高一下学期诊断性考试数学试题

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2021-2022年高一数学下学期第二次教学诊断考试试题

2021-2022年高一数学下学期第二次教学诊断考试试题一、1、在下列各图中,两个变量具有较强正相关关系的散点图是( )A. (1)B. (2)C. (3)D. (4)2、过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为( )A. B.2 C. D.3、下面茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分),已知甲组数据的平均数为18,乙组数据的中位数为16,则x，y的值分别为( )A.18,6B.8,16C.8,6D.18,164、执行如图所示的程序框图,若输入的x=4.5,则输出的i=( )A.3B.4C.5D.65. 已知圆, 直线, 则直线与圆的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.以上三种均有可能6、已知样本数据的平均数和方差分别为1和4,若 (为非零常数, ),则数据的平均数和方差分别为( )A.1+a ,4B.1+a,4+aC.1,4D.1,4+a7、已知关于某个设备的使用年限x(单位:年)和所支出的维修费用y(单位:万元)有如下的统计资料, ,据此模型预测该设备使用年限的最大值为( )A.7B.8C.9D.10 8、圆与圆的公切线有（）A.1条B.2条9. 右图给出的是计算的条件是( )A.B.C.D.10．若圆上至少有三个不同的点，到直线的距离为，则取值范围为（）A． B． C． D．11.已知A(2,0,1),B(1,-3,1),点M在x轴上，且到A、B两点的距离相等,则M的坐标为( )A. (-3,0,0）B.(0,-3,0)C.(0,0,-3)D. (3,0,0)12. 已知分别是直线和圆上的动点，圆与x轴正半轴交于点,则的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、某研究性学习小组要进行城市空气质量调查,按地域把48个城市分成甲、乙、丙三组,其中甲、乙两组的城市数分别为8和24,若用分层抽样从这48个城市抽取12个进行调查,则丙组中应抽取的城市数为.14、方程有两个不等实数根，则的取值范围是15.圆心在轴上且通过点(3,1)的圆与轴相切，则该圆的方程是16. 为了鼓励市民节约用水,太原市对已实施“一户一表、水表出户”的居民生活用水的收费标准规定如下:一级水量每户每月9立方米及以下,每立方米销售价格为2.30元;二级水量每户每月9立方米以上至13.5立方米,每立方米销售价格为4.60元;三级水量每户每月13.5立方米及以上,每立方米销售价格为6.90元,如图是按上述规定计算太原市居民每户每月生活用水费用的程序框图,但步骤没有全部给出,请将其补充完整(将答案写在下列横线上)。

2021年高一数学下学期诊断性考试试题

2021年高一数学下学期诊断性考试试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设 , 则等于（）A． B． C． D．2、设函数则的值为（）A. B. C. D.3、函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.4、函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）=x+1，则当x<0时，f（x）的表达式为（）A. B. C. D.5、设分别为的三边的中点，则（）B.A． B.C.D.6、函数的图象可能是（）A B C D7、为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度8、已知函数的图象的一个对称中心是点，则函数＝的图象的一条对称轴是直线（）9、已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数满足, 则a的取值范围是（）A. B. C. D.10、已知函数，若对任意的正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11、 ___________.12、=___________.13、圆心角为，半径为3的扇形的弧长等于14、函数的递减区间为______15、已知，，， =___________16、如图，正方形的边长为2，点是线段上的动点，则的最小值为 .（第16题）17、对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]=2，[2.1]=2；[﹣2.2]=﹣3，那么[log31]+[log32]+[log33]+…+[log3243]的值为_________ ．三、解答题：（本大题共4小题，共42分，要写出详细的解答过程或证明过程）18、已知，为平面向量，且||=，||=2，，的夹角为30°．（Ⅰ）求|+|及|﹣|；（Ⅱ）若向量+与﹣λ垂直，求实数λ的值．19、已知集合，.(1)若，求()；(2)若，求实数的取值范围；20、设函数f（x）=sinx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[0，a]上的值域为[0，]，求实数a的取值范围．21、已知函数（Ⅰ）若，且在上的最大值为，求；（Ⅱ）若，函数在上不单调，且它的图象与轴相切，求的最小值.32154 7D9A 続23308 5B0C 嬌38405 9605 阅 xF23393 5B61 孡) 27411 6B13 欓34833 8811 蠑M26796 68AC 梬|40722 9F12 鼒。

高一数学下学期期末学业水平诊断试题

智才艺州攀枝花市创界学校二零二零—二零二壹第二学期期末学业程度诊断高一数学试题本卷须知：1．本试题总分值是150分，考试时间是是为120分钟。

3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹明晰。

超出答题区书写之答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题一一共13小题，每一小题4分，一共52分。

在每一小题给出的四个选项里面，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

1.cos570=B.-C.12D.12-2π，圆心角为4π，那么该扇形的半径是 A.14B.12C.1D.23.假设点(sin cos ,cos )P θθθ位于第四象限，那么角θ是(1,1)A -，(2,3)B -，那么与向量AB 方向一样的单位向量为A.34(,)55-B.34(,)55- C.43(,)55-D.43(,)55- 5.函数sin 2y x =的图象可由函数sin(2)3y x π=-的图象3π6π个单位长度得到 3π6π个单位长度得到 6.设12,e e 是平面内一组基底，假设1122+sin λλ=0e e ，12,λλ∈R ，那么以下不正确的选项是．．．．．．．A.1sin 0λ=B.2tan 0λ= C.120λλ=D.2cos 1λ=7.角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点(2,1)，那么cos 2θ=A.45-B.35-C.35D.458.以下函数中最小正周期为π的是 A.sin y x = B.1sin y x =+ C.|cos |x y = D.tan 2y x =9.设,,A B C 是平面内一共线的三个不同的点，点O 是,,A B C 所在直线外任意一点，且满足OCxOA yOB =+，假设点C 在线段AB 的延长线上，那么A.0,1x y <>B.0,1y x <> C.01x y <<< D.01y x <<<10.我国古代数学家刘徽在九章算术注中提出割圆术：“n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n π，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值2n π可表示成A.360sinnnπ B.360cosnnπ C.180cosnnπ D.90cosnnπ11.以下关于平面向量的说法中不正确的选项是．．．．．．． A.,a b 均为非零向量，那么//a b⇔存在唯一的实数λ，使得λ=b a,AB CD 一共线，那么点,,,A B C D 必在同一直线上C.假设=ac b c 且≠0c ，那么=a bG 为ABC ∆的重心，那么GA GB GC ++=012.函数()cos 22f x x x =-，那么以下说法正确的选项是A.()f x 的周期为π B.3x π=是()f x 的一条对称轴C.[,]36ππ-是()f x 的一个递增区间 D.[,]63ππ-是()f x 的一个递减区间13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且():():()a b a c b c +++=9:10:11,那么以下结论正确的选项是A.sin :sin :sin 4:5:6A B C= B.ABC ∆是钝角三角形C.ABC ∆的最大内角是最小内角的26c =，那么ABC ∆87二、填空题：本大题一一共有4个小题，每一小题4分，一共16分。

