数列中的一类存在性问题(导学单)

数列中的一类存在性问题【学习目标】通过对数列中一类存在性问题的研究，让学生加深对数列概念的理解，学会此类问题的常用处理策略，提升学生分析、转化、解决问题的能力. 【合作探究】例1．（09年江苏卷17改编）设数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项．例2．设数列{}n a 的通项公式为21n na n =+，是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m na a a 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由．例3．已知数列}{n a 的通项公式为2nn a =．问：数列}{n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【变式1】已知数列}{n a 的通项公式为3n nna =．问：数列}{n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【变式2】已知数列}{n a的通项公式为n a n =}{n a 中是否存在三项，它们可以构成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．数列中的一类存在性问题【学习目标】通过对数列中一类存在性问题的研究，让学生加深对数列概念的理解，学会此类问题的常用处理策略，提升学生分析、转化、解决问题的能力.【问题情境】数列是高中数学的核心概念之一，在高考和数学竞赛中占有重要的地位，在历年考试中针对数列中一类存在性问题的考查屡见不鲜，其一般转化为求不定方程（指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制的方程或方程组）正整数解的问题，往往与数论、函数、方程、不等式等知识集于一体，蕴含了丰富的数学思想．【合作探究】例1．（09年江苏卷17改编）设数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项． 【解析】12m m m a a a ++=(27)(25)23m m m ---，若其是{}n a 中的项，则(27)(25)2723m m n m --=--， 令23t m =-，则12m m m a a a ++=(4)(2)8627t t t n t t--=+-=-, 即：821n t t=++ 所以t 为8的约数． 因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±， 当1t =，即2m =时，5n =；当1t =-，即1m =时，4n =-（舍去）． 所以满足条件的正整数2m =．【评析】本例不仅可以利用整除性质解决，也可利用奇偶性分析．例2．设数列{}n a 的通项公式为21n na n =+，是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m na a a 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由．【解析】因为21n n a n =+，所以11,,32121m n m na a a m n ===++． 若1,,m n a a a 成等比数列，则21()()21321m nm n =++，即2244163m n m m n =+++．方法一：由2244163m n m m n =+++，可得223241m m n m -++=，所以22410m m -++>，从而1122m -<<+m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =． 故可知：当且仅当2m =， 12n =使数列{}n a 中的1,,m n a a a 成等比数列． 方法二：因为1136366n n n=<++，所以2214416m m m <++，即22410m m --<，从而1122m -<<+． 【评析】“存在”则等价于方程有正整数解，本题利用“范围（值域）”控制正整数的值．事实上，若左右两边范围交集非空时，可能“存在”满足条件的正整数；若左右两边范围的交集为空集时，则一定“不存在”满足条件的正整数。

上述方法采用的是“逐步缩小范围”的化归思想，利用等式一边的取值范围，得到另一边的范围，从而建立不等关系，缩小未知量的取值范围，求得整数解．例3．已知数列}{n a 的通项公式为2nn a =．问：数列}{n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【解析】方法一：假设存在三项r p s a a a ,,成等差数列，其中*,,s p r N ∈，由于}{n a 单调递增，不妨设r p s <<，可得r s p a a a +=2，即1222p s r +=+，即1212()p s r s -+-=+*．因为*,,s p r N ∈且r p s <<，则12p s -+≥、2r s -≥，且*1,p s r s N -+-∈， 所以*左边为偶数，右边为奇数，故*不可能成立，故不存在满足条件的三项.方法二：假设存在三项r p s a a a ,,成等差数列，其中*,,s p r N ∈，由于}{n a 单调递增，不妨设r p s <<，可得r s p a a a +=2，即1222()p s r +=+*.因为r p >，所以1r p ≥+，故122r p +≥.因为20s>，所以1222s r p ++>，即*式不成立，所以不存在满足条件的三项.【评析】本题通过两边同除以2s将三个变量转变为两个整体变量，而且使式子有较明显的特征：一边是奇数一边是偶数，从而得到不存在满足条件的三项，化繁为简的重要性. 也可通过左右两边求范围，若范围的交集为空集时，则一定“不存在”满足条件的正整数.【引申】已知各项均为正数的等比数列}{n a 的公比q ，且2q >．问：数列}{n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【解析】假设存在三项r p s a a a ,,成等差数列，其中*,,s p r N ∈，由于}{n a 单调递增，不妨设r p s <<，可得r s p a a a +=2，即2()p s r q q q =+*.因为rp >，所以1r p ≥+，又2q >，故1r p q q +≥. 因为0s q >，2q >，所以12s r p p p q q q q q q ++>=⋅>，即*式不成立，所以不存在满足条件的三项.【变式1】已知数列}{n a 的通项公式为3n nna =．问：数列}{n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由． 【解析】假设存在三项r p s a a a ,,成等差数列，其中*,,s p r N ∈．1111120(*)333n n n n n n n na a n N ++++--=-=<∈，1n n a a +∴<，{}n a ∴单调递减. 不妨设r p s <<，可得r s p a a a +=2，即2()333p s r p s r=+*. 因为s p <，所以1s p ≤-，故1133s p s p --≥.又03r r >，所以11333s r p s r p --+>.而1123333p p pp p p ----=. 当3p ≥时，11233p p p p --≥，故1123333s r p p s r p p --+>≥，即2333sr p s r p+>，即*式不成立. 当2p =时，1s =，*式可化为139r r =，因为{}n a 单调递减，且319a =， 所以3r =.综上所述，数列}{n a 中存在三项123,,a a a 成等差数列.【注】在利用“范围”控制正整数的值时，常用求值域的方法：单调性．本例蕴含分类讨论思想．【变式2】已知数列}{n a的通项公式为n a n =}{n a 中是否存在三项，它们可以构成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【解析】假设数列}{n a 中存在三项r p s a a a ,,（s p r ，，互不相等）成等比数列，则2p s r a a a =．即2((p s r +=．2()(20p sr p s r ∴-+--=*当20p s r --≠22p sr p s r-=---，s p r *∈N ，，，则该式右边为有理数，左边为无理数，不合．当20p s r --=时，代入*式得：20p sr -=，即2020p sr p s r ⎧-=⎨--=⎩，， 22()02s r sr s r s r +⎛⎫∴=∴-=∴= ⎪⎝⎭，，．这与s r ≠矛盾． 所以数列}{n a 中不存在三项构成等比数列．【评析】本例在反证法中利用有理数性质导致出现矛盾．【自主小结】本课给出了数列中不定方程的常见解题策略，这些策略有一个共同的特征，就是对等式两边适当的变形，选择等式一边的特征进行解题，如整除的性质，范围上界或下界，因数分解的形式，是否为有理数，奇偶性等。

数列与不定方程(函数或不等式)的交汇使得试题变化多样，精彩纷呈，解法也有很大的灵活性．以上仅列举了几种常用的探求方法，具体问题还需具体分析，根据题设条件灵活处理．。