360阶和504阶单群的唯一性的初等群论证明
五阶群唯一性证明
五阶群唯一性证明刘英伟;张洋【摘要】证明五阶群的唯一性.运用群的定义以及群乘法表的重排规律,简单明了、逻辑严密地推导了五阶群的完整乘法表,证明五阶群的唯一性,证明五阶群是对易群,即阿贝尔群.【期刊名称】《牡丹江师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(000)003【总页数】3页(P1-3)【关键词】群论;五阶群;乘法表【作者】刘英伟;张洋【作者单位】哈尔滨工程大学材料科学与化学工程学院 ,黑龙江哈尔滨 150001;哈尔滨工程大学材料科学与化学工程学院 ,黑龙江哈尔滨 150001【正文语种】中文【中图分类】O152群论是近代数学的一个分支,由19世法国天才数学家伽罗华创建.[1]它的出现对后世数学及其他学科的发展产生了巨大的影响,其重要程度不亚于物理学领域的傅里叶变换[2-3]，在物理、化学、计算机、机械、建筑、美术等领域得到广泛应用.[4]群就是一些按一定乘法规则联系起来的元素组成的一个集合.群元素之间的关系,是群的灵魂.元素间通过一定的乘法关系建立联系,这种联系可以用乘法表表示出来.对于4阶群,有两种乘法表[4],即群不是唯一的.而5阶群则只有一种乘法表,因而是唯一的.关于5阶群的唯一性,有关教科书或文献都没有给出证明，本文根据群论的一般规则,通过简单明了的方式证明五阶群的唯一性,并给出群的完整乘法表,证明五阶群是可对易的,即为阿贝尔群.1 群的基本概念如果一个集合G={e,a,b,c…}中的元素满足下面四个条件,那么这个集合就是一个群:(1)集合中任意两个元素的乘积必为群内另一元素,如 ab=c;(2)元素之间乘法满足结合律 (ab)c= a(bc);(3)在集合中存在单位元素e,它和群内其他任意元素的乘积仍得到元素本身,即ea=a,eb=b,ec=c;(4)集合中任意元素a,必定存在一个逆元a-1,使得aa-1= a-1a =e.满足以上四个条件的集合就称为群,群中元素的个数称为群的阶,而群的乘法是指元素之间运算关系,它不是单纯意义上的乘法,比如全体实数之间按加法运算,就构成一个群,这里的加法就是“乘法”.2 五阶群唯一性证明五阶群,顾名思义群中含有五个元素,不妨设其为{E,A,B,C,D},其中E为单位元素.一个群的灵魂在于元素之间的运算关系,群的阶数越高,元素之间的运算关系越复杂,各种可能性增多,导致群的种类不止一种.例如四阶群有两种，对于五阶群,可能性只有一种,下面证明之.表1为群的乘法表.首先可以根据群的基本规则确定第一行和第一列的乘法结果.根据定义(3)，这些结果是显而易见的.其他尚不能立刻确定的元素暂时空下,用数字代表，后面的工作就是利用群的定义逐步确定它们.表1 空白乘法表EABCDEEABCDAA1234BB5678CC9101112DD13141516 2.1 元素1的确定元素1是A和A相乘的结果.根据群定义(1),A和A相乘结果必为群里的其他元素,这样就存在以下几种可能:AA=E,AA=B,AA=C或AA=D.可以立刻否定AA=E.因为如果AA=E成立,则{E,A}可以构成五阶群的子群,阶数为2.但是由于子群的阶数必为群阶的因数[12],而2不是5的因数,因此AA=E不成立.这样就只剩下AA=B,AA=C或AA=D.实际上这三者是等价的,只需讨论AA=B即可.这样表1中的元素1就确定为B,于是在表1的基础上就得到表2.表2 元素1的确定EABCDEEABCDAAB234BB5678CC9101112DD13141516 2.2 元素2,3,4的确定表2中元素2为AB相乘的结果,同样根据群定义(1),AB有以下三种可能性:AB=E,AB=C和AB=D，下面分别讨论.2.2.1 AB=E如果这种情况成立,则2=E.这样剩下的3和4只能是C,D或D,C.根据乘法表重排规律,表中每一行或每一列均不能有重复元素,因此必有3=D,4=C,即AC=D ,AD=C.这样的话,由AD=C可得AAD=AC,而AA=B, AC=D,因此得到BD=D,从而有B=E,这样群里出现两个单位元素,而这是不可能的,因而AB=E是不可能的.2.2.2 AB=C剩下的两种可能是AB=C和AB=D,不过二者是等价的,这将在后面详细讨论,现在不妨取AB=C.当AB=C时,必有3=D,4=E.这样就得到表3.表3 元素2,3,4的确定EABCDEEABCDAABCDEBB5678CC9101112DD131415162.3 元素5，6，7，8的确定在表3的基础上,由于AA=B,因而AAA=AB,于是有BA=AB=C,从而 5=C.另外,根据AA=B,还可得到 AAB=BB,因此得到AC=BB=D,从而6=D.另外,由AA=B,还可得到AAC=BC,再根据AC=D,即可得出AD=BC=E,即7=E.当元素5,6,7确定后立刻可以确定8=A.因此表3进一步完善为表4.表4 元素5,6,7,8的确定EABCDEEABCDAABCDEBBCDEACC9101112DD131415162.4 元素9，13的确定根据表4可知,AD=E,因此ADA=EA,即DA=A-1EA,因此DA=A-1A=E,即13=E.13确定后,立刻可以确定9=D，见表5.表5 元素9,13的确定EABCDEEABCDAABCDEBBCDEACCD101112DDE1415162.5 元素10，14的确定因为AB=C,从而有ABB=CB,而BB=D,因此AD=CB,从而 CB=E,即10=E.据此可立刻得出14=A，见表6.表6 元素10,14的确定EABCDEEABCDAABCDEBBCDEACCDE1112DDEA1516 2.6 元素11,12,15,16的确定根据表6可知,AB=C,从而ABC=CC.又因为BC=E,因此，AE=CC,即CC=A=11.这样可立刻得到12=B,15=B和16=C.于是一张关于五阶群的完整乘法表就得到了，见表7.在2.2.2中,存在AB=C和AB=D两种可能,只考虑了AB=C这种情况.其实AB=C和AB=D是等价的，如果取AB=D的话,重复上述推理过程,会得到另一张乘法表8.表8与表7虽然表面上看不一样,其实是等同的：只要将表8中所有的C,D互换成D,C,并令C,D两行对调,然后再令C,D两列对调,得到的结果与表7一样. 表7 元素11,12,15,16的确定EABCDEEABCDAABCDEBBCDEACCDEABDDEABC表8 等价乘法表EABCDEEABCDAABDECBBDCAECCEADBDDCEBA3 结论(1)通过理论推导得到了五阶群的乘法表,该表是唯一的,从而证明了五阶群是唯一的.(2)群元素是可对易的,因而五阶群也是阿贝尔群.参考文献【相关文献】[1] 张端明,钟志成.应用群论导引：第二版[M].武汉:华中科技大学出版社,2001.[2] 关雪梅，王晓东.快速傅里叶变换(FFT)与小波变换技术[J].牡丹江师范学院学报:自然科学版,2002(4):19-20.[3] 王晓东,王荣芝.傅立叶变换在图像处理中的应用[J].牡丹江师范学院学报:自然科学版,2003(3):22-24.[4] 陈念骇,高坡,乐征宇.量子化学理论基础[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2002.。