山东省烟台市、德州市2024届高三下学期高考诊断性考试数学试题含解析

山东省烟台市、德州市2024届高三下学期高考诊断性考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合U =R ，集合{}{}2230,02A xx x B x x =+-<=≤≤∣∣，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．()3,0-B ．()1,0-C ．()0,1D ．()2,32．若5250125(12)x a a x a x a x -=++++ ，则24a a +=（）A ．100B ．110C ．120D ．1303．若点(1,2)A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，则||AF =A ．1B ．2C ．3D ．44．若π1cos 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（）A ．59-B ．59C ．79-D ．795．将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（）A ．3B ．6C ．10D ．156．设,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列说法正确的是（）A ．若a //,b α//α，则a //bB ．若,a b 与α所成的角相等，则a //bC ．若,a αβ⊥//,b α//β，则a b ⊥r rD ．若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a b⊥r r7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2=f x f x -，当01x ≤≤时，()21xf x =-，则()2log 12f =（）A ．13-B ．14-C ．13D ．128．在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B -，向量OC mOA nOB =+，且40m n --=.若P 为椭圆2217y x +=上一点，则PC 的最小值为（）ABCD．二、多选题9．已知12,z z 为复数，下列结论正确的有（）A ．1212z z z z +=+B ．1212⋅=⋅z z z z C ．若12z z ⋅∈R ，则12z z =D ．若120z z ⋅=，则10z =或20z =10．先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为,x y ，设事件A =“(1)log x y +为整数”，B =“x y +为偶数”，C =“2x y +为奇数”，则（）A ．()16P A =B ．()112P AB =C ．事件B 与事件C 相互独立D ．()7|18P A C =11．给定数列{}n a ，定义差分运算：2*11Δ,ΔΔΔ,N n n n n n n a a a a a a n ++=-=-∈.若数列{}n a 满足2n a n n =+，数列{}n b 的首项为1，且()1*Δ22,N n n b n n -=+⋅∈，则（）A ．存在0M >，使得Δn a M <恒成立B ．存在0M >，使得2Δn a M <恒成立C ．对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得n b M>D ．对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得2Δnnb M b >三、填空题12．若圆22()(1)1x m y -+-=关于直线y x =对称的圆恰好过点()0,4，则实数m 的值为.13．在三棱锥-P ABC 中，2PB PC ===，且,,APB BPC CPA E F ∠∠∠==分别是,PC AC 的中点，90BEF ∠= ，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上佮有5个零点，且在ππ[,]415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.四、解答题15．已如曲线()()22ln ,f x ax x x b a b =+-+∈R 在2x =处的切线与直线210x y ++=垂直.(1)求a 的值；(2)若()0f x ≥恒成立，求b 的取值范围.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,3,2AB AC AB AD DB ⊥===，O 为BC 的中点，1A O ⊥平面ABC .(1)求证：1AA OD ⊥；(2)若1AA =1B AA O --的余弦值.17．联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛，决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分；抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分；两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别41,53，乙答对两道题的概率分别为21,32，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为12，甲答对任意一题的概率为512，乙答对任意一题的概率为34，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立.(1)在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率；(2)在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率；(3)若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X 道题抢答后比赛结束，求随机变量X 的分布列及数学期望.18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>经过点()2,0A -，直线l 过点()3,0D 且与双曲线C 交于两点,P Q （异于点A ）.(1)求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值.并求出该定值；(2)过点D 分别作直线,AP AQ 的垂线，垂足分别为,M N ，记,ADM ADN 的面积分别为12,S S ，求12S S ⋅的最大值.19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动，点M 为圆A 上一个定点，其初始位置为原点,O t 为AM 绕点A 转过的角度（单位：弧度，0t ≥）.(1)用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ；(2)设点M 的轨迹在点0000(,0))(M x y y ≠处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：1cos2y θ+为定值；(3)若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为((),()),[,]x t y t t αβ∈，则该光滑曲线长度为()()F F βα-，其中函数()F t满足()F t '=当点M 自点O 滚动到点E 时，其轨迹 OE为一条光滑曲线，求 OE 的长度.参考答案：1．A 【分析】解不等式化简集合A ，再结合韦恩图，利用交集的定义求解即得.【详解】解不等式2230x x +-<，得31x -<<，即(3,1)A =-，由[0,2]B =，得(,0)(2,)U B =-∞+∞ ð，所以图中阴影部分表示的集合为()(3,0)U A B =- ð.故选：A 2．C 【分析】利用二项式定理分别求出24,a a 即可计算得解.【详解】在5250125(12)x a a x a x a x -=++++ 中，2225C 240a =⨯=，4445C 280a =⨯=，所以24120a a +=.故选：C 3．B【解析】由抛物线的定义转化即可求值.【详解】因为点(1,2)A 在抛物线22y px =上，即222p =，所以2p =，故||1122A pAF x =+=+=故选：B【点睛】本题考查由抛物线的定义转化求值问题，属于基础题.4．C【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.【详解】由π1cos 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得2ππ7cos 2=2cos1249αα⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故π7cos 2=sin 229αα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故选：C 5．B【分析】对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解.【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有13C 种方法，放入两个盒子有23C 种方法，所以不同放法的种数为1233C C 6+=.故选：B 6．