高一数学必修4：第三章章末检测Word版含解析
高中人教A版数学必修4：第三章 章末检测 Word版含解析
∴sinθ·cosθ＝ ，sin2θ＝ .
3
3
π
( ) 12．设动直线 x＝a 与函数 f(x)＝2sin2 ＋x 和 g(x)＝ 3cos2x 的图象分别交于 M，N 两 4 点，则|MN|的最大值为( )
A. 2 B. 3
C．2 D．3
答案：D
π
( ) 解析：f(x)＝1－cos ＋2x ＝1＋sin2x. 2
2
(2)列表：
π
π 7π 5π
x
0
π
12 3 12
6
π
π
2x＋
3
3
π
3π
7π
π
2π
2
2
3
f(x)
3
2
0 －2 0
3
描点连线得图象，如图所示．
π
( ) 20．(12 分)已知向量 a＝(sinθ，－2)与 b＝(1，cosθ)互相垂直，其中 θ∈ 0， . 2 (1)求 sinθ 和 cosθ 的值；
答案：－ 3
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴ 3cos(－θ)－sin(－θ)＝0，∴ 3cosθ＋sinθ＝0，
∴tanθ＝－ 3.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
sinα＋cosα
17．(10 分)已知
＝3，tan(α－β)＝2，求 tan(β－2α)的值．
5
值．
解：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，
∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
∴|a－b|＝ cosα－cosβ2＋sinα－sinβ2
25 ＝ 2－2cosα－β＝ ，
数学必修四第三章试卷(含答案).
必修四第三章姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）A ．34-B ．34C ．43-D ．432．计算212sin 22.5-︒的结果等于( )A ．12B ．2C D 3．已知1(0,),sin cos ,cos 22απααα∈+=且则的值为（ ） ）A ．±B C D ．－344．13cos80-的值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．85．若3sin 5α=，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则5cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．10-B ．10C ．10-D ．106．若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ= A ．15 B ．14C ．13D ．12—A ．2πB ．C ．πD ．4π 8．已知函数22()3cos sin 3f x x x =-+，则函数（ ） A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为5B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为6C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为5D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为69．若1 s in 3α=，则2 c os +24απ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．23B ．12C ．13D ．0}10．已知，则( )A ．B ．C ．D ．11．若α，β均是锐角，且αβ<，已知()3cos 5αβ+=，()12sin ,13αβ-=-，则sin 2α=（ ）A ．1665-B ．5665C ．5665或1665D ．5665或1665-12．若sinθcosθ=12，则tanθ+cosθsinθ的值是（ ）1二、填空题 13．已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-= _ . @14．已知tan 3α=，则2sin sin 2αα-=______．15．如果tanα+tanβ=2, tan(α+β)=4，那么tanαtanβ等于_______.16．已知1tan 2α=，()2tan 5αβ-=-，则()tan 2βα-=____________.三、解答题17．已知函数23()cos()cos()2f x x x x ππ=+-+. （I ）求()f x 的最小正周期和最大值； （II ）求()f x 在2[,]63ππ上的单调递增区间． [18．已知3sin cos 0x x +=，求下列各式的值， （1）3cos 5sin sin cos x xx x+-；（2）22sin 2sin cos 3cos x x x x +-.\19．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且1sin 3α=．．1）求sin 2α的值；（2）若()3sin 5αβ+=-．0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β的值．]20．已知函数()sin cos cos sin 22x x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R . （1）求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间.~21．已知函数2(cos cos f x x x x +． "（Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅰ）求()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．—22．设函数f(x)=2cosx(cosx+√3sinx)(x∈R). （1）求函数y=f(x)的周期和单调递增区间；#]时，求函数f(x)的最大值.（2）当x∈[0,π2参考答案1．B 【解析】试题分析：sin cos tan 11,tan 3sin cos tan 12ααααααα++===---，22tan 63tan 21tan 84ααα-===--. 考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系． 2．B 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式可得结果. 【详解】由余弦的二倍角公式得 212sin 22.5cos 452-︒=︒=故选：B 【点睛】本题考查余弦二倍角公式的应用，属于简单题. 3．C 【解析】 【详解】试题分析：1sin cos 2αα+=，(0,)απ∈，3,24ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭32,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 44πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭cos 2sin 22sin cos 224444πππαααα⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭考点：二倍角公式的运用，同角三角函数间的关系. 4．B 【解析】 【分析】利用诱导公式、两角差的正弦公式和二倍角公式进行化简，求得表达式的值. 【详解】13cos80-13sin10=-cos103sin10-=()2sin 3010sin10cos10-=2sin 2041sin 202==. 故选：B 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，主要是诱导公式、两角差的正弦公式和二倍角公式的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.5．A 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α的值，进而根据两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解． 【详解】解：3sin 5α=， ,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4cos 5α∴==，)5cos cos sin 4210πααα⎛⎫∴+=--=- ⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 6．D 【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为221sin cos sin cos 1tan 41tan cos sin sin cos sin 22θθθθθθθθθθθ++=+===，所以.1sin 22θ=. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式sin tan cos θθθ=转化；另外，22sin cos θθ+在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等 7．A 【解析】 【分析】把三角函数式整理变形，变为()()sin f x A x =+ωϕ的形式，再用周期公式求出最小正周期. 【详解】()sin cos f x x x =+sin 22x x ⎫=+⎪⎪⎭4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2T π∴=.故选：A. 【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】利用降次公式化简()f x ，由此求出函数的最小正周期和最大值. 【详解】 依题意()1cos 21cos 2332cos 2422x x f x x +-=⨯-+=+，故最小正周期为2ππ2T ==，最大值为246+=，所以本小题选B. 【点睛】本小题主要考查降次公式，考查三角函数的最小正周期，考查三角函数的最大值的求法，属于基础题. 9．C 【解析】 【分析】直接利用降幂公式和诱导公式化简求值. 【详解】2cos +24απ⎛⎫= ⎪⎝⎭21cos()1sin 1322223παα++-===.故答案为：C. 