上海市行知中学2020-2021学年高三下学期3月月考数学试题
高三月考数学试卷含解析
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(x)$的对称中心为（）。
A. $(0, 4)$B. $(1, 2)$C. $(2, 0)$D. $(3, 1)$2. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 + a_5 = 10$，$a_3 + a_4 = 12$，则$a_1$的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知圆$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$的半径为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数$y = \log_2(x - 1)$的图象与直线$y = 3x - 1$的交点个数为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 3i| = |z + 2|$，则$z$在复平面内的轨迹是（）。
B. 圆C. 直线D. 双曲线6. 在三角形ABC中，$AB = 4$，$AC = 6$，$BC = 8$，则$\cos A$的值为（）。
A. $\frac{1}{4}$B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{3}{4}$D. $\frac{5}{8}$7. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），若$f(-1) = 0$，$f(1) = 0$，则$f(0)$的值为（）。
A. $-a$B. $-b$C. $-c$D. $a$8. 若$|x - 1| + |x + 2| = 3$，则$x$的取值范围是（）。
A. $-2 \leq x \leq 1$B. $-2 < x < 1$C. $x \leq -2$ 或 $x \geq 1$D. $x > -2$ 且 $x < 1$9. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_n = 3n^2 - 2n$，则$a_5$的值为（）。
上海市2021高三数学下学期3月月考试题(含解析)
上海市南洋模范中学2021届高三数学下学期3月月考试题（含解析）一、填空题。
1.已知全集，若集合，则_________.【答案】【解析】【分析】求出集合A，即可求解∁U A【详解】全集U＝R，集合A＝{x|x＞1或x<0}则＝故答案为【点睛】本题考查集合的基本运算，补集的求法，分式不等式解法，准确计算是关键，是基础题．2.双曲线的焦距为__________.【答案】6【解析】【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，可得焦距2c的值．【详解】双曲线2x2﹣y2＝6即为1，可得a，b，c3，即焦距为2c＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，焦距的求法，注意将双曲线的方程化为标准方程，运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．3.已知二项展开式中的第五项系数为，则正实数_____.【答案】【解析】【分析】由二项式定理的通项公式可得：，解出即可得出．【详解】T5x﹣2，∴，a＞0．解得a．故答案为：．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，准确计算是关键，属于基础题．4.已知函数的图像与它的反函数的图像重合，则实数的值为___.【答案】-3【解析】【分析】先求反函数：y，利用函数f（x）（a）图象与它的反函数图象重合，即为同一个函数即可得出．【详解】由y（a），解得x（y≠3），把x与y互换可得：y，∵函数f（x）（a）图象与它的反函数图象重合，∴﹣a＝3，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了反函数的求法及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.设，满足约束条件，则目标函数的最大值为_____.【答案】14【解析】【分析】画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.6.从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为_____.【答案】【解析】【分析】将试验发生包含的事件（k，b）的所有可能的结果列举，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【详解】试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第三象限的概率P，故答案为．【点睛】本题考查古典概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于基础题．7.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的周长为___.【答案】24【解析】【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|＝10，再由3|PF1|＝4|PF2|，运用双曲线的定义，求出|PF1|＝8，|PF2|＝6，由此能求出△PF1F2的周长．【详解】双曲线x21的a＝1，c5，两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），即|F1F2|＝10，由3|PF1|＝4|PF2|，设|PF2|＝x，则|PF1|x，由双曲线的定义知，x﹣x＝2，解得x＝6．∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝8+6+10＝24．故答案为：24．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，熟练运用定义是关键，属于基础题．8.已知四面体中，，，分别为，的中点，且异面直线与所成的角为，则____.【答案】1或【解析】【分析】取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO＝FO＝1，，或，由此能求出EF．【详解】取BD中点O，连结EO、FO，∵四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，∴EO∥CD，且EO，FO∥AB，且FO1，∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角或其补角，∴，或，当∠EOF时，△EOF是等边三角形，∴EF＝1．当时，EF．故答案为：1或．【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时，不等式的解集为____.【答案】【解析】【分析】由奇函数的性质可得x＞0时的解析式，再解不等式即可．【详解】∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）＝x2﹣6，由奇函数可得f（x）＝﹣x2+6，∴不等式f（x）＜x可化为，解得x＞2∴x＞0时，不等式f（x）＜x的解集为：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）【点睛】本题考查函数的奇偶性，涉及不等式的解法，熟记奇函数得定义是关键，属基础题．10.关于的方程在上的解的个数是____.【答案】7【解析】【分析】化简y=从而作函数的图像，从而可解【详解】化简y=,作函数在上的图像如下：结合图像可知，两个图像共有7 个交点故答案为7【点睛】本题考查函数与方程，函数的性质，三角函数，准确作图是关键，是中档题11.任意实数，，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，，则____.【答案】4【解析】【分析】f（x）＝，及其数列{a n}是公比大于0的等比数列，且＝1，对公比q分类讨论，再利用对数的运算性质即可得出．【详解】由题，∵数列{a n}是公比大于0的等比数列，且，①1＜q时，，，…，∈（0，1），，，∈（1，+∞），1．∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4．∵∴0++…+＝，∴q4q q2．∴2．左边小于0，右边大于0，不成立，舍去．②0＜q＜1时，1，∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4，，，…，∈（1，+∞），，，∈（0，1），∵∴log2q2．∴2．∴4，∴a1＝4．③q＝1时，＝…＝＝…＝＝1，不满足舍去．综上可得：＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数的运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．12.以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，，，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使，（0为坐标原点）则直线，的斜率乘积为___.【答案】或-2【解析】【分析】设椭圆方程为，A（，），B（，），从而得到的坐标表示，然后，再根据M点在该椭圆上，建立关系式，结合A、B点在也该椭圆上，得到，，从而得到相应的结果，同理当椭圆方程为可得答案【详解】由题意可设椭圆方程为，又设A（，），B（，），因为M点在该椭圆上，∴，则又因为A、B点在也该椭圆上，∴，∴，即直线OA、OB的斜率乘积为，同理当椭圆方程为时直线OA、OB的斜率乘积为﹣2．故答案为：或﹣2．【点睛】本题重点考查椭圆综合，平面向量的坐标运算，注意审题仔细，要注意分类讨论椭圆的焦点位置，属于难题．二、选择题。
上海市行知中学2019-2020学年高三上学期数学9月份月考试卷(PDF版)
若不是，则说明理由．（注：L;=l(x;)= k(x1 )+ k(x2 )+···+ k(xJ).
参考答案
一． 填空题 1. {5,2,1} 5. -1 9. a>2
2. 假 6. -2
10. Ji
3. (0,4] 1
3
19. 最经济的车速是 80km/ h, 总费用是 280元
20. (1)
A 中另外两个元素是刁、
1
一；
(2) 不是；
(3)
A={-1,
一1
，
2,
一
1
一
，
2
3,-}.