D 【分析】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A ，平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故A 错误，对于B ，,a b 与α所成的角相等，则,a b 可能异面，可能相交，也可能平行，故B 错误，对于C ，,a αβ⊥//,b α//β，则,a b 可能垂直，但也可能平行或者相交或者异面，故C 错误，对于D ，,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a b ⊥r r，D 正确，故选：D 7．A【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即得.【详解】在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x -=，则()(2)f x f x =--，于是()(2)[(4)](4)f x f x f x f x =--=---=-，即函数()f x 的周期为4，而81216<<，则23log 124<<，21log 1240-<-<，又当01x ≤≤时，()21x f x =-，所以24log 32222341(log 12)(log 124)(log )(log )(21)433f f f f =-==-=--=-.故选：A 8．A【分析】根据给定条件，求出点C 的轨迹，再借助三角代换及点到直线距离公式求出最小值.【详解】设点(,)C x y ，由()()1,0,2,3A B -及OC mOA nOB =+，得(,)(2,3)x y m n n =-+，即23x m n y n =-+⎧⎨=⎩，而40m n --=，消去,m n 得：3120x y -+=，设椭圆2217y x +=上的点(cos ),R P θθθ∈，则点P 到直线3120x y -+=的距离d =ϕ由tanϕ当sin()1θϕ+=时，min d =，而PC d ≥ ，所以PC 故选：A【点睛】思路点睛：求出椭圆上的点与其相离的直线上点的距离最小值，可转化为求椭圆上的点到直线距离有最小值解决.9．ABD【分析】设出复数的代数形式，结合共轭复数的意义计算判断ABD ；举例说明判断C.【详解】设复数12i i,(,,,,R)a b c d z a b c z d =+=+∈，对于A ，1212()()i ()()i (i)(i)a c b d a c b z d a z bc zd z +=+++=+-+=-++-=，A 正确；对于B ，12()()i z z ac bd ad bc =-++，12()()i z z ac bd ad bc =--+，12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--=--+，1212⋅=⋅z z z z ，B 正确；对于C ，取12i,2i z z ==，满足122R z z =-∈，而12z z ≠，C 错误；对于D ，由120z z =，得()()i=0ac bd ad bc -++，即0=0ac bd ad bc -=⎧⎨+⎩，则22222222=0a c b d a d b c +++，即2222()()0a b c d ++=，因此0a b ==或0c d ==，即10z =或20z =，D 正确.故选：ABD 10．BCD【分析】列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义及条件概率的概率公式计算可得.【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x ，y ，则基本事件总数为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种情况，满足事件A 的有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,1)，(3,1)，(3,4)，(4,1)，(4,5)，(5,6)，(5,1)，(6,1)共12种，其概率()121363P A ==，故A 错误；满足事件B 的有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共18个，故()181362P B ==；满足事件AB 的有(1,1)，(3,1)，(5,1)共3个，所以()313612P AB ==，故B 正确；满足事件C 的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，共18个，故()181362P C ==，满足事件BC 的有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共9个，所以()()()91364P BC P B P C ===，所以事件B 与事件C 相互独立，故C 正确；满足事件AC 的有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(3,1)，(3,4)，(5,6)，(5,1)，共7种，所以()736P AC =，则()()()7736|1182P AC P A C P C ===，故D 正确.故选：BCD 11．BC 【分析】由已知求出2Δ,Δn n a a 及范围判断AB ；利用累加法结合错位相减法求和求出n b 及范围判断C ；求出2Δn b 及2Δn nb b 的范围判断D.【详解】对于A ，由2n a n n =+，得22(1)(1)()22n a n n n n n ∆=+++-+=+，显然Δn a 有最小值4，无最大值，因此不存在0M >，使得Δn a M <恒成立，A 错误；对于B ，由选项A 知，22n a n ∆=+，则22(1)2(22)2n a n n ∆=++-+=，显然当2M >时，2Δn a M <恒成立，B 正确；对于C ，由1Δ(2)2n n b n -=+⋅，得11(2)2n n n b b n -+-=+⋅，当2n ≥时，12132431()()()()n n n b b b b b b b b b b -=+-+-+-++- 即01221324252(1)2n n b n -=+⨯+⨯+⨯+++⨯ ，于是0122122232422(1)2n n n b n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯ ，两式相减得11221111211222(1)21(1)2212n n n n n n b n n n -------=+++++-+⨯=+-+⨯=-⨯- ，因此12n n b n -=⋅，显然11b =满足上式，则12n n b n -=⋅，由11(2)20n n n b b n -+-=⋅>+，得数列{}n b 是递增数列，n b 有最小值1，无最大值，从而对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得n b M >，C 正确；对于D ，121(2Δ)2(3(2))42nn n n n n b n --⋅-+⋅==++⋅，由选项C 得2Δ41n n b b n=+，显然数列{41}n+是递减数列，4015n <+≤，因此对任意0M >，不存在*n ∈N ，使得2Δn n b M b >成立，D 错误.故选：BC【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.12．4【分析】利用轴对称列式求出点(0,4)关于直线y x =的对称点的坐标，再代入圆方程即得.【详解】依题意，点(0,4)关于直线y x =的对称点(,)a b 在圆22()(1)1x m y -+-=上，则422410b ab a +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得4,0a b ==，因此点(4,0)在圆22()(1)1x m y -+-=上，则22(4)(01)1m -+-=，解得4m =，所以实数m 的值为4.故答案为：413．10π2+【分析】第一空作出辅助线，证明三三垂直，将三棱锥放入长方体中求解外接球半径即可，第二空利用体积相等求出内切球半径，再求比值即可.【详解】如图，BPC AP CPA B ∠∠=∠=，且2PB PC ===，故PA =，可得PAB PAC ≅△△，则AC AB =，取BC 中点D ，连接,AD PD ，则,AD BC PD BC ⊥⊥，又AD PD D =I ，,AD PD ⊂面ADP ，可得BC ⊥面ADP 又PA ⊂面ADP ，则BC PA ⊥，又,E F 分别是,PC AC 的中点，连接EF ，则PA //EF 由题意得90BEF ∠= ，故EF BE ⊥，PA BE ⊥，又BE BC B = ，,BE BC ⊂面BEC ，故PA ⊥面BEC ，又PA BP ⊥，则90APB ∠= ，可得90APB BPC CPA ∠∠∠=== ，则,,PA BP PC 两两垂直，故以,,PA BP PC 作长方体，如图所示，则该长方体外接球即为所求三棱锥-P ABC 的外接球，连接PM ，其中点O 为所求外接球的球心，设其半径为R ，可得2222(2)R =2+2+，故2410R =，解得R =24π10πS R ==，设该三棱锥内切球半径为r ，球心为1O ，连接1111,,,,O B O A O C O P ，则1111P ABC O ABC O PAC O PBC O PAB V V V V V -----=+++，可得1111133333PBC ABC AB AC BC P P P r r r PA S S S S S r ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=++ ，故PBC ABC AB A P P C PBC r PA S S S S S =(+++)⨯ ，而AB ==，CB ==AC ==易知1O 是CB 的中点，由CB AB =，得1CB AO ⊥，故得112BO BC ==而由勾股定理得12AO =，则122S =⨯⨯=△ABC 故可将PBC ABC AB A P P C PBC r PA S S S S S =(+++)⨯一式化为111122222222r =(+⨯⨯⨯⨯⨯2)⨯，解得r =，而半径比为22R r =，故答案为：10π2【点睛】关键点点睛：本题考查内切球和外接球的半径问题，解题关键是构造出长方体，将三棱锥放入其中，然后求出外接球半径，得到面积，进而由体积关系转化得到所要求的内切球半径，再求比值即可．