【点睛】（1）本题主要考查降幂公式和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)降幂公式：221cos 1cos sin ,cos 2222αααα-+==，这两个公式要记准，不要记错了. 10．C 【解析】分析：利用余弦的差角公式将cos 6x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭展开，1sin 2x x += ，将cos cos 3x x π⎛⎫+-⎪⎝⎭展开合并化简，即可求出值．详解：∵cos 63x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭1sin 2x x +=∵3cos cos cos 32x x x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭1cos sin 22x x ⎫=+⎪⎪⎭13⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以选C点睛：本题考查了余弦差角公式的应用，主要注意符号的变化，属于简单题． 11．A 【解析】 【分析】根据α，β的范围，得到αβ+和αβ-的范围，结合条件，得到()sin αβ+和()cos αβ-，由()()sin2sin ααβαβ⎡⎤=++-⎣⎦，根据两角和的正弦公式，得到答案. 【详解】α，β均是锐角，且αβ<()0,αβπ∴+∈，,02παβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭()3cos 5αβ+=， ()4sin 5αβ∴+==，()12sin 13αβ-=-，()5cos 13αβ∴-==， ∴()()sin2sin ααβαβ⎡⎤=++-⎣⎦()()()()sin cos cos sin αβαβαβαβ=+-++-45312513513⎛⎫=⨯+⨯- ⎪⎝⎭1665=-故选：A. 【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和的正弦公式，属于简单题. 12．B 【解析】依题意有：tanθ+cosθsinθ=1sinθcosθ=2.点睛：本题主要考查：同角三角函数的基本关系，是个简单题，主要要熟记两个同角三角函数的基本关系，即：tanθ=sinθcosθ和sin 2θ+cos 2θ=1.在运算过程中，主要采用的是切化弦的方法，即遇到正切，一般情况下是化为正弦和余弦来化简，化简过程中要注意通分和合并同类项，有时候还要结合二倍角公式来考虑. 13．23【解析】试题分析：21cos 21cos 21sin 2222cos 42223ππααπαα⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭-==== ⎪⎝⎭.考点：1余弦的二倍角公式;2诱导公式. 14．310【解析】 【分析】利用二倍角公式将sin 2α化简，再把分母看做22sin cos αα+，分子分母同时除以2cos α，即可求得. 【详解】tan 3α=，22sin sin 2sin 2cos sin ααααα-=-222sin 2cos sin cos sin ααααα-=+ 22tan 2tan tan 1ααα-=+ 9691-=+ 310=. 故答案为：310. 【点睛】本题主要考查的是二倍角正弦公式的应用，以及同角三角函数基本关系式的应用，熟练掌握和应用这些公式是解决本题的关键，是基础题.15．【解析】 【分析】 由tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ可得tanαtanβ=1−tanα+tanβtan(α+β)，从而可得结果.【详解】 因为tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ，tanα+tanβ=2, tan(α+β)=4，所以tanαtanβ=1−tanα+tanβtan(α+β)=1−24=12，故答案为12.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．16．112-【解析】()25tan αβ-=-，()25tan βα∴-=()()()()211522tan 21112152tan tan tan tan tan βααβαβααβαα---⎡⎤-=--===-⎣⎦+-⨯+⨯ 17．（I ）()f x 的最小正周期为π，最大值为1；（II ）5[,]612ππ．【解析】试题分析：（I ）利用三角恒等变换的公式，化简()sin(2)3f x x π=-，即可求解()f x 的最小正周期和最大值；（II ）由()f x 递增时，求得51212k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈，即可得到()f x 在5[,]612ππ上递增．试题解析：1cos 2()-cos )(sin )2x f x x x +=⋅-+（1sin 22sin(2)23x x x π==- （I ）()f x 的最小正周期为π，最大值为1； （II ） 当()f x 递增时，222? ()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，即51212k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈, 所以，()f x 在5[,]612ππ上递增 即()f x 在2[,]63ππ上的单调递增区间是5[,]612ππ 考点：三角函数的图象与性质． 18．（1）-1；（2）165- 【解析】 【分析】（1）由题意可得1tan 3x =-，将原式化为含tan x 的表达式，代入可得答案；（2）将原式化为含tan x 的表达式，代入1tan 3x =-可得答案. 【详解】解：由题意得：3sin cos 0x x +=，可得1tan 3x =-，可得（1）533cos 5sin 35tan 311sin cos tan 113x x x x x x -++===-----； （2）222222sin 2sin cos 3cos sin 2sin cos 3cos sin cos x x x xx x x x x x+-+-=+222211()2()3tan 2tan 316331tan 15()13x x x -+⨯--+-===-+-+【点睛】本题主要考查三角恒等变化，相对简单，得出1tan 3x =-代入各式子是解题的关键.19．(1) .. 【解析】 【详解】分析：（1）根据正弦的二倍角公式求解即可；（2）由()βαβα=+-，然后两边取正弦计算即可.详解：（Ⅰ）2（，）παπ∈，且1sin 3α=，cos α∴=，-------2分于是 sin22sin cos 9ααα==-； （Ⅱ）,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,02πβ∈（，）,322（，）παβπ∴+∈,结合()3sin 5αβ+=-得：()4cos 5αβ+=-， 于是()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦3414535315⎛+⎛⎫=-⋅---⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 点睛：考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于()βαβα=+-的配凑是解第二问的关键，属于中档题.20．（1）122f π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 【解析】 【分析】先根据诱导公式及降幂公式化简得()f x cos2x =-；（1）代入求值即可；（2）由222,k x k k Z πππ≤≤+∈即可解出答案． 【详解】解：()sin cos cos sin 22x x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos x x =-cos2x =-；（1）cos 1262f ππ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭； （2）由222,k x k k Z πππ≤≤+∈得，,2k x k k Z πππ≤≤+∈，∴函数()f x 的单调递增区间是(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，属于基础题． 21．（Ⅰ）π（Ⅰ）最大值和最小值分别是32，0． 【解析】试题分析：（1）将()2cos cos f x x x x =+通过降幂公式、辅助角公式化简为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得到周期；（2）通过整体思想，得到ππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，求得π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以最大值和最小值分别是32，0． 试题解析：解：（Ⅰ）()2cos cos f x x x x +1cos22xx +=+π1sin 262x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）Ⅰππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， Ⅰππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， Ⅰπ1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， Ⅰ()30,2f x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，Ⅰ()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别是32，0．点睛：三角函数的化简需要对三角函数的二倍角公式（降幂公式）、辅助角公式熟悉应用，三角函数的性质考察通常利用整体思想解题，然后通过()sin f x x =的原始性质进行解题，得到对应的解。
天津市2016-2017学年高一数学必修4：第三章 章末测试 Word版含解析
2
2
12．函数 f(x)＝sin3x＋cos3x 的图像相邻两条对称轴之间的距离是________． 3π
答案： 2
2
2
2π
T 3π
解析：∵f(x)＝sin3x＋cos3x＝ 2sin(3x＋4)，∴其相邻两条对称轴之间的距离是2＝ 2 .
