2013年高等数学A1期末考试试卷及答案
2013年高数1(上)考题及答案
D． y C1 (e x x) C 2 (e x x) x 得 分
－2（高等数学Ⅰ）－
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
14、. 求极限 lim (sin x) x
x 0
解： (sin x) x e x ln sin x ，
lim x ln sin x lim
f ( x) 。
x ( x t ) f (t )dt 解： f ( x) e x 0
令y f ( x )
x x f (t )dt xf ( x) xf ( x) e x 0 f (t )dt 则 y' c x 0
y ' ' e x f ( x)
得 分
1 x 1 x2
。
2
3 ． 抛 物 线 y2 4x 及 直 线 x 2 所 围 图 形 绕 x 轴 旋 转 所 得 旋 转 体 的 体 积 为
8
。
cot 2 ydx或 1 dx ( x y) 2
4、设 tan y x y ，则 dy
x f (t ) dy 5、设 ，其中 f可导 ，且 f (0) 0, 则 3t dx y f (e 1)
x0 x 0 在 x = 0 处连续，则（ B ） x0
B a = 0，b = 1； D a = 1，b = 1.
－1（高等数学Ⅰ）－
8、当 x 0 时，下列各式中不成立的是（ （A） sin x 2 ～ x 2 ； （C） e 2 x 1 ～2 x ； 9、曲线 y xe （D ）
（A）没有渐近线 （C）仅有斜渐近线
11、设 f ( x)具有二阶连续导数，且 f (1) 0, lim A． f (1)是f ( x)的极大值
高等数学A1练习题(答案在主页中)
1、设函数在点处连续，则.2、设为可微函数，且，则.3、函数在上的最小值为.4、设是的一个原函数，则.5、积分. 二、单项选择题（每题3分，共15分）： 1、当时，与是等价无穷小.A ：；B ：； C ：； D ：. 2、已知，则. A ：3； B ：； C ：； D ：. 3、若点为曲线的拐点，则.A ：必有存在且等于零；B ：必有存在但不一定等于零；C ：如果存在，必等于零；D ：如果存在，必不等于零.4、已知的一个原函数是，则. A ：； B ：； C ：； D ：5、反常积分. A ：； B ：； C ：0； D ：发散.三、计算题（每小题6分，共12分）：1、.2、. 1sin , 0()3 , 0x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩=0x a =()u ϕ2ln[()]y x ϕ=dy =216()f x x x=+(0,)+∞__________()F x ()f x ()32f x dx -=⎰12-11sin 1x dx x +=+⎰0→x sin 0ln(1)x t dt +⎰()x 12x 22x 212x 0()3f x '=-()000()()lim h f x h f x h h→+--=3-66-00(,())x f x )(x f y =()0''()f x 0''()f x 0''()f x 0''()f x ()f x 2x e-()'()xf x dx =⎰22(21)x x eC --++()()xf x f x dx -⎰222x x e C --+222x x e--()21ln e dx x x +∞=⎰1-10sin lim (1cos )x x x x x →--1012lim 1x x x x →+⎛⎫ ⎪-⎝⎭1、已知函数，求.2、求曲线在点处的切线方程.3、求由参数方程所确定的函数的导数及二阶导数. 五、计算题（每小题6分，共18分）：1、.2、.3、. 六、（8分）采用列表的格式求函数的单调区间和极值.七、（8分）设平面图形由曲线及直线所围成.（1）求该平面图形的 面积；（2）求该平面图形绕轴旋转所成旋转体的体积.八、（6分）证明：当.20x y =⎰dy 2222x y x e y -+=+(1,1)221t t x e y te⎧=+⎨=⎩()y y x =dy dx 22d y dx 3ln x xdx ⎰24ππ-⎰40⎰2()(57)x f x x x e =-+y =12y x =A x V 0x >13x <+。
高等数学A(一)期末试题及答案
济南大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 高等数学A （一） 考试时间 2013 年 12 月 31 日………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………一、填空题（每小题2分，共10分)（1) =-∞→x x x )11(lim e1 ． （2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ．(3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- 。
（4) =-⎰10211dx x 2π . (5） =⎰∞+121dx x1 ． 二、选择题(每小题2分，共10分）（1） =∞→x x x 2sin lim (A ） （A ） 0. (B ） 1。
（C ） 2. （D)21。
（2) 设xx x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的（A) （A ） 可去间断点. （B) 跳跃间断点。
(C) 第二类间断点。
(D ） 连续点.（3） 当0→x 时,下列变量中与x 是等价无穷小的是（B)（A) x 3sin . （B ） 1-x e 。
(C) x cos 。
(D ） x +1.(4） 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的（C)(A ） 充分必要条件. (B ） 必要条件。
