18讲 最优控制-线性二次型-输出跟踪
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《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
(t ) (22 F12 )1( F11 21) x(t )
可以证明 (22 F12 )1 存在 因此， (t )与X (t ) 呈线性关系，可表示为 (t ) P(t ) x(t ) 则
u * (t ) R 1(t ) BT (t ) P(t ) x(t )
（微分方程解的存在性和唯一性定理）
* * * * x1 x2 即x1 x2
16
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
5.总结 状态调节器控制规律 u * (t ) R 1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t ) 其中P(t)满足下面的矩阵黎卡提微分方程及边界条件
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
3 Q(t ), R(t ) 加权矩阵 Q(t )半正定，R(t )正定且均为时变 1 T 4 e (t f ) Fe(t f ) 突出对终端的误差的要求 2 特别要求终端固定，即e(t f ) 0时，F
5
【线性系统课件】线性二次型最优控制问题
x (t f ) P (t f ) x (t f )
T
1 2
x (0) P (0) x (0)
T
1 2 1 1 2 1 2 1 2
tf
d dt
[ x P ( t ) x ] dt
T T
T
0 tf
2
[ x P ( t ) x x P ( t ) x x P ( t ) x ] dt { x [ A P ( t ) P ( t ) P ( t ) A ] x u B P ( t ) x x P ( t ) Bu } dt
T
1 2
tf
[ x ( t ) Qx ( t ) u ( t ) Ru ( t )] dt
T T
t0
S , Q : 半正定 , 对称矩阵 R : 正定 , 对称矩阵
求 u (t )
使
J ( u ( t )) min J ( u ( t ))
u (t )
二. 有限时间LQ调节问题
调节问题：受外部动态扰动时，保持x(t)回到零平衡态； 有限时间： t f 为有限值； LQ问题：二次型性能指标。 定理：系统 x Ax Bu , x ( 0 ) x 0 , t [ 0 , t f ] 使性能指标
z Fz Gy Hu , z ( 0 ) z 0 ˆ x T
1
z
在F，G，H，T满足一定条件时，可作为原系统 的观测器。
结论1： x 0 , z 0 , u 任意，上述系统是{A,B,C}的全维状态观测 器的充要条件是：
(1) TA FT GC , T 非奇异 ( 2 ) H TB ( 3 ) i ( F ), i 1, 2 , , n 均具负实部
线性二次型最优控制
❖ 正定的时变矩阵R(t)亦为加权矩阵,其各行各列 元素的值的不同,体现了对相应的控制向量u(t) 的分量在各时刻的要求不同、重要性不同。
✓ 时变矩阵R(t)的不同选择,对闭环最优控制系统的性 能的影响较大。
❖ 综上所述,可见线性系统的二次型性能指标泛函 的最优控制问题的实质在于用不大的控制量,来 保持较小的控制误差,以达到所耗费的能量和控 制误差的综合最优。
✓ R(t)为r×r维时变的分段连续的正定矩阵,且其逆矩 阵存在并有界;
✓ 末态时刻tf是固定的。
线性二次型最优控制(6/12)
下面对上述性能指标泛函作细致的讨论: 1) 性能指标泛函J[u(·)]中的第1项e(tf)Fe(tf),是为了突出对 末端目标的控制误差的要求和限制而引进的,称为末端 代价函数。 ✓ 非负定的常数矩阵F为加权矩阵,其各行各列元素的 值的不同,体现了对误差向量e(t)在末态时刻tf各分量 的要求不同、重要性不同。 ✓ 若矩阵F的第i行第i列元素值较大,代表二次项的重 要性较大,对其精度要求较高。
➢ 本节将陆续介绍线性二次型问题及其解的存在性、唯一 性和最优控制解的充分必要条件。
➢ 线性系统的二次型性能指标的最优控制问题可表述如下。
线性二次型最优控制(4/12)
线性二次型最优控制问题 设线性时变系统的状态方程和输 出量测方程为
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t), x(t0 ) x0 y(t) C(t) x(t)
f / r β-a
β q a2 r
最优控制的存在性与唯一性(7/13)
➢ 最优状态轨线为下列一阶时变微分方程的解
x(t)
a
p(t) r
x(t)
于是得
x(t)
x0
exp
✓ 时变矩阵R(t)的不同选择,对闭环最优控制系统的性 能的影响较大。
❖ 综上所述,可见线性系统的二次型性能指标泛函 的最优控制问题的实质在于用不大的控制量,来 保持较小的控制误差,以达到所耗费的能量和控 制误差的综合最优。
✓ R(t)为r×r维时变的分段连续的正定矩阵,且其逆矩 阵存在并有界;
✓ 末态时刻tf是固定的。
线性二次型最优控制(6/12)
下面对上述性能指标泛函作细致的讨论: 1) 性能指标泛函J[u(·)]中的第1项e(tf)Fe(tf),是为了突出对 末端目标的控制误差的要求和限制而引进的,称为末端 代价函数。 ✓ 非负定的常数矩阵F为加权矩阵,其各行各列元素的 值的不同,体现了对误差向量e(t)在末态时刻tf各分量 的要求不同、重要性不同。 ✓ 若矩阵F的第i行第i列元素值较大,代表二次项的重 要性较大,对其精度要求较高。