13．如图，四边形 ABCD 为矩形，且 AB＝2，AD＝1，延长 BA 至 E，使 AE＝2，连接 EC、ED，则 tan∠CED＝________.
A. 1－m2 B．－ 1－m2
C. m2－1 D．－ m2－1
3
2
答案：B
解析：∵sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，∴sin(－β)＝m，sinβ＝－m，又∵β 为第三象
限角，∴cosβ＝－ 1－m2.
2
π1
π
8．已知 tan(α＋β)＝5，tan(β－4)＝4，则 tan(α＋4)等于( ) 1 13
解析：∵α∈(2，π)，由同角基本关系易知 cosα＝－5. sinα 3
tanα＝cosα＝－4.
4
π
2．若 cosα＝－5，α 是第三象限的角，则 sin(α＋4)的值为( ) 72 72
A．－ 10 B. 10
2
2
C．－10 D.10
答案：A
4
3
解析：由题知，cosα＝－5，α 是第三象限的角，所以 sinα＝－5，由两角和的正弦公
11 1－ · tan(∠AO3O1＋∠BO3O6)＝ 2 3＝1，又∵∠AO3O1，∠BO3O6∈(0,45°)，
∴∠AO3O1＋∠BO3O6＝45°，∴∠AO3B＝135°，同理根据对称性有∠AO4B＝135°.
高中数学人教a高一必修4章末综合测评(第三章)_word版含解析
高中数学人教a高一必修4章末综合测评(第三章)_word版含解析章末综合测评(三)三角恒等变换(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知cos(α＋β)＋cos(α－β)＝13，则cos αcos β的值为()A．12B．13C．14D．16【解析】由题意得：cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝2cos αcos β＝1 3，所以cos αcos β＝1 6.【答案】 D2．已知tan(π＋α)＝2，则1sin αcos α等于()A．52B．75C．－52D．－75【解析】由tan(π＋α)＝2，得tan α＝2，∴1sin αcos α＝sin2α＋cos2αsin αcos α＝tan2α＋1tan α＝52.【答案】 A3．若tan α＝2tan π5，则cos⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝()【导学号：00680080】A．1 B．2C ．3D ．4【解析】 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5，∴原式＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsinπ5＝tan α＋tanπ5tan α－tanπ5.又∵tan α＝2tan π5，∴原式＝2tanπ5＋tan π52tan π5－tanπ5＝3.【答案】 C 4．2cos 10°－sin 20°cos 20°的值为( )A ． 3B ．62C ．1D ．12【解析】 原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.【答案】 A 5．cos 4π8－sin 4π8等于( ) A ．0 B ．22C ．1D ．－22【解析】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π8－sin 2π8⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π8＋sin 2π8＝cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 【答案】 B6．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则φ的值可以是( ) A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π12【解析】 由题得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝0，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，π6＋φ＝k π，k ∈Z ， φ＝k π－π6，k ∈Z ， 当k ＝0时，φ＝－π6，故选A ．【答案】 A7．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A ．32 B ．－32C ．±32D ．±12【解析】 由sin θ－cos θ＝22两边平方得，sin 2θ＝12， 又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin θ>cos θ，所以π4<θ<π2，所以π2<2θ<π， 因此，cos 2θ＝－32，故选B ．【答案】 B8．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝45，则sin 2x 的值为( ) A ．1925B ．725C ．1425D ．－725【解析】 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725.【答案】 D9．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( )A ．－43－310B ．43－310C ．12D ．32【解析】 由cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，且0＜x ＜π，得π6＜x ＋π6＜π2， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝45，所以sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310. 【答案】 B10．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2⎝⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值是( ) A ．2－ 2 B ．2＋ 2 C ．3D ．1【解析】 由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2，且0≤x ≤π2，所以π4≤x ＋π4≤34π，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，所以3≤y ≤2＋2. 【答案】 C11．已知函数f (x )＝3sin w x ＋cos w x (w ＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( ) A ．π2B ．2π3C ．πD ．2π【解析】 由曲线f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫w x ＋π6与y ＝1交点中相邻交点最小值为π3正好等于f (x )的周期的13倍，设f (x )的最小正周期为T ，则13T ＝π3，故有T ＝π.【答案】 C12．已知a ＝(sin α，1－4cos 2α)，b ＝(1，3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．17B ．－17C ．27D ．－27【解析】 因为a ∥b ，所以有sin α(3sin α－2)－(1－4cos 2α)＝0， 即3sin 2 α－2sin α－1＋4cos 2α＝0 ⇒5sin 2 α＋2sin α－3＝0，解得sin α＝35或－1，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝35，cos α＝45，tan α＝34，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝34－11＋34＝－17.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上) 13．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的最小正周期为________，最大值为________．【解析】 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的最小正周期为T ＝2π，最大值为2.【答案】 2π 2 14．tan ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ的值是________． 【解析】 ∵tan π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π6＋θ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝3，∴3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＋ 3tan ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ.【答案】 315．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17－（－2）1＋17×（－2）＝3.【答案】 316．已知A ，B ，C 皆为锐角，且tan A ＝1，tan B ＝2，tan C ＝3，则A ＋B ＋C 的值为________．【解析】 因为tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝1＋21－2＝－3<0，①又0<A <π2，0<B <π2，∴0<A ＋B <π，② 由①②知，π2<A ＋B <π，又tan[(A ＋B )＋C ]＝tan （A ＋B ）＋tan C 1－tan （A ＋B ）tan C ＝－3＋31－（－3）×3＝0，又∵0<C <π2，∴π2<A ＋B ＋C <32π， ∴A ＋B ＋C ＝π. 【答案】 π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值． 【解】 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x －3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3. 18．(本小题满分12分)已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：tan α＋tan β＝2tan 2β.【证明】 因为tan(α－β)＝sin 2β， tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，sin 2β＝2sin βcos β＝2sin βcos βsin 2β＋cos 2β＝2tan β1＋tan 2β，所以tan α－tan β1＋tan αtan β＝2tan β1＋tan 2β，整理得：tan α＝3tan β＋tan 3β1－tan 2β.所以tan α＋tan β＝3tan β＋tan 3β＋tan β－tan 3β1－tan 2β＝2×2tan β1－tan 2β＝2tan 2β. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性． 【解】 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 【解】 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 21.(本小题满分12分)陵中学第四次模拟)如图1所示，已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(－3，4)，β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q 的纵坐标为210.图1(1)求tan(2α－β)的值； (2)若π2＜α＜π，0＜β＜π2，求α＋β. 【解】 (1)由三角函数的定义知tan α＝－43，∴tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－431－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝247.又由三角函数线知sin β＝210，∵β为第一象限角，∴tan β＝17，∴tan(2α－β)＝247－171＋247×17＝16173.(2)∵cos α＝－35，∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π2＜α＋β＜3π2. ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×7210－35×210＝22.又∵π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝3π4. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解】 法一：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4第11页 共11页 ＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2 x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2 x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .。