14．9542ω≤≤【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数()f x ，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】依题意，函数π()2sin()13f x x ω=+-，由()0f x =，得π1sin()32x ω+=，则ππ2π36x k ω+=+或π5π2π,Z 36x k k ω+=+∈，由[0,2π]x ∈，得πππ[,2π]333x ωω+∈+，由()f x 在[0,2π]上恰有5个零点，得29ππ37π2π636ω≤+<，解得935412ω≤<，由3ππ22πx ω+≤-≤，得5ππ66x ωω-≤≤，即函数()f x 在5ππ[,]66ωω-上单调递增，因此5ππ[,]ππ[,]41566ωω-⊆-，即45π6πω≤--，且π6π15ω≥，解得502ω<≤，所以正实数ω的取值范围为9542ω≤≤.故答案为：9542ω≤≤【点睛】方法点睛：求函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调区间时，可把x ωϕ+看成一个整体，由()π3π2π2πZ 22k x k k ωϕ+≤+≤+∈求得函数的单调递减区间，由()ππ2π2πZ 22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈求得函数的单调递增区间．15．(1)12a =(2)32b ≥-【分析】（1）根据斜率关系，即可求导求解，（2）求导判断函数的单调性，即可求解函数的最值求解.【详解】（1）由于210x y ++=的斜率为12-，所以()22f '=，又()221f x ax x '=+-,故()224122f a '=+-=，解得12a =，（2）由（1）知12a =，所以()()()221221x x x x f x x x x x+-+-'=+-==，故当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当01x <<时，()()0,f x f x '<单调递减，故当1x =时，()f x 取最小值()1112f b =++，要使()0f x ≥恒成立，故()11102f b =++≥，解得32b ≥-，故b 的取值范围为32b ≥-16．(1)证明见解析；【分析】（1）根据给定条件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理证得AO OD ⊥，再利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）由（1）的信息以O 为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即可.【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，,3AB AC AB ⊥==，则160,2ACB OA BC ︒∠===由3,2AB AD DB ==，得1DB =，在DBO中，30,1,DBO DB OB ︒∠==由余弦定理222121cos301OD ︒=+-⨯⨯=，得1OD =，2224OA OD AD +==，于是AO OD ⊥，由1A O ⊥平面,ABC OD ⊂平面ABC ，得1A O OD ⊥，而11,,AO AO O AO AO =⊂ 平面1AOA，因此OD ⊥平面1AOA ，又1AA ⊂平面1AOA ，所以1AA OD ⊥，（2）由（1）知，1,,OA OD OA 两两垂直，以O 为原点，直线1,,OA OD OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，由1AA AO ==13AO =，则13(0,0,3),(,,0)2A AB ，于是133,3),,0)22BA BA =-=- ，设(,,)m x y z = 为平面1ABA 的一个法向量，则33022302x y z y -+=⎪-=，取x =m = ，显然(0,1,0)n = 为平面1AOA 的一个法向量，因此cos ,||||m nm n m n ⋅〈〉==1B AA O --的大小为锐角，所以二面角1B AA O --的余弦值为13.17．(1)745；(2)13；(3)分布列见解析，32681.【分析】（1）把得分之和大于100分的事件分拆，再利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算即得.（2）甲获得15分的事件是甲抢到答正确与乙抢到答错的事件和，再列式求出概率.（3）求出X 的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望.【详解】（1）两人得分之和大于100分可分为甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三种情况，所以得分大于100分的概率112141114121753325332533245p =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=.（2）抢答环节任意一题甲得15分的概率151********p =⨯+⨯=.（3）X 的可能取值为2，3，4，5，由抢答任意一题甲得15分的概率为13，得抢答任意一题乙得15分的概率为23，211(2)()39P X ===，121214(3)C 33327P X ==⨯⨯⨯=，1243121228(4)C ()()333381P X ==⨯⨯⨯+=，13334412121232(5)C ()C ()33333381P X ==⨯⨯⨯⨯⨯=，所以X 的分布列为：X2345P1942728813281数学期望142832326()2345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.18．(1)证明见解析，45-；(2)312581.【分析】（1）由已知求出双曲线C ，设出直线l 的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算即得.（2）设出直线AP 的方程，求出点,M N 的纵坐标，再建立面积积的函数关系，借助基本不等式求出最大值即得.【详解】（1）令双曲线半焦距为c，依题意，2,ca a==由222c a b =+，解得4b =，则双曲线C 的方程为221416x y -=，显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为3x my =+，由2214163x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得，22(41)24200m y my -++=，22410Δ256800m m ⎧-≠⎨=+>⎩，设()()1122,,,P x y Q x y ，则1212222420,4141m y y y y m m -+==--，直线,AP AQ 的斜率分别为,AP AQ k k ，所以212122212121222204412024225(255)5254141AP AQ y y y y m k k m x x m y y m y y m m m m -=⋅===--+++++++--⋅⋅.（2）设直线AP 的方程为(2)y k x =+，则直线DM 的方程为1(3)y x k =--，由(2)1(3)y k x y x k =+⎧⎪⎨=--⎪⎩，得点M 的纵坐标251M k y k =+，用45k -替换上式中的k 得点N 的纵坐标21002516N k y k -=+，则()()21222222531253125164125162541M N k S S y y k k k k⋅===++++而22162540k k +≥=，当且仅当k =因此12312581S S ⋅≤，所以12S S ⋅的最大值为312581.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.19．(1)sin ,1cos x t t y t =-=-；(2)证明见解析；(3)8.【分析】（1）根据给定条件，结合三角函数及弧长计算求解.（2）利用复合函数的求导公式，求出切线斜率，再借助三角恒等变换推理即得.（3）由（1）及给定信息，求出()F t '并确定原函数，再求出弧长即得.【详解】（1）依题意， 1cos ,||y t OB BMt =-==，则||sin sin x OB t t t =-=-，所以sin ,1cos x t t y t =-=-.（2）由复合函数求导公式t x t y y x '''=⋅及（1）得sin 1cos x tt xt t y x y t y x x t '''⋅'===''-，因此sin tan 1cos t tθ=-，而222222cos 21cos 22cos sin cos tan 1θθθθθθ+===++2222(1cos )1cos sin 22cos ()11cos t t y t t t -===-=-+-，所以01cos 2y θ+为定值1.（3）依题意，()2|sin |2t F t '=.由0π2t ≤≤，得sin 02t ≥，则()2sin 2tF t '=，于是()4cos 2t F t c =-+（c 为常数），则(2π)(0)(4cos π)(4cos 0)8F F c c -=-+--+=，所以OE 的长度为8.【点睛】结论点睛：函数()y f x =是区间D 上的可导函数，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2024届数学高一下期末学业水平测试试题含解析