群论里常用的初等方法与技巧
第 ２ ２卷
第 ２期
长
沙
大
学
学
报
Ｖ １２ ＮＯ． Ｏ ．２ ２ Ｍａ ．２００ ８ ｒ
２００８年 ３月
Ｊ ＯＵＲＮ ＡＬＯＦ ＣＨＡ ＮＧＳＨ ＵＮＩＥＲ Ｔ Ａ Ｖ ＳＩｙ
群 论里 常用 的初 等 方 法 与技 巧
ｆ ／ ＧＮ ｌＰ １ ／ ＧＮ ｌｌ Ｃ （ ） Ｉ 一 ， Ｇ Ｃ（ ） ｆＧ Ｇ 又Ｉ ｌ
Ｉ ／ ｃ Ⅳ ｌ（ Ｃ （ ） ＩＰ一１ ｌ １ ＝１ Ｇ ，Ｇ ）
Ｇ：Ｃ （ Ｇ Ⅳ） ．Ｎ≤ｚ（ ） ・ Ｇ
・ 、 ．
＝Ｄ＞１令 Ｎ ＝Ⅳ （ ， Ｓｌ ， Ｇ Ｄ） 由 ｙ ｗ定 理 推 论 Ｎ≥ ｏ
１ ／ ｃ 的每个素 因子 都 ＞１ ．Ｈ／ ｃ Ｈ ｌ Ｈ ７ １ Ｈｌ ，
：
四． 置换表示： Ｇ Ｈｌ ｊ ／ ｃ ｌ， ｌ ： ＝ｎ ｌ Ｈ ｌ１ Ｇ ７ ！
‘ ． ．
１ ．
五 ．ｕｓ ｅ 理 Ｂｒｄ 定 ｉ
Ｈ ＝玩
． Ｈ Ｇ ‘ ．
下面兹 举例 逐一说 明之 例 １ 设 Ⅳ是 Ｇ的循环 正规 子群 ， Ⅳ 的任 一 则 元素 可交换 （ 求证 ［ Ｇ ］ ） 或 Ｎ， ＝１ ． 证
陈进之
（ 长沙大学信 息与计算科学 系， 湖南 长沙 ４００ ） １０３
摘 要： 归结 了群论里常用的几种方 法与技巧 ， 并举例说 明之 ， 旨在 让学生更易理解和掌握 群论的精 髓 ．
关 键 词 ￣ｙ ｗ定 理 ； Ｓｌ ｏ 置换 表 示 ； ｕ ｓ ｅ Ｂｒ ｉ 定理 ｎ ｄ
中图分类号 ： １２ １ ０５ ．
定是忠实表示 ，Ｇ ｌ６． Ｉ／ ｏ Ｉ 若பைடு நூலகம்Ｈ＜Ｇ ｌ ： ＝１则 Ｉ ／ ｌｎ ，Ｇ Ｈｌ ７ ！ ， Ｇ ， １ 又． Ｇ是单群 ：１ ．Ｇｌ１ ．， １ ！ １ ７ ｌ， ７ ≥５
群论基础
第七章 群论基础学习指导 7.1 群的定义及性质群 如果一个含幺半群中每个元素都有逆元，即：),(⊗G G g ∈∀都有逆元，则称为一个群，称二元运算“G g∈−1),(⊗G ⊗”为乘，一般将),(⊗G 的单位元记为e 。
为简便起见，在不致混淆的情况下，将群),(⊗G 简记为，a G b ⊗简记为。
类似于半群，我们可以将群分为交换群与非交换群，有限群与无穷群等等；集合中元素的个数称为有限群G 的阶，记为。
ab G ||G 群是一种特殊的含幺半群。
因而群具有半群（或含幺半群）所有的性质。
下面是群独有的性质：定理（无零元性质） 设G 是群并且，则群无零元。
1||>G G 定理（满足消去律） 群G 满足消去律，即对,,,G c b a ∈（1）由可以推出；（2）由ba ab ac =b c =ca =可以推出b c =。
定理（单位元是幂等元） 群G 中只有单位元e 是幂等元。
定理（方程唯一解性质） 设是群，则对于G G b a ∈∀,，方程ax b =和在中均有唯一的解。
ya b =G 定理（逆元性质） 设G 是群，则（1）对于G b a ∈∀,，有11()ab b a 1−−−=。
（2）对于，有。
G a ∈∀a a =−−11)(定理（交换群判别） 群G 是交换群的充分必要条件是对G b a ∈∀,，有。
222()a b ab =元素的阶 对于群G 的元素a ，如果存在正整数使得，则的阶定义为使得上式成立的最小正整数；如果对于任何正整数n 都不成立，则定义的阶为；a 的阶记为|。
任何群的单位元的阶都是1，而且只有单位元的阶才会是1。
n e a n =a n e a n =a ∞|a 定理（元素与其逆元有相同阶） 对群中的任何元素 G G a ∈，与均有相同的阶。
a 1−a定理（元素阶的性质） 设群G 中元素 G a ∈的阶是。
则对正整数，的充分必要条件是整除。
所以，如果存在正整数使得，则a 的阶是的因子。
近世代数习题第二章资料讲解
近世代数习题第二章第二章 群论近世代数习题第二章 第一组 1-13题；第二组 14-26题；第三组 27-39题；第四组 40-52题，最后提交时间为11月25日1、设G 是整数集，则G 对运算4++=b a b a ο是否构成群？2、设G 是正整数集，则G 对运算b a b a =ο是否构成群？3、证明：正整数对于普通乘法构成幺半群.4、证明：正整数对于普通加法构成半群，不含有左右单位元.5、G 是整数集，则G 对运算1=b a ο是否构成群？6、设b a ,是群G 中任意两元素. 证明：在G 中存在唯一元素x ，使得b axba =.7、设u 是群G 中任意取定的元素，证明：G 对新运算aub b a =ο也作成群.8、证：在正有理数乘群中，除1外，其余元素阶数都是无限.9、证：在非零有理数乘群中，1的阶是1，-1的是2，其余元素阶数都是无限.10、设群G 中元素a 阶数是n ，则m n e a m |⇔=.11、设群G 中元素a 阶数是n ，则 ),(||n m n a m =.，其中k 为任意整数. 设（m,n ）=d,m=dk,n=dl,(k,l)=1. 则(a^m)^l=a^(ml)=a^(kdl)=(a^(n))^k=e. 设（a^m ）^s=e,，即a^(ms)=e,所以n|ms,则l|ks,又因为(l,k)=1，所以l|s,即a^m 的阶数为l.12、证明：在一个有限群中，阶数大于2的元素个数一定是偶数.13、设G 为群，且n G 2||=，则G 中阶数等于2的一定是奇数.14、证明：如果群G 中每个元素都满足e x =2，则G 是交换群.对每个x ，从x^2=e 可得x=x^(-1)，对于G 中任一元x ，y ，由于（xy ）^2=e ，所以xy=（xy ）^(-1)=y^(-1)*x(-1)=yx.或者 :(ab)(ba)=a(bb)a=aea=aa=e ，故(ab)的逆为ba ，又(ab)(ab)=e ，这是因为ab 看成G 中元素，元素的平方等于e. 由逆元的唯一性，知道ab=ba15、证明：n 阶群中元素阶数都不大于n .16、证明：p 阶群中有1-p 个p 阶元素，p 为素数.17、设群G 中元素a 阶数是n ，则)(|t s n a a t s -⇔=.18、群G 的任意子群交仍是子群.19、设G 为群，G b a ∈,，证明：a a bab bab k k =⇔=--11)(.20、证明：交换群中所有有限阶元素构成子群.21、证明：任何群都不能是两个真子群的并.证明：任何群都不能是两个真子群的并. 可以用反证法，设G=HUK ，H 、K 均为真子群，存在a,b\in G, a\not\in H,b\not\in K ,从而a\in K, b\in H. ab\in G, 则ab\in H 或ab\in K. 若ab\in H 得出矛盾，ab\in K ，也可得出矛盾.22、设G 为群，H a a G a G H n m ∈∈≤,,,，证明：若1),(=n m ，则H a ∈.23、证明：整数加群是无限循环群.24、证明：n 次单位根群为n 阶循环群.25、证明：循环群的子群仍是循环群.26、设>=<a G 为6阶循环群，给出它的所有生成元及所有子群.27、求模18的剩余类加群(Z 18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元.28、设群G 是24阶群，G 中元素a 的阶是6，则元素a 2的阶为？