球体体积公式的推导

球体体积公式的推导

湖北仙桃二中 刘四云

1、如图,设球体的球心为O,半径为R,球体体积为V ,用垂直于半径 OA 的平面将

半球分成n 个圆柱体,则每个圆柱体的高就是n

R ,半径分别为r 1、r 2、r 3、…r n

由相交弦定理得 r 12 = n R ·(2R —n R ) = R 2(n 2—21n

) , r 22 = n R 2·(2R —n R 2) = R 2(n

22⨯—22

2n ) ,, r 32 = n R 3·(2R —n R 3) = R 2(n

32⨯—222n ), …………………

r n 2 = n nR ·(2R — n nR ) = R 2 ·( n

n 2— 22n n )

∴V 半球 = 兀·n R 3(n 2—21n ) +兀·n R 3(n 22⨯—22

2n ) +兀·n R 3(n

32⨯—223n )…… +兀·n R 3( n

n 2— 22

n n ) =兀·n R 3(n 2+n 22⨯+n 32⨯+……+n n 2 —21n

—222n —222n —……—22n n )

=兀·n R 3(2×n

n +⋅⋅⋅+++321—22

222321n n +⋅⋅⋅+++) =兀·n R 3〔n + 1—61·()()2

112n n n n ++〕 =兀R 3 〔n n 1+ —61·

()()2112n n n ++〕 =兀R 3 ·2261

34n n n -+

=兀R 3 ·(32+261

21

n n -)

当n 趋近于∞时,n 21

= 0,261

n =

0, 所以V 半球 = 兀R 3(32 + 0 + 0 )

= 32

兀R 3

V 球体体积 = 34兀R 3

。