➢ 本节将陆续介绍线性二次型问题及其解的存在性、唯一 性和最优控制解的充分必要条件。
➢ 线性系统的二次型性能指标的最优控制问题可表述如下。
线性二次型最优控制(4/12)
线性二次型最优控制问题 设线性时变系统的状态方程和输 出量测方程为
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t), x(t0 ) x0 y(t) C(t) x(t)
f / r β-a
β q a2 r
最优控制的存在性与唯一性(7/13)
➢ 最优状态轨线为下列一阶时变微分方程的解
x(t)
a
p(t) r
x(t)
于是得
x(t)
x0
exp
4.1 线性二次型最优控制
(4-2-10)
用Ω(t，t0)表示方程组(4-2-9)的2n╳2n维转移矩阵，用λ(t0)表示待定的 协态变量初值，则方程组(4-2-9)的解可以表示为
x( t 0 ) x( t ) ( t ) ( t , t 0 ) ( t ) 0
(4-2-11)
• 二次型性能指标中加权矩阵F、Q、R的选取在最优 控制方法中是受人为因素影响最大的步骤。 • 对同样的二次型最优控制问题，选取不同的F、Q、 R，则所得到的最优控制规律也将不一样。 • 控制规律设计（控制器综合）中人为因素影响总是 客观存在的。
(4) 线性二次型最优控制问题的三种类型
状态调节器问题 此时有C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) 输出调节器问题 此时有yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t) 跟踪问题 此时yr(t) ≠ 0， e(t) = yr(t) - y(t)
1 tf 2 为单输出，即e(t)为数量函数时， e ( t )dt 即为经典控制中的动态误 2 t0
Lu u T ( t ) R ( t ) u( t )为衡量控制功率（积分后即为能量）大小的
代价函数，若u(t)表示电流或电压时，则u2(t)正比于电功率；
e T ( t f )Fe( t f ) 是要使末值时刻误差最小。
则(4-2-12）式可写为来自(4-2-13)x ( t f ) 11 ( t f , t ) x ( t ) 12 ( t f , t ) ( t )
(4-2-14) (4-2-15)
( t f ) 21 ( t f , t ) x( t ) 22 ( t f , t ) ( t )
线性二次型讲解
(3)
其解为：
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
(5)
线性二次型(LQ)最优控制问题
横截条件给出了终端时刻二者的关系：
1 [ xT (t f ) Fx(t f )] (t f ) 2 Fx(t f ) x(t f ) (6)
边界条件：
(17)
(6)
(13)
(t f ) Fx(t f )
(t ) P(t ) x(t )
P(t f ) F
(18)
线性二次型(LQ)最优控制问题
黎卡提方程求解问题：
（1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分 方程组。 （2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值 解。
u(t ) R1BT R1BT P(t ) x(t ) K (t ) x(t )
(14)
线性二次型(LQ)最优控制问题
最优线性反馈控制
求解P(t),但直接 利用式（12）求 解，涉及矩阵求 逆，运算量大
线性二次型(LQ)最优控制问题
应用性质求解P（t）
(t ) P(t ) x(t ) (13) x Ax BR 1BT Ax S
说明：
1 T J (u ) [ x (t )Qx(t ) u (t )T Ru (t )]dt 2 t0
(2)
1）要求系统完全能控。
2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应
线性二次型(LQ)最优控制问题
可以证明：
(10)
(t ) (22 F12 )1 (F11 21 ) x(t )
现代控制理论线性二次型最优控制
0 ∞
J = ∫ x T Qxdt
0
∞
J = ∫ uT Rudt 描述了控制能量
0
∞
性能指标：既考虑系统性能的要求，也考虑能量消耗
7.1 二次型最优控制
& = Ax + Bu ⎧x 系统状态空间模型： ⎨ ⎩ y = Cx
系统性能指标：J = ∫0 [ x T Qx + uT Ru]dt Q和R为加权矩阵，由设计者选定。 目的：要求设计一个控制器u，使得性能指标J尽可能小 9 二次型最优控制问题； 9 最优控制器。 特别的，考虑状态反馈形式的最优控制器：u = − Kx 9 如何来确定最优状态反馈控制器？ 9 最优闭环系统的稳定性？
总结：只要黎卡提方程有对称正定解，就可以构造最优 状态反馈增益矩阵，并得到性能指标的最小值。 问题：什么时候可解呢？ 定理：若 ( A, B) 能控，则状态反馈二次型最优控制问题 可解，即黎卡提方程存在对称正定解P，据此可以构 造最优状态反馈控制律和最小性能指标值。
& = ( A − BR −1B T P ) x 最优闭环系统： x
T J = ∫ x T [ PA + AT P − PBR −1 B T P + Q ] xdt + x0 P x0 0 ∞
依赖矩阵P。若选取正定矩阵P满足
PA + AT P − PBR −1 B T P + Q = 0 （Riccati 黎卡提方程）
T J = x 则性能指标的最小值 0 P x0 。
应该是负定的。
控制律对性能指标的影响：