高一数学必修4第三章综合检测题
第三章综合检测题、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1. si门2右一cos2；n的值为（C ）B.2 D. ,3~2［解析］原式=-(cos2^- sin^F - cos62.函数f（x）= sin2x—cos2x的最小正周期是（B ）nA.q3 B . n C . 2 n D . 4 n［解析］f(x) = sin2x—cos2x= , 2sin(2x—4)，故T=今=冗13.已知cos 0= 3,(0,n )则cos(32 + 2 0 = ( C )4；29D.9［解析］cos(3n + 2 0= sin2 A 2sin 0os0= 2X 屮3=普44.若tan a= 3, ta n B= 3，则tan (a— 3 等于(D )C. 3D.13 —4tan a—tan 3 3 1［解析］tan(a—®=■—o= = 3.1 + tan dt an B〔+ 3X4 335. COS275°+COS215°+COS75°C OS15的值是(A )5 6 3 2A.4B.〒eq D. 1 +可2 21 5 ［解析］原式=sin215°+ cos 15° + sin15 6os15°= 1 + ?sin30 = 4.6. y= cos2x—sin2x+ 2sinxcosx的最小值是(B )A. 2 B2 C. 2 D2_ n _［解析］y= cos2x+ si n2x= 2si n( 2x+ 4),.，.y max=— 2.7.若tan a= 2, tan(B— M= 3,贝U tan(B—2 0)= ( D )A. —1B. —5C.7D.1tan p- a—tan a 3 —2 i［解析］tan( p—2 a = tan［( p— a) —a = = =千1 + tan p—a tan a 1 + 68.已知点P(cos a, sin M, Q(cos p, sin®,贝U |PQ| 的最大值是(B )A. 2［解析］ PQ = (cos® —cos a, sin p—si n a ,贝U |PQ| = p cos®—cos a2+ sin p- sin a2='2—2cos a— p,故|PQ|的最大值为2.cos2x+ sin2x”^「十厂9.函数y= cos2x —sin2x的最小正周期为（C ）n nA. 2 nB. nC.qD.41 + tan2x n n［解析］y= =tan(2x+ 4),.T=2.1 —tan2x 4 210. 若函数f(x) = sin2x —*x€ R),则f(x)是(D )A .最小正周期为訓勺奇函数B .最小正周期为n的奇函数C.最小正周期为2 n的偶函数 D .最小正周期为n的偶函数1 12 12［解析］f(x)= sin2x—2= —2(1 —2sin2x) = —^cos2x,.f(x)的周期为n的偶函数.n11. y= sin(2x —3)—sin2x 的一个单调递增区间是(B )n n n 7^ r 5 1^ _ _ _ n 5 nA . ［—6, 3］ B.［石，石n］c.［匚n 石n ］ D . ［3,石！5 n n n n n［解析］ y = sin(2x — 3) — sin2x = sin2xcos^ — coshes% — sin2x =- (sin2xcos^ + cos2xsin^)=—sin(2x + 3)，其增区间是函数y = sin(2x +3)的减区间，即2k n+㊁三2x + 3W 2k n+~2，「k nn7 n 「 r 「 n 7 n+12= x <k n+12，当 k = 0 时，x € ［乜，乜］.12. 已知 sin(a+ 3 = 2，sin(a- 3 = £，则 log • 5(器 等于 (C . 41 sin a os 3+ cos a in 23得 1sin a os 3— cos a in 3= 313. (1+ tan 17 )(1 + tan28 °tan 17 ° tan28［解析］ 原式=1 + tan 17 + tan28 °tan 17 °tan28 ；又 tan(17 +28°) = ------------- =1 — tan17 )an28 0 tan45 = 1，Atan17 + tan28 = 1— tan 17 °tan28 )14. (2012全国高考江苏卷)设a 为锐角，若cosn a+6=5，贝U sin 2 a+ 的值为弋^2.n n 2 n n ［解析］Ta 为锐角，.「6<a+ 6<3，v cos a- 6 =4 5, n 3 sin a+ 6 = 5；n n n 24.••sin 2 a+ 3 = 2sin a+ 6 cos a+ 6 = 25,n n 2 .2 n 7cos(2 a+ 3) = cos( a+ g) 一 sin ( a+ g) =25 . n n n . n .•sin 2 a+ 12 = sin 2 + 3— 4 = sin 2 a — 3 ncos4—cosc n . n 1A /2 2a+3 sin 4= 50 .115.已知 cos2a= 3，贝U sin 4 a+ cos 4a=［解析］由sin(a+ 3 = 2， sin(a- a 5sin ocos 3=12.tan a 1，• °tan 3cos a i n 3=徨=5,「•log ‘5(眯沪 g 552 = 4.、填空题(本大题共4个小题, 每小题5分，共20分)代入原式可得结果为2.521 2 2 2［解析］cos2o a 2cos a—1= 3 得cos a 3,由cos2o a 1 —2s in a得sin2a 3(或据sin2a2 2 1 , + cos a 1得Sin a= 3),代入计算可得.3 1 n n16.设向量a=(刃sin0, b= (cos0 3)，其中0€ (0,刃，若a / b,贝U 0= ___41 n ［解析］若a//b，贝U sin 0cos A2，即卩2sin(Cos B= 1 ,：sin2 A1,又(0,㊁),n 4.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，写出文字说明，证明过程或演算步骤3 - 3 sin2 a+ 2sin a,17.（本题满分10分）已知cos a—sin a= 5^，且na^n 求—1 —t an a—的值.［解析］因为cos a—sin aa%"2,所以1 —2si n a cos a=卷，所以2si n«cos a= £又a€ ( n "2)，故sin a+ CoS a=-冷 1 + 2sin0cos a= —誉,2 2sin2 a+ 2sin a 2sin a cos a+ 2sin a cos a 2sin a cos a cos a+ sin a所以=1 —tan a COS a—sin a COS a—sin aZ x4/225x一 55 28 75.18.（本题满分12分）设x€ [0 , 3］，求函数y= cos(2x-3) + 2sin(x—力的最值.n n n n［解析］y = cos(2x—3) + 2si n(x—6)= cos2(x—6)+ 2sin(x—石)2n n n 1 2 3=1 —2sin (x—舌)+ 2sin(x —6)= —2［sin(x—$) —2 + 21 1 3 1 • x€ ［0 , 3］, —x—g［一6，6］.• °sin(x—g) € ［一？, 2］ ,^ymax a2，ymin= —2*19.(本题满分12分)已知tan2a2tan2a+ 1,求证:cos20+ sin2a= 0.十卄2cos20- sin20 2 1 —tan20 2—2tan2a［证明］ cos2 0+ sin a= 2 2 + sin a= 2 + sin a= 2cos20+ sin20 1 + tan20 1 + 2tan2a+ 1+ si n2a=.2—sin a 2 + sin a= COS a+ Sin a 2 o—sin a+ sin a 0.3x . 3xx . x »亠12分)已知向量 a = (cos^, sin_2), b = (co^,— sin^), c = (.3— 1),其中 x €R.(1)当a 丄b 时，求x 值的集合； ⑵求a —ci 的最大值.3x x 3x xk n n ［解析］(1)由 a 丄b 得 a b = 0,即卩 cos^cos^ —sin-^sin^a 0,贝Ucos2x = 0,得x a ^ + 4(kk n n€ Z), Ax 值的集合是{x|x = 2 + 4, « Z}.2 3x1- 2 3x 2 o 3x t -3x o 3x 3x(2)|a — c| = (cos 刁—.3) + (sin_2 + 1) = cos"^ — 2.3cos^ + 3+ sin + 2sin^ + 1=5+ 2sin^x —2 ,3。
高一数学人教A版必修四练习：第三章 三角恒等变换3 阶段质量评估 含解析
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin 2π12－cos 2π12的值为( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32解析： 原式＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32.答案： C 2．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79B ．－13C.13D.79解析： cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝－79.答案： A3．已知sin α＝35且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，那么sin 2αcos 2α的值等于( )A ．－34B.34 C ．－32D.32解析： ∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34.∴sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝－32.答案： C4．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4π解析： f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，故T ＝2π2＝π.答案： B5．若tan α＝3，tan β＝43，则tan (α－β)等于( )A ．－3B ．－13C ．3D.13 解析： tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.答案： D6．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则|PQ →|的最大值是( ) A. 2 B ．2 C ．