清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2024届数学高一下期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1( ) A ．cos160︒ B ．cos160±︒ C ．cos160±︒D ．cos160-︒2．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．103．已知函数sin y x =和cos y x =在区间I 上都是减函数，那么区间I 可以是（） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭4．角α的终边经过点221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，那么tan α的值为（）A ．12B ．C ．3-D ．5．得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将sin 2y x =的图象（） A ．向左移动6π B ．向右移动6π C ．向左移动3π D ．向右移动3π 6．一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（）A ．1232+B ．1262+C ．932+D ．962+7．若2cos75a =，4cos15b =，a 与b 的夹角为30，则a b ⋅的值是（） A ．12B ．32C ．3D ．238．执行如图所示的程序框图，若输入3k =，则输出S =（）A ．13B ．15C ．40D ．469．三角形的三条边长是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最大边长为（） A ．4B ．5C ．6D ．710．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年北京市昌平区高一下学期期中诊断数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市昌平区高一下学期期中诊断数学试题一、单选题1．i 是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a 的值为（）(12i)(i)a -+A ．2B ．C ．D ．2-1212-【答案】B【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用纯虚数的定义求解作答.【详解】，而，且复数是纯虚数，(12i)(i)(2)(12)i a a a -+=++-R a ∈(12i)(i)a -+所以，解得.20120a a +=⎧⎨-≠⎩2a =-故选：B2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，，，则b=a =2c =2cos 3A =ABC ．2D ．3【答案】D【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【解析】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！3．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为，则,a b1（）⋅=a bA ．B ．C ．D ．44--【答案】C【分析】由图形可求得，由向量数量积定义可求得结果.,,,a b a b <>，，，=2b =3,244a b πππ<>=+= .cos ,4a b a b a b ⎛∴⋅=⋅<>==- ⎝故选：C.4．已知,为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的a →b →0a b →→∙>a →b →A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】根据向量数量积的定义式可知，若，则与夹角为锐角或零角，若与夹角为0a b ⋅> a b a b锐角，则一定有，所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.0a b ⋅> 0a b ⋅> ab 5．如图，P 是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线BP 异面1111ABCD A B C D -11A C 的是（）A ．直线B ．直线C ．直线D ．直线AC1DD 1B C1AD 【答案】D【分析】根据异面直线得定义逐一分析判断即可.【详解】对于A ，连接，设，11,BD B D 1111A C B D Q⋂=由，当点位于点时，与共面；11BB DD ∥P Q BP 1DD 对于B ，当点与重合时，直线与直线相交；P 1C BP 1B C 对于C ，因为且，所以四边形为平行四边形，11AB C D ∥11AB C D =11ABC D所以，11AD BC ∥当点与重合时，与共面；P 1C BP 1AD 对于D ，连接，AC 因为平面，平面，平面，，P ∉ABCD B ∈ABCD AC ⊂ABCD B AC ∉所以直线BP 与直线AC 是异面直线.故选：D.6．已知两个单位向量和的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（）a b 120︒a b -b A ．B ．C ．D ．12b - 12b 32b -32b 【答案】C【分析】根据向量的数量积公式及投影向量的定义即可求解.【详解】因为两个单位向量和的夹角为120°，a b所以，11cos1201122a b a b ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=-⎪⎝⎭ 所以，()213122a b b a b b -⋅=⋅-=--=-故向量在向量上的投影向量为．a b - b ()32a b b b b b b-⋅⋅=-故选：C.7．如图，在中，点，满足，.若，则ABC D E 2BC BD = 3CA CE =DE x AB y AC =+(,)x y R ∈（）x y +=A ．B ．12-13-C ．D ．1213【答案】B【解析】利用平面向量的线性运算可得，再根据平面向量基本定理可得DE 1126AB AC=-+，从而可得答案.11,26x y =-=【详解】因为DE AE AD =- 23AC AB BD =--2132AC AB BC=-- 21()32AC AB AC AB =---，1126AB AC=-+又，DE x AB y AC =+ 所以，11,26x y =-=所以.111263x y +=-+=-故选：B【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理，属于基础题.8．已知在中，a 的取值范围是ABC 60,∠==B b （）A ．B ．{0aa <<∣{0aa <<∣2}a =C ．D ．{0aa <≤∣{0aa <≤∣2}a =【答案】D【分析】由正弦定理和三角形解的个数可得答案.【详解】由正弦定理可得，sin 2sin sin ===ba A A A B若满足条件的三角形有且只有一个，则或，060<≤A 90A = 所以，0sin A<≤sin 1A =可得或.0a <≤2a =故选：D.9．已知、是异面直线，是、外一点，经过点且与、都相交的直线有（）a b P a b P a b A ．至少1条B ．最多1条C ．有且只有1条D ．可能为0条也有可能多于1条【答案】B【分析】利用构造法说明可以存在条或条，利用反证法说明不存在条以上的直线符合题意，即102可判断.【详解】解：设与所确定的平面为，若与交于点，当不平行于时，与异面直P a ααb Q PQ a PQ 线、都相交，a b 当或时，过点与异面直线、都相交的直线不存在；//PQ a //b αP a b 假设有过点的两条直线、都与异面直线、相交，相交直线、共面，P m n a b m n β则直线、上分别有两点在面上，所以直线、在面内，与、异面矛盾.a b βa b βa b 故选：B10．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，α该八边形的面积为A ．；B ．2sin 2cos 2αα-+sin 3αα+C ．D ．3sin 1αα+2sin cos 1αα-+【答案】A【详解】试题分析：利用余弦定理求出正方形面积；利用三角形知()221112cos 22cos S αα=+-=-识得出四个等腰三角形面积；故八边形面积21411sin 2sin 2S αα=⨯⨯⨯⨯=.故本题正确答案为A.122sin 2cos 2S S S αα=+=-+【解析】余弦定理和三角形面积的求解.【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式求出个三角形的面积；接下来利用1111sin sin 22S αα=⨯⨯⨯=42sin S α=余弦定理可求出正方形的边长的平方，进而得到正方形的面积()22112cos α+-，最后得到答案.()221112cos 22cos S αα=+-=-二、填空题11．设，则等于__________．13i 1i z +=+||z【分析】利用复数除法运算求出复数，再利用共轭复数与模的意义计算作答.z 【详解】依题意，，，(13i)(1i)42i2i(1i)(1i)2z +-+===++-2i z =-所以||z ==12．已知O 为坐标原点，，，若，则实数m 的值为______．()1,2A (),6B m OA AB ⊥【答案】7-【分析】由题设得，应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值即可.(1,2),(1,4)OA AB m ==-【详解】由题设，又，(1,2),(1,4)OA AB m ==- OA AB ⊥ 所以，可得.180OA AB m ⋅=-+=7m =-故答案为：7-三、双空题13．在中，，则__________；若D 为BC 中点，则ABC 12035A b c =︒==，，=a __________．AD =【答案】7【分析】由余弦定理可求出；再由，两边同时平方代入可求出.a ()12AD AB AC=+ AD【详解】因为，由余弦定理可得：12035A b c =︒==，，，则.22212cos 925235492a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭7a =D 为BC 中点，则，两边同时平方可得，()12AD AB AC=+，()222111192cos 2592534424AD AB AC AB AC BAC ⎛⎫=++⋅∠=+-⨯⨯⨯=⎪⎝⎭故答案为：714．已知函数．则函数的一个零点为__________；若[]π()2sin ,0,3π3f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭()f x ，使得，则的最小值与最大值之和为[]123123,,0,3π,x x x x x x ∃∈≠≠()()()123f x f x f x ==123x x x ++__________．【答案】（和均可）2π35π38π323π3【分析】令，即可得出函数的零点，作出函数[]π()2sin 0,0,3π3f x x x ⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭的图象，结合图象分别求出的最小值和最大值，即可得解.[]π()2sin ,0,3π3f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭123x x x ++【详解】由，得，[]0,3πx ∈ππ10π,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令，[]π()2sin 0,0,3π3f x x x ⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭则或或，所以或或，ππ3x +=2π3π2π3x =5π38π3即函数的一个零点为（和均可），()f x 2π35π38π3如图，作出函数的图象，[]π()2sin ,0,3π3f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭当的图象与直线个交点依次为，()f x y =3123,,x x x 此时最小，123x x x ++令，π()2sin 3f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭123π0,,2π3x x x ===所以的最小值为，123x x x ++π7π02π=33++当的图象与直线，此时最大，()f x y =123,,x x x 123x x x++令，解得，π()2sin 3f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭1234ππ,,3π3x x x ===所以的最大值为，123x x x ++4π16ππ3π=33++所以的最小值与最大值之和为.123x x x ++7π16π23π333+=故答案为：（和均可）；.2π35π38π323π3四、填空题15．