高等数学电子教案：10-3(1)
高等数学电子教案：10-5
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型 双 侧
n
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
曲面法向量的指向决定曲面的侧.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
曲面的投影问题: 在有向曲面Σ上取一小块
曲面 S, S在xoy面上的投影(S)xy为
n
R( x,
y,
z)dxdy
lim
0
i 1
R( i
,i
,
i
)( Si
) xy
被积函数
积分曲面
类似可定义
n
P(
x,
y,
z)dydz
lim0i 1P ( i,i,
i
)( Si
)
yz
n
Q( x,
y, z)dzdx
lim
0
i
1
Q(
i
,
i
,
i
)(
Si
)
zx
存在条件: 当P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在有向光滑曲 面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在. 组合形式:
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
物理意义:
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
性质:
1. Pdydz Qdzdx Rdxdy 1 2
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
Dxy
高等数学教案word版
高等数学教案word版篇一：高等数学上册教案篇二：《高等数学》教案《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。
函数概念、性质（分段函数）—基本初等函数—初等函数—例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。
高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。
一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。
[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：y?f(x)（说明表达式的含义）(1)定义域：自变量的取值集合（D）。
(2)值域：函数值的集合，即{yy?f(x),x?D}。
例1、求函数y?ln(1?x2)的定义域？2、函数的图像：设函数y?f(x)的定义域为D，则点集{(x,y)y?f(x),x?D} 就构成函数的图像。
《高等数学电子教案》课件
《高等数学电子教案》PPT课件第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标：理解函数的概念，掌握函数的性质，了解函数的图像。
教学内容：函数的定义，函数的性质，函数的图像。
1.2 极限的概念与性质教学目标：理解极限的概念，掌握极限的性质，学会求极限。
教学内容：极限的定义，极限的性质，极限的求法。
第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质教学目标：理解导数的概念，掌握导数的性质，学会求导数。
教学内容：导数的定义，导数的性质，求导数的方法。
2.2 微分的概念与性质教学目标：理解微分的概念，掌握微分的性质，学会求微分。
教学内容：微分的定义，微分的性质，求微分的方法。
第三章：积分与微分方程3.1 不定积分的概念与性质教学目标：理解不定积分的概念，掌握不定积分的性质，学会求不定积分。
教学内容：不定积分的定义，不定积分的性质，求不定积分的方法。
3.2 定积分的概念与性质教学目标：理解定积分的概念，掌握定积分的性质，学会求定积分。
教学内容：定积分的定义，定积分的性质，求定积分的方法。
第四章：向量与线性方程组4.1 向量的概念与性质教学目标：理解向量的概念，掌握向量的性质，学会求向量的运算。
教学内容：向量的定义，向量的性质，向量的运算。
4.2 线性方程组的概念与性质教学目标：理解线性方程组的概念，掌握线性方程组的性质，学会解线性方程组。
教学内容：线性方程组的定义，线性方程组的性质，解线性方程组的方法。
第五章：矩阵与行列式5.1 矩阵的概念与性质教学目标：理解矩阵的概念，掌握矩阵的性质，学会求矩阵的运算。
教学内容：矩阵的定义，矩阵的性质，矩阵的运算。
5.2 行列式的概念与性质教学目标：理解行列式的概念，掌握行列式的性质，学会求行列式的值。
教学内容：行列式的定义，行列式的性质，求行列式的方法。
第六章：级数与泰勒公式6.1 级数的概念与性质教学目标：理解级数的概念，掌握级数的性质，学会求级数的收敛性。
教学内容：级数的定义，级数的性质，求级数的收敛性。
高等数学电子教案
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种规则，将一个非空数集（定义域）中的每一个元素对应到另一个非空数集（值域）中的唯一元素。
