上海市行知中学2020-2021学年高三下学期3月月考数学试题
高三月考数学试卷含解析
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(x)$的对称中心为（）。
A. $(0, 4)$B. $(1, 2)$C. $(2, 0)$D. $(3, 1)$2. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 + a_5 = 10$，$a_3 + a_4 = 12$，则$a_1$的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知圆$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$的半径为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数$y = \log_2(x - 1)$的图象与直线$y = 3x - 1$的交点个数为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 3i| = |z + 2|$，则$z$在复平面内的轨迹是（）。
B. 圆C. 直线D. 双曲线6. 在三角形ABC中，$AB = 4$，$AC = 6$，$BC = 8$，则$\cos A$的值为（）。
A. $\frac{1}{4}$B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{3}{4}$D. $\frac{5}{8}$7. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），若$f(-1) = 0$，$f(1) = 0$，则$f(0)$的值为（）。
A. $-a$B. $-b$C. $-c$D. $a$8. 若$|x - 1| + |x + 2| = 3$，则$x$的取值范围是（）。
A. $-2 \leq x \leq 1$B. $-2 < x < 1$C. $x \leq -2$ 或 $x \geq 1$D. $x > -2$ 且 $x < 1$9. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_n = 3n^2 - 2n$，则$a_5$的值为（）。
上海市2021高三数学下学期3月月考试题(含解析)
上海市南洋模范中学2021届高三数学下学期3月月考试题（含解析）一、填空题。
1.已知全集，若集合，则_________.【答案】【解析】【分析】求出集合A，即可求解∁U A【详解】全集U＝R，集合A＝{x|x＞1或x<0}则＝故答案为【点睛】本题考查集合的基本运算，补集的求法，分式不等式解法，准确计算是关键，是基础题．2.双曲线的焦距为__________.【答案】6【解析】【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，可得焦距2c的值．【详解】双曲线2x2﹣y2＝6即为1，可得a，b，c3，即焦距为2c＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，焦距的求法，注意将双曲线的方程化为标准方程，运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．3.已知二项展开式中的第五项系数为，则正实数_____.【答案】【解析】【分析】由二项式定理的通项公式可得：，解出即可得出．【详解】T5x﹣2，∴，a＞0．解得a．故答案为：．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，准确计算是关键，属于基础题．4.已知函数的图像与它的反函数的图像重合，则实数的值为___.【答案】-3【解析】【分析】先求反函数：y，利用函数f（x）（a）图象与它的反函数图象重合，即为同一个函数即可得出．【详解】由y（a），解得x（y≠3），把x与y互换可得：y，∵函数f（x）（a）图象与它的反函数图象重合，∴﹣a＝3，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了反函数的求法及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.设，满足约束条件，则目标函数的最大值为_____.【答案】14【解析】【分析】画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.6.从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为_____.【答案】【解析】【分析】将试验发生包含的事件（k，b）的所有可能的结果列举，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【详解】试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第三象限的概率P，故答案为．【点睛】本题考查古典概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于基础题．7.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的周长为___.【答案】24【解析】【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|＝10，再由3|PF1|＝4|PF2|，运用双曲线的定义，求出|PF1|＝8，|PF2|＝6，由此能求出△PF1F2的周长．【详解】双曲线x21的a＝1，c5，两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），即|F1F2|＝10，由3|PF1|＝4|PF2|，设|PF2|＝x，则|PF1|x，由双曲线的定义知，x﹣x＝2，解得x＝6．∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝8+6+10＝24．故答案为：24．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，熟练运用定义是关键，属于基础题．8.已知四面体中，，，分别为，的中点，且异面直线与所成的角为，则____.【答案】1或【解析】【分析】取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO＝FO＝1，，或，由此能求出EF．【详解】取BD中点O，连结EO、FO，∵四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，∴EO∥CD，且EO，FO∥AB，且FO1，∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角或其补角，∴，或，当∠EOF时，△EOF是等边三角形，∴EF＝1．当时，EF．故答案为：1或．【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时，不等式的解集为____.【答案】【解析】【分析】由奇函数的性质可得x＞0时的解析式，再解不等式即可．【详解】∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）＝x2﹣6，由奇函数可得f（x）＝﹣x2+6，∴不等式f（x）＜x可化为，解得x＞2∴x＞0时，不等式f（x）＜x的解集为：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）【点睛】本题考查函数的奇偶性，涉及不等式的解法，熟记奇函数得定义是关键，属基础题．10.关于的方程在上的解的个数是____.【答案】7【解析】【分析】化简y=从而作函数的图像，从而可解【详解】化简y=,作函数在上的图像如下：结合图像可知，两个图像共有7 个交点故答案为7【点睛】本题考查函数与方程，函数的性质，三角函数，准确作图是关键，是中档题11.任意实数，，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，，则____.【答案】4【解析】【分析】f（x）＝，及其数列{a n}是公比大于0的等比数列，且＝1，对公比q分类讨论，再利用对数的运算性质即可得出．【详解】由题，∵数列{a n}是公比大于0的等比数列，且，①1＜q时，，，…，∈（0，1），，，∈（1，+∞），1．∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4．∵∴0++…+＝，∴q4q q2．∴2．左边小于0，右边大于0，不成立，舍去．②0＜q＜1时，1，∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4，，，…，∈（1，+∞），，，∈（0，1），∵∴log2q2．∴2．∴4，∴a1＝4．③q＝1时，＝…＝＝…＝＝1，不满足舍去．综上可得：＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数的运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．12.以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，，，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使，（0为坐标原点）则直线，的斜率乘积为___.【答案】或-2【解析】【分析】设椭圆方程为，A（，），B（，），从而得到的坐标表示，然后，再根据M点在该椭圆上，建立关系式，结合A、B点在也该椭圆上，得到，，从而得到相应的结果，同理当椭圆方程为可得答案【详解】由题意可设椭圆方程为，又设A（，），B（，），因为M点在该椭圆上，∴，则又因为A、B点在也该椭圆上，∴，∴，即直线OA、OB的斜率乘积为，同理当椭圆方程为时直线OA、OB的斜率乘积为﹣2．故答案为：或﹣2．【点睛】本题重点考查椭圆综合，平面向量的坐标运算，注意审题仔细，要注意分类讨论椭圆的焦点位置，属于难题．二、选择题。
上海市行知中学2019-2020学年高三上学期数学9月份月考试卷(PDF版)
若不是，则说明理由．（注：L;=l(x;)= k(x1 )+ k(x2 )+···+ k(xJ).
参考答案
一． 填空题 1. {5,2,1} 5. -1 9. a>2
2. 假 6. -2
10. Ji
3. (0,4] 1
3
19. 最经济的车速是 80km/ h, 总费用是 280元
20. (1)
A 中另外两个元素是刁、
1
一；
(2) 不是；
(3)
A={-1,
一1
，
2,
一
1
一
，
2
3,-}.
2
2 23
21. (1) k=- 一1 ， 递减； (2) (1冲 心） U{-3}; 0) 是， 1一5
2
2
(2) 0�{O};
(3) 0 E {O};
(4) 0={0};
(5) 0E{0};
(6) {1} E {1,2,3}; (7) {1,2} s;;;; {1,2,3}; (8) {a,b} s;;;; {b,a};
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11 14. 设－＜ —<0, 则下列不等式恒成立的是（
。
::�, n-{�
上
::!,
若仁 B, 则对任意 x E R, m(l - n) =
2一r -1 12. 已知函数 /(x)-{
(x�0) ，
若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数
f(x - 1) (x>O)
2020-2021学年上海中学高三数学理月考试题含解析
2020-2021学年上海中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=60°，若点P，A，B，C，D 都在同一个球面上，则此球的表面积为（）A．πB．πC．πD．π参考答案：B【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设球心为O，求出AD=2，BD=2，设AC∩BD=E，则BE=，OP=OB=R，设OE=x，则OB2=BE2+OE2=2+x2，过O作线段OH⊥平面PAD于H点，H是垂足，PO2=OH2+PH2=1+（﹣x）2，由此能求出球半径R，由此能求出此球的表面积．【解答】解：设球心为O，如图，∵△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=60°，∴AD=2，BD==2，设AC∩BD=E，则BE=，∵点P，A，B，C，D都在同一个球面上，∴OP=OB=R，设OE=x，在Rt△BOE中，OB2=BE2+OE2=2+x2，过O作线段OH⊥平面PAD于H点，H是垂足，∵O点到面PAD的距离与点E到平面PAD的距离相等，∴OH=1，∴在Rt△POH中，PO2=OH2+PH2=1+（﹣x）2=x2﹣2+4，∴2+x2=x2﹣2+4，解得x=，∴R=，∴此球的表面积S=4πR2=4π×=．故选：B．2. 已知集合，则集合（）A. B. C. D.参考答案：【知识点】集合的运算A1C因为，所以，则选C.【思路点拨】遇到不等式的解构成的集合，一般先对不等式求解，再进行解答.3. 已知等差数列的前项和为，公差，且，则（）A．－10 B．－11 C．－12 D．－14参考答案：C4. 若,且,则与的夹角是A. B. C. D.参考答案：D略5. 设函数若，则关于x的方程的个数为（A）（B）（C）（D）4参考答案：答案：C6. 若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点( ) A．B．C．D．参考答案：C略7. 2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为，中位数分别为y1，y2，则（）A．，y1＞y2 B．，y1=y2C．，y1=y2 D．，y1＜y2参考答案：B8. 已知函数y=f（x）是R上的减函数，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称．设动点M （x，y），若实数x，y满足不等式 f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0恒成立，则?的取值范围是( )A．（﹣∞，+∞）B．[﹣1，1] C．[2，4] D．[3，5]参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算；函数单调性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】根据函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，可得函数f（x）是奇函数，利用函数y=f（x）是定义在R上的减函数，化简不等式 f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0，即有x2+y2﹣6x﹣8y+24≤0，即有（x﹣3）2+（y﹣4）2≤1，运用向量的数量积的坐标表示可得范围．【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数是奇函数，∴不等式 f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0等价于不等式f（x2﹣8y+24）≥f（6x﹣y2），∵函数y=f（x）是定义在R上的减函数，∴x2﹣8y+24≤6x﹣y2，即为x2+y2﹣6x﹣8y+24≤0，即有（x﹣3）2+（y﹣4）2≤1，①则?=1?x+0?y=x，由①可得，|x﹣3|≤1，解得2≤x≤4．故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9. 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x+x﹣3，则f（x）的零点个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先由函数f（x）是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x＞0时的函数f（x）的解析式等于0转化成两个函数，转化为判断两函数交点个数问题，最后根据奇函数的对称性确定答案．【解答】解：∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，所以0是函数f（x）的一个零点当x＞0时，令f（x）=2x+x﹣3=0，则2x=﹣x+3，分别画出函数y=2x，和y=﹣x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f（x）有一个零点，又根据对称性知，当x ＜0时函数f （x ）也有一个零点． 综上所述，f （x ）的零点个数为3个， 故选C ．【点评】本题是个基础题，函数的奇偶性是函数最重要的性质之一，同时函数的奇偶性往往会和其他函数的性质结合应用，此题就与函数的零点结合，符合高考题的特点． 10. 设i 是虚数单位，复数( ) A ．3﹣2iB ．3+2iC ．2﹣3iD ．2+3i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===3﹣2i ，故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，与圆相切于，不过圆心的割线与直径相交于点.已知∠=，，,则圆的半径等于 ．参考答案：712. 已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，若在数列中，，则实数的取值范围是．参考答案：13. 已知，若实数满足则的最小值为 ▲ .参考答案：略14. 已知某算法的流程图如图所示，若将输出的（x ，y ）的值依次记为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），若程序运行中输出的一个数组是（t ，﹣8），则t 为 ．参考答案：8115. 已知则与方向相同的单位向量为 .参考答案：16. 已知集合，集合，在集合A中任取一个元素p，则p∈B的概率是▲．参考答案：答案：17. 图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图，我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）比如第一行记为(0,1)，第二行记为(1,2)，第三行记为(4,5)，照此下去，第5行中白圈与黑圈的“坐标”为_______________.参考答案：(40,41)三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021届上海市行知中学高三10月月考数学试卷(2020.10)