28、解： 在群G 中，对于ㄧa ㄧ=n ，a^r ∈G ，有ㄧa^r ㄧ=n/（n ，r ），所以由 ㄧa ㄧ=6 可得：ㄧa^2ㄧ=6/(6,2)=3.29、设H 1和H 2分别是群（G ，ο，e ）的子群，并且| H 1 |＝m ，| H 2 | ＝n ，m 、n 有限，（m ，n ）＝1，试证：H 1∩H 2＝｛e ｝.30、设群中元素a 的阶数为无限，证明：t s a a t s ±=>⇔>=<<.31、设群中元素a 的阶数为n ，证明：),(),(n t n s a a t s =>⇔>=<<.32、设G 是交换群，e 是G 的单位元，n 是正整数，},,|{e a G a a H n =∈=问：H 是否是G 的子群？为什么？32解：H 是G 的子群. 下证：① 由e ∈H ，故H 为非空子集；②对于任意a ，b ∈H ，a^n=e ，b^n=e ，故[b^(-1)]^n=e ，因为G 是交换群，所以有：(a^n)* ﹛[b^(-1)]^n ﹜=aa ···a*[b^(-1)] [b^(-1)]···[b^(-1)]= ﹛a[b^(-1)] ﹜^n=e ，从而a[b^(-1)] ∈H ，故 H 是G 的子群. 证毕.(注：刚才a 和[b^(-1)]展开均为n 个相乘)33、设群G 中两元素满足1|)||,(|,==b a ba ab ，证明：>>=<<ab b a ,.34、证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧ΛΛ,!1,,21,1n 是有理数加群的一个生成系. 35、设b a ,是群G 的两个元，,ba ab =a 的阶是m ，b 的阶是n ，n m ,有限且)(),(,1),(b K a H n m ===，求K H I36、设S 3是3次对称群，a=（123）∈S 3．(1) 写出H ＝< a>的所有元素．(2) 计算H 的所有左陪集和所有右陪集．(3) 判断H 是否是S3的不变子群，并说明理由．37、在5次对称群S 5中，求（12）（145），（4521）－1以及（354）的阶数.37、解： （12）（145）的阶数为[2,3]=6 ； （4521）－1的阶数为4 ； （354）的阶数为3.38、设G 是一交换群，n 是一正整数，H 是G 中所有阶数是n 的因数的元素的集合. 试问：H 是否是G 的子群？为什么？39、设1||>M ，证明：M 的全体变换作成一个没有单位元的半群.40、设1||>M ，证明：M 的全体非双射变换关于变换的乘法不作成群.41、证明：不相连的循环相乘可以交换.42、将3S 所有元素用循环表示.43、将4S 所有元素用循环乘积表示.(1)(12), (13),(14),(23),(24),(34)(123),(124),(134),(132),(142),(143),(234),(243)(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)44、3S 中不能同)123(交换的所有元素.45、写出5S 中阶数等于2的所有元素.46、置换δ与其逆1-δ具有相同的奇偶性.置换\delta=\delta_1\delta_2\cdots\delta_s,\delta_i 为对换，又因为（\delta_1\delta_2\cdots\delta_s ）（\delta_s\delta_(s-1)\cdots\delta_1）=(1),从而得到\delta^{-1},进而得证结果.47、求下列置换的阶数)48)(3172(；)26)(5172(；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛641523123456. 48、设H ＝｛（1），（123），（132）｝是对称群S3的子群，写出H 的所有左陪集和所有右陪集，问H 是否是S3的不变子群？为什么？49、给出4S 的所有子群.50、证明：无限循环群的非e 子群指数均有限.H\not={e},H=(a^s)为G 的子群，其中s 为H 中所含元素的指数最小正整数. 证明G=a^0HUaHU\cdotsUa^{s-1}H,且a^iH 与a^jH 煤油交集，i\not=j.51、设G 是整数集，规定3-+=b a b a ο，证明：G 关于此运算构成群，并求出单位元.52、证明：指数是2的子群必是正规子群.53、证明：素数阶群是循环单群.54、设>=<a N 是群G 的一个正规子群，若N H ≤，则H 也是G 的正规子群.55、证明：若群G 的n 阶子群有且仅有一个，则此子群必为G 的正规子群.56、四次对称群4S 关于Klein 四元群4K 的商群44/K S 与3S 同构.57、证明：群中子群的共轭关系是一个等价关系.58、证明：n S 的所有对换构成一个共轭类.59、写出3S 的所有Sylow p -子群.60、证明：15阶群都是循环群.61、证明：200阶群不是单群.62、证明：196阶群必有一个阶数大于1的Sylow 子群，此子群为正规子群.28、解： 在群G 中，对于ㄧa ㄧ=n ，a^r ∈G ，有ㄧa^r ㄧ=n/（n ，r ），所以由 ㄧa ㄧ=6 可得：ㄧa^2ㄧ=6/(6,2)=3.32解：H 是G 的子群. 下证：① 由e ∈H ，故H 为非空子集；②对于任意a ，b ∈H ，a^n=e ，b^n=e ，故[b^(-1)]^n=e ，因为G 是交换群，所以有：(a^n)* ﹛[b^(-1)]^n ﹜=aa ···a*[b^(-1)] [b^(-1)]···[b^(-1)]=﹛a[b^(-1)] ﹜^n=e ，从而a[b^(-1)] ∈H ，故 H 是G 的子群. 证毕.(注：刚才a 和[b^(-1)]展开均为n 个相乘)37、解： （12）（145）的阶数为6 ； （4521）－1的阶数为4 ；（354）的阶数为3.。
《常微分方程》第三章 一阶微分方程解的存在唯一性定理
1(x) y0 x0 f ( , y0 )d
x
x0 f ( , y0 ) d M (x x0 ) Mh b
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
1 (x) 在 x0 x x0 h 上有定义,连续
现在取 0 (x) y0 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:
0 (x) y0
n (x) y0
x x0
f ( ,n1( ))d
x0 h x x0 h
(3.1.9)
0 (x) y0
x
1(x) y0 x0 f ( ,0 ( ))d
x0 x x0 h
命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数 n (x) 在
x0 x x0 h 上有定义、连续，即满足不等式:
n (x) y0 b (3.1.10)
证 明: （只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）
x
当 n =1 时, 1(x) y0 x0 f (, y0 )d
MLn1 n!
