分母为二次多项式时求和放缩技巧
放缩法技巧全总结(非常精辟,是尖子生解决高考数学最后
2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:一、裂项放缩例1.1求的值;2求证:.解析:1因为,所以2因为,所以奇巧积累:1 2 34 5 6 7 8 9 10 11111213 14 15 15 例2.1求证: 2求证: 3求证: 4 求证:解析:1因为,所以2 3先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案4首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的,所以例3.求证: 解析:一方面:因为,所以另一方面: 当时,,当时,,当时,,所以综上有例 4.2008年全国一卷设函数.数列满足..设,整数.证明:解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则,否则若,则由知,,因为,于是例5.已知,求证: 解析:首先可以证明: 所以要证只要证:故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知,,求证:.解析:所以从而例7.已知,,求证:证明: ,因为,所以所以二、函数放缩例8.求证: 解析:先构造函数有,从而因为所以例9.求证:1 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式: ,例10.求证:解析:提示:函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,,所以有,,…,,,相加后可以得到:另一方面,从而有取有,,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:加强命题例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有,所以,所以,令有,所以,所以例14. 已知证明.解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案放缩思路:。
函数放缩法技巧全总结
函数放缩法技巧全总结函数放缩法是数学中常用的一种方法，用于求解函数的极限、导数、积分等问题。
它通过对函数进行适当的放缩，从而得到更简单、更易处理的形式，进而解决原问题。
在实际应用中，函数放缩法可以帮助我们更加灵活地处理复杂的数学问题，提高问题求解的效率和准确性。
下面，我们将对函数放缩法的技巧进行全面总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一方法。
首先，函数放缩法的核心思想是利用已知函数的性质，构造一个比较简单的函数，从而对原函数进行放缩。
常用的放缩方法包括利用三角函数的性质、利用幂函数的性质、利用指数函数的性质等。
在具体应用中，我们需要根据具体问题的特点，选择合适的放缩方法，以达到简化问题、加快求解的目的。
其次，对于常见的函数放缩技巧，我们可以总结如下：1. 利用三角函数的性质，对于涉及三角函数的问题，可以利用三角函数的周期性、奇偶性、单调性等性质，构造合适的三角函数放缩原函数，从而简化问题的求解。
2. 利用幂函数的性质，对于幂函数的问题，可以利用幂函数的增减性、凹凸性等性质，构造合适的幂函数放缩原函数，从而简化问题的求解。
3. 利用指数函数的性质，对于指数函数的问题，可以利用指数函数的增减性、单调性等性质，构造合适的指数函数放缩原函数，从而简化问题的求解。
4. 利用函数的极限性质，对于函数的极限问题，可以通过构造逼近原函数的序列或函数，利用函数的极限性质，对原函数进行放缩，从而求得原函数的极限。
5. 利用函数的导数性质，对于函数的导数问题，可以利用导数的定义、性质，构造合适的导数函数，对原函数进行放缩，从而简化导数的计算。
最后，需要注意的是，在使用函数放缩法时，我们需要充分理解原函数的性质，灵活选择合适的放缩方法，并且要注意放缩后的函数与原函数之间的关系，以确保放缩后的函数能够准确反映原函数的性质。
另外，对于一些特殊的函数，我们也可以通过函数的泰勒展开、泰勒公式等方法，对函数进行适当放缩，进而求解问题。
放缩法的注意问题以及解题策略
n n2 n n2 2 2； n2 n n2 n
（4）二项式定理放缩：如 2 1 2n 1( n 3) ； （ 5）舍掉（或加进）一些项，如： | an a1 || a2 a1 | | a3 a2 | | an an 1 | ( n 2) 。 例题选用
bn 1 3 2(bn 3) ， n N * ，迭乘得： bn 3 2n 1 (b1 3) 2n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 , n N * Tn 2 3 4 ... n 1 n 1 2 2 2 2 2 2 2 bn 3 2
放缩法的注意问题以及解题策略
1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩
小。
2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放
缩。
3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：
（ 1）根式的放缩：
1 1 1 ； k k 1 2k k k 1
例 6、 ．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋1.