一.填空题
1.已知集合 ， ，则
2.函数 的单调递减区间是
3.方程 的解
4.函数 的反函数是
5.已知定义在 上的函数 ，满足 ，且对任意的 都有 ，则
6.若对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
7.已知关于 的方程 有两个实数根，且一根小于 ，一根大于 ，则实数 的取值
A. B. C. D.
14.解析式为 ，值域为 的函数有（）个
A.4B.6C.8D.9
15.定义在 上的函数 满足 ，且当 时， 单调递增，若 ， ，则 的值（）
A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负
16.若存在 与正数 ，使 成立，则称“函数 在 处存在距离为 的对称点”，
设 ，若对于任意 ，总存在正数 ，使得“函数 在 处存在距离为
范围为
8.若函数 值域为 ，则实数 的取值范围是
9.若函数 存在零点，则实数 的取值范围是
10.设 ，若对任意的 ，都有 ，则
11.函数 的大致图像如图，若函数图像经过点 和点 ，
且 和 是其两条渐近线，则
12.已知函数 为偶函数， 为奇函数，其中 、 为常数，
则
二.选择题
13.若 ， ，则下列不等式成立的是（）
（1）求 、 、 的值；
（2）若 ， ， 且 ，求 的值；
（3）若对于任意的 ，函数 、 满足 ，则称在 上 与 具有“H类关系”，问函数 与函数 在 上是否具有“H类关系”，请说明理由.
2020-2021学年行知中学高三月考数学试卷参考答案
一.填空题
1. 2. 或 3.14.
5. 6. 或 7. 8.
上海市宝山区行知中学高三(上)第一次月考数学试卷(解析版)
上海市宝山区行知中学高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题（每小题4分，共56分）1．=．2．设f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则x＞0时，f（x）=．3．已知复数z=2+4i，，则|w|=．4．在三角形ABC中，若a=2，c=2，C=，则b=．5．若函数f（x）=x+，设集合A={x|2≤f（x）≤}，U=R，则集合∁U A=．6．从18人中随机抽取4人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有种．（结果用数值表示）7．函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调递减区间为．8．（理）已知cos（﹣x）=a，且0，则的值用a表示为．9．已知双曲线（a＞0，b＞0）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为．10．在等差数列{a n}中，a1=3，公差不等于零，且a2、a4、a9恰好是某一个等比数列的前三项，那么该等比数列的公比的值等于．11．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x﹣y=0与x+3y=0的距离之和等于4，则P到原点距离的最小值为．12．函数f（x）=x2﹣2x+3，若|f（x）﹣a|＜2恒成立的充分条件是1≤x≤2，则实数a的取值范围是．13．已知有相同焦点F1、F2的椭圆+y2=1（m＞1）和双曲线﹣y2=1（n＞0），点P是它们的一个交点，则三角形F1PF2面积的大小是．14．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为．二、选择题（每小题5分，共20分）15．设a和b都是非零实数，则不等式a＞b和同时成立的充要条件是（）A．a＞b B．a＞b＞0 C．a＞0＞b D．0＞a＞b16．设x=sinα，且α∈，则arccosx的取值范围是（）A．[0，π]B．[，] C．[0，]D．[，π]17．为了得到函数，x∈R的图象，只需把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变）B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）18．对于函数f（x）=（x∈R），下列说法正确的个数有（）①函数f（x）的值域为（﹣1，1）；②若x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若规定f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣1（x）），则f n（x）=对任意n ∈N*恒成立．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个三、解答题（共74分，必须写出必要的步骤）19．如图，四棱锥V﹣ABCD的底面是正方形，VD⊥平面ABCD，VD=AD=2．（1）求异面直线AC与VB所成角；（2）四棱锥V﹣ABCD的侧面积．20．已知f（x）=cos2x+2sinxcosx（0≤x≤）（1）求函数f（x）的最大值，并指明取到最大值时对应的x的值；（2）若0＜θ＜，且f（θ）=，计算cos2θ的值．21．在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P n在x轴上，其横坐标为x n，且{x n}是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn，n∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．22．（16分）已知直角△ABC的三边长a，b，c，满足a≤b＜c（1）在a，b之间插入2011个数，使这2013个数构成以a为首项的等差数列{a n}，且它们的和为2013，求c的最小值；（2）已知a，b，c均为正整数，且a，b，c成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列S1，S2，S3，…S n，且，求满足不等式的所有n的值；（3）已知a，b，c成等比数列，若数列{X n}满足（n∈N+），证明：数列{}中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且X n是正整数．23．（18分）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线C1的内切圆半径为．记曲线C2是以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l 上异于椭圆中心的点．（1）求椭圆C2的标准方程；（2）若|MO|=m|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）若M是l与椭圆C2的交点，求△ABM的面积的最小值．上海市宝山区行知中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共56分）1．=．【分析】利用数列极限的运算法则即可得出．解：∵，∴原式==．故答案为：．【点评】本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题．2．设f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则x＞0时，f（x）=﹣2x2﹣x．【分析】设x＞0，﹣x＜0，所以根据x≤0时的解析式便可求出f（﹣x），再根据f（x）是R上的奇函数便得到f（﹣x）=﹣f（x），这样即可求出x＞0时的f （x）解析式．解：设x＞0，则﹣x＜0，由已知条件得：f（﹣x）=2x2+x=﹣f（x）；∴f（x）=﹣2x2﹣x．故答案为：﹣2x2﹣x．【点评】考查奇函数的定义，根据奇函数的定义求解析式．3．已知复数z=2+4i，，则|w|=．【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．解：∵W====．∴|W|===．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．4．在三角形ABC中，若a=2，c=2，C=，则b=4．【分析】由条件利用余弦定理求得b的值．解：三角形ABC中，若a=2，c=2，C=，则由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即12=4+b2﹣2b，求得b=﹣2（舍去），或b=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．5．若函数f（x）=x+，设集合A={x|2≤f（x）≤}，U=R，则集合∁U A={x|x ＜，或x＞2} ．【分析】当x＞0时，f（x）=x+≥2=2，由，得；当x＜0时，f（x）=x+≤﹣2，不成立，从而A={x|}．由此能求出集合∁U A．解：当x＞0时，f（x）=x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时，取等号，∵，∴2x2﹣5x+2≤0，解得；当x＜0时，f（x）=x+≤﹣2，不成立，∴A={x|}．∴集合∁U A={x|x＜，或x＞2}．故答案为：{x|x＜，或x＞2}．【点评】本题考查集合的补集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意集合性质的合理运用．6．从18人中随机抽取4人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有560种．（结果用数值表示）【分析】由题意可得，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有•种，计算可得结果．解：除了甲乙二人，还有16人，故抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有•=560种，故答案为：560．【点评】本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用，属于基础题．7．函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调递减区间为（3，+∞）．【分析】利用复合函数的单调性，只需求g（x）=x2﹣2x﹣3在g（x）＞0的情况下的递增区间即可．解：令g（x）=x2﹣2x﹣3，则f（x）=为复合函数，由题意得，函数的单调递减区间为g（x）=x2﹣2x﹣3在g（x）＞0的情况下的递增区间，∴由x2﹣2x﹣3＞0得：x＞3或x＜﹣1，又g（x）=x2﹣2x﹣3的递增区间为：[1，+∞），∴x＞3，即函数的单调递减区间为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．【点评】本题考查复合函数的单调性，着重考查对数函数的单调性，突出分析问题，解决问题能力的考查，属于中档题．8．（理）已知cos（﹣x）=a，且0，则的值用a表示为2a．【分析】由x的范围求出﹣x的范围，根据cos（﹣x）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（﹣x）的值，利用诱导公式求出所求式子分母的值，将cosx=cos[﹣（﹣x）]，求出cosx的值，进而确定出cos2x的值，代入计算即可求出值．解：∵0＜x＜，∴0＜﹣x＜，∵cos（﹣x）=a，∴sin（﹣x）=，∴cos（+x）=cos[﹣（﹣x）]=sin（﹣x）=，cosx=cos[﹣（﹣x）]=×a+×=（a+），即cos2x=2cos2x﹣1=2×（a+）2﹣1=a2+1﹣a2+2a﹣1=2a，则原式==2a．故答案为：2a【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．9．已知双曲线（a＞0，b＞0）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为．【分析】利用行列式求出a，b的关系，利用双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，求出双曲线的右焦点，从而可求双曲线的标准方程．解：由，可得，∴∵双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，∴c=，∵c2=a2+b2，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程，考查抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，求出几何量是关键．10．在等差数列{a n}中，a1=3，公差不等于零，且a2、a4、a9恰好是某一个等比数列的前三项，那么该等比数列的公比的值等于．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，由题意可得d的方程，进而可得a2、a4，它们的比值就是要求的公比．解：设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，则可得（3+3d）2=（3+d）（3+8d）解得d=9，或d=0（舍去）∴公比q====故答案为：【点评】本题考查等比数列和等差数列的性质，属基础题．11．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x﹣y=0与x+3y=0的距离之和等于4，则P到原点距离的最小值为2．【分析】先确定两条直线满足垂直关系，设出点到直线的距离分别为a，b，然后根据条件得到a+b=4，利用二次函数的性质即可求P到原点距离的最小值．解：∵3x﹣y=0与x+3y=0的互相垂直，且交点为原点，∴设P到直线的距离分别为a，b，则a≥0，b≥0，则a+b=4，即b=4﹣a≥0，得0≤a≤4，由勾股定理可知OP===，∵0≤a≤4，∴当a=2时，OP的距离最小为OP==，故答案为：．【点评】本题主要考查点到距离的公式，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．12．函数f（x）=x2﹣2x+3，若|f（x）﹣a|＜2恒成立的充分条件是1≤x≤2，则实数a的取值范围是1＜a＜4．【分析】根据充分条件定义将条件转化为不等式恒成立，然后利用二次函数的性质求最值即可．解：∵|f（x）﹣a|＜2恒成立的充分条件是1≤x≤2，∴当1≤x≤2时，|f（x）﹣a|＜2恒成立，即﹣2＜f（x）﹣a＜2，∴a﹣2＜f（x）＜2+a恒成立，∵1≤x≤2，∴2≤f（x）≤3，∴要使a﹣2＜f（x）＜2+a恒成立，则，即，∴1＜a＜4，故答案为：1＜a＜4【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及二次函数的图象和性质，将充分条件关系转化为不等式恒成立，然后转化为最值恒成立是解决本题的关键．13．已知有相同焦点F1、F2的椭圆+y2=1（m＞1）和双曲线﹣y2=1（n＞0），点P是它们的一个交点，则三角形F1PF2面积的大小是1．【分析】利用双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式，即可得出三角形的面积．解：如图所示，不妨设两曲线的交点P位于双曲线的右支上，设|PF1|=s，|PF2|=t．由双曲线和椭圆的定义可得，解得s2+t2=2m+2n，st=m﹣n．