《离散数学》集合的基本概念和运算
离散知识点公式总结
离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。
集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。
其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。
公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。
公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。
公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。
公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。
在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。
其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。
公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。
公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。
图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。
其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。
公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。
公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。
公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。
离散数学中的集合与运算
离散数学中的集合与运算离散数学是数学中的一个分支，主要研究离散的结构和不连续的对象。
集合与运算是离散数学中的基本概念和操作，它们在离散数学中具有重要的地位和应用。
本文将介绍离散数学中的集合与运算的概念与性质，并举例说明其在现实生活中的应用。
一、集合的定义和表示方法在离散数学中，集合是由一些确定的、互异的对象所构成的整体。
这些对象称为集合的元素，可以是任何事物，如数字、字母、人、物体等。
集合用大写字母表示，元素用小写字母表示。
集合中的元素是无序的，没有重复的。
集合可以通过三种方式来表示：1. 列举法：直接列举出集合中的元素，用大括号{}括起来，元素之间用逗号隔开。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}。
2. 描述法：给出一个判断条件，符合条件的元素组成集合。
例如，集合B={x | x是正整数，且x<5}，表示所有小于5的正整数构成的集合。
3. 元素特征法：根据元素的特征来表示集合。
例如，集合C={奇数}，表示所有奇数构成的集合。
二、集合的运算离散数学中，集合有四种基本运算：并集、交集、差集和补集，下面将对每种运算进行介绍。
1. 并集：集合A和集合B的并集，表示为A∪B，是包含所有属于集合A或集合B的元素的集合。
例如，A={1, 2}，B={2, 3}，则A∪B={1, 2, 3}。
2. 交集：集合A和集合B的交集，表示为A∩B，是包含所有属于集合A且属于集合B的元素的集合。
例如，A={1, 2}，B={2, 3}，则A∩B={2}。
3. 差集：集合A和集合B的差集，表示为A-B，是包含所有属于集合A但不属于集合B的元素的集合。
例如，A={1, 2}，B={2, 3}，则A-B={1}。
4. 补集：对于给定集合U，集合A在U中的补集，表示为A'，是指所有属于U但不属于A的元素构成的集合。
例如，在全集U={1, 2, 3, 4}中，集合A={2, 3}，则A'={1, 4}。
三、集合与运算的应用举例集合与运算在离散数学中的应用非常广泛，下面将举几个例子来说明。
离散数学(chapter3集合的基本概念和运算)
以上运算律的证明思路：欲证P=Q，即证 x P x Q。
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Байду номын сангаас
三、集合算律
证明分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 对x， x A∪(B ∩C) (x A ) (x B∩C )
(x A) (x B x C )
Z: 整数集合
Q: 有理数集合
R: 实数集合 C: 复数集合
: 空集(不含任何元素) E: 全集 （在某一问题中，含有所涉及的全部集合的集合。）
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三、集合的表示方法
列出集合的所有元素，元素之间用逗号 1、列举法： 隔开。如A = { a, b, c } ， B = { 1,2,4,6,7,9 } 用谓词概括该集合中元素的属性。 2、描述法： 如：A = { x | xZ 3 < x 6 } A = { x | P (x) }，其中P (x)表示x满足的性质。 即A是由所有使P (x)为真的全体x构成。