（C ） 充分条件. (D ） 以上都不对.(5） 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数,则下列等式正确的是（D ）（A) ⎰=')()(x f dx x f 。
（B ） C x f dx x f dx d +=⎰)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x-='⎰. （D ） )())((0x f dt t f x ='⎰.三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分)(1） 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 62)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x(2） 22)2(sin ln lim x x x -→ππ.解:)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222x x xx x x x --=-→→ππππ 812sin lim 41sin 12cos lim 4122-=---=⋅--=→→x x x x x x πππ (3) 设函数)(x y y =由方程0ln =+-y x y y 所确定，求：dxdy 和22dx y d 。
2013高一上学期数学期末联考试题(有答案)
2013高一上学期数学期末联考试题（有答案）（考试时间：2013年1月25日上午8：30-10：30满分：100分）第Ⅰ卷（选择题，共30分）一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.设集合，，则()A．B．C．D．2．已知，则点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设是定义在R上的奇函数，当时，，则的值是（）A.B.C.１D.34．下列各组函数中表示同一函数的是()A．与B．与C．与D．与5.设是不共线的两个向量，已知，，.若三点共线，则的值为()A．1B．2C．－2D．－16．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（）A.B.C.D.7．在平行四边形中,,则必有()A.B.或C.是矩形D.是正方形8.设函数，则下列结论正确的是（）A．的图像关于直线对称B．的图像关于点(对称C．的图像是由函数的图象向右平移个长度单位得到的D．在上是增函数。
9.函数的图象可能是()10.设函数满足，且当时，.又函数，则函数在上的零点个数为()A.5B.6C.7D.8第Ⅱ卷（非选择题，共70分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.若，则;12.已知幂函数过点，则的值为;13.已知单位向量的夹角为60°，则__________;14.在平面直角坐标系中，以轴为始边作锐角，角的终边与单位圆交于点A,若点A的横坐标为，则;15.用表示a，b两数中的最小值。
若函数的图像关于直线x=对称，则t 的值为.三、解答题：(本大题共6小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程和解题过程.)16．（本小题满分9分）设集合，（I）若,试判定集合A与B的关系;（II）若,求实数a的取值集合.17．（本小题满分9分）已知，，函数；（I）求的最小正周期；（II）求在区间上的最大值和最小值。
19．（本小题满分9分）某服装厂某年1月份、2月份、3月份分别生产某名牌衣服1万件、万件、万件，为了估测当年每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模型模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可选用函数（其中为常数）或二次函数。
华农-2013-2014(1)大学数学1试卷(A卷)参考答案
第 1 页 共 3 页华南农业大学期末考试试卷（A 卷）参考答案2013-2014学年第 1 学期 考试科目： 大学数学Ⅰ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1. C2. B3. D4. C5. A二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1. 2e -2. 33. 12-4. -15. 640220002-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭6. 3, 124,,ααα (注: 答案不唯一)三、 计算题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共35分）1. 解 00111lim lim 1(1)x x x x x e x x e x e →→--⎛⎫-= ⎪--⎝⎭(2分) 01lim x x e xx x→--=⋅ (3分) 01lim 2x x e x→-= (5分) 01lim 22x x e →==. (7分) 2. 解 2arctan 1xy x x'=++, (3分) 22222211221(1)(1)x x x y x x x +-⋅''=+=+++. (7分)3. 解22x xx e dx x de --=-⎰⎰22x x x e xe dx -=-+⎰ (2分) 22x x x e xde -=--⎰第 2 页 共 3 页()22x x x x e xe e dx --=---⎰ (5分) 22()x x x x e xe e C --=--++2(22)x x x e C -=-+++. (7分)4. 