小学奥数勾股定理
小学数学人教新版六年级上册奥数系列讲座：勾股定理(含答案解析)
小学数学人教新版六年级上册实用资料勾股定理内容概述1.勾股定理(毕达哥拉斯定理):直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方．公元前500年古希腊的毕达哥拉斯发现了勾股定理后,曾宰牛百头,广设盛筵以示庆贺．2. 公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五．三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实．汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦．句股各自乘，并，而开方除之，即弦．中国科学院数学与系统科学研究院的徽标(右图所示)采用的就是赵爽的弦图.2002年在北京举行的国际数学家大会的徽标也是弦图．如下,在弦图中有EFGH S =四边形()12ABCD MNPQ S S +矩形矩形C DG ADG CDE S S S '==V V V3. 伽菲尔德证法:美国第20任总统伽菲尔德对数学有浓厚的兴趣,在还是中学教师时曾给出一种勾股定理的证明方法：梯形面积=12(上底＋下底)×高 =12(a+b)×(a+b) =12(a+b)2；三个直角三角形的面积和=12ab+12ab+12c 2； 梯形面积=三个直角三角形面积和．12(a+b)2=12ab+12ab+12c 2,所以a 2+b 2=c 2. 4.公元前3世纪的欧几里得在《几何原本》中给出一种证明,简叙如下：如图,作出三个正方形,它们的边长分别为直角三角形ABC 的三边长.连接图中的虚线段对应的点；过C 作CK 平行于AF,交AB 、FG 分别于J 、K 点．易证△AFC ≌△BAE ,有12FAC S =V AF.FK=12AFKJ S 矩形,12BAE S =V EA.CA=ACDE S 正方形,所以AFKJ S =矩形ACDE S 正方形；易证△C BG ≌△HBA，有12CBG S =V BG.KG=12KGBJ S 矩形,12HBA S =V BH.IH=CBHI S 正方形,所以KGBJ S 矩形CBHI S =正方形.而AFGB AFKJ S S =正方形矩形KGBJ ACBE S S +=矩形正方形CBHI S +正方形．即有AB 2=AC 2+CB 2.5. 勾股数组:a=u 2-v 2,b=2uv,c=u 2+v 2如果a 、6、c 可以如此表达,那么a 、b 、c 称之为勾股数组,有a 2+b 2=c 2．如:u=2,v=l 时a=3,b=4,c=5；u=7,v=6时a=13,b=84,c=85．当然将已知的勾股数组内每个数都同时扩大若干倍得到的新的一组数还是勾股数组.典型问题2.智能机器猫从平面上的O 点出发.按下列规律行走:由O 向东走12厘米到A 1,由A 1向北走24厘米到A 2,由A 2向西走36厘米到A 3,由A 3向南走48厘米到A 4,由A 4向东走60厘米到A 5,…,问:智能机器猫到达A 6点与O 点的距离是多少厘米?【分析与解】 如右图所示,当智能机器猫到达A 6点时,相对 O 点,向东走了12-36+60=36厘米,向北走了24-48+72=48厘米． 有26OA =362+482,即OA 2=60．所以,A 6点到O 点的距离为60厘米．4.如图32-3所示,直角三角形PQR 的两个直角边分别为5厘米,9厘米问下图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少?【分析与解】 如右图,延长AR,DQ,过E,F 分别作AR,DQ 的平行线,在正方形EFRQ 内交成四个全等的直角三角形和一个小正方形GHMN ，四个全等的直角三角形面积之和与四个白色的三角形面积之和相等．小正方形HGNM 的边长为9-5=4厘米,所以面积为16平方厘米,而另 外两个正方形ABPR 、CDQR 他的面积分别为25,81．所以原图中3个正方 形面积之和比4个三角形面积之和大25+8l+16=122平方厘米．6.若把边长为1的正方形ABCD 的四个角剪掉,得一四边形A 1B l C l D l ,试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原来正方形面积的59,请说明理由.(写出证明及计算过程)【分析与解】如左图所示,我们知道利用弦图,可是弦图怎么利用?设构造出的弦图中最小正方形的面积为x最大正方形面积为1,那么有剩下的正方形面积为12(x+1)=59,所以x=19.那么,最小正方形的边长为13.由于是四角对称的剪去,所以有AD l=DC l=CB l=BA1=13,AA l=BB l=CC l=DD l=23证明及计算过程略．8.有5个长方形,它们的长和宽都是整数,且5个长和5个宽恰好是1～10这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形,那么,大正方形面积的最小值为多少?【分析与解】注意到,5个长、宽均不相等的长方形拼成一个正方形,只有一种拼法.(如右图所示，由弦图联想到)．A、B、C、D中必有一个长方形的一边长为10,不妨设为A，那么显然不能组成边长为10的正方形；如果能够组成边长为11的正方形,那么有11=10+1=9+2=8+3=7+4=6+5,那么大正方形的四边必须是为11,则剩下的两个数,它们的和为11,为中问阴影部分的长、宽和；评注:如果能够组成边长为12的正方形,那么有12=10+2=9+3=8+4=7+5,剩下1、6试填不满足．对于边长为13的正方形,注意到13=10+3=9+4=8+5=7+6,剩下1、2,有见下图情形,满足．10.园林小路,曲径通幽.如图32-7所示,小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成.问：内圈三角形石板的总面积大,还是外圈三角形的总面积大?请说明理由．【分析与解】如图①,我们任意抽出两块相邻的白色正方形石板,及它们所夹成的青、红两色的三角形石板，如图②所示.图中有∠CDB+∠ADG=1800.如果③,将△CDE 逆时针旋转900,得△C DG '.有A 、D 、C '在同一条直线上,且△C DG '与△ADG 等底同高,所以有C DG ADG CDE S S S '==V V V .也就是说,任意两块相邻的白色正方形石板,它们所夹成的青色三角形与红色三角形面积相等．注意到在原图中,除了外圈青色的两块三角形外,外圈三角形、内圈三角形一一对应.所以原图中,外圈三角形的面积大于内圈三角形的面积,如图①所示．。
小学奥数-勾股与弦图
勾股与弦图定 义：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么a b ，c ．222a b c +=中， ,则Rt ABC △90C ∠=︒222a b c +=直角三角形中常用数：⑴ 整数边：；；；；；()345，，()6810，，()51213，，()72425，，()81517，，等；()94041，，⑵ 如果是一组勾股数，那么也是一组勾股数（k 为正数） ()a b c ，，()ak bk ck ，，勾股定理的使用常常会联系弦图，如下图分别为外弦图和内弦图：外弦图内弦图cba C B A【例1】如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．【例2】如图，以三角形ABC的三边为边长向外作三个正方形，正方形内的数代表正方形的面积，求未知正方形的面积.【例3】如图，是由一个直角边都是1的直角三角形向外作直角三角形得到，形成一个美丽的螺旋图案，第8个直角三角形的斜边是多少？【例4】如图所示，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，最大正方形的边长是7，问：除最大正方形外的所有正方形的面积之和是多少？【例5】如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为 ．【例6】下图是学校一个正方形花圃的设计图，图中阴影部分是花圃，空白部分是草坪。
求花圃的面积是多少平方米？【例7】 如图，是由四个完全相同的长方形拼成，大正方形的面积是100平方分米，小正方形的面积是16平方分米，则每个长方形的面积是多少平方分米，长方形的短边是多少分米？【例8】如图，CDEF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，它的上底AD=23厘米，下底BC=35厘米，求三角形ADE 的面积.【例9】如下图所示，两个正方形ABCD 和DEFG 的边长都是整数厘米，点E 在线段CD 上，且CE<DE,线段CF=5厘米，则五边形ABCFG 的面积等于多少平方厘米？FGDECB A【例10】如下图所示，一个边长为10厘米的正方形木板斜靠在墙角上（木板厚度不计），AO距离为8厘米，那么点C距离地面的高度是多少厘米？。
奥数实用技巧直角三角形求解
奥数实用技巧直角三角形求解奥数实用技巧：直角三角形求解直角三角形是数学中常见的一种特殊三角形，它具有一个90度的直角和两条相对边长不等的直角边。
在解题时，我们经常需要利用一些实用技巧来求解直角三角形的边长、角度和面积。
以下是一些常用的奥数实用技巧，帮助我们更高效地解决与直角三角形相关的问题。
1. 勾股定理勾股定理是解决直角三角形问题的基础，它可以表示为a²+ b²= c²，其中a和b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。
当已知两条直角边的长度时，可以直接利用勾股定理求解斜边的长度。
例题1：已知直角三角形的直角边长分别为3和4，求斜边的长度。
解: 根据勾股定理，可以得到3² + 4² = c²，即9 + 16 = c²。
计算可得c² = 25，因此c = 5。
所以斜边的长度为5。
2. 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理是求解三角形内角度和边长的准则。
正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b和c分别为三角形的边长，A、B和C为对应的内角。
余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC，其中c为三角形的斜边，a和b为直角边。
根据正弦定理和余弦定理，我们可以求解直角三角形的各个角度和边长。
例题2：已知直角三角形的一条直角边为5，斜边为13，求另一条直角边的长度。
解：根据勾股定理，可以求得另一条直角边的长度为√(13² - 5²) = 12。
例题3：已知直角三角形的两条直角边的长度分别为3和4，求斜边的长度和三个内角的大小。
解：根据勾股定理，可以求得斜边的长度为5。
然后，利用正弦定理可以求得三个内角：sinA = 3/5，A = arcsin(3/5) ≈ 36.87°；sinB = 4/5，B = arcsin(4/5) ≈ 53.13°；由于直角为90°，所以C = 90°。
【培优奥数专题】五年级下册数学-勾股定理(解析版)
【培优奥数专题】五年级下册数学-勾股定理（解析版）一、知识点1、历史三千多年前，周朝数学家商高提出“勾三股四弦五”最早由公元前3世纪中我汉代数学家赵爽在《周髀算经》注解时给出相传，公元前550年，古希腊毕达哥拉斯首先发现，但其证明方法已失传2、概念直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方例如：两直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则a²＋b²＝c²3、勾股数组概念：指满足算式a²＋b²＝c²的三个正整数常见的勾股数组：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）变形的勾股数组：将上面四组勾股数组中任意一组的三个数同时扩大或缩小相同的倍数之后仍然是勾股数组4、勾股定理的逆定理如果一个三角形的三边长a、b、c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形二、学习目标1.我能够了解勾股定理的概念。
2.我能够理解勾股定理的逆定理，并能准确判断一个三角形是否为直角三角形。
3.我能够运用勾股定理解决简单的实际问题。
三、课前练习1.计算下列各题，并牢牢记住答案。
11²＝12²＝13²＝14²＝15²＝16²＝17²＝18²＝19²＝20²＝21²＝22²＝23²＝24²＝25²＝【解答】1211441691962252562893243614004414845295766252.画出下面图形的对称轴，并说一说你有什么发现？【解答】略四、典型例题思路点拨如何判断三角形为直角三角形如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
最长边所对的角为直角。
例题11.下列各组数中能恰好作为直角三角形三边长的是。
A.（4，5，6）B.（16，12，10）C.（10，24，26）D.（5，14，17）【解答】根据两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形发现只有C符合10²＋24²＝26²。
小学奥数 勾股定理 知识点+例题+练习 (分类全面)
勾股定理：直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a2+b2=c2o勾膻定理勾股数★满足关系a2+b2=c2的3个正整数a,b,c称为勾股数。
★常见的勾股数有：①3,4,5；②6,8,10；③8,15,17:④7,24,25；⑤5,12,13；⑥9,12,15…注意：①3,4,5既是勾股数，又是三个连续整数，它们非常特殊，不要认为三个连续整数都是勾股数；②每组勾股数的相同倍数也是勾股数；（如：3,4,5；6,8,10；9,12,15）③勾股数必须都是正整数，（如：0.3,0.4,0.5都是小数，因而不是勾股数）3米例2、一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树的底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是多少米？巩固、如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？巩固、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000m 处,过了20秒，飞机距离这个女孩头顶5000m,则飞机速度是多少？例3、暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝.他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为km.丄埋宝藏点632登陆点8巩固、轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9km，由于遇到冰山，只好又向南航行4km，再向西航行6km，再折向北航行2km，最后又向西航行9km，到达目的地B,求AB 两地间的距离.例4、一个圆桶，底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为多少厘米?