J = ∫ ( x T Q x + u T R u)dt
0 ∞ ∞ d d ⎤ ⎡ T T ⎢ x Q x + u R u + dt V ( x )⎥dt − ∫0 dtV ( x )dt ⎦ ⎣
J = ∫ x T Qxdt
0
∞
J = ∫ uT Rudt 描述了控制能量
0
∞
性能指标：既考虑系统性能的要求，也考虑能量消耗
7.1 二次型最优控制
& = Ax + Bu ⎧x 系统状态空间模型： ⎨ ⎩ y = Cx
系统性能指标：J = ∫0 [ x T Qx + uT Ru]dt Q和R为加权矩阵，由设计者选定。 目的：要求设计一个控制器u，使得性能指标J尽可能小 9 二次型最优控制问题； 9 最优控制器。 特别的，考虑状态反馈形式的最优控制器：u = − Kx 9 如何来确定最优状态反馈控制器？ 9 最优闭环系统的稳定性？
总结：只要黎卡提方程有对称正定解，就可以构造最优 状态反馈增益矩阵，并得到性能指标的最小值。 问题：什么时候可解呢？ 定理：若 ( A, B) 能控，则状态反馈二次型最优控制问题 可解，即黎卡提方程存在对称正定解P，据此可以构 造最优状态反馈控制律和最小性能指标值。
& = ( A − BR −1B T P ) x 最优闭环系统： x
T J = ∫ x T [ PA + AT P − PBR −1 B T P + Q ] xdt + x0 P x0 0 ∞
依赖矩阵P。若选取正定矩阵P满足
PA + AT P − PBR −1 B T P + Q = 0 （Riccati 黎卡提方程）
T J = x 则性能指标的最小值 0 P x0 。
应该是负定的。
控制律对性能指标的影响：
J = ∫ ( x T Q x + u T R u)dt
0 ∞ ∞ d d ⎤ ⎡ T T ⎢ x Q x + u R u + dt V ( x )⎥dt − ∫0 dtV ( x )dt ⎦ ⎣
最 优 控 制 教 案第四章 线性二次型性能指标的最优控制问题
许多控制问题可以转化为线性二次型问题；其最优解可以写成统一的解析表达式，理论比较成熟第四章 线性二次型性能指标的最优控制问题4.1概述如果所研究的系统为线性，所取的性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数，则这种动态系统的最优控制问题，称为线性二次型问题。
设线性时变系统的状态方程为()()()()(),()()()xt A t x t B t u t y t c t x t =+=在工程实际中，希望：系统输出y(t)尽量接近某一理想输出y r (t) 定义误差：e(t)= y r (t)- y(t)求最优控制u *(t)，使下列性能指标极小：11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J e t Fe t e t Q t e t u t R t u t dt =++∫F 为对称非负定常阵，Q(t)为对称非负定时变矩阵，R(t)为对称正定时变矩阵，t 0,t f 固定。
上式中系数21是为了简化计算。
指标的物理意义：使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统稳态误差综合最优。
(1) 状态调节器问题若c(t) = I, y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)= - x(t)11()()[()()()()()()]22f t T TT f f t J x t Fx t x t Q t x t u t R t u t dt =++∫此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统状态x(t)保持在零状态附近。
(2) 输出调节器若 y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J y t Fy t y t Q t y t u t R t u t dt =++∫ 此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统输出y(t)保持在零状态附近。
线性二次型最优控制问题
2023/12/21
9
对容许控制U(t)和终态X(tf)的说明
（1） 在线性二次型问题的定义中，并没有直接提出对控制 作用U(t)的不等式约束，但这并不等于在物理上不需要对 U(t)进行必要的限制。实际上，用适当选择Q(t)和R(t)数值 比例的方法，同样可以把U(t)的幅值限制在适当的范围之 内。这样，就可以在保持闭环系统线性性质的前提下，实 现对U(t)的限制。
2023/12/21
1
线性二次型最优控制问题是指线性系统具有二次型 性能指标的最优控制问题，它呈现如下重要特性：
性能指标具有鲜明的物理意义。最优解可以写成统一的解 析表达式。所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式， 便于计算和工程实现。
可以兼顾系统性能指标的多方面因素。例如快速性、能量 消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。
dt
这时问题转化为：用不大的控制量，使系统输出Y(t)紧
紧跟随Yr(t)的变化，故称为跟踪问题。
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6.2 有限时间的状态调节器问题
问题6.2.1 给定线性定常系统的状态方程和初始条件
X (t) AX (t) BU (t)
X
(t0 )
X0
（6.2.1）
