现代控制理论-6-状态反馈和状态观测器-第111讲PPT课件
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现代控制理论 状态反馈与状态观测器
• 设计方法见书。
五、带观测器的状态反馈系统 • 在状态反馈中,不采样原系统的状态进行反 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈, 其结构图如下图所示.
• 状态估计器
x ( A GC ) x Bu Gy ˆ ˆ ˆ y Cx
• 原系统
x Ax Bu ˆ x Ax Bkx Bv y Cx ˆ x ( A Bk ) x Bk ( x x) Bv u v kx ˆ
• 传函不变,即
y C (sI A Bk ) B.v
1
• 显然系统的特性由矩阵的特征多项式
ˆ A Bk A 0 A GC Bk
决定.
• 由
ˆ det[ I A] det( I A Bk ) det( A GC ) 0
• 注意上述方法仅适用于SISO系统.
4.几点说明
(1).对SISO系统来说,状态反馈只改变极点位 臵,不影响零点. (2).由于改变了极点,因此可能出现零极点对 消,从而影响系统的可观性.
(3).从实现的角度,状态反馈比输出反馈 困难,复杂. (4)对SISO系统来说,极点配臵只改变了极 点在S平面上的位臵,显然不采用这种方法 难于达到系统动静性能的一致. (5).对MIMO来说,极点配臵的方法与SISO 方法是一致的,但SISO的k阵是唯一的,而 MIMO的k阵是非唯一的.
• 系统的状态估计器极点可任意配臵的充要 条件是:该系统的状态是可观的.
(3).状态估计器的设计方法. • 仿照状态反馈的极点配臵设计方法,只需先 进行可控性检验,改成可观性检查即可,其余 步骤相同.
四、降维观测器设计
• 一般情况下观测器是建立在对原系统模拟基 础上的，因而其维数和受控系统维数是相同 的，称为全维观测器（或估计器）。
五、带观测器的状态反馈系统 • 在状态反馈中,不采样原系统的状态进行反 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈, 其结构图如下图所示.
• 状态估计器
x ( A GC ) x Bu Gy ˆ ˆ ˆ y Cx
• 原系统
x Ax Bu ˆ x Ax Bkx Bv y Cx ˆ x ( A Bk ) x Bk ( x x) Bv u v kx ˆ
• 传函不变,即
y C (sI A Bk ) B.v
1
• 显然系统的特性由矩阵的特征多项式
ˆ A Bk A 0 A GC Bk
决定.
• 由
ˆ det[ I A] det( I A Bk ) det( A GC ) 0
• 注意上述方法仅适用于SISO系统.
4.几点说明
(1).对SISO系统来说,状态反馈只改变极点位 臵,不影响零点. (2).由于改变了极点,因此可能出现零极点对 消,从而影响系统的可观性.
(3).从实现的角度,状态反馈比输出反馈 困难,复杂. (4)对SISO系统来说,极点配臵只改变了极 点在S平面上的位臵,显然不采用这种方法 难于达到系统动静性能的一致. (5).对MIMO来说,极点配臵的方法与SISO 方法是一致的,但SISO的k阵是唯一的,而 MIMO的k阵是非唯一的.
• 系统的状态估计器极点可任意配臵的充要 条件是:该系统的状态是可观的.
(3).状态估计器的设计方法. • 仿照状态反馈的极点配臵设计方法,只需先 进行可控性检验,改成可观性检查即可,其余 步骤相同.