解2122111()ln f x dx x dx xdx --=+⎰⎰⎰ (2分)[] 123111ln 3x x x x -⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦12ln 23=-. (7分)5. 解12(2)sin y zy x y x x-∂=+-∂, （3分） 由ln(2)(2)cos cos y y x y z x y x e x +=++=+, 得[]ln(2)ln(2)(2)ln(2).2y x y y y z y e y x y x y x y y x y +⎛⎫∂'=⋅+=+++ ⎪∂+⎝⎭ （7分） 四、解答题（本大题共 4 小题，每小题 8 分，共32分） 1. 解 依题意，220,0x x y y =='''=<，即40, 20a b a -=<. (1) (2分)又曲线bx ax y -=2与x 轴的交点坐标为()(0,0),,0(4,0)b a=， (4分)所以曲线与x 轴所围图形的面积为42064()883ax bx dx a b -=-=⎰ (2) (6分) 联立(1)、(2), 解得3, 3.4a b =-=-. (8分)2．解 积分区域为2{(,)|01,}D x y y y x y =≤≤≤≤ (2分)210cos cos y y Dyy dxdy dy dx y y =⎰⎰⎰⎰ (4分) 1(1)cos y ydy =-⎰ (5分)11cos cos ydy y ydy =-⎰⎰1cos1.=- (8分)第 3 页 共 3 页3. 解（1）TAB =120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ (2分)=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. (4分)（2） 因为1203402121A ==--， (6分)所以， 34464(2)128A A ==⨯-=-. (8分) 4. 解 方程组的增广矩阵2131210211021113201112130141r r r r A λλ+---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−−→- ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭,32102101110050r r λ+-⎛⎫ ⎪−−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭. (3分)(1) 当5λ≠时, ()()3R A R A n ===, 方程组有唯一解； (4分) (2) 当5λ=时，()()23R A R A n ==<=，方程组有无穷多解， (5分)此时得同解方程组1323121x x x x =--⎧⎨=+⎩（3x 为自由未知量）， 取3x k =，得通解为1231211,.01x x k k R x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(8分)。
2013-2014高等数学A(1)_A卷答案
π
六 (7 分) 求由曲线 y = arcsin x (0 ≤ x ≤ 1) ， y = 绕 y 轴旋转的旋转体体积. 解： Vy = π
∫
π 2
0
sin ydy = π ∫
2
π 2
0
2 1 − cos 2 y 1 ⎡1 ⎤2 π . dy = π ⎢ y − sin 2 y ⎥ = 2 4 ⎣2 ⎦0 4
−1 0
−1
−1
0
t 0 dt = [t − 2 ln(2 + t ) ]−1 = 1 − 2 ln 2 . 2+t
三、计算下列各题. (每小题 6 分，满分 24 分) 1.
∫ x( x
1
2
+ 1)
dx . (拆项) 解： ∫
1 1 x dx = ∫ ( − 2 )dx = ln | x | − ln( x 2 + 1) + C . x( x + 1) x x +1 2
x − 1 ln x = 0 ； f (1) = 0 ；
因 f (1 ) = f (1 ) = f (1) ，故 f ( x) 在 x = 1 处连续. (2) f −′(1) = lim −
x →1
−
+
−1 − ln x f ( x) − f (1) 1 − x ln x x = lim = = = 0； lim lim 1 x →1− x →1− x −1 x −1 1 − x x →1− − 2 1 −x
∫
四 (7 分) 试分析函数 f ( x ) = | x − 1| ln x ， ( x > 0) 在 x = 1 处的连续性和可导性(说明理由). 解：(1) f (1 ) = lim f ( x) = 1 − x ln x = 0 ； f (1 ) = lim f ( x) = − +
2013-14-1高等数学试题参考答案及评分标准(A卷)
2013-14-1高等数学期末考试（试卷A ）参考答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、ln(dy x dx = 2、(0)f e = 3、(0,14]4、212x x C -+ 5、212()x y C C x e -=+ 二、选择题 (本大题共5小题，每小题4分，共20分)1、B2、C3、A4、D5、A三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题7分，总计21分)1、解：原式=22111arctan arctan arctan 11xdx xdx xdx x x ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰…………………2分 arctan arctan arctan arctan x x xd x xd x =--⎰⎰………………………………4分()()22211arctan arctan arctan ln arctan 122x x x dx x x x x C x =--=-++⎰…7分 2、解：令2sin x t =，则2cos dx tdt =，原式02sin 2cos 2cos t t tdt π=⋅⋅⎰………………3分2300888cos cos cos 33td t t ππ=-=-=⎰………每步2分 3、解：作图（略）。