其 中 X(t) 是 n 维 状 态 变 量 ， U(t) 是 m 维 控 制 变 量 ， A 是 nn常数矩阵，B是nm常数矩阵。性能指标是
在理论上，线性二次型最优控制问题是其它许多控制问题 的基础，有许多控制问题都可作为线性二次型最优控制问 题来处理。
线性二次型最优控制问题，在实践上得到了广泛而 成功的应用。可以说，线性二次型最优控制问题是 现代控制理论及其应用领域中最富有成果的一部分。
2023/12/21
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yr 1 x 50
0.5 0
0
-50 -0.5
-100 -1
-1.5
0 0005） 类方波信号跟踪最优控制响应曲线（ r 0.0005
能源与动力学院系统控制与仿真研究室 52
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-150
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
34
最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
t
1
t , t t t , t
1 f f f
tf
t
t f , C T Q yr d
-4
-6
-8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 001） 正弦信号跟踪最优控制响应曲线（r 0.001
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最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
49
最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
3）类方波信号跟踪响应：
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最优控制——线性二次型 5.3输出调节器
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16
最优控制——线性二次型 5.3输出调节器
尽可能多地利用系统中的信息，必然有 利于实现最优控制，而状态向量包含了 系统的全部信息，输出向量仅仅提供系 统的部分信息，所以，输出调节器最优 控制问题中，最优控制u*(t) 仍然由状态 向量反馈构成，而不由输出反馈构成。
5
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6
最优控制——线性二次型 本次课程内容
概述 线性二次型最优控制问题 状态调节器
•有限时域状态调节器问题 •无限时域状态调节器问题
输出调节器 跟踪问题
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最优控制——线性二次型 5.3输出调节器
一个工程实际系统，当工作于调节器状 态时，总是希望系统一旦受扰偏离原平 衡状态，系统的输出能最优地恢复到原 平衡状态，这样的问题称为最优输出调 节器问题。
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最优控制——线性二次型 5.3输出调节器
无限时域线性定常系统输出调节器问题
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最优控制——线性二次型 5.3输出调节器
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最优控制——线性二次型 5.3输出调节器
T 1 T T t A t B t R t B t P t t C t Q t yr t
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例
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39
解：
能源与动力学院系统控制与仿真研究室 37
最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
t P t A t P t B t R 1 t B T t P t P C T t Q t C t AT t P t
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1 15） 阶跃跟踪最优控制响应曲线（r 1.15
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最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
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46
1 0.8
yr t sin 2 t 2）正弦信号跟踪响应：
P
yr x u
0.6
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36
最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
一般来说，期望输出往往难以事先确定，因而 设计最优跟踪系统时，常常采用两种方式： 1）假设期望输出具有某种典型变化规律。此 时，系统的工作性能取决于期望输出的实际值 与预定值的符合程度。 2）把期望输出视为随机信号。此时，系统的 工作性能在平均意义下最优，但不能保证在任 一次试验中，系统的响应都是满意的。
