数据的离散程度
数据离散程度
数据离散程度离散程度指标的种类很多，下面介绍的是常用的几种。
全距(Range)又称极差，是指数据中最大值和最小值的差值。
如果用R表示全距，用Xmax，Xmin，分别表示数据的最大值、最小值，则全距公式为：R = Xmax- Xmin。
例如，前面提到的两组数据中，第一组数据的全距R = 21 – 19 = 2，第二组数据的全距R = 25 – 15 = 10。
通过全距的数值我们可以确定第二组数据的离散程度更大。
由此，我们可以记住一个一般性结论：离散指标的数据越小，说明数据的变异程度就越小;数值越大，则说明数据的变异程度越大。
当然，这个结论只有在同类离散指标相比较时才会有意义。
全距指标的应用问题全距指标的含义容易理解，计算也很简便。
因此，在某些场合具有特殊的用途。
例如，要说明一个地区的温度情况，没有比用温差说明更好的指标了。
在描述一种股票的波动情况时，最高价和最低价的差是常使用的特征值。
另外，在成品质量控制方法中，R控制图也是全距的一种应用。
但是，全距在计算上只与两个极端值有关，因此它不能反应其他数据的分散情况，就这一点来说，全距只是一个比较粗糙的测度指标。
如果需要全面、精确地说明数据离散程度时，就不宜使用全距。
平均差(Mean Absolute Deviation)就是各项数值与其均值之差绝对值之和的平均数。
用MAD表示平均差，其公式为：所谓离散，是个相对概念，需要用一个标准来衡量。
因为均值是最重要也是最常用的指标，所以就成为衡量离散程度的一个常用标准。
方法就是用各项数据与与均值相减，通常将这个差值称为离差(Deviation)。
离差数值的大小就可以说明数据的偏离程度。
但是，可以证明。
因为相对于均值的正、负偏差之和是相等的。
为了解决离差正、负值抵消的问题，统计学家使用了绝对值的方法，如平均差，更多使用的是平方的方法，如方差，然后再用平均的方法，消除掉由于数据项数多少给离差值带来的`影响，即从指标的含义来看，平均差的数值代表了所有数据离均值的平均距离，使用该数据说明数据的离散程度，比较容易理解。
数据的离散程度
观察与思考
成绩/秒 13.4 13.2 13.0 12.8 12.6 12.4 12.2 12.0 3 4 5 6 7 8 序数 成绩/秒
13.4 13.2 13.0 12.8 12.6 12.4 12.2 12.0
一组数据中的最大数据与最小数据的差称为极差即 极差＝最大数据一最小数据．
甲运动员百米跑的成绩的极差为:13.1－12.0 = 1.l （秒）； 乙运动员百米跑的成绩的极差为:12.9－12.2 = 0.7 （秒）， 因此，乙运动员的成绩比较稳定．
1.对于一组数据，仅仅了解数据的集中趋势是不够的，还 需要了解这些数据的波动范围和偏离平均数的差异程度， 即这组数据的离散程度 数据的离散程度越大，表示数据分布的范围越广，越不 稳定，平均数的代表性也就越小； 2.一组数据中的最大数据与最小数据的差称为极差，即
成绩/秒
13.4 13.2 13.0 12.8 12.6 12.4 12.2 12.0 3 4 5 6 7 8 序数
成绩 /秒
1
2
甲的成绩统计图
1
2
Hale Waihona Puke 乙的成绩统计图34
5
6
7
8 序数
（1）在这8次训练中，甲、乙两名运动员的百米跑成绩的平均 甲、乙两名运动员百米跑的平均成绩都是 数、众数、中位数分别是多少？
如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样调查了20 只鸡腿，数据如下：
丙厂
80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 0 5 10 15 20 25 丙厂
（1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？ （2）如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的 差距？分别求出甲、乙两厂的20只鸡腿质量与其相应的 平均数的差距？ （3）在甲、丙两厂中，你认为那个厂的鸡腿质量更符合 要求？为什么？
如何衡量数据的离散程度
