上海市2016届高三数学3月月考试题理
上海市杨浦高级中学2016届高三下学期3月月考数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年上海市杨浦高级中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．抛物线y2=x的焦点F坐标为．2．已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合，则∁U A=．3．如果=，那么a的取值范围是．4．关于x的方程：4x•|4x﹣2|=3的解为．5．不等式的解集为．6．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则=．7．已知数列{a n}满足（n∈N*），则a2n=．8．在（2x+y+z）10的展开式中，x3y2z5的系数为．9．在极坐标系中，将圆ρ=2沿着极轴正方向平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转弧度，则所得的曲线的极坐标方程为．10．5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率是．11．已知定义在R上的函数y=f（x）对于任意的x都满足f（x+2）=f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）=x3．若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．12．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．若他投篮一次得分ξ的数学期望，则a的取值范围是．13．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1›z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1=a2且b1＞b2”．下面命题：①1›i›0；②若z 1›z 2，z 2›z 3，则z 1›z 3；③若z 1›z 2，则对于任意z ∈C ，z 1+z ›z 2+z ；④对于复数z ›0，若z 1›z 2，则z •z 1›z •z 2．其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）14．符号表示数列{a n }的前n 项和（即）．已知数列{a n }满足a 1=0，a n ≤a n +1≤a n +1（n ∈N *），记，若S 2016=0，则当取最小值时，a 2016= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填写结果，选对得5分，否则一律得零分．15．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第1个长方形的面积为0.02，前5个与后5个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第5组）的频数为（ ）A ．12B ．24C ．36D ．4816．已知F 为双曲线C ：x 2﹣my 2=3m （m ＞0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A ．B ．3C ． mD ．3m17．将函数的图象向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．18．在半径为r 的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ）A ．2πrB ．C ．D ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图：已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面是边长为6的正方形，PA=8，PA ⊥面ABCD ， 点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点，连接AM 、AN 、MN ．（1）求证：AB ⊥MN ；（2）求二面角N ﹣AM ﹣B 的大小．20．已知向量和向量，且．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有=1，，求△ABC面积的最大值．21．某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）曲线BC是抛物线y=﹣ax2+30（a ＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．（1）若要求CD=20米，AD=（10+30）米，求t与a值；（2）当0＜t≤10时，若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过45米，求a的取值范围．22．如图数表：，每一行都是首项为1的等差数列，第m行的公差为d m，且每一列也是等差数列，设第m行的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3，n ∈N*）．（1）证明：d1，d2，d3成等差数列，并用m，d1，d2表示d m（3≤m≤n）；（2）当d1=1，d2=3时，将数列{d m}分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为，求数列的前n项和S n；（3）在（2）的条件下，设N是不超过20的正整数，当n＞N时，求使得不等式恒成立的所有N的值．23．如图，圆O与直线x+y+2=0相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线y=x在第一象限的交点为B．点C为圆O上任一点，且满足=x+y，以x，y为坐标的动点D （x，y）的轨迹记为曲线Γ．（1）求圆O的方程及曲线Γ的方程；（2）若两条直线l1：y=kx和l2：y=﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN面积的最大值，并求此时的k的值．（3）根据曲线Γ的方程，研究曲线Γ的对称性，并证明曲线Γ为椭圆．2015-2016学年上海市杨浦高级中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．抛物线y2=x的焦点F坐标为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】焦点在x轴的正半轴上，且p=，利用焦点为（，0），写出焦点坐标．【解答】解：抛物线y2=x的焦点在x轴的正半轴上，且p=，∴=，故焦点坐标为（，0），故答案为：（，0）．2．已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合，则∁U A=．【考点】补集及其运算．【分析】先根据整除性求出集合A，然后根据补集的定义求出C U A即可．【解答】解：∵x∈Z∴能被2整除的数有﹣2，﹣1，1，2则x=﹣2，﹣1，1，2即A={﹣2，﹣1，1，2}而U={﹣2，﹣1，0，1，2}，则C U A={0}故答案为：{0}3．如果=，那么a的取值范围是．【考点】数列的极限．【分析】直接利用数列的极限的运算法则，化简已知条件即可推出a的范围．【解答】解：=，可得=，可得，解得a∈（﹣4，2）．故答案为：（﹣4，2）．4．关于x的方程：4x•|4x﹣2|=3的解为．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令4x =t ，将方程转化为关于t 的一元二次方程计算．【解答】解：令4x =t ，（t ＞0）．则当t ≥2时，t 2﹣2t ﹣3=0，解得t=3或t=﹣1（舍）．∴x=log 43．当0＜t ＜2时，t （2﹣t ）=3，即t 2﹣2t +3=0，方程无解．故答案为：x=log 43．5．不等式的解集为 ．【考点】其他不等式的解法．【分析】将行列式按第二行展开，求得不等式=+2≥0，注意对数函数的定义域．【解答】解：等价于lgx ++2=+2≥0，即，解得0＜x ≤或x ＞1，故不等式的解集为．故答案为：．6．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R ），则= ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、、的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2且μ=﹣，即可得到的值．【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣因此， ==4故答案为：47．已知数列{a n }满足（n ∈N *），则a 2n = ．【考点】数列递推式．【分析】由已知求出数列的第二项，并得到数列{a n }的偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列，然后由等比数列的通项公式得答案．【解答】解：由①，得a 2=2，且（n ≥2）②，①÷②得：，∴数列{a n }的偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列，则．故答案为：2n ．8．在（2x +y +z ）10的展开式中，x 3y 2z 5的系数为 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】根据展开式中项的由来，利用组合解答即可．【解答】解：由题意，在（2x +y +z ）10的展开式中，含有x 3y 2z 5的项为，所以系数为8××=20160．故答案为：20160．9．在极坐标系中，将圆ρ=2沿着极轴正方向平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转弧度，则所得的曲线的极坐标方程为 ．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】根据圆ρ=2的圆心与半径，得出平移和旋转后的圆心与半径，由此写出所得曲线的极坐标方程．【解答】解：圆ρ=2的圆心为（0，0），半径为2；沿着极轴正方向平移两个单位后，圆心为（2，0），半径为2；绕极点按逆时针方向旋转，所得圆的圆心为（2，），半径为2；设p为所求圆上任意一点，则OP=ρ=2×2cos（θ﹣）=4cos（θ﹣）．故答案为：ρ=4cos（θ﹣）．10．5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）包含的基本事件个数，由此能求出这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率．【解答】解：5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则基本事件总数n=45，这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）包含的基本事件个数：m=+，∴这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率：p===．故答案为：．11．已知定义在R上的函数y=f（x）对于任意的x都满足f（x+2）=f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）=x3．若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．【考点】函数的周期性．【分析】函数g（x）=f（x）﹣log a|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=log5|x|的交点的个数，由函数图象的变换，分别做出y=f（x）与y=log a|x|的图象，结合图象可得log a5＜1 或log a5≥﹣1，由此求出a的取值范围．【解答】解：根据题意，函数g（x）=f（x）﹣log a|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=log a|x|的交点的个数；f（x+2）=f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，又由当﹣1＜x≤1时，f（x）=x3，据此可以做出f（x）的图象，y=log a|x|是偶函数，当x＞0时，y=log a x，则当x＜0时，y=log a（﹣x），做出y=log a|x|的图象，结合图象分析可得：要使函数y=f（x）与y=log a|x|至少有6个交点，则log a5＜1 或log a5≥﹣1，解得a＞5，或0＜a≤．所以a的取值范围是（0，]∪（5，+∞）．故答案为：（0，]∪（5，+∞）．12．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．若他投篮一次得分ξ的数学期望，则a的取值范围是．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由已知得，0＜a＜1，0＜b＜1，从而3a+2b=3a+2（﹣a）＞，由此能求出a的取值范围．【解答】解：∵一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．∴a+b+=1，∴，∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴0＜a＜，∵投篮一次得分ξ的数学期望，∴3a+2b=3a+2（﹣a）＞，解得a＞，综上，．