2
2 23
21. (1) k=- 一1 ， 递减； (2) (1冲 心） U{-3}; 0) 是， 1一5
2
2
(2) 0�{O};
(3) 0 E {O};
(4) 0={0};
(5) 0E{0};
(6) {1} E {1,2,3}; (7) {1,2} s;;;; {1,2,3}; (8) {a,b} s;;;; {b,a};
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11 14. 设－＜ —<0, 则下列不等式恒成立的是（
。
::�, n-{�
上
::!,
若仁 B, 则对任意 x E R, m(l - n) =
2一r -1 12. 已知函数 /(x)-{
(x�0) ，
若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数
f(x - 1) (x>O)
2020-2021学年上海中学高三数学理月考试题含解析
2020-2021学年上海中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=60°，若点P，A，B，C，D 都在同一个球面上，则此球的表面积为（）A．πB．πC．πD．π参考答案：B【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设球心为O，求出AD=2，BD=2，设AC∩BD=E，则BE=，OP=OB=R，设OE=x，则OB2=BE2+OE2=2+x2，过O作线段OH⊥平面PAD于H点，H是垂足，PO2=OH2+PH2=1+（﹣x）2，由此能求出球半径R，由此能求出此球的表面积．【解答】解：设球心为O，如图，∵△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=60°，∴AD=2，BD==2，设AC∩BD=E，则BE=，∵点P，A，B，C，D都在同一个球面上，∴OP=OB=R，设OE=x，在Rt△BOE中，OB2=BE2+OE2=2+x2，过O作线段OH⊥平面PAD于H点，H是垂足，∵O点到面PAD的距离与点E到平面PAD的距离相等，∴OH=1，∴在Rt△POH中，PO2=OH2+PH2=1+（﹣x）2=x2﹣2+4，∴2+x2=x2﹣2+4，解得x=，∴R=，∴此球的表面积S=4πR2=4π×=．故选：B．2. 已知集合，则集合（）A. B. C. D.参考答案：【知识点】集合的运算A1C因为，所以，则选C.【思路点拨】遇到不等式的解构成的集合，一般先对不等式求解，再进行解答.3. 已知等差数列的前项和为，公差，且，则（）A．－10 B．－11 C．－12 D．－14参考答案：C4. 若,且,则与的夹角是A. B. C. D.参考答案：D略5. 设函数若，则关于x的方程的个数为（A）（B）（C）（D）4参考答案：答案：C6. 若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点( ) A．B．C．D．参考答案：C略7. 2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为，中位数分别为y1，y2，则（）A．，y1＞y2 B．，y1=y2C．，y1=y2 D．，y1＜y2参考答案：B8. 已知函数y=f（x）是R上的减函数，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称．设动点M （x，y），若实数x，y满足不等式 f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0恒成立，则?的取值范围是( )A．（﹣∞，+∞）B．[﹣1，1] C．[2，4] D．[3，5]参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算；函数单调性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】根据函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，可得函数f（x）是奇函数，利用函数y=f（x）是定义在R上的减函数，化简不等式 f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0，即有x2+y2﹣6x﹣8y+24≤0，即有（x﹣3）2+（y﹣4）2≤1，运用向量的数量积的坐标表示可得范围．【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数是奇函数，∴不等式 f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0等价于不等式f（x2﹣8y+24）≥f（6x﹣y2），∵函数y=f（x）是定义在R上的减函数，∴x2﹣8y+24≤6x﹣y2，即为x2+y2﹣6x﹣8y+24≤0，即有（x﹣3）2+（y﹣4）2≤1，①则?=1?x+0?y=x，由①可得，|x﹣3|≤1，解得2≤x≤4．故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9. 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x+x﹣3，则f（x）的零点个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先由函数f（x）是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x＞0时的函数f（x）的解析式等于0转化成两个函数，转化为判断两函数交点个数问题，最后根据奇函数的对称性确定答案．【解答】解：∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，所以0是函数f（x）的一个零点当x＞0时，令f（x）=2x+x﹣3=0，则2x=﹣x+3，分别画出函数y=2x，和y=﹣x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f（x）有一个零点，又根据对称性知，当x ＜0时函数f （x ）也有一个零点． 综上所述，f （x ）的零点个数为3个， 故选C ．【点评】本题是个基础题，函数的奇偶性是函数最重要的性质之一，同时函数的奇偶性往往会和其他函数的性质结合应用，此题就与函数的零点结合，符合高考题的特点． 10. 设i 是虚数单位，复数( ) A ．3﹣2iB ．3+2iC ．2﹣3iD ．2+3i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===3﹣2i ，故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，与圆相切于，不过圆心的割线与直径相交于点.已知∠=，，,则圆的半径等于 ．参考答案：712. 已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，若在数列中，，则实数的取值范围是．参考答案：13. 已知，若实数满足则的最小值为 ▲ .参考答案：略14. 已知某算法的流程图如图所示，若将输出的（x ，y ）的值依次记为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），若程序运行中输出的一个数组是（t ，﹣8），则t 为 ．参考答案：8115. 已知则与方向相同的单位向量为 .参考答案：16. 已知集合，集合，在集合A中任取一个元素p，则p∈B的概率是▲．参考答案：答案：17. 图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图，我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）比如第一行记为(0,1)，第二行记为(1,2)，第三行记为(4,5)，照此下去，第5行中白圈与黑圈的“坐标”为_______________.参考答案：(40,41)三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021届上海市行知中学高三10月月考数学试卷(2020.10)
一.填空题
1.已知集合 ， ，则
2.函数 的单调递减区间是
3.方程 的解
4.函数 的反函数是
5.已知定义在 上的函数 ，满足 ，且对任意的 都有 ，则
6.若对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
7.已知关于 的方程 有两个实数根，且一根小于 ，一根大于 ，则实数 的取值
A. B. C. D.
14.解析式为 ，值域为 的函数有（）个
A.4B.6C.8D.9
15.定义在 上的函数 满足 ，且当 时， 单调递增，若 ， ，则 的值（）
A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负
16.若存在 与正数 ，使 成立，则称“函数 在 处存在距离为 的对称点”，
设 ，若对于任意 ，总存在正数 ，使得“函数 在 处存在距离为
范围为
8.若函数 值域为 ，则实数 的取值范围是
9.若函数 存在零点，则实数 的取值范围是
10.设 ，若对任意的 ，都有 ，则
11.函数 的大致图像如图，若函数图像经过点 和点 ，
且 和 是其两条渐近线，则
12.已知函数 为偶函数， 为奇函数，其中 、 为常数，
则
二.选择题
13.若 ， ，则下列不等式成立的是（）
（1）求 、 、 的值；
（2）若 ， ， 且 ，求 的值；
（3）若对于任意的 ，函数 、 满足 ，则称在 上 与 具有“H类关系”，问函数 与函数 在 上是否具有“H类关系”，请说明理由.
2020-2021学年行知中学高三月考数学试卷参考答案
一.填空题
1. 2. 或 3.14.
5. 6. 或 7. 8.
上海市宝山区行知中学高三(上)第一次月考数学试卷(解析版)
上海市宝山区行知中学高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题（每小题4分，共56分）1．=．2．设f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则x＞0时，f（x）=．3．已知复数z=2+4i，，则|w|=．4．在三角形ABC中，若a=2，c=2，C=，则b=．5．若函数f（x）=x+，设集合A={x|2≤f（x）≤}，U=R，则集合∁U A=．6．从18人中随机抽取4人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有种．（结果用数值表示）7．函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调递减区间为．8．（理）已知cos（﹣x）=a，且0，则的值用a表示为．9．已知双曲线（a＞0，b＞0）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为．10．在等差数列{a n}中，a1=3，公差不等于零，且a2、a4、a9恰好是某一个等比数列的前三项，那么该等比数列的公比的值等于．11．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x﹣y=0与x+3y=0的距离之和等于4，则P到原点距离的最小值为．12．函数f（x）=x2﹣2x+3，若|f（x）﹣a|＜2恒成立的充分条件是1≤x≤2，则实数a的取值范围是．13．已知有相同焦点F1、F2的椭圆+y2=1（m＞1）和双曲线﹣y2=1（n＞0），点P是它们的一个交点，则三角形F1PF2面积的大小是．14．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为．二、选择题（每小题5分，共20分）15．设a和b都是非零实数，则不等式a＞b和同时成立的充要条件是（）A．a＞b B．a＞b＞0 C．a＞0＞b D．0＞a＞b16．设x=sinα，且α∈，则arccosx的取值范围是（）A．[0，π]B．[，] C．[0，]D．[，π]17．为了得到函数，x∈R的图象，只需把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变）B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）18．对于函数f（x）=（x∈R），下列说法正确的个数有（）①函数f（x）的值域为（﹣1，1）；②若x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若规定f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣1（x）），则f n（x）=对任意n ∈N*恒成立．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个三、解答题（共74分，必须写出必要的步骤）19．如图，四棱锥V﹣ABCD的底面是正方形，VD⊥平面ABCD，VD=AD=2．（1）求异面直线AC与VB所成角；（2）四棱锥V﹣ABCD的侧面积．20．已知f（x）=cos2x+2sinxcosx（0≤x≤）（1）求函数f（x）的最大值，并指明取到最大值时对应的x的值；（2）若0＜θ＜，且f（θ）=，计算cos2θ的值．21．在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P n在x轴上，其横坐标为x n，且{x n}是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn，n∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．22．（16分）已知直角△ABC的三边长a，b，c，满足a≤b＜c（1）在a，b之间插入2011个数，使这2013个数构成以a为首项的等差数列{a n}，且它们的和为2013，求c的最小值；（2）已知a，b，c均为正整数，且a，b，c成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列S1，S2，S3，…S n，且，求满足不等式的所有n的值；（3）已知a，b，c成等比数列，若数列{X n}满足（n∈N+），证明：数列{}中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且X n是正整数．23．（18分）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线C1的内切圆半径为．记曲线C2是以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l 上异于椭圆中心的点．（1）求椭圆C2的标准方程；（2）若|MO|=m|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）若M是l与椭圆C2的交点，求△ABM的面积的最小值．上海市宝山区行知中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共56分）1．=．【分析】利用数列极限的运算法则即可得出．解：∵，∴原式==．故答案为：．【点评】本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题．2．设f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则x＞0时，f（x）=﹣2x2﹣x．【分析】设x＞0，﹣x＜0，所以根据x≤0时的解析式便可求出f（﹣x），再根据f（x）是R上的奇函数便得到f（﹣x）=﹣f（x），这样即可求出x＞0时的f （x）解析式．解：设x＞0，则﹣x＜0，由已知条件得：f（﹣x）=2x2+x=﹣f（x）；∴f（x）=﹣2x2﹣x．故答案为：﹣2x2﹣x．【点评】考查奇函数的定义，根据奇函数的定义求解析式．3．已知复数z=2+4i，，则|w|=．【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．解：∵W====．∴|W|===．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．4．在三角形ABC中，若a=2，c=2，C=，则b=4．【分析】由条件利用余弦定理求得b的值．解：三角形ABC中，若a=2，c=2，C=，则由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即12=4+b2﹣2b，求得b=﹣2（舍去），或b=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．5．若函数f（x）=x+，设集合A={x|2≤f（x）≤}，U=R，则集合∁U A={x|x ＜，或x＞2} ．【分析】当x＞0时，f（x）=x+≥2=2，由，得；当x＜0时，f（x）=x+≤﹣2，不成立，从而A={x|}．由此能求出集合∁U A．解：当x＞0时，f（x）=x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时，取等号，∵，∴2x2﹣5x+2≤0，解得；当x＜0时，f（x）=x+≤﹣2，不成立，∴A={x|}．∴集合∁U A={x|x＜，或x＞2}．故答案为：{x|x＜，或x＞2}．【点评】本题考查集合的补集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意集合性质的合理运用．6．从18人中随机抽取4人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有560种．（结果用数值表示）【分析】由题意可得，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有•种，计算可得结果．解：除了甲乙二人，还有16人，故抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有•=560种，故答案为：560．【点评】本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用，属于基础题．7．函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调递减区间为（3，+∞）．【分析】利用复合函数的单调性，只需求g（x）=x2﹣2x﹣3在g（x）＞0的情况下的递增区间即可．解：令g（x）=x2﹣2x﹣3，则f（x）=为复合函数，由题意得，函数的单调递减区间为g（x）=x2﹣2x﹣3在g（x）＞0的情况下的递增区间，∴由x2﹣2x﹣3＞0得：x＞3或x＜﹣1，又g（x）=x2﹣2x﹣3的递增区间为：[1，+∞），∴x＞3，即函数的单调递减区间为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．【点评】本题考查复合函数的单调性，着重考查对数函数的单调性，突出分析问题，解决问题能力的考查，属于中档题．8．（理）已知cos（﹣x）=a，且0，则的值用a表示为2a．【分析】由x的范围求出﹣x的范围，根据cos（﹣x）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（﹣x）的值，利用诱导公式求出所求式子分母的值，将cosx=cos[﹣（﹣x）]，求出cosx的值，进而确定出cos2x的值，代入计算即可求出值．解：∵0＜x＜，∴0＜﹣x＜，∵cos（﹣x）=a，∴sin（﹣x）=，∴cos（+x）=cos[﹣（﹣x）]=sin（﹣x）=，cosx=cos[﹣（﹣x）]=×a+×=（a+），即cos2x=2cos2x﹣1=2×（a+）2﹣1=a2+1﹣a2+2a﹣1=2a，则原式==2a．故答案为：2a【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．9．已知双曲线（a＞0，b＞0）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为．【分析】利用行列式求出a，b的关系，利用双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，求出双曲线的右焦点，从而可求双曲线的标准方程．解：由，可得，∴∵双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，∴c=，∵c2=a2+b2，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程，考查抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，求出几何量是关键．10．在等差数列{a n}中，a1=3，公差不等于零，且a2、a4、a9恰好是某一个等比数列的前三项，那么该等比数列的公比的值等于．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，由题意可得d的方程，进而可得a2、a4，它们的比值就是要求的公比．解：设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，则可得（3+3d）2=（3+d）（3+8d）解得d=9，或d=0（舍去）∴公比q====故答案为：【点评】本题考查等比数列和等差数列的性质，属基础题．11．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x﹣y=0与x+3y=0的距离之和等于4，则P到原点距离的最小值为2．【分析】先确定两条直线满足垂直关系，设出点到直线的距离分别为a，b，然后根据条件得到a+b=4，利用二次函数的性质即可求P到原点距离的最小值．解：∵3x﹣y=0与x+3y=0的互相垂直，且交点为原点，∴设P到直线的距离分别为a，b，则a≥0，b≥0，则a+b=4，即b=4﹣a≥0，得0≤a≤4，由勾股定理可知OP===，∵0≤a≤4，∴当a=2时，OP的距离最小为OP==，故答案为：．【点评】本题主要考查点到距离的公式，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．12．函数f（x）=x2﹣2x+3，若|f（x）﹣a|＜2恒成立的充分条件是1≤x≤2，则实数a的取值范围是1＜a＜4．【分析】根据充分条件定义将条件转化为不等式恒成立，然后利用二次函数的性质求最值即可．解：∵|f（x）﹣a|＜2恒成立的充分条件是1≤x≤2，∴当1≤x≤2时，|f（x）﹣a|＜2恒成立，即﹣2＜f（x）﹣a＜2，∴a﹣2＜f（x）＜2+a恒成立，∵1≤x≤2，∴2≤f（x）≤3，∴要使a﹣2＜f（x）＜2+a恒成立，则，即，∴1＜a＜4，故答案为：1＜a＜4【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及二次函数的图象和性质，将充分条件关系转化为不等式恒成立，然后转化为最值恒成立是解决本题的关键．13．已知有相同焦点F1、F2的椭圆+y2=1（m＞1）和双曲线﹣y2=1（n＞0），点P是它们的一个交点，则三角形F1PF2面积的大小是1．【分析】利用双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式，即可得出三角形的面积．解：如图所示，不妨设两曲线的交点P位于双曲线的右支上，设|PF1|=s，|PF2|=t．由双曲线和椭圆的定义可得，解得s2+t2=2m+2n，st=m﹣n．在△PF1F2中，cos∠F1PF2==∵m﹣1=n+1，∴m﹣n=2，∴cos∠F1PF2=0，∴∠F1PF2=90°．∴△F1PF2面积为st=1．故答案为：1．【点评】本题考查椭圆与双曲线方程及其几何性质及代数运算能力．熟练掌握双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式是解题的关键．14．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为．【分析】利用圆切线的性质：与圆心切点连线垂直；设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出；利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．解：设PA与PO的夹角为a，则|PA|=|PB|====记cos2a=u．则=即的最小值为故答案为：【点评】本题考查圆切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值．二、选择题（每小题5分，共20分）15．设a和b都是非零实数，则不等式a＞b和同时成立的充要条件是（）A．a＞b B．a＞b＞0 C．a＞0＞b D．0＞a＞b【分析】根据不等式a＞b和同时成立，可得把不等式a＞b的两边同时除以ab，不等式变号，故有a＞0＞b．解：设a和b都是非零实数，∵不等式a＞b和同时成立，∴把不等式a＞b的两边同时除以ab，不等式变号为，∴a、b异号，∴a＞0＞b，故选：C．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．16．设x=sinα，且α∈，则arccosx的取值范围是（）A．[0，π]B．[，] C．[0，]D．[，π]【分析】由题意，可先由x=sinα，且α∈，解出x的取值范围，再由反余弦函数的定义求出arccosx的取值范围即可求出正确选项解：由题意x=sinα，且α∈，可得x∈[﹣，1]由反余弦函数的定义知，arccosx∈[0，]故选：C．【点评】本题考查反余弦函数，解题的关键是理解反余弦函数的定义，由定义直接得出反余弦函数的值域，本题是基本概念考查题，新教材地区，反三角函数已成为选学内容，高考中基本不出现了，大多数学校也不将其列为学习内容，新教材实验区的学生就不要做此题了17．为了得到函数，x∈R的图象，只需把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变）B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）【分析】先根据左加右减的原则进行平移，然后根据w由1变为时横坐标伸长到原来的3倍，从而得到答案．解：先将y=2sinx，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图象故选：C．【点评】本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时训练得比较多的一种类型．由函数y=sinx，x∈R的图象经过变换得到函数y=Asin（ωx+ϕ），x∈R（1）y=Asinx，xÎR（A＞0且A¹1）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（A＞1）或缩短（0＜A＜1）到原来的A倍得到的．（2）函数y=sinωx，xÎR（ω＞0且ω¹1）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（ω＞1）或伸长（0＜ω＜1）到原来的倍（纵坐标不变）（3）函数y=sin（x+ϕ），x∈R（其中ϕ≠0）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当ϕ＞0时）或向右（当ϕ＜0时=平行移动|ϕ|个单位长度而得到（用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”）可以先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但注意：先伸缩时，平移的单位把x前面的系数提取出来．18．对于函数f（x）=（x∈R），下列说法正确的个数有（）①函数f（x）的值域为（﹣1，1）；②若x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若规定f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣1（x）），则f n（x）=对任意n ∈N*恒成立．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】先求出f（x）为奇函数，再求出x＞0时的函数值，然后利用奇函数的性质求出f（x）的值域；由函数的单调性能判断结论②的正误；用数学归纳法能判断③的正误．解：∵f（x）=（x∈R），∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，x＞0时，f（x）==∈（0，1）且f（x）单调递增，∴由奇函数的对称性可知函数的值域为（﹣1，1），∵函数严格单调，∴当x1≠x2，有f（x1）≠f（x2）；f2（x）=f（f1（x））==，f3（x）═f（f2（x））==，…由此可得：f n（x）=，用由数学归纳法证明：①n=3时，f3（x）═，成立．②假设n=k时成立，即f k（x）=，则当n=k+1时，f k（x）=f（f k（x））==，也成立，+1∴f n（x）=对任意n∈N*恒成立．故选：D．【点评】本题考查分段函数的性质，要注意结合函数值域求法及单调性判断方法对甲乙取舍，至于丙的说法用不完全归纳法归纳即可作出判断．三、解答题（共74分，必须写出必要的步骤）19．如图，四棱锥V﹣ABCD的底面是正方形，VD⊥平面ABCD，VD=AD=2．（1）求异面直线AC与VB所成角；（2）四棱锥V﹣ABCD的侧面积．【分析】（1）证明AC⊥平面VDB，可得异面直线AC与VB所成角；（2）证明，△VAD，△VCD是直角三角形，△VAB是直角三角形，△VCB是直角三角形，即可求出四棱锥V﹣ABCD的侧面积．解：（1）四棱锥V﹣ABCD的底面是正方形，VD⊥平面ABCD，∴VD⊥AC，BD⊥AC，∵VD∩BD=D，∴AC⊥平面VDB，∴异面直线AC与VB所成角为90°；（2）由（1）知，△VAD，△VCD是直角三角形，面积为=2，∵AB⊥AD，AB⊥VD，AD∩VD=D，∴AB⊥平面VAD，∴AB⊥VA，∴△VAB是直角三角形，同理△VCB是直角三角形，面积都为=2∴四棱锥V﹣ABCD的侧面积是4+4．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，考查异面直线AC与VB 所成角，证明线面垂直是关键．20．已知f（x）=cos2x+2sinxcosx（0≤x≤）（1）求函数f（x）的最大值，并指明取到最大值时对应的x的值；（2）若0＜θ＜，且f（θ）=，计算cos2θ的值．【分析】（1）化简函数f（x），的最大值，由得f（x）最大值为2，此时x=．（2）先求出，．即可计算cos2θ=cos（2θ+﹣）=．解：（1）∵f（x）=cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=2sin（2x+）∵0≤x≤，∴∴f（x）最大值为2，此时x=．（2）∵f（θ）=2sin（2θ+）=．∴．又0＜θ＜，，∴．cos2θ=cos（2θ+﹣）=cos（2θ+）cos+sin（2θ+）sin=．【点评】本题主要考察三角函数中的恒等变换应用，属于基础题．21．在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P n在x轴上，其横坐标为x n，且{x n}是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn，n∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．【分析】（1）利用{x n}是首项为1、公比为2的等比数列，确定通项，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐标；（2）表示出tanθn=tan（∠OAP n+1﹣∠OAP n），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可求得结论．解：（1）设A（0，t）（t＞0），根据题意，x n=2n﹣1．由，知，而tanθ3=tan（∠OAP4﹣∠OAP3）==，所以，解得t=4或t=8．故点A的坐标为（0，4）或（0，8）．（2）由题意，点P n的坐标为（2n﹣1，0），tan∠OAP n=．∴tanθn=tan（∠OAP n+1﹣∠OAP n）==．因为≥，所以tanθn≤=，当且仅当，即n=4时等号成立．∵0＜θn＜，y=tanx在（0，）上为增函数，∴当n=4时，θn最大，其最大值为．【点评】本题考查等比数列，考查差角的正切函数，考查基本不等式的运用，正确运用差角的正切公式是关键．22．（16分）已知直角△ABC的三边长a，b，c，满足a≤b＜c（1）在a，b之间插入2011个数，使这2013个数构成以a为首项的等差数列{a n}，且它们的和为2013，求c的最小值；（2）已知a，b，c均为正整数，且a，b，c成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列S1，S2，S3，…S n，且，求满足不等式的所有n的值；（3）已知a，b，c成等比数列，若数列{X n}满足（n∈N+），证明：数列{}中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且X n是正整数．【分析】（1）由等差数列的前2013项的和求出a+b的值，利用勾股定理写出c2=a2+b2，然后利用基本不等式求c的最小值；（2）设出三角形三边的公差，由勾股定理求得三边与公差的关系，把面积用公差表示，则S n可求，把S n代入T2n=﹣S1+S2﹣S3+…+S2n后，先裂项后利用等差数列求和公式求和，得到T n后结合二项展开式的系数和取值验证求得满足不等式的所有n的值；（3）由a，b，c成等比数列，结合直角三角形中边的关系求出，代入后整理，进一步得到，由此可证数列{}中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且X n是正整数．【解答】（1）解：{a n}是等差数列，∴，即a+b=2．所以=，所以c的最小值为；（2）解：设a，b，c的公差为d（d∈Z），则a2+（a+d）2=（a+2d）2∴a=3d．设三角形的三边长为3d，4d，5d，面积，则，T2n=﹣S1+S2﹣S3+…+S2n=6[﹣12+22﹣32+42﹣…+（2n）2]=6（1+2+3+4+…+2n）=12n2+6n．由得，当n≥5时，＞，经检验当n=2，3，4时，，当n=1时，．综上所述，满足不等式的所有n的值为2、3、4．（3）证明：因为a，b，c成等比数列，∴b2=ac．由于a，b，c为直角三角形的三边长，知a2+ac=c2，∴，又，得，于是=．∴X n+X n+1=X n+2，则有．故数列{}中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形．因为，，⇒，由X n+X n+1=X n+2，同理可得，⇒X n+2∈N*，故对于任意的n∈N*都有X n是正整数．【点评】本题以直角三角形边的关系为载体，考查了等差数列的前n项和公式，考查了利用基本不等式求最值，考查了用裂项法求数列的和，训练了利用二项展开式的二项式系数比较不等式的大小，此题综合性强，难度较大．23．（18分）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线C1的内切圆半径为．记曲线C2是以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l 上异于椭圆中心的点．（1）求椭圆C2的标准方程；（2）若|MO|=m|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）若M是l与椭圆C2的交点，求△ABM的面积的最小值．【分析】（1）利用曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线C1的内切圆半径为，求出a、b的值，待定系数法写出椭圆的标准方程．（2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx，代入椭圆的方程，用k表示|OA|的平方，由|MO|2=m2|OA|2，得到|MO|2．再用k表示直线l的方程，并解出k，把解出的k代入|MO|2的式子，消去k得到M的轨迹方程．当k=0或不存在时，轨迹方程仍成立．（3）当k存在且k≠0时，由（2）得=，=，同理求出点M的横坐标的平方、纵坐标的平方，计算出AB的平方，计算出|MO|2，可求出三角形面积的平方，使用基本不等式求出面积的最小值，再求出当k不存在及k=0时三角形的面积，比较可得面积的最小值．解：（1）由题意得，又a＞b＞0，解得a2=5，b2=4．因此所求椭圆的标准方程为．（2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx（k≠0），A（x A，y A）．解方程组得=，=，所以|OA|2=+=．设M（x，y），由题意知|MO|=m|OA|（λ≠0），所以|MO|2=m2|OA|2，即x2+y2=m2•．因为l是AB的垂直平分线，所以直线l的方程为，即，因此x2+y2=m2•=m2•．又x2+y2≠0，所以5x2+4y2=20m2，故．又当k=0或不存在时，上式仍然成立．综上所述，M的轨迹方程为（m≠0）．（3）当k存在且k≠0时，由（2）得=，=，由直线l的方程为，代入椭圆方程可得=，=，所以|OA|2=+=，|AB|2=4|OA|2|AB|2=，|OM|2=．由于=|AB|2|OM|2=≥=，当且仅当4+5k2=5+4k2时等号成立，即k=±1时等号成立，=．此时△AMB面积的最小值是S△AMB==＞．当k=0，S△AMB==＞．当k不存在时，S△AMB综上所述，△AMB的面积的最小值为．【点评】本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，参数法求轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系的应用．。
上海市行知中学2018-2019学年高三下学期数学3月月考试卷
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】 B
14. 设集合 P1 x | x2 ax 1 0 ，P2 x | x2 ax 2 0 ,其中 a R ，下列说法正确
的是（
）
A. 对任意 a ， P1 是 P2 的子集 B. 存在 a，使得 P1 不是 P2 的子集
【答案】 A
B. 对任意 a ， P1不是 P2 的子集 D. 存在 a ，使得知 a, b,c 分别为 ABC 的三个内角 A, B,C 对应的边长 ,若 f x
12. 设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [0,1) 上， f ( x)
x2, x D , 其中集合
x, x D
D
xx
n1 ,n
*
N
，则方程 f (x) lg x
0 的解的个数是 _______
n
【答案】 8
【解析】在区间 [0,1) 上， f ( x)
x2 , x D , 第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又
6
4
最小值为 ____
【答案】 2 3
6.如果已知极限
【答案】 1 2
1
lim ( nsin )
n
n
5 n2 sin 1
1，那么极限 lim
n
n
2n 1
____
x sin cos
7.已知 P 为曲线
( 是参数， 0
y 1 2sin 2
距离的最小值是 _______
2 )上一点，则点 P 到点 Q (0,1)
象限
【答案】二
3 3. 已知 " x k " 是 " 1" 的充分不必要条件，则实数
2020-2021年上海市高三下学期3月三校联考数学卷(奉贤中学、松江二中、金山中学)-详细解答
2020-2021年上海市三校联考奉贤中学、松江二中、金山中学 考试时间：120分钟满分：150分一、填空题：（1~6题每题4分，7~12题每题5分，满分54分）1．函数sin 2cos 2f x x x =+（）的最小正周期为_______． 2．23lim 25n n n →+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦__________． 3．化简：cos cos sin sin 66ππαααα⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________． 4．1a x =-（,）与2b x =-（，）平行且方向相同，则x =___________． 5．()21log f x x =-，设()1f x -是()y f x =的反函数，则()13f --=________．6．复数()312m m iz i+-=-的实部与虚部互为相反数，则实数m =________．7．直线1:1l ax y +=和直线21l x ay +=：是平行直线，则实数a =________．8．已知P 、Q 在不等式组002203260x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩所确定的区域内，则线段PQ 的长的最大值为______．9．()21,<1lg ,1x x f x x x ⎧-⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()()2f x f x -≤的解集为_______．10．若()1nx -的二项展开式中，存在相邻两项，满足后一项的系数是前一项系数的2倍，12020n ≤≤，则这样的正整数n 有________个．11．若正实数x ，y 满足22x y xy +=，且不等式()210x y a xy +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____．12．ABC ∆内角和我们可以这样理解：一根可自由伸缩的棍子（不考虑它的长度，棍子的一端有箭头），从状态1（与AB 重合）绕点A 逆时针旋转大小为A ∠的旋转量到状态2（与AC 重合），再绕点C 逆时针旋转大小为C ∠旋转量到状态3（与CB 重合），最后绕点B逆时针旋转大小为B ∠的旋转量变为状态4，棍子回到了与AB 重合的状态，棍子逆时针转了半圈（棍子两端已互换），因此得到旋转量之和180A B C ∠+∠+∠=︒．给出下列多边形中的8个角：12,...,8∠∠⋯∠，（如图标注），根据你对上述阅读材料的理解，请你建立这8个角的一个等量关系，则等式为___________．二、选择题：（共4小题，每题5分，满分20分）13．对于实数x 、y ，“220x y +=”是“0xy =”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 14．现有7名队员，3名老队员（2男1女）和4名新队员（1男3女），从中选出1男2女队员参加辩论比赛．要求其中有且仅有1名老队员，则不同的选法有（ ） A ．8种 B ．9种 C ．10种 D ．11种15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，则4AF BF +的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1116．棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -，在11ADD A 装上一块玻璃（不计玻璃厚度），E 为线段1AD 上一点，12AE ED =，从1B 处射出一光线经玻璃反射（反射点为E ）到达平面11CDD C 上某点P ，则PE 的长为（ ）A B C D ．三、解答题：（共5题，满分76分）17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分） 已知函数()()()3f x x a x a =---的定义域为集合A ，集合624x B xx -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．（1）若0a =，求A B ；（2）若RA B⊆，求实数a 的取值范围．18．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分） 已知()()()()21cos302f x x x ωωω=->的周期为π． （1）将()y f x =化为()()sin 0002A mx n A m n π+>>≤<，，形式； （2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且ABC ∆外接圆半径为1，2b c =，求边c 的大小．19．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，AP PD ⊥，CD ⊥平面APD ． （1）求证：AP PC ⊥；（2）若24AB BC PA PC ===，，，求BP 与平面ADP 所成角的大小．20．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知在平面直角坐标系中，圆22:4O x y +=，桶圆()222:1024x y b b Γ+=<<．（1）若椭圆的焦距为2，求b 的值； （2）若过原点O 倾斜角为4π的直线1l 与椭圆和圆共4个点交点，从左至右分别记为A 、B 、C 、D ，若AB BC CD ==，求b 的值；（3）若1b =，直线2:l x my n =+与椭圆Γ有且仅有一个公共点，2l 交圆O 于点E 、F ，求EFO ∆的面积S 的最大值．21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 己知数列{}n a 是非零数列．（1）若2141063n n n a a a a +-=>=，，，求1a ；（2）若212121,,1n n n a a a a a a a ++-===+，证明：{}n a 是等差数列；（3）若121,1n n n n a a a a +++=≠，证明()()()121111n n n n a a a a +++---为常值;并在12a a a b ==、（a 、b 为常数）时，求()()()()12320201111a a a a ---⋯-的值．2020-2021年上海市三校联考奉贤中学、松江二中、金山中学 考试时间：120分钟满分：150分一、填空题：（1~6题每题4分，7~12题每题5分，满分54分）1．函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期为_______．【解析】()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为π.2．23lim 25n n n →+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦__________． 【答案】103．化简：cos cos sin sin 66ππαααα⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________．【解析】cos cos sin sin cos 666πππαααα⎛⎫⎛⎫+++==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．1a x =-（,）与2b x =-（，）平行且方向相同，则___________．【解析】由题意得22x -=-，所以x =，检验得x =5．()21log f x x =-，设()1fx -是()y f x =的反函数，则()13f --=________．【解析】令()21log 3f x x =-=-，解得16x =，所以()1316f --=. 6．复数()312m m iz i +-=-的实部与虚部互为相反数，则实数m =________．【解析】()31[(31)](2)2(2)(2)m m i m m i i z i i i +-+-+==--+2222(31)(31)172455m mi m i m i m m i i ++-+---==+-， 因为实部与虚部互为相反数，所以17255m m --=-，解得16m =. 7．直线1:1l ax y +=和直线21l x ay +=：是平行直线，则实数a =________．【解析】由题意得21a =，解得1a =±，检验得1a =-.8．已知P 、Q 在不等式组002203260x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩所确定的区域内，则线段PQ 的长的最大值为______．9．()21,<1lg ,1x x f x x x ⎧-⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()()2f x f x -≤的解集为_______．【解析】因为()21,<1lg ,1x x f x x x ⎧-⎪=⎨-≥⎪⎩，所以()f x 是偶函数，且在()0,+∞上单调递减，则()()2f x f x -≤等价于()()2fx f x -≤，所以|2|||x x ->，所以22(2)x x ->，解得1x <，故解集为(),1-∞.10．若()1nx -的二项展开式中，存在相邻两项，满足后一项的系数是前一项系数的2倍，12020n ≤≤，则这样的正整数n 有________个．【解析】由题意得12k n k n C C -=对1k n ≤≤有解，即!(1)!(1)!2!()!!n k n k k n k n --+⋅=-有解， 即12n k k-+=有解，所以31n k =-，又12020n ≤≤， 所以1312020k ≤-≤，解得220212673333k ≤≤=+，所以k 有673个取值， 所以这样的正整数n 有673个.11．若正实数x ，y 满足22x y xy +=，且不等式()210x y a xy +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____．【解析】因为22x y xy +=，所以222xy x y xy =+≥≥， 又()210x y a xy +-+≥恒成立，所以1122x y a a xy xy xy+-≥-⇒≤+恒成立， 当2xy =时，12xy xy +取得最小值92，所以实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.12．ABC ∆内角和我们可以这样理解：一根可自由伸缩的棍子（不考虑它的长度，棍子的一端有箭头），从状态1（与AB 重合）绕点A 逆时针旋转大小为A ∠的旋转量到状态2（与AC 重合），再绕点C 逆时针旋转大小为C ∠旋转量到状态3（与CB 重合），最后绕点B逆时针旋转大小为B ∠的旋转量变为状态4，棍子回到了与AB 重合的状态，棍子逆时针转了半圈（棍子两端已互换），因此得到旋转量之和180A B C ∠+∠+∠=︒．给出下列多边形中的8个角：12,...,8∠∠⋯∠，（如图标注），根据你对上述阅读材料的理解，请你建立这8个角的一个等量关系，则等式为___________．