如何衡量数据的离散程度 Revised by Jack on December 14,2020如何衡量数据的离散程度我们通常使用均值、中位数、众数等统计量来反映数据的集中趋势，但这些统计量无法完全反应数据的特征，即使均值相等的数据集也存在无限种分布的可能，所以需要结合数据的离散程度。
常用的可以反映数据离散程度的统计量如下：极差（Range）极差也叫全距，指数据集中的最大值与最小值之差：极差计算比较简单，能从一定程度上反映的数据集的离散情况，但因为最大值和最小值都取的是极端，而没有考虑中间其他数据项，因此往往会受异常点的影响不能真实反映数据的离散情况。
四分位距（interquartile range，IQR）我们通常使用箱形图来表现一个数据集的分布特征：一般中间矩形箱的上下两边分别为数据集的上四分位数（75%，Q3）和下四分位数（25%，Q1），中间的横线代表数据集的中位数（50%，Media，Q2），四分位距是使用Q3减去Q1计算得到：如果将数据集升序排列，即处于数据集3/4位置的数值减去1/4位置的数值。
四分位距规避了数据集中存在异常大或者异常小的数值影响极差对离散程度的判断，但四分位距还是单纯的两个数值相减，并没有考虑其他数值的情况，所以也无法比较完整地表现数据集的整体离散情况。
方差（Variance）方差使用均值作为参照系，考虑了数据集中所有数值相对均值的偏离情况，并使用平方的方式进行求和取平均，避免正负数的相互抵消：方差是最常用的衡量数据离散情况的统计量。
标准差（Standard Deviation）方差得到的数值偏差均值取平方后的算术平均数，为了能够得到一个跟数据集中的数值同样数量级的统计量，于是就有了标准差，标准差就是对方差取开方后得到的：基于均值和标准差就可以大致明确数据集的中心及数值在中心周围的波动情况，也可以计算正态总体的置信区间等统计量。
平均差（Mean Deviation）方差用取平方的方式消除数值偏差的正负，平均差用绝对值的方式消除偏差的正负性。
数据的离散程度(课件)
离散程度反映的是数据值的分散 程度，如果数据值比较集中，则 离散程度较小；如果数据值比较 分散，则离散程度较大。
离散程度的度量方法
方差
方差是离散程度最常用的度量方法，它计算的是数据值与 平均值的差的平方的平均值。方差越大，说明数据值的离 散程度越大。
极差
极差是指数据中的最大值与最小值之差，它表示数据值的 最大离散程度。极差越大，说明数据值的离散程度越大。
优化数据收 集
算法改进
将多个来源的数据进行融合，综合利用不同数据源的 优势，提高数据的可靠性和一致性，降低数据的离散
程度。
数据融合
通过改进算法，提高数据处理的准确性和稳定性，从 而降低数据的离散程度。例如，采用更先进的统计分 析方法、优化决策树算法等。
未来发展前景
人工智能和机器学习在离散程度分析中的应用： 随着人工智能和机器学习技术的发展，未来可以 将这些技术应用于离散程度分析中，提高数据处 理的自动化和智能化水平。
详细描述
消费者行为数据分析是另一个应用数据离散程度的领域。通过对消费者的购买行为、偏 好、满意度等数据进行离散程度分析，企业可以更好地理解客户需求和市场趋势，从而
制定更有效的营销策略。
案例三：人口普查数据离散程度分析
总结词
人口普查数据离散程度分析
VS
详细描述
人口普查数据离散程度分析是评估国家或 地区人口统计数据可靠性和一致性的重要 手段。通过对人口普查数据的离散程度进 行测量，可以发现数据中的异常值和误差 ，提高数据质量。这对于政策制定、资源 分配和规划具有重要意义。
影响因素
影响数据离散程度的因素有很多，如测量误差、样本大小、数据来源等。在分 析数据的离散程度时，需要综合考虑这些因素，以确保结果的准确性和可靠性。
第六章4 数据的离散程度
基据与最小 极差
数据的差
一组数据中,各个数据与平 方差
均数差的平方的平均数
标准 方差的_算__术__平__方__根___
差
公式 极差=最_大___值
-最__小__值
特点
一般情况下,数据的 极差、方差和标准 差越小,数据的离散 程度__越__小__,数据越 _稳__定__
6
-8
14
平均数 2
丁
重点典例研析 重点1 极差(运算能力、数据观念) 【典例1】(教材再开发·P149引入问题补充) 下表是我市某一天在不同时段测得的气温情况.