故答案为：（，）．13．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1›z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1=a2且b1＞b2”．下面命题：①1›i›0；②若z1›z2，z2›z3，则z1›z3；③若z1›z2，则对于任意z∈C，z1+z›z2+z；④对于复数z›0，若z1›z2，则z•z1›z•z2．其中真命题是．（写出所有真命题的序号）【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的新定义大小关系即可得出．【解答】解：①．∵1=1+0•i，i=0+1•i，∵实部1＞0，∴1›i．又0=0+0•i，∵实部0=0，虚部1＞0，∴i›0，∴1›i›0，所以①正确．②设z k=a k+b k i，k=1，2，3，a k，b k∈R．∵z1›z2，z2›z3，∴a1≥a2，a2≥a3，∴a1≥a3．则当a1＞a3时，可得z1›z3；当a1=a3时，有b1＞b2＞b3，可得z1›z3，∴②正确；③令z=a+bi（a，b∈R），∵z1›z2，∴a1≥a2，∴a1+a≥a2+a，当a1=a2时，b1＞b2，故a1+a=a2+a，b1+b＞b2+b，可得z1+z›z2+z；当a1＞a2时，a1+a＞a2+a，可得z1+z›z2+z；∴③正确；④取z=0+i＞0，z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（a k，b k∈R，k=1，2），不妨令a1=a2，b1＞b2，则z1›z2，此时z•z1=﹣b1+a1i，z•z2=﹣b2+a2i，不满足z•z1›z•z2．故④不正确．由以上可知：只有①②③正确．故答案为：①②③．14．符号表示数列{a n}的前n项和（即）．已知数列{a n}满足a1=0，a n≤a n≤a n+1（n∈N*），记，若S2016=0，则当+1取最小值时，a2016=．【考点】数列的求和．【分析】S2016=0，=，进一步可知{a n}从第一起k∈{1，2，3，4，…，1008}，当取最小值，a2016=1007．【解答】解：S2016=0，（﹣1）k=0，即=，∵a n≤a n+1，（n∈N*），0＜a＜1，∴≥，∴a2k﹣1=a2k，k∈{1，2，3，4，…，1008}，∵a1=0，a n≤a n+1≤a n+1（n∈N*），∴当取最小值，∴a2016=1007，故答案为：1007．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填写结果，选对得5分，否则一律得零分．15．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第1个长方形的面积为0.02，前5个与后5个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第5组）的频数为（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】频率分布直方图．【分析】设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数．【解答】解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为1，可得0.18+16d=1 可以求得d=∴中间一组的频数为：160×（0.02+4d）=36．故选C．16．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．17．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B18．在半径为r的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（）A．2πr B．C．D．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，因此最短的路径分别是经过的各段弧长的和，利用内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，经过的最短路程为：一个半圆一个圆即可解决．【解答】解：由题意可知，球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，例如动点从A到S，再到C，到B回到A，∠SOA=∠SOC=90°，∠COB=∠BOA=60°，则经过的最短路程为：一个半圆一个圆，即：=故选B．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图：已知四棱锥P﹣ABCD，底面是边长为6的正方形，PA=8，PA⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM、AN、MN．（1）求证：AB⊥MN；（2）求二面角N﹣AM﹣B的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．（1）分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，只要证明，【分析】即可证明AB⊥MN．（2）利用法向量的夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0）、B（0，6，0）、M（6，3，0）、N（0，3，4），得，，∴，∴AB⊥MN．（2）解：取平面AMB的一个法向量为，设平面AMN的法向量，又，，由，取平面AMN的一个法向量，设二面角N﹣AM﹣B为α，则=，∴二面角N﹣AM﹣B的大小为．20．已知向量和向量，且．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有=1，，求△ABC 面积的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理．【分析】（1）根据向量平行的坐标关系求出f（x）的解析式，化简成为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，结合三角函数的图象和性质求其最大值．（2）利用=1，求出A的角的大小，在结合余弦定理，利用三角函数的图象和性质求其最大值．【解答】解：（1）由题意：可得：⇔f（x）的最小正周期T=sinx的图象和性质可知：sin（x+）的最大值是1，∴的最大值是2．所以：函数f（x）的最小正周期为2π，最大值为2．（2）由（1）可知．∵=1，得：，∵0＜A＜π，∴，∴，解得：．又∵，即，∴b2+c2﹣bc=3，又∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时取等号），则有：3+bc≥2bc，∴bc≤3，∴，所以：△ABC面积的最大值为：．21．某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）曲线BC是抛物线y=﹣ax2+30（a ＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．（1）若要求CD=20米，AD=（10+30）米，求t与a值；（2）当0＜t≤10时，若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过45米，求a的取值范围．【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据圆E的半径CD=30﹣t求出t的值，再利用圆E的方程求出点C的坐标，代入抛物线方程求出a的值；（2）根据圆E的半径，利用抛物线求出OD的值，写出DF的表达式，求DF在t∈（0，10]时不等式DF≤45恒成立即可．【解答】解：（1）因为CD=30﹣t=20，解得t=10；…3分此时圆E：x2+（y﹣10）2=202，令y=0，得AO=10，所以OD=AD﹣AO=30，将点C（30，20）代入y=﹣ax2+30（a＞0）中，解得；…7分（2）因为圆E的半径为30﹣t，所以CD=30﹣t，在y=﹣ax2+30中，令y=30﹣t，解得，则由题意知对t∈（0，10]恒成立，…9分所以恒成立，而，当，即t=15∉（0，10]时，由（）递减，可知：当t=10取最小值；…12分故，解得．…14分．22．如图数表：，每一行都是首项为1的等差数列，第m行的公差为d m，且每一列也是等差数列，设第m行的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3，n ∈N*）．（1）证明：d1，d2，d3成等差数列，并用m，d1，d2表示d m（3≤m≤n）；（2）当d1=1，d2=3时，将数列{d m}分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为，求数列的前n项和S n；（3）在（2）的条件下，设N是不超过20的正整数，当n＞N时，求使得不等式恒成立的所有N的值．【考点】数列的应用．【分析】（1）根据第三行成等差数列得出a3n，根据最后一列成等差数列得出a3n，从而得出d1，d2，d3的关系，同理根据a mn的不同算法即可得出d m关于m，d1，d2的式子；（2）根据分组特点计算c m，利用错位相减法计算S n；（3）把S n，d n代入不等式求出使不等式成立的n的最小值即可得出N的最小值．【解答】解：（1）∵每一行都是首项为1的等差数列，∴a1n=1+（n﹣1）d1，a2n=1+（n﹣1）d2，a3n=1+（n﹣1）d3．∵每一列也是等差数列，∴2a2n=a1n+a3n，∴2+2（n﹣1）d2=1+（n﹣1）d1+1+（n﹣1）d3，即2d2=d1+d3∴d1，d2，d3成等差数列．∵a mn=1+（n﹣1）d m，a mn=a1n+（m﹣1）（a2n﹣a1n）=a1n+（m﹣1）（a2n﹣a1n）=1+（n﹣1）d1+（m﹣1）（n﹣1）（d2﹣d1），∴1+（n﹣1）d m=1+（n﹣1）d1+（m﹣1）（n﹣1）（d2﹣d1）化简得d m=（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．（2）当d1=1，d2=3时，d m=2m﹣1（m∈N*），按数列{d m}分组规律，第m组中有2m﹣1个数，所以第1组到第m组共有1+3+5+…+（2m﹣1）=m2个数．则前m组的所有数字和为，∴，∵c m＞0，∴c m=m，从而，m∈N*，∴S n=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，∴2S n=1×22+3×23+…+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣S n=2+23+24+…+2n+1﹣（2n﹣1）×2n+1=2+23（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）×2n+1=（3﹣2n）×2n+1﹣6．∴．（3）由得（2n﹣3）•2n+1＞50（2n﹣1）．令a n=（2n﹣3）•2n+1﹣50（2n﹣1）=（2n﹣3）（2n+1﹣50）﹣100．∴当n≤5时，a n＜0，当n≥6时，a n＞0，所以，满足条件的所有正整数N=5，6，7，8， (20)23．如图，圆O与直线x+y+2=0相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线y=x在第一象限的交点为B．点C为圆O上任一点，且满足=x+y，以x，y为坐标的动点D （x，y）的轨迹记为曲线Γ．（1）求圆O的方程及曲线Γ的方程；（2）若两条直线l1：y=kx和l2：y=﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN面积的最大值，并求此时的k的值．（3）根据曲线Γ的方程，研究曲线Γ的对称性，并证明曲线Γ为椭圆．【考点】直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质．【分析】（1）圆O与直线x+y+2=0相切于点，利用点到直线的距离，即可求出半径，解得圆的方程．根据=x+y和坐标关系带入圆的方程，即可得到曲线Γ的方程；垂直（2）两条直线l1：y=kx和l2：y=﹣x分别交曲线Γ，解出坐标，由题意l1与l2垂直，利用两点之间的距离求出EF，MN长度，即可得到四边形的面积，利用基本不等式即可得到答案．（3）根据（1）中得到的方程，首先考虑奇偶性和x轴，y=x轴的对称，在考虑非常见对称．利用椭圆的定义证明即可．【解答】解：由题意：圆O与直线x+y+2=0相切于点，利用点到直线的距离，即可求出半径，r=∴圆的方程为：x2+y2=1圆与x轴的交点A（1，0），与直线y=x在第一象限的交点B为（，），由=x+y，可得：，将代入x2+y2=1得到：x2+y2+xy=1，（）即为曲线Γ的方程；（2）∵两条直线l1：y=kx和l2：y=﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N．∴联立：⇒解得：点E（，），点F（﹣，﹣）那么：|EF|=同理：联立⇒解得：点M（，）点N（﹣，﹣）那么：|MN|=由题意可知：l1⊥l2，所以四边形EMFN面积的为S=|MN|•|EF|=2×=∵．（当且仅k=±1时等号成立）∴⇒故当k=±1时，四边形EMFN的面积最大，其最大值为：．（3）由（1）可知：曲线Γ的方程：x2+y2+xy=1，（）关于直线y=x，也关于原点对称，同时关于直线y=﹣x对称证明：设曲线Γ上任一点的坐标为P（x0，y0），则有点P关于直线y=x的对称点P′（y0，x0），带入方程得：，显然成立．故曲线Γ的方程关于直线y=x对称．同理：曲线Γ的方程关于原点对称，同时关于直线y=﹣x对称．证明曲线Γ为椭圆型曲线．证明：曲线Γ的方程：x2+y2+xy=1和直线x=y的交点坐标为B1（﹣，﹣），B2（，）曲线Γ的方程：x2+y2+xy=1和直线x=﹣y的交点坐标为A1（﹣1，1），A2（1，﹣1）|0A1|=，|0B1|=，那么，在y=﹣x上取F1（﹣，，），F2（，﹣）设P（x，y）在曲线Γ的方程上的任意一点，则|PF1|+|PF2|======因为xy≤，∴=2=|A1A2|即曲线Γ的方程上的任意一点P到两个定点F1（﹣，，），F2（，﹣）的距离之和为定值2．可以反过来证明：若点P到两个定点F1（﹣，，），F2（，﹣）的距离之和为定值2，可以求得P的轨迹方程，得到为：x2+y2+xy=1故曲线Γ的方程是椭圆，其焦点坐标为F1（﹣，，），F2（，﹣）．2016年10月11日。
2015-2016年上海市杨浦高级中学高三(下)3月月考数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年上海市杨浦高级中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）抛物线y2＝x的焦点F坐标为．2．（4分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合，则∁U A ＝．3．（4分）如果＝，那么a的取值范围是．4．（4分）关于x的方程：4x•|4x﹣2|＝3的解为．5．（4分）不等式的解集为．6．（4分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则＝．7．（4分）已知数列{a n}满足（n∈N*），则a2n＝．8．（4分）在（2x+y+z）10的展开式中，x3y2z5的系数为．9．（4分）在极坐标系中，将圆ρ＝2沿着极轴正方向平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转弧度，则所得的曲线的极坐标方程为．10．（4分）5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率是．11．（4分）已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．12．（4分）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．若他投篮一次得分ξ的数学期望，则a的取值范围是．13．（4分）在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1›z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”．下面命题：①1›i›0；②若z1›z2，z2›z3，则z1›z3；③若z1›z2，则对于任意z∈C，z1+z›z2+z；④对于复数z›0，若z1›z2，则z•z1›z•z2．其中真命题是．（写出所有真命题的序号）14．（4分）符号表示数列{a n}的前n项和（即）．已知数列{a n}满足a1＝0，a n≤a n+1≤a n+1（n∈N*），记，若S2016＝0，则当取最小值时，a2016＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填写结果，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第1个长方形的面积为0.02，前5个与后5个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第5组）的频数为（）A．12B．24C．36D．4816．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m17．（5分）将函数y＝cos x+sin x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．18．（5分）在半径为r的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（）A．2πr B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图：已知四棱锥P﹣ABCD，底面是边长为6的正方形，P A＝8，P A⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM、AN、MN．（1）求证：AB⊥MN；（2）求二面角N﹣AM﹣B的大小．20．（14分）已知向量和向量，且．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有＝1，，求△ABC面积的最大值．21．（14分）某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）曲线BC是抛物线y＝﹣ax2+30（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．（1）若要求CD＝20米，AD＝（10+30）米，求t与a值；（2）当0＜t≤10时，若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过45米，求a的取值范围．22．（16分）如图数表：，每一行都是首项为1的等差数列，第m行的公差为d m，且每一列也是等差数列，设第m行的第k项为a mk（m，k＝1，2，3，…，n，n≥3，n∈N*）．（1）证明：d1，d2，d3成等差数列，并用m，d1，d2表示d m（3≤m≤n）；（2）当d1＝1，d2＝3时，将数列{d m}分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m 组中所有数之和为，求数列的前n项和S n；（3）在（2）的条件下，设N是不超过20的正整数，当n＞N时，求使得不等式恒成立的所有N的值．23．（18分）如图，圆O与直线x+y+2＝0相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线y ＝x在第一象限的交点为B．点C为圆O上任一点，且满足＝x+y，以x，y 为坐标的动点D（x，y）的轨迹记为曲线Γ．（1）求圆O的方程及曲线Γ的方程；（2）若两条直线l1：y＝kx和l2：y＝﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN 面积的最大值，并求此时的k的值．（3）根据曲线Γ的方程，研究曲线Γ的对称性，并证明曲线Γ为椭圆．2015-2016学年上海市杨浦高级中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）抛物线y2＝x的焦点F坐标为（，0）．【解答】解：抛物线y2＝x的焦点在x轴的正半轴上，且p＝，∴＝，故焦点坐标为（，0），故答案为：（，0）．2．（4分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合，则∁U A ＝{0}．【解答】解：∵x∈Z∴能被2整除的数有﹣2，﹣1，1，2则x＝﹣2，﹣1，1，2即A＝{﹣2，﹣1，1，2}而U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则∁U A＝{0}故答案为：{0}3．（4分）如果＝，那么a的取值范围是（﹣4，2）．【解答】解：＝，可得＝，可得，解得a∈（﹣4，2）．故答案为：（﹣4，2）．4．（4分）关于x的方程：4x•|4x﹣2|＝3的解为x＝log43．【解答】解：令4x＝t，（t＞0）．则当t≥2时，t2﹣2t﹣3＝0，解得t＝3或t＝﹣1（舍）．∴x＝log43．当0＜t＜2时，t（2﹣t）＝3，即t2﹣2t+3＝0，方程无解．故答案为：x＝log43．5．（4分）不等式的解集为．【解答】解：等价于lgx++2＝+2≥0，即，解得0＜x≤或x＞1，故不等式的解集为．故答案为：．6．（4分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则＝4．【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得＝（﹣1，1），＝（6，2），＝（﹣1，﹣3）∵∴，解之得λ＝﹣2且μ＝﹣因此，＝＝4故答案为：47．（4分）已知数列{a n}满足（n∈N*），则a2n＝2n．【解答】解：由①，得a2＝2，且（n≥2）②，①÷②得：，∴数列{a n}的偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列，则．故答案为：2n．8．（4分）在（2x+y+z）10的展开式中，x3y2z5的系数为20160．【解答】解：由题意，在（2x+y+z）10的展开式中，含有x3y2z5的项为，所以系数为8××＝20160．故答案为：20160．9．（4分）在极坐标系中，将圆ρ＝2沿着极轴正方向平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转弧度，则所得的曲线的极坐标方程为ρ＝4cos（θ﹣）．【解答】解：圆ρ＝2的圆心为（0，0），半径为2；沿着极轴正方向平移两个单位后，圆心为（2，0），半径为2；绕极点按逆时针方向旋转，所得圆的圆心为（2，），半径为2；设p为所求圆上任意一点，则OP＝ρ＝2×2cos（θ﹣）＝4cos（θ﹣）．故答案为：ρ＝4cos（θ﹣）．10．（4分）5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率是．【解答】解：5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则基本事件总数n＝45，这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）包含的基本事件个数：m＝+，∴这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率：p＝＝＝．故答案为：．11．（4分）已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是（0，]∪（5，+∞）．【解答】解：根据题意，函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|的零点个数，即函数y＝f（x）与y＝log a|x|的交点的个数；f（x+2）＝f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，又由当﹣1＜x≤1时，f（x）＝x3，据此可以做出f（x）的图象，y＝log a|x|是偶函数，当x＞0时，y＝log a x，则当x＜0时，y＝log a（﹣x），做出y＝log a|x|的图象，结合图象分析可得：要使函数y＝f（x）与y＝log a|x|至少有6个交点，则log a5＜1 或log a5≥﹣1，解得a＞5，或0＜a≤．所以a的取值范围是（0，]∪（5，+∞）．故答案为：（0，]∪（5，+∞）．12．（4分）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．若他投篮一次得分ξ的数学期望，则a的取值范围是（，）．【解答】解：∵一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．∴a+b+＝1，∴，∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴0＜a＜，∵投篮一次得分ξ的数学期望，∴3a+2b＝3a+2（﹣a）＞，解得a＞，综上，．故答案为：（，）．13．（4分）在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1›z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”．下面命题：①1›i›0；②若z1›z2，z2›z3，则z1›z3；③若z1›z2，则对于任意z∈C，z1+z›z2+z；④对于复数z›0，若z1›z2，则z•z1›z•z2．其中真命题是①②③．（写出所有真命题的序号）【解答】解：①．∵1＝1+0•i，i＝0+1•i，∵实部1＞0，∴1›i．又0＝0+0•i，∵实部0＝0，虚部1＞0，∴i›0，∴1›i›0，所以①正确．②设z k＝a k+b k i，k＝1，2，3，a k，b k∈R．∵z1›z2，z2›z3，∴a1≥a2，a2≥a3，∴a1≥a3．则当a1＞a3时，可得z1›z3；当a1＝a3时，有b1＞b2＞b3，可得z1›z3，∴②正确；③令z＝a+bi（a，b∈R），∵z1›z2，∴a1≥a2，∴a1+a≥a2+a，当a1＝a2时，b1＞b2，故a1+a＝a2+a，b1+b＞b2+b，可得z1+z›z2+z；当a1＞a2时，a1+a＞a2+a，可得z1+z›z2+z；∴③正确；④取z＝0+i＞0，z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，（a k，b k∈R，k＝1，2），不妨令a1＝a2，b1＞b2，则z1›z2，此时z•z1＝﹣b1+a1i，z•z2＝﹣b2+a2i，不满足z•z1›z•z2．故④不正确．由以上可知：只有①②③正确．故答案为：①②③．14．（4分）符号表示数列{a n}的前n项和（即）．已知数列{a n}满足a1＝0，a n≤a n+1≤a n+1（n∈N*），记，若S2016＝0，则当取最小值时，a2016＝1007．【解答】解：S2016＝0，（﹣1）k＝0，即＝，∵a n≤a n+1，（n∈N*），0＜a＜1，∴≥，∴a2k﹣1＝a2k，k∈{1，2，3，4，…，1008}，∵a1＝0，a n≤a n+1≤a n+1（n∈N*），∴当取最小值，∴a2016＝1007，故答案为：1007．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填写结果，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第1个长方形的面积为0.02，前5个与后5个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第5组）的频数为（）A．12B．24C．36D．48【解答】解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为1，可得0.18+16d＝1 可以求得d＝∴中间一组的频数为：160×（0.02+4d）＝36．故选：C．16．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m【解答】解：双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为＝0，∴点F到C的一条渐近线的距离为＝．故选：A．17．（5分）将函数y＝cos x+sin x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：y＝cos x+sin x＝2（cos x+sin x）＝2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y＝2sin[（x+m）+]＝2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+＝kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选：B．18．（5分）在半径为r的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（）A．2πr B．C．D．【解答】解：由题意可知，球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，例如动点从A到S，再到C，到B回到A，∠SOA＝∠SOC＝90°，∠COB＝∠BOA＝60°，则经过的最短路程为：一个半圆一个圆，即：＝故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图：已知四棱锥P﹣ABCD，底面是边长为6的正方形，P A＝8，P A⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM、AN、MN．（1）求证：AB⊥MN；（2）求二面角N﹣AM﹣B的大小．【解答】（1）证明：分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0）、B（0，6，0）、M（6，3，0）、N（0，3，4），得，，∴，∴AB⊥MN．（2）解：取平面AMB的一个法向量为，设平面AMN的法向量，又，，由，取平面AMN的一个法向量，设二面角N﹣AM﹣B为α，则＝，∴二面角N﹣AM﹣B的大小为．20．（14分）已知向量和向量，且．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有＝1，，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由题意：可得：⇔f（x）的最小正周期T＝sin x的图象和性质可知：sin（x+）的最大值是1，∴的最大值是2．所以：函数f（x）的最小正周期为2π，最大值为2．（2）由（1）可知．∵＝1，得：，∵0＜A＜π，∴，∴，解得：．又∵，即，∴b2+c2﹣bc＝3，又∵b2+c2≥2bc（当且仅当b＝c时取等号），则有：3+bc≥2bc，∴bc≤3，∴，所以：△ABC面积的最大值为：．21．（14分）某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）曲线BC是抛物线y＝﹣ax2+30（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．（1）若要求CD＝20米，AD＝（10+30）米，求t与a值；（2）当0＜t≤10时，若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过45米，求a的取值范围．【解答】解：（1）因为CD＝30﹣t＝20，解得t＝10；…3分此时圆E：x2+（y﹣10）2＝202，令y＝0，得AO＝10，所以OD＝AD﹣AO＝30，将点C（30，20）代入y＝﹣ax2+30（a＞0）中，解得；…7分（2）因为圆E的半径为30﹣t，所以CD＝30﹣t，在y＝﹣ax2+30中，令y＝30﹣t，解得，则由题意知对t∈（0，10]恒成立，…9分所以恒成立，而，当，即t＝15∉（0，10]时，由（）递减，可知：当t＝10取最小值；…12分故，解得．…14分．22．（16分）如图数表：，每一行都是首项为1的等差数列，第m行的公差为d m，且每一列也是等差数列，设第m行的第k项为a mk（m，k＝1，2，3，…，n，n≥3，n∈N*）．（1）证明：d1，d2，d3成等差数列，并用m，d1，d2表示d m（3≤m≤n）；（2）当d1＝1，d2＝3时，将数列{d m}分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m 组中所有数之和为，求数列的前n项和S n；（3）在（2）的条件下，设N是不超过20的正整数，当n＞N时，求使得不等式恒成立的所有N的值．【解答】解：（1）∵每一行都是首项为1的等差数列，∴a1n＝1+（n﹣1）d1，a2n＝1+（n﹣1）d2，a3n＝1+（n﹣1）d3．∵每一列也是等差数列，∴2a2n＝a1n+a3n，∴2+2（n﹣1）d2＝1+（n﹣1）d1+1+（n﹣1）d3，即2d2＝d1+d3∴d1，d2，d3成等差数列．∵a mn＝1+（n﹣1）d m，a mn＝a1n+（m﹣1）（a2n﹣a1n）＝a1n+（m﹣1）（a2n﹣a1n）＝1+（n﹣1）d1+（m﹣1）（n﹣1）（d2﹣d1），∴1+（n﹣1）d m＝1+（n﹣1）d1+（m﹣1）（n﹣1）（d2﹣d1）化简得d m＝（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．（2）当d1＝1，d2＝3时，d m＝2m﹣1（m∈N*），按数列{d m}分组规律，第m组中有2m﹣1个数，所以第1组到第m组共有1+3+5+…+（2m﹣1）＝m2个数．则前m组的所有数字和为，∴，∵c m＞0，∴c m＝m，从而，m∈N*，∴S n＝1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，∴2S n＝1×22+3×23+…+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣S n＝2+23+24+…+2n+1﹣（2n﹣1）×2n+1＝2+23（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）×2n+1＝（3﹣2n）×2n+1﹣6．∴．（3）由得（2n﹣3）•2n+1＞50（2n﹣1）．令a n＝（2n﹣3）•2n+1﹣50（2n﹣1）＝（2n﹣3）（2n+1﹣50）﹣100．∴当n≤5时，a n＜0，当n≥6时，a n＞0，所以，满足条件的所有正整数N＝5，6，7，8， (20)23．（18分）如图，圆O与直线x+y+2＝0相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线y ＝x在第一象限的交点为B．点C为圆O上任一点，且满足＝x+y，以x，y 为坐标的动点D（x，y）的轨迹记为曲线Γ．（1）求圆O的方程及曲线Γ的方程；（2）若两条直线l1：y＝kx和l2：y＝﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN 面积的最大值，并求此时的k的值．（3）根据曲线Γ的方程，研究曲线Γ的对称性，并证明曲线Γ为椭圆．【解答】解：由题意：圆O与直线x+y+2＝0相切于点，利用点到直线的距离，即可求出半径，r＝∴圆的方程为：x2+y2＝1圆与x轴的交点A（1，0），与直线y＝x在第一象限的交点B为（，），由＝x+y，可得：，将代入x2+y2＝1得到：x2+y2+xy＝1，（）即为曲线Γ的方程；（2）∵两条直线l1：y＝kx和l2：y＝﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N．∴联立：⇒解得：点E（，），点F（﹣，﹣）那么：|EF|＝同理：联立⇒解得：点M（，）点N（﹣，﹣）那么：|MN|＝由题意可知：l1⊥l2，所以四边形EMFN面积的为S＝|MN|•|EF|＝2×＝∵．（当且仅k＝±1时等号成立）∴⇒故当k＝±1时，四边形EMFN的面积最大，其最大值为：．（3）由（1）可知：曲线Γ的方程：x2+y2+xy＝1，（）关于直线y＝x，也关于原点对称，同时关于直线y＝﹣x对称证明：设曲线Γ上任一点的坐标为P（x0，y0），则有点P关于直线y＝x的对称点P′（y0，x0），带入方程得：，显然成立．故曲线Γ的方程关于直线y＝x对称．同理：曲线Γ的方程关于原点对称，同时关于直线y＝﹣x对称．证明曲线Γ为椭圆型曲线．证明：曲线Γ的方程：x2+y2+xy＝1和直线x＝y的交点坐标为B1（﹣，﹣），B2（，）曲线Γ的方程：x2+y2+xy＝1和直线x＝﹣y的交点坐标为A1（﹣1，1），A2（1，﹣1）|0A1|＝，|0B1|＝，那么，在y＝﹣x上取F1（﹣，，），F2（，﹣）设P（x，y）在曲线Γ的方程上的任意一点，则|PF1|+|PF2|＝＝＝＝＝＝因为xy≤，∴＝2＝|A1A2|即曲线Γ的方程上的任意一点P到两个定点F1（﹣，，），F2（，﹣）的距离之和为定值2．可以反过来证明：若点P到两个定点F1（﹣，，），F2（，﹣）的距离之和为定值2，可以求得P的轨迹方程，得到为：x2+y2+xy＝1故曲线Γ的方程是椭圆，其焦点坐标为F1（﹣，，），F2（，﹣）．。
2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案
2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案2016届高三上学期第一次月考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1]D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ?B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．﹁p 或q B ．p 且q C ．﹁p 且﹁qD ．﹁p 或﹁q4．设函数f (x )＝x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.1395．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)6．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．27. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4D ．a ≥－48. 函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)9. 函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )10. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)11. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln212. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<1}<="" p="">二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．14. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 15. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．16. 若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 化简：(1)3131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(12分)已知函数f (x )＝1a －1(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 21．（12分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； 22．（12分）已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学答题卡一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题有一个正确答案）13、 14、15、 16、三、解答题17.(10分) 化简：(1)131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(10分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；21．