所求22a a a V dx x π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰………………………………………………4分 2212aa a a x ππ=-=……………………………………………7分 四、解答下列各题(本大题共3小题，每小题7分，总计21分)1、解：原式=2420ln(1)lim cos sin x x x x x→++………………………………………………………3分 2420lim cos 1x x x x x→+==…………………………………………………………7分 2、解：由题意，0t =时，0,1x y ==；且有(1)t dx e t dt=+， 同时第二个方程两端同时对t 求导，有t tyt tydy ye ye dt e te +=-+………………………………4分 故0012(1)t ty t ty t t t dy ye ye dx e te e t ==+=-⋅=-++……………………………………………………7分 3、解：1()P x =，()x Q x =，于是所求通解为：()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰=⋅+⎰……………………………………………………3分 dx dx e x e dx C -⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰=⋅+⎰1x Ce x -+-=……………………………………………每步2分 五、证明下列各题(本大题共3小题，每小题6分，总计18分)1、证：因00()()()a a a a f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰， 而000()()()x t a a a f x dx f t dt f x dx =--=--=-⎰⎰⎰，故命题得证。
高数A(1)期末考试题参考答案(2013.1.)
高数A(1)(A 卷)期末考试题参考答案一. 填空题(每小题3分，共33分)(1) 1,;e (2) 0,1; (3) 0;22111();28x x o x =+-+ (5)1;4 (6) 1;y x e =+ (7) ;x e C --+ (8) ;2π(9) 1(ln 21);2+ (10) 1;e e- (11) ().x y x C e =+ 二. 计算题(每小题8分，共48分)1. 解. 3311001tan tan sin lim lim 11sin 1sin x x x x x x x x x →→+-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ (2分) ()3()1()tan sin lim 1(),()1sin x x x x x xx x x ϕϕϕϕ→-⎡⎤=+=⎢⎥+⎣⎦(4分)因为 ()1()lim 1(),x x x e ϕϕ→+= ( 5分)3300()tan sin 1limlim,(1sin )2x x x x x x x x ϕ→→-==+ ( 7分)所以原式.= ( 8分) 解法二. 原式＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++→x x x x sin 1tan 1ln 1lim exp 30(1分) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+=→3)sin 1ln()tan 1ln(lim exp x x x x ( 3分) ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=→2203sin 1cos tan 1sec lim exp x x x x x x (4分)⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++-+=→)sin 1)(tan 1(3cos )tan 1(sec )sin 1(lim exp 220x x x x x x x x (5分) e = ( 8分) 解法三. 解. 原式⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→x x x x sin 1tan 1ln 1limexp 3(1分) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-⋅=→x x x x x sin 1sin tan 1lim exp 3( 5分) e = ( 8分)2. 解：3222243sin 2cos 4sin cos cos 2sin ,2cos 4cos 2cos x x x x x xx x x '++⎛⎫== ⎪⎝⎭(3分) 21111ln tan sec 2242224tan 24x x x πππ'⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭( 6分)12cos x=( 7分) 31.cos dy dx x= ( 8分) 3. 解. 方程两边同时对x 求导，得222[sec ()](1)[sec ()](1)x y y x y y ''--⋅-=-⋅- ( 4分)2sin ()y x y '=- ( 5分)2sin()cos()(1)y x y x y y '''=---( 7分)32sin()cos ().x y x y =-- ( 8分)4．