例
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21
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最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
跟踪问题 •当要求系统在期望输出信号的作用下， 实际输出可以最优地跟随期望输出的变 化，使得规定的性能指标最小，这样的 问题成为最优跟踪问题。 •实际上，调节器问题是一种特殊的跟踪 问题，即零轨迹的跟踪问题。
t
R1 t BT t
u t
t A t x t B t u t x
P t
x t
C t
yt
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最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
对于有限时间线性时变系统跟踪系统的最 优控制，有如下几点说明： （1）最优控制的反馈结构与期望输出无 关，和最优输出调节器的反馈结构相同。 （2）最优跟踪系统的闭环特征根与最优 输出调节器的闭环特征根相同，因此，跟 踪系统的动态性能也与期望输出无关。
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29
最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
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30
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最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
yr t
CT t Q t
1 T A t B t R t B t P t T
无限时域状态调节器
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3
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4
最优控制——线性二次型 5.2.2无限时域状态调节器
1 T t x A BR B P x t Ax t ,
x t0 x0
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肖玲斐 lf i @ lfxiao@ d
最优控制——线性二次型 前次课程回顾
概述 线性二次型最优控制问题 状态调节器
•有限时域状态调节器问题 •无限时域状态调节器问题
输出调节器 跟踪问题
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最优控制——线性二次型 5.2.2无限时域状态调节器
1
最优控制——线性二次型 5.4跟踪问题
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最优控制——线性二次型 5.2.1 有限时域状态调节器
重点掌握
1.线性定常输出调节器问题 2.有限时域线性时变系统跟踪问题
能源与iao@ d
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最优控制——线性二次型 5.3输出调节器
若被控系统完全可观测，则系统的输出 调节器问题可以转化为等价的状态调节 器问题，并可将状态调节器的结论加以 推广，得到输出调节器的最优控制律。
• 在上节，讨论了状态调节器这一最基本的
线性二次型最优控制问题之后，就可以以 此为基础讨论其他类型的线性二次型最优 控制问题。
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有限时域线性时变系统输出调节器问题
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10
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
11
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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能源与动力学院系统控制与仿真研究室
14
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
正弦信号跟踪最优控制响应曲线（ r 1 ）
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8
yr t sin 2 t 2）正弦信号跟踪响应：
P
6 yr x u 4
2
0
-2
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40
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
41
1.6 1.4
yr t 1 1）阶跃跟踪响应：
P
yr x u 1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
阶跃跟踪最优控制响应曲线（ r 1）
能源与动力学院系统控制与仿真研究室 42
26
1 T 1 tf T T J e t f Fe t f e t Q t e t u t R t u t dt 2 2 t0