1 (1)证明 an＋ 是等比数列，并求{an}的通项公式； 2 1 1 1 3 (2)证明 1＋ 2＋…＋ n＜ . a a a 2 1 1 解：(1)由 an＋1＝3an＋1 得 an＋1＋ ＝3 an＋ . 2 2 1 3 3 1 3n 1 又 a1＋ ＝ ，所以 an＋ 是首项为 ，公比为 3 的等比数列，所以 an＋ ＝ ，因此数列{an}的通项公 2 2 2 2 2 2 3n－1 式为 an＝ . 2 1 2 (2)证明：由(1)知 n＝ n . 因为当 n≥1 时，3n－1≥2×3n－1， a 3 －1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 1 3 － 1 所以 n ≤ ，即 ＝ ≤ . 于是 ＋ ＋ … ＋ ≤ 1 ＋ ＋ … ＋ ＝ < . － n － 2 － a 3n－1 3n 1 3 3 －1 2 × 3n 1 a1 a 3n 1 2 3n 2 an 1 1 1 3 所以 1＋ 2＋…＋ n< . a a a 2
放缩法在数列求和中的基本策略
“放缩法”在数列求和中的基本策略放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。
常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。
所谓放缩的技巧：即欲证B A ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使B C A ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”。
常用的放缩技巧有：（1）若,A t A ,A t A ,0t <->+>（2,n 1n <-n n 2>,1n 11n ,1n ->-+-+),0n (n n )1n (n 2>=>+<<+=+-2n 1)1n (n 11n 1n 1).1n n (2n1n n 21n n 2)n 1n (2),1n (n 11n 1)1n (n 1--<=+<++=-+>--=-（3）若,R m b a +∈、、则.b ma ba ,mb a b a +<+>（4）+++<++++221211!n 1!31!211 .211n -+ （5）.n 12n 11n 1()3121()211(1n131211222-=--++-+-+<++++ （6）11n n 1n 11n 11n 1n 212n 11n 1<+=++++++≤+++++ 或≥+++++n 212n 11n 1 .21n 2n n 21n 21n 21==++ （7）nn n n 1n 1n 1n 131211==+++>++++ 等等。
注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若,D C ,C B ,B A >>>则D A >。
2、使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头。
3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。
证明数列求和不等式的两种放缩技巧
求和（Sum）不等式是数学中一种有用的工具，用来估计数列的总和。
这种不等式经常被用来证明一些性质，比如收敛性、最大最小值等等。
在解决一些复杂的问题时，求和的不等式经常要求使用特殊的技巧，如放缩。
本文将介绍两种求和不等式的放缩技巧：前项放缩和后项放缩。
前项放缩指的是一种能够让前n项值成比例证明一个求和不等式的技巧。
例如，假设我们有如下的求和不等式：S = x <sub>1 </sub> + x <sub>2 </sub> + ... + x <sub>n </sub> ≤ A那么我们可以用前项放缩的技巧来证明这个不等式：首先，假定 n 个x <sub>i<sub> (i=1,2,…,n) 的值分别为 a<sub>i </sub>，则有S = a<sub>1 </sub> + a<sub>2 </sub> + ... + a<sub>n </sub> ≤ A其次，将所有的x <sub>i </sub>(i=1,2,…,n) 都放缩至 b<sub>i </sub>值，意思是你将每一项都扩展或缩小一倍（例如，a<sub>1 </sub> 会放缩至2a<sub>1 </sub>）。
此时有 S = b<sub>1 </sub> + b<sub>2 </sub> + ... + b<sub>n </sub> ≤ A（由此可见，前 n 项值放缩后，左边的总和 S 仍小于右边的 A，因此原来的不等式：S≤A 成立）另一种求和不等式的放缩技巧是后项放缩。
此时我们可以将最后一项x<sub>n</sub> 放缩成 b<sub>n</sub>（通常要求b<sub>n</sub> ≤a<sub>n</sub>），这样就有实数范围[a<sub>n</sub>, b<sub>n</sub>]了。
常见方程放缩公式
常见方程放缩公式在数学中，方程的放缩是一种常见的运算方法，它可以通过改变方程的系数或变量的取值范围来简化方程或得到更多的解。
以下是一些常见的方程放缩公式：一次方程对于一次方程 ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知的常数，可以进行下列放缩：1. 求解 x 的值：x = -b/a。
通过将方程中的 a 和 b 带入这个公式，可以得到方程的解。
2. 改变系数：如果方程的系数 a 和 b 都乘以相同的非零常数 k，得到新的方程 kax + kb = 0。