解法一.12dx =-⎰( 2分)212⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰ ( 6分)3arcsin(21).2x C =--+ ( 8分)解法二.dx =⎰( 2分)令11sin ,,2222x u u ππ-=-<<( 3分) 则31sin 22dx u du ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰⎰ ( 5分) 31cos 22u u C =-+ ( 6分)3arcsin(21).2x C =--+ ( 8分)5．解. 2(1)0,()t f f t e -'== ( 1分)()112301()()3t f t dt f t d t =⎰⎰ ( 2分) 131301()()33t f t t f t dt '=-⎰ ( 4分)213013t t e dt -=-⎰ ( 5分) ()212016t t d e -=⎰( 6分) 121.6e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭( 8分)6. 解. 齐次方程0y y ''+=的通解为12cos sin .y C x C x =+ ( 3分)211cos cos 222x x =+ ( 4分) 非齐次方程12y y ''+=的特解11.2y *= ( 5分)设非齐次方程1cos 22y y x ''+=的特解为2cos 2sin 2,y A x B x *=+ ( 6分) 代入计算得1,0,6A B =-= 于是得21cos 2.6y x *=- ( 7分) 原方程的通解为1211cos sin cos 2.26y C x C x x =++- ( 8分) 三．解. 抛物线2y x =在点2(,)a a 处的切线方程为22,y ax a =- ( 2分)这条切线与抛物线241y x x =-+-的两个交点的横坐标记为1x 和2x (不 妨设21(),x x > 则1x 和2x 是方程222(2)10x a x a +-+-=的两个根，从而得21212211,2(2),x x a x x a x x ⋅=-+=--= (4分)上述切线与抛物线 241y x x =-+-所围成的平面图形面积 2122(412)x x S x x ax a dx =-+--+⎰( 6分)3224(243)3a a =-+ (8分)122()8[2(1)1](1).S a a a '=-+- ( 9分)令()0S a '=得唯一驻点1,a = (10分)当1a <时，()0;S a '< 当1a >时， ()0,S a '> 所以1a =为极小值点，即最小值点，也就是说，1a =时所围图形面积最小。
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2013～2014学年度第一学期
《高等数学AI 》期末考试参考答案及评分标准
课程代码： 1590116 试卷编号： 1-A
一、单项选择题（2分×10小题=20分）
1、函数21sin 0()00x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0=x 处( A )
A 、连续且可导；
B 、连续且不可导；
C 、为第一类间断点；
D 、为第二类间断点
2、摆线0t =(sin ),(1cos )x a t t y a t =-=-，从0t =到t π=的一段弧的长度为（D ）
A 、⎰π 0 23dt at ；
B 、⎰π 0 cos sin tdt t a ；
C 、⎰π 0 atdt ； D
、 0
π⎰.
3、设5()[()]f x x φ'=，其中)(x ϕ在),(+∞-∞连续、可导，且0)(>'x ϕ，则必有（C ）
A. )(x f 在),(+∞-∞上单调增；
B. )(x f 在),(+∞-∞上单调减；
C. )(x f 在),(+∞-∞上是凹的；
D. )(x f 在),(+∞-∞上是凸的.
4、设函数)(x f y =对任意x 满足[]
1 )()(25'''+=+x x f x x f ，若,0)(0='x f 则以下结果正确的是（ B ）
A 、)()(0x f x f 是的极大值；
B 、)()(0x f x f 是的极小值；
C 、)( ))(,(00x f y x f x =是曲线的拐点；
D 、0x 不是)(x f 的驻点。
5、函数()y f x =在[,]a b 上有界且只有有限个间断点是()y f x =在[,]a b 上可积的（Ａ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要但不充分条件
C 、充要条件
D 、无关条件
6、函数2
01(),1x t f x dt t -=+⎰在区间（ A ）单调增加； A 、[ 1 , ) +∞； B 、[ -1 , ) +∞； C 、 ) , (-∞+∞； D 、(- , 1) ∞.
7、设)(x f 是区间I 内的连续函数，0)(≠x f ，)(1x F ，)(2x F 是)(x f 在区间I 内的两个不同的原函数，则在区间I 内必有（ D ）
A 、)(1x F 12)(C x F =+；
B 、)(1x F 22)(
C x F =⋅；
C 、)(1x F )(23x F C =；
D 、)(1x F 42)(C x F =-.
8、设函数()y f x =在0x x =处的某一邻域内具有四阶连续的导数，且
''''''000()()()0f x f x f x ===，(4)0()0f x >，则函数()y f x =在0x x =处（ B ）
A 、有极大值
B 、有极小值
C 、有拐点
D 、无极值也无拐点
9、 设()F x 在(,)-∞+∞内连续，且'()()F x f x =，则2(arctan )1
f x dx x =+⎰（ B ） A 、(arctan )F x ， B 、(arctan )F x C + C 、2(1)F x +， D 、2(1)F x C ++
10、 平面0x z -=是（ C ）.