(x
x0 )n
成立，
x
n1(x) n (x) x0 f (,n ( )) f (,n1( ))d
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x
(
x0
x0 )n d
MLn (x (n 1)!
x0 ) n1
y0
'.............(3.1.4)
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
群论-群论基础
物理学中的群论——群论基础主讲翦知渐教材教材：自编参考书：群论及其在固体物理中的应用参考书群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）群的基本概念和基本性质1.11.21.3131.41.51.6161.71.81.1抽象代数的基本概念1抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是集合的直乘：C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的C A表示“一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即：, a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={aA}B b b}则集合1C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。
定义设是两个集合若有种规则使得2定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → Bf ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。
对应规则函数对应规则：函数满射单射一一映射逆映射：f -1恒等映射：e 变换恒等映射：体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若f 是一一映射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。
变换有性质：f f -1= f -1f = e3定义：若对A 上的每对有序元(a, b ) ，在A 上有唯确定的A每一对a,b)A上有唯一确定的c与之对应，即有一规则R 使得A×A → A，则R 称为A上的一个二元运算，记为()()R：A×A → A，或R：a, b ) →c= R(a, b)一般记为c = a·b，或c = ab。
二元运算般也称为乘法二元运算一般也称为“”——数值加法数值乘法对称操作……AmlOC kBe a b k l m D3e e a b k l ma ab e m k lb b e a l m k k k l m e a b l l m k b e a m m k l a b e4设A和B是两个不同集合，其中分别定义了乘法· 和×，若有满射f，使得对于y i f( x i ), y j f( x j)来说，=f(i)=f(f( x i · x j) = f( x i) ×f( x j)——即像的乘积=乘积的像则称f 为A到B的同态，记为A ~ B同态映射若是一一映射→同构同构：乘法表完全一样的结构，只是换了记录的符号数学上，同构即是同一数学上同构即是同→1:1= {e= a4, a, a2, a3} →G ={ 1, i, -1, -i}例如：C4物理上同构的集合有分别：物理上，同构的集合有分别：C 2= {e, c 2} 和C i = {e, c i }同态：A 到B 的等比例缩小保持了乘法结构3:1例如{{1→ 3:1例如：C 4= {e, a, a 2, a 3}→ G ' ={ 1, -1}二对一的同态二对的同态1.2什么是群？1G ={ e, g2, …, g i, …} 是一个集合，其中定义了乘法。
关于散在单群的自同构群的一个新刻画
第38卷第2期西南师范大学学报(自然科学版)2013年2月V o l.38N o.2J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)F e b.2013文章编号:10005471(2013)02000105关于散在单群的自同构群的一个新刻画①高彦伟,曹洪平西南大学数学与统计学院,重庆400715摘要:设G是有限群,K1(G)是G的最高阶元的阶,K2(G)是G的次高阶元的阶,K3(G)是G的第三高阶元的阶.证明了:每一个散在单群的自同构群G均可被G的阶和K i(G)(其中iɤ3)唯一刻画.关键词:有限群;散在单群;自同构群;元的阶中图分类号:O152.1文献标志码:A人们在研究群的结构时,总是希望能够用群的最基本的特征对其进行描述.众所周知,群的阶和群的元的阶是群的两个基本概念,也是描述群的两个重要的数量.那么能否用这两个数量对群进行纯数量刻画,就成了群论研究者感兴趣的一个课题.令πe(G)表示群G中元的阶的集合,文献[1]提出了这样的猜想:设G为群,H为有限单群,则G≅H当且仅当πe(G)=πe(H),|G|=|H|.文献[1-6]利用πe(G)和|G|刻画了一些有限单群.最近,文献[7]完成了文献[1]提出的猜想的证明.在此基础上,文献[8]利用πe(G)和|G|唯一地刻画了所有散在单群的自同构群.令K1(G)为G的最高阶元的阶,K2(G)为G的次高阶元的阶,文献[9]利用|G|和K i(G)(其中iɤ2)唯一地刻画了所有的散在单群.本文将尝试着利用|G|和群G中一些较高阶元的阶去唯一地刻画所有散在单群的自同构群,并证明如下定理:定理1设G为群,H为散在单群,则G≅A u t(H)当且仅当|G|=|A u t(H)|,K i(G)= K i(A u t(H)),其中iɤ3.本文所涉及的群均为有限群,单群均为非交换单群,G p为G的一个S y l o w p子群,其它所用的符号都是标准的,参见文献[10-12].1预备知识由文献[11]知,下列散在单群的自同构群同构于自身:M11,M23,M24,C o1,C o2,C o3,J1,J4,R u,F i23, L y,T h,B,M.文献[9]已证明了上述散在单群均可由|G|和K i(G)(其中iɤ2)唯一地刻画,所以本文只对J2,M12,M22,F iᶄ24,H N,OᶄN,J3,S u z,H s,H e,M c l,F i22的自同构群进行讨论.为了方便,我们在表1中列出了上述散在单群的阶及其元素阶的集合,在表2中,我们列出了上述散在单群的自同构群的阶及其一些较高阶元的阶.①收稿日期:20120511基金项目:国家自然科学基金(11171364);重庆市自然科学基金(C S T C.2009B B8111).Copyright©博看网. All Rights Reserved.作者简介:高彦伟(1987),男,河南南阳人,硕士研究生,主要从事有限群论的研究.通信作者:曹洪平,副教授.表1 一些散在单群的阶及其元素阶的集合H |H |πe (H )J 227㊃33㊃52㊃71,2, ,8,10,12,15M 1226㊃33㊃5㊃111,2, ,6,8,10,11M 2227㊃32㊃5㊃7㊃111,2, ,8,11F i ᶄ24221㊃316㊃52㊃73㊃11㊃13㊃17㊃23㊃291,2, ,18,20, ,24,26, ,30,33,35,36,39,42,45,60H N 214㊃36㊃56㊃7㊃11㊃191,2, ,12,14,15,19,20,21,22,25,30,35,40O ᶄN 29㊃34㊃5㊃73㊃11㊃19㊃311,2, ,8,10,11,12,14,15,16,19,20,28,31J 327㊃35㊃5㊃17㊃191,2, ,6,8,9,10,12,15,17,19S u z 213㊃37㊃52㊃7㊃11㊃131,2, ,15,18,20,21,24H s 29㊃32㊃53㊃7㊃111,2, ,8,10,11,12,15,20H e 210㊃33㊃52㊃73㊃171,2, ,8,10,12,14,15,17,21,28M c l 27㊃36㊃53㊃7㊃111,2, ,12,14,15,30F i 22217㊃39㊃52㊃7㊃11㊃131,2, ,16,18,20,21,22,24,30表2 一些散在单群的自同构群的阶及其一些较高阶元素的阶S |S |K 1(S )A u t (J 2)28㊃33㊃52㊃724A u t (M 12)27㊃33㊃5㊃1112A u t (M 22)28㊃32㊃5㊃7㊃1114A u t (F i ᶄ24)222㊃316㊃52㊃73㊃11㊃13㊃17㊃23㊃2984A u t (H N )215㊃36㊃56㊃7㊃11㊃1960A u t (O ᶄN )210㊃34㊃5㊃73㊃11㊃19㊃3156A u t (J 3)28㊃35㊃5㊃17㊃1934S |S |K 1(S )K 2(S )A u t (S u z )214㊃37㊃52㊃7㊃11㊃134030A u t (H s )210㊃32㊃53㊃7㊃113020A u t (H e )211㊃33㊃52㊃73㊃174230A u t (M c l )28㊃36㊃53㊃7㊃113024S|S |K 1(S )K 2(S )K 3(S )A u t (F i 22)218㊃39㊃52㊃7㊃11㊃134236302 定理1的证明定理1的证明将由下面的3个定理给出.