关于函数，有下列结论：π()4sin(2)(R)3f x x x =+∈①的图象关于点对称；()y f x =π(,0)6-②的图象关于直线对称；()y f x =π6x =-③的表达式可写成；()y f x =π4cos(2)6y x =-④若，则必是的整数倍．12()()0f x f x ==12x x -π其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③【分析】根据给定条件，代入验证判断①②；利用诱导公式变形判断③；求出的解判断④()0f x =作答.【详解】函数，π()4sin(2)(R)3f x x x =+∈因为，的图象关于点对称，①正确，②错误；πππ()4sin[2(0663f -=-+=()y f x =π(,0)6-，③正确；πππ()4sin[(2)]4cos(2)626f x x x =-+=-由，得，则，即，()0f x =πsin(2)03x +=π2π,Z 3x k k +=∈ππ,Z 26k x k =-∈而，则，即，12()()0f x f x ==121212ππππ,,,Z 2626k k x x k k =-=-∈1212π2k k x x --=而，有，不一定是整数，因此④错误，12,Z k k ∈12Zk k -∈122k k -所以所有正确结论的序号是①③.故答案为：①③16．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱ABC 洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为,A B P AB ()PA PB PC ⋅+______．【答案】10-【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为，再利用三角形2322PE -的几何意义求解即可.【详解】设为的中点，为的中点，如图所示，D BCE AD 则()()22()PA PB PC PA PD PE EA PE ED⋅+=⋅+=⋅+，()()()2222PE EA PE EA PE EA=⋅-=-+在正三角形中，ABCAD ===所以AE DE ==所以，()222()3222PA PB PC PE EA PE -==⋅+-因为，CE ===所以，min22PECE =-= 所以的最小值为：()PA PBPC ⋅+.22332221022PE ⎛-=-=- ⎝ 故答案为：10-五、解答题17．如图，四棱锥中，底面ABCD 为平行四边形，E 是PD 上的点．P ABCD -(1)若E 、F 分别是PD 和BC 中点，求证：平面PAB ；//EF (2)若平面AEC ，求证：E 是PD 中点．//PB 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取中点，连接，，证明四边形为平行四边形，可知，利PA G BG EG BFEG //EF BG 用线面平行的判定定理可证平面；//EF PAB （2）连接，交于，连接，因为平面，利用线面平行的性质定理可得BD AC H EH //PB ACE ，且为中点，可证E 是PD 中点．//PB EH H BD【详解】（1）证明：取中点，连接，，PA G BG EG 在中，因为，分别为所在边的中点，所以，且，PAD E G //EG AD 1=2EG AD 又因为底面ABCD 为平行四边形，为的中点，F BC 所以，且，//BF AD 1=2BF AD 所以，且，//EG BF =EG BF 所以四边形为平行四边形，BFEG 所以，因为平面，平面，//EF BG EF ⊄PAB BG ⊂PAB 所以平面；//EF PAB （2）连接，交于，连接，BD AC H EH 因为平面，平面，平面平面，//PB ACE PB ⊂PBD PBD ACE EH =所以，在中，为中点，//PB EH PBD △H BD 所以为中点.E PD18．已知函数．2()sin cos cos f x x x x =+(1)求的值；π4f ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)求的最小正周期；()f x (3)求在区间上的最大值和最小值．()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1)0；(2)；π(3)0.【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再代入求值作答.()f x （2）由（1）中函数，结合正弦函数周期性求出最小正周期作答.()f x（3）求出的相位的范围，瑞利用正弦函数的性质求出最值作答.()f x【详解】（1）依题意，，111π1()sin 2cos 2)22242f x x x x =++=++所以.π111())])(04222πππ444f =++=+=---+=（2）由（1）知，函数的最小正周期π1())42f x x =++2ππ2T ==（3）由（1）知，函数，当时，，π1())42f x x =++π[0,2x ∈ππ5π2[,444x +∈因此当，即时，，即时，， ππ242x +=π8x =max ()f x =π5π244x +=π2x =min ()0f x =所以在区间0.()f x π[0,]219．现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，如图所示，上部分的形状是正四棱锥，1111P A B C D -下部分的形状是正四棱柱，正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．1111ABCD A B C D -1O O 1PO(1)若，，则仓库的容积（含上下两部分）是多少？6m AB =12mPO =(2)若上部分正四棱锥的侧棱长为6m ，当为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大面积1PO 是多少？【答案】(1)3312m(2)当时，正四棱柱侧面积最大，最大为1mPO =2m【分析】（1）利用柱体和锥体的体积公式计算；（2）设，正四棱柱侧面积用x 表示，利用基本不等式求最大值.1mPO x =【详解】（1）∵，正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍，∴．12m PO =1O O1PO 18m O O =所以仓库的容积22316268312m 3V =⨯⨯+⨯=（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，设，1mPO x =则，，．14mO O x=11mA O =11mA B =∴正四棱柱侧面积，)4406S x x =⋅=<<∴，S =≤当且仅当．x =x=2max m S =所以当时，正四棱柱侧面积最大，最大为．1mPO =2m 20．若存在△ABC 同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：(1)求A的大小；(2)求和a 的值.cos B 条件①：；sin C =条件②：；1b a -=条件③：；5cos 2b A =-条件④：.73a c=【答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】若选择①②④：(1)由正弦定理可得的值，结合，可求，即可得解的值；sin A 1b a -=02A π<<A (2)由题意可得，可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用三角形a c >02C π<<cos C 内角和定理，两角和的余弦公式可求，进而可求，利用正弦定理即可求解的值．cos B sin B a 若选择①③④：(1)利用正弦定理可得的值，由于，可得范围，即可求解的值；sin A 5cos 2b A =-2A ππ<<A (2)由题意利用大边对大角可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用两角02C π<<cos C和的余弦公式可求，进而可求，由于，可求的值，根据正弦定理可得．cos B sin B 5cos 2b A =-b a 【详解】（1）共有①②③、①②④、①③④、②③④四种选法，根据条件②可知b ＞a ，B ＞A ，则A 为锐角；根据条件③可知cos A ＜0，A 为钝角；故②和③不能同时选择，故仅可选①②④或①③④.若选择①②④：∵，，由正弦定理可得73a c =sin C =sin sin a C A c ⋅==∵，∴，可得，可得．1b a -=a b <02A π<<3A π=若选择①③④：∵，，由正弦定理可得73a c =sin C =sin sin a C A c ⋅==在中，∵，∴，∴．ABC 5cos 2b A =-2A ππ<<23A π=（2）若选择①②④：在中，，∴，∴，ABC73a c =a c >02C π<<∵，sin C=13cos 14C ==∴，1131cos cos[()]cos()sin sin cos cos 2147B A C A CA C A C π=-+=-+=-⨯=-∴，sinB ==，可得，=78b a =∵，∴．1b a -=7a =若选择①③④：在中，∵，∴，∴，ABC73a c =a c >02C π<<∵，sin C=13cos 14C ==∴，11311cos cos[()]cos()sin sin cos cos 21414B A C AC A C A C π=-+=-+=-⨯=∴sin B ==∵，∴，由正弦定理可得．5cos 2b A =-52512b -==-sin 7sin b Aa B⋅===21．集合A 中的元素个数记为，若且，则称M 为集合A 的二元子集．已知集合||A M A ⊆||2M =．若对集合A 的任意m 个不同的二元子集，均存在集合B 同时满{1,2,,}(3)A n n =≥ 12,,m A A A 足：①；②；③，则称集合A 具有性质．B A ⊆||B m =1(1)i B A i m ≤≤≤ ()P m (1)当时，若集合A 具有性质，请直接写出集合A 的所有二元子集以及m 的一个取值；3n =()P m (2)当时，判断集合A 是否具有性质？并说明理由；6n =(4)P (3)若集合A 具有性质，求n 的最小值．(2023)P 【答案】(1)答案见解析(2)不具有，理由见解析(3)4045【分析】（1）根据集合A 具有性质的定义即可得出答案；()P m （2）当时，利用反证法即可得出结论；6n =（3）首先利用反证法证明，然后证明，当时，2202314045n ≥⨯-=min 4045n =4045n =，再结合抽屉原理分析即可得出结论.1220234046A A A n+++=> 【详解】（1）当时，，3n ={1,2,3}A =则集合A 的所有二元子集为，{}{}{}1,2,1,3,2,3满足题意得集合可以是：，此时，B {}{}{}1,2,31m =或者也可以是，此时；{}{}{}1,2,1,3,2,32m =（2）集合A 不具有性质，理由如下：(4)P 假设存在集合，即对任意的，，，B 1234,,,A A A A 4B =1(14)i B A i ≤≤≤ 则取，{}{}{}{}12341,2,3,4,5,6,2,3A A A A ====此时由于，由抽屉原理可知，必有，4B =2(23)i B A i =≤≤ 与题设矛盾，假设不成立，所以集合A 不具有性质；(4)P （3）首先证明，2202314045n ≥⨯-=反证法：假设，由集合具有性质，220232*********n ≤⨯-=⨯=A ()2023P则存在集合，对于任意，，，B 122023,,A A A 2023B =1(12023)i B A i ≤≤≤ 则任取，{}{}{}{}12320221,2,3,4,5,6,,220221,22022A A A A ====⨯-⨯ ，{}20231,22022A =⨯此时由于，由抽屉原理可知，必有，2023B =002(12022)i B A i =≤≤ 与题设矛盾，假设不成立，因此，4045n ≥然后证明：，min 4045n =当时，，4045n =1220234046A A A n+++=> 由抽屉原理可知，存在，()12023i j A A i j ⋂≠∅≤≤≤不妨设为，取，20222023A A ⋂≠∅()020222023,12021i i a A A a A i ∈⋂∈≤≤设，此时，{}012021/,,,B A a a a = 404520222023B ≥-=且，()112023i B A i ⋂≤≤≤故符合题意，4045n =综上所述，.min 4045n =【点睛】关键点点睛：此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键.。