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个确定的值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、传递性、夹逼性等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代数法、几何法、泰勒公式等。
极限的运算法则：加减法、乘除法、复合函数的极限等。
1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于0，称f(x)为无穷小。
无穷大的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于正无穷或负无穷，称f(x)为无穷大。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)或df/dx，表示函数在该点的瞬时变化率。
导数的几何意义：函数图像在某点处的切线斜率。
2.2 导数的计算基本导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数。
导数的运算法则：和差法、乘法法、链式法则等。
2.3 微分的概念与计算微分的定义：函数f(x)在点x处的微小变化量，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式df(x)=f'(x)dx，以及微分的运算法则。
2.4 微分方程的概念与解法微分方程的定义：含有未知函数及其导数的方程。
微分方程的解法：分离变量法、积分因子法等。
第三章：积分与面积3.1 不定积分的概念与计算不定积分的定义：函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx，表示f(x)与x轴之间区域的面积。
基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数等的不定积分。
3.2 定积分的概念与计算定积分的定义：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx，表示f(x)在[a,b]区间上的累积面积。
高等数学电子教案
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。
函数的性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代入法、因式分解法、有理化法等。
无穷小与无穷大的概念：无穷小是指绝对值趋近于0的量，无穷大是指绝对值趋近于无穷的量。
1.4 极限的应用函数的连续性：如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，称该函数在这一点连续。
导数的概念：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。
第二章：微积分基本定理2.1 导数的定义与计算导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率，记作f'(x)。
导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算法则等。
2.2 微分的概念与计算微分的定义：微分表示函数在某一点的切线与x轴的交点横坐标的差值，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式、微分的四则运算法则等。
2.3 积分的概念与计算积分的定义：积分表示函数图像与x轴之间区域的面积，记作∫f(x)dx。
积分的计算：基本积分公式、积分的换元法、分部积分法等。
2.4 微积分基本定理微积分基本定理的定义：微积分基本定理是微分与积分之间的关系，即导数的不定积分是原函数，积分的反函数是原函数的导数。
第三章：微分方程3.1 微分方程的定义与分类微分方程的定义：微分方程是含有未知函数及其导数的等式。
微分方程的分类：常微分方程、偏微分方程等。
3.2 常微分方程的解法常微分方程的解法：分离变量法、积分因子法、变量替换法等。
3.3 微分方程的应用微分方程在物理、工程等领域的应用，例如描述物体运动、电路方程等。
第四章：级数4.1 级数的概念与性质级数的定义：级数是由无穷多个数按照一定的规律相加的序列，记作∑an。
高等数学电子教案（大专版）
高等数学电子教案（大专版）《高等数学》教案第一讲函数与极限1.函数的定义设有两个变量x ，y 。
对任意的x ∈D ，存在一定规律f ，使得y 有唯一确定的值与之对应，则y 叫x 的函数。
记作y=f(x)，x ∈D 。
其中x 叫自变量，y 叫因变量。
函数两要素：对应法则、定义域，而函数的值域一般称为派生要素。
例1：设f(x+1)=2x 2+3x-1，求f(x).解：设x+1=t 得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2-t-2∴f(x)=2x 2 – x – 2定义域：使函数有意义的自变量的集合。