在△PF1F2中，cos∠F1PF2==∵m﹣1=n+1，∴m﹣n=2，∴cos∠F1PF2=0，∴∠F1PF2=90°．∴△F1PF2面积为st=1．故答案为：1．【点评】本题考查椭圆与双曲线方程及其几何性质及代数运算能力．熟练掌握双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式是解题的关键．14．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为．【分析】利用圆切线的性质：与圆心切点连线垂直；设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出；利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．解：设PA与PO的夹角为a，则|PA|=|PB|====记cos2a=u．则=即的最小值为故答案为：【点评】本题考查圆切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值．二、选择题（每小题5分，共20分）15．设a和b都是非零实数，则不等式a＞b和同时成立的充要条件是（）A．a＞b B．a＞b＞0 C．a＞0＞b D．0＞a＞b【分析】根据不等式a＞b和同时成立，可得把不等式a＞b的两边同时除以ab，不等式变号，故有a＞0＞b．解：设a和b都是非零实数，∵不等式a＞b和同时成立，∴把不等式a＞b的两边同时除以ab，不等式变号为，∴a、b异号，∴a＞0＞b，故选：C．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．16．设x=sinα，且α∈，则arccosx的取值范围是（）A．[0，π]B．[，] C．[0，]D．[，π]【分析】由题意，可先由x=sinα，且α∈，解出x的取值范围，再由反余弦函数的定义求出arccosx的取值范围即可求出正确选项解：由题意x=sinα，且α∈，可得x∈[﹣，1]由反余弦函数的定义知，arccosx∈[0，]故选：C．【点评】本题考查反余弦函数，解题的关键是理解反余弦函数的定义，由定义直接得出反余弦函数的值域，本题是基本概念考查题，新教材地区，反三角函数已成为选学内容，高考中基本不出现了，大多数学校也不将其列为学习内容，新教材实验区的学生就不要做此题了17．为了得到函数，x∈R的图象，只需把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变）B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）【分析】先根据左加右减的原则进行平移，然后根据w由1变为时横坐标伸长到原来的3倍，从而得到答案．解：先将y=2sinx，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图象故选：C．【点评】本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时训练得比较多的一种类型．由函数y=sinx，x∈R的图象经过变换得到函数y=Asin（ωx+ϕ），x∈R（1）y=Asinx，xÎR（A＞0且A¹1）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（A＞1）或缩短（0＜A＜1）到原来的A倍得到的．（2）函数y=sinωx，xÎR（ω＞0且ω¹1）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（ω＞1）或伸长（0＜ω＜1）到原来的倍（纵坐标不变）（3）函数y=sin（x+ϕ），x∈R（其中ϕ≠0）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当ϕ＞0时）或向右（当ϕ＜0时=平行移动|ϕ|个单位长度而得到（用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”）可以先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但注意：先伸缩时，平移的单位把x前面的系数提取出来．18．对于函数f（x）=（x∈R），下列说法正确的个数有（）①函数f（x）的值域为（﹣1，1）；②若x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若规定f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣1（x）），则f n（x）=对任意n ∈N*恒成立．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】先求出f（x）为奇函数，再求出x＞0时的函数值，然后利用奇函数的性质求出f（x）的值域；由函数的单调性能判断结论②的正误；用数学归纳法能判断③的正误．解：∵f（x）=（x∈R），∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，x＞0时，f（x）==∈（0，1）且f（x）单调递增，∴由奇函数的对称性可知函数的值域为（﹣1，1），∵函数严格单调，∴当x1≠x2，有f（x1）≠f（x2）；f2（x）=f（f1（x））==，f3（x）═f（f2（x））==，…由此可得：f n（x）=，用由数学归纳法证明：①n=3时，f3（x）═，成立．②假设n=k时成立，即f k（x）=，则当n=k+1时，f k（x）=f（f k（x））==，也成立，+1∴f n（x）=对任意n∈N*恒成立．故选：D．【点评】本题考查分段函数的性质，要注意结合函数值域求法及单调性判断方法对甲乙取舍，至于丙的说法用不完全归纳法归纳即可作出判断．三、解答题（共74分，必须写出必要的步骤）19．如图，四棱锥V﹣ABCD的底面是正方形，VD⊥平面ABCD，VD=AD=2．（1）求异面直线AC与VB所成角；（2）四棱锥V﹣ABCD的侧面积．【分析】（1）证明AC⊥平面VDB，可得异面直线AC与VB所成角；（2）证明，△VAD，△VCD是直角三角形，△VAB是直角三角形，△VCB是直角三角形，即可求出四棱锥V﹣ABCD的侧面积．解：（1）四棱锥V﹣ABCD的底面是正方形，VD⊥平面ABCD，∴VD⊥AC，BD⊥AC，∵VD∩BD=D，∴AC⊥平面VDB，∴异面直线AC与VB所成角为90°；（2）由（1）知，△VAD，△VCD是直角三角形，面积为=2，∵AB⊥AD，AB⊥VD，AD∩VD=D，∴AB⊥平面VAD，∴AB⊥VA，∴△VAB是直角三角形，同理△VCB是直角三角形，面积都为=2∴四棱锥V﹣ABCD的侧面积是4+4．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，考查异面直线AC与VB 所成角，证明线面垂直是关键．20．已知f（x）=cos2x+2sinxcosx（0≤x≤）（1）求函数f（x）的最大值，并指明取到最大值时对应的x的值；（2）若0＜θ＜，且f（θ）=，计算cos2θ的值．【分析】（1）化简函数f（x），的最大值，由得f（x）最大值为2，此时x=．（2）先求出，．即可计算cos2θ=cos（2θ+﹣）=．解：（1）∵f（x）=cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=2sin（2x+）∵0≤x≤，∴∴f（x）最大值为2，此时x=．（2）∵f（θ）=2sin（2θ+）=．∴．又0＜θ＜，，∴．cos2θ=cos（2θ+﹣）=cos（2θ+）cos+sin（2θ+）sin=．【点评】本题主要考察三角函数中的恒等变换应用，属于基础题．21．在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P n在x轴上，其横坐标为x n，且{x n}是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn，n∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．【分析】（1）利用{x n}是首项为1、公比为2的等比数列，确定通项，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐标；（2）表示出tanθn=tan（∠OAP n+1﹣∠OAP n），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可求得结论．解：（1）设A（0，t）（t＞0），根据题意，x n=2n﹣1．由，知，而tanθ3=tan（∠OAP4﹣∠OAP3）==，所以，解得t=4或t=8．故点A的坐标为（0，4）或（0，8）．（2）由题意，点P n的坐标为（2n﹣1，0），tan∠OAP n=．∴tanθn=tan（∠OAP n+1﹣∠OAP n）==．因为≥，所以tanθn≤=，当且仅当，即n=4时等号成立．∵0＜θn＜，y=tanx在（0，）上为增函数，∴当n=4时，θn最大，其最大值为．【点评】本题考查等比数列，考查差角的正切函数，考查基本不等式的运用，正确运用差角的正切公式是关键．22．（16分）已知直角△ABC的三边长a，b，c，满足a≤b＜c（1）在a，b之间插入2011个数，使这2013个数构成以a为首项的等差数列{a n}，且它们的和为2013，求c的最小值；（2）已知a，b，c均为正整数，且a，b，c成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列S1，S2，S3，…S n，且，求满足不等式的所有n的值；（3）已知a，b，c成等比数列，若数列{X n}满足（n∈N+），证明：数列{}中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且X n是正整数．【分析】（1）由等差数列的前2013项的和求出a+b的值，利用勾股定理写出c2=a2+b2，然后利用基本不等式求c的最小值；（2）设出三角形三边的公差，由勾股定理求得三边与公差的关系，把面积用公差表示，则S n可求，把S n代入T2n=﹣S1+S2﹣S3+…+S2n后，先裂项后利用等差数列求和公式求和，得到T n后结合二项展开式的系数和取值验证求得满足不等式的所有n的值；（3）由a，b，c成等比数列，结合直角三角形中边的关系求出，代入后整理，进一步得到，由此可证数列{}中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且X n是正整数．【解答】（1）解：{a n}是等差数列，∴，即a+b=2．所以=，所以c的最小值为；（2）解：设a，b，c的公差为d（d∈Z），则a2+（a+d）2=（a+2d）2∴a=3d．设三角形的三边长为3d，4d，5d，面积，则，T2n=﹣S1+S2﹣S3+…+S2n=6[﹣12+22﹣32+42﹣…+（2n）2]=6（1+2+3+4+…+2n）=12n2+6n．由得，当n≥5时，＞，经检验当n=2，3，4时，，当n=1时，．综上所述，满足不等式的所有n的值为2、3、4．（3）证明：因为a，b，c成等比数列，∴b2=ac．由于a，b，c为直角三角形的三边长，知a2+ac=c2，∴，又，得，于是=．∴X n+X n+1=X n+2，则有．故数列{}中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形．因为，，⇒，由X n+X n+1=X n+2，同理可得，⇒X n+2∈N*，故对于任意的n∈N*都有X n是正整数．【点评】本题以直角三角形边的关系为载体，考查了等差数列的前n项和公式，考查了利用基本不等式求最值，考查了用裂项法求数列的和，训练了利用二项展开式的二项式系数比较不等式的大小，此题综合性强，难度较大．23．（18分）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线C1的内切圆半径为．记曲线C2是以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l 上异于椭圆中心的点．（1）求椭圆C2的标准方程；（2）若|MO|=m|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）若M是l与椭圆C2的交点，求△ABM的面积的最小值．【分析】（1）利用曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线C1的内切圆半径为，求出a、b的值，待定系数法写出椭圆的标准方程．（2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx，代入椭圆的方程，用k表示|OA|的平方，由|MO|2=m2|OA|2，得到|MO|2．再用k表示直线l的方程，并解出k，把解出的k代入|MO|2的式子，消去k得到M的轨迹方程．当k=0或不存在时，轨迹方程仍成立．（3）当k存在且k≠0时，由（2）得=，=，同理求出点M的横坐标的平方、纵坐标的平方，计算出AB的平方，计算出|MO|2，可求出三角形面积的平方，使用基本不等式求出面积的最小值，再求出当k不存在及k=0时三角形的面积，比较可得面积的最小值．解：（1）由题意得，又a＞b＞0，解得a2=5，b2=4．因此所求椭圆的标准方程为．（2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx（k≠0），A（x A，y A）．解方程组得=，=，所以|OA|2=+=．设M（x，y），由题意知|MO|=m|OA|（λ≠0），所以|MO|2=m2|OA|2，即x2+y2=m2•．因为l是AB的垂直平分线，所以直线l的方程为，即，因此x2+y2=m2•=m2•．又x2+y2≠0，所以5x2+4y2=20m2，故．又当k=0或不存在时，上式仍然成立．综上所述，M的轨迹方程为（m≠0）．（3）当k存在且k≠0时，由（2）得=，=，由直线l的方程为，代入椭圆方程可得=，=，所以|OA|2=+=，|AB|2=4|OA|2|AB|2=，|OM|2=．由于=|AB|2|OM|2=≥=，当且仅当4+5k2=5+4k2时等号成立，即k=±1时等号成立，=．此时△AMB面积的最小值是S△AMB==＞．当k=0，S△AMB==＞．当k不存在时，S△AMB综上所述，△AMB的面积的最小值为．【点评】本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，参数法求轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系的应用．。
上海市行知中学2018-2019学年高三下学期数学3月月考试卷
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】 B
14. 设集合 P1 x | x2 ax 1 0 ，P2 x | x2 ax 2 0 ,其中 a R ，下列说法正确
的是（
）
A. 对任意 a ， P1 是 P2 的子集 B. 存在 a，使得 P1 不是 P2 的子集
【答案】 A
B. 对任意 a ， P1不是 P2 的子集 D. 存在 a ，使得知 a, b,c 分别为 ABC 的三个内角 A, B,C 对应的边长 ,若 f x
12. 设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [0,1) 上， f ( x)
x2, x D , 其中集合
x, x D
D
xx
n1 ,n
*
N
，则方程 f (x) lg x
0 的解的个数是 _______