如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米？B例5、下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A,B，C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是？巩固、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积的和是cm2.巩固、如图所示，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为?例6、如图，已知直角三角形两直角边BC，AC的长分别为3cm和4cm,那么CD有多长?巩固、三角形的三边长分别为6,&10，它的最短边上的高为，最长边上的高为巩固、若直角三角形的三边长分别为X,6,8,则X2=例7、等腰三角形ABC的腰长为10,底边上的高为6,则底边的长为多少？巩固、如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。
小学五年级奥数之勾股定理(1)
小学五年级奥数之勾股定理（1）勾股定理：一个直角三角形中，构成直角的两边叫做直角边；直角所对的边叫做斜边。
直角边的平方和等于斜边的平方。
设直角边为a和b，斜边为c，那么有：a²+b²=c²。
其中斜边是直角三角形中最长的边。
一般∠A对应的边是a，∠B对应的边是b，∠C 对应的边是c。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理。
一、基础训练1、在直角三角形ABC中，∠C=90度，如果a=6、b=8,那么c=（）；2、在直角三角形中，∠C=90度，如果a=5，c=13，那么b=（）；3、在直角三角形中，∠c=90度，如果c=625，b=20，求a=（）；4、以下各组数为边长，可以构成直角三角形的是（）。
A 6、7、8B 8、10、12C 10 24 26 D、20 、15、6245、一个直角三角形的一条直角边是12厘米，斜边是13厘米，问这个直角三角形的面积是多少平方厘米？6、下面正方形ABCD中，∠BAD=90°，∠CBD=90°，AD=8厘米、AB=6厘米,BC=20厘米，问正方形ABCD的面积是多少平方厘米？7、下面大正方形ABCD中，由4个一样的直角三角形和一个小正方形拼成，其中AF=3厘米、CE=7厘米,大正方形ABCD的面积是多少平方厘米？小正方形的面积是多少平方厘米？8、如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别是a、b、c;A、B、N、E、F五点在同一直线上，则正方形CNHM的面积是多少?单位：厘米)，用含有a、b、c、d的字母来表示。
9、如图，正方形网状格子组成的图中，AB、CD、EF、GH四条线段，其中可以构成直角三角形的三边的线段是（）?10、一个圆拄形的杯子中放着一根吸管，最多可以露出4厘米，最少可以露出2厘米，这个吸管的长度是12厘米，问玻璃杯底面直径是多少厘米？11、一根绳子在一个圆柱上从一端到另外一端绕了4整圈，如下图所示，圆柱底面周长4米，长12米，你可以算出绳子的长度吗？12、右图是美丽的人造平面珊瑚礁图案。
小学奥数勾股定理
勾股定理学前需掌握：三角形和多边形的面积计算方法有开平方和求平方根的概念了解为什么学习勾股定理？有一定图形和数字结合的认识为什么要学习勾股定理？勾股定理呢是几何的基础.首先,三角形是多边形中最简单的,而直角三角形是三角形中特殊的一种，这是数与形结合的最初形式。
.学习了勾股定理,就会解直角三角形.很多时候,在普通的三角形里,也会作辅助线分成几个直角三角形来做.所以,这个很基础!几何学是研究空间关系的数学分支，有时简称为几何。
学过数学的人，都知道它有一门分科叫作“几何学”，然而却不一定知道“几何”这个名称是怎么来的。
在中国古代，这门数学分科并不叫“几何”，而是叫作“形学”。
“几何”二字，在中文里原先也不是一个数学专有名词，而是个虚词，意思是“多少”。
比如三国时曹操那首著名的《短歌行》诗，有这么两句：“对酒当歌，人生几何？”这里的“几何”就是多少的意思。
那么，是谁首先把“几何”一词作为数学的专业名词来使用的，用它来称呼这门数学分科的呢？这是明末杰出的科学家徐光启。
关于勾股定理勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。
也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。
实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。
这是任何定理无法比拟的。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理．这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580－公元前500）．实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例．除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角．但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑．比如，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理．我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实．”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数．这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库．证明方法：先拿四个一样的直角三角形。
小学奥数勾股定理与弦图讲解
的面积。
⑴大正方形边长为：a＋b
⑵小正方形边长为：a－b
米，求这个三角形的面积？
【例 7】(★★★★★)
从一块正方形玻璃上裁下宽为16 分米的一长方形条后，剩下的那块长方形的面积为336 平方分米，原来正方形的面积是多少平方分米？
自我检测
1.将长为10 米的梯子斜靠在墙上，若梯子上端到墙的底端距离为6
米，则梯足到墙的底端距离为__________米．
2.若直角三角形一直角边和斜边分别为17 和145 ，则另一直角边
为___________。
3.已知一个直角三角形的两边长分别为3 和4，则第三边长的平方
是。
4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为
___________cm2．
5.如图在△ABC中，AB =15,AC=13,高AD=12，则△ABC的面积为？
易错题
（1）某人以匀速行走在一条公路上，公路两端的车站每隔相同的时间开出一辆公共汽车，该行人发现每隔30分钟就会有一辆公共汽车追上他；而每隔20分钟有一辆公共汽车迎面开来．问车站每隔多少分钟开出一辆车？
（2）有4袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过90。
这4袋糖块总共最少有多少块？。
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勾股定理
内容概述
1.勾股定理（毕达哥拉斯定理):直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方．
公元前50０年古希腊的毕达哥拉斯发现了勾股定理后,曾宰牛百头,广设盛筵以示庆贺.
２. 公元前１1世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五.既方之.外半卿一矩，环而共盘．得成三、四、五.
三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之，即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实，加差之，亦成弦实.
汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股,相与结角曰弦．句短其股，股短其弦.
句股各自乘,并,而开方除之,即弦． 中国科学院数学与系统科学研究院的徽标(右图所示)采用的就是赵爽
的弦图．2002年在北京举行的国际数学家大会的徽标也是弦图．
如下，在弦图中有EFGH S =
四边形()12ABCD MNPQ S S +矩形矩形C DG ADG CDE S S S '==
3. 伽菲尔德证法:美国第2０任总统伽菲尔德对数学有浓厚的兴趣,在还是中学教师时曾给出一种勾股定理的证明方法：
梯形面积=12(上底+下底)×高 ＝12（a+b)×（a ＋b) =12
(a+b ）2；
三个直角三角形的面积和=12ab+12ab ＋12
c ２; 梯形面积=三个直角三角形面积和．
12（a ＋b)2=12ａｂ+12ab+12
c 2，所以a 2+ｂ2=c 2. 4. 公元前3世纪的欧几里得在《几何原本》中给出一种证明，简叙如下:
如图,作出三个正方形，它们的边长分别为直角三角形ＡBC 的三边长.连接图中的虚线段对应的点;过Ｃ作C Ｋ平行于AF,交ＡＢ、FG 分别于J 、K 点．
易证△AFC ≌△BAＥ,有12FAC S
=AF.ＦK=12AFKJ S 矩形，12
BAE S =EA ．CA=ACDE S 正方形，所以AFKJ S =矩形 ACDE S 正方形;
易证△CBG≌△HBA，有12CBG S
=BG.ＫＧ=12KGBJ S 矩形,12
HBA S =BH.IH ＝CBHI S 正方形,所以KGBJ S 矩形 CBHI S =正方形.
而AFGB AFKJ S S =正方形矩形KGBJ ACBE S S +=矩形正方形CBHI S +正方形.
即有A Ｂ2=AC 2＋CB 2
.
5. 勾股数组:a＝u2-v2，b＝2uv,c=u2＋v2如果a、6、c可以如此表达,那么ａ、b、c称之为勾股数组，有a2＋b2=ｃ2.