因此，求函数定义域需注意以下几点：①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0例2 求函数y=6—2x －x +arcsin712x －的定义域. 解：要使函数有定义，即有：1|712|062≤-≥--x x x ? 4323≤≤--≤≥x x x 或?4323≤≤-≤≤-x x 或于是，所求函数的定义域是：[-3，-2]Y [3，4].例3 判断以下函数是否是同一函数，为什么？（1）y=lnx 2与y=2lnx (2)ω=u 与y=x解（1）中两函数的定义域不同，因此不是相同的函数. （2）中两函数的对应法则和定义域均相同，因此是同一函数. 2. 初等函数（1）基本初等函数常数函数：y=c(c 为常数) 幂函数：y=μx （μ为常数）指数函数：y=xa (a>0，a ≠1，a 为常数) 对数函数：y=x a log (a>0，a ≠1，a 为常数)三角函数：y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx 反三角函数：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx（2）复合函数设),(u f y =其)(x u ?=中，且)(x ?的值全部或部分落在)(u f 的定义域内，则称)]([x f y ?=为x 的复合函数，而u 称为中间变量.例4：若y=u ，u = sinx ，则其复合而成的函数为y=x sin ，要求u 必须≥0，∴sinx ≥0，x ∈[2k π，π+2k π]例5：分析下列复合函数的结构（1）y=2cotx （2）y=1sin 2+x e解：（1）y=u ，u=cosv ，v=2x（2）y=ue ，u=sinv ，v=t ，t=x 2+1例6：设f(x)=2x g(x)=x 2 求f[g(x)] g[f(x)]解：f[g(x)]=f(x 2)=(x 2)2=4x g[f(x)]=g(2x )=22x3. 极限（1）定义函数y=f(x)，当自变量x 无限接近于某个目标时（一个数x 0，或+∞或—∞），因变量y 无限接近于一个确定的常数A ，则称函数f(x)以A 为极限。
《高等数学电子教案》课件
《高等数学电子教案》课件一、第1章函数与极限1.1 函数的概念与性质定义域、值域、对应关系奇函数、偶函数、周期函数单调性、连续性、可导性1.2 极限的概念与性质极限的定义（洛必达法则）无穷小、无穷大、极限的存在性极限的运算法则、夹逼定理、单调有界定理二、第2章导数与微分2.1 导数的定义与计算导数的定义（极限比值法）基本导数公式、导数的运算法则高阶导数、隐函数求导、参数方程求导2.2 微分的作用与应用微分的定义、微分的运算法则微分在近似计算、物理应用等方面的作用微分方程的解法与应用三、第3章泰勒公式与不定积分3.1 泰勒公式的概念与计算泰勒公式的定义、泰勒级数常见函数的泰勒展开式泰勒公式在近似计算中的应用3.2 不定积分的概念与计算不定积分的定义、基本积分公式换元积分、分部积分积分在几何、物理等方面的应用四、第4章定积分与反常积分4.1 定积分的概念与计算定积分的定义、定积分的性质牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、分部积分法定积分在几何、物理等方面的应用4.2 反常积分的概念与计算反常积分的定义、无穷区间上的积分瑕点、解析延拓、魏尔斯特拉斯函数反常积分在实际应用中的意义五、第5章微分方程与线性微分方程组5.1 微分方程的概念与解法微分方程的定义、微分方程的解常微分方程、线性微分方程、非线性微分方程分离变量法、积分因子法、变量替换法5.2 线性微分方程组的概念与解法线性微分方程组的定义、解的结构高阶线性微分方程、齐次线性微分方程特解法、待定系数法、常数变易法六、第6章级数6.1 数项级数的概念与判别法数项级数的定义、收敛性与发散性收敛级数的性质、级数的收敛准则（比较检验、比值检验、根值检验）绝对收敛与条件收敛6.2 幂级数的概念与性质幂级数的定义、收敛半径、收敛区间幂级数的运算、泰勒级数与麦克劳林级数幂级数在函数逼近与数值计算中的应用七、第7章多元函数的极限与连续7.1 多元函数的概念与性质多元函数的定义、偏导数、全微分多元函数的单调性、连续性、可微性方向导数与梯度7.2 多元函数的极限与连续多元函数的极限定义、极限的存在性多元函数的连续性、无穷远点多元函数极限与单变量函数极限的对比八、第8章多元函数的导数与微分8.1 多元函数的导数与微分多元函数的偏导数、全导数高阶偏导数、隐函数求导、参数方程求导微分的概念与性质、微分在多元函数中的应用8.2 多元函数的泰勒公式与不定积分多元函数的泰勒公式、泰勒级数不定积分的概念、多元函数的不定积分积分在多元函数中的应用九、第9章多元函数的定积分与反常积分9.1 多元函数的定积分多元函数定积分的定义、性质多元函数定积分的计算、换元法、分部积分法多元函数定积分在几何、物理等方面的应用9.2 多元函数的反常积分多元函数反常积分的定义、无穷区间上的积分多元函数瑕点、解析延拓、魏尔斯特拉斯函数多元函数反常积分在实际应用中的意义十、第10章向量分析与线性代数10.1 向量分析的概念与方法向量的定义、向量的运算空间解析几何、向量场的概念梯度、散度、旋度、格林公式10.2 