n
【答案】 8
【解析】在区间 [0,1) 上， f ( x)
x2 , x D , 第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又
6
4
最小值为 ____
【答案】 2 3
6.如果已知极限
【答案】 1 2
1
lim ( nsin )
n
n
5 n2 sin 1
1，那么极限 lim
n
n
2n 1
____
x sin cos
7.已知 P 为曲线
( 是参数， 0
y 1 2sin 2
距离的最小值是 _______
2 )上一点，则点 P 到点 Q (0,1)
象限
【答案】二
3 3. 已知 " x k " 是 " 1" 的充分不必要条件，则实数
2020-2021年上海市高三下学期3月三校联考数学卷(奉贤中学、松江二中、金山中学)-详细解答
2020-2021年上海市三校联考奉贤中学、松江二中、金山中学 考试时间：120分钟满分：150分一、填空题：（1~6题每题4分，7~12题每题5分，满分54分）1．函数sin 2cos 2f x x x =+（）的最小正周期为_______． 2．23lim 25n n n →+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦__________． 3．化简：cos cos sin sin 66ππαααα⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________． 4．1a x =-（,）与2b x =-（，）平行且方向相同，则x =___________． 5．()21log f x x =-，设()1f x -是()y f x =的反函数，则()13f --=________．6．复数()312m m iz i+-=-的实部与虚部互为相反数，则实数m =________．7．直线1:1l ax y +=和直线21l x ay +=：是平行直线，则实数a =________．8．已知P 、Q 在不等式组002203260x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩所确定的区域内，则线段PQ 的长的最大值为______．9．()21,<1lg ,1x x f x x x ⎧-⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()()2f x f x -≤的解集为_______．10．若()1nx -的二项展开式中，存在相邻两项，满足后一项的系数是前一项系数的2倍，12020n ≤≤，则这样的正整数n 有________个．11．若正实数x ，y 满足22x y xy +=，且不等式()210x y a xy +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____．12．ABC ∆内角和我们可以这样理解：一根可自由伸缩的棍子（不考虑它的长度，棍子的一端有箭头），从状态1（与AB 重合）绕点A 逆时针旋转大小为A ∠的旋转量到状态2（与AC 重合），再绕点C 逆时针旋转大小为C ∠旋转量到状态3（与CB 重合），最后绕点B逆时针旋转大小为B ∠的旋转量变为状态4，棍子回到了与AB 重合的状态，棍子逆时针转了半圈（棍子两端已互换），因此得到旋转量之和180A B C ∠+∠+∠=︒．给出下列多边形中的8个角：12,...,8∠∠⋯∠，（如图标注），根据你对上述阅读材料的理解，请你建立这8个角的一个等量关系，则等式为___________．二、选择题：（共4小题，每题5分，满分20分）13．对于实数x 、y ，“220x y +=”是“0xy =”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 14．现有7名队员，3名老队员（2男1女）和4名新队员（1男3女），从中选出1男2女队员参加辩论比赛．要求其中有且仅有1名老队员，则不同的选法有（ ） A ．8种 B ．9种 C ．10种 D ．11种15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，则4AF BF +的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1116．棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -，在11ADD A 装上一块玻璃（不计玻璃厚度），E 为线段1AD 上一点，12AE ED =，从1B 处射出一光线经玻璃反射（反射点为E ）到达平面11CDD C 上某点P ，则PE 的长为（ ）A B C D ．三、解答题：（共5题，满分76分）17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分） 已知函数()()()3f x x a x a =---的定义域为集合A ，集合624x B xx -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．（1）若0a =，求A B ；（2）若RA B⊆，求实数a 的取值范围．18．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分） 已知()()()()21cos302f x x x ωωω=->的周期为π． （1）将()y f x =化为()()sin 0002A mx n A m n π+>>≤<，，形式； （2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且ABC ∆外接圆半径为1，2b c =，求边c 的大小．19．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，AP PD ⊥，CD ⊥平面APD ． （1）求证：AP PC ⊥；（2）若24AB BC PA PC ===，，，求BP 与平面ADP 所成角的大小．20．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知在平面直角坐标系中，圆22:4O x y +=，桶圆()222:1024x y b b Γ+=<<．（1）若椭圆的焦距为2，求b 的值； （2）若过原点O 倾斜角为4π的直线1l 与椭圆和圆共4个点交点，从左至右分别记为A 、B 、C 、D ，若AB BC CD ==，求b 的值；（3）若1b =，直线2:l x my n =+与椭圆Γ有且仅有一个公共点，2l 交圆O 于点E 、F ，求EFO ∆的面积S 的最大值．21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 己知数列{}n a 是非零数列．（1）若2141063n n n a a a a +-=>=，，，求1a ；（2）若212121,,1n n n a a a a a a a ++-===+，证明：{}n a 是等差数列；（3）若121,1n n n n a a a a +++=≠，证明()()()121111n n n n a a a a +++---为常值;并在12a a a b ==、（a 、b 为常数）时，求()()()()12320201111a a a a ---⋯-的值．2020-2021年上海市三校联考奉贤中学、松江二中、金山中学 考试时间：120分钟满分：150分一、填空题：（1~6题每题4分，7~12题每题5分，满分54分）1．函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期为_______．【解析】()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为π.2．23lim 25n n n →+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦__________． 【答案】103．化简：cos cos sin sin 66ππαααα⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________．【解析】cos cos sin sin cos 666πππαααα⎛⎫⎛⎫+++==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．1a x =-（,）与2b x =-（，）平行且方向相同，则___________．【解析】由题意得22x -=-，所以x =，检验得x =5．()21log f x x =-，设()1fx -是()y f x =的反函数，则()13f --=________．【解析】令()21log 3f x x =-=-，解得16x =，所以()1316f --=. 6．复数()312m m iz i +-=-的实部与虚部互为相反数，则实数m =________．【解析】()31[(31)](2)2(2)(2)m m i m m i i z i i i +-+-+==--+2222(31)(31)172455m mi m i m i m m i i ++-+---==+-， 因为实部与虚部互为相反数，所以17255m m --=-，解得16m =. 7．直线1:1l ax y +=和直线21l x ay +=：是平行直线，则实数a =________．【解析】由题意得21a =，解得1a =±，检验得1a =-.8．已知P 、Q 在不等式组002203260x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩所确定的区域内，则线段PQ 的长的最大值为______．9．()21,<1lg ,1x x f x x x ⎧-⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()()2f x f x -≤的解集为_______．【解析】因为()21,<1lg ,1x x f x x x ⎧-⎪=⎨-≥⎪⎩，所以()f x 是偶函数，且在()0,+∞上单调递减，则()()2f x f x -≤等价于()()2fx f x -≤，所以|2|||x x ->，所以22(2)x x ->，解得1x <，故解集为(),1-∞.10．若()1nx -的二项展开式中，存在相邻两项，满足后一项的系数是前一项系数的2倍，12020n ≤≤，则这样的正整数n 有________个．【解析】由题意得12k n k n C C -=对1k n ≤≤有解，即!(1)!(1)!2!()!!n k n k k n k n --+⋅=-有解， 即12n k k-+=有解，所以31n k =-，又12020n ≤≤， 所以1312020k ≤-≤，解得220212673333k ≤≤=+，所以k 有673个取值， 所以这样的正整数n 有673个.11．若正实数x ，y 满足22x y xy +=，且不等式()210x y a xy +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____．【解析】因为22x y xy +=，所以222xy x y xy =+≥≥， 又()210x y a xy +-+≥恒成立，所以1122x y a a xy xy xy+-≥-⇒≤+恒成立， 当2xy =时，12xy xy +取得最小值92，所以实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.12．ABC ∆内角和我们可以这样理解：一根可自由伸缩的棍子（不考虑它的长度，棍子的一端有箭头），从状态1（与AB 重合）绕点A 逆时针旋转大小为A ∠的旋转量到状态2（与AC 重合），再绕点C 逆时针旋转大小为C ∠旋转量到状态3（与CB 重合），最后绕点B逆时针旋转大小为B ∠的旋转量变为状态4，棍子回到了与AB 重合的状态，棍子逆时针转了半圈（棍子两端已互换），因此得到旋转量之和180A B C ∠+∠+∠=︒．给出下列多边形中的8个角：12,...,8∠∠⋯∠，（如图标注），根据你对上述阅读材料的理解，请你建立这8个角的一个等量关系，则等式为___________．【解析】连接,DF HF ，则六边形ABCDFH 的内角和为00(62)180720-⋅=， 所以()()12341805618078720∠+∠+∠+∠+-∠+∠+-∠+∠=， 所以012345678360∠+∠+∠+∠-∠+∠-∠+∠=.二、选择题：（共4小题，每题5分，满分20分）13．对于实数x 、y ，“220x y +=”是“0xy =”的（ A ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 14．现有7名队员，3名老队员（2男1女）和4名新队员（1男3女），从中选出1男2女队员参加辩论比赛．要求其中有且仅有1名老队员，则不同的选法有（ B ） A ．8种 B ．9种 C ．10种 D ．11种【解析】若1男为老队员，则有12236C C =种，若2女中1人为老队员，则有1111133C C C =种所以不同的选法有9种，故选B.15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，则4AF BF +的最小值为（ B ）A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则()1212||4||14145AF BF x x x x +=+++=++， 设直线AB 的方程为1x ky =+，由214x ky y x=+⎧⎨=⎩得2440y ky --=， 所以124y y =-，所以()12122116y y x x ==，所以12||4||4559AF BF x x +=++≥=，故选B.16．棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -，在11ADD A 装上一块玻璃（不计玻璃厚度），E 为线段1AD 上一点，12AE ED =，从1B 处射出一光线经玻璃反射（反射点为E ）到达平面11CDD C 上某点P ，则PE 的长为（ B ）A B C D ．【解析】如图，EE '是侧面的法线，所以反射光线与1B E 对称，1113,C E B E C F E F =='''===1B E EG ===，所以PE B.三、解答题：（共5题，满分76分）17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）已知函数()f x =的定义域为集合A ，集合624x B xx -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．（1）若0a =，求A B ；（2）若RA B ⊆，求实数a 的取值范围．【解析】（1）(][),13,A =-∞+∞ （2分）24B =（，）． （5分） 所以[)34A B =， （7分）（2）(][)24,RB =-∞+∞， （9分）(][),3,A a a =-∞++∞ （11分）所以234a a ≤⎧⎨+≥⎩ （13分）所以[]1,2a ∈ （14分）18．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分） 已知()()()()21cos302f x x x ωωω=+->的周期为π． （1）将()y f x =化为()()sin 0002A mx n A m n π+>>≤<，，形式； （2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且ABC ∆外接圆半径为1，2b c =，求边c 的大小． 