4D.22解析： PQ →＝(cos β－cos α，sin β－sin α)，则|PQ →|＝（cos β－cos α）2＋（sin β－sin α）2 ＝2－2cos （α－β），故|PQ →|的最大值为2.答案： B7．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝2cos 2πx －1 B ．y ＝sin 2πx ＋cos 2πx C ．y ＝tanπx 2＋1 D ．y ＝sin πx cos πx解析： 对于A ，y ＝2cos 2πx －1＝cos 2πx 是偶函数；对于B ，y ＝sin 2πx ＋cos 2πx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π4是非奇非偶函数；对于C ，y ＝tan πx2＋1是非奇非偶函数；对于D ，y ＝sin πx cos πx ＝12sin 2πx 是奇函数．故选D.答案： D8．在△ABC 中，A ＝15°，则3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A.22B.32C. 2D ．2解析： ∵A ＋B ＋C ＝π，∴原式＝3sin A －cos (π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋30°) ＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝ 2. 答案： C9．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－B2＋cos 2B ，若f (B )－m ＜2恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ＜1B ．m ＞－3C ．m ＜3D ．m ＞1解析： f (B )＝4sin B cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B＝4sin B 1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋cos 2B＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1.∵f (B )－m ＜2恒成立，即m ＞2sin B －1恒成立． ∵0＜B ＜π，∴0＜sin B ≤1. ∴－1＜2sin B －1≤1，故m ＞1. 答案： D10．函数y ＝cos 2x ＋2a sin x 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π上的最大值为2，则实数a 的值为( )A ．1或－54B ．－54C.54D ．1或54解析： 因为y ＝cos 2x ＋2a sin x ＝1－sin 2x ＋2a sin x ＝－(sin x －a )2＋a 2＋1. 令t ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π，故t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，f (t )＝y ＝－(t －a )2＋a 2＋1⎝⎛⎭⎫t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 当a ≤－12时，f (t )在⎣⎡⎦⎤－12，1单调递减，所以[f (t )]max ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－⎝⎛⎭⎫－12－a 2＋a 2＋1＝34－a ＝2，此时a ＝－54＜－12，符合要求；当－12＜a ＜1时，f (t )在⎣⎡⎦⎤－12，a 单调递增，在[a ，1]单调递减，故[f (t )]max ＝f (a )＝a 2＋1＝2，解得a ＝±1∉⎝⎛⎭⎫－12，1舍去；当a ≥1时，f (t )在⎣⎡⎦⎤－12，1单调递增，所以[f (t )]max ＝f (1)＝－(1－a )2＋a 2＋1＝2a ＝2，解得a ＝1∈[1，＋∞)，符合要求．综上可知，a ＝1或a ＝－54，故选A.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．设向量a ＝⎝⎛⎭⎫32，sin θ，b ＝⎝⎛⎭⎫cos θ，13，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则θ＝________． 解析： 若a ∥b ，则sin θcos θ＝12，即2sin θcos θ＝1，∴sin 2θ＝1，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴θ＝π4.答案：π412．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝________．解析： 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，得tan α＝22，∴1－cos 2αsin 2α＝2sin 2 α2sin αcos α＝tan α＝22.答案：2213．tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝________．解析： ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°，∴tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝tan 10°＋tan 50°， 即3－3tan 10°tan 50°＝tan 10°＋tan 50°， ∴3＝tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°. 答案：314．已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫5π6－x ＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＝________．解析： sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋cos 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝33＋1－13＝2＋33. 答案：2＋33三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.解析： 方法一 原式＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1.方法二 原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α2＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α（sin α＋cos α）2＝cos 2α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝cos 2αcos 2α＝1.16．(本小题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－277，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝12且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.求：(1)cosα＋β2；(2)tan(α＋β)．解析： (1)∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝217. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝32. ∴cosα＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－277×32＋217×12＝－2114. (2)∵π4＜α＋β2＜3π4，∴sinα＋β2＝ 1－cos 2α＋β2＝5714.∴tanα＋β2＝sinα＋β2cosα＋β2＝－533.∴tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan 2α＋β2＝5311. 17．(本小题满分12分)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解析： (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ∈[0，π]， ∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取f (x )的最大值为1.所以f (x )的最大值为32.18．(本小题满分14分)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值．解析： (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.∵图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又∵ω＞0，∴2π2ω＝4×π4，∴ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.故－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1. 故－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.。
必修4 第三章 章末复习(含练习答案)
必修4 第三章章末复习学习目标1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差的公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β. sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β. sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．升幂缩角公式 1＋cos 2α＝2cos 2α. 1－cos 2α＝2sin 2α. 4．降幂扩角公式sin x cos x ＝sin 2x2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2，sin 2x ＝1－cos 2x 2. 5．和差角正切公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．6．辅助角公式y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋θ)．类型一 三角函数求值例1 (1)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12 B.12 C.32 D ．－32考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 答案 B解析 原式＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12. (2)已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求角 解 ∵α是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34.∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan αtan (α－β)＝139.∵β是锐角，故cos β＝91050.反思与感悟 三角函数的求值问题通常包括三种类型 给角求值，给值求值，给值求角．给角求值的关键是将要求角转化为特殊角的三角函数值；给值求值关键是找准要求角与已知角之间的联系，合理进行拆角、凑角；给值求角实质是给值求值，先求角的某一三角函数值，再确定角的范围，从而求出角． 