北京市西城外国语学校2021-2022高一数学下学期诊断性测试试题(含解析).doc

北京市西城外国语学校2021-2022高一数学下学期诊断性测试试题（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.如果sin 0α<且tan 0α<，则角α的终边可能位于（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数在各个象限的符号，即可判定，得到答案．【详解】由sin 0α<，则角α为位于第三、四象限，又由tan 0α<，则角α为位于第二、四象限，所以角α为位于第四象限，故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数在各个象限的符号的应用，其中熟记三角函数在各个象限的符号是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 2.若函数y sinx =和y cosx =在区间D 上都是增函数，则区间D 可以是（）A. 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，C. 3(,)2ππD.322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】D 【解析】【分析】依次判断每个选项，排除错误选项得到答案. 【详解】0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，y cosx =单调递减，A 错误 ,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，y sinx =单调递减，B 错误3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，y sinx =单调递减，C 错误3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数y sinx =和y cosx =都是增函数，D 正确故答案选D【点睛】本题考查了三角函数的单调性，意在考查学生对于三角函数性质的理解应用，也可以通过图像得到答案. 3.为了得到函数sin(2)4y x π=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（）A. 向左平移4π个单位长度 B. 向右平移4π个单位长度 C. 向左平移8π个单位长度 D. 向右平移8π个单位长度【答案】D 【解析】sin 2sin 248x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此可知，为了得到函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin2y x =的图象向右平移8π个单位长度. 本题选择D 选项.4.设向量a ，b 的模分别为2和3，且夹角为60︒，则a b +等于（）B. 13D. 19【答案】C 【解析】【分析】所求平方2222=()2cos ,a b a b a a b a b b ++=+<>+代值可得.【详解】2222=()2cos ,a b a b a a b a b b ++=+<>+24223cos 609=19a b ∴+=+⨯⨯⨯+=19a b ∴+故选：C【点睛】本题考查平面向量数量积的应用. 求向量模的常用方法:(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝(2)若向量a b ，是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22a a a a ＝＝或2222||2()a b a b aa b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．5.设函数()sin 22f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， x ∈R ，则()f x 是（） A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为2π的偶函数【答案】C 【解析】函数()2cos22f x sin x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则有()()f x f x -= ，所以函()f x 数是偶函数，函数()f x 的周期是22T ππ==，故选C. 6.若直线x a =是函数sin()6y x π=+图象的一条对称轴，则a 的值可以是（）A.3π B.2π C. 6π-D. 3π-【答案】A 【解析】试题分析：由题sin()6y x π=+，对称轴方程为：,.62x k k Z πππ+=+∈则当03k x π==时，考点：三角函数的性质（对称性）. 7.设[)0,2απ∈，则使1sin 2α>成立的α的取值范围是（） A. 2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B. 5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.711,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】由正弦函数性质得522()66k k k Z πππαπ+<<+∈结合已知范围可求.【详解】1sin 2α>，522()66k k k Z πππαπ∴+<<+∈ [)0,2απ∈,566ππα∴<<故选：B【点睛】本题考查三角函数性质.解三角函数不等式可以根据相应的正弦曲线或余弦曲线求. 8.函数22sin()y x ωϕ=+其中0,0ωϕπ><<，的图象的一部分如图所示，则（）A. 3,84ππωϕ== B. ,84ππωϕ==C. ,42ππωϕ==D. 3,44ππωϕ==【答案】B 【解析】【分析】先利用图象中的2和6，求得函数的周期，求得ω，最后根据x ＝2时取最大值，求得ϕ，即可得解．【详解】如图根据函数的图象可得：函数的周期为（6﹣2）×4＝16，又∵ω＞0， ∴ω28T ππ==，当x ＝2时取最大值，即2sin （2 8πϕ⨯+）＝22 8πϕ⨯+＝2k π2π+，k ∈Z ， ∴ϕ＝2k π4π+，k ∈Z ， ∵0＜ϕ＜π，∴4πϕ=，故选B ．【点睛】本题主要考查了由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式，考查了五点作图的应用和图象观察能力，属于基本知识的考查．9.函数()sin 1f x x x =-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【分析】根据函数的零点与方程的根，两函数图象交点的关系，即可由()sin 10f x x x =-=得到1sin x x=，再分别作出两函数的图象即可求出零点个数．【详解】令()sin 10f x x x =-=，显然0x =不是函数的零点，可得1sin x x=．故作出函数sin y x =和1y x =的图象，如图所示：在(,)22ππ-上有2个交点.故选：A【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根，两函数图象交点的关系的应用，以及利用导数作出函数的图象，意在考查学生的转化能力，属于中档题．10.已知在直角三角形ABC 中，A 为直角，1AB =，2BC =，若AM 是BC 边上的高，点P 在ABC ∆内部或边界上运动，则AM BP ⋅的取值范围（） A. [1,0]- B. 1[,0]2-C. 31[,]42-D. 3[,0]4-【答案】D【分析】根据图形几何特征分析向量数量积的最大值和最小值可能取得的条件，结合函数关系求值域.【详解】如图：在直角三角形ABC 中，A 为直角，1AB =，2BC =，所以3AC = 建立直角坐标系如图所示：()(1,0,3B C ，直线BC 的方程为：13x +=，所以直线AM 的方程：33y x =，所以334M ⎛ ⎝⎭，点P 在ABC ∆内部或边界上运动，AM 与BP 夹角大于等于90° 由图可得：AM 与BP 夹角大于等于90︒，点P 在线段BC 上时，0AM BP ⋅=，且为最大值，点P 在线段AC 上时，AM BP ⋅有最小值，设点()0,,03P y y ≤≤，()33333,044,41AM y BP y ⎛⎡⎤⋅∈ ⎢⎥ ⎣⎦⋅=-=--⎝⎭. 综上所述：AM BP ⋅的取值范围是3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D【点睛】此题考查求向量数量积的取值范围，关键在于根据题意找准点所在位置，结合几何特征以及函数求解，体现数形结合的思想.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11.2cos 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【答案】12-【分析】用诱导公式计算．【详解】2cos 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭21cos cos 332ππ=-=-．故答案为：12-．【点睛】本题考查诱导公式，属于基础题．12.已知向量()=1,2a ,(),2b x =-，若a b ,则实数x =______．【答案】1- 【解析】【分析】根据两向量平行可知12210x y x y -=,代入坐标即可求解. 【详解】解:因为向量()=1,2a ,(),2b x =-，且a b ,所以()1220x ⨯--=,解得1x =-. 故答案为: 1- 【点睛】本题考查平面向量共线的基本定理及其坐标表示,是基础题. 13.已知角α的终边经过点()43P ,-，则tan α的值是______．【答案】34- 【解析】【分析】根据三角函数定义，即可求解. 