四、降维观测器设计
• 一般情况下观测器是建立在对原系统模拟基 础上的，因而其维数和受控系统维数是相同 的，称为全维观测器（或估计器）。
现在控制理论第五章状态反馈与状态观测器
(5-5)
引出的反馈系数，则
变换后k的0， 状态， 反kn馈1系统动态方程为 ：
x1， ，xn
式中：
xAbkxbv
y Cx
0
1
0
0
0
1
Abk
0
0
0
a0k0 a1k1 a2k2
(5-6)
(5-7)
0
0
1
an1kn1
I A (5 -b 9)k n a n 1 k n 1 n 1 a 2 k 2 2 a 1 k 1 1
过 行
待设 矩阵
计的 ，负
参 反
y Cx 馈至系统的参考输入，于是存在
01 式中v为纯量， 为 为 维行矩阵，为 环状态阵，
维向量， 为
维矩阵， 为
维向量， 为
维矩阵。
为闭环特征多项式。
维向量， 为闭
02 用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是：受控对象能 控
03
证明 ：0
若1式
(
k0, ,kn1
k
能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，
实现闭环极点任意配置的状态反馈阵 K为 pn维 。
若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。 状态变量受控情况下，引入状态反馈表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所 包围环节的传递特性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。不能 控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点位置也不会产生任 何影响，这是因为传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。若不能控 状态变量是稳定的状态变量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。
0
1
0
A
h
现代控制理论-6-状态反馈和状态观测器-第111讲
h22
h2m
hr 1
hr 2
hrm
闭环传递函数矩阵为： G H (s)C [s I(A BH ) 1 ]B C
结论1：当HC＝K时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。
即对于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈，
即K＝HC。故输出反馈不改变系统的能控性。
第6章 状态反馈和状态观测器
经典控制：只能用系统输出作为反馈控制器的输入； 现代控制：由于状态空间模型刻画了系统内部特征， 故而还可用系统内部状态作为反馈控制器的输入。 根据用于控制的系统信息：状态反馈、输出反馈
• 控制系统的动态性能，主要由其状态矩阵的特征 值（即闭环极点）决定。
• 基于状态空间表达式，可以通过形成适当的反馈 控制，进而配置系统的极点，使得闭环系统具有 期望的动态特性。
[解]： （1）先判断该系统的能控性
2019/9/20
13
0 0 1 ra[Q n c] k ra[B nA kB A 2B ]ra 0 nk1 6 3
1 6 3 1
该系统状态完全能控，通过状态反馈，可任意进行极点配置。
（2）计算闭环系统的特征多项式
设状态反馈增益矩阵为：K[k1 k2 k3]
1）直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤ 3） (1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。
2019/9/20
12
(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式： f()d eI t(A [B)K ]
(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。
f * ( ) （ 1 （ ) 2 ) （ n ) n n 1 n 1 1 0
自动控制原理线性定常系统的反馈结构及状态观测器教学PPT
现代控制理论：利用状态反馈、输出反馈来配置极点，需要解决 两个问题：（1）极点可配置的条件；（2）确定极点配置时的反 馈矩阵。
状态反馈在形成最优控制、克服和抑制扰动作用、实现系统解耦 控制等方面具有很多的应用。
１、极点可配置的条件 １）利用状态反馈的极点可配置条件
定理5：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可控 证明： （1）充分性
u v Kx
通过反馈构成的闭环系统
x (A- BK)x Bv
是渐近稳定的，即（A-BK）的特征值均有负实部，则称系统 实现了状态反馈镇定。
定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统 是状态可镇定的。
定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统 是状态可镇定的。
证明：由于系统 {A, B} 不完全可控，则有可控性结构分解
vu
B
_
xI x S
A
F
y
C
x (A- BK)x Bv
如果 FC K 输出反馈等价于状态反馈
2、反馈结构对系统性能的影响
x (A- BK)x Bv
x (A- HC)x Bu
x (A- BFC)x Bv
状态反馈、输出反馈都会改变系统的系数矩阵，会影响系统的可 控性、可观测性、稳定性、响应特性等。
0 0 1 P 0 1 12
1 18 144
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0u
0 72 18 1
0 0 0 1
x 1 6
0
x
0u
0 1 -12 0
系统的特征多项式 det[sI A] s3 18s2 72 s
希望特征多项式 a *(s) (s 1)(s 2 )(s 3 ) s3 4s2 6s 4
状态反馈在形成最优控制、克服和抑制扰动作用、实现系统解耦 控制等方面具有很多的应用。
１、极点可配置的条件 １）利用状态反馈的极点可配置条件
定理5：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可控 证明： （1）充分性
u v Kx
通过反馈构成的闭环系统
x (A- BK)x Bv
是渐近稳定的，即（A-BK）的特征值均有负实部，则称系统 实现了状态反馈镇定。
定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统 是状态可镇定的。
定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统 是状态可镇定的。
证明：由于系统 {A, B} 不完全可控，则有可控性结构分解
vu
B
_
xI x S
A
F
y
C
x (A- BK)x Bv
如果 FC K 输出反馈等价于状态反馈
2、反馈结构对系统性能的影响
x (A- BK)x Bv
x (A- HC)x Bu
x (A- BFC)x Bv
状态反馈、输出反馈都会改变系统的系数矩阵，会影响系统的可 控性、可观测性、稳定性、响应特性等。
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1 18 144
0 1 0 0
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0 72 18 1
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系统的特征多项式 det[sI A] s3 18s2 72 s
希望特征多项式 a *(s) (s 1)(s 2 )(s 3 ) s3 4s2 6s 4
状态观测器ppt课件
Fe (FT TA GC)x (H TB)u Fe
lim e 0 lim z lim Tx
t
t
t
lim w(t) lim(Mz Ny)
t
t
lim(MT NC)x lim Kx
t
t
北京工业大学人工智能与机器人研究所 龚道雄 gongdx@
北京工业大学人工智能与机器人研究所 龚道雄 gongdx@
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一、状态重构问题和状态观测器
北京工业大学人工智能与机器人研究所 龚道雄 gongdx@
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一、状态重构问题和状态观测器
方案2的降维状态观测器结构图
北京工业大学人工智能与机器人研究所 龚道雄 gongdx@
做线性变换使得系统变为gongdxbjuteducn1522122212221221112111维子系统采用极点配置算法综合一个使得gongdxbjuteducn16方法2思路类似于全维状态观测器方案2北京工业大学人工智能与机器人研究所gongdxbjuteducn17北京工业大学人工智能与机器人研究所gongdxbjuteducn18方案2的降维状态观测器结构图北京工业大学人工智能与机器人研究所gongdxbjuteducn19kx函数观测器基本思想有时重构状态的最终目的是为了获得状态的某种组合如kx的估计
第3步：由观测器的希望极点计算特征多项式
nq
(s i* ) * (s)
i 1
北京工业大学人工智能与机器人研究所 龚道雄 gongdx@
15
一、状态重构问题和状态观测器
第4步 ： 对 n q维 子 系 统 A2T2 , A1T2 ,采 用 极 点 配 置 算 法 ，
现代控制理论 状态反馈与状态观测器
• 在状态反馈中,有些状态是无法观测的,或无 法用物理方法量测出来,因此可用状态观测 器来解决这一问题.
• 所谓状态观测器是物理上可以实现的动力 学系统,它在被观测系统输入量和输出量的 激励下,产生一组逼近于被观测系统的状态 变量的输出.
• 这组输出的状态变量便可作为被观测系统 状态变量的估计值.
2.极点配置条件
• 若被控系统0(A, B) 是状态完全能控的,那么 反馈系统的极点必是可以任意配置的,或者 说,能使闭环系统极点任意配置的条件是被 控系统完全可控.
• 注意:
(1).对不可控的系统则不可能采用状态反馈 方法重新配置所有极点. (2).状态反馈可改变系统的极点,但不改变零 点.
• 以上是状态观测器的整个设计思想和目的.
• 估计的模型
xˆAxˆBuG(yCxˆ) (2) (AGC)xˆBuGy
(1).G的选择原则.
由(1)和(2)建立误差方程 定义 exxˆ 则 exxˆ(AG C)e显然误差e的特性是由
(A-GC)的特征值决定,显然G选择的原则是使 e tt1 0,t1 足够地小,从而G的选择也是使 A-GC的特征根按要求放在合适的位置上.
自动控制原理Ⅱ
第六章 状态反馈与状 态观测器
主要讲述:
1).状态反馈. 2).极点配置. 3).状态观测器.
一.系统的状态反馈
• 对于方程
x Ax Bu
y
Cx
• 系统的性质完全是由A决定的,因此要改变 系统的性质,只需改变A的形式.
• 从数学上来讲,即构造u,从而导致下列方程 成立
四、降维观测器设计
x Ax Br
y
Cx
• A 是满足要求的方阵
• 所谓状态观测器是物理上可以实现的动力 学系统,它在被观测系统输入量和输出量的 激励下,产生一组逼近于被观测系统的状态 变量的输出.
• 这组输出的状态变量便可作为被观测系统 状态变量的估计值.
2.极点配置条件
• 若被控系统0(A, B) 是状态完全能控的,那么 反馈系统的极点必是可以任意配置的,或者 说,能使闭环系统极点任意配置的条件是被 控系统完全可控.
• 注意:
(1).对不可控的系统则不可能采用状态反馈 方法重新配置所有极点. (2).状态反馈可改变系统的极点,但不改变零 点.
• 以上是状态观测器的整个设计思想和目的.
• 估计的模型
xˆAxˆBuG(yCxˆ) (2) (AGC)xˆBuGy
(1).G的选择原则.
由(1)和(2)建立误差方程 定义 exxˆ 则 exxˆ(AG C)e显然误差e的特性是由
(A-GC)的特征值决定,显然G选择的原则是使 e tt1 0,t1 足够地小,从而G的选择也是使 A-GC的特征根按要求放在合适的位置上.