跟踪训练1 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 解 (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3310.类型二 三角函数式的化简与证明 例2 化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x .考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 解 原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝12(1－sin 22x )2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝12cos 2x . 反思与感悟 三角函数化简常用策略有：切化弦、异名化同名、降幂公式、1的代换等，化简的结果应做到项数尽可能少，次数尽可能低，函数名尽量统一．三角函数证明常用方法有：从左向右(或从右向左)，一般由繁向简；从两边向中间，左右归一法；作差证明，证明“左边－右边＝0”；左右分子、分母交叉相乘，证明差值为0等． 跟踪训练2 在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos A 2cos B 2cos C2.考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 因为A ＋B ＋C ＝π， 所以C ＝π－(A ＋B )，C 2＝π2－A ＋B2.因此sin A ＋sin B ＋sin C ＝2sin A ＋B 2·cos A －B 2＋sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2cos A －B 2＋2sinA ＋B2cos A ＋B 2＝2sin A ＋B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －B 2＋cos A ＋B 2＝2sin A ＋B 2·2cos A 2·cos B 2＝2cos C 2·2cos A2·cos B 2＝4cos A 2·cos B 2·cos C 2.类型三 三角恒等变换与函数、向量的综合运用例3 设平面向量a ＝⎝⎛⎭⎫3sin x ，cos 2x －12，b ＝(cos x ，－1)，函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期，并求出f (x )的单调递增区间； (2)若锐角α满足f ⎝⎛⎭⎫α2＝13，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6的值．考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用解 (1)由题意得f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋12－cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴f (x )的最小正周期为π.由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)由(1)可得f ⎝⎛⎭⎫α2＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13， ∵α为锐角， ∴－π6<α－π6<π3，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝223，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π6＋π2 ＝－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝－2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6·cos ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝－429.反思与感悟 三角函数与三角恒等变换综合问题，通常是通过三角恒等变换，如降幂公式，辅助角公式对三角函数式进行化简，最终化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的形式，再研究三角函数的性质．当问题以向量为载体时，一般是通过向量运算，将问题转化为三角函数形式，再运用三角恒等变换进行求解．跟踪训练3 已知函数f (x )＝23sin(x －3π)·sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋5π2－1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，求cos 2x 0的值． 考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用解 (1)因为f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π.又因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 所以f (x )的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知，f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6. 又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎡⎦⎤2π3，7π6， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－45， cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6sin π6 ＝3－4310.1．知识网络2．本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质.1．两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()2．对任意角α，sin 2α＝2sin α均不成立．()3．y＝sin x＋cos x的最大值为2.()4．存在角α，β，使等式cos(α＋β)＝cos α＋cos β成立．()1．若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，则cos β等于( ) A.22B.210 C.22或－210D.22或2102．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值为________．3．已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝________.4．设A ，B 为锐角△ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A ，2sin A )，b ＝(3cos B,3sin B )．若a ，b 的夹角的弧度数为π3，则A －B ＝________ .5．已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．答案1．两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ ) 2．对任意角α，sin 2α＝2sin α均不成立．( × ) 提示 如α＝k π，k ∈Z ，则sin 2α＝2sin α＝0. 3．y ＝sin x ＋cos x 的最大值为2.( × )提示 ∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，∴函数最大值为 2. 4．存在角α，β，使等式cos(α＋β)＝cos α＋cos β成立．( √ )提示 如α＝－π4，β＝π2，则cos(α＋β)＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＋π2＝22，cos α＋cos β＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＋cos π2＝cos π4＝22，两式相等.1．若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，则cos β等于( ) A.22B.210 C.22或－210D.22或210考点 和、差角公式的综合应用题点 综合运用和差角公式化简求值答案 A解析 由α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，得sin α＝255，cos(α－β)＝31010，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝22. 2．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值为________． 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 利用降幂公式化简求值答案 －1－a 2解析 sin 2θ4＝1－cos θ22， ∵θ∈(5π，6π)，∴θ4∈⎝⎛⎭⎫5π4，3π2， ∴sin θ4＝－1－cos θ22＝－1－a 2. 3．已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝________. 考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求值答案 －5972解析 由(sin α＋cos β)2＋(sin β－cos α)2＝1336， 得2sin(α－β)＝－5936，即sin(α－β)＝－5972. 4．设A ，B 为锐角△ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A ，2sin A )，b ＝(3cos B,3sin B )．若a ，b 的夹角的弧度数为π3，则A －B ＝________ . 考点 两角差的余弦公式题点 两角差的余弦公式的综合应用答案 ±π3解析 cos π3＝a ·b |a ||b |＝6(cos A cos B ＋sin A sin B )2×3＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B )．又－π2＜A －B ＜π2，∴A －B ＝±π3. 5．已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用 解 (1)由已知，得f (x )＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34 ＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数， f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14， 所以函数f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.。
高中数学人教b版高一必修4章末综合测评3 含解析