【解析】（1）()sin 26f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（4分）2,12ππωω==， （6分）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （7分）（2）()sin 1,0,6A A ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，所以,623A A πππ+== （9分）22sin aR A==，所以3a = （11分）2222cos a b c bc A =+-，即222344cos 13c c c c π=+-=，． （14分） 19．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分） 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，AP PD ⊥，CD ⊥平面APD ．（1）求证：AP PC ⊥；（2）若24AB BC PA PC ===，，，求BP 与平面ADP 所成角的大小． 【解析】（1）因为CD ⊥平面PAD AP，平面PAD ，所以CD AP ⊥ 又因为,AP PD PDCD D ⊥=，所以AP ⊥平面PCD ， 而PC平面PCD ，所以AP PC ⊥ （7分）（2）CD ⊥平面PAD ，AD平面PAD ，所以CD AD ⊥所以AC ==， （9分）而,PA PC PA PC =⊥，所以AP = （10分） //AB CD 且CD ⊥平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ， 所以APB ∠为直线BP 与平面APD 所成角， （12分）tan 5AB APB AP ∠== 所以直线BP 与平面APD所成角大小为 （14分） 20．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知在平面直角坐标系中，圆22:4O x y +=，桶圆()222:1024x y b b Γ+=<<．（1）若椭圆的焦距为2，求b 的值； （2）若过原点O 倾斜角为4π的直线1l 与椭圆和圆共4个点交点，从左至右分别记为A 、B、C 、D ，若AB BC CD ==，求b 的值；（3）若1b =，直线2:l x my n =+与椭圆Γ有且仅有一个公共点，2l 交圆O 于点E 、F ，求EFO ∆的面积S 的最大值．【解析】（1）2,b == （4分）（2）3AD BC =，即43BC =（5分） 22214y x y x b=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22244b x b =+ （7分）43BC ===，整理得2417b =，所以17b =（10分） （3）由2214x my n y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222148410m y mny n +++-=，()()2222164164110m n m n ∆=-+-=，化简得2214n m =+． （12分） 设()11,E x y 、()22,F x y ,11221221 1111220 0 1x y S x y x y x y ==-()()1221121122my n y my n y n y y =+-+=-， 224x my nx y =+⎧⎨+=⎩，()()2221240m y mny n +++-=， 20∆>恒成立，12221222141mn y y m n y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 于是1221y y m -==+，14S ===+ (15分)于是223,141,3S n m n n n n==+≥+≥+所以2S ≤，面积的最大值为2 （16分）21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 己知数列{}n a 是非零数列．（1）若2141063n n n a a a a +-=>=，，，求1a ；（2）若212121,,1n n n a a a a a a a ++-===+，证明：{}n a 是等差数列；（3）若121,1n n n n a a a a +++=≠，证明()()()121111n n n n a a a a +++---为常值；并在12a a a b ==、（a 、b 为常数）时，求()()()()12320201111a a a a ---⋯-的值．【解析】（1）3218,3,2a a a ====== （4分）（2）法一：猜测11n n a a +-=． （6分）用数学归纳法证明： ①1n =时，显然结论成立；②假设n k =时结论成立，即11k k a a +=+成立 当1n k =+时，()22121112k k k k k ka a a a a a +++--===+，所以211k k a a ++=+即1n k =+时结论成立由①②得n N *∈时11k n a a +-=，所以{}n a 是等差数列． （10分）法二：223112a a a a -==+，所以1322a a a += （6分）22121131,1n n n n n n a a a a a a +++++-=-=，所以2212113n n n n n n a a a a a a +++++-=-，整理得()()11322n n n n n n a a a a a a ++++++=+，即13221n n n n n n a a a a a a +++++++=，于是数列21n n n a a a ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是常值数列，所以213122n n n a a a a a a ++++== （9分） 即212n n n a a a +++=，所以{}n a 是等差数列 （10分）法三：223112a a a a -==+，猜测1n a a n =+- （6分） 用数学归纳法证明：①1n =和2n =时，显然结论成立；②假设2n k k ≤≥（）时结论成立，得到12k a a k -=+-和1k a a k =+-成立 当1n k =+时，()22111112k k k a k a a a k a a k +-+---===++-．即1n k =+时结论成立由①②得：n N *∈时，1n a a n =+-成立， （9分）此时11n n a a +-=，所以{}n a 是等差数列． （10分） （3）法一：121n n n a a a +++=，所以2131n n n a a a ++++=，得到12213n n n n n n a a a a a a ++++++=+，整理得()()21311n n n n a a a a +++-=- （12分）()()()()()()()()1233211221111111111n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++++++----=⋅=----，()()()121111n n n n a a a a +++---为常值．（14分）法二：121n n n a a a +++=，所以2131n n n a a a ++++=， 得到12213n n n n n n a a a a a a ++++++=+整理得到()()21311n n n n a a a a +++-=- （12分）即32111n n n n a a a a +++-=-得到：53324412231111111n n n n a a a a a a a a a a a a +++---⋅⋅⋯⋅=⋅⋅⋯⋅--- ()()()()()()12321232111111n n n n a a a a a a a a ++++---=---，得()()()()()()12312322111111n n n n a a a a a a a a ++++------=所以()()()121111n n n n a a a a +++---为常值 （14分）()()()()()()121233*********,n n n n a a a a a a b a a a a +++-------==()()()111a b a b ab----=（15分）所以()()()()()()1223413111111n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++------⋅()()()22222111a a a b a b ----=1321n n n a a a +++=-，()()()()()()()()22212342211111111n n n n n a a a b a a a a a a b ++++---------=（17分）所以()()()()12320201111a a a a ---⋯-()()()()()()()()()1256710201620172020111111111a a a a a a a a a =--⋯---⋯-⋯--⋯-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()808808808808808111a b a b a b ----=（18分）【注】第3小题也可以直接证明数列最小正周期为5，如下证明：121n n n a a a +++=，所以11212311111111,n n n n nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++++++----+-====，()131114121111111111n n n n n n n n n nn n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++++-----+-====--，4151311111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++---===+-，所以{}n a 是最小正周期为5的数列．。
2020-2021学年上海市宝山区行知中学高一(下)月考数学试卷(3月份)(附答案详解)
2020-2021学年上海市宝山区行知中学高一（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.与命题“函数y=√ax2+bx+c的定义域为R”等价的命题不是()A. 不等式ax2+bx+c≥0对任意实数恒成立B. 不存在x0∈R，使ax02+bx0+c<0C. 函数y=ax2+bx+c的值域是[0,+∞)的子集D. 函数y=ax2+bx+c的最小值大于02.直角△POB中，∠PBO=90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若弧AB等分△POB的面积，且∠AOB=α弧度，则()A. tanα=αB. tanα=2αC. sinα=2cosαD. 2sinα=cosα3.若log2x=1+sinα(α∈R)，则函数y=(12)x2−4x+3的值域为()A. [18,1] B. [1,2] C. [18,2] D. [2,+∞)4.关于x的方程(x2−1)2−|x2−1|+k=0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共10小题，共50.0分）5.若α∈(0,π)，且角α的终边与角5α的终边相同，则α=______．6.已知θ=arcsin1517，则tan(π−θ)=______．7.若x∈{y|y=x2−2x+3,x∈R}，则1x+1的取值范围是______．8.已知lg4=2a，lg17=−b，则log898=______．9. 若5sin 2x +√3sinx ⋅cosx +6cos 2x +m 能写成Asin(ωx +φ)的形式，则常数m =______．10. 已知x >0，y >0，且2x +1y =1，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是______．11. 已知函数f(x)={(2a −3)x +1x <1a xx ≥1(a >0,a ≠1)是R 上的严格增函数，则a 的取值范围是______．12. 定义在[−2,2]上的偶函数f(x)在[0,2]上严格减函数，且f(a)>f(1−a)，则a 的取值范围是______．13. 已知函数f(x)定义域为x ∈[−1,1]且为奇函数．当x ∈[−1,0)时，f(x)=14x −12x ，则f(x)在x ∈[−1,1]上的值域为______．14. 已知x,y ∈[−π4,π4],a ∈R ，且{x 3+sinx −2a =04y 3+12sin2y +a =0，则cos(x +2y)=______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）15. 已知α，β都是锐角，sinα=45，cos(α+β)=513，求sinβ的值．16. 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(−35,45)． (1)求sin2α+cos2α+11+tanα的值；(2)已知OP ⊥OQ ，求sin(α+β)．17.如图所示，南山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC=120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC=160°；从D处再攀登800米方到达C处．问索道AC 长多少(精确到米)？(a>0)18.已知函数f(x)=x−aax(1)判断并证明y=f(x)在x∈(0,+∞)上的单调性；(2)若存在x0，使f(x0)=x0，则称x0为函数f(x)的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a的值，并求出不动点x0；(3)若f(x)<2x在x∈(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．19.对于函数f(x)，若其定义域内存在实数x满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“伪奇函数”．(1)已知函数f(x)=x−2，试问f(x)是否为“伪奇函数”？说明理由；x+1(2)若幂函数g(x)=(n−1)x3−n(n∈R)使得f(x)=2g(x)+m为定义在[−1,1]上的“伪奇函数”，试求实数m的取值范围；(3)是否存在实数m，使得f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−3是定义在R上的“伪奇函数”，若存在，试求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：函数的定义域为R ，则不等式ax 2+bx +c ≥0对任意实数恒成立，即不存在x 0∈R ，使ax 02+bx 0+c <0或者函数y =ax 2+bx +c 的值域是[0,+∞)的子集．故不等价的命题为D ． 故选：D ．利用等价命题的定义去判断．本题主要考查不等式恒成立的等价条件的判断，比较综合．