定理2 设G 为群,H =J 2,M 12,M 22,F i ᶄ24,H N ,O ᶄN ,J 3.则G ≅A u t (H )当且仅当|G |=|A u t (H )|,K 1(G )=K 1(A u t (H )).证 必要性是显然的,只需证充分性.由于证明过程类似,因此只对H =J 2的情况讨论.当H =J 2时,注意到|A u t (J 2)|=28㊃33㊃52㊃7,K 1(A u t (J 2))=24,证明分3步完成:(a )G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且5㊃7||M /N |.设G =G 0>G 1>G 2> >G k -1>G k =1为G 的主群列,则存在i ,使得π(G i )ɘ{5,7}ʂØ,π(G i +1)ɘ{5,7}=Ø.设M =G i ,N =G i +1,则G ȡM >N ȡ1为G 的正规群列,且췍M =M /N 为췍G =G /N 的极小正规子群.我们断言{5,7}⊆π(M ).事实上,假设7ɪπ(M ),而5∉π(M ),则5ɪπ(G /M ).令M 7为M 的S yl o w7子群,由7 |G |知,|M 7|=7.由F r a t t i n i 论断有G =N G (M 7)M ,于是G /M ≅N G (M 7)/N G (M 7)ɘM ,故5ɪπ(N G (M 7)).于是N G (M 7)中有35阶子群,而35阶群是循环群,故G 中有35阶元,这与K 1(G )=24矛盾.所以当7ɪπ(M )时,5ɪπ(M ).当5ɪπ(M )时,假设7∉π(M ),则7ɪπ(G /M ).令M 5为M 的S yl o w5子群,则|M 5|=5i (1ɤi ɤ2).同理可知7ɪπ(N G (M 5)),故N G (M 5)中有7阶子群,不妨设为L 7.令K =M 5L 7,由S y l o w 定理知L 7◁_K ,显然M 5◁_K ,且M 5ɘL 7=1,故K 为M 5和L 7的直积.所以K 中有35阶元,从而G 中有35阶元,这与K 1(G )=24矛盾.所以当5ɪπ(M )2西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.时,7ɪπ(M ),故{5,7}⊆π(M ).又因{5,7}ɘπ(N )=Ø,所以{5,7}⊆π(M /N ).由于M /N 为同构单群的直积,而π(M /N )至少包含两个不同的素数5和7,所以M /N 为非交换单群的直积.又由于7 |G|,从而7 |M /N |,所以M /N 为非交换单群,且5㊃7||M /N |.(b )M /N ≅J 2.由步骤(a )知M /N 为非交换单群,又因|M /N |||A u t (J 2)|,且5㊃7||M /N |,7为|M /N |的最大素因子,则由A t l a s 表知M /N 可能同构于J 2,L 3(4),A 7或A 8.若M /N ≅L 3(4),A 7,A 8,则5|M /N |,而52||G |,5⫮|N |,故5||G /M |.类似步骤(a )的证明知G 中有35阶元,这与K 1(G )=24矛盾,故M /N ≅J 2.(c )G ≅A u t (J 2).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G (췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡC 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~Au t (췍M ),即J 2<~G /C <~Au t (J 2),比较阶有G /C ≅J 2或G /C ≅A u t (J 2).若G /C ≅J 2,则|C |=2,于是G 中有30阶元,这与K 1(G )=24矛盾.所以G /C ≅A u t (J 2),从而C =1,G ≅A u t (J 2).定理3 设G 为群,H =S u z ,H s ,H e ,M c l ,则G ≅A u t (H )当且仅当|G |=|A u t (H )|,K i (G )=K i (A u t (H )),其中i ɤ2.证 必要性是显然的,只需证充分性,分4种情形证明:情形1 当H =S u z 时,注意到|A u t (S u z )|=214㊃37㊃52㊃7㊃11㊃13,K 1(A u t (S u z ))=40,K 2(A u t (S u z ))=30.(a )同定理2中步骤(a )的证明知,G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且11㊃13||M /N |.(b )M /N ≅S u z .由步骤(a )知M /N 为非交换单群,又因|M /N |||A u t (S u z )|,且11㊃13||M /N |,13为|M /N |的最大素因子,由A t l a s 表知M /N 可能同构于A 13或S u z .若M /N ≅A 13,由于A 13中有35阶元,所以M 中有35阶元,从而G 中有35阶元,这与K 1(G )=40,K 2(G )=30矛盾.故M /N ≅S u z .(c )类似定理2中步骤(c )的证明知G ≅A u t (S u z ).情形2 当H =H s 时,注意到|A u t (H s )|=210㊃32㊃53㊃7㊃11,K 1(A u t (H s ))=30,K 2(A u t (H s ))=20.(a )G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且5㊃7㊃11||M /N |.设G =G 0>G 1>G 2> >G k -1>G k =1为G 的主群列,则存在i ,使得π(G i )ɘ{5,7,11}ʂØ,π(G i +1)ɘ{5,7,11}=Ø.设M =G i ,N =G i +1,则G ȡM >N ȡ1为G 的正规群列,且췍M =M /N 为췍G =G /N 的极小正规子群.我们断言{5,7,11}⊆π(M ).事实上,假设11ɪπ(M ),而7∉π(M ),则7ɪπ(G /M ).令M 11为M 的S y l o w11子群,由11 |G |知,|M 11|=11.由F r a t t i n i 论断有G =N G (M 11)M .于是G /M ≅N G (M 11)/N G (M 11)ɘM ,故7ɪπ(N G (M 11)),于是N G (M 11)中有77阶子群.而77阶群是循环群,故G 中有77阶元,这与K 1(G )=30矛盾.所以当11ɪπ(M )时,7ɪπ(M ).同理可知当7ɪπ(M )时,5ɪπ(M ).所以当11ɪπ(M )时,有{5,7}⊆π(M ).同理可知当7ɪπ(M )时,有{5,11}⊆π(M );当5ɪπ(M )时,有{7,11}⊆π(M ).故{5,7,11}⊆π(M ).又因{5,7,11}ɘπ(N )=Ø,所以{5,7,11}⊆π(M /N ).由于M /N 为同构单群的直积,而π(M /N )至少包含3个不同的素数5,7,11,所以M /N 为非交换单群的直积.又由于11 |G |,从而11 |M /N |,所以M /N 为非交换单群,且5㊃7㊃11||M /N |.(b )类似定理2中步骤(b )的证明及文献[11]知,M /N ≅H s .(c )G ≅A u t (H s ).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G(췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡC 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~Au t (췍M ),即3第2期 高彦伟,等:关于散在单群的自同构群的一个新刻画Copyright ©博看网. All Rights Reserved.H s <~G /C <~Au t (H s ),比较阶有G /C ≅H s 或G /C ≅A u t (H s ).