这样做不改变方程的解，但可以简化计算过程。
二次方程对于二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b 和 c 是已知的常数，可以进行下列放缩：1. 求解 x 的值：使用二次方程公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)计算方程的实根。
2. 改变系数：如果方程的系数 a、b 和 c 都乘以相同的非零常数 k，得到新的方程 kax^2 + kbx + kc = 0。
这样做不改变方程的解，但可以简化计算过程。
指数方程对于指数方程 a^x = b，其中 a 和 b 是已知的常数，可以进行下列放缩：1. 求解 x 的值：使用对数运算，x = log(base a)b。
通过将方程的底数 a 和结果 b 带入这个公式，可以得到方程的解。
2. 改变底数和结果：如果方程的底数 a 和结果 b 都乘以相同的非零常数 k，得到新的方程 (ka)^x = kb。
这样做不改变方程的解，但可以简化计算过程。
对数方程对于对数方程 log(base a)x = b，其中 a 和 b 是已知的常数，可以进行下列放缩：1. 求解 x 的值：使用指数运算，x = a^b。
通过将方程的底数 a 和结果 b 带入这个公式，可以得到方程的解。
2. 改变底数和结果：如果方程的底数 a 和结果 b 都乘以相同的非零常数 k，得到新的方程 log(base ka)x = kb。
放缩法技巧全总结
2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n nn(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn nn21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221n n nn n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m nk m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα解析:构造函数xx x f ln )(=,得到22ln ln n n n n≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n+==+++证明2n a e <.解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案)放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 nn n n a 211ln 2+++≤。
“放缩法”解不等式的8个例子，难题轻松解决！
“放缩法”解不等式的8个例⼦，难题轻松解决！添加或舍弃⼀些正项（或负项）若多项式中加上⼀些正的值，多项式的值变⼤，多项式中加上⼀些负的值，多项式的值变⼩。
由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加⼀些项，使不等式⼀边放⼤或缩⼩，利⽤不等式的传递性，达到证明的⽬的。
本题在放缩时就舍去了，从⽽是使和式得到化简.先放缩再求和（或先求和再放缩）此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分⼦变为常数，再对分母进⾏放缩，从⽽对左边可以进⾏求和. 若分⼦, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之⼀变为常量，分式的放缩对于分⼦分母均取正值的分式。
如需放⼤，则只要把分⼦放⼤或分母缩⼩即可；如需缩⼩，则只要把分⼦缩⼩或分母放⼤即可。
先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）本题先采⽤减⼩分母的两次放缩，再裂项，最后⼜放缩，有的放⽮，直达⽬标.放⼤或缩⼩“因式”本题通过对因式放⼤，⽽得到⼀个容易求和的式⼦，最终得出证明.逐项放⼤或缩⼩本题利⽤，对中每项都进⾏了放缩，从⽽得到可以求和的数列，达到化简的⽬的。
固定⼀部分项，放缩另外的项此题采⽤了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不⼀定从第⼀项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
利⽤基本不等式放缩本题通过化简整理之后，再利⽤基本不等式由放⼤即可.先适当组合, 排序, 再逐项⽐较或放缩以上介绍了⽤“放缩法”证明不等式的⼏种常⽤策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的⽅法，有时还需要⼏种⽅法融为⼀体。
在证明过程中，适当地进⾏放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。
但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。
因此，使⽤放缩法时，如何确定放缩⽬标尤为重要。
要想正确确定放缩⽬标，就必须根据欲证结论，抓住题⽬的特点。
掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题⽬的类型，采⽤恰到好处的放缩⽅法，才能把题解活，从⽽培养和提⾼⾃⼰的思维和逻辑推理能⼒，分析问题和解决问题的能⼒。