不定方程(初二)及答案

2010年2月希望杯数学冬令营上课材料初二

不定方程

一、赛点分析

1、两个变量的不定方程 ax by c ,其中a,b,c 为整数，且a, b 都不为0,则有以下性质:

（1）不定方程有整数解的充要条件是

（a,b ）|c ；

2、解不定方程（组）需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用一下知识与 方法：奇

数偶数、整数的整除性、整系数分离法、因式分解、配方利用非负数性质、乘 法公式、不等分析等。 二、例题精讲

例1、求方程4x 5y 21的整数解。

4k 代入已知方程得x 5 （1 4k ） k 4 5k 。

x 4 5k

所以

（k 为整数）是方程的整数解，

y 1 4k

并且当k 取遍所有整数时，就得到方程的所有整数解。

变式1、求方程7x 4y 100的正整数解。

x 4

x 4 4t 士

解：通过观察得方程的一个特解：

?万程的通解是

（t 为整数），

y 18

y 18 7t

4 4t 1

3 17

?/ x 、y 为正整数，?

-t

18 7t 1

4

7

?/ t 为整数，??? t 0, 1或2，将它们分别代入通解,

（2）设不定方程有整数解（x 0, y 0），则所有整数解有:

X o

y o

（t 为整数）。

解：设x 、y 是已知方程的整数解，由

x,y

21

之中较小的系数4去除各项得x 21

4 21

54

把

21

和54

中的整数分离出来，得

4 4

1 y

5 y 4

因为5 y 和x 都是整数，则 J 也是整数，设? J k ， 4

4

k 为整数，则y 1 4k ，

解：设鸡翁、鸡母、鸡雏的只数分别为

x 、y 、z ，则有:

共花了 142元，问两种纪念册最少共买了多少本? 解：设小明买了 x 本小纪念册，y 本大纪念册，则有 5x

142 2v

再设

x

y a

，?

5a 2y 142

, a 十

??? a 是正整数，y 的值越大，a 的值越小，0 y 20 ,

?依次取y =20, 19, 18, 17代入a 142 2y 试算，a 都不是正整数。

5

变式1:小燕付出了 14.85元买了 A 、B 两种卡片，A 卡片的单价是2.16元，B 卡片的单价

是4.23元。问小燕共买了多少张卡片？

解：设小燕买了 A 、B 两种卡片的张数分别为 x 、y ，则2.16x

4.23y 14.85 ,

? 24x 47y

165，可知：y 是奇数，y 是3的倍数；

???当y 3时，x 1 ;当y 9时，显然不合题意; ?小燕共买了 4张卡片.

例3、（中国百鸡问题）鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡,

问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？

得原方程的正整数解为:

x 4 x 8 y 18

y 11

12

。

4

变式2：求方程7x 19y 213的所有正整数解。

解：方程的一个特解：

y

25

，方程的特解是

2

25 19t （t 为整数），

7t

?/ x 、y 为正整数，???

25 19t 0

2 7t 0

25 19

??? t 1或0,二原方程的正整数解为

25

例2、（ 2005年希望杯）小纪念册每本 5元, 大纪念册每本 7元。小明买这两种纪念册

7y 142，

当y 16时，a 22，所以两种纪念册最少共买了

22本。

x y z 100

5x 3y -

3

消去z得：7 x

100

4y 100,

显然x 0 , y25是方程的一个特解，?通解为x

y

4t

(t为整数)，

25 7t

于是有z 100x y 100 4t (257t) 75 3t,由x,y, z 0 ,

4t 0

即25 7t 0,且t为整数可得t 0, 1, 2 , 3,将t的值代入通解得

75 3t 0

(X,y,z) = (0, 25, 75), (4, 18, 78), (8, 11, 81), (12, 4, 84 )。

变式1:旅游团一行50人到一旅馆住宿，旅馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每天20元，二人间的每人每天30元，单人间的每天50元，如果旅行

团共住满了20间客房，问三种客房各住几间？怎样消费最低？

解：三人间、二人间、单人间分别为x、y、z间，则有

x y z 20 口x10z

得这里x、y、z都是非负数, 3x 2y z 50y102z

由于y 10 2z 0, / ? 0z 5 , ?

z只能

取

0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,

???( X, y,z) = (10, 10, 0), (11, 8, 1), ( 12, 6, 2),

(13, 4, 3), (14, 2, 4), (15, 0, 5)。

?/ 50人住宿的总消费为W 60x 60y 50z 1200 10z,

???当z 5时，即(x, y,z) = (15 , 0 , 5),总消费最低。

变式2、(2003年全国初中数学竞赛题)若4x 3y 6z 0, x 2y 7z 0 ( xyz 0 ),

则代数式

5x2 2y2

2x2 3y2

2

z

10z2

的值等于(

C、15 13

解：??? 4x3y

x 2y

6z

7z

2 2

x 3z 45z 8z

代入得：原式-一

y 2z 18z2 12z2 10z

2

z 2 13 ,选D。

例4、求方程x2105的正整数解。

解：??? x2 y2 105 ,? (x y)(x y) 3 5 7 ,

?/ x 、y 都是正整数，x y ,??? x y x y ,

x y 105 x y 35 x y 21

x y

13 x y 1 x y 3

x y 5

x y 7

x 53

x 19

x 13 x 11

y 52 y 16

y 8 '

y

。

4

- 一 一 一 一 1 1 2 变式2、设p 是大于2的质数且x y ，求方程一 一 一的正整数解。

x y p

尾添一个0，然后加上前、后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数

的个位数字是5,求这个四位数。 解：设四位数分成的前后两位数分别为

a 、

b ，则10a ab 100a b ,

? (a 1)(b 90)

90 ,??? a 0, ? b 90 0,

?/ b 是两位数，且个位数字是 5,「. b 95，贝U a 1 18 , ? a 19。

故所求的四位数是 1995.

A 、0

B 、1

c 、 8

D 、无穷

x y 1

x y 1991

x y 1 C ??? (x y)(x y) 11 181 , ?

1

1991’

x y 1991

x y x y x y 1991 x y 11 x y 181 x y 11 x y 181 x y 1 x y 181’ x y 11 ' x y

181’

x y

11 '

变式1、方程x 2

y 2 1991的整数解的个数是

（ )

这8个方程组的解均为整数，.??原方程的整数解的个数为 8。

(2x p)(2y

p) p 2

,

?

p 疋大于 2的质数且x

y ,

2x p 1

2x p 2

p ? 2

p

p

x 2

x p 1

2 2y 2 p p ，2y p , (1)

y P 1 ' y 2

p p

y

解：?- 一一 Z ，/. 2xy

x y p 2 2

变式3、有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数末

2

0 , ? 4xy 2 px 2 py p

px py , ? 2xy px py

变式4、（2009年全国初中数学竞赛试题）关于 x , y 的方程x 2 xy 2y 2 29的整数解

（x ，y ）的组数为（ ）.

A 、2组

B 、3组

C 、4组

D 、无穷多组

解：可将原方程视为关于 x 的二次方程，将其变形为 x 2 yx （2y 2

29） 0 .

由于该方程有整数根，则判别式

>0，且是完全平方数.

2 2 2 2

116 由 y 4（2y

29） 7y 116 > 0，解得

y <

16.57 .于是

显然，只有y 时， 是完全平方数，符合要求.

当y 4时，原方程为x 2 4x 3 0，此时x 1 1,x 2

当y = — 4时，原方程为x 2 4x 3

0，此时x 3

易知x 1 0，

x ?- y

x 1

2 x x 1 1 ，: x,y 都是整数，?

x 1

? x 1

1

c ,

x

2

x 0

? ?? x 2或x 0,从而

。

y 8

y 0

t x 当 2

时, 代入y ax b

得: :2a b 8 0;

y 8

当x 0时，代入y ax b 得：b 0。 y 0 综上所述，a,b 满足的关系式是 2a b 8

0或b 0 （ a 为任意实数）

1凶

所以，原方程的整数解为

1, Y 1 4;

x

2

3,

Y 2 4;

X 3 1, y 3

4；

x 4 3, y 4

4.

例5、（2004年全国初中数学竞赛试题）已知

a,b 是实数，关于x,y 的方程组

3 2

x ax ax b

bx 有整数解

x, y ），求a, b 满足的关系式。

解：T y x 3 ax 2

bx

x 3

x(ax b)， y ax b ，二 y

3

3

x xy ，即 y(x 1) x ，

x 3

变式1、方程y 0的整数解有( )

x 1

A、1组

B、2组

C、3组

D、4组

x

3 2

D y 1 为整数，??? x 1 1, 2，解得x 0, 2,1,3，故有4组。

x 1 x 1

、、1 1 1

变式2、求方程的正整数解。

x y 2

?原方程的正整数解为

例6、求方程x y 1 z的质数解。

x y 1能被x 1整除，且x y 1 x 1 1 ,

可知x y 1可以分解，即x y 1不等于质数z，但y又是质数，得y 2 ；

?- z x2 1 22 1 5 ,??? z 为奇质数，于是x2 z 1 为偶数，? x 2, z 5, 故原方程的质数解是x 2, y 2, z 5。

一 2 2

变式1、方程x 2y 1的质数解是 ___________________________ 。

x 3 2

?/1为奇数，2y2为偶数，? x必为奇数，令x 2m 1,

y 2

由x2 (2m 1)2 4(m2 m) 1 4n 1 ( m, n 为正整数)，可得：4n 1 2y2 1 ,

2

? y 2n ,.?? y为偶数，又T y为质数，? y 2，从而x 3。

变式2、求证对于任意自然数n，方程x2 1 3y n 0无整数解。

证明：

当当设x 3k , 3k 1, 3k 2 ( k为自然数)