【解析】连接,DF HF ，则六边形ABCDFH 的内角和为00(62)180720-⋅=， 所以()()12341805618078720∠+∠+∠+∠+-∠+∠+-∠+∠=， 所以012345678360∠+∠+∠+∠-∠+∠-∠+∠=.二、选择题：（共4小题，每题5分，满分20分）13．对于实数x 、y ，“220x y +=”是“0xy =”的（ A ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 14．现有7名队员，3名老队员（2男1女）和4名新队员（1男3女），从中选出1男2女队员参加辩论比赛．要求其中有且仅有1名老队员，则不同的选法有（ B ） A ．8种 B ．9种 C ．10种 D ．11种【解析】若1男为老队员，则有12236C C =种，若2女中1人为老队员，则有1111133C C C =种所以不同的选法有9种，故选B.15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，则4AF BF +的最小值为（ B ）A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则()1212||4||14145AF BF x x x x +=+++=++， 设直线AB 的方程为1x ky =+，由214x ky y x=+⎧⎨=⎩得2440y ky --=， 所以124y y =-，所以()12122116y y x x ==，所以12||4||4559AF BF x x +=++≥=，故选B.16．棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -，在11ADD A 装上一块玻璃（不计玻璃厚度），E 为线段1AD 上一点，12AE ED =，从1B 处射出一光线经玻璃反射（反射点为E ）到达平面11CDD C 上某点P ，则PE 的长为（ B ）A B C D ．【解析】如图，EE '是侧面的法线，所以反射光线与1B E 对称，1113,C E B E C F E F =='''===1B E EG ===，所以PE B.三、解答题：（共5题，满分76分）17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）已知函数()f x =的定义域为集合A ，集合624x B xx -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．（1）若0a =，求A B ；（2）若RA B ⊆，求实数a 的取值范围．【解析】（1）(][),13,A =-∞+∞ （2分）24B =（，）． （5分） 所以[)34A B =， （7分）（2）(][)24,RB =-∞+∞， （9分）(][),3,A a a =-∞++∞ （11分）所以234a a ≤⎧⎨+≥⎩ （13分）所以[]1,2a ∈ （14分）18．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分） 已知()()()()21cos302f x x x ωωω=+->的周期为π． （1）将()y f x =化为()()sin 0002A mx n A m n π+>>≤<，，形式； （2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且ABC ∆外接圆半径为1，2b c =，求边c 的大小． 【解析】（1）()sin 26f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（4分）2,12ππωω==， （6分）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （7分）（2）()sin 1,0,6A A ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，所以,623A A πππ+== （9分）22sin aR A==，所以3a = （11分）2222cos a b c bc A =+-，即222344cos 13c c c c π=+-=，． （14分） 19．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分） 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，AP PD ⊥，CD ⊥平面APD ．（1）求证：AP PC ⊥；（2）若24AB BC PA PC ===，，，求BP 与平面ADP 所成角的大小． 【解析】（1）因为CD ⊥平面PAD AP，平面PAD ，所以CD AP ⊥ 又因为,AP PD PDCD D ⊥=，所以AP ⊥平面PCD ， 而PC平面PCD ，所以AP PC ⊥ （7分）（2）CD ⊥平面PAD ，AD平面PAD ，所以CD AD ⊥所以AC ==， （9分）而,PA PC PA PC =⊥，所以AP = （10分） //AB CD 且CD ⊥平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ， 所以APB ∠为直线BP 与平面APD 所成角， （12分）tan 5AB APB AP ∠== 所以直线BP 与平面APD所成角大小为 （14分） 20．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知在平面直角坐标系中，圆22:4O x y +=，桶圆()222:1024x y b b Γ+=<<．（1）若椭圆的焦距为2，求b 的值； （2）若过原点O 倾斜角为4π的直线1l 与椭圆和圆共4个点交点，从左至右分别记为A 、B、C 、D ，若AB BC CD ==，求b 的值；（3）若1b =，直线2:l x my n =+与椭圆Γ有且仅有一个公共点，2l 交圆O 于点E 、F ，求EFO ∆的面积S 的最大值．【解析】（1）2,b == （4分）（2）3AD BC =，即43BC =（5分） 22214y x y x b=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22244b x b =+ （7分）43BC ===，整理得2417b =，所以17b =（10分） （3）由2214x my n y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222148410m y mny n +++-=，()()2222164164110m n m n ∆=-+-=，化简得2214n m =+． （12分） 设()11,E x y 、()22,F x y ,11221221 1111220 0 1x y S x y x y x y ==-()()1221121122my n y my n y n y y =+-+=-， 224x my nx y =+⎧⎨+=⎩，()()2221240m y mny n +++-=， 20∆>恒成立，12221222141mn y y m n y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 于是1221y y m -==+，14S ===+ (15分)于是223,141,3S n m n n n n==+≥+≥+所以2S ≤，面积的最大值为2 （16分）21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 己知数列{}n a 是非零数列．（1）若2141063n n n a a a a +-=>=，，，求1a ；（2）若212121,,1n n n a a a a a a a ++-===+，证明：{}n a 是等差数列；（3）若121,1n n n n a a a a +++=≠，证明()()()121111n n n n a a a a +++---为常值；并在12a a a b ==、（a 、b 为常数）时，求()()()()12320201111a a a a ---⋯-的值．【解析】（1）3218,3,2a a a ====== （4分）（2）法一：猜测11n n a a +-=． （6分）用数学归纳法证明： ①1n =时，显然结论成立；②假设n k =时结论成立，即11k k a a +=+成立 当1n k =+时，()22121112k k k k k ka a a a a a +++--===+，所以211k k a a ++=+即1n k =+时结论成立由①②得n N *∈时11k n a a +-=，所以{}n a 是等差数列． （10分）法二：223112a a a a -==+，所以1322a a a += （6分）22121131,1n n n n n n a a a a a a +++++-=-=，所以2212113n n n n n n a a a a a a +++++-=-，整理得()()11322n n n n n n a a a a a a ++++++=+，即13221n n n n n n a a a a a a +++++++=，于是数列21n n n a a a ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是常值数列，所以213122n n n a a a a a a ++++== （9分） 即212n n n a a a +++=，所以{}n a 是等差数列 （10分）法三：223112a a a a -==+，猜测1n a a n =+- （6分） 用数学归纳法证明：①1n =和2n =时，显然结论成立；②假设2n k k ≤≥（）时结论成立，得到12k a a k -=+-和1k a a k =+-成立 当1n k =+时，()22111112k k k a k a a a k a a k +-+---===++-．即1n k =+时结论成立由①②得：n N *∈时，1n a a n =+-成立， （9分）此时11n n a a +-=，所以{}n a 是等差数列． （10分） （3）法一：121n n n a a a +++=，所以2131n n n a a a ++++=，得到12213n n n n n n a a a a a a ++++++=+，整理得()()21311n n n n a a a a +++-=- （12分）()()()()()()()()1233211221111111111n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++++++----=⋅=----，()()()121111n n n n a a a a +++---为常值．