2.【答案】B【解析】解：设扇形的半径为r ，则扇形的面积为12 α r 2，直角三角形POB 中，PB =rtanα， △POB 的面积为12r ×rtanα，由题意得 12r ×rtanα=2×12 α r 2， ∴tanα=2α， 故选B ．设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高PB ，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出tanα与α的关系． 本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用．3.【答案】C【解析】解：∵log 2x =1+sinα， ∴1≤x ≤4，∵x 2−4x +3=(x −2)2−1， ∴−1≤x 2−4x +3≤3 ∴函数y =(12)x 2−4x+3的值域为：[18,2]故选：C ．先利用正弦函数的值域结合对数函数的性质得出x 的范围，再利用配方法求出指数的取值范围，然后根据指数函数的单调性求出值域即可．本题主要考查了指数型复合函数的性质及应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想．将方程的问题转化成函数图象的问题，画出图象，求出k 的特殊值，判断选项即可． 【解答】解：方程(x 2−1)2−|x 2−1|+k =0⇔方程k =−(x 2−1)2+|x 2−1|， 令f(x)=−(x 2−1)2+|x 2−1|， 当x ≥1或x ≤−1时，f(x)=−(x 2−1)2+(x 2−1)=−(x 2−1)(x 2−2)=−(x +1)(x −1)(x −√2)(x +√2)， 可以看出函数在此区域内有四个零点， 也可以这样变形，f(x)=−(x 2−32)2+14，可以看出，在此区域内，x =±√62时，函数值最大为14，当−1<x <1时，f(x)=−(x 2−1)2−(x 2−1)=−x 4+x 2=−x 2(x −1)(x +1)， 由此可以看出，在此区域内，函数只有一个零点， 也可以这样变形，f(x)=−(x 2−12)2+14，可以看出，在此区域内，x =±√22时，函数值最大为14，在同一坐标系中，画出y =k 和f(x)=−(x 2−1)2+|x 2−1|图象，结合图象可得：①当k <0时，y =k 的图象和y =f(x)的图象有两个交点，故方程的实根个数为2；故①正确；②当k =14时，y =k 的图象和y =f(x)的图象有四个交点，方程恰有4个不同的实根±√62、±√22，故②正确； ③当k =0时，y =k 的图象和y =f(x)的图象有五个交点，方程恰有5个不同的实根解为−1，+1，±√2，0，故③正确；④当0<k <14时，y =k 的图象和y =f(x)的图象有八个交点，方程恰有8个不同的实根，故④正确．①②③④全都正确，没有假命题． 故选A ．5.【答案】π2【解析】解：∵与α终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ,k ∈Z}.角α的终边与角5α的终边相同，∴5α=α+2kπ，α∈(0,π)，∴α=kπ2，可得k =1，α=π2． 故答案为：π2．写出与α终边相同的角的集合，列出方程求解即可．本题考查了终边相同的角的集合的写法，是基础的会考题型．6.【答案】−158【解析】解：∵θ=arcsin 1517，∴θ为锐角，且sinθ=1517， ∴cosθ=√1−sin 2θ=817，则tan(π−θ)=−tanθ=−sinθcosθ=−158， 故答案为：−158．由题意利用正弦函数的定义和性质，求得θ的正弦值、余弦值，再利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，计算求得结果．本题主要考查反正弦函数的定义和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．7.【答案】(0,13]【解析】解：∵x∈{y|y=x2−2x+3,x∈R}，∴x∈[2,+∞)，∴x+1∈[3,+∞)，∴1x+1∈(0,13]，故答案为：(0,13].先求出二次函数的值域即x的范围，再求出1x+1的范围即可．本题考查了二次函数值域的求法，属于基础题．8.【答案】a+2b3a【解析】解：因为lg4=2a，lg17=−b，所以lg2=a，lg7=b，则log898=lg98lg8=lg(2×72)lg23=lg2+2lg73lg2=a+2b3a．故答案为：a+2b3a．先将已知的两个等式进行化简变形，得到lg2和lg7的值，再利用对数的运算性质以及换底公式进行化简求值即可．本题考查了对数的运算求值问题，主要考查了对数的运算性质以及运算法则的应用，换底公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．9.【答案】−115【解析】解：5sin2x+√3sinx⋅cosx+6cos2x+m=5+√32sin2x+1+cos2x2+m=sin(2x+π6)+115+m，当m =−115时，函数的关系式为sin(2x +π6)，满足Asin(ωx +φ)的形式， 故答案为：−115．直接利用三角函数的关系式的变换和倍角公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】{m|−4<m <2}【解析】 【分析】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．先把x +2y 转化为(x +2y)(2x +1y )，展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x +2y >m 2+2m 得m 2+2m <8，进而求得m 的范围． 【解答】 解：∵2x +1y =1，∴x +2y =(x +2y)(2x +1y)=4+4y x +xy ≥4+2√4=8，∵x +2y >m 2+2m 恒成立， ∴m 2+2m <8，求得−4<m <2． 故答案为：{m|−4<m <2}．11.【答案】(32,2]【解析】解：根据题意，函数f(x)={(2a −3)x +1x <1a xx ≥1(a >0,a ≠1)是R 上的严格增函数，必有{2a −3>0a >1(2a −3)+1≤a ，解可得32<a ≤2，即a 的取值范围为(32,2]； 故答案为：(32,2]．根据题意，由函数单调性的定义可得{2a −3>0a >1(2a −3)+1≤a ，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数单调性的定义，属于基础题．12.【答案】[−1,12)【解析】解：∵函数f(x)是偶函数， ∴f(a)=f(|a|)，f(1−a)=f(|1−a|)，∵定义在[−2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上严格减函数，且f(a)>f(1−a)， ∴0≤|a|<|1−a|≤2，解得−1≤a <12，即a 的取值范围是[−1,12). 故答案为：[−1,12).结合函数的奇偶性与单调性，将不等式转化为0≤|a|<|1−a|≤2，即可求解a 的取值范围．本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．13.【答案】[−2,2]【解析】解：当x ∈[−1,0)时，12x ∈(1,2]，f(x)=14x −12x =(12x −12)2−14∈(0,2]， ∵函数f(x)是奇函数，∴当x ∈(0,1]时，f(x)∈[−2,0)， 又f(0)=0．∴f(x)在x ∈[−1,1]上的值域为[−2,2]． 故答案为：[−2,2]．当x ∈[−1,0)时，12x ∈(1,2]，f(x)=14x −12x =(12x −12)2−14∈(0,2]，由于函数f(x)是奇函数，可得当x ∈(0,1]时，f(x)∈[−2,0)，又f(0)=0.即可得出． 本题考查了函数奇偶性求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.【答案】1【解析】解：设f(u)=u 3+sinu ． 由①式得f(x)=2a ，由②式得 f(2y)=−2a ．因为f(u)在区间[−π4,π4]上是单调增函数，并且是奇函数， ∴f(x)=−f(2y)=f(−2y)． ∴x =−2y ，即x +2y =0． ∴cos(x +2y)=1． 故答案为：1．设f(u)=u 3+sinu.根据题设等式可知f(x)=2a ，f(2y)=−2a ，进而根据函数的奇偶性，求得f(x)=−f(2y)=f(−2y).进而推断出x +2y =0.进而求得cos(x +2y)=1． 本题主要考查了利用函数思想解决实际问题．考查了学生运用函数的思想，转化和化归的思想．15.【答案】解：∵0<α<π2,0<β<π2，sinα=45,cos(α+β)=513，∴0<α+β<π，cosα=√1−sin 2α=√1−1625=35， sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=√1−25169=1213， ∴sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=1213×35−513×45=1665．【解析】由α，β都是锐角，得出α+β的范围，由sinα和cos(α+β)的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出cosα和sin(α+β)的值，然后把所求式子的角β变为(α+β)−α，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值． 此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．16.【答案】解：(1)由三角函数的定义可得，cosα=−35,sinα=45，则sin2α+cos2α+11+tanα=2sinαcosα+2cos 2α1+sinαcosα=2cosα(sinα+cosα)sinα+cosαcosα=2cos 2α=2×(−34)2=1825；(2)因为OP ⊥OQ ，则α−β=π2，所以β=α−π2，则sinβ=sin(α−π2)=−cosα=35，cosβ=cos(α−π2)=sinα=45，所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=45×45+(−35)×35=725．【解析】(1)利用三角函数的定义、二倍角公式、同角三角函数关系式求解即可；(2)利用垂直关系得到β=α−π2，然后由诱导公式求出sinβ，cosβ，再利用两角和的正弦公式求解即可．本题考查了三角函数的定义、二倍角公式、同角三角函数关系式、诱导公式以及两角和差公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：在△ABC中，BD=400，∠ABD=120°，∵∠ADB=20°∴∠DAB=40°∵BDsin∠DAB =ADsin∠ABD(2分)∴400sin40∘=ADsin120∘，得AD≈538.9(7分)在△ADC中，DC=800，∠ADC=160°∴AC2=AD2+DC2−2AD⋅DC⋅cos∠ADC(9分)=538.92+8002−2×538.9×800×cos160°=1740653.8得AC≈1319(米)(14分)则索道AC长约为1319米．(15分)【解析】在△ABC中，由BD=400，∠ABD=120°，可得∠ADB=20°，∠DAB=40°，由正弦定理BDsin∠DAB =ADsin∠ABD可求AD，然后在△ADC中，由DC=800，∠ADC=160，结合余弦定理AC2=AD2+DC2−2AD⋅DC⋅cos∠ADC可求AC本题主要考查了利用正弦定理及余弦定理解决实际问题，其关键是要根据已知把实际问题转化为数学问题，结合数学知识选择合适的定理、公理、公式进行求解．18.【答案】解：(1)f(x)=1a −1x对任意的x1，x2∈(0,+∞)且x1>x2f(x 1)−f(x 2)=(1a −1x 1)−(1a−1x 2)=x 1−x 2x 1x 2∵x1>x2>0∴x1−x2>0，x1x2>0∴f(x1)−f(x2)>0，函数y=f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增．(2)解：令x=x−aax⇒ax2−x+a=0，令△=1−4a2=0⇒a=12(负值舍去)将a=12代入ax2−x+a=0得12x2−x+12=0⇒x2−2x+1=0∴x0=1(3)∵f(x)<2x∴1a <2x+1x∵x>0∴2x+1x ≥2√2(等号成立当x=√22)∴1a <(2x+1x) min=2√2⇒a>√24∴a的取值范围是(√24,+∞)【解析】(1)先对函数的表达式进行化简，然后根据函数单调性的定义进行判断．(2)令x=x−aax转化为二次函数，根据该函数有且仅有一个不动点，令判别式等于0即可求出a的值．(3)将函数解析式代入f(x)<2x中，整理为1a <2x+1x，在根据基本不等式的知识求出y=2x+1x 的最小值，令此最小值大于1a，即可求出a的范围．本题主要考查函数单调性的定义和基本不等式的应用．考查计算能力和综合运用能力．19.【答案】解：(1)因为f(x)=x−2x+1，则f(−x)=−x−2−x+1=−x+21−x=x+2x−1，则f(−x)+f(x)=x−2x+1+x+2x+1=x2+4(x+1)(x−1)，因为x2+4≥4恒成立，故不存在x 使得f(−x)+f(x)=0， 即不存在x 使得f(−x)=−f(x)， 所以f(x)不是“伪奇函数”； (2)因为g(x)=(n −1)x 3−n 是幂函数， 则n −1=1，所以n =2， 故g(x)=(n −1)x 3−n =x ， 所以f(x)=2g(x)+m =2x +m ， 则f(−x)=2−x +m ，所以f(−x)+f(x)=2x +2−x +2m =0，因为x ∈[−1,1]， 所以2x +2−x +2m =0在x ∈[−1,1]上有解， 则m =−12(2x +2−x ),x ∈[−1,1]， 因为2x ∈[12,2]，则y =2x +12x 在[−1,0]上单调递减，在[0,2]上单调递增， 所以当x =0时，函数y =2x +12x 取得最小值2， 又当x =−1和x =2时，y =52， 所以y ∈[2,52]，故m =−12(2x +12x )∈[−54,−1]， 所以实数m 的取值范围为[−54,−1]； (3)由定义可得，f(−x)+f(x)=0， 则4x +4−x −2m(2x +2−x )+2m 2−6=0，所以(2x +2−x )2−2m(2x +2−x )+2m 2−8=0有解， 令t =2x +2−x ，则t ∈[2,+∞)，则方程t 2−2mt +2m 2−8=0在[2,+∞)上有解， 令ℎ(t)=t 2−2mt +2m 2−8，t ∈[2,+∞)， 对称轴为t =m ，①当m ≥2时，则△=4m 2−4(2m 2−8)≥0，所以−2√2≤m ≤2√2， 故2≤m ≤2√2；②当m <2时，则{m <2g(2)≤0△≥0，即{m <21−√3≤m ≤1+√3−2√2≤m ≤2√2，故1−√3≤m<2．综上所述，实数m的取值范围为[1−√3,2√2]．【解析】(1)求出f(x)+f(−x)，因为不存在x使得f(−x)+f(x)=0，即可判断得到答案；(2)利用幂函数的定义求出n，从而得到f(x)的解析式，由定义可知，2x+2−x+2m=0的值域，在x∈[−1,1]上有解，然后利用参变量分离，将问题转化为求解函数y=2x+12x即可得到答案；(3)由定义，将问题转化为(2x+2−x)2−2m(2x+2−x)+2m2−8=0有解，令t=2x+ 2−x，则t∈[2,+∞)，构造ℎ(t)=t2−2mt+2m2−8，t∈[2,+∞)，利用二次函数的性质，列式求解即可．本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．。