高中数学人教b版高一必修4章末综合测评3 含解析章末综合测评(三)三角恒等变换(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知cos(α＋β)＋cos(α－β)＝13，则cos αcos β的值为()A.12 B.13C.14 D.16【解析】由题意得：cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝2cos αcos β＝13，所以cos αcos β＝1 6.【答案】 D2.已知tan(π＋α)＝2，则1sin αcos α等于()A.52 B.75C.－52 D.－7 5【解析】由tan(π＋α)＝2，得tan α＝2，∴1sin αcos α＝sin2α＋cos2αsin αcos α＝tan2α＋1tan α＝52.【答案】 A3.若tan α＝2tan π5，则cos⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝()A.1B.2C.3D.4【解析】 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5， ∴原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tan π5tan α－tan π5.又∵tan α＝2tan π5，∴原式＝2tan π5＋tanπ52tan π5－tanπ5＝3.【答案】 C4.2cos 10°－sin 20°cos 20°的值为( )A. 3B.62C.1D.12【解析】 原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝2(cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°)－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.【答案】 A5.cos 4π8－sin 4π8等于( )A.0B.22C.1D.－22【解析】 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π8－sin 2π8⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π8＋sin 2π8＝cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22.【答案】 B6.已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则φ的值可以是( ) A.－π6B.π6C.－π12D.π12【解析】 由题得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝0，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，π6＋φ＝k π，k ∈Z ， φ＝k π－π6，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝－π6，故选A.【答案】 A7.若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A.32B.－32C.±32D.±12【解析】 由sin θ－cos θ＝22两边平方得，sin 2θ＝12， 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin θ>cos θ，所以π4<θ<π2，所以π2<2θ<π，因此，cos 2θ＝－32，故选B. 【答案】 B8.已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ等于( )A.23B.43C.34D.32【解析】 由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32. 【答案】 D9.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( )A.－43－310B.43－310C.12D.32【解析】 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，且0＜x ＜π，得π6＜x ＋π6＜π2， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝45，所以sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310. 【答案】 B10.函数y ＝sin x ＋cos x ＋2⎝⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值是( )A.2－ 2B.2＋ 2C.3D.1【解析】 由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2，且0≤x ≤π2， 所以π4≤x ＋π4≤34π，所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，所以3≤y ≤2＋2. 【答案】 C11.已知函数f (x )＝3sin w x ＋cos w x (w ＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π【解析】 由曲线f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫w x ＋π6与y ＝1交点中相邻交点最小值为π3正好等于f (x )的周期的13倍，设f (x )的最小正周期为T ，则13T ＝π3，故有T ＝π.【答案】 C12.已知a ＝(sin α，1－4cos 2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A.17 B.－17C.27D.－27【解析】 因为a ∥b ，所以有sin α(3sin α－2)－(1－4cos 2α)＝0， 即3sin 2 α－2sin α－1＋4cos 2α＝0 ⇒5sin 2 α＋2sin α－3＝0，解得sin α＝35或－1，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以sin α＝35，cos α＝45，tan α＝34，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝34－11＋34＝－17.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在题中的横线上) 13.函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的最小正周期为________，最大值为________. 【解析】 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的最小正周期为T ＝2π，最大值为2.【答案】 2π 214.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ的值是________.【解析】 ∵tan π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π6＋θ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝3，∴3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ. 【答案】 315.已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________.【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.【答案】 316.已知A ，B ，C 皆为锐角，且tan A ＝1，tan B ＝2，tan C ＝3，则A ＋B ＋C 的值为________.【解析】 因为tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝1＋21－2＝－3<0，①又0<A <π2，0<B <π2，∴0<A ＋B <π，②由①②知，π2<A ＋B <π，又tan[(A ＋B )＋C ]＝tan (A ＋B )＋tan C 1－tan (A ＋B )tan C ＝－3＋31－(－3)×3＝0，又∵0<C <π2，∴π2<A ＋B ＋C <32π，∴A ＋B ＋C ＝π. 【答案】 π三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值.【解】 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值.所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.18.(本小题满分12分)已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：tan α＋tan β＝2tan 2β.【证明】 因为tan(α－β)＝sin 2β， tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，sin 2β＝2sin βcos β＝2sin βcos βsin 2β＋cos 2β＝2tan β1＋tan 2β，所以tan α－tan β1＋tan αtan β＝2tan β1＋tan 2β，整理得：tan α＝3tan β＋tan 3β1－tan 2β.所以tan α＋tan β＝3tan β＋tan 3β＋tan β－tan 3β1－tan 2β＝2×2tan β1－tan 2β＝2tan 2β. 19.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性.【解】 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减. 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减. 20.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值.【解】 (1)由已知， 有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.21. (本小题满分12分)陵中学第四次模拟)如图1所示，已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(－3,4)，β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q 的纵坐标为210.图1(1)求tan(2α－β)的值；(2)若π2＜α＜π，0＜β＜π2，求α＋β.【解】 (1)由三角函数的定义知tan α＝－43，∴tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－431－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝247.又由三角函数线知sin β＝210，∵β为第一象限角，∴tan β＝17， ∴tan(2α－β)＝247－171＋247×17＝16173.(2)∵cos α＝－35，∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π2＜α＋β＜3π2. ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×7210－35×210＝22.又∵π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝3π4.22.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x ).(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.【解】 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2 x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .第11页 共11页 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .。
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第三章章末检测 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 12 题，每题 5 分，共 60 分．在下列各题的四个选项中，只有一个选
1． sin68 s°in67 －°sin23 c°os68 °的值为 ( )
2
2
A ．2sin2α)＝
2sin2α－
1
＝
2×
4－ 9
1
＝－
1 9.