若G /C ≅H s ,则|C |=2,于是G 中有22阶元,这与K 1(G )=30,K 2(G )=20矛盾.所以G /C ≅A u t (H s ),从而C =1,G ≅A u t (H s ).情形3 当H =H e 时,注意到|A u t (H e )|=211㊃33㊃52㊃73㊃17,K 1(A u t (H e ))=42,K 2(A u t (H e ))=30.(a )类似定理2中步骤(a )的证明知,G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且7㊃17||M /N |.(b )类似定理2中步骤(b )的证明及文献[11]知M /N ≅H e .(c )G ≅A u t (H e ).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G (췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡC 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~A u t (췍M ),即H e <~G /C <~Au t (H e ),比较阶有G /C ≅H e 或G /C ≅A u t (H e ).若G /C ≅H e ,则|C |=2,于是G 中有34阶元,这与K 1(G )=42,K 2(G )=30矛盾.所以G /C ≅A u t (H e ),从而C =1,G ≅A u t (H e ).情形4 当H =M c l 时,注意到|A u t (M c l )|=28㊃36㊃53㊃7㊃11,K 1(A u t (M c l ))=30,K 2(A u t (M c l ))=24.(a )类似定理2中步骤(a )的证明知,G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且3㊃11||M/N |.(b )类似定理2中步骤(b )的证明及文献[11]知,M /N ≅M c l .(c )G ≅A u t (M c l ).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G (췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡC 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~A u t (췍M ),即M c l <~G /C <~Au t (M c l ),比较阶有G /C ≅M c l 或G /C ≅A u t (M c l ).若G /C ≅M c l ,则|C |=2,G 为C 被F i 22的中心扩张,且C ɤZ (G ).由于M c l 的舒尔乘子为3,所以C ɤ/G ᶄ,从而C ɘG ᶄ=1.又因G /C ≅M c l ≅(G /C )ᶄ=G ᶄC /C ,所以G =G ᶄC ,G =G ᶄˑC .但M c l ≅G /C ≅G ᶄ,所以G ≅M c l ˑC ,于是K 1(G )=30,K 2(G )=22,这与K 1(G )=30,K 2(G )=24矛盾.所以G /C ≅A u t (M c l ),从而C =1,G ≅A u t (M c l ).注1 当H =H s ,H e ,M c l 时,|Z 2ˑH |=|A u t (H )|,且K 1(Z 2ˑH )=K 1(A u t (H )).但Z 2ˑH 与A u t (H )不同构,故A u t (H )不能用|A u t (H )|和K 1(A u t (H ))来刻画.定理4 设G 为群,H =F i 22,则G ≅A u t (H )当且仅当|G |=|A u t (H )|,K i (G )=K i (A u t (H )),其中i ɤ3.证 必要性是显然的,只需证充分性.当H =F i 22时,注意到|A u t (F i 22)|=218㊃39㊃52㊃7㊃11㊃13,K 1(A u t (F i 22))=42,K 2(A u t (F i 22))=36,K 3(A u t (F i 22))=30.(a )类似定理3中情形2步骤(a )的证明知,G 有正规群列G ȡM >N ȡ1,使M /N 为非交换单群,且3㊃11㊃13||M /N |.(b )M /N ≅F i 22.由步骤(a )知M /N 为非交换单群,又因|M /N |||A u t (F i 22)|,且3㊃11㊃13||M /N |,13为|M /N |的最大素因子,由A t l a s 表知,M /N 可能同构于A 13,S u z 或F i 22.若M /N ≅A 13,则35 |M /N |,而39||G |,3⫮|N |,故3||G /M |.同步骤(a )的证明知,G 中有33阶元,这与K 2(G )=36,K 3(G )=30矛盾.若M /N ≅S u z ,则37 |M /N |,而39||G |,3⫮|N |,故3||G /M |.类似步骤(a )的证明知,G 中有33阶元,这与K 2(G )=36,K 3(G )=30矛盾.故M /N ≅F i 22.(c )G ≅A u t (F i 22).令췍M =M /N ,췍G =G /N ,由文献[12]中的N /C 定理知A u t (췍M )>~N 췍G (췍M )/C 췍G (췍M )=췍G /C 췍G (췍M )ȡ4西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.C 췍G (췍M )췍M /C 췍G (췍M )≅췍M /C 췍G (췍M )ɘ췍M ≅췍M .令C 为C 췍G (췍M )在G 中的原像,则췍M <~G /C <~Au t (췍M ),即F i 22<~G /C <~Au t (F i 22),比较阶有G /C ≅F i 22或G /C ≅A u t (F i 22).若G /C ≅F i 22,则|C |=2,G 为C 被F i 22的中心扩张.若C 在G 中有补,则G ≅C ˑF i 22,这时K 1(G )=42,K 2(G )=30,这与K 1(G )=42,K 2(G )=36矛盾;若C 在G 中没有补,则G ≅C .F i 22≅2.F i 22,由A t l a s 表知K 1(G )=30,这与K 1(G )=42矛盾.所以G /C ≅A u t (F i 22),从而C =1,G ≅A u t (F i 22).注2 |Z 2ˑF i 22|=|A u t (F i 22)|=218㊃39㊃52㊃7㊃11㊃13,且K 1(Z 2ˑF i 22)=K 1(A u t (F i 22))=42.但Z 2ˑF i 22与A u t (F i 22)不同构,故A u t (F i 22)不能用|A u t (F i 22)|和K 1(A u t (F i 22))来刻画.参考文献:[1]S H IW u -j i e .A N e wC h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e S p o r a d i c S i m p l eG r o u p s [M ].N e w -Y o r k :W a l t e r d eG r u y t e r ,1989:531-540.[2] S H IW u -j i e .A N e wC h a r a c t e r i z a t i o no f S o m e S i m p l eG r o u p s o f L i eT y p e [J ].C o n t e m p o r a r y M a t h ,1989,82:171-180.[3] S H IW u -j i e ,B I J i a n -x i n g .AC h a r a c t e r i z a t i o no f t h eA l t e r n a t i n g G r o u p s [J ].S o u t h e a s tA s i a nB u l l e t i no fM a t h e m a t i c s ,1992,1(6):81-90.