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§3.1 集合的基本概念
内容：集合，元素，子集，幂集等。 重点：(1) 掌握集合的概念及两种表示法， (2) 常见的集合N , Z, Q, R, C 和特殊集合 ,E， (3) 掌握子集及两集合相等的概念， (4) 掌握幂集的概念及求法。
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四、集合之间的关系
3、真子集： B A。
B A B A B A
BABA B=A
4、幂 集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。 符号化为 P (A) = { x | x A} n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。
离散数学 - 第三章：集合的基本概念和运算
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电子工程学院，念——特殊集合
定义3.4 空集 不含任何元素的集合，称为空集 (empty set) ，记作。 空集的符号化形式为： ={x| x x } 如：A = {x | x R x2+1=0} = 定理3.1 空集是一切集合的子集。 推论 空集是唯一的。 例：确定下列命题是否为真
a i
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u
E
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3.1 集合的基本概念
集合中元素的表示
元素a属于集合A，记作a A。 元素a不属于集合A ，记作a A
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3.1 集合的基本概念
集合的特征 确定性：任何一个对象，或者是这个集合的元素， 或者不是，二者必居其一。 例如：A={x| x N x<100}
基数势序数证明了有理数集合的可数性和实数集的不可数性建立了实数连续性公理被称为cantor公理1874年证明了一条线段上的点能够和正方形上的点建立一一对应从而证明了直线上平面上三维空间乃至高维空间的所有点的集合都有相同的势1877年患了精神分裂症1884年最后死于精神病院20151117电子工程学院离散数学第三章集合的基本概念和运算31集合的基本概念集合元素集合的表示法子集包含集合相等真子集空集幂集全集32集合的基本运算并集交集补集对称差文氏图运算33集合中元素的计数基数有无穷集包含排斥原理20151117电子工程学院离散数学集合的基本概念把具有共同性质的一些东西汇集成一个整体就形成一个集合set确定的可分辨的事物构成的整体
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3.1 集合的基本概念
离散数学 第1章 集合的基本概念和运算
B A ( x) ( x B x A)
例：设A={1,2,3,4,5,6,}, B={2,4,5,}及C={1，2，3，4，5} 定义3.1.2（外延性原理）设A，B为集合，如果B⊆A且A⊆B， 则称A与B相等，记作A=B。相等的符号化表示为
x 则 x A B或x A C ， A且x B或x A且x C ，即 x A且x B C, 于是x A ( B C ) 所以 ( A B) ( A C ) A ( B C ) 因此 ( A B) ( A C ) A ( B C )
离散数学
第一章 集合的基本集合的基本概念和运算
1.1 1.2 1.3 1.4 集合的基本概念 集合的基本运算 集合中元素的计数 笛卡尔乘积
1.1 集合的基本概念
集合是不能精确定义的基本的数学概念，直观地讲，集合是 由某些可以相互区别的事物汇集在一起所组成的整体。对于给定 的集合和事物，应该可以断定这个特定的事物是否属于这个集合。 如果属于，就称它为这个集合的元素。 集合通常用大写的英文字母来表示。 集合有两种表示方法：枚举法和谓词表示法。前一种方法是 将集合中的所有元素罗列出来，元素之间用逗号隔开，并把它们 用花括号括起来。例如 A {a, b, c} ， {1, 2, 3, ...}， {春， 秋， }，都是合法的表示。 C 夏， 冬 B 谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性，例如 2 } F D {x | x是学生 ， {x | x是整数 ， {x | x R x 1 0} } E 一般的 A={x︱R(x)} R(x)表示x具有性质R，表示任何谓词 集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次出现 应该认为是一个元素。集合的元素也是无序的，元素的排列顺序 对集合没有影响。
离散数学集合与关系
离散数学集合与关系离散数学是数学中一门独立的分支，它主要研究离散的数学结构和被限制在有限范围的对象。
集合论和关系理论是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、信息科学等领域具有广泛的应用。
一、集合的概念与基本运算集合是离散数学中最基本的概念之一，它是由确定的元素所组成的整体。
集合的表示通常使用大写字母，元素用小写字母表示，并用花括号{}括起来。
例如，集合A={1,2,3,4}表示由元素1,2,3,4组成的集合A。