线性代数的基本理论向量空间、线性变换、特征值与特征向量矩阵的运算、行列式、特征方程线性方程组、最小二乘法、正交投影重点和难点解析一、第1章函数与极限1.1 函数的概念与性质重点关注函数的奇偶性、周期性及单调性难点解析：奇偶性的判断、周期性的求解、单调性的证明1.2 极限的概念与性质重点关注极限的定义、性质及运算法则难点解析：极限的判断（洛必达法则）、无穷小与无穷大的比较、极限的夹逼定理与单调有界定理二、第2章导数与微分2.1 导数的定义与计算重点关注导数的定义、基本导数公式及导数的运算法则难点解析：导数的计算（隐函数求导、参数方程求导）、高阶导数的应用、导数在实际问题中的应用2.2 微分的作用与应用重点关注微分的定义及微分的运算法则难点解析：微分的应用（近似计算、物理应用）、微分方程的解法及应用三、第3章泰勒公式与不定积分3.1 泰勒公式的概念与计算重点关注泰勒公式的定义、常见函数的泰勒展开式难点解析：泰勒公式的应用（近似计算）、泰勒级数的收敛性判断3.2 不定积分的概念与计算重点关注不定积分的定义、基本积分公式及积分方法难点解析：不定积分的计算（换元积分、分部积分）、积分在几何、物理等方面的应用四、第4章定积分与反常积分4.1 定积分的概念与计算重点关注定积分的定义、性质及计算方法难点解析：定积分的计算（牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法）、定积分在几何、物理等方面的应用4.2 反常积分的概念与计算重点关注反常积分的定义、性质及计算方法难点解析：反常积分的计算（瑕点、解析延拓、魏尔斯特拉斯函数）、反常积分在实际应用中的意义五、第5章微分方程与线性微分方程组5.1 微分方程的概念与解法重点关注微分方程的定义、解的结构及解法难点解析：微分方程的解法（分离变量法、积分因子法、变量替换法）、高阶线性微分方程的解法5.2 线性微分方程组的概念与解法重点关注线性微分方程组的定义、解的结构及解法难点解析：线性微分方程组的解法（特解法、待定系数法、常数变易法）、线性微分方程组的应用全文总结与概括：本文针对《高等数学电子教案》课件的十个章节进行了重点和难点的解析。
高等数学教案完整版
包括局部保号性、介值定理、零 点定理等。这些性质为分析和研 究连续函数的性质和行为提供了 重要的依据。
连续函数在数学分析、物理学、 工程学等领域有着广泛的应用。 例如，利用连续函数的性质可以 研究函数的单调性、极值等问题； 利用介值定理可以判断方程根的 存在性等。
PART 03
导数与微分
REPORTING
行列式的计算 利用性质将行列式化为上（下）三角形行列式，然后计算主对角线元素的乘积。
矩阵概念及运算规则
1 2
矩阵的定义 由m×n个数排成m行n列的数表称为m行n列的 矩阵，简称m×n矩阵。
矩阵的运算规则 矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算规则。
3
矩阵的性质
矩阵的加法满足交换律和结合律；数乘满足分配 律；矩阵乘法满足结合律和分配律，但不满足交 换律。
PART 07
线性代数初步
REPORTING
行列式概念及性质
行列式的定义
由n^2个数按一定规则排成的n行n列的数表称为n阶行列式。
行列式的性质
行列式与它的转置行列式相等；互换行列式的两行（列），行列式变号；行列式的某一行（列）的公因子可以提到行列式 外面；若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式的和。
若∑|u_n|收敛，则称原级数绝对 收敛；若原级数收敛但∑|u_n|发 散，则称原级数条件收敛。
比较判别法
通过比较级数与已知收敛或发散 的级数来判断其收敛性。
级数定义
比值判别法与根值判别法
无穷序列的和，表示为∑u_n，其 中u_n为级数的通项。
通过求通项的比值或根值的极限 来判断级数的收敛性。
微分方程与级数应用举例
利用微分方程描述人口
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CBE
CAE
d
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
EAC
c
LQ( x, y)dy
o
同理可证
D
P y
dxdy
L
P
(
x
,
y
)dx
E D
C
x 2( y)
x
两式相加得
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
证明(2)
L3 D3
若区域D 由按段光
滑的闭曲线围成.如图,
将D 分成三个既是X 型又是 L1 D1
x
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d }
Q dxdy
d
dy
2 ( y) Qdx
D x
c
1 ( y) x
d
c
Q(
2
(
y),
y)dy
d
c
Q(
1(
y),
y)dy
y
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
四、小结
1.连通区域的概念;
2.二重积分与曲线积分的关系
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
——格林公式;
3. 格林公式的应用.
