用一元二次方程解应用题常见的范例及解题方法
一元二次方程四种解法例题
一元二次方程四种解法例题一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知常数，且a ≠ 0。
下面是四种解法例题：1. 解法一：使用因式分解法例题：解方程x^2 - 5x + 6 = 0解答：首先，观察方程中的系数 a、b、c，可以发现 a = 1，b = -5，c = 6。
根据因式分解法，我们需要找到两个数的乘积等于 c，且两个数的和等于 b。
在本例中，c = 6，因此我们需要找到两个数的乘积等于 6。
观察可知，3 和 2 的乘积等于 6，且它们的和等于 -5。
因此，我们可以将方程进行因式分解：(x - 3)(x - 2) = 0根据零乘法，当一个乘积等于 0 时，至少有一个因子等于 0。
因此，我们可以得到以下两个方程：x - 3 = 0 或 x - 2 = 0解上述两个方程，得到：x = 3 或 x = 2所以，方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为 x = 3 或 x = 2。
2. 解法二：使用求根公式例题：解方程2x^2 - 3x - 2 = 0解答：根据求根公式，对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的根可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在本例中，a = 2，b = -3，c = -2。
将这些值代入求根公式，我们可以得到：x = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4*2*(-2))) / (2*2)= (3 ± √(9 + 16)) / 4= (3 ± √25) / 4= (3 ± 5) / 4因此，我们得到两个解：x1 = (3 + 5) / 4 = 8 / 4 = 2x2 = (3 - 5) / 4 = -2 / 4 = -1/2所以，方程2x^2 - 3x - 2 = 0的解为 x = 2 或 x = -1/2。
3. 解法三：使用配方法例题：解方程x^2 + 4x - 5 = 0解答：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用配方法来求解。
用一元二次方程解决问题PPT课件
点评：
1.解决此类问题的 关键是将相关条件 单位化；
2.要理解问题中隐 含条件，对所求问 题的解进行适当的 取舍.
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变式 ：某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平
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类型三：增长率问题
变式 某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配 件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司 预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000 年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001 年预计经营总收入为多少万元？
解：设每年经营总收入的年增长率为a. 600÷40%×(1+a)2=2160
底 区人人口均总住数房和面人积均达住到房1面1平积方的米统计/人结，果试分求别2如00图0年，请和根据
两 20图01中年所两提年供该的区信住息房解总答面下面积的的问年题平：均增长率应达到百
分之几？
(1)1999，7．4
(2)10％
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类型九：工程行程问题
例9 A、B两地相距82km，甲骑车由A向B驶去，9分钟后， 乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去， 两人在相距B点40km处相遇。问甲、乙的速度各是多少?
变式 某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装
修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如
果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．（1）
求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．（2）
如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果
一元二次方程应用题解法
一元二次方程应用题解法
在解决一元二次方程的应用题时，我们需要根据题目的描述建立相应的方程，
并通过解方程来求解问题。
下面将通过一个具体的例子来说明解决一元二次方程应用题的方法。
假设有一个正方形花坛，每条边上都种有葵花，已知花坛周长为30米。
现在
我们要求这个花坛的面积。
首先，我们设花坛的边长为x。
因为是正方形花坛，所以花坛的四条边的长度
都为x。
根据正方形周长的定义，我们知道正方形的周长等于4倍边长，即4x。
题目已经告诉我们花坛的周长为30米，所以我们可以得到方程4x=30。
接下来，我们需要解这个一元二次方程。
首先，将方程转化为标准的二次方程
形式，即ax²+bx+c=0。
我们将方程4x=30转化为4x-30=0。
再次，根据一元二次方程求解的公式，我们可以得到x的解为：
x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)
在这个例子中，a=4，b=-30，c=0。
将这些值代入公式，我们可以计算出x的值。
将x的解代入原方程4x=30中，我们可以求得花坛的边长为7.5米。
由于正方
形的面积等于边长的平方，所以花坛的面积为7.5米乘以7.5米，即56.25平方米。
因此，这个花坛的面积为56.25平方米。
通过以上的步骤，我们成功地解决了一元二次方程的应用题。
在解决类似问题时，我们需要根据题目建立相应的方程，并通过解方程求解未知数的值，从而得到问题的答案。
一元二次方程经典例题及详细解答
一、概述二、一元二次方程的定义三、一元二次方程的解法1.配方法2.公式法四、一元二次方程的经典例题及详细解答1.例题一2.例题二3.例题三五、总结概述一元二次方程是数学中常见的代数方程，它的解法丰富多样，具有很高的实用价值。
本文将详细介绍一元二次方程的定义、解法，以及一些经典例题的详细解答。
一元二次方程的定义一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x是未知数，a、b、c均为已知系数。
一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。
一元二次方程的解法一元二次方程的解法主要包括两种：配方法和公式法。
1.配方法配方法也称补全平方法，是指利用平方公式将一元二次方程转化为一个完全平方式。
这种方法常用于一元二次方程系数a=1的情况。
2.公式法公式法是通过一元二次方程的求根公式来解方程，一元二次方程ax²+bx+c=0的根可以用公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)求得。
一元二次方程的经典例题及详细解答下面将结合具体的例题，详细解答一元二次方程的解题过程。
1.例题一已知一元二次方程x²-5x+6=0，求方程的根。
解：根据公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(5±√(5²-4*1*6))/(2*1)= (5±√1)/2即x1=3，x2=2。
所以方程的根为x1=3，x2=2。
2.例题二已知一元二次方程2x²-7x+3=0，求方程的根。
解：同样使用公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(7±√(7²-4*2*3))/(2*2)即x1=3/2，x2=2。
所以方程的根为x1=3/2，x2=2。
一元二次方程应用题经典题型汇总
一元二次方程应用题经典题型汇总列一元二次方程解应用题中遇到的常见的典型题目，举例说明.一、增长率问题例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额到达了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.，那么根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1〔舍去〕.答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，假设经过两次相等下降后，那么有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.二、商品定价例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，假设每件商品售价a元，那么可卖出〔350－10a〕件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店方案要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31.因为21×(1+20%)＝25.2，所以a 2=31不合题意，舍去.所以350－10a ＝350－10×25＝100〔件〕.答需100件，每件商品应定价25元. 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也点. 三、储蓄问题 例3王红梅同学将100元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“行〞， 到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程〞，剩余的又全部按 一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期 后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.〔假设不计〕 解设第一次存款时的年利率为x. 那么根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x 2+145x －3＝0. 解这个方程，得x 1≈0.0204＝2.04%，x 2≈－1.63所以将x 2≈－1.63舍去. 答第一次存款的年利率约是2.04%. 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计. 四、趣味问题 例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，城门高2米，二人没方法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.1那么根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)x＝·1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.2解这个方程，得x1＝－1.8〔舍去〕，x2＝1.所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解此题开场时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.例5读诗词解题：〔通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄〕.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，那么十位数字为x－3.那么根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x ＝6.当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.说明此题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛例6象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总1局数应为n(n－1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显2然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44〔舍去〕.答参加比赛的选手共有45人.说明类似于此题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7春秋旅行社为吸引市民组团去XX湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去XX湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去XX湾风景区旅游？解设该单位这次共有x名员工去XX湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.那么根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；当x2＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去XX湾风景区旅游.说明求解此题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.如果人数超过25人，每增加1如果人数不超过25人，人，人均旅游费用降低20元，人均旅游费用为1000元.但人均旅游费用不得低于700图1八、等积变形例8长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园〔阴影局部〕所占 的面积为原来荒地面积的二.〔准确到0.1m 〕 〔1〕设计方案1〔如图2〕花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. 〔2〕设计方案2〔如图3〕花园中每个角的扇形都一样. 以上两种方案是否都能符合条件?假设能，2中的小路图3中 扇形的半径；假设不能符合条件，请由. 解都能.〔1＝0， 解这个方程，得x ＝〔2〕设扇形说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，积不变；或形变积也变，不变，等等. BQ 图2 图3 A PC 图4九、动态几何问题例9如图4所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从点 A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动.〔1〕如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为8平方厘米？〔2〕点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半.假设存在，求出运动的时间；假设不存在，说明理由.解因为∠C ＝90°，所以AB ＝22 ACBC ＝ 2268＝10〔cm 〕.〔1〕设xs 后，可使△PCQ 的面积为8cm 2，所以AP ＝xcm ，PC ＝(6－x)cm ， CQ ＝2xcm.那么根据题意，得 1 2·(6－x)·2x ＝8.整理，得x 2－6x+8＝0，解这个方程，得x 1＝ 2，x2＝4.所以P 、Q 同时出发，2s 或4s 后可使△PCQ 的面积为8cm 2.〔2〕设点P 出发x 秒后，△PCQ 的面积等于△ABC 面积的一半.那么根据题意，得 1 2 (6－x)·2x ＝ 1 2 ×1 2 ×6×整8.理，得x 2－6x+12＝0. 由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ 的面积等于ABC 面积一半的时刻.说明此题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必 须依据路程＝速度×时间.十、题例10为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端6m.〔1〕假设梯子的顶端下滑1m ，求梯子的底端水平滑动多少米？ 〔2〕假设梯子的底端水平向外滑动1m ，梯子的顶端滑动多少米？ 〔3〕如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距 离是多少米？ 解依题意，梯子的顶端距墙角 22 106＝8〔m 〕.〔1〕假设梯子顶端下滑1m ，那么顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm. 那么根据勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x 2+12x －15＝0， 解这个方程，得x 1≈1.14，x 2≈－13.14〔舍去〕，所以梯子顶端下滑1m ，底端水平滑动约1.14m.〔2〕当梯子底端水平向外滑动1m 时，设梯子顶端向下滑动xm.那么根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x 2－16x+13＝0. 解这个方程，得x 1≈0.86，x2≈15.14〔舍去〕.所以假设梯子底端水平向外滑动〔3〕设梯子顶端向下滑动xm 时，底端向外也滑动xm. 那么根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x 2－4x ＝0，解这个方程，得x1＝0〔舍去〕，x2＝2.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南A方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海D 里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补FBE图5C给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.〔1〕小岛D和小岛F相距多少海里？〔2〕军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？〔准确到0.1海里〕解〔1〕F位于D的正南方向，那么DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝12AB＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.〔2〕设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.解这个方程，得x1＝200－10063 ≈118.4，x2＝200+10063〔不合题意，舍去〕.所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明求解此题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息例12如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n〔n为整数，且2≤n≤11〕的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一Xn×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二X纸片盖住第一X纸片的局部恰好为(n－1)×n(－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后答复以下问题：〔1〕由于正方形纸片边长n的取值不同，?完成摆放时所使用正方形纸片的X 数也不同，请填写下表：纸长n23456使用的纸片X数〔2〕设正方形ABCD被纸片盖住的面积〔重合局部只计一次〕为S1，未被盖住的面积为S2.①当n＝2时，求S1∶S2的值；②是否存在使得S1＝S2的n值？假设存在，请求出来；假设不存在，请说明理由.解〔1〕依题意可依次：11、10、9、8、7. 〔2〕S 1＝n 2+(12－n)[n 2－(n －1)2]＝－n 2+25n －12. 图6①当n ＝2时，S 1＝－22+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110.所以S 1∶S2＝34∶110＝17∶55.②假设S 1＝S 2，那么有－n 2+25n －12＝ 1 2 ×122，即n 2－25n+84＝0，解这个方程，得n 1＝4，n2＝21〔舍去〕.所以当n ＝4时，S 1＝S 2.所以这样的n 值是存在的.说明求解此题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第〔3〕小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看 得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13将一2c m的铁丝剪成两段，并以每一一个正方形. 〔1〕要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分少? 〔2〕两个正方形的面积之和可假设不能，请说明理由. 解〔1〕设剪成两段后其中一段为x cm ，那么另一段为〔20－x 〕cm.x 4 2 + 20 4x 2 那么根据题意，得＝17，解得x 1＝16，x2＝4，当x ＝16时，20－x ＝4，当x ＝4时，20－x ＝16，答这段铁丝剪成两段后是4cm 和16cm. 〔2〕不能.理由是：不妨设剪成两段后其中yc m ，那么另〔20－y 〕 y 4 2 + 20 4 y 2 cm.那么由题意得＝12，整理，得y 2－20y+104＝0，移项并配方， 得(y －10)2＝－4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面12cm 2. 说明此〔2〕小问也可以运用求根公式中的b 2－4ac 来判定.假设b 2－4ac ≥0，方程有两个实数根，假设b 2－4ac ＜0，方程没有实数根，此题中的b 2－4ac ＝－ 16＜0即无解. 十四、平分几何图形的面积问题 例14如图7，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ＝5，AD ＝4，BC ＝10.点E?在下 BC 上，点F 在腰AB 上. 〔1〕假设E F平分等腰梯形A B CD的周长，设B x，x 的代数式表示△BEF 的面积； 〔2〕是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？假设存在，求 出此时BE 的长；假设不存在，请说明理由； 〔3〕是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部 分？假设存在，求此时BE 的长；假设不存在，请说明理由.解〔1〕由条件得，梯形12，高4，28.AD F F 作F G ⊥B C 于G A 作AK ⊥BC 于K.那么可得，FG ＝ 12x 5 ×4， B C E GK 图7 所以S △BEF ＝ 1 2 BE ·FG ＝－ 2 5 x 2+ 24 5 x 〔7≤x ≤10〕. 〔2〕存在.由〔1〕得－2 5 x 2+ 24 5 x ＝14，解这个方程，得x 1＝7，x 2＝5〔不合 题意，舍去〕，所以存在线段E F 将等腰梯形ABCD 的周长与面积同时平分，此时BE ＝7.〔3〕不存在.假设存在，显然有S △BEF ∶S 多边形AFECD ＝1∶2， 即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.那么有－ 2 5 x 2+ 16 5 x ＝ 28 3，整理，得3x 2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b 2－4ac ＝576－840＜0， 所以不存在这数x .即不存EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时 分成1∶2的两局部.求解此题时应注意：一是要x 的取值X 围；二是在求得x 2＝ 5时，并不属于7≤x ≤10，应及时地舍用一元二次方程来探索问题的. 十五、利用图形律 例15在如图8中，每个正方形有图8〔1〕观察图形，请填写 正长1357⋯n 〔奇数〕黑色小正方形个数⋯ 正长2468⋯n 〔偶数〕 黑色小正方形个数⋯〔2n 〔n ≥1〕的正方形中，设黑色小正方形的个数为P 1，白色小 正方形的个数为P 2，问是否在偶数．n ，使P 2＝5P 1？假设存在，n 的值；假设 不存在，请由. 解〔1〕观察分析图案可知正方1、3、5、7、⋯、n 时，黑色正方 形的个数为1、5、9、13、2n－1〔奇数〕；正方2、4、6、8、⋯、n 时，黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n 〔偶数〕. 〔2〕由〔1〕可知n 为偶数时P 1＝2n ，所以P 2＝n 2－2n.根据题意，得n 2－2n ＝5×2n ，即n 2－12n ＝0，解得n 1＝12，n2＝0〔不合题意，舍去〕.所以存在偶数 n ＝12，使得P2＝5P1.说明此题的第〔2〕小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和开展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少〞等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.。
用一元二次方程解决问题(平均增长率)
平均增长率 = (终值 - 初值) / 初值 × 100%
计算方法
直接计算法
根据题目给出的数据，直接代入公式 进行计算。
代数法
将平均增长率转化为一元二次方程， 通过解方程求得。
ห้องสมุดไป่ตู้例解析
例1
某企业去年销售额为100万元，今年 销售额增长了20%，求今年的销售额。
解
根据平均增长率公式，今年的销售额 = 100 × (1 + 20%) = 120万元。
解
根据平均增长率公式，5年后GDP = 100 × (1 + 8%)^5 = 146.9亿元。
02
一元二次方程在平均增 长率问题中的应用
建立一元二次方程
确定变量
在平均增长率问题中，通常设初始数 量为A，平均增长率为r，经过时间为t 后的数量为B。
建立方程
方程变形
如果需要求平均增长率r，可以将方程 变形为r = (B/A)^(1/t) - 1。
将方程左边化为完全平 方形式，右边化为常数，
从而求解x。
因式分解法
通过因式分解将方程化 为两个一次方程，从而
求解x。
实例解析
题目
某企业前年缴税30万元，预计 今年缴税36.36万元，那么该企
业缴税的平均增长率为多少？
分析
设该企业缴税的平均增长率为x， 根据题意可以建立一元二次方程 30(1 + x)^2 = 36.36。
根据平均增长率的定义，我们可以建 立一元二次方程B = A(1 + r/100)^t。
解一元二次方程
求解方法
解一元二次方程可以使 用公式法、配方法、因
式分解法等。
公式法
配方法
一元二次方程应用题（含答案）整理版
一元二次方程应用题（含答案）整理版第一篇：一元二次方程应用题(含答案)整理版一元二次方程应用题1、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？解：设没件降价为x，则可多售出5x件，每件服装盈利44-x元，依题意x≤10∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得：x²-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍)即每件降价4元2.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，增加了多少行多少列？解：设增加x(8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。
在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价关系式解:(1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500(30<=x<=70)(2)当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为60+2（70-65）＝70kg，那么获总利为1950*7000/70＝195000元,当销售单价最高时：单价为70元，日均销售60kg，将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为（70-30）*7000-117*500＝221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元.∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.4.现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm的无盖长方形的纸盒？解：设边长x 则(19-2x)(15-2x)=77 4x^2-68x+208=0 x^2-17x+52=0 (x-13)(x-4)=0,当x=13时19-2x<0不合题意,舍去故x=4 5.某商品进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果售价超过50元，但不超过80元，每件商品的售价每上涨10元，每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，每件商品的售价每涨1元，每个月少卖3件。
一元二次方程应用题讲解
一元二次方程应用题讲解前言一元二次方程是数学中的基础知识，也是应用广泛的数学概念之一。
本文将通过一系列应用题的讲解，帮助读者更好地理解和应用一元二次方程。
案例一：小明买苹果小明去超市买苹果，苹果的单价为x元，他买了a个苹果，总共花了b元。
请问每个苹果的单价是多少？解题思路：设苹果单价为x元，则小明买了a个苹果，总共花了b元，可得一元二次方程：`ax=b`。
我们需要解出x的值。
解题步骤：1.根据题意，建立方程：`ax=b`。
2.将方程转化为一般形式：`a x-b=0`。
3.由于方程是一元二次方程，可以通过求根公式求解，即：`x=(-b±√(b^2-4a c))/(2a)`。
这里的a=1，b=-b，c=0，代入求解。
4.化简得：`x=-(-b)/(2*1)`，进一步化简：`x=b/2`。
5.得出结论：每个苹果的单价为b/2元。
案例二：小明和小红的年龄小明比小红大3岁，小红的年龄是x岁，现在小红的年龄是小明的两倍。
请问小明和小红的年龄分别是多少？解题思路：设小红的年龄为x岁，则小明的年龄为x+3岁。
根据题意，小红的年龄是小明的两倍，即2(x+3)=x。
我们需要解出x的值，并计算出小明和小红的年龄。
解题步骤：1.根据题意，建立方程：2(x+3)=x。
2.展开方程得：2x+6=x。
3.移项化简得：x=-6。
4.则小明的年龄为：x+3=-6+3=-3岁；小红的年龄为：x=-6岁。
5.得出结论：小明的年龄为-3岁，小红的年龄为-6岁。
案例三：汽车行驶问题一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了t小时后，它与另一辆以每小时40公里的速度行驶的汽车相距d公里。
请问t的取值范围是多少？解题思路：设车辆行驶的时间为t小时，根据题意，我们需要根据已知条件建立一元二次方程。
解题步骤：1.根据题意，建立方程：60t-40t=d。
2.化简方程得：20t=d。
3.由于题目没有提供具体数值，我们无法得出准确的解。
在实际情况中，t的取值可以是大于等于0的任意实数。
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低 1 元，那么衬衫平均每天多售出 2 件，商场若要平均每天盈利
1200 元，每件衬衫应降价多少元？
分析：假设每件衬衫应降价 x 元，现每件盈利为（40－ x ）元，
现每天销售衬衫为（20＋2 x ）件，根据等量关系：
后本息共 1320 元，根据本息和=本金×（1＋利率）等量关系可列出 方程。
解：设这种存款方式的年利率为 x 。 根据题意得，[2000（1＋ x ）－1000]（1＋ x ）=1320 ∴(x1)2 －0.5( x ＋1)－0.06=0 ∴（ x ＋1＋0.6）（ x ＋1－1.1）=0
∴ x 1=－1.6（舍去）， x 2=0.1=10%
本金
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
每件衬衫的利润×销售衬衫数量=销售利润，可列出方程。
解：设每件衬衫应降价 x 元，根据题意，得
（40－ x ）（20＋2 x ）=1200
解得 x 1=10， x 2=20，因尽快减少库存，∴取 x =20
应降价 20 元。答：略
2、利息问题
此类问题的等量关系是：利率= 利息 ，利息=本金×利率×期数，
答：略 3、与几何图形的面积问题 ① 几何图形的面积问题 面积公式是此类问题的等量关系。 例：如图 1—1 所示，某小区规划在一个长为 40m，宽为 26m 的矩矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的道路，使其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草，若使每一块草坪的
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
用一元二次方程解应用题常见的类型及解题方法
甘肃省平凉市崆峒区白庙回族乡白庙初级中学 白员吉
列方程解应用题是教学的重点，也是难点，本文就一元二次
方程应用题常见的类型 此类问题常见的等量关系是：利润=售价－进价，总利润=每
利润
件商品的利润×销售数量，利润率= 进价 。 例：某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出 20 件，
∴每件
本息和=本金＋利息=本金×（1＋利率）。 例：某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取
1000 元用于购物，剩下的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存 入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共 1320 元，求这种 存款方式的年利率（本题不计利息税）
分析：假设这种存款方式的年利率为 x ，2000 元存一年后本 息和为 2000（1＋ x ）元，支取 1000 元后，还剩[2000（1＋ x ） －1000]元，将所剩[2000（1＋ x ）－1000]元再存入银行一年，到期