（13分）已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．22．（13分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学文试卷参考答案1．B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.B12.A13. x －y －2＝0 14. {x |－32<1}<="" p="">15. (0,1] 16. (512，34]17. 解 (1)原式＝121311113233211212633311233().a b a b abab ab a b+-++----==(2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 18. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.易得a ＝25.19. 解(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1, 1]上，f (x )＝2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.20．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝?x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0, 6]，单调递减区间是[－6,0]．21.解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f ′(x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26.) 法二设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x2＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．22.解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，< p="">∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．</x<a，<>。
高三数学上期第三次月考试题(理科附答案)
2019届高三数学上期第三次月考试题(理科附答案) 2019届高三数学上期第三次月考试题(理科附答案)总分150分，考试用时120分钟。
一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知全集集合集合，则集合为( )A. B. C. D.2.已知点，则与同方向的单位向量是( )A. B. C. D.3.命题对随意都有的否定是( )A.对随意，都有B.不存在，使得C.存在，使得D.存在，使得4.已知函数的定义域为，则的定义域为( )A. B. C. D.5.已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为( )A. B. C. D.6.已知函数的导函数为，且满意关系式，则的值等于( )A.2B.C.D.7.已知向量，，则与夹角的余弦值为( )A. B. C. D.8.已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为( )A. B. C. D.9.函数有零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.10.设分程和方程的根分别为和，函数，则( )A. B.C. D.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把答案填在答题卡上.11.已知，则的值为13. 中，，，三角形面积，14.已知函数在处取得极值10，则取值的集合为15.若关于的方程有实根，则实数的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)17.(本小题满分12分)已知函数，其中为使能在时取得最大值的最小正整数.(1)求的值;(2)设的三边长、、满意，且边所对的角的取值集合为，当时，求的值域.18.(本小题满分12分)中，设、、分别为角、、的对边，角的平分线交边于， .(1)求证： ;(2)若，，求其三边、、的值.19.(本小题满分12分)工厂生产某种产品，次品率与日产量 (万件)间的关系( 为常数，且 )，已知每生产一件合格产品盈利3元，每出现一件次品亏损1.5元(1)将日盈利额 (万元)表示为日产量 (万件)的函数;(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件?(注： )20.(本小题满分13分)已知，当时， .(1)证明 ;(2)若成立，请先求出的值，并利用值的特点求出函数的表达式.21.(本小题满分14分)已知函数 ( 为常数，为自然对数的底)(1)当时，求的单调区间;(2)若函数在上无零点，求的最小值;(3)若对随意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围.数学(理)参考答案答案DADCBDBBCA11. 12. 13. 14. 15.16.若命题为真明显或故有或5分若命题为真，就有或命题或为假命题时， 12分17.(1) ，依题意有即的最小正整数值为25分(2) 又即即 8分10分故函数的值域是 12分18.(1)即5分(2) ① 7分又② 9分由①②解得 10分又在中12分19.(1)当时，， 2分当时，4分日盈利额 (万元)与日产量 (万件)的函数关系式为5分(2)当时，日盈利额为0当时，令得或 (舍去)当时，在上单增最大值 9分当时，在上单增，在上单减最大值 10分综上：当时，日产量为万件日盈利额最大当时，日产量为3万件时日盈利额最大20.(1) 时4分(2)由得到5分又时即将代入上式得又8分又时对均成立为函数为对称轴 10分又12分13分21.(1) 时，由得得故的减区间为增区间为 3分(2)因为在上恒成立不行能故要使在上无零点，只要对随意的，恒成立即时， 5分令则再令于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为 8分(3)当时，，为增函数当时，，为减函数函数在上的值域为 9分当时，不合题意当时，故① 10分此时，当改变时，，的改变状况如下0+↘最小值↗时，，随意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满意下列条件即②即③ 11分令令得当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立 13分由③解得④由①④ 当时对随意，在上存在两个不同的使成立2019届高三数学上期第三次月考试题就共享到这里了，更多相关信息请接着关注高考数学试题栏目！。
上海市浦东新区2016届高三5月综合练习(三模)数学(理)试题(图片版)
浦东新区2016年高三综合练习数学卷答案及评分参考细则（理合）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.1y =2. 13.___.65.___()1,212k k x k Z ππ=+-∈ 6._______10,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭7.179 8. ＿1415＿ 9.θρcos 2a = 10.26. 11．_1{0}[,)2+∞U12.14解答过程：当02x ≤<时，22(1)1,(0)x y y -+=≥上半圆当2x ≥时，函数()(2)f x f x =-表示函数的周期为2，函数的图像如下()0(2)n g x f x k x =⇒-=，由于()g x 的零点个数为21n +则直线n y k x =与第1n +个圆相切，圆心(21,0)n +到直线n y k x =的距离为121111114(1)41n k n n n n ⎛⎫=⇒=⋅=⋅- ⎪++⎝⎭ 有22221234(1)n n k k k k n ++++=+13. [){}12,11a ∈-+∞-14.1(2)21n n --⋅+二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15. A16．C17.B18. B解答：（1）132n n a -=⋅，显然{}123618n a a a ⋅=⨯=∉，命题（1）错误（2）121222n n n a --=⋅=，()22224*22222,2m n m n m n m n m n a a a m n N +----+-+-⋅=⋅===+-∈ 命题（2）正确（3）若12,2n n n n a b -==都为“封闭等比数列”，则132n n n a b -+=⋅不是“封闭等比数列”，命题（3）错误（4）若2n n a =为“封闭等比数列”，则24n n a =为“封闭等比数列”，命题（4）错误三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19.（本题满分12分）如图，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1==AB PA ，2=AD ，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.（1）求三棱锥PAD E -的体积；（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE AF ⊥.（1）∵⊥PA 平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形. ∴121Δ=⋅=AB AD S EAD ，……………………（3分） ∴3131=⋅==--PA S V V EAD EAD P PAD E ……………………（6分） （2）∵⊥PA 平面ABCD ，∴AB PA ⊥，又∵1==AB PA ，且点F 是PB 的中点，∴PB AF ⊥……………………（8分）又BC PA ⊥，AB BC ⊥，A AB PA = ，∴⊥BC 平面PAB ，又⊂AF 平面PAB ，∴AF BC ⊥……………………（10分） 由⎪⎩⎪⎨⎧⇒=⊥⊥B BC PB BC AF PB AF ⊥AF 平面PBC ，又∵⊂PE 平面PBC∴无论点E 在边BC 的何处，都有PE AF ⊥成立.……………………（12分）注：(建立空间直角坐标系做，参照上面答案相应给分)20、（本题满分14分）如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为游客体验活动区。
上海市五校2016届高三3月联考数学试卷 Word版含答案
上海市高三五校联考数学试卷2016.03一．填空题1.已知集合A={}02<-x x x ，B=（0，a ）（a>0），若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 2.已知幂函数()x f =αx k ⋅的图象经过点（8,4），则k-a 的值为3.已知双曲线1222=-my x （m>0）的一条渐近线方程为03=+y x ，则m=4.甲箱子里有3个白球，2个黑球，乙箱子里有2个白球，3个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率为5.()6211⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x 的展开式中常数项为6.已知向量a =（2，θsin ），b =（1，θcos ），若b a//，则θtan =7.在极坐标中，已知点A 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛4-22π，，圆E 的极坐标方程为θρsin 4=，则圆E的圆心与点A 的距离为d=8.已知等差数列921,,,a a a 的公差为3，随机变量ξ等可能地取值921,,,a a a ，则方差ξD = 9.将半径为5的圆分割长面积之比为1：2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为321,,r r r ，则321r r r ++=10.已知关于x 的一元二次不等式022>++b x ax 的解集为{}c x x ≠，则ca b a +++722（其中a+c 0≠）的取值范围为11.设椭圆192522=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，过焦点1F 的直线交椭圆于A,B 两点，若2ABF ∆的内切圆的面积为4π设A,B 的两点坐标分别为()()2211,,,y x B y x A ，则21y y -值为12.函数()x f =x 3sin ，满足()11x x f =m ，其中[]*∈=-∈N n n i x i ,,,2,1,2,2 ππ，则n 的最大值为13.设函数()x f =⎩⎨⎧≥<-1,21,13x x x x，则满足()[]()a f a f f 2=的a 取值范围是14.如图，记棱长为1的正方体1C ，以1C 各个面的中心为顶点的正八面体为2C ，以2C 各面的中心为顶点的正方体为3C ，以3C 各个面的中心为顶点的正八面体为4C ，……，以此类推得一系列的多面体n C ，设n C 的棱长为n a ，则数列{}n a 的各项和为二．选择题15.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A.xe x y += B.x x y 1+= C.x xy 212+= D.21x y += 16.已知A 为ABC ∆的一个内角，且32cos sin =+A A ，则ABC ∆的形状是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定 17.已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P,Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ,OP （如图），则阴影部分面积1S ,2S 的大小关系是（ ）A. 1S =2SB.1S ≤2SC.1S ≥2SD.先1S <2S ,再1S =2S ，最后1S >2S 18.设函数()x f =)sin()sin()sin(2211n n a x a a x a a x a ++++++ ，其中j i a a ,（i=1,2，…，n ，*∈N n ，n 2≥）为已知实常数，x R ∈，下列关于函数()x f 的性质判断正确的个数是（ ）①若()0f =⎪⎭⎫⎝⎛2πf =0，则()x f =0对任意实数x 恒成立；②若()0f =0，则函数()x f 为奇函数；③若⎪⎭⎫⎝⎛2πf =0，则函数()x f 为偶函数；④当()02022≠⎪⎭⎫⎝⎛+πf f 时，若()1x f =()2x f =0，则()Z k k x x ∈=-π21；A. 4B. 3C. 2D. 1三．解答题19. （本小题满分12分）如图所示，棱长为a 的正方体，N 是棱11D A 的中点；（I ）求直线AN 与平面D D BB 11所成角的大小； （Ⅱ）求1B 到平面ANC 的距离。
上海市十三校2016届高三第二次(3月)联考数学文试题 含解析
2016年上海市十三校联考高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题,每小题5分，满分70分）1．若行列式，则x= ．2．二次项(2x﹣）6展开式中的常数项为．3．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．4．若集合A=｛x｜｜x﹣3|＜2｝,集合B=｛x｜},则A∩B=．5．△ABC中，，BC=3，,则∠C=．6．从3名男同学,2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为棱AA1的中点，则异面直线B1D1与DE所成角的大小是(结果用反三角函数值表示）8．若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是．9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k= ．10．设函数f（x）=(）x的图象与直线y=5﹣x交点的横坐标为x1、x2，函数g(x）=log x的图象与直线y=5﹣x交点的横坐标为x3，x4则x1+x2+x3+x4的值为．11．对于数列{a n｝满足：a1=1,a n+1﹣a n∈｛a1，a2，…a n｝（n∈N+），记满足条件的所有数列{a n}中，a10的最大值为a，最小值为b，则a﹣b= ．12．定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞,0）上单调递减，且f（2）=0,则不等式xf（x﹣1）≥0的解集为．13．已知正三角形A1A2A3，A4、A5、A6分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤6，1≤j≤6,且i≠j时，数量积•的不同数量积的个数为．14．设函数f（x）的定义域为D,记f(X)=｛y｜y=f(x)，x∈X⊆D｝，f﹣1（Y）=｛x|f（x)∈Y，x∈D}，若f(x）=2sin（ωx+）(ω＞0），D=[0,π］，且f（f﹣1（［0，2]）=[0，2]，则ω的取值范围是．二、选择题(共4小题，每小题3分，满分12分）15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（)A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2不平行16．将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( ）A．B．C．D．17．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002,…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( ）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，918．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是( ）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．直线三、解答题（共5小题，满分0分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）20．复数z1=2sin，z2=1+（2cosθ)i，i为虚数单位，θ∈[]；（1）若z1•z2是实数，求cos2θ的值；（2）若复数z1、z2对应的向量分别是、，存在θ使等式（）•(）=0成立，求实数λ的取值范围．21．已知｛a n}是等差数列,a1=3，a4=12，数列｛b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n｝是等比数列．（1）求数列｛a n}和{b n｝的通项公式;(2）设c n=b n cosnπ，求数列{c n｝的前n项和S n，并判断是否存在正整数m,使得S m=2016?若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．22．已知抛物线ρ：x2=4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点,若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P 的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b=0(a，b∈R）的两个实根，记r(a，b)=．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程(2）己知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y 轴的交于点H，点Q（a,b）为线段GH上的点．求证：r（a，b)=2（3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b)=(其中x c为点C的横坐际）．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2)=1．（1）当x∈（，2）时，求μ（x+log2x）的取值的集合；(2)如函数f(x）=有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=μ(xμ（x)）,g(x）在区间（0，n］（n∈N+)上的值域为M a，集合M a中的元素个数为a n,求证：．2016年上海市十三校联考高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题,每小题5分，满分70分) 1．若行列式,则x= 2 ．【考点】二阶矩阵．【专题】计算题．【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1∴x=2故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算,同时考查了指数方程，属于基础题．2．二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为﹣20 ．【考点】二项式系数的性质．【专题】对应思想；定义法;二项式定理．【分析】根据二次项展开式的通项公式,写出含x项的指数，令指数为0求出r的值，再计算二项展开式中的常数项．【解答】解：二次项（2x﹣）6展开式中的通项公式为：T r+1=•（2x）6﹣r•=•26﹣r••x6﹣2r，由6﹣2r=0得：r=3；∴二项展开式中的常数项为:•23•=﹣20．故答案为：﹣20．【点评】本题考查了二项式系数的性质问题，利用二项展开式的通项公式求出r的值是解题的关键，是基础题．3．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2,且经过,则椭圆的标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆的焦点位置,求出半焦距，经过的椭圆的长半轴等于，可求短半轴，从而写出椭圆的标准方程．【解答】解：由题意知，椭圆的焦点在x轴上，c=1，a=，∴b2=4，故椭圆的方程为为故答案为：．【点评】本题考查椭圆的性质及标准方程的求法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想，属于基础题．用待定系数法求椭圆的标准方程是一种常用的方法．4．若集合A=｛x|｜x﹣3｜＜2}，集合B={x｜｝，则A∩B=［4，5) ．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想;定义法；集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣2＜x﹣3＜2,解得：1＜x＜5，即A=（1，5），由B中不等式变形得:x（x﹣4）≥0,且x≠0,解得：x＜0或x≥4，即B=（﹣∞，0）∪［4，+∞），则A∩B=［4，5），故答案为:[4，5）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．△ABC中,，BC=3,，则∠C=．【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】由A的度数，求出sinA的值,设a=BC，c=AB，由sinA，BC及AB的值，利用正弦定理求出sinC的值，由c小于a，根据大边对大角得到C小于A的度数，得到C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数．【解答】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C=．故答案为:【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．6．从3名男同学,2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想;综合法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数，由选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，利用对立事件概率计算公式能求出选到的2名同学至少有一名女同学的概率．【解答】解:从3名男同学,2名女同学中任意2人参加体能测试，基本事件总数n=，选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，∴选到的2名同学至少有一名女同学的概率:p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题,解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为棱AA1的中点,则异面直线B1D1与DE所成角的大小是arccos （结果用反三角函数值表示）【考点】异面直线及其所成的角；反三角函数的运用．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴,AA1为z轴,建立空是直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1D1与DE所成角的大小．【解答】解:以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴,建立空是直角坐标系,设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则B1（2，0，2），D1（0，2,2）,D（0，2,0），E（0，0,1)，=（﹣2，2，0)，=（0，﹣2,1），设异面直线B1D1与DE所成角为θ，cosθ===，∴θ=arccos．∴异面直线B1D1与DE所成角的大小是arccos．故答案为：arccos．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题,注意向量法的合理运用．8．若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立,则实数k的取值范围是［﹣1，1] ．【考点】基本不等式．【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式．【分析】化简a2+b2﹣2kab=(a﹣kb)2+b2﹣k2b2，从而可得b2﹣k2b2≥0恒成立，从而解得．【解答】解：∵a2+b2﹣2kab=（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，∴对任意k，b，都存在a=kb；∴不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立可化为: b2﹣k2b2≥0恒成立，即1﹣k2≥0成立，故k∈[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了学生的化简运算能力及恒成立问题的应用．