在集合论中，集合之间的关系可以通过特定的运算来描述。
常见的集合运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是指所有属于被操作的集合的元素的集合。
交集是指同时属于所有被操作的集合的元素的集合。
差集是指属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合。
补集是指在全集中属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合。
二、关系的定义与性质关系是描述集合之间元素之间的某种联系或者规律的数学概念。
在离散数学中，关系可以用二元组的形式表示。
关系的性质包括自反性、对称性和传递性。
自反性是指元素与自身之间存在关系。
对称性是指如果两个元素之间存在关系，那么它们之间的关系是互逆的。
传递性是指如果两个元素之间存在关系，并且与另一元素之间也存在关系，那么这两个元素之间也存在关系。
三、集合的基数与幂集集合的基数是指集合中的元素个数。
若集合A中的元素个数为n，则记作|A|=n。
基数为有限值的集合称为有限集，基数为无限值的集合称为无限集。
幂集是指一个集合的所有子集所组成的集合。
例如，对于集合A={1,2}，它的幂集为{{},{1},{2},{1,2}}。
幂集的基数等于原集合的基数的2的幂次方。
四、关系的类型与性质在离散数学中，关系可以分为几种不同的类型。
常见的关系类型包括等价关系、序关系和函数关系。
等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
序关系是指满足自反性、反对称性和传递性的关系。
函数关系是指每个定义域中的元素都有唯一对应的值域中的元素的关系。
离散数学集合论基础知识
离散数学集合论基础知识离散数学是计算机科学中一门重要的基础学科，集合论是离散数学的基础之一。
在这篇文章中，我们将介绍离散数学集合论的基础知识，包括集合的定义、运算、关系等内容。
一、集合的定义与表示集合是具有确定性的事物或对象的总体，它是数学中的一个基本概念。
我们可以用不同的方式表示一个集合，包括列举法、描述法和图形法。
（一）列举法列举法是通过列举集合中的元素来表示一个集合。
例如，可以用列举法表示自然数集合N={1, 2, 3, 4, …}，表示所有正整数的集合。
（二）描述法描述法是通过描述集合中元素的性质来表示一个集合。
例如，可以用描述法表示偶数集合E={x | x是整数，且x能被2整除}，表示所有能被2整除的整数的集合。
（三）图形法图形法是用图形的方式表示一个集合。
例如，可以用图形法表示平面上所有整数坐标点构成的集合。
二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。
（一）并集集合A与集合B的并集，记作A∪B，表示由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
（二）交集集合A与集合B的交集，记作A∩B，表示由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
（三）差集集合A与集合B的差集，记作A-B，表示由属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。
（四）补集对于给定的全集U，集合A相对于全集U的补集，记作A'或者A^c，表示由全集U中不属于集合A的元素组成的集合。
例如，设全集U为自然数集合N，A={2, 4, 6}，则A'={1, 3, 5, 7, ...}（即不是偶数的自然数）。
三、集合的关系集合的关系包括包含关系、相等关系和互斥关系等。
离散数学 集合的基本概念和运算
（1）A={a|a∈P且a<20}
（2）B={a||a|<4且a为奇数}
{2,3,5,7,11,13,17,19} {-3,-1,1,3}
2. 用描述法表示下列集合 (1) A={0,2,4,…,200} (2) B={2,4,8,…,1024}
{2x|x∈Z且x≤100} {2n|n∈N且n≤10}
0 1 2 n n | P( A) | Cn Cn Cn Cn 1 Cn 2n 2
A
3.1 集 合 的 基 本 概 念
练习1 设A={a,b,{c},{a},{a,b}}，试指出下 列论断是否正确？ (1)aA ( ) (8){b}A ( ) (2){a}A ( ) (9){a,b}A ( ) (3){a}A ( ) (10){a,b}A ( ) (4)A ( ) (11)cA ( ) (5)A ( ) (12){c}A ( ) (6)bA ( ) (13){c}A ( ) (7){b}A ( ) (14){a,b,c}A ( )
A
B
A B
B A
A B关于ຫໍສະໝຸດ 算的说明运算顺序： 和幂集优先，其他由括号确定
并和交运算可以推广到有穷个集合上，即
A1A2…An= {x | xA1xA2…xAn} A1A2…An= {x | xA1xA2…xAn}
某些重要结果
ABA
AB AB=（后面证明） AB= AB=A
典 型 习 题
列出集合A={1,{2}}的全部子集。 解 因为是任何集合的子集，所以 是A的子集。由A中任意一个元素所组成的 集合是A的子集，所以{1}和{{2}}是A的子 集。由A中任意两个元素所组成的集合是A 的子集，所以{1,{2}}是A的子集。因为A中 只有两个元素，故A再没有其他的子集。 由上可知，A有四个子集：，{1}， {{2}}，{1,{2}}。