思考题
y
若区域 如图为
复连通域，试描述格
D
C
G
林公式中曲线积分中LE的方向。源自oAFBx
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
思考题解答
围成的面积.
解 ONA为直线 y 0.
M
曲线AMO 由函数
A(a,0) N
y ax x, x [0,a]表示,
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
M
N
A(a,0)
1 2
0
a
x(
2
a ax
1)dx
(
ax x)dx
a a
40
xdx 1 a2 . 6
L3
E C
F
L1
A
{ } (Pdx Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA
( )(Pdx Qdy)
L2
L3
L1
Pdx Qdy L
(L1,L2 , L3对D来说为正方向)
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系.
则 Q P e y2 , x y
A
x
1
应用格林公式,有
e y2dxdy
xe y2 dy
D
OA AB BO
xe y2dy 1 xex2dx
OA
0
1 (1 e1 ). 2
例3
计算
L
xdy x2
ydx y2
,其中L
为一条无重点,
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方
向为逆时针方向.
L Pdx Qdy
L3 D3
( L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1 D1
D2 L2
L
证明(3)
G
若区域不止由一条闭曲
线所围成.添加直线段 AB,CE.
则D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成.
D
L2
B
由(2)知
D
(
Q x
P y
)dxdy
D
OA xdy AB xdy BO xdy,
由于 OA
xdy
0,
BO xdy 0,
xdy dxdy 1 r2.
AB D
4
2. 简化二重积分
y
例 2 计算
e y2 dxdy ,其中D 是
B 1
D
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
o
解 令P 0, Q xe y2 ,
便于记忆形式:
x ydxdy L Pdx Qdy.
DP Q
三、简单应用
1. 简化曲线积分
例 1 计算 xdy ,其中曲 AB
线 AB是半径为r 的圆在
第一象限部分.
y
A
D
oL
Bx
解 引入辅助曲线L , L OA AB BO
应用格林公式, P 0, Q x 有
dxdy L xdy
解 记L所围成的闭区域为D ,
令P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
则当 x2
y2
0时,
有Q x
(
y2 x2
x2 y2 )2
P .
y
y
(1) 当(0, 0) D时,
由格林公式知
L
xdy x2
ydx y2
0
D
o
(2) 当(0,0) D时,
L x
作位于D 内圆周 l : x2 y2 r 2, y L
一、区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.
D D
单连通区域
复连通区域
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成
的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
格林公式:
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
取P y, Q x, 得 2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D 的面积
A
1
2 L
xdy
ydx .
取P 0, Q x, 得 A L xdy 取P y, Q 0, 得 A L ydx
例 4 计算抛物线( x y)2 ax(a 0)与x 轴所
G
G
G
一维单连通 二维单连通
一维单连通 二维不连通
一维不连通 二维单连通
二、格林公式
定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围
成,函数P( x, y)及Q( x, y)在D 上具有一阶连
续偏导数, 则有
D
( Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(1)
其中L 是D 的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边.
证明(1)
若区域D 既是X 型 又是Y 型,即平行于 坐标轴的直线和L 至
多交于两点.
y
d x 1( y)
A c oa
E y 2(x)
D
B
x 2( y)
Cy 1(x) b
记D1由L 和l 所围成,
应用格林公式,得
l D1
or
x
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy x2
ydx y2
0
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy x2
ydx y2
y
L
D1
l
or
x
2r 2
0
cos2
r2
r2
sin2
d
2 .
( 其 中l 的 方 向 取逆时针方向)
(注意格林公式的条件)
3. 计算平面面积
Y 型的区域D1,D2 ,D3 .
Q P
Q P
( )dxdy
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
D2 L2
D L
Q P
Q P
Q P
(
D1
x
y
)dxdy
(
D2
x
y
)dxdy
(
D3
x
y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy