角平分线的几种辅助线作法与三种模型精编版

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一、角平分线的三种“模型”

模型一：角平分线+平行线→等腰三角形

如图1，过∠AOB 平分线OC 上的一点P ，作PE ∥OB ，交OA 于点E ，则EO=EP. A

A A E P C E C D F E P

O B B C O F B 图1 图2 图3

例1 如图2，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形

如图3，过∠AOB 平分线OC 上的一点P ，作EF ⊥OC ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，则OE=OF ，PE=PF.

例2 如图4，BD 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BD ，垂足为D ，求证：∠BAD=∠DAC+∠C.

模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，沿角平分线AD 将△ABD 往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD ≌△AB /D.此翻折

相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题.

D A E

A P /

B

C

D B / B C 图5 图6

例3

如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点.求证：

PB+PC>AB+AC.

二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法

一、已知角平分线，构造三角形

1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。

求证：1

()2

BE AC AB =-

2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．

2

1F

E

D

C

B

A

A

B

D

C

E F

图

2

二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的

垂线段

1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC

于D ，AB ＋BC=2BD 。 求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。

三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边

的垂线段

1、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠2

2、2、 如图2，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，

且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．

求证：AE=ED

3、（四（2））

四、以角的平分线为对称轴构造对称图形

例1 如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠

C=2∠B ．

求证：AB=AC+CD ．

2、例题：如图2，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，

且∠A+∠C=1800，

求证：AD=DC ．

五、利用角的平分线构造等腰三角形

1、 如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分

∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．

求证：CD=2

1

BE ．

N P E

D

C B A

G

21P F E

C B A

A G C H D E F

图2

B B A

C

D

E 图1 A

B

D

E

C

B A

C

D

E 图2