[4] S H IW u -j i e ,B I J i a n -x i n g .AC h a r a c t e r i z a t i o n o f S u z u k i -R e e g r o u p s [J ].S c i e n c e i nC h i n a :S e rA ,1991,34(6):14-19.[5] S H IW u -j i e ,B I J i a n -x i n g .A C h a r a c t e r i s t i cP r o p e r t y f o rE a c hF i n i t eP r o j e c t i v eS p e c i a lL i n e a rG r o u p [M ].N e w -Y o r k :S p r i n g e r ,1989:171-180.[6] S H IW u -j i e .P u r eQ u a n t i t a t i v eC h a r a c t e r i z a t i o no fF i n i t eS i m p l eG r o u p s [J ].P r o g r e s s i nN a t u r eS c i e n c e ,1994,4(3):316-326.[7] V A S I L E V A V ,G R E C H K O S E E V A M A ,MA Z U R O V VD.C h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e F i n i t e S i m p l eG r o u p s b y S p e c t r u m a n dO r d e r [J ].A l g e b r a a n dL o g i c ,2009,48(6):385-409.[8] 申 红.阶对有限群的刻画[D ].重庆:西南大学,2011.[9] 何立官.群的阶及最高阶元素的阶与群的结构[D ].重庆:西南大学,2012.[10]HU P P E R TB .E n d l i c h eG r u p p e n I [M ].H e i d e l b e r g -N e w Y o r k :S p r i n g -V e r l a g ,1967.[11]C O NWA YJH ,C U R T I SRT ,N O R T O NSP ,e t a l .A t l a s o fF i n i t eG r o u ps [M ].O x f o r d :C l a r e n d o nP r e s s ,1985.[12]徐明耀.有限群论导引(上册)[M ].2版.北京:科学出版社,1999:34.O naN e wC h a r a c t e r i z a t i o no f t h eA u t o m o r p h i s m G r o u p s i nS p o r a d i c S i m p l eG r o u ps G A O Y a n -w e i , C A O H o n g -p i n g S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s ,S o u t h w e s t U n i v e r s i t y ,C h o n g q i n g 400715,C h i n a A b s t r a c t :L e t G b e a f i n i t e g r o u p ,K 1(G )d e n o t e s t h e l a r g e s t e l e m e n t o r d e r o f G ,K 2(G )t h e s e c o n d l a r ge s t o r d e r ,a n d K 3(G )t h e t h i r d l a r g e s t o r d e r .I t h a s b e e n s h o w n t h i s p a p e r t h a t t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p G of e v e r y s p o r a d i c s i m p l eg r o u p c a nb eu n i q u e l y d e t e r m i n e db y th e o r d e r o f G a n d Ki (G ),w h e r e i ɤ3.K e y wo r d s :f i n i t e g r o u p ;s p o r a d i c s i m p l e g r o u p ;a u t o m o r p h i s m g r o u p ;t h e e l e m e n t o r d e r 责任编辑 廖 坤5第2期 高彦伟,等:关于散在单群的自同构群的一个新刻画Copyright ©博看网. 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群论初探——精选推荐
群论初探简单群论群定义群G 是⼀个定义在⼆元组(S ,⋅)的代数结构。
其中S 是⼀个集合，·是⼀个⼆元运算符。
G 所含元素的个数称为群G 的阶，记为|G |。
⼀般的，称阶为+∞的群为⽆限群，否则称为有限群（定义同样适⽤于集合）。
在群G 中，a ∈G 。
若存在最⼩正整数k 使得a k =e ，则称k 为a 的阶，记为|a |=k ；否则称a 的阶是⽆限的，记为|a |=+∞。
群论中，集合或群中的⼀个元素也被称为⼀个点。
提醒，你可能会在下⽂看到“由元素组成的群”等不严谨的说法，请不要纠结。
判定与性质满⾜下列条件的⼆元组G =(S ,⋅)可以称为群：封闭性： ∀x ,y ∈S ,x ⋅y ∈S ；结合律：∀x ,y ,z ∈S ,(x ⋅y )⋅z =x ⋅(y ⋅z )；单位元：∃e ∈S ,∀x ∈S ,e ⋅x =x ⋅e =x ；当G 为加法群是，其单位元称为零元，记作0。
逆元：∀x ∈S ,∃y ∈S ,x ⋅y =y ⋅x =e ；在式x ⋅y =e 中，称x 为y 的左逆元，y 为x 的右逆元。
当G 为加法群时，a 的逆元也称作负元，并记为−a 。
结论：在群中，左逆元=右逆元。
证明：∀x ∈G ,∃a ∈G ,a ⋅x =e 。
a 为x 的左逆元。
∃b ∈G ,b ⋅a =e 。
由1、2，x ⋅a =(b ⋅a )⋅(x ⋅a )=b ⋅(a ⋅x )⋅a =b ⋅a =e ，即a 也是x 的右逆元。
得证。
消去律： x =y 与x ⋅a =y ⋅a 互为充要条件，x ,y ,a ∈G 。
结论：当S 为有限集，在具有封闭性、结合律、单位元的⼆元组(S ,⋅)⾥，逆元存在⇔消去律存在。
证明：逆元存在⇒消去律存在结合消去律定义与a ⋅a −1=e 可证。
消去律存在⇒逆元存在对于∀a ∈S ，建⽴新⼆元组(S ′={x ⋅a |x ∈S },⋅)。
根据封闭性，S ′∈S 。
⼜S 存在消去律，考虑集合的互异性，不会存在x ,y 使得x =y ；同样的S ′中不会存在值为x ⋅a 的两个相同元素即|S |=|S ′|。
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(5) P ≅ Z 3 × Z 3 且 N G ( P ) 是 Frobenius 群， P 在 N G ( P ) 中的补群是 4 阶循环群。谬设 P ≅ Z 9 。由于
9 元域 F9 Z 3 [ x ] x 2 + 1 上的射影空间上的置换群 =
(6) P 依共轭正则地作用在 Syl3 ( G ) \ { P} 上。 从而 N G ( P ) 在 Syl3 ( G ) 上的传递的共轭作用w’s Theorem, Simple Group, PSL (2,9), PSL (2,8)
360阶和504阶单群的唯一性的初等群论证明
周
1 2
峰1，于浩然2，王
杰2，刘合国1*
湖北大学数学系，武汉 北京大学数学系，北京 * Email: thoufeng@, ghliu@
t
x − 1 − x (1 + x ) , − x − 1 − (1 + x ) ,1 − x x (1 + x ) 。
t t t
由于 t 诱导的是偶置换，故 1t = 1, −1, x 或 − x 。 若1t = 1 ，则 tn :1 1 x, x − x 1, −1 −1 − x, − x x −1 ，1tn = x 且