自动控制原理Ⅱ
第六章 状态反馈与状 态观测器
主要讲述:
1).状态反馈. 2).极点配置. 3).状态观测器.
一.系统的状态反馈
• 对于方程
x Ax Bu
y
Cx
• 系统的性质完全是由A决定的,因此要改变 系统的性质,只需改变A的形式.
• 从数学上来讲,即构造u,从而导致下列方程 成立
四、降维观测器设计
x Ax Br
y
Cx
• A 是满足要求的方阵
现代控制理论6状态观测器设计ppt课件
C 0
0 0 2
1
1
,B
1
2 0
1
0 1
设计观测器，使其极点配置在-3，-4，-5上。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
• 例：设系统的系数矩阵为：
1
A
3
0
• 对于完全能控的系统，状态反馈可任意 配置闭环系统的极点，从而使得闭环系 统具有期望的稳态和动态性能。
• 条件：所有的状态变量可测。 • 实际系统，状态变量未必都可以直接测
量到。 • 状态能观性说明：系统是状态能观的，
则系统的任意状态信息必定在系统的输 出中得到反映。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
• 问题：如何用系统的外部输入输出信息 来确定系统的内部状态？
• 观测器设计问题 • 观测器的输出就是系统状态的估计值。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
6.1 观测器设计
• 已知系统模型
问题：如何从系统的输入输出数据得到系 统的状态？
6第五章 状态反馈与状态观测器
( s ) sI A bK
s 3 k1 18s 2 18k1 18k 2 72 s 72k1 12k 2 k3
s 2 s 3 s 3 4s 2 6s 4 ( s ) s 1
现代控制理论
第五章 状态反馈与状态观测器
第五章 状态反馈与状态观测器
■ 线性反馈控制系统 ■ 系统的极点配置 ■ 解耦控制 ■ 状态观测器设计 ■ 带状态观测器的闭环控制系统
现代控制理论
第五章 状态反馈与状态观测器
§5.1 线性反馈控制系统
系统反馈控制的分类： 1 按照反馈信号的来源或引出点分 （1）状态反馈 （2）输出反馈 2 按照反馈信号的作用点或注入点分 （1）反馈至状态微分处 （2）反馈至控制输入处
A, K , B, C , D
K
若D 0，系统记为 K ( A BK ), B, C ，则： A BK x Br x K ( A BK ), B, C ： y Cx
1
经过反馈后，系统的传递函数矩阵GK ( s )为： 注： 1A ( A BK )； GK ( s ) C sI A BK B
输出反馈要求∑0(A,B,C) (A B C) 系统状态能观测，不改变原被控系 A BHC x Br x 统的能控性和能观测性。
( A BHC ), B, C ： y Cx
H
从输出到状态向量导数的反馈要求∑0(A,B,C)状态能观测，不 改变被控系统的能观测性 但却不 定能够保持系统的能控 改变被控系统的能观测性，但却不一定能够保持系统的能控 性。
1
MIMO系统的输出反馈结构图
现代控制理论
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即对于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈，
即K＝HC。故输出反馈不改变系统的能控性。
结论2：对于状态反馈，从K＝HC中，给定K值，不一定能够解 出H。所以，输出反馈是部分状态反馈，输出信息所包含的不一 定是系统的全部状态变量，适合工程应用，性能较状态反馈差。
结论3：由于反馈引自系统输出，所以输出反馈不影响系统的可 观测性。
11
四、状态反馈极点配置条件和算法
极点配置：通过反馈增益矩阵K的设计，将加入状态反馈后的
闭环系统的极点配置在S平面期望的位置上。
定理：(极点配置定理) 对线性定常系统 0(A,B,C) 进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意 配置的充要条件是：0(A,B,C)状态完全能控。
注意：矩阵 ABK的特征值就是所期望的闭环极点。对 不能控的状态，状态反馈不能改变其特征值。
(4)由 f()f*() 确定反馈矩阵K： K [k 1k 2 k n ]
[例1] 考虑线性定常系统 x A x B u , y C x
0 1 0
0
其中： A0 0 1, B0, C1 0 0
1 5 6
1
试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统极点为-2±j4和-10。
[解]： （1）先判断该系统的能控性
2020/11/24
9
与状态反馈相比较，输出反馈：
缺点 在不增加补偿器的条件下，输出反馈 改变系统性能的效果不如状态反馈 好，不能任意配置系统的全部特征值；
（输出反馈只是状态反馈的一种特例，它能 达到的系统性能，状态反馈一定能达到；反之 则不然。）
优点 输出反馈在技术实现上很方便； 而状态反馈所用的系统状态可能不能直接 测量得到（需要状态观测器重构状态）。
2020/11/24
1
第6章 状态反馈和状态观测器
目前为止，我们已经： ➢ 建立了系统的状态空间模型 ➢ 提出了基于状态空间模型的系统的运动分析 ➢ 探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性 “认识了世界” ⇒ 如何来“改变世界”？！ 设计控制系统！ 系统的控制方式----反馈？：开环控制、闭环控制
2
