电磁感应

第十一章 电磁感应与电磁场
11-3 如图，一长直载流导线PQ 附近有导体框ABCD ，框的边长分别为a AB =，
b BC =，
导线与框处于同一平面上。

线框以匀速率v 向右运动。

PQ 中电流强度I 与时刻t 的关系是：kt I I +=0（0I 、k 为正常量）。

当0=t 时，线框AD 边距PQ 为0l 。

求：在时刻t ，（1）通过ABCD 的磁通量；（2）ABCD 上的感应电
动势（大小和方向）。

解：（1）选顺时针方向为回路正方向。

如图所示，在
矩形面积上任找一长为b 、宽为dr 且平行于直电流的细长
矩形面元，则通过该面元的磁通量为 bdr r I Bds s d B d πμ20==⋅=Φ 总的磁通量为
vt
l vt l a kt I b bdr r I d a vt l vt l +++⋅+==Φ=Φ⎰⎰+++00000ln )(2200πμπμ （2）由法拉第电磁感应定律得
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-+++-=Φ-=vt l a vt l v kt I vt l vt l a k b dt d i 00000011)(ln 2πμε 0>i ε时，沿顺时针方向；0<i ε时，沿逆时针方向。

11-4 边长为a 的正方形导体回路ABCD 以匀速v 横过一恒定的均匀磁场，该磁场只限于长为L 的虚线区域。

若用x 表示AB 边进入磁场的深度，试画出回路通过磁场时，（1）通过回路的磁通量x -Φ曲线。

（2）回路上感应电动势x -ε曲线。

解：x -Φ曲线和x -ε曲线如图所示。

11-9 一根长直导线通以恒定电流I 。

其旁的固定Ｕ形导线abcd 上有一根可以滑动的导线ab （见图）。

设三者在同一个平面内。

今使ab
向右以匀速v 运动。

求线框上的感应电动势的大小
和方向。

解：如图所示，在ab 上选取l d ' ，则感应电
动势的大小为
0000ln 22cos )(0l l l Iv l vd l I l vBd l d B v b
a b a l l l i o +-=''-='='⋅⨯=⎰⎰⎰+πμπμπε 负号表示方向为a b →，对整个回路为顺时针方向。

11-10 一长Ｌ的直导体棒PB ，在垂直于恒定匀强磁场方向的平面内，绕其端点Ｐ以角速度ω作匀速旋转(如图)，A 是PB 的中点，则PA 段中的动生电动势PA ε与AB 段中的动生电动势AB ε之比等于____________。

解：如图所示，PA 中的电动势和AB 中的电动势
分别为
22/02/081cos )(L B ldl B vBdl l d B v L L A
P PA ⋅-=-==⋅⨯=⎰
⎰⎰ωωπε 2
2/2
/8
3cos )(L B ldl B vBdl l d B v L L L L B A AB ⋅-=-==⋅⨯=⎰⎰⎰ωωπε
所以3:1:=AB PA εε。

11-12 长直载流导线中通有
恒定电流I ，附近放一导体半圆环
MN ，环半径为R ，环平面与直导
线共面，圆心Ｏ距直导线为a 。

半
环以速度v 平行于长直导线移动，
分别就如图(a)和(b)两种情况求环
两端的感应电动势ε（大小和方
向）。

解：用一根直导线连接MN ，则构成一闭合回路。

对于(a)、(b)两种情况，穿过回路的磁通量都没有发生改变，所以，AB AB εε=。

这样只需求图
（c ）中直线MN 的电动势即可。

R a R a Iv dr r Iv l d B v R a R a N
M MN -+-=-=⋅⨯=⎰⎰+-ln 22)(00πμπμε 方向为M N →。

11-13 水平放置的金属棒m ab 5.0=，绕通过棒上Ｍ点的铅直轴O O '在水平面内以14-=s πω作匀角速旋转。

m aM 1.0=，如图所示。

已知地磁场竖直向上的分量T B 4105.0-⨯=，求ab 两端的电势差。

解：⎰⎰⎰==⋅⨯=110
0)(l l a
M Ma Bldl vBdl l d B v ωε M a U U Bl -==212
1ω
同理 Mb εM b U U Bl -==2221ω 所以 )(1071.4)4.01.0(105.042
1)(2152242221V l l B U U Mb Ma b a --⨯-=-⨯⨯⨯=-=-=-πωεε
11-16 导体在磁场中作切割磁力线运动时，导体中会产生感应电动势，这时使导体中电荷运动的非静电力是洛仑兹力（的分力）；导体在变化的磁场中也可能产生感应电动势，这时使导体中电荷运动的非静电力是感应电场力。