9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k= ﹣2 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识,通过平移即先确定z的最优解,然后确定k的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得,即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y=k上，∴k=﹣2,故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．设函数f（x）=()x的图象与直线y=5﹣x交点的横坐标为x1、x2,函数g（x）=log x的图象与直线y=5﹣x交点的横坐标为x3,x4则x1+x2+x3+x4的值为10 ．【考点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用．【分析】x1、x2是（）x=5﹣x的两个根，得到x1=5﹣,x2=5﹣，再根据f（x）与g(x）互为反函数得到x3=y2=，x4=y1=，问题得以解决．【解答】解：函数f(x）=（）x的图象与直线y=5﹣x 交点的横为x1、x2，∴x1、x2是（)x=5﹣x的两个根，∴x1=5﹣，x2=5﹣，∵f（x)=（)x的图象与g（x）=log x关于y=x对称，∴x3=y2=,x4=y1=，∴x1+x2+x3+x4═5﹣+5﹣++=10．故答案为：10．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的性质，以及方程的根的问题，关键是f（x）与g（x）互为反函数，属于中档题11．对于数列{a n}满足:a1=1，a n+1﹣a n∈｛a1，a2,…a n}（n∈N+)，记满足条件的所有数列｛a n}中,a10的最大值为a，最小值为b,则a﹣b= 502 ．【考点】数列递推式．【专题】计算题；阅读型;分类讨论；归纳法；等差数列与等比数列．【分析】由a1=1知，数列{a n｝都是正数，故数列｛a n}是递增数列，从而可得a10的最小值b=1×10=10，a10的最大值a=29=512，从而解得．【解答】解：∵a1=1,∴a2﹣a1∈{a1},∴a2﹣a1=1，故a2=2，a3﹣a2∈{a1，a2｝，∴a3﹣a2=1，a3﹣a2=2，∴a3=3或a3=4；同理可得,a10的最小值b=1×10=10，a10的最大值a=29=512，故a﹣b=512﹣10=502，故答案为：502．【点评】本题考查了学生对新定义的接受能力及应用能力，同时考查了等比数列与等差数列的应用．12．定义在R上的奇函数f(x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2)=0,则不等式xf（x﹣1）≥0的解集为［﹣1，0］∪［1，3］．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题;分类讨论；数形结合法;函数的性质及应用．【分析】根据奇函数的性质求出f（﹣2）=0,由条件画出函数图象示意图,结合图象并对x分类列出不等式组，分别利用函数的单调性求解即可求出不等式的解集．【解答】解：∵f（x）为奇函数，且f（2）=0，在(﹣∞，0）是减函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，f（x）在（0，+∞）内是减函数,函数图象示意图：其中f(0）=0，∵xf（x﹣1)≥0，∴或，解得﹣1≤x≤0或1≤x≤3，∴不等式的解集是[﹣1，0]∪［1，3]，故答案为：［﹣1，0]∪［1，3]．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，正确画出函数的示意图是解题的关键,考查分类讨论思想和数形结合思想．13．已知正三角形A1A2A3，A4、A5、A6分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤6，1≤j≤6，且i≠j时，数量积•的不同数量积的个数为9 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；分析法；平面向量及应用．【分析】以A1A2所在直线为x轴，中点A4为坐标原点，建立直角坐标系，可设A1（﹣1，0），A2（1,0），A3(0,),A4（0，0）,A5(﹣，），A6(，），运用向量的坐标运算和数量积的坐标表示，计算即可得到所求个数．【解答】解：以A1A2所在直线为x轴，中点A4为坐标原点,建立直角坐标系，可设A1（﹣1，0），A2（1，0），A3(0，）,A4（0，0），A5（﹣，），A6(，），可得=（2，0),若i=1，则•=2（+1），可得4，2，2，1,3;若i=2，则•=2(﹣1），可得﹣4，﹣2，﹣2，﹣3，﹣1；若i=3，则•=2()，可得﹣2，2，0，﹣1，1；若i=4,则•=2（）,可得﹣2，2，0，﹣1,1；若i=5，则•=2(+），可得﹣1,3，1，1，2；若i=6，则•=2（﹣)，可得﹣3，1，﹣1，﹣1，﹣2．综上可得取值有±1，±2，±3,±4，0共9个．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力,属于中档题．14．设函数f（x）的定义域为D,记f（X）=｛y｜y=f （x)，x∈X⊆D｝，f﹣1(Y）=｛x｜f(x)∈Y，x∈D｝,若f(x)=2sin（ωx+）（ω＞0）,D=[0,π］,且f(f﹣1（[0,2]）=［0，2］，则ω的取值范围是[,+∞）．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得≤ωx+≤ωπ+，2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+,由此求得ω的范围．【解答】解：由题意得，D=［0，π],f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0)的定义域为D，∵f﹣1（［0，2］）={x|f（x）∈［0，2］,x∈R},故2sin （ωx+）∈[0，2]．∵ω＞0，x∈[0，π］，∴≤ωx+≤ωπ+，∴由2sin（ωx+）∈[0，2］，可得ωπ+≥2π+，∴ω≥,故答案为:［，+∞)．【点评】本题考查了对应关系的应用，以及函数的定义域与值域的关系的应用,属于中档题．二、选择题（共4小题,每小题3分，满分12分）15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是( ）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2不平行【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A，B，C为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．【解答】解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行,二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选:D．【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．16．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面,在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果．【解答】解:被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图,只有D符合．故选D．【点评】本题考查空间图形的三视图，考查侧视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单,可能出现的错误是对角线的方向可能出错．17．将参加夏令营的600名学生编号为:001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17,9【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式．【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数,再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人,则496到600中有8人．故选B【点评】本题主要考查系统抽样方法．18．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（) A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．直线【考点】轨迹方程．【专题】压轴题;运动思想．【分析】根据题意“点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离”,将平面内到定圆C的距离转化为到圆上动点的距离,再分点A现圆C的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．【解答】解:排除法：设动点为Q,1．当点A在圆内不与圆心C重合,连接CQ并延长，交于圆上一点B,由题意知QB=QA,又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R=QA，得QC﹣QA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支; 3．当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆,即Q的轨迹为一圆；则本题选D．故选D．【点评】本题主要考查了轨迹方程，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题(共5小题，满分0分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图,若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0。
15-16年高三第3次月考试卷.docx
2016届高三第三次月考数学试题卷(理科)时量：120分钟总分：150分一、选择题：（60分）1.若集合A=﹛X︱X∈N︱X≤5﹜,B=｛X∈R︱-2X-3＜0｝则A=( )A.｛1,2｝B. ｛0,1,2｝C. ｛X︱0≤X＜3｝D. ｛X︱-1＜X＜3｝2.已知点A(1,3),B(4,-1),则与同方向的单位向量为（）A. B. C. D.3. 在△ABC中，A＞B是SinA＞SinB 的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.设(x)=sinx,(x)=(x),(x)=(x),……,(x)=(x),n∈N,则=( )A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx5. 若a＞0,b＞0,函数F(x)=4-a-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A.2B.3C.6D.96.在△ABC中，sin(A+B)·sin(A-B)=,则此三角形的形状是（）A.等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形7.已知角，的终边与单位圆分别交于A(sin),B(cos,),则由劣弧所围成的扇形AOB的面积为（）A． B. C . D8.将函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的解析式是（）A.Y=2B. Y=2C. Y=1+sin(2x+D. Y=cos2x9. 已知函数f(x)=是奇函数，则sina等于（）A.-1B.-C.D.10. 已知平面向量,满足=1，且与-的夹角为，则的取值范围是（）A., B ., C ., D.,11.已知函数f(x)=sin(x-)（0），且(x)dx=0则函数f(x)的单调递增区间为（）A.【2k, 2k】(kB. 【2k, 2k】(kC.【2k, 2k】(kD. 【2k, 2k】(k12.已知点G是△ABC的重心，且AG⊥BG，若λ= ,则实数λ的值为（）A. B. C.3 D.2二、填空题（20分）13. 已知=(cosθ,sinθ),=(2,3)若‖，则tanθ=14. 已知函数f(x)=asin2x+cos(2x+)的最大值为1，则实数a=15.在△ABC中,已知a=1,b=,A=,则第三边长c=16.已知△ABC是边长为1的正三角形，D,E 分别为BC,CA边上的点，且 = ,= ,则· =三、解答题（第17题10分，其余各题12分，共70分）17. 已知函数f(x)=lg(sin2x)的定义域为A，函数g(x)=的定义域为B（1）求集合A,B ；(2)求A B 。
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8．设正三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且该正三棱柱的底面边长为 3 ，侧棱长为 2， 则该
球的表面积为_________.