0:00 4:00 8:00 12:00 16:00 20:00 11 ℃ 14 ℃ 16 ℃ 23 ℃ 20 ℃ 17 ℃
则这一天气温的极差是____1_2___℃. 【举一反三】
【技法点拨】 若一组数据x1,x2,…,xn的方差为s2, ①x1±a,x2±a,…,xn±a的方差为s2; ②mx1,mx2,…,mxn的方差为m2s2.
重点3 方差的应用(运算能力、数据观念、应用意识) 【典例3】(教材再开发·P152T4强化)某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选 出一位参加集训,两人各射了5箭,他们的总成绩相同,甲、乙两人射箭成绩(单位: 环)统计如表.
素养当堂测评 D
D
3.(5分·运算能力、数据观念、几何直观)在学校举办的知识竞赛中,九年级参赛 的10名学生的成绩统计图如图所示,则这10名学生的参赛成绩的极差是____1_5___分.
本课结束
项目 甲成绩 乙成绩
第1次 9 7
第2次 4 5
第3次 7 7
第4次 4 a
第5次 6 7
(2)请你从平均数和方差的角度分析,选谁参加更好.
第6章《数据的离散程度》
A. 甲
B．乙
C．丙
D．丁
D
）
练一练
4．某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩
进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因
此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41.后来
小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测
试成绩，下列说法正确的是（
A.平均分不变，方差变大
613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
（5）如果历届比赛表明，成绩达到610cm就能
打破记录，你认为为了打破记录应选谁参加这
项比赛？
答：在10次比赛中，甲运动员最高成绩是
613
__次_____cm，
1
4
而乙有___次成绩达到或
超过613cm, 故如为了打破记录，一般应
（4）历届比赛表明，成绩达到596cm就很可能
夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？
9
答：在10次比赛中，甲运动员有___次成绩
可见甲整
超过596cm，而乙仅有___次，
5
体发挥稳定，因此为了夺冠一般应选择
甲
___运动员参加这项比赛；
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
598
612 597 604 600 613 601
选手乙的成绩(cm） 613 618 580
574
618 593 585 590 598 624
1
2
3
4
5
6
7
《数据的离散程度》数据的分析
《数据的离散程度》数据的分析数据的离散程度是指数据变量之间的差异程度。
离散程度越大，数据之间的差异越大，反之亦然。
在数据分析中，了解和评估数据的离散程度对于了解和解释数据的分布特点和趋势非常重要。
数据的离散程度可以通过多种统计指标和图表来描述和分析。
下面将介绍几种常用的方法。
1. 平均差距（Mean deviation）平均差距是数据离散程度的简单度量方法之一、它计算每个数据点与均值之间的差距，并求取这些差距的平均值。
平均差距越大，数据离散程度越大。
2. 方差（Variance）方差是数据离散程度的常用度量方法之一、它计算每个数据点与均值之间的差距的平方，并求取这些差距平方的平均值。
方差越大，数据离散程度越大。
3. 标准差（Standard deviation）标准差是方差的平方根。
它可以快速度量数据的离散程度，并且易于解释。
标准差越大，数据离散程度越大。
4. 四分位间距（Interquartile range）四分位间距是数据的分布特征的度量方法之一、它测量了数据中25%和75%之间数据点的差距。
四分位间距越大，数据离散程度越大。
5. 离群值检测（Outlier detection）离群值是与其他数据点显著不同的异常值。
通过检测和处理离群值，可以更准确地评估数据的离散程度。
6.统计图表直方图和箱线图是用于可视化数据离散程度的常用图表。
直方图将数据分布在一系列柱状图中，可以清晰地显示数据的离散性。
箱线图显示了数据的分布范围、中位数和四分位间距，可以直观地了解数据的离散程度。
了解数据的离散程度可以帮助我们更好地分析和解释数据，从而做出有意义的决策。
不同的离散程度描述方法可以结合使用，以便全面地评估数据的离散程度。