11-19 如图，一金属棒弯成一圆环，但留有空隙PQ ，在环内一均匀磁场局限在半径为r 的区域，并垂直纸面向里，磁感应强度B 随时间均匀增大，空隙处静电场强度s E 的方向为Q P →，空隙处感应电场强度i E 的方向为Q P →。

11-20 无限长螺线管内的均匀磁场B 随时间均匀变化，导体回路
ACBA 静止放在磁场中（如图），则AB 上的感应电动势AB ε＜ACB 上的感
应电动势ACB ε。

（填＞或＜或=） 解：做特殊辅助线OA 、OB 。

由于OA 、OB 上的i E 与之垂直，所以
OA 、OB 上不产生感应电动势。

由于
OAB OAB AB S t B ∆∆∂∂=
=εε OACB OACB ACB B S t εε∂==∂ 因为OACB ABO S S <，所以AB ACB εε>。

11-22 均匀磁场B 充满圆柱形空间，两根等长金属棒MM 和NN 分别放在圆柱直径的位置和圆柱外，并分别接电流计，如图，当磁场变化时(=dt dB /恒量)，金属棒MM 中的感生电动势为零，因为它上面的感应电场与之垂直；NN 中的感生电动势不为零，因为它上面的感应电场与之不垂直； MM 所在回路中的电流不为零，因为穿过该闭合回路的磁通量有变化；NN 所在回路中的电流为零，因为穿过该闭合回路的磁通量没有变化。

11-25 半径为Ｒ的长直螺线中有均匀磁场，且 dt dB /＞０。

如图放置一直导线ac ，且R bc ab ==。

求导线ac 上的感生电动势
大小和方向。

解法一：利用电磁感应定律。

连接Oa 、Oc ，因为
0==Ob Oa εε，所以 dt
dB R R dt dB s dt Bs d dt d m Oac ac ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=-=Φ-==∆2212143)(πεε
负号表示电动势的方向为c a →。

解法二：感应电场线积分法。

⎰⎰⎰==⋅=b a b a i b a i ab dl dt dB r dl E l d E θθεcos 2cos dt
dB R dt dB hR dl dt dB h dl dt dB h b a b a 432222====⎰⎰ ⎰⎰==b a c b i bc dl dt
dB r R dl E θθεcos 2cos 2 因为θtan h l =，所以θ
θ2cos d h dl =，且θcos h r =，因此 dt
dB R d dt dB R d h dt dB h R b a bc 122cos cos cos /223/6/222πθθθθθεππ===⎰⎰
故 dt dB R R bc ab ac ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=124322πεεε c a →
11-34 两个长度均为L 的共轴螺线管，外管线圈的截面积为1S ，内管线圈的截面积为2S ，匝数分别为21N N 及，今用两种方法求其互感系数(L >>线圈半径)：（1）设想在2S 中通电流2I ，在1S 中磁感应强度=1B L I N 220μ，磁通链为121ΦN ，则
L
S N N LI S I N N I S B N I N M 12102122012111212112)(μμ===Φ= （2）设想在1S 中通电流1I ，在2S 中磁感应强度=2B L I N 110μ，磁通链为212ΦN ，则
L
S N N LI S I N N I S B N I N M 22101211021222121221)(μμ===Φ= 因为21S S ≠，所以2112M M ≠，但这是错误的，应该有2112M M =。

在上面的演算中，错误之处在方法（1）中，当2S 中通有I 时，B 只分布在2S 中，其外并无磁场，所以
2112S B =Φ。

11-36 一矩形线圈长a ，宽b 2，共Ｎ匝，放在一长直导线附近，线圈与导线共面，如图所示，它们之间的互感系数为0。

11-37 半径为r 的两圆形极板构成一平行板电容器，极板间距为d ，两极板以长直导线接到交流电源上去，其传导电流强度为t I ωsin 0，则电容器中位移电流强度为t I ωsin 0。

（忽略导线中的位移电流）
11-44 试写出包含下列意义的麦克斯韦方程式： 电场线起始于正电荷终止于负电荷⎰=⋅s q s d E 0/ε 。

变化的磁场一定伴随有电场⎰⎰⋅∂∂-=⋅l s s d t
B l d E 。

磁感线是无头无尾的⎰=⋅s
s d B 0 。

静电场是保守场⎰=⋅l
l d E 0 注：少了2题11-5和11-28还有11-19图。