如:u=2,v=l时a=3,b=4,c＝5;u＝7,v=6时a＝13，b＝84，c＝８５．
当然将已知的勾股数组内每个数都同时扩大若干倍得到的新的一组数还是勾股数组.
典型问题
2.智能机器猫从平面上的Ｏ点出发.按下列规律行走：由O向东走１2厘米到A１,由A１向北走２4厘米到A2,由A2向西走３6厘米到A３,由A３向南走48厘米到A4,由Ａ４向东走60厘米到Ａ5,…，问:智能机器猫到达A６点与O点的距离是多少厘米？
【分析与解】如右图所示，当智能机器猫到达A６点时，相对
Ｏ点,向东走了1２-３6+60=３6厘米,向北走了24-48＋72=48厘米．
有2
6
OA＝３6２+４８2,即OA２＝６0.
所以,Ａ6点到O点的距离为6０厘米．
4.如图３２－３所示,直角三角形PQR的两个直角边分别为5厘米,９厘米问下图中３个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少?
【分析与解】如右图,延长ＡR,DQ,过E,F分别作ＡR,DQ的平行线,在正方形EFRQ内交成四个全等的直角三角形和一个小正方形GHMＮ，四个全等的直角三角形面积之和与四个白色的三角形面积之和相等．
小正方形HＧNＭ的边长为9-５=４厘米,所以面积为1６平方厘米，
而另
外两个正方形AＢPＲ、CＤQＲ他的面积分别为25,8１．所以原图中3个
正方
形面积之和比4个三角形面积之和大25+8l＋１6＝1２2平方厘米．
6.若把边长为1的正方形ABCＤ的四个角剪掉，得一四边形A1B l C lＤl,试问怎样剪,才能使剩
下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原来正方形面积的5
9
,请说明理由.(写出证明及
计算过程)
【分析与解】如左图所示，我们知道利用弦图，可是弦图怎么利用?设构造出的弦图中最小正方形的面积为x最大正方形面积为1,那么有剩下的正方形面
积为1
2
(ｘ+1)=
5
9
,所以ｘ=
1
9
.
那么,最小正方形的边长为1
3
．由于是四角对称的剪
去,所以有AD l=ＤC l=CB l=BA1=1
3
,AA l=ＢB l=CC l=DＤｌ=
2
3
证明及计算过程略．
８.有5个长方形,它们的长和宽都是整数,且5个长和5个宽恰好是1～10这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形，那么,大正方形面积的最小值为多少?
【分析与解】注意到,５个长、宽均不相等的长方形拼成一个正方形,只有一种拼法.（如右图所示,由弦图联想到）．
A、B、C、D中必有一个长方形的一边长为１0,不妨设为A,
那么显然不能组成边长为１０的正方形;
如果能够组成边长为11的正方形，那么有１1＝1０+1=９＋２=８+3=7＋４＝6
＋5,那么大正方形的四边必须是为11，则剩下的两个数,它们的和为1１,为中问阴影
部分的长、宽和；
评注：如果能够组成边长为1２的正方形,那么有１2=10+2＝9+3=８＋４=7+５,剩下1、6试填不满足.
对于边长为1３的正方形,注意到１3=1０＋３=9+4=8+５=７+６，剩下1、2,有见下图情形,满足．
１0.园林小路,曲径通幽.如图３2－7所示，小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成.问:内圈三角形石板的总面积大,还是外圈三角形的总面积大?请说明理由．
【分析与解】如图①,我们任意抽出两块相邻的白色正方形石板,及它们所夹成的青、红两色的三角形石板,如图②所示．图中有∠CDB+∠ADＧ＝1800．
如果③,将△ＣＤE 逆时针旋转９00
,得△C DG '.有A 、D 、C '在同一条直线上,且△C DG '与△ADG 等底同高,所以有C DG ADG CDE S S S '==.
也就是说,任意两块相邻的白色正方形石板,它们所夹成的青色三角形与红色三角形面积相等.
注意到在原图中，除了外圈青色的两块三角形外,外圈三角形、内圈三角形一一对应.所以原图中,外圈三角形的面积大于内圈三角形的面积,如图①所示.。