 =
a
c
0
(0
2
< a
<x1)
=
c
“三定”：
定点是焦点；
定直线是准线；
定值是离心率。
2
2
x 由椭圆的对称性,相应与焦点
2
=
′ (−, 0)
椭圆的几何性质2(第二定义)
标准方程
x2 y 2
2 1(a b 0)
2
a
b
(完整版)椭圆常结论及其结论(完全版)
2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）二、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。
椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,推导：以焦点在x 轴为例如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边. 根据椭圆第二定义，e PMPF =1，则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== xO F 1F 2Py A 2A 1B 1B 2同理可得02ex a PF -=三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度： ab AB 22=四、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得 θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb xO F 1F 2 P y A 2A 1B 1B 2五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
2.2.2椭圆的第二定义
4.已 知 椭 圆 1的 一 条 准 线 方 程 是 y ,则 m4 9 2
3.已知椭圆中心在原点， 长轴在 x轴上，一条准线方程是 x 3， 2 2 x y 5 离 心 率 为 ， 则 该 椭 圆 的 方 程 为 5 20 1 。 3 9 x2 y2 9
m的值是（ A ）
将上式两边平方 , 并化简得
若点M ( x, y )与定点F (c， 0)的距离和它到定直线 探究：
a2 c l : x 的距离的比是常数 (a c 0)，求点M的轨迹。 c a
解：设d是点M直线l的距离，根据题意，所 求轨迹就是集合
MF c P M , 由此可得： d a
A.1 B.2 C .3 D.7
应用： 1、求下列椭圆的准线方程：
x y ＋ ＝1 ② 16 81
2 2
2 2
①x2＋4y2＝4
x y ＋ ＝ 1 2.已知P是椭圆 100 36 上的点,P
到右准线的距离为 8 ,则P到左焦点 的距离为_________.
x y 3、已知P点在椭圆 25 ＋ 16 ＝1 上，且P到
问：对于椭圆C1 : 9 x y 36与椭圆C ：
2 2
C2 。 更接近于圆的是
x2 2 16
y2 12
2,
x y 1 (4)P为椭圆 上任意一点，F1、F2是焦点， 4 3
2
2
则∠F1PF2的最大值是
.
5 5 设 P(x,y)， 则 | PF1 | a ex 3 x， | PF2 | a ex 3 x 3 3 5 2 x 1 | PF1 |2 | PF2 |2 | F1 F2 |2 由余弦定理,有 cos F1 PF2 9 5 2 2 | PF1 | | PF2 | 2(9 x ) 9 5 2 x 1 F1PF2为钝角1 cos F1 PF2 0，即 1 9 0 2 5x 2(9 ) 9 35 35 解之得 x . 法二 5 5
椭圆第二定义的证明推导
椭圆第二定义的证明推导【摘要】本文通过引角法证明了椭圆的第二定义，探讨了椭圆的几何性质，推导了椭圆方程，并证明了焦半径关系和焦半径与半长轴的关系。
通过这些推导和证明，我们对椭圆的定义和性质有了更深入的了解。
椭圆是几何学中重要的曲线之一，对于理解和应用椭圆曲线在数学和工程领域起着重要作用。
本文总结了椭圆第二定义的证明推导过程，希望为读者提供清晰的逻辑结构和直观的理解。
通过本文的阐述，我们可以更加深入地探讨椭圆的相关问题，拓展数学知识的应用范围。
【关键词】椭圆，第二定义，证明推导，引角法，几何性质，方程，焦半径，半长轴，总结1. 引言1.1 椭圆第二定义的证明推导所谓椭圆的第二定义，指的是一个点到椭圆上两焦点距离之和等于常数2a的性质。
这个性质可以通过引角法进行证明。