【详解】角α的终边经过点()43P ,-，由三角函数定义可知，33tan 44α==--，故答案为：34-. 【点睛】本题考查根据终边经过的点求三角函数值，对三角函数定义理解和简单应用，属于基础题.14.函数()1sin cos xf x x-=的定义域为______．【答案】,2x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据分式有意义条件，结合余弦函数的性质即可求得定义域. 【详解】函数()1sin cos xf x x-=，则定义域满足cos 0x ≠，由余弦函数的性质可知,2x k k Z ππ≠+∈，所以定义域为,2x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭，故答案为：,2x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了函数定义域的求法，余弦函数性质的应用，属于基础题. 15.不等式12cos3x a -≥对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_____．【答案】(],1-∞- 【解析】【分析】根据余弦函数性质，结合不等式恒成立的解法，即可求得a 的取值范围. 【详解】因为不等式12cos3x a -≥对任意x ∈R 恒成立，所以只需()min 12cos3x a -≥，由余弦函数性质可知，1cos31x -≤≤，则()min 12cos3121x -=-=-，所以1a ≤-，即(],1a ∈-∞-，故答案为：(],1-∞-.【点睛】本题考查了余弦函数的性质，不等式恒成立问题解法，属于基础题.16.已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足5066f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，写出一个满足要求的函数()f x 的解析式______．【答案】()33sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】【分析】由正弦函数性质，结合5066f f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知满足5,662kT k Z ππ-=∈，令1k =可求得周期T ，进而由周期公式求得ω；再由正弦函数性质，由06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求得ϕ的值即可得一个满足要求的函数()f x 的解析式.【详解】函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足5066f f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5,662kT k Z ππ-=∈，不妨设1k =，则5662T ππ-=，解得43T π=，所以232T πω==，所以()()3sin ,02f x x ϕω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由06f π⎛⎫=⎪⎝⎭可得3,26k k Z πϕπ⨯+=∈，不妨设1k =，代入可得34πϕ=，所以()33sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故答案为：()33sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了正弦函数性质的综合应用，由函数性质确定三角函数解析式，属于基础题.三、解答题：本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.已知tan 2α=，求值：（1）()tan πα- ；（2）6sin cos 3sin 2cos αααα+-.【答案】（1）2-；（2）134. 【解析】【分析】（1）直接根据诱导公式即可得结果；（2）分子、分母同时除以cos α，将tan α代入即可得到结果. 【详解】（1）()tan tan 2παα=-=--；（2）∵tan 2α=， ∴6sin cos 6tan 1133sin 2cos 3tan 24αααααα++==--.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题.18.已知向量()1,2a =，与向量(),1b x = （1）当x 为何值时，a b ⊥；（2）当3x =为何值时，求向量a 与向量b 的夹角；（3）求2b a -的最小值以及取得最小值时向量b 的坐标．【答案】（1）2x =-；（2）4π；（3）最小值3，(2,1)=b ．【解析】分析】（1）由0a b ⋅=计算；（2）由cos ,a b a b a b⋅<>=计算；（3）由模的坐标运算表示出2b a -，然后由二次函数性质得结论．【详解】（1）20a b x ⋅=+=，2x =-，所以2x =-时，a b ⊥；（2）由题意(3,1)b =，2cos ,2510a b a b a b⋅<>===⨯，所以,4a b π<>=；（3）由已知2(2,3)b a x -=--，所以22(2)9b a x -=-+，所以2x =时，2b a -取得最小值3，此时(2,1)=b ．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，数量积的性质，向量垂直与向量数量积的关系，求向量的夹角、向量的模．掌握平面向量数量积的坐标运算是解题关键，本题属于中档题．19.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭．(1)请用“五点法”画出函数()f x 在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；(2)求()f x 的单调递增区间； (3)求()f x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值及相应的x 的值．【答案】(1)x12π-6π512π 23π 1112π26x π+2π π32π 2π()f x0 1-1(2) (),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； (3) 当6x π=时()f x 取最大值1,当2x π=时()f x 取最小值12-. 【解析】【分析】(1)根据五点作图法的方法,分别令320,,,,2622x πππππ+=,分别求出x 的值再描点即可. (2)将26x π+代入正弦函数的单调递增区间求解即可.(3)求解26x π+的范围,进而根据正弦函数的图形性质求解最值以及对应的x 的值即可.【详解】(1)分别令320,,,,2622x πππππ+=可得： x12π-6π 512π 23π 1112π26x π+2π π32π 2π()f x0 1-1画出图像有：(2) ()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的单调增区间：()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,解得(),36k x k k Z ππππ-≤≤+∈,故()f x 单调增区间为(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.(3)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时72366x πππ≤+≤,故当262x ππ+=,即6x π=时, ()f x 取最大值1；当7266x ππ+=即2x π=时, ()f x 取最小值12-.故当6x π=时()f x 取最大值1,当2x π=时()f x 取最小值12-. 【点睛】本题主要考查了五点作图法画三角函数图像的方法,同时也考查了正弦型函数的单调增区间以及最值的问题,属于中档题.20.解关于x 的不等式：()2110ax a x -++>（Ⅰ）若2a =，解上述关于x 的不等式；（Ⅱ）若a R ∈，解上述关于x 的不等式．【答案】（Ⅰ）1{|2x x <或1}x >；（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）2a =，得22310x x -+>，化简得()()1210x x -->，然后求解即可（Ⅱ）把()2110ax a x -++>化简得，()()110x ax -->，然后，对a 进行分类，①0a =，②11a >，③11a <，④1=1a，分类后逐个进行讨论并求解即可【详解】解：（Ⅰ）把2a =代入，得22310x x -+>，化简得()()1210x x -->，该不等式的解为：12x x ⎧<⎨⎩或}1x > （Ⅱ）把()2110ax a x -++>化简得，()()110x ax -->，①当0a =时，不等式的解为}{1x x <②11a >，即10a a -<，得01a <<，∴此时，不等式的解为1x x a ⎧>⎨⎩或}1x <③11a <，即10a a->，得1a >或0a <，当1a >时，不等式的解为{1x x >或1x a ⎫<⎬⎭，当0a <时，不等式的解为11x x a ⎧⎫>>⎨⎬⎭⎩， ④1=1a，得1a =，此时，()210x ->，解得{x x R ∈且}1x ≠ 综上所述，当0a <时，不等式的解为11x x a ⎧⎫>>⎨⎬⎭⎩，当0a =时，不等式的解为}{1x x < 当01a <<时，不等式的解为1x x a⎧>⎨⎩或}1x <，当1a =时，不等式的解为{x x R ∈且}1x ≠ 当1a >时，不等式的解为{1x x >或1x a ⎫<⎬⎭【点睛】本题考查不含参数和含参数的一元二次不等式的求解问题；关键是能够根据一元二次不等式和二次函数、一元二次方程之间的关系，分别在参数不同范围的情况下讨论一元二次方程根的大小，从而得到解集；属于难题。