1 3．已知 M ＝ x sinx＝ 2
，N＝
x
1 cos2x＝ 2
，则 (
)
A．M＝ N B． M? N C．N? M D ． M∩ N＝ ? 答案： B
解析：
由
cos2x＝
1
－
2sin
2x＝
1 2
，得
sinx＝ ±1，故选 2
B.
4．已知 sinθ2＝－ 45， cosθ2＝ 35，则角 θ终边所在象限是 (
kπ
＋32π，
k∈
Z ，∴
kπ＋
π 4<
x< kπ＋
34π，
k∈
Z.
6．若函数 f (x)＝ sinax＋ cosax(a>0) 的最小正周期为 1，则它的图象的一个对称中心为
()
A. － π8， 0 B ． (0,0)
C.
－ 1， 0 8
D. 1， 0 8
答案： C
解析： 由条件得 f( x)＝ 2sin ax＋4π，又函数的最小正周期为
)
A ．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限 答案： C
解析：
∵ sinθ＝ 2sinθ2cosθ2＝－
24 25<0，cosθ＝
cos2θ2－
sin
2θ＝－ 2
7 25<0，∴θ终边在第三象限．
5．函数 f(x)＝ lg (sin 2x－ cos2x)的定义域是 (
)
A.
x
2kπ－
3π 4<
π2 13． cos5cos5π的值是 ________．
答案： 1 4
解析： 原式＝
1 π·2sinπ5cosπ5·cos25π＝
1
2π 2
π·2sin 5 cos5π＝
1 41 πsin 5π＝ 4.
2sin5
4sin5
4sin5
14．已知
sin
α＝
1＋ 2
cosα，且
α∈
0，π2 ，则
cos2α π
D．1
解析： 原式＝
sin68 °cos23°－ cos68°sin23 °＝ sin(68
°－ 23°)＝ sin45 °＝
2 2.
2．已知
sinα＝
2，则 3
cos( π－ 2α)等于 (
)
5
1
A ．－ 3 B ．－ 9
1
5
C.9
D. 3
答案： B
解析：
cos(
π－2α)＝－
cos2α＝－
(1－
A. 2 B. 3
C．2 D． 3
答案： D
解析： f(x)＝ 1－ cos π＋ 2x ＝ 1＋sin2x. 2
π |MN |＝ |f(a)－ g(a)|＝ |1＋ sin2a－ 3cos2a|＝ |2sin 2a－3 ＋ 1|≤3.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．
∴ 3－ 3tan20 °tan40 °＝tan20 °＋ tan40 °，
∴ tan20 °＋ tan40 °＋ 3tan20 °tan40 °＝ 3.
8．关于 x 的方程 sin x＋ 3cosx－a＝ 0 有实数解，则实数 a 的范围是 ( )
A ． [－ 2,2] B． (－ 2,2) C．( －2,0) D． (0,2) 答案： A
的值为
________ ．
sin α－ 4
答案： －
14 2
解析：
∵
sin
2α＋
cos2α＝
1
，
sinα＝
1 2
＋
cosα，
∴ 12＋ cosα2＋ cos2α＝ 1，∴ 2cos2α＋ cosα－ 34＝ 0，
－ 1± 7
x<2
kπ＋
π4，k∈
Z
B.
x
2kπ＋
π 4 <x<2kπ＋
54π，
k∈
Z
C. x
kπ－
π 4< x<
kπ＋
π4，
k∈
Z
D.
x
kπ＋
π 4<
x<kπ＋
34π，
k∈
Z
答案： D
解析：∵
f(x)＝
lg
(sin
2x－
cos2x)＝
lg
(
－
cos2x)，∴－
cos2x>0，∴
cos2x<0，∴
π 2kπ＋2<2x<2
f
－
5 3π＝2sin
－
5 6π＋
π 3
＝ 2sin － π＝－ 2， 2
∴
x＝－
5 3π为函数的一条对称轴．
11．已知 θ为第三象限角，若
sin
4θ＋
cos4θ＝
5，则 9
sin2θ等于 (
)
22
22
A. 3 B ．－ 3
2
2
C.3
D．－ 3
答案： A
解析： 由
sin
4θ＋
cos4θ＝
(sin2θ＋
cos2θ)2
－
2sin
2θcos2θ＝
5，知 9
sin
2θcos2θ＝
2，又 9
θ为第三
象限角，
∴ sinθ·cosθ＝
32， sin2θ＝2
3
2 .
12．设动直线
x＝ a 与函数
f(x)＝ 2sin2
π＋x 4
和
g(x)＝
点，则 |MN |的最大值为 ( )
3cos2x 的图象分别交于
M，N 两
∴ cosβ＝－ 4× 5
5＋ 2 55
5×
3＝ 5
25 25
.
10．函数 y＝ sinx2＋ 3cos2x的图象的一条对称轴方程为 (
)
11
5
A ． x＝ 3 π B． x＝ 3π
5
π
C．x＝－ 3π D． x＝－ 3
答案： C
解析： y＝ sin2x＋
3cos2x＝ 2sin
x＋ 2
π 3
，
又
解析： sinx＋ 3cosx－ a＝ 0，∴ a＝sinx＋ 3cosx
＝2
1 2sin x＋
3 2 cosx
＝2sin
x＋
π 3
，－
1≤sin
π x＋3
≤
1，∴－
2≤ a≤2.
9．若 α， β为锐角， sinα＝ 2 5 5， sin(α＋β)＝ 35，则 cosβ等于 (
)
25 A. 5
25 B. 25
2 C.
5
5
或
25 25
25 D ．－ 25
答案： B
解析： cosβ＝ cos[( α＋β)－α]
＝ cos(α＋ β)cosα＋sin(α＋ β)sinα，
∵ α为锐角 cosα＝
1－ 2205＝ 55，
∴
sin(α＋
β)＝
35＜
sinα，∴
α＋
β＞
π 2.
∴ cos(α＋ β)＝－
1－ 295＝－ 45，
故 f(x)＝
2sin
2πx＋
π 4 .将
x＝－
1代入得函数值为 8
0.
1，故 2π＝ 1，∴ a＝ 2π， a
7． tan20 ＋°tan40 ＋° 3(tan20 ＋°tan40 °)等于 ( )
3 A. 3 B ． 1
C. 3 D. 6 答案： C
解析： tan60 °＝ tan20 ＋°tan40 °， 1－ tan20 ·°tan40 °