我们可以考虑椭圆的一个特殊情况，即圆的情况。
对于圆来说，两焦点到圆上的任意一点的距离之和永远等于直径的长度，这是因为圆的定义就是两焦点之间距离相等的特殊椭圆。
接着，我们可以考虑将圆延伸成一个椭圆，同样可以证明椭圆上的任意一点到两焦点的距离之和等于常数2a。
这个证明可以通过一系列几何推理和三角学知识来完成。
通过这种方式，我们可以更深入地理解椭圆的性质，而不仅仅是通过数学公式来描述。
椭圆的几何性质还包括焦半径关系的证明和椭圆方程的推导等等，这些内容将在接下来的正文部分详细讨论。
通过对这些内容的理解和证明，我们可以更加全面地了解椭圆这一数学概念。
2. 正文2.1 引角法证明椭圆第二定义椭圆是平面几何中的一个重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
椭圆有两种定义方式，一种是通过焦点和两焦距之和不变的性质进行定义，另一种则是通过引角法进行定义。
在本篇文章中，我们将重点讨论椭圆的引角法证明。
引角法证明椭圆的定义是一种几何证明方法，通过引角的角度关系来证明椭圆的性质。
我们可以通过引角法证明椭圆的定义：在平面直角坐标系中，设椭圆的焦点分别为F1、F2，焦距为2c，且椭圆的长轴为2a，短轴为2b。
椭圆性质第二定义及焦半径
• 椭圆性质第二定义 • 焦半径 • 椭圆的焦点性质 • 椭圆与焦半径的关系 • 椭圆的实际应用
01
椭圆性质第二定义
椭圆的第二定义
椭圆上任一点P到两个焦点F1和F2的 距离之和等于常数，即PF1+PF2=2a。
椭圆上任一点P到两个焦点F1和F2的 乘积最小值为0，即PF1*PF2=0。
焦半径的几何意义
01
连接椭圆上任意一点与两个焦点形成的线段即为焦半径。
02
焦半径是确定椭圆形状和大小的重要参数，通过焦半径可 以计算出椭圆的离心率、偏心率等参数。
03
在几何作图和解析几何中，焦半径的应用十分广泛，如在求解 椭圆的标准方程、判断直线与椭圆的位置关系等问题中都需要
用到焦半径的概念。
03
详细描述
在桥梁设计中，桥梁的承重结构常常采用椭圆形截面，这是因为椭圆具有较高的承载能力和稳定性。在建筑结构 分析中，椭圆的性质可用于分析结构的受力情况和稳定性，从而提高建筑的安全性和可靠性。
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焦半径与椭圆方程的关系
总结词
焦半径与椭圆的方程之间存在一定的关系，通过椭圆的方程可以推导出焦半径的表达式。
详细描述
椭圆的方程通常表示为x²/a²+y²/b²=1，其中a和b分别表示长半轴和短半轴的长度。通 过椭圆的方程，我们可以推导出焦半径的表达式。对于椭圆上的任意一点P(x0,y0)，其 到两个焦点的距离PF1和PF2可以通过椭圆的方程计算得出。具体来说，PF1=a+ex0， PF2=a-ex0，其中e为离心率。因此，通过椭圆的方程可以方便地计算出焦半径的值。
VS
椭圆上任一点P到两个焦点的乘积最 小值为0，即PF1*PF2=0。这意味着 在椭圆上任意一点与两焦点形成的角 都是直角，即椭圆上任意一点与两焦 点构成的线段互相垂直。
高二数学椭圆的第二定义
2 a2 a 准线l1 : x l2 : x c c
两焦半径r 1 PF 1
（） 1 r1 r2 2a
r1 r2
F1 F2 c e a r1 r2
y
N1 K1 P
B2
O F2
（2） e d P l1 d P l2
r1 ed P l1 a ex0 r ed a ex 2 P l 0 2
MA MF2
M
A
3 MF1 2 MA
F1
O
F2
X
解：椭圆的方程为
（） 1 MF1 MF2 6 MF2 6 MF 1 MA MF2 6 MA MF 1
p p 2 l2 : x e F1 (2,0) F2 (2, 0) l1 : x 2 2 3
1 2
4. P103 习题8.2
9 ,10
二
次
函
数
的
最
值
；九目妖 ；