在实际应用中，我们需要根据具体问题和数据类型选择合适的离散程度度量方法，并结合其他统计分析方法进行综合分析。
《数据的离散程度》
数据的离散程度在统计学中，我们经常会关注数据的分布情况和离散程度。
数据的离散程度是指数据值在分布中的散布程度，也就是数据点相对于平均值的偏离程度。
偏离程度的度量方法常见的度量偏离程度的方法有四个：方差、标准差、极差和平均绝对偏差。
方差方差是偏离程度的最常用指标之一。
它计算对于均值的平均偏离的平方。
我们可以用以下公式来计算方差：$$ s^2 = \\frac{1}{n-1} \\sum_{i=1}^{n} (X_i - \\bar{X})^2 $$其中，n是样本大小，X i是第i个数据点，$\\bar{X}$是样本的平均值。
标准差标准差是方差的平方根。
它测量了数据点对于均值的平均偏离，并提供了一种标准化的度量。
我们可以用以下公式来计算标准差：$$ s = \\sqrt{\\frac{1}{n-1} \\sum_{i=1}^{n} (X_i - \\bar{X})^2} $$极差极差是样本数据中最大值与最小值的差。
它提供了数据集中数据较为分散的程度。
我们可以用以下公式来计算极差：r=X max−X min其中，X max是最大值，X min是最小值。
平均绝对偏差平均绝对偏差是测量样本与均值之间平均差异的度量方法，计算了数据点与平均值的绝对偏差的平均值。
我们可以用以下公式来计算平均绝对偏差：$$ MAD = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} |X_i - \\bar{X}| $$应用离散程度是数据分析和数据处理中非常重要的概念。
例如，在金融领域中，我们可以使用离散程度来衡量投资组合的风险，进而作出更好的投资决策。
在生物医学研究中，研究者们可以使用离散程度来分析药物试验数据及对疾病的影响。
在市场营销中，离散程度可以用来研究客户对于一款产品的反馈，进而制定更有针对性的市场营销策略。
总结数据的离散程度是衡量数据分布状态的重要指标。
使用方差、标准差、极差以及平均绝对偏差这些量化离散程度的方法，可以帮助我们分析数据分布的特征，做出更加准确的结论。
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6.4 数据的离散程度
1.如图是甲.乙两位同学5次数学考试成绩的折线统计图，你认为成绩较稳定的是（ ）.
A.甲
B.乙
C.甲.乙的成绩一样稳定
D.无法确定
2.人数相等的甲.乙两班学生参加了同一次数学测验，班级平均分和方差如下：
甲x =80，乙x =80，s 2甲
=240，s 2乙 =180，则成绩较为稳定的班级为（ ）. A.甲班 B.乙班 C.两班成绩一样稳定 D.无法确定
3.下列统计量中，能反映一名同学在7～9 年级学段的学习成绩稳定程度的是
（ ）
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
4.某车间6月上旬生产零件的次品数如下（单位：个）：0，2，0，2，3，0，2， 3，1，2则在这10天中该车间生产零件的次品数的（ ）. A.众数是4 B.中位数是1.5 C.平均数是2 D.方差是1.25
5.在甲.乙两块试验田内，对生长的禾苗高度进行测量，分析数据得：甲试验田内禾苗高度数据的方差比乙实验田的方差小，则（）.
A.甲试验田禾苗平均高度较高
B.甲试验田禾苗长得较整齐
C.乙试验田禾苗平均高度较高
D.乙试验田禾苗长得较整齐
6. 5名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：cm）：0，2，－2，－1，1，则这组数据的极差为_______cm．
7.五个数1，2，4，5，a的平均数是3，则a= ，这五个数的方差为 .
8.已知一组数据1，2，1，0，－1，－2，0，－1，则这组数据的平均数为，中位数为，方差为 .
9.某校高一新生参加军训，一学生进行五次实弹射击的成绩（单位：环）如下：8，6，10，7，9，则这五次射击的平均成绩是____环，中位数_____环，方差是______.
10.已知数据a.b.c的方差是1，则4a，4b，4c的方差是 .
11.某学生在一学年的6次测验中语文.数学成绩分别为（单位：分）：
语文：80，84，88，76，79，85
数学：80，75，90，64，88，95
试估计该学生是数学成绩稳定还是语文
成绩稳定？
12.在某次体育活动中，统计甲.乙两班学生每分钟跳绳的成绩（单位：次）情况如下表：
下面有三种说法：（1）甲班学生的平均成绩高于乙班的学生的平均成绩；（2）甲班学生成绩的波动比乙班成绩的波动大；（3）甲班学生成绩优秀的人数比乙班学生成绩优秀的人数（跳绳次数≥150次为优秀）少，试判断上述三个说法是否正确？请说明理由.。