当x 3k时，原方程化为9k2 1 3y n 0,即3(y n 3k2) 1，这是不可能的; 当x 3k 1时，3( y n 3k22k) 2，这是不可能的；

1

解：???-

y空竺亠2丄x 2 x 2 x 2

??? x、y都是正整数, (x 2)|4 , x 2 1 , 2 , 4 ,? x 3, 4, 6, 解：首先y必须是偶数。否则，由

当x 3k 2 时，3( y n 3k2 2k 1) 2，这也是不可能的；所以，方程无整数解。

三、能力训练：

1、（2000希望杯）若a,b均为正整数，且2a b , 2a b 10,则b的值为（D ）

A、一切偶数

B、2或4或6或8

C、2或4或6

D、2或4

2、（2006希望杯）方程x y z 7的正整数解有（C ）

A、10 组

B、12 组

C、15 组

D、16 组

3、方程（x 1）2（y 2）2 1的整数解有（C ）

A、1组

B、2组

C、4组

D、无数组

4、（2005年希望杯）购买铅笔7支，作业本3个，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，

作业本4个，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5个，圆珠笔2支共需（B ）

A . 4.5 元

B . 5元C. 6元 D . 6.5 元

5、方程6y 6x xy0的正整数解的个数是（)

A、1

B、2

C、3

D、4

c 36

D x 6 -,T x, y均为正整数，???-36-6且6 y是36的正约数，

6 y 6 y

从而6 y 9,12,18,36，解得y 3,6,12,30，二?原方程的正整数解有4个。

2 2 6、满足方程x y

3

x的正整数对（x, y）的个数是（）

A、0

B、1

C、2

D、无限个

2 2

D T x y x 3 2 2

,? y x (x 1)，?只要x

1为自然数的平方，

则方程必有整数

解，

故方程有无限个正整数解。

7、有一个三位数abc，a c，把它的数字次序反过来所成之数被原来的数减时，若差的

个位数是4,则差的另两位数字从右到左为（）

A、不能确定

B、5与9

C、9与5

D、5与4

C abc cba 100a 10 100c 10 c a ,：差的个位数是4,且a c,

二10 c a 4, a c 6，故100a 10 100c 590，即差是594。

8、方程x2 3y216的整数解的组数是（B ）

A、5

B、6

C、7

D、7 组以上

9、三元方程x y z 1999的非负整数解的个数有（ C ）

A、20001999 个

B、19992000 个

C、2001000 个

D、2001999 个

（2008年希望杯）使方程 3x 2y 200成立的正整数对（x, y ）有（B ） A 、66 个

B 、33 个

C 、30 个

D 、18 个

1 1

一

（2004希望杯）八（1）班共有35名学生，其中一的男生和-的女生骑自行车上学，那么

2

3

该班骑自行车上学的学生的人数最少是 （ D ） A 、 9

B 、 10

C 、 11

D 、 12

（2003年温州中考题）希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共

20个，其总价

值为330元，这三种球的价格分别是足球每个 60元，篮球每个30元，排球每个10元, 那么其中排球有 _______________ 15 ______ 个。 今有1分、2分和5分的硬币共计15枚，共值5角2分，则三种硬币个数的乘积 是 45或80 ___________ 。

（2004希望杯）一个直角三角形的三条边的长均为整数， 已知它的一条直角边的长是 18, 那么另一条直角边的长有 __2_种可能，它的最大值是 80 .

、 、 1 1 1

（2006年希望杯）方程 有 ______ 4 ____组正整数解。

6 x y

4x 3y 6

已知m 是整数，且方程组 有整数解，则 m 的取值为 -4,-5,4,-13

°

6x my 26

（2000年新加坡竞赛）正整数m 、n 满足8m 9n mn 6，则m 的最大值为

75 °

方程 x 2y 2 x 2 y 2

1 4xy 0的整数解是 _______________________________ ° x 1卡 x 1

?- (xy 1)2

(x y)2

0 ,???

xy 1 0

或

°

y 1

y 1

x y 0

方程组

3

3

3

x y z 3xyz 的正整数解是

o

x 2 2(y z)

x 2

y 1 ?/ 3xyz 0 , x,y,z 为正整数，??? x 3 y 3,

3

x 3 z ,? x y , x z ,

z 1

10、

11、

12、

13、

14、

15、

16、 17、

18 19、

20、 方程仮奶丽的整数解是—；27 ??? x 3 v 10、3

' 3 9 3 4 3

x 48 x 147

， ， ____________ °

y 12

y 3

73 3 3 °

??? 2x y z ,??? x2 2(y z) x2 4x , x 4，从第二个方程可知x为偶数,??? x 2, ? y 1, z 1 o

21、求所有的三个正整数，满足这三个数的和等于它们的积。

解：不妨设这三个数为x,y,z，且1 x y z，则有x y z xyz,

T 1 x y z，? xyz x y z 3z，? 1 xy 3，xy 可取1，2，3。

当xy 1

时，

x1，y1，则2 z z无解；

当xy

2

时，

x1，y2，则3 z2z，z3；

当xy

3

时，x1，

y

3，则4 z3z，z 2 y 3 ，不合题意舍去

所有所求的三个数为1，2，3o