2021年高三数学第二学期3月月考试卷 理(含解析)
2021年高三数学第二学期3月月考试卷理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（） A． [0，2] B．（1，3） C． [1，3） D．（1，4）2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B． 5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p ∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（） A． y= B． y=e﹣x C． y=﹣x2+1 D． y=lg|x|5．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A． 2 B． C． 0 D．﹣6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α与β相交，且交线平行于l B．α与β相交，且交线垂直于lC．α∥β，且l∥α D．α⊥β，且l⊥β7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 38．已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1（0，1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n∈N*）．若点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的变化关系为：（n∈N*），则|P xx P xx|等于（）A． 21004 B． 21005 C． 21006 D． 21007二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为．10．若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是．11．若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a= ．12．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．13．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω：，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为．14．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsin θ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为．15．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB= ．三、解答题16．已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．17．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：x i（月） 1 2 3 4 5y i（千克） 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）18．已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n•a n+1，n∈N*，其中a1=1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．20．已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1．（1）在抛物线C1上取点M，C2的圆周取一点N，求|MN|的最小值；（2）设P（x0，y0）（2≤x0≤4）为抛物线C1上的动点，过P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点．求AB的中点D的横坐标的取值范围．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：m、n∈N+时，m（m+n）[+++…+]＞n．xx学年广东省阳江市阳东县广雅学校高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A． [0，2] B．（1，3） C． [1，3） D．（1，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B． 5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．解答：解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p ∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，故选：C．点评：本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A． y= B． y=e﹣x C． y=﹣x2+1 D． y=lg|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D 在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．解答：解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，故选：C．点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．5．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A． 2 B． C． 0 D．﹣考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．解答：解：由题意可得cos===，解得 m=，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α与β相交，且交线平行于l B．α与β相交，且交线垂直于lC．α∥β，且l∥α D．α⊥β，且l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选：A．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．解答：解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．8．已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1（0，1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n∈N*）．若点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的变化关系为：（n∈N*），则|P xx P xx|等于（）A． 21004 B． 21005 C． 21006 D． 21007考点：数列递推式．专题：推理和证明．分析：由题设知P1（0，1），P2（1，1），P3（0，2），P4（2，2），P5（0，4），…，寻找其规律，即可求出|P xx P xx|．解答：解：由题设知P1（0，1），P2（1，1），P3（0，2），P4（2，2），P5（0，4），…∴|P1P2|=1，|P2P3|=，|P3P4|=2，|P4P5|=，…，∴|P xx P xx|=21006．故答案为：21006．点评：本题考查合情推理，考查学生对新定义的理解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞} ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：由不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0⇔不等式|2x+1|＞2|x﹣1|⇔（2x+1）2＞4（x﹣1）2即可求得答案．解答：解：∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0，∴|2x+1|＞2|x﹣1|≥0，∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2，∴x＞．∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}．故答案为：{x|x＞}．点评：本题考查绝对值不等式的解法，将不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0转化为（2x+1）2＞4（x﹣1）2是关键，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题．10．若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．解答：解：设P（x，y），则y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．点评：本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．11．若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a= ．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得2b=2+9，解之可得b值，再由等差中项可得a，c的值，作差即可得答案．解答：解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=，又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，同理可得2c=9+=，解得c=，故c﹣a=﹣==故答案为：点评：本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题．12．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96 ．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．解答：解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．点评：本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．13．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω：，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为37 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据圆与x轴相切，得到b=1，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行判断即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：∵圆与x轴相切，∴由图象知b=1，即圆心在直线y=1上，若a2+b2最大，则只需要|a|最大即可，由图象知当C位于直线y=1与x+y﹣7=0的交点时，|a|最大，此时两直线的交点坐标为（6，1），此时a=6，故a2+b2的最大值为62+12=37，故答案为：37点评：本题主要考查线性规划的应用，利用圆和x轴相切，求出b，以及数形结合是解决本题的关键．14．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsin θ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1）．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标．解答：解：曲线C1：ρsin2θ=cosθ，即为ρ2sin2θ=ρcosθ，化为普通方程为：y2=x，曲线ρsinθ=1，化为普通方程为：y=1，联立，即交点的直角坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）．点评：本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题15．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB= 5 ．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：利用相交弦定理得出DE=，再利用△DFE∽△DEB，得出DF•DB=DE2=5．解答：解：∵AB=6，AE=1，∴EB=5，OE=2．连接AD，则△AED∽△DEB，∴=，∴DE=．又△DFE∽△DEB，∴=，即DF•DB=DE2=5．故答案为：5点评：此题考查了垂径定理、直角三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握垂径定理与直角三角形中的射影定理．三、解答题16．已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质．专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f（）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．17．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：x i（月） 1 2 3 4 5y i（千克） 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）利用所给数据，可得散点图；（2）利用公式，计算回归系数，即可得到回归方程；（3）x=12代入回归方程，即可得到结论．解答：解：（1）散点图如图所示…（3分）（2）由题设=3，=1.6，…（4分）∴===0.58，a=﹣=﹣0.14…（9分）故回归直线方程为y=0.58x﹣0.14…（10分）（3）当x=12时，y=0.58×12﹣0.14=6.82…（11分）饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为6.82千克．