9.
已知
f (x) ln(x
4 x
a)
，若对任意的
m
R
，均存在
x0
0 使得
f (x0 ) m ，则实数 a 的
取值范围是
．
10.直线 y=k(x 1)(k 0) 与抛物线 y2 =4x 相交于 A, B 两点，且 A, B 两点在抛物线的准线
如图，在直三棱柱
ABC
A1B1C1
中，
BAC
2
，
AB
AC
2
，
A1
B1
AA1 6 ，点 E、F 分别在棱 AA1、CC1 上，且 AE C1F 2 ．
C1
（1）求四棱锥 B AEFC 的体积；
F
（2）求 BEF 所在半平面与 ABC 所在半平面所成二面角 的余弦值．
E
20.（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第（1）小题满分 6 分，
作答一律不得分. 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每 个空格填对 4 分，否则一律得零分．
1. 已知集合 A x y lg x , B x x2 2x 3 0 ，则 A B _______________.
2.复数 (1 i)(1 ai) 是实数，则实数 a =_______________.
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上海市 2016 届高三数学 3 月月考试题 理
考生注意： 1.本试卷共 4 页，23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上
C．{(, ) | 2 4 4}
D．{(, ) | 2 2 4}
18. 已知正方体 ABCD A' B 'C ' D ' ，记过点 A 与三条直线 AB, AD, AA' 所成角都相等的直线条数 为 m , 过点 A 与三个平．面．AB ', AC, AD ' 所成角都相等的直 线的条数为 n ，则下面结论正确的是
在 CEB 中， BC CE BE 2 2 ，所以 CEB 60 ， ………………10 分
所以异面直线 BE 与 A1F 所成的角为 60 ． …………………………………12 分
6
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EF (2, 0, 2) , EB (0, 2, 2)
……………………7 分
设平面
BEF
的法向量为
n
(x,
y,
z)
，则
n n
EF EF
2x 2y
2z 2z
0 0
取z
1得x
1,
y
1
，
所以 n (1,1,1)
……………………………9 分
平面
ABC
的法向量为
n1
(0,
0,1)
，则
cos
nn
1． (0,3)
2．-1
3． 5
6. 18
1
7.
2
8． 8
11．（理） 2 3
（文） 6
12. （理）1.89
4． 9 2
9. [4,)
5．
3
2
10．
2
3
（文） 3 4 3 13．②
14．（理）1 2 （文） (x 1)2 ( y 1)2 1
二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，满分 20 分）
y ar[m2 tan tan( 3 )], ( , ) ………6 分
4
42
（2）由（1）得
y
ar[m2 tan
tan( 3 4
)] ar[m2tan
1 tan 1 tan
]
ar[m2 (tan
1)
2 tan
1
m2 1]
…………9
分
(
,
), tan
1
0
42
B． n 2016
C． n 2015
D． n 2017
框图计
16．在锐角 ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，若
sin2 C cos2 C 1 ，则下列各式正确的是 2
A． a b 2c
B． a b 2c
()
C． a b 2c
D． a b 2c
17．已知集合 M {(x, y) | x 2 y 2 1} ，若实数 , 满足：
对任意
的 (x, y) M ，都有 ( x, y) M ，则称 (, ) 是集合 M 的“和谐实数对”.则以 下集合中，存
在“和谐实数对”的是
A．{(, ) | 4}
()
B．{(, ) | 2 2 4}
2
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3
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已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的 右顶点、上顶点分别为
A、B，坐标原点到直线
AB
4
的距离为
3 ，且 a
2b .
3
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 交椭圆于 M、N 两点，
A
B
第（2）小题满分 8 分.
C
如图，某城市设立以城中心 O 为圆心、r 公里为半径圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心 O
正东方向上一条高速公路 PB、西南方向上有一条一级公路 QC，现要在保护区边缘 PQ 弧上选择一点
A 作为出口，建一条连接两条公路且与圆 O 相切直 道 BC．已知通往一级公路道路 AC 每公里造价为 a
20．（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第小题满分 6 分，第小题满分 8 分.
解：（1）BC 与圆 O 相切于 A，OA BC,在 ABC 中， AB r tan ……2 分
同理，可得 AC r tan( 3 ) ………4 分 4
y m2aAB aAC m2ar tan ar tan( 3 ) 4
函数”.
（1） 已知二次函数 f (x) a x2 2x 4a (a R) ，试判断 f (x) 是否为“局部奇函数”？
并说明理由；
（2）若 f (x) 2x m 是定义在区间 [1,1] 上的“局部奇函数”，求实数 m 的取值范围； （3）若 f (x) 4x m 2x1 m 2 3 是定义 在 R 的“局部奇函数”，求实数 m 的取值范围.
q
；
(2) 在(1)的条件下，判断| Tn |与| Tn1 |的大小；并求 n 为何值时， Tn 取得最大值；
(3) 在(1)的条件下，证明：若数列{an} 中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其
4
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.
3
6. 设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S7 =42 ,则 a2 a3 a7 =
.
7.圆 C：( x 2)2 y2 4 , 直线 l1 : y 3 x ，l2 : y kx 1 ，若 l1,l2 被圆 C 所截得的弦的长度之比 为1: 2 ，则 k 的值为_________.
m2 (tan
1)
2 tan
1
2
2 m ………12 分
当且仅当 tan 2 1 时取等号，又 m 6 2 ，所以 tan 3,
m
2
3
即 A 点在 O 东偏南 的方向上，总造价最低。……14 分
结束后尚余子弹数目 的数学期望 E =
．
13.
已知 ABC
，若存在 A1B1C1
，满足
cos A sin A1
cos B sin B1
cos C sin C1
1 ,则称 A1B1C1 是 ABC
的一个
“友好”三角形.
在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是_______：（请写出符合要求的条件的序
万元，通往高速公路的道路 AB 每公里造价
为
m2a 万 元 ， 其 中 a,r,m 为 常 数 ， 设
POA ，总造价为 y 万元．
（1）把 y 表示成 的函数 y f ( ) ，
并求
出定义域；
（2）当 m
6
2
时，如何确定 A 点的位置才能使 得总造价最低？
2
21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第(1)小题 6 分，第(2)小题 8 分.
成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从 小到大的顺序依次记为 d1, d2 ,, dn ，则数列{dn} 为
等比数列.
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2015 学年第二学期考试参考答案和评分标准
一、填空题（本大题共 14 题,每题 4 分,满分 56 m 4,n 1
C. m 3,n 4