单群同构于的 A6 初等群论证明见[4] [5]， [6]利用文献[2]的方法证明了 660 阶单群同构于 PSL ( 2,11) 。 对
于 504 阶单群同构于 PSL ( 2,8 ) ，在[5]中，Cole 利用置换群的技巧给出了证明。这样，阶不超过 1000 的非交换单群同构唯一性都有了初等的群论证明。而本文将利用[2]和[6]里的方法，从射影线性群的角 度出发，将 360 阶单群及 504 阶单群里的某些元素与射影线性群里的元素对应起来，从而将给定阶的 单群嵌入射影线性群里，再通过比较群的阶，重新证明 360 阶单群同构于 PSL ( 2,9 ) 及 504 阶单群同构
关键词
Sylow定理；单群；PSL (2,9)，PSL (2,8)
1. 引言
本文采用的符号和术语都是标准的，见文献[1]。 我们知道，对 n 阶的非交换单群，当 n ≤ 1000 时， n 只能是 60、168、360、504、660，并且阶不超 过 1000 的非交换单群只有 5 个： 60 阶单群 A5 、 168 阶单群 PSL ( 2, 7 ) 、 360 阶单群 A6 、 504 阶单群 PSL ( 2,8 ) 和 660 阶单群 PSL ( 2,11) 。运用 Sylow 定理不难证明 60 阶单群同构于 A5 ，见文献[2]和[3]。在文献[2] 和[3]中，Huppert 和 Smith 分别用不同的初等群论方法证明了 168 阶单群同构于 PSL ( 2, 7 ) ，而 360 阶
= ( tn ) 2, = ( tn ) n ( tn ) n−1 ，故可以用 tn 替代 t 。
−1
若 1t = −1 ，则 tn3 :1 −1 x, x x 1, −1 1 − x, − x − x −1 ，同理以用 tn3 替代 t 。 若 1t = − x ，则 tn 2 :1 − x x, x −1 1, −1 x − x, − x 1 −1 ，同理以用 tn 2 替代 t 。 故无妨设 1t = x ， t :1 x, x 1, −1 − x, − x −1 。 同理 (1 + x ) = 1 + x,1 − x, −1 − x 或 x − 1 。
C X ( D ) N G ( D ) 。若 C X ( D ) = 2 ，则 N G ( D ) C X ( D ) 中有 9 阶子群正规，进而知 N G ( D ) 中 9 阶子群正
(3) n3 ( G ) = 10 。由 Sylow 第三定理知 n3 ( G ) = 1, 4,10 或 40。由 G 是 360 阶单群， n3 ( G ) 不可能为 1
Abstract
Only by using Sylow’s theorem, basic permutation computation and linear algebra theory, we prove that a simple group of order 360 is isomorphic to PSL (2,9) and a simple group of order 504 is isomorphic to PSL (2,8).
Pure Mathematics 理论数学, 2014, 4, 172-178 Published Online September 2014 in Hans. /journal/pm /10.12677/pm.2014.45026
矛盾！谬设 Q ≅ Q8 ，设 n ( n ∈ N G ( P ) , ( n ) = 4 ) 诱导的置换是 ( ∞ ∞, ξ x ξ , ∀ξ ∈ F9 ) 。 ∃m ∈ G 使得
g ∈ NG ( Q ) = Q, y = xg = x。 从而 G 共有 45 × 7 = G 中至少有 315 + 144 + 80 + 1 = 315 个 2-元素。 540 个元素，
(
)
uη = ( ∞ ∞, ξ ξ + η , ∀ξ ∈ F9 ) , n = ( ∞ ∞, ξ x ξ , ∀ξ ∈ F9 ) | ∀η ∈ F9 。
0 η x 0 , 的行列式都是 F9 中的平方元，故 N G ( P ) 嵌入 PSL ( 2,9 ) 。 1 1 0 1
子群，故 Q ≅ Z8 或 Z 4 × Z 2 。由 4 知 N G ( Q ) = Q ，且 Q 之任一非单位元 z 都满足 CG ( z ) = Q ，进而 z 在 G (7) 首先证明 G 之 Sylow 2-子群同构于 D8 。取定 Q ∈ Syl2 ( G ) ，谬设 Q 交换，由于 G 中有 4 阶循环
收稿日期：2014年7月12日；修回日期：2014年8月10日；录用日期：2014年8月19日
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通讯作者。
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360 阶和 504 阶单群的唯一性的初等群论证明
摘
要
仅用Sylow定理、 最基本的置换计算和线性代数重新证明了360阶单群同构于PSL (2,9)及504阶单群同构 于PSL (2,8)。
th th th
Received: Jul. 12 , 2014; revised: Aug. 10 , 2014; accepted: Aug. 19 , 2014 Copyright © 2014 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
t
t
若 (1 + x ) = 1 + x ，则 t : 0 ∞, ∞ 0,1 x, x 1, −1 − x, − x −1,1 + x 1 + x,
g CG ( y ) C = C = Q g ，从而 中的共轭类长 Cl ( z ) = 45 。如果 g ∈ G, x, y ∈ Q 使得 y = x g = 。则 Q = G x G ( x) g
−1 −1 = ( m ) 4, m = nm n= , m 2 n 2 。则 m 2 引起的置换的不动点只有 0, ∞ ， m 引起的置换对换 0, ∞ 。从而 m 诱
n5 ( G ) = 6 ，由 G 是 360 阶单群， G ≅ A6 ，而 n5 ( A6 ) = 36 ，矛盾！
从而 N G ( D ) ≥ 36 。由于 G 是 360 阶单群， N G ( D ) = 36 。不难看出 N G ( D ) D 中之 4 阶子群正规，设
规，矛盾！若 C X ( D ) = 4 ，则 72 N G ( C X ( D ) ) ，矛盾于 G 是 360 阶单群！
群嵌入。 承 2 知 x 2 引起的置换同形于 (1)( 234 )( 567 )( 8,9,10 ) 。 从而 x 引起的置换同形于 (1)( 234567 )( 8,9,10 ) ， 是奇置换，矛盾！谬设 G 中有 10 阶元 y，同样注意到 G 依共轭作用在 Syl3 ( G ) 上诱导 G 到 A10 的群嵌入， 且由 3 知 y 引起的置换无不动点。从而 y 引起的置换同形于 (1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10 ) ，是奇置换，矛盾！
(4) G 中无 6 阶元及 10 阶元。谬设 G 中有 6 阶元 x。注意到 G 依共轭作用在 Syl3 ( G ) 上诱导 G 到 A10 的
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360 阶和 504 阶单群的唯一性的初等群论证明
在 N G ( P ) 中的补群是 4 阶循环群。
Aut ( Z 9 ) ≅ Z 6 ，故 N G ( P ) 中有 6 阶元，矛盾于(4)。亦承(4)知 N G ( P ) 是 36 阶 Frobenius 群，进一步地， P
X ∈ Syl2 ( N G ( D ) ) ，则 XD N G ( D ) 。不难看出 C X ( D ) = 2 或 4，且 C X ( D ) = O2 ( XD ) char XD ，从而
或 4。若 n3 ( G ) = 40 ，则由 1、2 知 G 中至少有 36 × 4 + 40 × 8 + 1 = 465 个元素，矛盾！故 n3 ( G ) = 10 。取 定 P ∈ Syl3 ( G ) ，则 N G ( P ) = 36 。
An Elementary Proof for the Uniqueness (up to Isomorphism) of the Simple Groups of Order 360 and 504