（14分）法二：121n n n a a a +++=，所以2131n n n a a a ++++=， 得到12213n n n n n n a a a a a a ++++++=+整理得到()()21311n n n n a a a a +++-=- （12分）即32111n n n n a a a a +++-=-得到：53324412231111111n n n n a a a a a a a a a a a a +++---⋅⋅⋯⋅=⋅⋅⋯⋅--- ()()()()()()12321232111111n n n n a a a a a a a a ++++---=---，得()()()()()()12312322111111n n n n a a a a a a a a ++++------=所以()()()121111n n n n a a a a +++---为常值 （14分）()()()()()()121233*********,n n n n a a a a a a b a a a a +++-------==()()()111a b a b ab----=（15分）所以()()()()()()1223413111111n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++------⋅()()()22222111a a a b a b ----=1321n n n a a a +++=-，()()()()()()()()22212342211111111n n n n n a a a b a a a a a a b ++++---------=（17分）所以()()()()12320201111a a a a ---⋯-()()()()()()()()()1256710201620172020111111111a a a a a a a a a =--⋯---⋯-⋯--⋯-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()808808808808808111a b a b a b ----=（18分）【注】第3小题也可以直接证明数列最小正周期为5，如下证明：121n n n a a a +++=，所以11212311111111,n n n n nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++++++----+-====，()131114121111111111n n n n n n n n n nn n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++++-----+-====--，4151311111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++---===+-，所以{}n a 是最小正周期为5的数列．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三、解答题
17．如图，在三棱锥 中， ， ， 为 中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若点 是棱 的中点，求异面直线 与 的夹角.
18．已知 ， ，满足 ．
(1)将 表示为 的函数 ，并求 的最小正周期；
(2)已知 分别为 的三个内角 对应的边长， 的最大值是 ，且 ，求 的取值范围．
上海市行知中学2020-2021学年高三下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题பைடு நூலகம்
1．若复数 满足 （ 为虚数单位），则 ____________.
2．函数 不经过第_________象限.
3．已知“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是_________.
【详解】
设点 的坐标为 ，
则 ，当 ， 取最小值 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查参数方程的应用，同时也考查了二倍角正弦公式以及二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中等题.
8．
【分析】
计算出函数 的解析式为 ， ，可转化为关于 的二次不等式 对任意的 恒成立，再由 可求出实数 的取值范围.
4．
【分析】
分两种情况讨论，两男一女和两女一男，然后利用分类计算原理可得出选取的方法种数.
【详解】
由题意可知，所选的 人中应为两男一女和两女一男，由分类计数原理可知，不同的选取方式的种数为 .
故答案为 .
【点睛】
本题考分类计数原理的应用，对问题合理进行分类讨论是解题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ， 为 的上顶点， 为 上异于
上、下顶点的动点， 为x正半轴上的动点.
（1）若 在第一象限，且 ，求 的坐标；
（2）设 ，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若 ，直线AQ与 交于另一点C，且 ， ，
求直线 的方程.
21．设函数 .
4．在报名的 名男教师和 名女教师中，选取 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）.
5．设函数 ，若 对任意的实数 都成立，则 的最小值为__________．
6．如果已知极限 ，那么极限 =________.
7．已知 为曲线 （ 是参数， ）上一点，则点 到点 距离的最小值是_______.
12．设 是定义在R 且周期为1的函数，在区间 上， 其中集合 ，则方程 的解的个数是____________
二、单选题
13．若 ，且 ，则角 的终边位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
14．设集合 ， ，其中 ，下列说法正确的是（ ）
A．对任意 ， 是 的子集B．对任意 ， 不是 的子集
8．已知函数 ，若对任意的 ，函数 总有两个不同的零点，则实数 的取值范围是___________.
9．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则它的侧视图的面积为__________.
10．若实数 、 满足约束条件 ，且 的最小值是 ，则实数 ______.
11．在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，−1），P是曲线 上一个动点，则 的取值范围是_____________.
3．
【分析】
解出不等式 ，得出 或 ，由题意得出 ，由此可得出实数 的取值范围.
【详解】
解不等式 ，即 ，即 ，解得 或 .
由题意可得 ， .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用充分必要条件求参数，解题的关键就是利用充分必要性得出两集合的包含关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
（1）当 时，对于一切 ，函数 在区间 内总存在唯一零点，求 的取值范围；
（2）当 时，数列 的前 项和 ，若 是单调递增数列，求 的取值范围；
（3）当 ， 时，函数 在区间 内的零点为 ，判断数列 、 、 、 、 的增减性，并说明理由.
参考答案
1．
【分析】
将等式 变形得出 ，由此可得出复数 .
【详解】
C．存在 ，使得 不是 的子集D．存在 ，使得 是 的真子集
15．已知定义域为 的函数 ，则此函数图象上关于原点对称的点有（ ）
A． 对B． 对C． 对D． 对
16．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经 榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为 ，底面正方形的边长为 ，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）（容器壁的厚度忽略不计）
5．
【分析】
根据题意 取最大值 ，根据余弦函数取最大值条件解得 的表达式，进而确定其最小值.
【详解】
因为 对任意的实数x都成立，所以 取最大值 ，
所以 ，
因为 ，所以当 时， 取最小值为 .
【点睛】
函数 的性质
（1） .
（2）周期
（3）由 求对称轴，最大值对应自变量满足 ，最小值对应自变量满足 ，
（4）由 求增区间；由 求减区间.
， ，因此， .
故答案为 .
【点睛】
本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题.
2．二
【分析】
作出函数 的图象，即可得出结论.
【详解】
， ，则 ，作出函数 的图象如下图所示：
由图象可知，函数 的图象不经过第二象限.
故答案为二.
【点睛】
本题考查指数型函数图象的应用，作出函数的图象是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
6．
【分析】
在分式 的分子和分母中同时除以 ，然后利用题中的极限可计算出所求极限的值.
【详解】
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查极限的计算，对代数式进行合理变形是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
7．
【分析】
设点 的坐标为 ，然后利用两点间的距离公式、二倍角的正弦公式和二次函数的性质求出 的最小值.
19．某景区欲建两条圆形观景步道 （宽度忽略不计），如图所示，已知 ， （单位：米），要求圆M与 分别相切于点B，D，圆 与 分别相切于点C，D．
（1）若 ，求圆 的半径；（结果精确到0.1米）
（2）若观景步道 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当 多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）