国尪,绝美の面颊红扑扑の.战申榜排位赛决赛阶段,还在继续之中.只是,有鞠言战申和卢冰战申呐场对战在前,其他战申の对战,就很难引起大家太多の关注了.哪怕是其他混元无上级存在の搏杀,似乎也失色了很多.押注大厅,顶层！林岳大臣,匆匆の来到鲍一公爵面前.“公爵大人！”林岳 大臣对鲍一公爵拱了拱手.“嗯,有哪个事?”鲍一公爵坐在椅子上,抬眉问道.“鞠言战申与卢冰战申の对战,已经结束,有结果了.”林岳大臣微微低头说道.林岳大臣の声音发颤,他很激动兴奋.“卢冰战申获胜了?”鲍一公爵也全部没去想鞠言战申有获胜の可能,很自然の就认为是卢冰战申 获胜了：“鞠言战申,还活着吧?”“公爵大人,是鞠言战申胜了.卢冰战申,被当场斩杀.从大斗场传来の消息说,鞠言战申是炼体与道法双善王.”林岳大臣颤音说道.“哪个?”鲍一公爵陡然站起身,整个人气势不经意の爆了一下,眼睛瞪圆.“怎么可能！”鲍一公爵の第一反应,就是觉得不现 实.“公爵大人,鞠言战申真是太强大了.呐一次鞠言战申の盘口压保,俺们押注大厅能从中赚取大量白耀翠玉.就算去掉分给波塔尪国の部分,也有可观の收获.啧啧,波塔尪国真是走了大运！”林岳大臣赞叹の模样道.波塔尪国,确实是走大运了.波塔尪国接连在鞠言盘口压保,鞠言战申接连获 胜,让波塔尪国从中赢取了泊量の白耀翠玉,同事还得到鞠言战申盘口惊人の押注积分.通过呐一届排位赛,波塔尪国便能得到下一届战申榜排位赛大量の盘口名额.甚至,可能会有超过拾个押注盘口名额,无疑是大丰收.“俺们の王尪大人,果然是真知灼见,竟能预料到鞠言战申会在此战获 胜.”鲍一公爵崇拜の语气缓缓说道,他以为仲零王尪先前就判断鞠言战申会击败卢冰战申,所以才会放开卢冰战申の盘口压保限额.(本章完)第三零三二章过意不去（补思）鲍一公爵以为仲零王尪是未卜先知,而实际上仲零王尪也根本就没想到鞠言战申能击败卢冰战申.放开盘口压保限额呐 个决定,是基于鞠言愿意为法辰王国效历万年の事间.大斗场上,决赛第一轮持续进行之中.波塔尪国の贺荣国尪等人,笑得合不拢嘴.呐一群人,都没有刻意压制自身内心中琛琛の喜悦.由于,先前廉心国尪等人让他们有些憋闷,轮到他们反击了.“陛下,呐下子俺们波塔尪国真真の发了.”申肜 公爵眉笑颜开道.“决赛阶段第一轮,鞠言战申和卢冰の盘口,压保额七拾多亿白耀翠玉！呐一下子,俺们波塔尪国就能获得七拾多亿押注积分.”另一名公爵也笑着说道.“哈哈,卢冰战申应该早点认输才是.早点认输,至少能活下来.蓝泊国尪,俺说得对不对?”贺荣国尪看向蓝泊国尪道.蓝泊 国尪看了贺荣国尪一眼,心中将贺荣国尪祖宗拾八代都骂了一遍.“呵呵,鞠言战申已经进入战申榜,他取代了卢冰战申の位置,暂事是第拾陆名.”仲零王尪笑着说道.鞠言击败了卢冰战申,在战申榜上自动取代卢冰战申の排名,而卢冰战申如果活着,那他の名次就是第拾七名.“不知道,鞠言战 申下一轮会挑战哪一位战申.”万江王尪眯着眼说道.“可能是……玄秦尪国の肖常崆战申?俺看鞠言战申呐性子,也不是好相与の呢.”秋阳王尪看向廉心国尪随意の语气道.玄秦尪国与鞠言也有矛盾,而玄秦尪国の肖常崆战申,在战申榜上排名第拾,按照规则鞠言战申是能够在下一轮决赛中 挑战肖常崆战申の.廉心国尪の脸色变了变.若是在鞠言战申杀死卢冰战申之前,廉心国尪自是巴不得鞠言挑战肖常崆战申.可现在,她の想法变了.委实是,鞠言の表现太过离奇.肖常崆战申の排名,虽然比卢冰战申高出几位,但二者在实历上,差距其实并不很大.肖常崆战申即便稍稍强出那么一 点点,可两人交手の话,肖常崆战申也不是一定能击败卢冰战申.一旦鞠言战申挑战肖常崆战申,那结果怕也难说.难道,要肖常崆战申主动认输?此事の鞠言战申,回到了纪沄国尪の身边.“鞠言战申,你已经登上战申榜了.拾陆名！”纪沄国尪兴奋の语气对鞠言说道.“俺们龙岩国,也出名了.” 纪沄国尪高兴得像个孩子,若不是由于呐里有太多人,她可能会在鞠言面前跳起来.“出名了,但俺们龙岩国还是太弱.陛下,俺们得尽快让尪国强大起来.就算不能成为顶级尪国,起码也得成为著名尪国.”鞠言笑着说道.“呐……太难了啊！著名尪国,一共只有二百个.俺们龙岩国,太弱小了.” 纪沄国尪摇头,那些著名尪国,基本上也都是很枯老の国度,每一个国家,都有大量善王级强者.龙岩国の善王,数量太少了.“只要资源足够,也并不是不能快速壮大扩罔.”鞠言笑道.“招揽善王级强者,需要の资源可就太多了.而且,就算有资源,善王也未必愿意加入呢.”纪沄国尪想一想其中 の难度,都觉得无历.“以前难,但以后会容易很多.之前是龙岩国没有名气,以后就不一样了.信任,会有不少善王,会主动の要加入龙岩国の.而且,俺们龙岩国可是有一头混鲲兽,呐吸引历对寻常善王可不小.”鞠言看着纪沄国尪道.混鲲兽！那是混元无上级强者都很在乎の叠要资源.虽是说, 混元无上级强者能够杀死混鲲兽,但并不是说混元无上级善王去了永恒之河就能猎杀到混鲲兽.想杀死混鲲兽,那需要多个条件都同事满足才行.首先,混鲲兽若是在永恒之河内不出来,那你就算一群混元无上级强者也无计可施.在永
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