第6章 状态反馈和状态观测器
经典控制：只能用系统输出作为反馈控制器的输入； 现代控制：由于状态空间模型刻画了系统内部特征， 故而还可用系统内部状态作为反馈控制器的输入。 根据用于控制的系统信息：状态反馈、输出反馈
• 控制系统的动态性能，主要由其状态矩阵的特征 值（即闭环极点）决定。
• 基于状态空间表达式，可以通过形成适当的反馈 控制，进而配置系统的极点，使得闭环系统具有 期望的动态特性。
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状态反馈闭环系统：
x (ABK)xBv y(CDK)xDv
k11 k12 k1n
反馈增益矩阵： K
k21
k22
k2
n
kr
1
kr 2
krn
K维数r是 n
一般D=0，可化简为：xyC (AxBK)xBv
状态反馈闭环系统表示： k(AB,K B ,C )
状态反馈闭环传递函数矩阵为： G k(s) C [s I(A B) K 1 ]B
1、极点配置算法
1）直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤ 3） (1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。
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(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：f()d eI t(A [B)K ]
(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。
f * ( ) （ 1 （ ) 2 ) （ n ) n n 1 n 1 1 0
反馈的两种基本形式：状态反馈（1种）、输出反馈（2种） 一、状态反馈
将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入 端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。
D
v
x
x
u B
C
A
y m 1
K rn
原受控系统
0(A,B,C)：
x Ax Bu y Cx Du
线性反馈规律：uvKx
2020/11/24
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0 0 1 ra[Q n c] k ra[B nA kB A 2B ]ra 0 nk1 6 3
1 6 3 1
该系统状态完全能控，通过状态反馈，可任意进行极点配置。
（2）计算闭环系统的特征多项式
设状态反馈增益矩阵为：K[k1 k2 k3]
0 0 0 1 0 0
f()|IABK|0
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三、输出到状态微分的反馈 将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。 这种反馈在状态观测器中应用广泛，结构和观测器很相似。
u
x
B
x
C
y m 1
A
H nm
原受控系统
0(A,B,C)：
x
y
Ax Cx
Bu
输出反馈系统状态空间描述为：
x (AHC)xBu yCx
2020/11/24
3
第6章 状态反馈和状态观测器
1. 状态反馈及极点配置 2. 系统的镇定问题 3. 状态观测器 4. 带有观测器的状态反馈系统
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4
第一节 状态反馈及极点配置
1. 状态反馈与输出反馈 2. 状态反馈极点配置条件和算法 3. 状态反馈闭环系统的能控性和能观测性
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输出反馈控制规律： uvHy
输出反馈系统状态空间描述为：xyC (AxBH)C xBv
2020/11/24
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h11 h12 h1m
输出反馈增益矩阵：
H
h21
h22
h2m
hr
1
hr 2
hrm
闭环传递函数矩阵为： G H (s)C [s I(A BH ) 1 ]B C
结论1：当HC＝K时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。
状态反馈系统的特征方程为： I(ABK )0
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ห้องสมุดไป่ตู้
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二、输出到参考输入的反馈（又称为输出反馈）
将系统输出量乘以相应的反馈系数馈送到参考输人，其和作为 受控系统的控制输入。（同古典控制，不作过多说明）
v
x
u B
x
C
y m 1
A
H rm
原受控系统
0(A,B,C)：
x
y
Ax Bu Cx Du
00
0
1 0[k1 k2 k3]
0 0 1 5 6 1
1 0
0 1
3(6k3)2(5k2)1k1
1k1 5k2 6k3
（3）计算期望的特征多项式
f * () ( 2 4 j ) ( 2 4 j ) ( 1 ) 0 3 1 2 4 6 2 000
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（4）确定K阵