…（12分）点评：本题考查回归分析的初步运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取A1D中点G，并连接FG，EG，能够说明四边形BFGE为平行四边形，从而根据线面平行的判定定理即可得出BF∥面A1DE；（2）先根据已知的边、角值说明△A1DE为等边三角形，然后取DE中点H，连接CH，从而得到A1H⊥DE，根据已知的边角值求出A1H，CH，得出，从而得到A1H⊥CH，从而根据线面垂直及面面垂直的判定定理即可证出面A1DE⊥面DEBC；（3）过H作HO⊥DC，垂足为O，并连接A1O，容易说明DC⊥面A1HO，从而得出∠A1OH为二面角A1﹣DC﹣E的平面角，能够求出HO，从而求出tan∠A1OH，即求出了二面角A1﹣DC﹣E 的正切值．解答：解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE；F为A1C中点；∴GF∥DC，且；∴四边形BFGE是平行四边形；∴BF∥EG，EG⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE；∴BF∥平面A1DE；（2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH；AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点；∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形；∴A1H⊥DE，且；在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；根据余弦定理，可得：HC2=1+16﹣4=13，在△A1HC中，，，A1C=4；∴，即A1H⊥HC，DE∩HC=H；∴A1H⊥面DEBC；又A1H⊂面A1DE；∴面A1DE⊥面DEBC；（3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O；A1H⊥面DEBC；∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H；∴DC⊥面A1HO；∴DC⊥A1O，DC⊥HO；∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角；在Rt△A1HO中，，；故tan；所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2．点评：考查中位线的性质，平行四边形的概念，线面平行的判定定理，能根据折叠前图形的边角值得到折叠后对应的边角值，直角三角形边的关系，线面垂直、面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定义及求法．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n•a n+1，n∈N*，其中a1=1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．考点：数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）令n=1，得，由a1=1，得a2=2．当n≥2时，推导出，由此利用累乘法能求出a n=n．（2）由b n====＜，利用放缩法和不等式的性质能证明T n＜．解答：（1）解：∵S n=n•a n+1，n∈N*，∴令n=1，得，由已知a1=1，得a2=2．…（1分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，即，即得：，n≥2，…（4分）∴，n≥3，即，n≥3，…（6分）又∵a2=2，∴a n=n，又∵a1=1，∴a n=n，n∈N*．…（7分）（2）证明：∵a n=n，∴b n====＜，…（11分）∴T n=b1+b2+…+b n＜=（）==，∴T n＜．…（14分）点评：本题考查数列的通项公式和不等式的证明，解题时要认真审题，注意累乘法和放缩法的合理运用．20．已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1．（1）在抛物线C1上取点M，C2的圆周取一点N，求|MN|的最小值；（2）设P（x0，y0）（2≤x0≤4）为抛物线C1上的动点，过P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点．求AB的中点D的横坐标的取值范围．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出M的坐标，由圆C2：x2+（y﹣4）2=1可知圆心C2（0，4），写出|MC2|，利用配方法求其最小值，则|MN|的最小值为|MC2|的最小值减去圆的半径；（2）设出P，A，B的坐标，再设过点P的圆C2的切线方程为y﹣x02=k（x﹣x0），由点到直线的距离公式得到方程，则其两根为PA，PB的斜率，利用根与系数关系得到其两根和，再把y﹣x02=k（x﹣x0）代入y=x2得，，结合x0是此方程的根得到x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0，然后把AB的中点D的横坐标x用含有x0的代数式表示，再利用单调性结合x0的范围求得AB的中点D的横坐标的取值范围．解答：解：（1）设M（x，y），由圆C2：x2+（y﹣4）2=1可知圆心C2（0，4），则|MC2|===．当且仅当M（）时取“=”，∴|MN|的最小值为；（2）设P（x0，），，再设过点P的圆C2的切线方程为y﹣x02=k（x﹣x0），①则，即，设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2是上述方程的两根，∴，，将①代入y=x2得，，由于x0是此方程的根，故x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0，∴AB的中点D的横坐标x===．∵y=是[2，4]上的减函数，且2≤x0≤4，∴y∈，则x．点评：本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题，其中涉及到直线与圆相切的问题，考查了学生的逻辑思维能力和运算能力，是压轴题．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：m、n∈N+时，m（m+n）[+++…+]＞n．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意先求函数的定义域，再求导f′（x）=+x﹣（1+a）=，从而讨论导数的正负以确定函数的单调性；（2）由（2）知，当a=﹣时，f（x）=﹣lnx+x2﹣x≥0；当且仅当x=1时，等号成立；从而可化出当＞1时，＞﹣；从而证明．解答：解：（1）f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=+x﹣（1+a）=；①当a=1时，f′（x）≥0，f（x）在定义域上是增函数；②当a＞1时，1＜x＜a时，f′（x）＜0，0＜x＜1或x＞a时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（1，a）；单调增区间为（0，1），（a，+∞）；③当0＜a＜1时，a＜x＜1，f′（x）＜0，0＜x＜a或x＞1时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（a，1）；单调增区间为（0，a），（1，+∞）；④当a＜0时，0＜x＜1，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（0，1）；单调增区间为（1，+∞）；（2）证明：由（1）知，当a=﹣时，f（x）=﹣lnx+x2﹣x≥0；当且仅当x=1时，等号成立；即lnx≤x2﹣x，当＞1时，＞﹣；故+++…+＞﹣+﹣+…+﹣=﹣=；故m（m+n）[+++…+]＞n．点评：本题考查了导数的综合应用及构造函数证明不等式的方法应用，属于中档题．37577 92C9 鋉#828647 6FE7 濧-4+40618 9EAA 麪37130 910A 鄊I24990 619E 憞31688 7BC8 篈 21141 5295 劕。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三、解答题
17．如图，在三棱锥 中， ， ， 为 中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若点 是棱 的中点，求异面直线 与 的夹角.
18．已知 ， ，满足 ．
(1)将 表示为 的函数 ，并求 的最小正周期；
(2)已知 分别为 的三个内角 对应的边长， 的最大值是 ，且 ，求 的取值范围．
上海市行知中学2020-2021学年高三下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题பைடு நூலகம்
1．若复数 满足 （ 为虚数单位），则 ____________.
2．函数 不经过第_________象限.
3．已知“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是_________.
【详解】
设点 的坐标为 ，
则 ，当 ， 取最小值 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查参数方程的应用，同时也考查了二倍角正弦公式以及二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中等题.
8．
【分析】
计算出函数 的解析式为 ， ，可转化为关于 的二次不等式 对任意的 恒成立，再由 可求出实数 的取值范围.
4．
【分析】
分两种情况讨论，两男一女和两女一男，然后利用分类计算原理可得出选取的方法种数.
【详解】
由题意可知，所选的 人中应为两男一女和两女一男，由分类计数原理可知，不同的选取方式的种数为 .
故答案为 .
【点睛】
本题考分类计数原理的应用，对问题合理进行分类讨论是解题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ， 为 的上顶点， 为 上异于
上、下顶点的动点， 为x正半轴上的动点.
（1）若 在第一象限，且 ，求 的坐标；
（2）设 ，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若 ，直线AQ与 交于另一点C，且 ， ，
求直线 的方程.
21．设函数 .
4．在报名的 名男教师和 名女教师中，选取 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）.
5．设函数 ，若 对任意的实数 都成立，则 的最小值为__________．
6．如果已知极限 ，那么极限 =________.
7．已知 为曲线 （ 是参数， ）上一点，则点 到点 距离的最小值是_______.
12．设 是定义在R 且周期为1的函数，在区间 上， 其中集合 ，则方程 的解的个数是____________
二、单选题
13．若 ，且 ，则角 的终边位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
14．设集合 ， ，其中 ，下列说法正确的是（ ）
A．对任意 ， 是 的子集B．对任意 ， 不是 的子集
8．已知函数 ，若对任意的 ，函数 总有两个不同的零点，则实数 的取值范围是___________.
9．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则它的侧视图的面积为__________.
10．若实数 、 满足约束条件 ，且 的最小值是 ，则实数 ______.
11．在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，−1），P是曲线 上一个动点，则 的取值范围是_____________.
3．
【分析】
解出不等式 ，得出 或 ，由题意得出 ，由此可得出实数 的取值范围.
【详解】
解不等式 ，即 ，即 ，解得 或 .
由题意可得 ， .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用充分必要条件求参数，解题的关键就是利用充分必要性得出两集合的包含关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
（1）当 时，对于一切 ，函数 在区间 内总存在唯一零点，求 的取值范围；
（2）当 时，数列 的前 项和 ，若 是单调递增数列，求 的取值范围；
（3）当 ， 时，函数 在区间 内的零点为 ，判断数列 、 、 、 、 的增减性，并说明理由.
参考答案
1．
【分析】
将等式 变形得出 ，由此可得出复数 .
【详解】
C．存在 ，使得 不是 的子集D．存在 ，使得 是 的真子集
15．已知定义域为 的函数 ，则此函数图象上关于原点对称的点有（ ）
A． 对B． 对C． 对D． 对
16．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经 榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为 ，底面正方形的边长为 ，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）（容器壁的厚度忽略不计）
5．
【分析】
根据题意 取最大值 ，根据余弦函数取最大值条件解得 的表达式，进而确定其最小值.
【详解】
因为 对任意的实数x都成立，所以 取最大值 ，
所以 ，
因为 ，所以当 时， 取最小值为 .
【点睛】
函数 的性质
（1） .
（2）周期
（3）由 求对称轴，最大值对应自变量满足 ，最小值对应自变量满足 ，
（4）由 求增区间；由 求减区间.
， ，因此， .
故答案为 .
【点睛】
本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题.
2．二
【分析】
作出函数 的图象，即可得出结论.
【详解】
， ，则 ，作出函数 的图象如下图所示：
由图象可知，函数 的图象不经过第二象限.
故答案为二.
【点睛】
本题考查指数型函数图象的应用，作出函数的图象是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
6．
【分析】
在分式 的分子和分母中同时除以 ，然后利用题中的极限可计算出所求极限的值.
【详解】
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查极限的计算，对代数式进行合理变形是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
7．
【分析】
设点 的坐标为 ，然后利用两点间的距离公式、二倍角的正弦公式和二次函数的性质求出 的最小值.
19．某景区欲建两条圆形观景步道 （宽度忽略不计），如图所示，已知 ， （单位：米），要求圆M与 分别相切于点B，D，圆 与 分别相切于点C，D．
（1）若 ，求圆 的半径；（结果精确到0.1米）
（2）若观景步道 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当 多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）