A 、与oy 轴垂直的平面；
B 、与xoz 平面平行的平面；
C 、通过oy 轴的平面；
D 、不是前三种平面.
二、填空题（3分×10小题=30分）
1、设()2ln sin y x =，则dy =2sin x
sin d x 2、 若)(x f 为可导的偶函数，且0()7f x '=，则)(0x f -'= -7 .
3、 若sin sin ()x x f x e dx e C =+⎰， 则()f x =x cos .
4、201
cos
lim 1x x x x e →=-0 . 5、20x xe dx +∞-=⎰
21 6、31tan(1)d x dx dx
+=⎰0 . 7、若直线⎩
⎨⎧=-+-=+-+06222032z y x D z y x 与x 轴有交点，则=D -6 . 8、设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=0
,10,2
1)(2x e x ax x f x ，已知)(x f 在0=x 处可导，则常数a = 3 . 9、设函数)4)(3)(2)(1(----=x x x x x y ，则
0=x dx dy = 24 . 10、设)(x f 满足0
()2()x f x x f t dt =+⎰，则()f x =1x -
三、计算题（7分×4小题=28分）
1、求011lim()1x x x e →--
解：原式=)1(1lim 0---→x x x e x x e ………2分 = 2
01lim x x e x x --→ ………3分 =x
e x x 21lim 0-→ ………5分 =2
1； ………7分 2、求曲线x y e =， 直线y e =，和y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积.
解：⎩
⎨⎧==x e y e y 先求交点 得 （1 ，e ） ………2分（只画出图给1分） 1
220
[()]x V e e dx π=-⎰ ………5分 1220[]x e e dx π=-⎰21(1)2e π=+ ………7分 3、已知)(x f 的一个原函数为x x cos e ，求dx x f x )('⎰
解： )(x f ')cos (e x x ==x x cos e -x x sin e ………2分
⎰⎰⎰-=='dx x f x xf x xdf dx x f x )()()()( ………5分
=c x x x x x x x +--cos e )sin e cos e ( ………7分
(没有C 扣一分)
4、已知函数()y y x =由方程1y y xe =+所确定的隐函数，求函数曲线)(x y y =在点(0,1)M 的切线方程.
解 两边对x 求导，得
dx dy xe e dx dy y y += ………2分
所以 y y
xe
e dx dy -=1 ………4分 e dx dy
k y x ====10 ………6分
故 所求切线方程为 01=+-y ex ………7分
四、计算题（8分×2小题=16分）
1、一平面过点(3,2,5)-且与直线43251x z x y z -=⎧⎨--=⎩
垂直， 求该平面的方程。
解：所求直线的方向向量 取5
12401---=k j i
v v v ………3分
k j i ---=34， ………6分
所求平面方程为 0)5()2(3)3(4=-+-++z y x ………8分
2、设23
01(),0(),0x t f t dt x F x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰，其中()f t 是可导函数，且(0)3f =，为了使()F x 在
0x =点处连续，确定k 的值。
解 因为 )(lim 0x F x →=0lim →x 3 0 2 )(x dt t f t x ⎰=0lim →x 223)(x
x f x ………3分 =0lim →x 3)(x f =3
)0(f =1 ………6分 所以 当k =1时，)(x F 在0=x 点处连续. ………8分
五、证明题（本题6分）
设)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3 , 31上可微，且满足)31(9)
(3
2 2f dx x x f =⎰， 证明：存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈
3 , 31
ξ，使得0)(2)(=-'ξξξf f 证明：设2)
()(x x f x F =，由积分中值定理
………2分 ⎰∈===322
22,
3) , (2 ,)
31()
31
()31(9)()(ηηηf f f dx x x f
………3分 )(x F 在],31[η上满足罗尔定理条件，且)31()(F F =η 至少存在点)3 , 31
() , 31
(⊂∈ηξ， 使0)(='ξF
………5分 0)
(2)( 42=-'ξξξξξf f 即 亦即0)(2)(=-'ξξξf f
………6分。